高等数学隐函数共26页

高等数学---隐函数

3. 参数方程求导法转化极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
4. 相关变化率问题列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
设为切线倾角, 则
抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量速度的方向
垂直分量
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
达到最高点的时刻
高度
落地时刻
抛射最远距离
例6. 设由方程
确定函数
求
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
故
三、相关变化率
为两可导函数
之间有联系
之间也有联系
可用对数求导法求导 :
注意: 按指数函数求导公式按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数
两边对 x 求导
又如,
两边取对数对 x 求导
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
时, 有
时, 有
(此时看成 x 是 y 的函数 )
若上述参数方程中则由它确定的函数
利用新的参数方程
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
,可得
注意 : 已知
?
例4. 设
,且
求
解: 练习: P109 题8(1) 解:
例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小:
速度的水平分量为
Байду номын сангаас垂直分量为
故抛射体速度大小

高等数学-隐函数及其导数

3
01 隐函数求导
2.隐函数的求导法则
(1)将(, ) = 0两端同时对求导，其等式左边在求导过
程中将变量看作的函数；
(2)求导后得到一个关于 ′ 的方程，解此方程得到 ′ 的表达
式，在该表达式中允许含有.
4
01 隐函数求导
例1
求由方程
+ − =

2
确定的隐函数对的导数．
9
02 对数求导法
例3 设 = （ > 0），求 ′ .
解法1 等式两边取对数，得 = ，
= ，
即
上式两边同时对求导，得
1

整理得
′
⋅ = + ∙
′
1

= + ∙
导数与微分
第4讲
隐函数及其导数
本节内容
01 隐函数求导
02 对数求导法
2
01 隐函数求导
1.隐函数的概念
定义2.3 如果在方程(, ) = 0中，当取某区间
内的任一值时，相应地在某个范围内总有满足这个
方程的值存在，那么就说方程(, ) = 0在 ∈ ，
∈ 的范围内确定了一个隐函数.
=
(
+
1

).

10
02 对数求导法
例3 设 = （ > 0），求 ′ .
解法2
′ = ( )′
= ⋅ ( )′
=

+ ⋅
=

2
=
∙ = +

= −

高等数学课件24隐函数

隐函数是曲面的局部表示
隐函数在曲面上的应用，如求曲面的交点、求曲面的切线等
隐函数与等值线的几何意义
隐函数：通过方程F(x,y)=0定义的函数等值线：满足F(x,y)=c的曲线几何意义：隐函数描述了等值线的形状和位置
应用：在物理、工程等领域中，隐函数与等值线常用于描述物理量、工程参数的变化规律和分布情况
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对y求导
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对y求导
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对x求导
隐函数求导法则：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对x求导
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对y求导
应用范围：参数方程法适用于求解含有参数或参数的函数，如圆锥曲线、旋转体等
注意事项：在求解过程中，需要注意参数的取值范围，避免出现错误或遗漏
反表示法
反表示法是一种求解隐函数的方法反表示法通过将隐函数转化为显函数，然后求解显函数反表示法适用于求解具有简单形式的隐函数反表示法可以应用于求解一元隐函数和多元隐函数
隐函数在微积分中的应用
隐函数求导：通过隐函数求导公式，求解隐函数的导数隐函数积分：通过隐函数积分公式，求解隐函数的积分隐函数极值：通过隐函数极值公式，求解隐函数的极值隐函数方程：通过隐函数方程，求解隐函数的解
隐函数在解决实际问题中的应用
物理问题：如力学、热力学、电磁学等
工程问题：如结构力学、流体力学、控制理论等
隐函数的性质
隐函数存在定理：如果f(x,y)=0，且f(x,y)在点(x0,y0)处连续，则存在一个开区间(x0δ,x0+δ)，使得在(x0-δ,x0+δ)内，f(x,y)的零点y=φ(x)是连续可微的。

高数课件25隐函数求导法则

隐函数的特点
隐函数通常不能通过显式方程表示，只能通过求解方程组来得到。
隐函数的例子
例如，函数$z = f(x, y)$，如果$z$不能表示为$x$和$y$的函数，那么$z = f(x, y)$就是一个隐函数。
隐函数求导的必要性
解决实际问题
在解决实际问题时，经常需要求隐函数的导数，以便更好地理解和分析问题。
优化问题
在优化问题中，求隐函数的导数可以找到最优解。
数值分析
在数值分析中，求隐函数的导数可以用于求解方程组和微分方程。
隐函数求导的方法简介
01 02
对数求导法
对数求导法是求隐函数导数的一种常用方法，其基本思想是通过取对数将隐函数转化为显函数，然后利用显函数的求导法则来求隐函数的导数。
链式法则
03
例如，对于多元函数$F(x,y,z)=0$，我们可以使用隐函数求导法则来找到$z$关于$x$和$y$的偏导数。
在微分学中的应用
隐函数求导法则在微分学中也有着重要的应用，它是解决微分学问题的一种重要工具。
通过使用隐函数求导法则，我们可以更好地理解函数的单调性、极值和曲线的形状等微分学概念。
实例三：隐函数在微积分中的应用
总结词
通过几个实际应用案例，展示隐函数在微积分中的重要性和应用价值。
详细描述
介绍隐函数在解决一些微积分问题中的应用，如极值问题、曲线的长度和面积计算等。通过这些案例，说明隐函数在微积分中的重要性和应用价值。
05
隐函数求导法则的总结与展望
总结隐函数求导法则的核心内容
步骤2
对反函数求导，得到 $frac{dy}{dx} = frac{1}{frac{dx}{dy}}$。
步骤4

隐函数求导法【高等数学PPT课件】

同理,将各方程两边对y求偏导, 可得
例1 设
求
解将所给方程的两边对x求偏导
例2. 设函数
有连续的一阶偏导数 ,又分别由下列两式确定 :
(2001考研)
解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得
解得因此
第5节隐函数存在定理
一、一个方程的情形
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性及求导方法问题 .
隐函数存在定理1
若满足下列条件：
则在点P0 的某邻域
内, 方程
能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数
，并有
隐函数的求导公式
例1. 验证方程可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域并求
解: 令 ① ②
则连续 ,
③
由定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
导的隐函数
且
导数的另一求法 — 利用隐函数求导两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x = 0 , 注意此时
隐函数存在定理2
则在点P0 的某邻域
内, 方程
能唯一确定一
例2. 设解法1 利用隐函数求导
再对 x 求导
解法2 设则
利用公式
两边对 x 求偏导
注:
也可确定y是x、z的函数，
及x是y、z的函数，此
时
例3 求的全微分.
解法1 用公式,令
确定的函数
所以
解法2 将方程两边分别对x、y求偏导：
例4
由方程

《高等数学之隐函数》课件

在物理学中的应用
在物理学中，隐函数被广泛应用于描述物理量之间的关系，例如，热传导方程、电磁场方程等。
隐函数还可以用于解决一些物理问题，例如，求解微分方程、确定物理量的变化规律等。
THANKS 感谢观看
进一步研究隐函数的重要基础。
03 隐函数的求导法则
链式法则
链式法则
当一个函数嵌套在另一个函数中时，链式法则用于求导。具体来说，如果有一个复合函数 y = f(g(x))，则 dy/dx = (dy/dg) * (dg/dx)。
举例
假设 y = sin(x^2)，则 dy/dx = cos(x^2) * 2x。
隐函数还可以用于解决一些几何问题，例如，确定某一点的切线或者求某一点的法向量等。
在经济学中的应用
在经济学中，隐函数被广泛应用于成本函数、收益函数、需求函数等，这些函数描述了经济变量之间的关系，例如，成本函数描述了生产一定数量的产品所需要的成本。
隐函数还可以用于解决一些经济学问题，例如，最大化利润、最小化成本等。
隐函数和显函数的转换
有时候可以将隐函数转换为显函数，或者将显函数转换为隐函数，这需要使用例如在某些情况下更加灵活和适用，但是它也有一些缺点，例如求解比较困难。
隐函数的几何意义
隐函数的几何意义
隐函数可以用几何图形来表示，通过求解方程可以得到因变量和自变量之间的关系，并且可以用图形来表示这种关系。
隐函数的图像
隐函数的图像通常是曲线或者曲面，可以通过绘制图像来更好地理解隐函数的性质和特点。
隐函数的应用
通过几何意义可以更好地理解隐函数的实际应用，例如在物理和工程领域中可以通过求解隐函数来找到某些物理量的关系。
02 隐函数定理

高等数学第18章第1节隐函数(精品文档)

第十八章隐函数定理及其应用§1 隐函数一、隐函数概念（P144）在这之前我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如 12+=x y ，).sin sin (sin zx yz xy eu xyz++=这种形式的函数称为显函数。

但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式或方程组所确定。

这种形式的函数我们称为隐函数。

☆ 本节将介绍由一个方程0),,(=z y x F 所确定的隐函数求导法；☆ 下一节将介绍由方程组⎩⎨⎧==0),,,,(0),,,,(v u z y x G v u z y x F 所确定的隐函数求导法。

设R X ⊂，R Y ⊂，函数.:R Y X F →⨯注．：1）定义中的)(x f y = ,,J y I x ∈∈仅表示定义域为I,值域为J 的函数，而y 未必能用x 的显式表示2）隐函数是表达函数的又一种方法. 是用隐形关系式表示函数关系的一种。

结论．．：若由．．0),(=y x F 确定．．的隐函数为．．．．．)(x f y = .,J y I x ∈∈则成立恒等式．．．．．．.,0))(,(I x x F x F ∈≡例：方程 01=-+y xy ，当x 定义在),1()1,(+∞---∞ 上时，可得隐函数)(x f y =。

其显函数形式为：.11xy +=例：圆方程122=+y x 能确定一个定义在[]1,1+-上，函数值不小于0的隐函数21x y -=；又能确定另一个定义在[]1,1+-上，函数值不大于0的隐函数21x y --=。

注．：1）隐函数必须在指出确定它的方程以及y x ,的取值范围后才有意义。

2）当然在不至于产生误解的情况下，其取值范围也可不必一一指明。

3）并不是任一方程都能确定出隐函数，如方程.022=++c y x当0>c 时，就不能确定任何函数()x f ，使得[].0)(22≡++c x f x而只有当0≤c 时，才能确定隐函数。

《隐函数及几何应用》课件

利用软件求解隐函数
随着计算机技术的发展，利用数学软件求解隐函数已经成为一种常见的做法。通过将方程输入到软件中，可以快速得
到隐函数的解析表达式或数值解。
常用的数学软件包括：Matlab、 Maple、Mathematica等。这些软件具有强大的符号计算和数值计算能力，
可以处理各种复杂的方程和问题。
02
03
单变量隐函数
只包含一个变量 $y$ 的隐函数，如 $y^2 + x^2 = 1$。
多变量隐函数
包含两个或多个变量 $x$ 和 $y$ 的隐函数，如 $F(x, y) = 0$。
高阶隐函数
含有高阶导数的隐函数，如 $y'' = f(x, y')$。
02
隐函数的几何意义
隐函数与几何图形的关系
进行选择和应用。
代数法求解隐函数需要一定的数学基础和计算能力，对于复杂方
程可能需要较长时间和耐心。
几何法求解隐函数
几何法是通过绘制函数的图像来直观地求解隐函数的方法。通过观察图像的交点和变化趋势，可以得出隐函数的解析表达式。
几何法适用于一些较为简单的隐函数，可以通过描点法和切线法等方法进行求解。这种方法直观易懂，但对于复杂隐函数可能不够精确。
隐函数在微积分中的应用
在求极限、导数和积分等微积分基本运算中，隐函数常常作为重要的中间变量出现。
在解决微分方程、偏微分方程等复杂数学问题时，隐函数往往提供了一种简便的表示方式。
在几何应用中，隐函数可以描述曲面、曲线等几何对象，帮助我们更好地理解空间结构。
微积分中隐函数的求解方法
通过求解方程组来找到隐函数的表达式，是微积分中常见的求解方法。

高等数学PPT课件：隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率

如
y
(
x (
x
1) 3 x 4)2e x
1
,
y xsin x .
方法方程两边取对数, 再利用隐函数求导法。
--------对数求导法
11
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
例
设
y
(
x (
1) 3 x 1 x 4)2 e x
,
求y.
解
ln
y
ln( x
1)
1 3
ln(
x
1)
,求y.
解答等式两边取对数
ln y ln xsin x ln(1 x2 ) sin x ln x ln(1 x2 )
d: dx
y cos x ln x sin x
y
x
1
2
x x
2
y
xsin x 1 x2
(cos
x
ln
x
sin x
x
1
2
x x
2
)
17
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
2.设 x y y x ,求y.
解答 ln : y ln x x ln y,
d: dx
y ln x y ln y x y,
x
y
y
x y ln x y ln
y x
y2 x2
.
18
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
二、由参数方程所确定函数的导数
若
x y
(t) (t)
d dx
:
1 y
y
cos x ln x
sin
x
1 x

隐函数的求导公式共28页PPT资料

d2y dx2
x 0 3
7
定理2 若函数 F(x,y,z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F (x0,y0,z0)0 ③ F z(x0,y0,z0) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
26.01.2020
8
则
F (x ,y ,f(x ,y )) 0
两边对 x 求偏导
F x Fz
0
z Fx x Fz
同样可得
26.01.2020
9
例2 设 x2y2z24z0,求解法1 利用隐函数求导

2
x
z
2
.
2x2zz4z0 x x
再对 x 求导
26.01.2020
16
例 3 求由方程组
x y u v 1,

x
2

y2

u2

v2

2,
确定的函数 u(x, y)和v(x, y) 的偏导数 u ， u ， v 和 v . x y x y
分析：此题可以直接用课本中的公式（6）求解，
但也可按照推导公式（6）的方法来求解. 下面用后一种方法求解.
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sy i e n x x y 1 0 ,y y ( x )
两边对 x 求导
y x 0
ex y cosyx
(0,0)
两边再对 x 求导
siyn (y)2co yy s
令 x = 0 , 注意此时 y0,y1

高数隐函数求导专题最终版.ppt

z x
0
同样可得
z Fx x Fz z Fy y Fz
.精品课件.
10
机动目录上页下页返回结束
例2. 设解法1
x2 y2 z2 4z
利用隐函数求导
0
,
求
2 x
z
2
.
2x 2z z 4 z 0 x x
z x x 2 z
再对 x 求导
2
4
2z x2
0
1 (z)2 x
的某邻域内可唯一确定一个满足条件机动目录上页下页返回结束导数两边对x求导机动目录上页下页返回结束则还有机动目录上页下页返回结束在点00某邻域可确定一个单值可导隐函数连续由定理1可知机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束cos两边对x求导两边再对x求导导数的另一求法利用隐函数求导机动目录上页下页返回结束的某邻域内具有连续偏导数则方程定理证明从略仅就求导公式推导如下
③ J (F,G) 0 P (u, v) P
则方程组 F(x, y, u, v) 0, G (x, y, u,v) 0 在点(x0 , y0 )
的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u(x0 , y0 ), v0 v(x0 , y0 )的单值连续函数 u u(x, y), v v(x, y),
( cos y x )2
3
x0
y0 y 1
.精品课件.
7
机动目录上页下页返回结束
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x)
两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x 0
ex cos
y y
x
(0,0)
sin y ( y)2 cos y y

§18.1隐函数

y1 y1 y1

F ( x1, y1 ) 0
又由F ( x, y)的连续性可知,

0, 对x ( x1 , x1 ),
有 : F ( x, y1 ) 0, F ( x, y1 ) 0;

x1 x1 x
则在点 P0 的某邻域 P0 D 内 , 方程
F ( x, y ) 0 唯一地确定一个定义在某区间
( x0 , x0 ) 内的隐函数 y f ( x) , 使得
x
⑴ f ( x0 ) y0 ，当 x ( x0 , x0 ) 时
y ,适合 : F ( x , y ) 0.

x0 x x0 x x0 a
证明 : (一)不妨设Fy ( x0 , y0 ) 0,
由Fy ( x, y )的连续性,可知,
若 0, 则同理否则, 在D中取使
Fy ( x, y ) 0的那
Fy在P0点的某一个邻域内也大小0. 个邻域与D的公不妨设( x, y) D, 有 : Fy ( x, y) 0; 共部分,再记这
o
F ( x, y ) 0,
y
x
即 y f ( x), x I
隐函数 y f ( x) 有时是初等函数。这时，隐函数通常能用显函数形式表示。
例如，1). 从方程 ln x 2 2 x 1 ln y 0 中，

1 能写出隐函数的显函数形式： y 2 x 2x 1
y
y1 y1
f ( x) y1

F ,f() 0 F (xx1, y1x) 0

第十八章第一节隐函数ppt

x 0
dy dx
0,
x 0
x y x y 1 , y3 y2
例6 讨论笛卡儿叶形线
x3 y3 3axy 0
所确定的隐函数 y f ( x )的一阶与二阶导数。
z
y
y
x
x
y
例6 讨论笛卡儿叶形线
x y 3axy 0
3 3
( 3 4, 3 2)
例4 设方程
1 F ( x, y ) y x sin y 0, 2 由于 F 及其偏导数 1 Fx ( x, y) 1, Fy ( x, y ) 1 cos y 2 在平面上任一点都连续，且 F (0,0) 0, 1 Fy ( x, y ) 1 cos y 0, 2
F ( x , f ( x )) 0;
20 f ( x ) 在 ( x0 , x0 ) 内连续.
隐函数存在性定理的四个条件:
1) 函数 F 在以 P0 ( x0 , y0 ) 为内点的某一区域 D R2 上连续; 2) F ( x0 , y0 ) 0 (满足初始条件); 3) 在 D 内存在连续的偏导数 Fy ( x, y); 4) Fy ( x0 , y0 ) 0,
函数(隐函数)
且
y f ( x1 , x2 ,, xn ), 使得 10 当 ( x1 , x2 ,, xn ) U (Q0 ) 时, ( x1 , x2 ,, xn , f ( x1 , x2 ,, xn )) U (Q0 ), 0 0 0 y0 f ( x1 , x2 , xn ). 20 y f ( x1 , x2 ,, xn ) 在 U (Q0 ) 内有连续偏导数: f x1 , f x2 ,, f xn ,

高等数学隐函数共26页

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