实验十三 二项分布的计算与中心极限定.

概率论与数理统计第四章正态分布§13 中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲第四章正态分布§13 中心极限定理主要内容一、林德伯格—莱维中心极限定理二、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理三、李雅普诺夫中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲例1炮火轰击敌方防御工事100 次, 每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学期望为2, 均方差为1.5. 若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.一、林德伯格—莱维中心极限定理解设X k 表示第k 次轰击命中的炮弹数,2()2,() 1.5,1,,100,k k E X D X k ==="相互独立,12100,,,X X X "苏保河主讲设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理, 例1 解(续1)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则2()200,()15,E X D X ==~(200,225).X N 近似地有{180}P X ≥1((180200)/15)Φ≈−−(1.33)Φ=(1)至少命中180发炮弹的概率;1( 1.33)Φ=−−0.9082.=1{180}P X =−<设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理,例1 解(续2)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则()200,()225,E X D X ==2~(200,15).X N 近似地有(2)命中的炮弹数不到200发的概率.{0200}P X ≤<((200200)/15)((0200)/15)ΦΦ≈−−−(0)(13.33)ΦΦ=−−0.5000.=例2检验员逐个检查某产品, 每查一个需用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次,再用去10 秒钟. 若产品需重复检查的概率为0.5, 求检验员在8 小时内检查的产品多于1900 个的概率.解在8 小时内检查的产品多于1900 个,即检查1900 个产品所用时间小于8 小时.设X为检查1900 个产品所用的时间(秒),设Xk 为检查第k个产品所用的时间(单位为秒), k= 1, 2, …, 1900.苏保河主讲例3某车间有200 台车床独立地工作,开工率为0.6, 开工时每台耗电为r 千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解设至少要供给该车间a千瓦的电力, X为开工的车床台数, 则X~ B(200, 0.6),由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理,X~ N(120, 48) (近似),欲求a, 使{0}99.9%.P rX a≤≤=苏保河主讲李雅普诺夫中心极限定理的意义如果随机变量X 可以看成许多相的总和,互独立的起微小作用的因素Xk则X 服从或近似服从正态分布.苏保河主讲苏保河主讲1. 离散型随机变量的数学期望第三章内容小结定义1设X 是离散型随机变量, 其分布律是P {X = x k } = p k (k = 1, 2, …),如果收敛, 定义X 的数学期望1||k k k x p ∞=∑1()k k k E X x p ∞==∑一、数学期望2. 连续型随机变量的数学期望定义2设X 是连续型随机变量,()()d E X x f x x∞−∞=∫收敛, 定义X 的数学期望||()d x f x x ∞−∞∫其密度函数为f (x ), 如果苏保河主讲4. 数学期望的性质1.设C 是常数, 则E (C ) = C .4.设X , Y 独立, 则E (XY ) = E (X )E (Y ).2.若k 是常数, 则E (kX ) = kE (X ).3.E (X 1 + X 2) =E (X 1) + E (X 2).条件: X 1,X 2, …, X n 相互独立.11()().n n i i i i i i E C X C E X ===∑∑推广:11()().n n i i i i E X E X ===∏∏推广:苏保河主讲3. 方差的性质1)设a 是常数, 则D (a ) = 0.2)若a 是常数, 则D (aX ) = a 2D (X ).4)若X 1 与X 2相互独立, 则D (X 1±X 2) = D (X 1) + D (X 2).推广：若X 1, X 2, …, X n 相互独立, 则11[](),n ni i i i D X D X ===∑∑211[]().n n i i i i i i D C X C D X ===∑∑3)若a , b 是常数, 则D (aX + b ) = a 2D (X ).苏保河主讲4. 协方差的定义定义对于二维随机变量(X, Y),称E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 为X与Y 的协方差, 记为Cov(X, Y), 即Cov(X, Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.5. 协方差的计算公式Cov(X,Y)=E(XY)–E(X)E(Y)推论: 若X 与Y 独立, 则Cov(X,Y) = 0.苏保河主讲6. 协方差的性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y), a,b是常数(3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)苏保河主讲若X 1, X 2, …, X n 两两独立, 则D (X +Y ) = D (X )+D (Y )+2Cov(X , Y )7. 随机变量和的方差与协方差的关系11()().n ni i i i D X D X ===∑∑11()()2Cov(,)n ni i i j i i i j D X D X X X ==<=+∑∑∑苏保河主讲9. 相关系数的性质2)|| 1.XY ρ≤0,XY ρ=1) X 和Y 独立时但其逆不真.定义对于随机变量X , 如果E (X k )( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶原点矩或k 阶矩.10. 矩和中心矩如果E {[X -E (X )]k } ( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶中心矩.苏保河主讲三、切比雪夫不等式与大数定理1. 马尔科夫不等式2. 切比雪夫不等式3. 切比雪夫大数定理4. 独立同分布下的大数定理5. 伯努利大数定理苏保河主讲用X 表示n 重伯努利试验中事件A 出现(成功)的次数, 其分布律称r.v. X 服从参数为n 和p 的二项分布, 注当n = 1 时, 称X 服从参数为p 的伯努利分布，或0-1 分布.1. 二项分布{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,k n ="记作X ~ B (n , p ).苏保河主讲四、几个重要的随机变量苏保河主讲(),()(1).E X np D X np p ==−如果X ~ B (n , p ),结论：{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,,k n ="2. 超几何分布定义将N个元素分为2 类, M个属于第一类, N－M个属于第二类, 从中按不放回抽样随机取n个元素. 令X表示这n 个元素中第一类元素的个数, 则称X服从超几何分布, 记为X h n N M~(,,)苏保河主讲。

中心极限定理的涵和应用在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。

中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。

这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。

故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的涵及其在生活实践中的应用。

一、独立同分布下的中心极限定理及其应用在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1：定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记nn XY ni in σμ-=∑=1则对任意实数y ，有{}⎰∞--∞→=Φ=≤yt n n t y y Y P .d e π21)(lim 22（1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。

由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。

为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ϕ，则n Y 的特征函数为nY n t t n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)()(σϕϕ又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0ϕ'=0，2)0(σϕ-=''。

于是，特征函数)(t ϕ有展开式)(211)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σϕϕϕϕ从而有=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+∞→+∞→nn Y n n t o nt t n )(21lim )(lim 22ϕ22t e -而22t e-正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。

这个中心极限定理是由林德贝格和勒维分别独立的在1920年获得的，定理告诉我们，对于独立同分布的随机变量序列，其共同分布可以是离散分布，也可以是连续分布，可以是正态分布，也可以是非正态分布，只要其共同分布的方差存在，且不为零，就可以使用该定理的结论。

《二项分布》知识点整理二项分布的定义二项分布即重复n次的伯努力试验。

在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验二：超几何分布在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有件次品，抽检n件时所得次品数X=，则P此时我们称随机变量X服从超几何分布）超几何分布的模型是不放回抽样）超几何分布中的参数是,N,n上述超几何分布记作X~H。

二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则=0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B，并记。

独立重复试验：独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验．一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生次的概率为此时称随机变量X服从二项分布，记作并称p为成功概率．独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的．独立重复试验概率公式的特点：是n次独立重复试验中某事件A恰好发生次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，的意义，才能正确运用公式．二项分布的判断与应用：二项分布，实际是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的阐述，判断二项分布，关键是看某一事件是否是进行n次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，如果不满足这两个条件，随机变量就不服从二项分布．当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果时，我们可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列．求独立重复试验的概率：在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即…，n)是第i次试验的结果．独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，要弄清n，p，的意义。

斯特林公式证明二项分布中心极值好的，以下是为您生成的关于“斯特林公式证明二项分布中心极值”的文章：咱先来说说啥是二项分布哈。

想象一下，你扔硬币，正面朝上算成功，反面朝上算失败。

你扔了 n 次，成功的次数 X 就服从一个叫二项分布的家伙。

这二项分布啊，在概率统计里可重要啦。

那斯特林公式又是啥呢？它能帮咱们把一个很大的阶乘给近似地算出来。

咱们来看看怎么用斯特林公式证明二项分布的中心极值。

先把二项分布的概率质量函数写出来：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k) 。

这里的 C(n, k) 就是从 n 个里面选 k 个的组合数。

咱来分析分析这个式子。

当 n 很大的时候，直接算 C(n, k) 可太费劲啦。

这时候斯特林公式就派上用场啦。

斯特林公式说 n! 约等于√(2πn) * (n / e)^n 。

咱把 C(n, k) 用阶乘展开：C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!) 。

然后把斯特林公式带进去，一通化简，就能发现一些有趣的东西。

我记得有一次给学生讲这个的时候，有个小家伙瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这一堆公式到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“就好比你要去一个很远的地方，这些公式就是你的交通工具，能让你更快更准地到达目的地。

”经过一番推导，咱们能发现，当 k 接近 np 时，P(X = k) 取得最大值。

这就是二项分布的中心极值。

比如说，一个班级里有 50 个学生参加考试，及格的概率是 0.8。

那及格的人数大概就在 50 * 0.8 = 40 左右的时候最多。

再深入想想，这在实际生活里用处可大啦。

比如调查某种疾病的发病率，或者估计产品的合格率。

总之，通过斯特林公式证明二项分布的中心极值，让咱们对概率的世界有了更深刻的理解，能更好地解决各种实际问题。

就像有了一把神奇的钥匙，能打开很多未知的大门。

希望大家都能掌握这个有趣又有用的知识，在数学的海洋里畅游得更欢快！。

二项分布计算公式二项分布是概率论中一种常见的离散概率分布，用于描述在n次独立重复的伯努利试验中，发生其中一事件的次数的概率分布。

该概率分布的计算公式如下：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示事件发生k次的概率；C(n,k)表示从n次试验中选择k次成功的组合数；p表示每次试验成功的概率；n表示试验的总次数。

接下来，我们将详细解释二项分布的计算公式。

首先，我们来解释组合数C(n,k)的含义。

组合数C(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。

它的计算公式为：C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1；k!表示k的阶乘，即k!=k*(k-1)*(k-2)*...*2*1；(n-k)!表示(n-k)的阶乘。

例如，从5个元素中选择2个元素的组合数为：C(5,2)=5!/(2!*(5-2)!)=5!/(2!*3!)=(5*4)/(2*1)=10计算得到的组合数10表示从5个元素中选择2个元素的组合数有10种可能。

其次，我们来解释p^k和(1-p)^(n-k)的含义。

p^k表示每次试验成功的概率为p，且连续k次试验均成功的概率。

(1-p)^(n-k)表示每次试验失败的概率为1-p，且连续(n-k)次试验均失败的概率。

例如，物体的制造过程中，每次试验成功的概率为0.2，总共进行了5次试验。

那么，连续2次试验成功的概率为：p^k=0.2^2=0.04连续3次试验失败的概率为：(1-p)^(n-k)=(1-0.2)^(5-2)=0.8^3=0.512最后，我们来解释P(X=k)的含义。

P(X=k)表示在n次独立重复的伯努利试验中，发生其中一事件恰好k次的概率。

它的计算公式为：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)例如，其中一种病在地区的发生率为0.1，随机选择100个人进行检测。

二项分布是概率论中的一个重要分布，它描述了在n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。

在实际应用中，很多事件可以看作是伯努利试验的重复，因此二项分布在实际问题中有着广泛的应用。

而在许多情况下，当伯努利试验的次数n较大时，二项分布的极限分布会近似地服从于正态分布。

本文将就二项分布的极限分布是正态分布进行证明和推导。

1. 二项分布的定义我们先来了解一下二项分布的定义。

设有一独立重复进行n次的伯努利试验，每次试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p。

在这种情况下，试验成功的次数X服从二项分布，其概率质量函数为：P(X=k)=C(n, k)p^kq^(n-k), k=0, 1, 2, ..., n。

其中C(n, k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，其具体定义为：C(n, k)=n!/(k!(n-k)!)。

2. 二项分布的均值和方差二项分布的均值和方差为：E(X)=np,Var(X)=npq。

当n较大时，二项分布的极限分布会近似地服从于正态分布。

下面我们将对此进行证明。

3. 二项分布的极限分布是正态分布的证明当n较大时，二项分布的极限分布可以使用中心极限定理进行证明。

中心极限定理指出，当独立同分布的随机变量的个数足够多时，它们的和的分布近似地服从于正态分布。

对于二项分布来说，试验成功的次数X可以看作是n次独立重复的伯努利试验的和，因此当n较大时，X的分布近似地服从于正态分布。

为了具体地证明二项分布的极限分布是正态分布，我们令Y=(X-np)/sqrt(npq)，则有：E(Y)=0，Var(Y)=1。

根据中心极限定理，当n较大时，Y的分布近似地服从于标准正态分布。

将Y的定义代入可得：Y=(X-np)/sqrt(npq)，则有：X=np+sqrt(npq)Y。

由于Y近似地服从于标准正态分布，因此X近似地服从于均值为np，方差为npq的正态分布。

4. 证明总结当独立同分布的随机变量的个数足够多时，其极限分布近似地服从于正态分布。

二项分布公式了解二项分布的计算公式二项分布公式是概率论中的一个重要公式，它用来计算在一系列独立重复的伯努利试验中，成功事件发生 k 次的概率。

本文将介绍二项分布的概念，并详细解释如何使用二项分布公式进行计算。

1. 二项分布概述二项分布是概率论中最基本的离散概率分布之一，它描述了在一系列独立重复的伯努利试验中，成功事件发生的次数的概率分布。

伯努利试验是指每次试验只有两个可能结果的情况，比如抛硬币的结果只能是正面或反面。

2. 二项分布公式在二项分布中，成功事件的概率为p，失败事件的概率为q = 1 - p。

那么进行 n 次独立重复的伯努利试验，成功事件发生 k 次的概率可以用二项分布公式来计算：P(X = k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)其中，P(X = k) 表示成功事件发生 k 次的概率，C(n,k) 表示从 n 次试验中取出 k 次成功事件的组合数，p^k 表示成功事件发生 k 次的概率，q^(n-k) 表示失败事件发生 n-k 次的概率。

3. 二项分布计算示例假设有一个骰子，投掷 6 次，每次的成功事件是投出数字 6。

那么我们可以使用二项分布公式计算出投出 6 恰好出现 4 次的概率。

n = 6，k = 4，p = 1/6，q = 1 - p = 5/6根据二项分布公式，我们有：P(X = 4) = C(6,4) * (1/6)^4 * (5/6)^(6-4)计算 C(6,4) 得到：C(6,4) = 6! / (4! * (6-4)!) = 15将数值代入公式计算得到最终结果：P(X = 4) = 15 * (1/6)^4 * (5/6)^2 ≈ 0.1938所以投掷骰子恰好投出 6 的概率为约 0.1938。

4. 二项分布的应用二项分布广泛应用于实际生活中的概率计算，比如：- 预测某个广告在特定人群中的点击率。

- 检验某种产物是否合格，统计合格品率。

- 研究药物治疗效果，统计患者痊愈率。

二项分布的计算过程嘿，朋友们！今天咱来唠唠二项分布的计算过程。

这玩意儿啊，就好像是生活中的一场有趣游戏。

咱先说说啥是二项分布。

想象一下，你在扔硬币，每次扔出正面或反面的概率都是一半一半，这就是个简单的例子。

或者说你在抽奖，只有中奖和不中奖两种结果，这也能看作是二项分布。

那怎么算呢？咱就拿扔硬币来说吧。

比如说你扔五次硬币，想知道恰好三次正面的概率是多少。

嘿，这时候就该二项分布出马啦！首先呢，你得知道总共可能出现的情况有多少种，这就好比是有多少个不同的“剧本”。

在这里，就是 2 的 5 次方，等于 32 种。

然后呢，咱要找到恰好三次正面的情况有几种。

这就像在那 32 个“剧本”里挑出符合条件的。

这里可以用组合数来算，算出来是 10 种。

最后，把这符合条件的情况数除以总情况数，不就得到概率啦！是不是挺有意思的？再比如说抽奖，假设有 10 个人抽奖，只有一个奖品，每个人中奖的概率是十分之一。

那你想算某个人恰好第三次抽奖才中奖的概率是多少。

这也能用二项分布来算呀！先算出所有可能的抽奖顺序，就是 10 的 10 次方，那可真是个大数字。

然后找到第三次才中奖的情况有几种，再算概率。

你说这像不像在生活中找一种特定的可能性？就好像你在茫茫人海中找那个对的人，或者在一堆工作机会中找最适合你的那个。

这过程可不简单，但一旦找到了，那种成就感，哇，别提多棒了！二项分布的计算过程其实并不难，只要你掌握了方法，就跟玩游戏一样。

有时候你可能会算错，但那又怎么样呢？谁还没个失误的时候呀，重新再来呗！而且你会发现，通过计算这些概率，你对很多事情的理解会更深刻。

总之，二项分布就是这样一个有趣又有用的东西。

它能帮我们理解生活中的很多随机现象，让我们对不确定的世界有更多的把握。

所以啊，大家可别小瞧了它，好好去研究研究，说不定能给你带来很多惊喜呢！。