38中等数学缴t 奥I 逛酬錄龜（19〇)中图分类号:G 424.79文献标识码：A文章编号：1005 - 6416(2021)03 - 0038 - 06第一试一、选择题（每小题7分，共42分）1.在A 从C 中，1 i +丄•则Z ： 4a b c )•(A )必为锐角 （B )必为直角(C )必为钝角（D )以上答案都不对则Z Z 寧+ Z ：= \S0° -Z B T C = 90°^点X 在以为直径的圆上.又/L QXP =1k -乙 TXQ - A T X P= Z Q E T + Z P F T = k -Z A ,于是，点;f 在厶/!/^的外接圆厂。
上.过点X 作以为直径的圆的切线X K故 Z KXP = Z P X F - Z KXF=Z P T F - Z X E F = Z P T F - Z XQT =Z PQT - Z XQT = Z XQP.这表明，^也为圆厂。
的切线.因此，以为直径的圆与圆厂。
相切.四、设最小值为歛下面证明A =3.(1)若A ： = 1，考虑其中任意一种颜色S ，记4为连出边的颜色中含有S 的点的集合.一方面，由于每个点所对应的颜色集相 同，于是，M l = 2 023.另一方面，由于公共点的任意两条边颜色不同，M l 为偶数，矛盾.(2) 若A =2,设其中一个颜色集所对应 的点为A ，〇i 2，…，〜，另一个颜色集所对应的2.记[*]表示不超过实数$的最大整 数.则方程[2*]+ [3*] = h - 6的所有实数解 的个数为（）.(A)l (B )2 (C )3(D )43•在中，已知/lfi=ylC，Z 4=40。
，P 为仙上一点，Z M C />=20。
•贝 l j |^ = ().点为卜，卜，…，h f d m .考虑ai、\两点间的 颜色7\则r 同时出现在两个颜色集中，记 为连出边的颜色为r 的点的集合，同（1)知 矛盾.(3)给出A ； =3的构造•记2 023个点为〇丨，a2，…，ai oil，，办2，*** >^i on >c-令a;a;(i#y)颜色为尤 i+_/•( mod 1 011)，以 i色为 y;+Amodl011>，a;C 颜色为 ％(n i o d l 011)»/ (i</)颜色为 2w(inodl()11)，颜色为Z 2i(mod 1 Oil)'对于任意的a,(l 矣i矣1 011)，其所对颜 色集为I ^1 fx 2' ^Xl 0U iJ\ »^2 » "*' >7l Oil ! •对于任意的6,(1名；<1 011)，其所对颜 色集为U l ，:2，…，21 Oil，7l，；K2，…011 丨•对于C ，其所对颜色集为 { ,x2,xx 01I ,Z[ ,z2 » J Z1 o n l •综上A =3.(命题组提供）2021年第3期39(A)及（B)在（C)f(D)^4•已知实数《:、y满足x23+y2 = 1•记x4 +砂+ /的最大值、最小值分别为.则Smax + *^m i n -（)*(A)~j(B)0 (C)l (D)|5. 在 Rt A/lfiC 中，Z C = 90°，4C = 1，fiC =在，£>为边/I S的中点，五为边5C上一点.将A A M；沿抓翻折得到A/l'Z)£，使得A I M与泌重叠部分的面积占△A M面积的|.则6£的长为（).(A)f(D)|■或早6. 已知关于％的方程\f~x~~—'2x+1 —\[~x~—A%+4 +2 \J~x~—6x+9=t +4恰有两个实数解.则i的取值范围是（）.(A)-3 <t<0(B)f>-3且 ¥-1(C)t^ -1 (D)W〇且#-1二、填空题（每小题7分，共28分）1.若关于x的不等式组|U的U>〇所有整数解之和为12,则f的取值范围是2.已知整数n >2 020,= 了2 020为完全2 12U - n平方数.则n的值为_3.如图1，A仙C 的内切圆为©〇,过〇作B C的平行线，分别与仙d C交于点D、£.若的三边5C、的长分别为8、A7、5，则£>£的长为______.4.在直角坐标系中，4为抛物线在第二象限上的点，过点〇作〇/?丄似，与抛物线交于点fi，以为边构造矩形40S C.如图2,当点4的横坐标为-^■时，经过点C的反比例函数曲线的解析式为.图2第二试一、（20分）求满足方程x2 +y2 = 2(x y)+ xy的所有正整数x、y.二、（25分）如图3，45为©0的直径，弦C£>与仙交于点£，过点4作圆的切线，与C D的延长线交于点R若C E ：DE ：DF = 4： 3： 3,/^=24，求弦/1(：的长及sin 的值•CF图3三、（25分）已知直线；r = +3与戈轴交于点C，与y轴交于点抛物线y =c w c2 ++ c经过两点，且与％轴的第二个交点为A.(1)如图4，£为直线5C右上方抛物线上的一动点，当A f i五c的面积最大时，求过点£的切线/的方程和A f i£C面积的最大值.(2)在（1)的结论®4下，过点£作y轴的平行线，与直线fiC交于40中等数学点M，联结4M,为抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由.(3)如图5,点#(1，〇)，将线段 0/V绕点〇逆时针方向旋转得到O N'，旋转角为 a(0°<a<90°)，求/Vf C+|~/V'fi 的最小值.参考答案第一试—、1. A.图53 3无整数解;=> 12(3)若 <y,则y2.t+ 1 + 3i+ 1= S(t + r) -6>\=> t-8 8=———r3 38 4A,5^13〇N=> t-1\\*1>r~8(4)若|■心<1，则2t+ 1 + 3i+ 2 = 8(^ + r)—6=> t= 3 -, 3 — 7=>t = l,r = —=>x=—.4 4由=冬 +」一=> 26c = a(6 + c)•a b c又 6 + e > a，贝!J26c > a2.由（fc-c)2彡0 => 62.+ c2彡26c => b2 +c2 > a24必为锐角.2. C.当％为整数时，2x -\-3x = Sx -6 => x =2.当％不为整数时，设尤+r(i 为整数，0 <r<l).⑴若〇<厂<+，则2t+3/ = 8(^ + r) —6…=2-爭#f<t=2-f<2=> t无整数解；(2)若士&<士，则2 艺+ 3f + l = 8(尤+ r) —6综上,符合条件的实数解有3个.3. B.如图6，作丄fiC于点/)，则仙= CZ).在A仙c外作Z C A E=20°, W\Z B A E=60°.作（^丄狀于点E，P F丄A E于点F.易证△A C E笤A/ICZ).于是，C E= C D=*B C.由= /Msin ZP F= C E,故蔻=万.4. D.注意到，(x -y)2 =x2 -2xy +y2^0==>2 I a c y l^x2 + y2 = 1A图62021年第3期41令S =尤4 +尤y + y4.贝|JS=(^；2 +y2)2 -2x2y2+xy=-2x2y2+ xy + 1由函数增减性知：当 = |时，S_ =|;当 xy = -^■时，Sm i n =0•因此，>S m a x + Sm i n = y.5.C.如图7,当之厦>90。
