复变函数论三钟玉泉PPT课件

复变函数发展历程

复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积

分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，

就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方

程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，

所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。

复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学

那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最

丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理

论之一。

为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研

究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。

后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特

拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列

夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的

研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。

复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如

物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的

计算就是通过复变函数来解决的。

比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问

题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。

复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用

了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很

有影响。

广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论

这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。

《复变函数》课程考试大纲

（Complex Variables Functions）

课程编号：03110094

课程类型：专业核心课

所属教研室：数学与应用数学教研室

总学时：45

学分数： 3

考核对象：09级数学与应用数学专业本科生

执笔者：

编写日期：

一、 课程性质与考试目的：

《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业核心课，又是《数学分析》的后继化、完备化课程。从数学理论角度看，它是数学的重要分支之一，内容丰富而完美。在实用上，对力学、电学及理论物理等学科有着重要的应用。复变函数方法是工程、科技的常用方法之一。通过本课程的学习，一方面可以加深对《数学分析》中基础理论的理解，另一方面可以进一步锻炼学习者的能力，为他们下一步的学习奠定基础。

本课程主要研究解析函数，包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的幂级数表示法、解析函数的洛朗展式与孤立奇点、留数理论及其应用、共形映射这七部分必讲内容，这七部分内容涵盖了复变函数中三大理论（积分理论、级数理论、几何理论）的所有内容。通过考试，不仅要考查学生对于该课程的基本概念、基本性质、基本理论理解、掌握得是否准确、全面，而且要考查学生分析问题和解决问题的能力是否得到提高，运用这些知识处理具体问题的综合、创造、归纳、概括等的能力是否得到发展，从而检查平时教学是否达到了教学要求，完成了教学大纲所提出的目标和任务。

二、 考试内容及要求：

第一章 复数与复变函数

【本章重点】复变函数的概念、极限与连续性

1、考试内容：复数的概念，复变函数的极限和连续的概念；复数的乘幂与方根，复数方程；平面曲线(特别是简单闭曲线，光滑曲线或按段光滑曲线)与平面区域(包括单连通域与多连通域)。

2、考核要求：

（1）．了解：区域的概念，复变函数的极限和连续的概念，扩充复平面；

（2）．理解：复变函数概念；

（3）．掌握：复数的概念、表示方法及其运算；复数运算的几何意义与复数方程表示的几何图形；复数的乘幂与方根；平面曲线(特别是简单闭曲线，光滑曲线或按段光滑曲线)与平面区域(包括单连通域与多连通域)。

狄利克雷积分的奇妙解法

狄利克雷积分 是重要的数学积分，也是物理

学中有阻尼自由振动方程中经常用到的一个积分。 本文将综合整理已有文件， 详尽介绍 7 种运用其余学科知识求解积分的方

法。第一部分为运用复变函数中留数的有关知识求解积分； 第二部分为运用其余数学学科包含概率论、 拉普拉斯变换和傅氏积分的方法求解问题； 第三部分为运用有关热传导和脉冲函数的物理知识求解问题。

一、圍道积分法

求解狄利克雷积分最常用也是最简单的就是复变函数中的围道积分法，这类方法在钟玉泉著的《复变函数论》和余家荣著的《复变函数》中均说起。 1.1 中的围道积分法是最为一般的解法，

1.2 是刘光芒研究的更加特别的有关留数的围道积分法。

1.1 大圆弧定理

引理 1：（ 1）设函数 沿半圆周 上连续，且 在 上一致建立，则 。

（2）设 沿圆弧 上连续，且 于 上一致建立，则有 。

狄利克雷积分的计算剖析：

因为 ，由柯西积分定理有 ，或写成 ，由引理 1 知 ， ，令，，则，因此。

1.2 留数定理

引理 2 当被积函数 是 的有理函数，且分母次数起码比分子

次数高一次， 在实轴上除有限多个一级极点 到处分析， 在上半

平面 内除有限多个极点 外到处分析，则积分值 。

狄利克雷积分的计算剖析：由引理 2 可知，计算 的虚部的

即可。

二、其余数学学科的方法

除了上文所述复变函数的方法外， 我们还能够运用其余数学学科的知识。比如， 2.1 中所引用的概率论中散布函数与特点函数的有关定理，有关知识在王梓坤的《概率论基础及应用》中已有波及，李西和又在该基础上延长， 获得了详尽的求解积分的方法。

2.2 也为李西和在文章中提到的运用简单的拉普拉斯变换求解问题。

2.3 为刘光芒在姜尚礼《数理方程讲义》的基础上研究的知足狄氏条件的傅氏积分法。

2.1 散布函数与特点函数关系

引理 3 若 ， ，则广义二重积分 存在，且 。

复变函数论第四版答案钟玉泉

第二章 解析函数

（一）

1.证明:0,使0001/),(tttt,有)()(01tztz,即C在)(0tz的对应去心邻域内无重点,即能够联结割线)()(10tztz,是否就存在数列01ttn,使)()(01tztzn,于是有

0)()(lim)(0101001tttztztznnttn

此与假设矛盾.

01001),(ttttt

因为 )()(arg)()(arg010101tztztttztz

所以 ])()(limarg[)()(arglim)()(arglim0101010101010101tttztztttztztztztttttt

因此,割线确实有其极限位置,即曲线C在点)(0tz的切线存在,其倾角为)(arg0tz.

2.证明:因)(),(zgzf在0z点解析,则)(),(00zgzf均存在.

所以 )()()()()()(lim)()()()(lim)()(lim00000000000zgzfzzzgzgzzzfzfzgzgzfzfzgzfzzzzzz

3.证明:3322,0,0,,0,00xyxyuxyxyxy

3322,0,0,,0,00xyxyvxyxyxy 于是00,00,00,0limlim1xxxuxuxuxx,从而在原点fz满足CR条件,但在原点，'0,00,0xxuivuivffzzz

333311ixyizxyz

当z沿0yx时,有'212ffzizx