函数的单调性(公开课)

解：（1）f '(x)=x3+3x= 3(x2+1)>0
所以函数f(x)=x3+3x在R上单调递增。 所以函数f(x)=x3+3x的单调增区间为R。
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二、讲授新课-----典例精讲
例 3. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f(x)=x2-2x-3,
(2) f(x)=x2－2lnx
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Байду номын сангаас
1.3.1函数的单调性与导数（第1课时）
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一、新课导入------复旧知新
1.函数的单调性是怎样定义的？
一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2， 当x1<x2时，都有f(x1)<f (x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数; 当x1<x2时，都有f(x1)>f (x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数;
致形状如右图所示.
O1
4
x
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二、讲授新课-----牛刀小试
练习. 设导函数y=f '(x)的图象如图，则其原函数可能为
( C)
(A) y y=f(x) (B) y y=f(x) o 1 2x o 1 2x
y y f '(x)
(C) y
(D) y
o 2x
y=f(x)
y=f(x)
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四、巩固练习
判断函数f(x)=3x-x3的单调性, 并求出单调区间:
解：
f '(x)=3x-x3=3-3x2=-3(x2-1)=-3(x-1)(x+1) 当f '(x)>0,即-1<x<1时，函数f(x)=3x-x3 单调递增； 当f '(x)<0,即x>1或x<-1时，函数f(x)=3x-x3 单调递减； 所以函数f(x)=3x-x3的单调增区间为 （-1，1），单调

f ( x )在D上是增函数
f ( x )在D上是减函数
(2)设x1 , x2 D, 则 ( x2 x1 )( f ( x2 ) f ( x1 )) 0
f ( x )在D上是增函数
设x1 , x2 D, 则 ( x2 x1 )( f ( x2 ) f ( x1 )) 0
当a 0时，
a f ( x ) 1 2 0在（ ， 0）和（ 0,） x 上恒成立
f ( x )在（ ， 0）和（ 0， ）上是单调递增的
当a 0时与例2相同
综上：当 a 0时，
f ( x )在（ ， 0）和（ 0， ）上是单调递增的
当a 0时
f ( x )在区间（ ， a )和（ a ,) 上是增函数 , 在( a ,0)和(0, a )上是减函数
知识探究：f ( x ) ax
b f ( x )在 ， 和 a
b (a , b 0)的单调性 x b , 上单调递增 a
1、高考地位
函数的单调性是函数的一个重要性质，仍是 2011年高考的重点，在高考试题中有一道是解 答题，选择题、填空题也可能出现。 2、高考考点： 常见问题有判断或证明函数的单调性，求函数 的单调区间，利用函数的单调性比较大小或求 某变量的取值范围、解不等式和求函数的最值 等.
一、知识回顾：
1、单调性定义： 如果函数 y f ( x) 对于属于定义域 I 内某个区 间 D 上的任意两个自变量的值 x1 , x 2 ，当 x1 x2 时，都有f ( x1 ) f ( x2 ) ，则称 y f ( x) 在区间 D 上是 增函数；当 x1 x2 时，都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，则称 y f ( x) 在区间 D 上是减函数。 如果说函数 y f ( x)在区间 D 上是增函数或减 函数，则函数 y f ( x) 在这一区间具有（严格的） 单调性，区间 D 叫做函数的 y f ( x) 的单调区间 2、奇函数在对称的两个区间上有相 同 的单调性 偶函数在对称的两个区间上有相 反 的单调性.

定义法
总结词
通过函数定义判断单调性
详细描述
在区间内任取两个数$x_{1}$、$x_{2}$，如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) leq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递增；如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) geq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递减。
感谢您的观看
03 函数单调性的应用
单调性与最值
总结词
单调性是研究函数最值的重要工 具。
详细描述
单调性决定了函数在某个区间内的 变化趋势，通过单调性可以判断函 数在某个区间内是否取得最值，以 及最值的位置。
举例
对于函数f(x)=x^2，在区间(-∞,0) 上单调递减，因此在该区间上取得 最大值0。
单调性与不等式证明
单调递减函数的图像
在单调递减函数的图像上，随着$x$的增大，$y$的值减小，图像 呈现下降趋势。
单调性转折点
在单调性转折点上，函数的导数由正变负或由负变正，对应的函数 图像上表现为拐点或极值点。
02 判断函数单调性的方法
导数法
总结词
通过求导判断函数单调性
详细描述
求函数的导数，然后分析导数的符号，根据导数的正负判断函数的增减性。如 果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在该区间 内单调递减。
总结词
单调性是证明不等式的重要手段。
详细描述
通过比较函数在不同区间的单调性，可以证明一些不等式。例如，如果函数f(x)在区间[a,b]上 单调递增，那么对于任意x1,x2∈[a,b]，有f(x1)≤f(x2)，从而证明了相应的不等式。
举例
利用函数f(x)=ln(x)的单调递增性质，可以证明ln(x1/x2)≤(x1-x2)/(x1+x2)。

（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论．
答案：图象略．
（1）（－∞，0）∪（0，＋∞）．
（2）当k＞0时，y＝ k 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减； x
当k＜0时，y＝ k 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递增． x
目标检测
44．画出反比例函数y＝
k x
的图象．
（1）这个函数的定义域I是什么？
新知探究
追问5 函数f（x）＝|x|，f（x）＝－x2各有怎样的单调性？
f（x）＝|x|在区间（－∞，0]上单调递减， 在区间[0，＋∞）上单调递增； f（x）＝－x2在区间（－∞，0]上单调递增， 在区间[0，＋∞）上是单调递减．
新知探究
问题4 如何用符号语言准确刻画函数值随自变量的增大而增大 （减小）呢？
证明：由x1，x2∈（1，＋∞），得x1＞1，x2＞1，
所以x1x2＞1，x1x2－1＞0．
由x1＜x2，得x1－x2＜0，
于是（x1－x2）（
x1x2 1 x1 x2
）＜0，即y1＜y2．
所以，函数y＝x＋ 1 在区间（1，＋∞）上的单调递增． x
新知探究
追问 你能用单调性定义探究y＝x＋ 1 在整个定义域内的单调性吗？ x
图1
图2
图3
图1的特点是：从左至右始终保持上升；
图2与图3的特点是：从左至右有升也有降．
新知探究
★资源名称： 【数学探究】函数值的变化情况 ★使用说明：本资源通过操作展示动画，使学生观察函数值随着自变量值的变化而变化的情 况．通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教 学效率． 注：此图片为动画缩略图，如需使用资源，请于资源库调用