差分方程(1)-基础知识

差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。

差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。

差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。

二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。

一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。

2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。

二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。

3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。

线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。

4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。

滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。

5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。

差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。

三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。

通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。

2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。

通过递推关系，可以求得差分方程的特解。

3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。

通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。

4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。

数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。

差分方程基本概念和方法考察定义在整数集上的函数，(),,2,1,0,1,2,n x f n n ==--函数()n x f n =在n 时刻的一阶差分定义为：1(1)()n n n x x x f n f n ∆+=-=+-函数()n x f n =在n 时刻的二阶差分定义为一阶差分的差分：21212n n n n n n x x x x x x ∆∆∆+++=-=-+同理可依次定义k 阶差分k n x ∆定义1．含有自变量n ,未知函数n x 以及n x 的差分2,,n n x x ∆∆的函数方程, 称为常差分方程，简称为差分方程。

出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。

k 阶差分方程的一般形式为(,,,,)0k n n n F n x x x ∆∆=其中(,,,,)k n n n F n x x x ∆∆为,,,k n n n n x x x ∆∆的已知函数，且至少k n x ∆要在式中出现。

定义2．含有自变量n 和两个或两个以上函数值1,,n n x x +的函数方程，称为（常）差分方程，出现在差分方程中的未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。

k 阶差分方程的一般形式为1(,,,,)0n n n k F n x x x ++=其中1(,,,,)n n n k F n x x x ++为1,,,n n n k n x x x ++的已知函数，且n x 和n k x +要在式中一定要出现。

定义3．如果将已知函数()n x n ϕ=代入上述差分方程，使其对0,1,2,n =成为恒等式，则称()n x n ϕ=为差分方程的解。

如果差分方程的解中含有k 个独立的任意常数，则称这样的解为差分方程的通解，而通解中给任意常数以确定值的解，称为差分方程的特解。

例如： 设二阶差分方程 21n n n F F F ++=+，可以验证12nnn F c c =+⎝⎭⎝⎭是其通解，其满足条件121F F ==的特解为：n n n F ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦。

差分方程基本概念和方法差分方程是一种描述离散系统行为的数学模型，与微分方程类似。

差分方程的解描述了系统的演化过程，这使得差分方程在多个领域中有广泛的应用，如物理、生物、经济学等。

差分方程的基本概念：1.序列：差分方程的解是一个序列，即有序数字集合。

通常用{x_n}表示，其中n是自然数。

2.差分算子：在差分方程中，通常使用差分算子△来表示序列的递推关系。

差分算子△的作用是将序列中的元素转化为下一个元素。

3.初始条件：差分方程还需要初始条件。

初始条件是差分方程的一个边界条件，用来确定序列的起点。

差分方程的一般形式为：x_{n+1}=f(x_n)其中，x_{n+1}是序列中的下一个元素，f是一个给定的函数。

差分方程的解法可以分为两种方法：定解条件法和递推法。

1.定解条件法：此方法适用于已知一些递推关系的问题。

定解条件法的基本思想是找到满足差分方程的序列，并给出初始条件来解决方程。

步骤如下：a.先猜测一个可能的递推关系，并将其代入差分方程中。

b.解得的递推关系与给定的初始条件进行比较，如果相符，则该递推关系为差分方程的解。

c.如果猜测的递推关系与初始条件不符，可以再次猜测一个新的递推关系，继续以上步骤，直到找到满足条件的递推关系。

2.递推法：此方法适用于无法直接找到递推关系的情况。

递推法的基本思想是通过已知的序列元素来逐步计算下一个元素，以构造出满足差分方程的序列。

步骤如下：a.给出初始条件，即序列的前几项。

b.根据初始条件计算出序列的下一项，再利用这一项计算出下下一项，以此类推。

c.最终得到满足差分方程的序列。

需要注意的是，差分方程的解不一定存在，且可能存在多个解。

此外，解的形式可能是递推公式、闭式公式或者一个序列。

总之，差分方程是一种离散系统行为的数学模型，差分方程的解描述了系统的演化过程。

通过定解条件法和递推法，我们可以解决差分方程问题并得到满足条件的解。

高等数学中的差分方程相关知识点详解在高等数学中，差分方程是一个非常重要的数学工具，它被广泛应用于各种科学领域，如物理、化学、工程学等。

差分方程与微分方程不同，在处理离散数据时更加方便，因此在实际应用中得到了广泛的应用。

接下来，我们将详细介绍差分方程的相关知识点。

1.差分方程的定义差分方程是一种用递推关系式描述离散变量间数值关系的数学工具，通常表示为：$a_n=F(a_{n-1},a_{n-2},...,a_{n-k})$其中，$a_n$表示一个数列的第$n$项，$k$为正整数，$F$为给定的函数。

差分方程起始值$a_0,a_1,...,a_{k-1}$也是给定的。

2.差分方程的求解方法求解差分方程的过程与求解微分方程的过程类似，需要先求出差分方程的通解，然后根据初始条件得到特解。

（1）求通解对于一个$k$阶差分方程，我们可以猜测一个$k$次线性递推数列$\{b_n\}$，即$b_n=c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n+...+c_k\lambda_k^n$，其中$c_1,c_2,...,c_k$是任意常数，$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$是$k$个根。

将猜测的线性递推数列带入差分方程中得到：$c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n+...+c_k\lambda_k^n=F(c_1\la mbda_1^{n-1}+c_2\lambda_2^{n-1}+...+c_k\lambda_k^{n-1},c_1\lambda_1^{n-2}+c_2\lambda_2^{n-2}+...+c_k\lambda_k^{n-2},...,c_1\lambda_1^{n-k}+c_2\lambda_2^{n-k}+...+c_k\lambda_k^{n-k})$整理得到：$c_1(\lambda_1^n-F(\lambda_1^{n-1},\lambda_1^{n-2},...,\lambda_1^{n-k}))+c_2(\lambda_2^n-F(\lambda_2^{n-1},\lambda_2^{n-2},...,\lambda_2^{n-k}))+...+c_k(\lambda_k^n-F(\lambda_k^{n-1},\lambda_k^{n-2},...,\lambda_k^{n-k}))=0$由于$c_1,c_2,...,c_k$是任意常数，因此需要使方程的每个系数都等于$0$，也就是：$\lambda_1^n-F(\lambda_1^{n-1},\lambda_1^{n-2},...,\lambda_1^{n-k})=0$$\lambda_2^n-F(\lambda_2^{n-1},\lambda_2^{n-2},...,\lambda_2^{n-k})=0$...$\lambda_k^n-F(\lambda_k^{n-1},\lambda_k^{n-2},...,\lambda_k^{n-k})=0$将上述$k$个方程写成矩阵的形式，即可解得$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$。

差分方程pdf差分方程是数学中的一种重要概念，广泛应用于各个领域，如物理学、经济学、生物学等。

本文将从引言概述、正文内容和总结三个部分来详细阐述差分方程的相关知识。

引言概述：差分方程是一种离散形式的微分方程，它描述了变量之间的差异或变化率。

与微分方程相比，差分方程更适用于描述离散的变化过程。

差分方程通常以递推关系的形式表示，其中每个变量的值都依赖于前面的一个或多个变量的值。

差分方程的解可以通过递推关系逐步计算得到。

正文内容：1. 概念与分类1.1 差分方程的概念差分方程是一种数学方程，它描述了变量之间的离散关系。

差分方程通常用于描述离散的时间或空间中的变化过程，而微分方程则用于描述连续的变化过程。

1.2 差分方程的分类差分方程可以分为线性差分方程和非线性差分方程两类。

线性差分方程中的未知函数及其导数或高阶导数之间的关系是线性的，而非线性差分方程则不满足这一条件。

2. 解法与性质2.1 差分方程的解法差分方程的解可以通过递推关系逐步计算得到。

常见的解法包括特征根法、变量分离法、Z变换法等。

其中，特征根法适用于线性差分方程，而变量分离法和Z 变换法适用于一般的差分方程。

2.2 差分方程的稳定性差分方程的稳定性是指解的性质是否随着时间的推移而趋于稳定。

稳定性分为有界稳定和渐近稳定两种情况，其中有界稳定是指解的值在某个有界区间内波动，而渐近稳定是指解的值随着时间的推移趋于某个固定值。

2.3 差分方程的周期性差分方程的周期性是指解在某个时间间隔内重复出现相同的模式。

周期性可以通过解的性质和递推关系的周期性来判断。

3. 应用领域3.1 物理学中的应用差分方程在物理学中广泛应用于描述离散的物理过程，如粒子运动、电路分析等。

通过建立差分方程模型，可以对物理系统的变化进行预测和分析。

3.2 经济学中的应用差分方程在经济学中常用于描述经济系统的变化过程，如经济增长、通货膨胀等。

通过差分方程模型，可以对经济系统的发展趋势和影响因素进行研究。

第七节 差分方程对连续型变量而言，我们常常回导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致一类的问题.一、差分的定义定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们趁这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分.一般记)(1x n x n y y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ;(5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x xz z z y y z z z z y y z z y . 例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )= i n n i i n x C-=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m .例 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ).解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。

四、差分方程前面介绍的微分方程是连续型的方程问题，而差分方程是研究离散型的方程问题。

差分 对于函数)x (f ，当h >0时，我们把())x (f x f )x (f -h +=∆称为函数)x (f 在x 的步长为h 的一阶差分，仍记为)x (f ∆.)n (f )n (f )n (f -+=1∆ 特别地，取步长1=h ，自变量x 取非负整数n ，则.设函数)x (f 和)x (g ，由一阶差分的定义，显见有)n (g C )n (f C ))n (g C )n (f C (∆∆∆2121+=+()为任意常数21C ,C . 由于一阶差分)n (f ∆仍是n 的函数，我们定义二阶差分[])n (f )n (f ∆∆∆=2.同样地，我们可以定义阶差分[])n (f )n (f n n 1-=∆∆∆差分的性质 差分具有如下性质性质1 设a 为常数，则0=a ∆.性质2 设函数)x (f 和)x (g ,则 )n (g C )n (f C ))n (g C )n (f C (∆∆∆2121+=+, 其中为任意常数21C ,C .性质3 设函数)x (f 和)x (g ,则 [])n (g )n (f )n (f )n (g )n (g )n (f ∆∆∆⋅++⋅=⋅1)n (g )n (f )n (f )n (g ∆∆⋅+⋅+=1.差分方程 含有未知函数的差分的方程称为差分方程，差分方程中所含差分的最高阶数称为差分方程的阶.如果函数代入差分方程后，方程关于自变量是恒等式，则称该函数是此差分方程的解.若k 阶差分方程的解式中含有k 各独立的任意常数，则称之为该差分方程的通解；不含有任意常数的解称之为特解.记)n (y y n =，差分方程通常以含 ,y ,y n n 1+的方程出现. 例如21222n y y y n n n =+-++是二阶差分方程. 事实上n n n y y y ∆+=+1 ，()n n n n n n n y y y y y y y ∆∆∆∆+++=+=+++112n n n y y y 22∆∆++= ，代入上式，并简化得22n y y n n =+∆ .当差分方程以上述形式给出时，未知函数的下标的最大值与最小值之差即为差分方程的阶.一阶常系数线性差分方程 我们把形如)n (f ay y n n =-+1()15的差分方程称为一阶常系数线性差分方程，其中0≠a 为已知常数.特别地，当0≡)n (f 时，即01=-+n n ay y ()16称为一阶常系数齐次线性差分方程.当0≠)n (f 时，()15式也称为一阶常系数非齐次线性差分方程，此时，()16式称为()15式对应的常系数齐次线性差分方程.()16的通解是n n Ca y =.定理1 ∙n y 是()16的解，n y ~为()15的一个特解，那么n n n y ~y y +=∙是()15的解.1）当)b (b )n (f 为常数=时，()15的特解形式为n y ~= 11{，，≠=a ,A a ,An其中A 是待定常数.2) 当)n (P )n (f k =次多项式）（k 时，()15的特解为 n y ~,a ,n A n A A ,a ),n A n A A (n k k k k 111010{≠+++=+++= 其中)k ,,,i (A i 10=为待定常数.3）)B B ,b (bB )n (f n1≠=为常数且时，特解为,a B ,AB ,a B ,AnB n n n {y ~≠==其中A 是待定常数.二阶常系数线性差分方程 我们把形如)(12n f by ay y n n n =++++）（17 的差分方程称为二阶常系数线性差分方程，其中0,≠b a 均为已知常数.特别地，当0)(≡n f 时，即12=++++n n n by ay y ）（18 称为二阶常系数齐次线性差分方程. 当f n ≠0时，（17）式也称为二阶常系数非齐次线性差分方程，此时，（18）式称为（17）式对应的常系数齐次线性差分方程。