数学教学中概念形成和掌握的心理过程(正阳兰青李继承)

小学数学概念教学“四部曲”解析概述：小学数学是培养学生数学基本素养和兴趣的重要阶段，而数学概念教学是其中的重要一环。

数学概念是数学的基础，是学生学习数学的基本要素，因此数学概念教学具有非常重要的意义。

在小学数学教学中，如何科学有效地进行数学概念教学，是当前数学教育中的一项重要任务。

本文将从数学概念的内涵、数学概念形成的心理基础以及小学数学概念教学的基本特点出发，提出小学数学概念教学“四部曲”，并进行解析。

一、数学概念的内涵1.概念的形成过程概念是对具有共同本质特征的事物的思维方式的归纳。

概念的形成是一个由浅入深的过程：由最初的具体形象概念，逐渐向着一般概念和抽象概念发展。

学生的概念是在感性认识的基础上逐渐升华为理性认识的产物。

2.概念的属性（1）概念是一定范围内事物的思维概括。

（2）概念是具有普遍性和独特性的。

（3）概念是具有含蓄感性的。

3.数学概念的特点数学概念是在对数量、形状、结构、变化等事物的认识和抽象基础上形成的。

数学概念具有以下几个特点：（1）数学概念是抽象的；（2）数学概念是具有普遍性和必然性的；（3）数学概念是严格定义的。

二、数学概念形成的心理基础1.感性认识阶段儿童的数学概念形成主要是在感性认识的基础上逐渐产生的。

儿童在感性认识阶段主要通过感觉来获取事物的特征和规律，对事物的认识主要以分辨和表象为主。

2.逐步抽象过程儿童在感性认识的基础上逐渐进行思维的抽象活动，逐步地逼近于概念。

在这一过程中，教师应引导学生由感性到理性地认识事物，逐渐形成抽象概念。

3.概念的稳定性儿童形成的数学概念比较稳定，一旦形成很难被改变。

在进行数学概念教学时，应注重科学引导学生形成正确的数学概念。

三、小学数学概念教学的基本特点1.以学生为中心小学数学概念教学应以学生为中心，关注学生的认知情况和发展规律，灵活运用多种教学手段和方法，促进学生对数学概念的深层理解。

2.由浅入深教师在进行数学概念教学时，应当注意由浅入深、由易到难地进行教学，逐步引导学生从感性认识到理性认识，形成正确的数学概念。

数学概念教学的心理剖析作者：李滨来源：《当代教育》2009年第02期数学概念是客观现实中数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映。

掌握正确的数学概念是学习数学知识的基石，也是培养学生数学能力的前提。

重视数学概念教学，对于提高教学质量有着举足轻重的作用。

由于小学生年龄小，生活经验不足，知识面窄，构成了概念教学中的障碍。

因此，概念教学一直是每个老师感觉比较棘手的问题。

现就我从教多年在概念教学过程中所发现的学生的心理变化做简单分析。

1．教学数学概念的心理学原理原理一：学生所接触的新的更加高级的数学概念，不能简单地用定义进行传递，只能用学生感知过的，恰当的贴近生活的实例通过动手实践进行教学。

这条原理主要强调“概念教学应从生活实际引入”，用学生在日常生活中所感知过的生活实例或已有经验引出有关数学概念，而不能简单地从定义到定义，如我在教学“比较三个分数大小”时，先给学生创设了这样一个有趣的情境：“星期天的早晨，小明、小刚、小方三个人各带同样长的线到广场去放风筝，小明把线放出了，小刚放出了，小方放出了。

他们三人谁的风筝放得最高？”虽然学生的积极性特别高，却不能很快答出来，我先让学生猜猜谁放得最高，然后让学生以小组形式进行讨论，激发了学生的求知欲，为学习新的知识设下了悬念。

然后，我抓住时机及时引导：“只要解决一个数学问题，这件事就迎刃而解了。

”让学生把生活中问题转化为数学问题——比较这三个分数的大小。

紧接着，继续以小组的形式引导学生用前面学过的同分母、同分子分数比较大小的方法，让学生观察这三个分数的特点，进而依据同分母或同分子分数比较大小的方法逐步比较出这三个分数的大小，并做好比较结果的记录，这样各小组学生就很快说出了小刚、小明、小方三个人谁的风筝放得最高。

再教学比较三个分数大小的方法就不难了。

在整个教学过程中，始终把新概念与学生原有认识结构中的旧知识联系起来，把新概念纳入到原有概念的结构中，成为与原有概念相关的类属，从而找出新概念的本质属性，并使新概念与原有概念进行精确的分化，使有关的概念与新概念融会贯通并在头脑中形成一个整体结构，这样不但让学生准确地获得新概念，而且也充分体现新课标所倡导的“动手实践、自主探索、合作交流”的学习方式。

小学数学教育中的概念形成及教学方法在小学数学教育中，概念形成是一个至关重要的环节。

它涉及到学生对数学知识的理解和应用能力的培养。

因此，教师在教学中应尽可能使用有效的方法来引导学生形成概念，并帮助学生建立正确的数学思维方式。

一、概念形成的重要性概念是认识世界、描述事物特性和关系的基本单位。

在数学教育中，学生通过概念的形成可以更好地理解数学的本质和规律，并能够灵活地运用数学知识解决问题。

概念的形成不仅仅是简单的记忆，更是对于数学思维能力的培养和提高。

二、概念形成的过程1. 直观经验概念的形成需要建立在学生的直观经验基础上。

教师可以通过引导学生观察、实验、感受等方式，帮助他们获得直观的数学经验。

比如，在教学中可以引导学生通过实物或图片来感受几何形状的特点，或者通过实际操作来体验数学运算的过程。

2. 具象符号在学生具备了一定的直观经验后，可以逐渐引入具象符号。

教师可以通过举例、绘制图形、使用符号代表数学概念等方式，帮助学生建立起符号与概念之间的联系。

比如，在教学中可以让学生通过自己绘制图形来理解几何形状，或者通过符号来表示数学运算中的关系。

3. 符号操作当学生已经掌握了基本的概念和符号后，可以逐渐引导他们进行符号操作。

教师可以通过解决问题、练习题等方式，让学生通过符号进行计算和运算。

这样可以帮助学生将概念转化为实际的操作，并培养他们的数学思维和解决问题的能力。

三、概念形成的教学方法1. 问题导引法教师可以通过提出问题的方式来引导学生进行思考和探究。

问题导引法能够激发学生的兴趣和思维，帮助他们主动思考和解决问题。

比如，在教学中可以提出一些真实且有趣的问题，让学生通过思考和讨论来形成对概念的理解。

2. 模型建构法教师可以通过建立具体的模型来帮助学生理解概念。

比如，在教学中可以使用实物、图片、图形等来呈现数学概念，让学生通过观察和操作来理解数学概念的特点和规律。

3. 探究式学习法教师可以引导学生主动进行探究和实践，通过自主学习来形成概念。

小学五年级数学学习的认知发展与心理支持小学五年级是孩子数学学习中的重要阶段，他们的认知能力和心理发展处于关键时期。

在这个阶段，孩子们开始接触到更复杂的数学概念和问题，这对他们的思维能力和逻辑推理能力提出了新的挑战。

让我们以拟人的角度来看待这个过程。

在数学学习的旅程中，小学五年级的孩子们像是蜕变中的蝴蝶，从刚开始学会数数、认识简单的加减法，到现在需要理解乘法、除法等更复杂的数学运算。

他们的数学世界仿佛是一座充满奥秘的迷宫，需要通过探索和学习才能一步步揭开面纱。

在认知发展方面，孩子们开始逐渐具备抽象思维能力，能够从具体的事物中抽象出数学概念。

比如，他们学会用算式和图表来表示和解决问题，能够理解数学中的逻辑关系和规律。

这种能力的发展不仅帮助他们在数学课堂上取得进步，也在日常生活中培养了他们解决问题的能力。

然而，认知发展不仅仅是学习数学知识的关键，心理支持也同样重要。

在这个年龄段，孩子们对于学习的态度和自信心起着至关重要的作用。

他们可能会面临挑战和失败，比如解决一个复杂的数学问题或者理解一个抽象的数学概念时遇到困难。

这时候，家长和教师的支持尤为重要，他们可以通过鼓励和正面的反馈来帮助孩子克服困难，保持学习的动力和积极性。

心理支持不仅仅是解决问题时的技术支持，还包括情感上的支持。

孩子们需要知道，在学习过程中犯错是正常的，失败并不意味着他们不行，而是学习成长的一部分。

教育者可以通过与孩子们建立良好的互动关系，倾听他们的想法和困惑，给予他们安全感和信任感，从而激发他们学习数学的兴趣和热情。

总结而言，小学五年级的数学学习不仅是知识的积累，更是认知能力和心理发展的重要阶段。

通过拥抱挑战、理解失败的正常性，并获得恰当的支持和鼓励，孩子们可以在数学学习中获得成长和进步。

他们正在逐步成为独立思考和解决问题的能力强大的数学家，为未来的学习奠定坚实的基础。

浅谈初中数学教学中概念的形成发表时间：2014-04-22T13:39:21.547Z 来源：《教育学》2014年2月（总第63期）供稿作者：周小林[导读] 只有让学生了解了数学概念的形成，学生才能完整地掌握这个概念的内在本质和外在联系。

周小林湖南省涟源市石马山镇青烟中学417100数学概念 (mathematical concepts)，是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。

要使学生准确完整地掌握一个数学概念，我认为对数学概念的形成是很重要的，所以教师在教学过程中必须抓住数学概念的形成进行教学。

只有让学生了解了数学概念的形成，学生才能完整地掌握这个概念的内在本质和外在联系，才能准确地掌握这个概念的本质属性。

这样不仅能培养学生的概括能力和逻辑思维能力，还能培养学生从具体到抽象的思维方法。

通过本人长期从事初中数学教学的体会，我认为初中数学概念教学的形成必须从如下几方面入手：一、教师在教学中必须重视数学概念的形成过程数学概念的形成过程是学生准确理解掌握数学概念的重要基础，初中数学教材也做了精心安排，一般是由特殊到普遍、由现象到本质的过程。

教师在教学前必须钻研教材，精心领会，设计好教学过程，使学生在不知不觉中自然而然地形成数学概念，并能准确理解这一概念。

例如我在初中数学教学中讲授代数式这一概念时，根据教材设计了展示这一概念形成的过程：让学生完成下列填空。

①一个正方形的边长为a，则这个正方形的周长是______；面积是______。

②一个长方形的长为a、宽为b，则长方形的周长是______；长方形的面积是______。

学生完成上述填空后我把a、4a、a2、a+b、ab这样的式子叫代数式，然后引导学生分析这些式子的特点。

根据学生归纳这些式子的特点，教师指出这样的式子叫做代数式，然后由学生通读教材中代数式的概念。

这样通过师生互动既充分调动了学生的学习积极性和主动性，又深入浅出地展示了代数式这一概念的整个形成过程，使学生准确完整地掌握了代数式这一概念。

数学学习的心理基础与过程重视学生学数学的基本过程的研究，对改进教学方法、加强学法指导，提高教学质量具有十分重要的意义。

这样对小学生的成绩提高非常有帮助。

在校学生的学习，是在教师指导下进行的，课堂学习一般由四个环节组成：首先要听老师的课，这就是听课的一环;为了消化和掌握课堂上所传授的知识，需要做练习，这就是作业的一环，为了进一步把所学的知识巩固起来，并了解其内在联系，需要记忆和归纳整理，这就是复习的一环;为了使下一节课学得更主动，事先需要阅读新课，这就是预习的一环。

这四个环节的每一部分都有它的独立意义和独立作用，而各部分之间又相互衔接，相互影响，相互制约。

这四个环节组成一个小循环，也就是一个学习周期。

学习的周期就是学习的车轮运转一周的轨迹，善于学习的人应该从车轮运转一周的撤印中找到它的起止点和中间环节，把四个环节组成定型的学习周期，组成一个学习系统，使每个环节都能充分发挥它们的作用，这样就能取得好的学习效果。

学生自学单一制新知时，通常必须经历以下五个基本步骤。

第一步，对所学知识事物或数的变化发展过程进行初步认知。

如考察事、物的存在、演变的条件与过程;参与对所学知识的演示、操作与实物及再现事物的存在、变化和发展过程，进而获得对所学知识的初步感受。

按触和初步重新认识新知--创建感性认识开展联想 ---形成新知表象探究新旧科学知识的内在联系---第二次认知抽象概括新知本质特征---向理性知识转化记忆新知--- 巩固应用新知 ---将知识转化为能力注重学生学数学的基本过程的研究，对改良教学方法、强化学法指导，提升教学质量具备十分关键的意义。

根据心理学的理论和数学的特点，分析数学学习应遵遁以下原则：动力性原则，循序渐进原则。

独立思考原则，及时反馈原则，理论联系实际的原则，并由此提出了以下的数学学习方法：1.求教与自学结合在学习过程中，既要争取教师的指导和帮助，但是又不能处处依靠教师，必须自己主动地去学习、去探索、去获取，应该在自己认真学习和研究的基础上去寻求教师和同学的帮助。

数学概念课的五个步骤数学概念是数学课程中非常重要的一部分，它涉及到了数学知识的抽象理解和应用。

当学生掌握了数学概念，他们就能更好地理解和应用数学知识，从而提高数学水平和解决实际问题的能力。

在数学概念课上，教师需要通过一定的教学步骤帮助学生掌握数学概念。

下面就是数学概念课的五个步骤。

第一步：概念引入和认知启发在数学概念课上，教师首先要引入要教授的数学概念，并通过一些具体的例子或问题来引发学生的兴趣和好奇心。

例如，如果是要教授关于平行线的概念，教师可以通过让学生观察日常生活中的平行线的例子，并提出相关问题，引导学生思考。

通过这样的引导，学生会在实际问题中认识到平行线的特点和性质，从而更容易理解和接受这个概念。

同时，教师还要通过一些生动有趣的故事或实验，激发学生的好奇心和求知欲，让他们在轻松愉快的氛围中接受新的数学概念。

第二步：概念讲解和示范在引入了数学概念之后，教师要对这个概念进行详细的讲解和示范。

首先，教师要通过清晰简明的语言解释这个概念的定义和基本性质，让学生明白这个概念所代表的含义和特点。

其次，教师可以通过图形、实例或模型等形式对这个概念进行直观的示范，以便让学生更直观地理解和感受这个概念。

例如，在讲解平行线的概念时，教师可以通过画图的方式展示平行线的特点和性质，让学生直观地感受到平行线的特殊性。

通过这样的讲解和示范，学生可以更好地理解和掌握这个数学概念，从而为后续的学习和应用奠定基础。

第三步：概念引申和延伸在学生初步掌握了数学概念之后，教师要通过一些延伸和拓展的问题，引导学生进一步思考和应用这个概念。

例如，在讲解关于平行线的概念之后，教师可以提出一些涉及平行线的实际问题，让学生尝试应用所学的知识来解决这些问题。

通过这样的引申和延伸，学生可以进一步巩固和运用所学的数学概念，提高他们的学习兴趣和学习能力。

第四步：概念应用和实践在学生初步掌握了数学概念之后，教师要引导学生运用这个概念来解决实际问题或进行数学推理。

学生课堂2019 年 10 月3数学概念教学工作属于基础性工作，其教学效果对理论知识传授、学习能力锻炼、教材结构整合有关键性影响。

足以见之，客观掌握数学概念教学策略，并动态分析初中生学习数学概念的心理是极为必要的。

基于此，本文针对该论题展开深入分析，以期为数学教师在概念教学方面提供借鉴，继而提高初中数学教学水平，取得数学教与学的良好效果。

论题分析期间，笔者尝试分析初中生数学概念学习的心理特征，并就如何引导学生发现概念、建立概念，从而使学生真正理解概念的内涵与实质，提升学生的数学思维能力问题进行探究，并把自己的教学心得体会在这里与各位同行共同进行商榷与探讨[1]。

一、初中生数学概念学习的心理特征分析1.怕抽象惧严谨——望而生畏数学概念的得出往往是从具体的实际问题中抽象出来的，因而数学概念特点总结为抽象性、总结性、严谨性，若数学教师在主观意识的指导下传授理论知识，那么学生会对枯燥的数学知识持反感态度，并极易产生望而却步的学习感受。

究其原因，数学概念在理解和记忆方面存在一定难度。

如：函数概念的教学一直是初中教学中的难点，因其抽象性而令学生“望而却步”。

又如《圆锥的侧面积和全面积》是初中数学关于空间立体几何的一章内容，本章内容看似貌不惊人却包含了图形从平面向立体转化的重要思想，同时，由于学生对立体图形知之甚少且缺乏足够的空间想象力，故对于圆锥的侧面积、母线、圆锥的高等概念呈现出茫然不知所云的现象。

2.喜做题厌概念——视而不见一般来说，数学教材遵循模型构建、概念提出、概念运用这一原则，足以见之，数学概念与数学习题、生活实践有直接联系，若脱离概念教学，那么数学学科的教学意义将大大降低。

实际教学中，大部分学生能够按已有要求解答数学习题，一旦涉及数学概念温故及变换式运用，极个别学生能够如实回答。

长此以往，初中生数学分析能力和答疑能力会逐渐弱化，并且数学知识扎实巩固效果达不到预期要求，导致数学教与学工作阻力重重。

数学概念教学的三步骤：了解、理解、见解在数学中，作为思维形式的判断与推理，一般以定理、法则、公式的方式表现出来，而数学概念则是构成它们的基础. 正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提.数学教学的宗旨是使受教育者数学地认识事物，即数学地理解、数学地思考、数学地表达，这是一个螺旋上升的有机结构体系.数学概念教学的三步骤，是指教师引导学生对数学概念的认识要历经了解、理解、见解螺旋上升、逐步深入的过程，具体地说，就是数学概念教学首先要追溯概念的起源，了解数学概念的产生与发展，在此基础上加强概念的理解与欣赏，最后提出自己的见解，对数学概念进行反思、批判或是再创造.一、了解――数学概念的产生与发展（一）数学概念的产生数学概念的生成应当是自然的，数学概念教学一要遵循学生的认知规律和认知水平，二要尊重数学概念产生的社会历史背景.案例 1：复数概念的产生（1）要注意从两方面回顾数集的发展一方面，从社会生活看，人们为了满足生活和生产实践的需要，数的概念在不断地发展变化着：为了计数的需要产生了自然数，为了测量的需要产生了分数，为了刻画相反意义的量产生了负数，为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数等；另一方面，从数学内部来看，数集是在按照某种“规则”不断扩充的. 在自然数集，加法和乘法总可以实施 . 但是，小数不能减大数，为此引入负数，数集扩充到整数集 . 在整数集中，加法、减法、乘法总可以实施，对于除法只能解决整除问题，如方程3x-2=0就无解，为此，引入了分数，数集扩充到有理数集 . 在有理数集中，加法、减法、乘法、除法（除数不为0）总可以实施 . 但是开方的结果可能不是有理数，如方程x2-2=0 就无解 . 为此引入了无理数，数集扩充到实数集 .（2）要深刻全面理解数系的含义一个数系指的是一个数集连同相应的运算及结构，并不仅仅是数集 . 从自然数集、整数集、有理数集到实数集，每一次数的概念的发展，新的数集都是在原来数集的基础上“添加”了一种新数得来的 . 而且在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用，同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾 . 可见，数系的每一次扩充既要考虑数集的扩充，又要考虑相应的运算及结构 .（3）复数概念的引入水到渠成在实数集中，虽然加法、减法、乘法、除法（除数不为 0）总可以实施，也解决了正数开方的问题，但是我们又面临负数不能开平方的问题，这表明，数的概念需要进一步发展，实数集需要进一步扩充！那么实数集应怎样扩充呢？为了使负数能够开平方，由于任何一个负数 -a=a （ -1 ）（a>0），所以，只要引入一个“新数”，使它的平方等于-1 ，因此，设“新数”为i ，这样实数集就扩充到了复数集，而且按数系扩充的要求，实数可以与“新数”i 进行四则运算，原有的运算性质保持不变.实数可以与“新数”i 进行加、减、乘、除四则运算，会产生哪些类型的“新数”呢？让学生自己“创造”出诸如2i ，3i ，-i ， 3i+2 ，2-3i等等形式的复数，这些形式的“新数”能用一种统一的形式表示吗？让学生自己得到“符号”a+bi ，（其中a，b 为实数）；形如 a+bi ，（其中 a，b 为实数）的数叫作复数，全体复数所构成的集合叫作复数集 . 这样复数概念的引入水到渠成 .（二）数学概念的发展每一个数学概念都有一定的发展过程，不同学段的学生对同一概念的理解也应当是不同的，这是学生的认知水平和认知规律所决定的 . 如对于长方形与正方形的认识，在小学就认为正方形不是长方形，而到了初中就认为正方形是特殊的长方形.案例 2：函数的单调性概念的发展（以单调增函数为例）（1）图象说若函数 y=f （x）的图象在某一段从左向右看是上升的，我们就说函数y=f （x）在这一段图象所对应的x 的范围内是单调增函数 .（2）变量说若函数 y=f （x）的自变量 x 在其定义域的某一个子区间内增大时，因变量也随着增大，则称该函数在该区间上是单调增函数.（3）符号说若函数 y=f（x）的定义域为 A，区间 I?A ，若对于任意的x1，x2∈I ，当 x10，则称该函数在区间I 上是单调增函数 .单调增函数概念的“图象说”形象直观，是一种描述性语言，符合当时学生的学习心理和认知水平；“变量说”体现了因果变化关系，是学生易于理解的文字语言，“图象说”→“变量说”，从图形的描述到数量的变化，概念的理解深入了一层；但是，“y随着 x 的增大而增大”，怎么用更确切严谨的数学语言来表达呢？“y 随着 x 的增大而增大”意思是说“只要x 较大，其对应的 y 也就较大”，也就是“对任意的x1，x2∈I ，当 x10，即>0，而就是函数y=f （x）的导数，这表明，导数大于0 与函数单调递增密切相关.二、理解――数学概念的理解与欣赏（一）洞察概念之本：顾名思义数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式.这种反映形式用怎样的语言词汇来表达，是极其考究的，甚至要经过几代数学人的不懈努力与完善.简易逻辑中“充分条件与必要条件”这一概念学生感到比较抽象，尤其是必要条件的理解有些困难. 笔者在教学时设计了这样一个 flash故事情境：一位数学家从一间办公室前走过，听到室内有两人在大声吵闹.大款p对小秘q说：“有我p在，就有你q 吃香的喝辣的！”小秘 q 很不服气，气急败坏地说：“你的底细我可全清楚，我完蛋了，你也完蛋了！”两个人都气急败坏，互不相让，这时数学家走上前，不紧不慢地说：“你们所说的正是数学逻辑学中的充分条件与必要条件问题，大款是小秘的充分条件，而小秘是大款的必要条件.”这个小故事就很好地揭示了“充分条件与必要条件”的概念之本质，若 p?q，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件 . 这是因为只要 p 成立， q 就成立， p 对 q来说就足够了，就充分了，所以， p 是 q 的充分条件；但是若 q 不成立， p 就不成立， q 对 p 来说是必要的，所以， q 是 p 的必要条件 .（当然，对这种社会现象教师要对学生进行正确的价值观引导）（二）理解符号之意：追根溯源、类比联想、调整语序、直观形象符号语言是数学中通用的、特有的简练语言，是在人类数学思维长期发展过程中形成的一种语言表达形式 . 其特点是抽象化和形式化，这也正是数学的魅力所在，但是符号语言毕竟很抽象空泛，那么数学概念中的符号语言该如何理解呢？首先，追根溯源，搞清符号语言是如何产生的. 数学符号语言又分为三种：象形符号语言、缩写符号语言以及约定符号语言.如几何学中的符号△、?、∥、⊥、∠等都是原形的压缩改造，属于象形符号 . 缩写符号是由数学概念的西文词汇缩写或加以改造而成的符号，比如自然数 N ，实数 R，虚数单位 i ，函数 f ，概率P（A），排列数 A，组合数 C，极限 lim 、正弦 sin 、最大max、最小 min、存在 ?、任意 ?等符号均为此类 . 约定符号是数学共同体约定的，具有数学思维合理性、流畅性的数学符号，如运算符号 +、×、∩，≌，∽， >，再如上述案例 2 函数的单调性概念的发展（以单调增函数为例）的“导数说”，事实上，拉格朗日中值定理告诉我们：如果函数 f （x）满足：（ 1）在闭区间 [a ， b] 上连续；（ 2）在开区间（ a， b）内可导；那么在开区间（ a， b）内至少有一点ε（a0 成立 . 由条件知，对于任意的 x∈（ a， b），恒有 f' （ x）>0，所以，至少有一点ε（a0，从而 a-b 与 f（a）-f （ b）同号，如果就取 x1=a，x2=b（ x1，x2∈I ，且 x10，如 f （x）=x3 在区间 [-1 ，1] 上单调递增，但是 f ' （0）≥0. 因此，函数的单调性概念的“导数说”，并不是数学意义上的概念，因为严格的数学概念中条件和结论应当是充要条件关系. 所以，苏教版高中数学教材选修2-2 （ 2012 年 6月第 3版）第 28 页的阐述是这样的：“⋯⋯这表明，导数大于0 与函数单调递增密切相关”，教材的这种说法还是留有余地的，它并没有说明二者具体是怎样的密切相关法. 事实上，如果函数 f （x）满足：（ 1）在闭区间上 [a ，b] 连续；（ 2）在开区间（ a，b）内可导，则 f（x）在（a，b）上严格单调递增等价于f '（x）≥0在（a，b）上恒成立且不存在（a，b）的任何子区间 I ，当 x∈I时， f '（x）≡ 0.这些就是对函数的单调性概念的“导数说”反思后得到的较为深刻的认识.（二）概念的批判矩阵是高等代数下放到高中选修系列的一个概念，由于矩阵题目操作程序性强、易上手、得分高等原因而被绝大部分市级区域学校和师生所“青睐”，这本无可厚非，但现实教学中，教师不揭示知识的发生发展过程，学生只是被动地狂练；教师不揭示其中的数学文化与数学思想方法；学生只是“不知所以然”被灌输，因此，学生对矩阵的知识极易遗忘，高三复习时只是到高考之前解题程式才被强行唤醒，显然，上述“青睐”应试味道太浓，完全违背了这门课程的设置初衷及《普通高中数学课程标准》的基本精神，根本谈不上对矩阵问题的研究，值得引起我们的重视 .逆矩阵是《矩阵与变换》专题中一个重要的概念，如果对于一个变换矩阵A，存在一个变换矩阵B，使得连续进行两次变换（先 TA后 TB）的结果与恒等变换相同，即BA=E，则称矩阵 A 是可逆的， B 成为 A 的逆矩阵 . 苏教版高中数学教材选修4-2（2008年 5 月第 2 版）对于逆矩阵是这样定义的：对于二阶矩阵A，B，若有 AB=BA=E，则称矩阵 A 是可逆的， B 成为 A 的逆矩阵 [2].笔者认为根据逆变换的意义，只要有BA=E，就可以说矩阵 A 是可逆的， B 称为 A 的可逆矩阵，没有必要把条件强化为AB=BA=E.事实上，如果对于一个变换矩阵A，存在一个变换矩阵B，使得连续进行两次变换（先TA后 TB）的结果与恒等变换相同，即经历“走过去（ A）”又“走回来（ B）”的两次变换，最终还是回到原地 A，那么，对于变换 B 的起点，当然可以先“走过去 B”再“走回来A”最终又是回到原地B，则AB=E，所以，B 是可逆的，A 成为 B 的逆矩阵 . 基于此，对教材中逆矩阵概念的建议是：其一，弱化条件 . 对于二阶矩阵 A，B，若有 BA=E，则称矩阵 A 是可逆的， B 成为 A 的逆矩阵 . 其二，把“ AB=BA=E”调整为“BA=AB=E”，两个概念一起给出 . 对于二阶矩阵 A，B，若有BA=AB=E，则称矩阵 A 是可逆的， B 称为 A 的逆矩阵，同时矩阵B 也是可逆的， A 称为 B 的逆矩阵 .（三）概念的再创造这里所说的“概念的再创造”不是指数学概念的再创造教学法，而是在对于某数学概念有较深入的研究后，提出新的定义方法 . 如在解析几何中，斜率是核心概念，在充分理解与把握这一概念本质的基础上，可以利用这个概念，在坐标法思想指导下通过运算对圆、椭圆及双曲线概念进行再创造 . 如：在平面坐标系中，若动点与两定点 A（ -a ，0）和 B（a， 0）连线的斜率之积是一个常数 k（k≠0， a>0）. 当 k=-1 时，动点的轨迹是圆（除去 A，B 两点）；当 k=- （b≠a， b>0）时，动点的轨迹是椭圆（除去 A，B 两点）；当 k=（b≠a， b>0）时，动点的轨迹是双曲线（除去 A，B 两点） [3].综上所述，对于数学概念教学，如果我们能够注意引导学生追溯概念的起源，了解数学概念的产生与发展，在此基础上加强概念的理解与欣赏，最后提出自己的见解，对数学概念进行反思、批判或是再创造（当然并不是每一个数学概念的教学都要经历“三步骤”的完整过程，一般指核心概念），那么，行之有效、科学合理的数学概念的教学策略方法自然就会产生，在对数学概念的了解―理解―见解三步骤过程中，学生的数学素养、理性精神以及科学态度会在不知不觉中得到提高和培养.。

初中数学函数概念形成的心理分析众所周知，数学概念是揭示现实世界空间形式与数量关系本质属性的思维形式，是判断与推理的基础. 正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑思维能力的前提，是学生学好数学的关键．初中数学中的函数概念是一个核心概念，是常量数学到变量数学转折的关键，是变量数学的起点. 同时函数概念是初中数学中最难形成的概念之一，因此如何帮助学生理解掌握函数概念一直是初中数学教师探索的问题. 人教版初中数学教材利用概念形成方式引入函数概念，所谓概念形成［1］：是指人们对同类事物中若干不同例子进行感知、分析、比较和抽象，以归纳方式概括出这类事物的本质属性从而获得概念的方式．在形成过程中，学生要获得变量及变量之间对应的本质属性，要舍弃背景及变量的一些非本质属性，从而形成函数概念. 下面从心理学角度对函数概念的形成进行分析．一、初中生概念形成水平分析心理学研究表明［2］：初一学生大多是从功用性定义或具体形象描述水平向接近本质定义或具体解释水平转化，掌握抽象概念有一定困难,在一定程度上要依靠主观的、具体的内容，特别是比较复杂的抽象概念，还抓不住其本质属性，分不清主次的特征．初二是掌握概念的一个转折点，初三学生基本能够掌握他们理解的概念的本质属性，能逐步地分出主次的特征，但对高度抽象概括且缺乏经验支柱的概念还理解不深．二、函数概念形成的难度分析海德布雷的研究表明［3］：实物概念最容易形成，空间图形概念次之，数概念最难．函数概念是初中数学数概念中最难形成的概念．布鲁纳等人的研究表明［1］：概念的难度受到关键特征之间的关系的影响，难度由易到难是：肯定概念、合取概念、包含分取概念、条件式概念、双重条件概念．显然函数概念是属双重条件概念，因此说明函数概念是最难形成概念之一. 因为教材编写上，函数概念是学生在初二上学期学习，而在初二学生的概念学习处于转折点，形成科学概念的能力还没有形成，因此给函数概念的形成增添了一定的难度，此外，还有如下几点.第一，研究对象和思维方式的变化为学习增加了一定的难度．从研究对象上看，初中生在函数概念形成之前，研究的是常量数学，数、式的运算和方程．函数概念是从常量数学到变量数学的转折点，学生的数学认知结构，基本上对变量数学是一片空白，因而同化函数概念的固着点很缺乏，学生要顺应新知识的学习，重建数学认知结构，给学生学习带来一定的困难．另外变量数学的思维方式发生了变化［4］：思维从静止走向了运动、从离散走向了连续、从运算转向了关系，实现了数与形的有机结合，在符号语言与图、表语言之间可以灵活转换．在函数的研究中，思维超越了形式逻辑的界限，进入了辩证逻辑思维．与常量数学相比，函数概念的抽象性更强、形式化程度更高．因此要求学生的思维能力有一个质的飞跃，也为函数概念的学习带来一定困难．第二，概念维度多，给概念形成带来一定的难度．按照心理学家的特征表述和知识分类说，函数概念可表述为：C（函数）=条件式（x1，x2），x1，x2表示变量1和变量2，因为变量之间的对应关系有运算意义，因此函数概念属于运算概念中的程序性概念．在概念形成过程中，学生不但要区分问题中有两个变量，而且要检查两个变量之间的对应关系，而这个对应关系有的是需要计算才能获得，因此增加了概念形成的维度．第三，函数的表现形式的多样化也对函数概念的形成增加了一定的难度．函数可以用图象法、列表法、解析法等方法表示，从每一种表示中都可以独立地抽象出函数概念来，与数学中使用单一表示的概念相比，由于函数概念需要同时考虑几种表示，并要协调各种表示之间的关系，经常需要在各种表示之间进行转换，因此大大增加了学习上的难度．三、函数概念形成的心理分析函数概念的形成过程，其本质是学生建构数学认知结构的过程．函数概念和学生原有的认知结构无直接联系，因此利用概念形成方式获得函数概念．人教版在函数概念形成中，举了五个正例，能够使学生充分感知函数概念，这五个正例分别是［5］：1．汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t 小时，先填下表，然后再用含t的式子表示s．2．每张电影票的售价为10元，如果早场售出150张票，午场售出205张票，晚场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出x张票，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y？3．在一根引簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录引簧长度的变化，探索它们的变化规律，如果弹簧原长10 cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5 cm，设重物质量为m（kg），受力后的弹簧长度为l（cm），怎样用含m的式子表示l？4．要画一个面积为10 cm2的圆．圆的半径应取多少？圆的面积为20 cm2呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r？5．如图1，用10米长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化．记录不同长方形的长度值，计算相应长方形的面积值，探索它们的变化规律．设长方形的长为x（m），面积为S（m2），怎样用含x 的式子表示S？第一个例子是学生所熟知的速度、路程、时间关系的例子，这个例子与学生的生活联系非常密切，学生理解起来容易接受，而且从分析中容易发现问题的本质属性．首先这个例子用表格形式对时间t取不同值时，计算出对应的s的值. 首先可以使学生和已有的数学认知结构联系起来．其次有利于学生发现变量的本质，对变量之间的对应关系会有深刻的认识．最后要求把s用含t的代数式表示，明确变量之间的对应关系可用代数式表达出来．本例作为首例，在概念的形成过程中作用非常大，这个例子分析透彻，有利于学生从后面几个例子中观察、分析、比较、概括出问题的本质属性，舍弃非本质属性，从而有利于函数概念的形成．第二个例子也是和学生生活联系非常密切的例子. 例子没有直接要求学生写出y关于x的表达式，而是通过早、中、晚收入问题反映变量之间的对应关系，然后再用代数式表达. 由此使学生分析出此问题虽然与第一个问题不是同类型问题，但其本质是相同的. 学生初步形成这类问题的问题域，为后续建构数学认知结构做好了准备．。

小学数学概念形成的教学过程与方法一、课前导入（一）有效应用教具、课件。

比如我在教授"倍的认识"时，设计一幅色彩艳丽（但实际不会伤害到学生的），学生感兴趣并乐意去摆的七只小动物赛跑的场景，小熊是倍数跑，小兔是小数点后一位数跑，小狗是整数跑。

小动物们边跑边喊，学生们的兴趣一下子被吸引过来，注意力也集中起来。

（二）复习导入。

在导入新课时，可以从复习旧知识的基础上自然引出新知识，使学生产生强烈的求知欲。

例如：在教学“面积单位”时，可以这样设计：先出示两个等宽不等长的长方形，让学生比较两个长方形的面积谁大？学生答后，教师演示两个长方形面积相等。

接着出示两个不等宽但等长的长方形，再让学生比较面积的大小。

这时教师演示不相等的长方形中画上宽度相等的一条线段，把两个长方形转化成两个正方形，并分别求出面积。

再让学生比较两个正方形的面积谁大？从而引出面积单位。

二、课中探究（一）注重概念的形成过程。

数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映。

对数学概念的掌握，不能采用“填鸭式”的方法强加硬塞，而必须通过引入、形成、巩固、深化的过程，逐步培养学生自觉形成和发展数学概念的能力。

如教学“乘法结合律”时，教师先出示题目：3×（5+2），7×（2+1），再让学生观察两道题有什么相同和不同的地方？怎样算简便？这样学生通过观察、思考、讨论、交流，自己得出乘法结合律的概念。

（二）注重概念之间的内在联系。

数学中许多概念之间存在着内在的联系，如整数与偶数、奇数与偶数等，对这些概念要引导学生进行比较分析，找出它们的相同点和不同点，使学生全面理解与掌握概念。

如除法、分数的基本性质与商不变规律既有相同点又有不同点，只有通过比较分析才能使学生真正理解和掌握。

三、课后巩固练习是课堂教学的重要环节，是巩固新知识的重要手段。

在新课结束后，教师应设计有层次的练习，有目的地发展学生思维。

首先可以进行专项性的训练，帮助学生掌握概念的内涵和外延。

数学概念教学要注重概念的形成过程摘要］数学概念是数学的核心之一,数学概念的教学是数学教学的重要内容。

本文针对当前概念教学存在的现象，提出数学概念教学必须注重概念的形成过程．具体以对数概念教学为例，阐述为什么要注重概念的形成过程，实际教学中如何操作，总结了对概念教学的几点思考，最终达到高效教学的目的．［关键词］数学概念、教学概念的形成过程、对数概念、学生参与、思考1．问题的提出数学概念是导出数学公理、定理、法则的逻辑基础，是进行数学推理、判断、证明的重要依据，是建立数学理论系统的中心环节。

笔者认为，概念是数学的灵魂，在数学教学中要重视对概念的教学，要让学生经历概念的形成过程，要舍得时间放手让学生尝试概念的概括过程，让学生在对概念符号化体现的过程中，准确把握概念的细节，加深对概念内涵的理解．概念形成后，教师要精选例题，提升学生对概念本质的巩固．本文以对数概念的教学片段为例，谈谈笔者对注重概念形成过程的教学的一些做法和思考．2．对教学内容的基本认识《对数》是“人教A版”数学1的第2.2.1节的内容，本节课是第一课时，主讲对数的概念、指数对数的互化和对数的性质等．对数概念是学习对数函数的基础，指数式与对数式的互化是学习对数运算的性质和对数换底公式的关键，也是解决指数、对数问题的常用方法．从运算的角度看，在等式中，当已知求时，是指数运算；当已知求时，是对数运算；当已知求时，是幂的运算．从函数角度看，当我们从中选择自变量和函数时，可以分解得到指数函数、对数函数、幂函数．3．教学过程概述3.1创设具体问题情境，感知引入对数的必要性学生的活动过程和概念的建构过程，都需要一个合适的载体，即问题．创设一个具体的问题情境，给学生提供具体可感知、可挑战的数学活动素材，激活学生的探究愿望，促进学生主动地思考，让学生通过自己的思维活动获取知识，感受知识引入的必要性．3.2追溯数学发展的历程，体验数学再发现再创造的过程思维在此处凝结，但知识还要传承，更需要发展．追溯数学发展的历史，看看前人遇到这样的困境是如何思考的，如何解决的，能不能得到一些启示，把他们方法进行借鉴、创新，内化为自己的再发现、再创造．3.3抓住问题表征，形成对数概念建构1对数的符号我们把使等式成立的，用一个新的符号表示，即，也就是底数为，幂为相对应的指数，称这个新形式的数为对数．是（对数）的简化，读作：以为底的对数．师：新符号表示什么意思？它的含义是什么？生：表示一个使成立的数，即的多少次幂为．师：是指数式的另一种等价表示，你能说出等于多少吗？（根据代数关系和图形关系解读）师：上述的指数方程已经会解了，其他的方程呢？如？？以及对任意的指数式，你能用新符号表示指数吗？意图：建构1给出了对数符号，并从指数式与对数式的互逆关系出发，体会指数式与对数式的内在联系，通过追问使学生掌握了对数符号的意义，但还停留在具体问题情境中，需要一般化。

2024年浅谈初中数学教学中概念的形成1. 概念引入的背景初中数学是为学生打下坚实数学基础的关键阶段，而概念教学则是初中数学教学中的重要组成部分。

概念是数学学科知识的基石，它反映了数学对象的本质属性和特征。

在初中数学教学中，正确、清晰、深入地引入概念，不仅能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识，还能够培养学生的数学思维和解决问题的能力。

随着教育改革的深入，初中数学教学的要求也在不断提高。

传统的概念教学方式，如单纯的记忆和机械的训练，已经无法满足现代教育的需求。

因此，教师在引入概念时，需要充分考虑学生的认知特点和数学学习的规律，采用更加生动、有趣、有效的教学方式，以激发学生的学习兴趣和积极性。

2. 概念教学的意义概念教学的意义在于，它不仅是数学知识传授的基础，更是培养学生数学思维和解决问题能力的重要途径。

通过概念教学，学生可以理解数学对象的本质属性和特征，掌握数学知识的基本概念和原理，进而形成正确的数学观念和方法。

同时，概念教学还能够培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力、分析问题和解决问题的能力等。

通过概念的引入、形成、巩固和应用，学生可以逐渐形成系统的数学知识结构，提高数学学习的效率和质量。

3. 概念形成的途径概念形成的途径主要包括以下几个方面：通过实际生活中的例子引入概念。

教师可以结合学生的生活实际，选取与概念相关的实例，让学生通过对实例的观察和分析，形成对概念的初步认识。

通过数学史和数学文化引入概念。

教师可以介绍相关的数学史和数学文化，让学生了解概念的历史背景和文化内涵，增强对概念的理解和记忆。

通过逻辑推理和数学证明引入概念。

教师可以引导学生通过逻辑推理和数学证明，探究概念的内涵和外延，深入理解概念的本质属性和特征。

4. 概念教学的策略在进行概念教学时，教师需要采取一些有效的策略，以提高概念教学的效果。

具体来说，包括以下几个方面：重视直观教学。

教师可以通过图表、实物、动画等直观教学手段，帮助学生形成对概念的直观印象，加深对概念的理解。