数学奥林匹克初中训练题12

数学奥林匹克初中训练题12

第一试

一、选择题(每小题7分，共42分)

1.某公路由上坡、平路、下坡三个等长的路段组成.已知一汽车在各路段上行驶的平均速度分别为v1、v2、v3.则这部汽车在整段路面上的平均速度为( ).

(A)3vvv321 (B)3111321vvv

(C)

3211111vvv

(D)

3211113vvv

2.已知小王、小李两家相距16 km，小王骑自行车从家出发以12 km/h作匀速直线运动，小李骑助力车同时从家出发以24 km/h作匀速直线运动，20 min后，小王到达M地，小李到达N地.记M、N两地的距离为dkm.则d的取值为( ).

(A)4 (B)20(C)4，12，20，28 (D)[4，28]

3.有20个同学排成一行，若从左往右隔1人报数，小李报8号;若从右往左隔2人报数，小陈报6号.那么，从小陈开始向小李逐人报数，小李报的号数为( ).

(A)11 (B)12 (C)13 (D)14

4.若M=(|a+b|-|a|+|b|)(|a+b|-|a|-|b|)，则M的取值范围为( ).

(A)全体正数(B)全体非正数(C)全体负数(D)全体非负数

5.在凸四边形ABCD中，若AB大于其余三边，BC小于其余三边，则∠BAD、∠BCD的关系为( ).

(A)∠BAD<∠BCD(B)∠BAD=∠BCD(C)∠BAD>∠BCD(D)不能确定

6.已知△ABC的三边长为8、12、18，又知△A1B1C1也有一边长为12，且与△ABC相似而不全等.则这样的△A1B1C1个数为( ).

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

二、填空题(每小题7分，共28分)

1.一个自行车轮胎，若安装在前轮，则行驶5 000 km后报废;若安装在后轮，则行驶3 000 km后报废.如果行驶一定路程后交换前、后轮胎，使一对新轮胎同时报废，那么，最多可行驶

km.

2.联结矩形ABCD的对角线AC、BD交于点E，过E作AB的垂线交AB于F;联结DF交AC于E1，过E1作AB的垂线交AB于F1;联结DF1交AC于E2，过E2作AB的垂线交AB于F2，如此类推.则AF2 006/AB= .

3.11001001001333122231242424= .

4.如图，已知△ABC的两条中线AD、BE交于点G，可得到8个图形:△ABD、△ACD、△BAE、△BCE、△GAB、△GAE、△GBD，四边形CEGD.现从中任取两个图形，则这两个图形面积相等的概率为 .

第二试

一、(20分)已知抛物线y=x2与动直线y= (2t- 1)x-c有公共点(x1，y1)、(x2，y2)，且x21+x22=t2+2t-3.

(1)求t的取值范围; (2)求c的最小值，并求出c取最小值时t的取值.

二、(25分)在等边△ABC内部任取一点P，联结PA、PB、PC.求证:必存在PA、PB、PC中的两条线段，其长度m、n满足nm215≤1.

三、(25分)将编号为1，2，„，18的18名

乒乓球运动员分配在9张球台上进行单打比赛，规定每张球台上两选手编号之和均为大于4的平方数.请问这一规定能否实现?若规定不能实现，请给出证明;若规定能够实现，请说明实现方案是否唯一.

数学奥林匹克初中训练题12参考答案

第一试

一、1.D.

解法1:设整段公路长为3s，则三个不同路段的长度均为s.这部汽车在各路段上行驶时间分别为ti=s/vi(i=1，2，3)，

2.D.

运动20 min，小王走了4 km，小李走了8 km，M地在“以小王家为圆心、半径为4 km”的圆上，N地在“以小李家为圆心、半径为8 km”的圆上，如图2所示.两圆的最近距离为16-4-8=4 km，两圆的最远距离为16+4+8=28 km.一般情况下，d的取值为4≤d≤28.

3.A.

解法1:由题知，小李在这个队列中排在“从左往右”的第2×7+1=15位，小陈在这个队列中排在“从右往左”的第3×5+1=16位，即“从左往右”的第20-16+1=5位.如图.

所以，从小陈开始向小李逐人报数，小李报的号数为15-5+1=11.

解法2:由题知，小李在这个队列中排在图4“从左往右”的第2×8-1=15位，小陈在这个队列中排在“从右往左”的第3×6-2=16位.如图4.所以，从小陈开始向小李逐人报数，小李报的号数为(15+16)-20=11.

4.B.

解法1: M=(|a+b|-|a|+|b|)·(|a+b|-|a|-|b|)=(|a+b|-|a|)2-|b|2

=(a+b)2-2|a(a+b)|+a2-b2=a2+2ab+b2-2|a(a+b)|+a2-b2=2a(a+b)-2|a(a+b)|≤0.

5.D.

如图，取一个 ABCD，使△CBD为等腰直角三角形，作△CBD的外接圆⊙O，以D为圆心、DC为半径画弧交AB延长线于E，联结DE交⊙O于C1，交BC于C2.在线段C1E内取点C3，联结BC1、BC3.则在四边形ABCiD(i=1，2，3)中，AB大于其余三边，BCi小于其余三边，有∠BAD<∠BC2D，∠BAD=∠BC1D，∠BAD>∠BC3D.

6.C.

设AB=8，BC=12，AC=18.由两三角形相似而不全等可设AB/A1B1=BC/B1C1=AC/A1C1=q≠1，

即 8/A1B1=12/B1C1=18/A1C1=q≠1.

由B1C1≠12知，只能A1B1= 12或A1C1=12.当A1B1=12时，q=2/3，得△A1B1C1三边长分别为12，18，27;当A1C1=12时，q=3/2，得△A1B1C1三边长分别为16/3，8，12 .此外，再没有第三种情况.所以，这样的△A1B1C1共有2个.说明:△ABC与△A1B1C1有两条边、三个角共五个元素相等，但不全等.

二、1.3 750.

设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1 km的磨损量为k/5 000，安装在后轮的轮胎每行驶1 km的磨损量为k/3 000.又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有

kkykxkkykx5000300030005000.两式相加得x+y=3 750 (km).

2.1/2 008.

如图.由中位线定理得AF=21 AB，EF=21AD.

又由△AE1F1在△AEF，△AE1D∽△EE1F，有AF1/F1F=AE1/E1E=AD/EF=2，即 FFAFAF111=2/3.故AF1=32AF=31

AB.如此类推，有AF=21 AB，AF1=31 AB，AF2=41AB，„„AF2 006=008 21AB.

3.5 050/10 101.

注意到)1111(2112224kkkkkkk.

4.2/7.

从8个图形中任取2个图形有8×7/2=28种取法，其中面积相等的有三种情况:

(1)面积为21 S△ABC的三角形有4个(△ABD、△ACD、△BAE、△BCE)，得面积相等的图形4×3/2=6对;

(2)面积为61S△ABC的三角形有2个(△GAE、△GBD)，得面积相等的图形1对; (3)面积为31 S△ABC的图形有2个(△GAB、四边形CEGD)，得面积相等的图形1对.共计面积相等的图形有8对.从而，取到两个图形面积相等的概率为8/28=2/7.

第二试

一、联立y=x2与y=(2t-1)x-c，消去y得二次方程x2-(2t-1)x+c=0①

有实数根x1、x2.由韦达定理得x1+x2=2t-1，x1x2=c.

故c=x1x2=21 [(x1+x2)2-(x21+x22)]=21[(2t-1)2-(t2+2t-3)]=21 (3t2-6t+4).②

把式②代入方程①得x2-(2t-1)x+21 (3t2-6t+4)=0.③

(1)t的取值应满足t2+2t-3=x21+x22≥0，④

且使方程③有实数根，即Δ= -2t2+8t-7≥0.⑤

解方程④得t≤-3或t≥1.

解方程⑤得2-2 /2≤t≤2+2 /2.所以，t的取值范围为2-2 /2≤t≤2+2 /2.⑥

(2)由式②知c=23(t-1)2+21 .但由式⑥知t不能取到1.因而，比较自变量两端点的函数值，所以，当t=2-2 /2时，cmin=42622.

二、如图，将△PAB绕点B顺时针旋转60°，得△P1CB∽△PAB.联结PP1.则P1C=PA，等腰△BP1P为等边三角形，有P1P=BP1=PB.故以PA、PB、PC为边可组成△P1PC.

记△P1PC的三边为a、b、c，

不妨设a≥b≥c.由

0>a-(b+c)=(215215)a-(215215)b-c

=215(215a-b)+ (215b-c)

可见，相加的两项当中，必有一项为负数.

(1)若215(215a-b)<0，则215

(2)若215b-c<0，则215

三、解法1:因为编号最大的两数之和为18+17=35<36，所以，同一张球台上两选手编号之和只能取三个平方数:25，16，9.现设同一张球台上两选手编号和为25、16、9的分别有x个、y个、z个(x、y、z均为非负整数).依题意有 25x+16y+9z=1+2+…+18，x+y+z=9，

x≥0，y≥0，z≥0，即

16x+7y+9(x+y+z)=171，x+y+z=9，x≥0，y≥0，z≥0，

得 16x+7y=90，x≥0，y≥0，z≥0.

又由0≤x≤90/16<6知，x只能取非负整数0，1，2，3，4，5.逐一代入检验，可得方程唯一的非负整数解x=3，y=6，z=0.下面讨论9张球台上的选手对阵情况.(1)由x=3，知平方数为25只能有3个，而编号不小于16的3个选手18，17，16对应的平方数又只能为25，故“两选手编号和为25”的只能是:18与7对阵，17与8对阵，16与9对阵.(2)由y=6，知去掉18，17，16，9，8，7后剩下的12个选手对应的平方数能且只能为16，有:1与15对阵，2与14对阵，3与13对阵，4与12对阵，5与11对阵，6与10对阵.故规定能够实现，且实现方案是唯一的.

9张球台上选手对阵情况为:(18，7)，(17，8)，(16，9)，(15，1)，(14，2)， (13，3)，(12，4)，(11，5)，(10，6).

解法2:因为编号最大的两数之和为18+17=35<36，所以，同一张球台上两选手编号之和只能取三个平方数:25，16，9.(1)编号不小于16的3个选手对应的平方数能且只能为25，有:18与7对阵，17与8对阵，16与9对阵.(2)去掉18，17，16，9，8，7后剩下的12个选手中:因为1不能与8组成平方数9，所以，1只能与15对阵;因为2不能与7组成平方数9，所以，2只能与14对阵.

(3)再去掉15，14，2，1后剩下的8个选手中:因为10不能与15组成平方数25，所以，10只能与6对阵;因为11不能与14组成平方数25，所以，11只能与5对阵.