复变函数论第三版钟玉泉PPT第五章

复变函数钟玉泉讲义大学复变函数课件复变函数第一节解析函数的概念及C.-R.方程1、导数、解析函数定义2.1：设是在区域内确定的单值函数，并且。

如果极限存在，为复数，则称在处可导或可微，极限称为在处的导数，记作，或。

定义2.2：如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析；如果在区域内处处解析，则我们称在内解析，也称是的解析函数。

解析函数的导（函）数一般记为或。

注解1、语言，如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，，则称在处可导。

注解2、解析性与连续性：在一个点的可导的函数必然是这个点的连续函数；反之不一定成立；注解3、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。

解析函数的四则运算：和在区域内解析，那么，，（分母不为零）也在区域内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：。

复合求导法则：设在平面上的区域内解析，在平面上的区域内解析，而且当时，，那么复合函数在内解析，并且有求导的例子：（1）、如果（常数），那么；（2）、，；（3）、的任何多项式在整个复平面解析，并且有（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与是实变量时相同。

2、柯西-黎曼条件可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：定理2.1 设函数在区域内确定，那么在点可微的充要条件是：1、实部和虚部在处可微；2、和满足柯西-黎曼条件（简称方程）证明：（必要性）设在有导数，根据导数的定义，当时其中，。

比较上式的实部与虚部，得因此，由实变二元函数的可微性定义知，，在点可微，并且有因此，柯西-黎曼方程成立。

（充分性）设，在点可微，并且有柯西-黎曼方程成立：设则由可微性的定义，有：令，当（）时，有令，则有所以，在点可微的。

定理2.2 设函数在区域内确定，那么在区域内解析的充要条件是：1、实部和虚部在内可微；2、)和在内满足柯西-黎曼条件（简称方程）关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：注解1、解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的；注解2、解析函数的导数形式更简洁：公式可避免利用定义计算带来的困难。

f ( z) z ,

并且只有当f ( z) eia z 时等号才成立.
4 极点
1) 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 z z0 的
m 负幂项, 其中关于 ( z z0 ) 的最高幂为 ( z z0 ) ,
1
即
f ( z ) cm ( z z0 )m c2 ( z z0 )2 c1 ( z z0 )1
z a
z a
由函数极限的性质, f ( z)在点a的某去心邻域内有界;
"(3) (1)" 设 f ( z) M , z K {a} 考察f ( z)在点a的主要部分 c n ( z a) n n 1 1 f ( ) c n d , (n 1, 2,...) ( n ) 1 2 i ( a) 而为K内的圆周 a , 可以充分小, 于是由 f ( ) 1 1 M c n d 2 ( n ) 1 ( n ) 1 2 a 2
2)极点的判定方法
(1) 由定义判别
f ( z ) 的洛朗展开式中含有 z z0 的负幂项为有 限项.
(2) 由定义的等价形式判别
g( z ) 在点 z0 的某去心邻域内 f ( z ) ( z z0 ) m
其中 g ( z ) 在 z0 的邻域内解析, 且 g ( z0 ) 0. (3) 利用极限 lim f ( z ) 判断(但不知道阶数) .
3) 如果f ( z )在点a主要部分为无穷多项,则称a为
f ( z ) 的本质奇点.
sin z z2 z4 z 2n n , 如： 1 (1) z 3! 5! (2n 1)!
0 点. z
2 n 2 sin z 1 1 z 2 z n ( 1) , 3 2 z z 3! 5! (2n 1)!

导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链式法则等性质。这些性质在计算复杂函数 的导数时非常有用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
隐函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角 函数等基本初等函数，其导数都有固 定的公式可以查询和使用。
如果一个函数$F(x, y) = 0$，我们可 以通过对$F$求关于$x$或$y$的偏导 数来找到隐函数的导数。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数
将周期函数表示为无穷级数，通过正 弦和余弦函数的线性组合来逼近原函 数。
傅里叶变换
将函数从时间域转换到频率域，通过 积分形式实现。
傅里叶变换的性质与应用
线性性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是 可傅里叶变换的，$a, b$ 是常数，则 $af(t) + bg(t)$ 也可进行傅里叶 变换。
复数的几何意义
复数可以用平面上的点来 表示，实部为横坐标，虚 部为纵坐标。
复数的运算
复数可以进行加法、减法、 乘法和除法等运算，满足 交换律、结合律和分配律。
02 复数与复变函数
复数及其运算
复数
由实部和虚部构成的数， 表示为 a + bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
复数的运算
加法、减法、乘法和除法 等。
共轭复数
如果一个复数的虚部变号， 则得到该复数的共轭复数。
复变函数及其定义域
复变函数
从复平面到复平面的映射。
定义域
复变函数的输入值的集合。
单值函数和多值函数
根据定义域和值域的关系进行分类。
复变函数的极限与连续性
极限
描述函数值随自变量变化的行为。
连续性
函数在某一点处的极限值等于该 点的函数值。

若a为f (z)的孤立奇点,则在K {a}内可展成Laurent级数
f (z) cn (z a)n cn (z a)n
cn (z a)n
n
n1
n0
f (z)在a的主要部分 f (z)在a的正则部分
f (z)在点a的奇点性质体现在K内收敛于一解析函数
定义5.3 设a为f (z)孤立奇点
(1) fn (z)(n 1, 2,...)在区域D内解析;
(2) fn (z)在D内内闭一致收敛于函数f (z)
n1
f (z) fn(z).
n1
则 (1) 函数f (z)在区域D内解析;
(2) f ( p) (z)
f
( n
p)
(
z),
(
z
D,
p
1,
2,
).
n1
第二节 幂级数
1. 幂级数的敛散性 阿贝尔(Abel)定理
i z
1,
z 1. 2
f
(z)
(z
1 i)(z
2)
1 2
i
z
1
i
2
1
z
1 2i
1 z1
i z
1 21
2z
1 2
i
(i)n zn1
n0
n0
zn 2n1
1 2
i
n0
( i )n z n1
1 2
i
n0
zn 2n1 .
(2) 在 2 z 内,
i 1, 2 1
1ezຫໍສະໝຸດ n01 n!zn ,
所以
1
z2e z
z21
1 z
1 2! z 2
1 n! z n