河北省衡水中学2018届高三上学期五调考试数学(理)试卷(含答案)

2018～2019学年度上学期高三年级三调考试数学(理)试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合,,,若,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合M、N,再求,再根据得到a的不等式,即得解.【详解】由题得,因为,所以.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查集合的化简运算,考查集合的关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题时要注意取等的问题,最好把等号带进原题检验.2.若直线与双曲线相交,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】联立直线和双曲线的方程得到,即得的取值范围.【详解】联立直线和双曲线的方程得当,直线和双曲线的渐近线重合,所以直线与双曲线没有公共点.当,,解之得.故答案为：C【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.3.在中,,,,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如图所示,由＝＝,可得,代入即可得出.【详解】如图所示,∵＝＝,∴,∴•＝＝＝﹣.故答案为：【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质,考查了计算能力,属于基础题..4.已知数列的前项和为,正项等比数列中,,,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】数列{a n}的前n项和S n＝n2﹣n,a1＝S1＝0,n≥2时,a n＝S n﹣S n﹣1,可得a n.设正项等比数列{b n}的公比为q＞0,b2＝a3＝4.b n+3b n﹣1＝4b n2(n≥2,n∈N+),化为q2＝4,解得q,可得b n.【详解】数列{a n}的前n项和S n＝n2﹣n,∴a1＝S1＝0,n≥2时,a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣2,n＝1时也成立.∴a n＝2n﹣2.设正项等比数列{b n}的公比为q＞0,b2＝a3＝4.b n+3b n﹣1＝4b n2(n≥2,n∈N+),∴＝4,化为q2＝4,解得q＝2.∴b1×2＝4,解得b1＝2.∴b n＝2n.则log2b n＝n.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查数列通项的求法,考查等比数列通项的求法,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)若在已知数列中存在：的关系,可以利用项和公式,求数列的通项.5.已知直线与圆相交于,,且为等腰直角三角形,则实数的值为( )A.或B.C.D.1或【答案】D【解析】【分析】由三角形ABC为等腰直角三角形,得到圆心C到直线的距离d＝rsin45°,利用点到直线的距离公式列出方程,求出方程的解即可得到a的值.【详解】∵由题意得到△ABC为等腰直角三角形,∴圆心C(1,﹣a)到直线ax+y﹣1＝0的距离d＝rsin45°,即＝,整理得：1+a2＝2,即a2＝1,解得：a＝﹣1或1,故答案为：D【点睛】此题考查了直角与圆的位置关系,涉及的知识有：点到直线的距离公式,圆的标准方程,等腰直角三角形的性质,以及锐角三角函数定义,熟练掌握公式及性质是解本题的关键. 6.在中,分别是角的对边,若,则的值为( )A. B.1 C.0 D.2014【答案】A【解析】【分析】由a2+b2＝2014c2,利用余弦定理可得a2+b2﹣c2＝2013c2＝2abcosC.利用三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理可得＝＝＝即可得出.【详解】∵a2+b2＝2014c2,∴a2+b2﹣c2＝2013c2＝2abcosC.∴＝＝＝＝2013.故答案为：A【点睛】本题考查了三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理、余弦定理等基础知识与基本技能方法,属于难题.7.已知点是圆内一点,直线是以为中点的弦所在的直线,直线的方程为,那么( )A.且与圆相切B.且与圆相切C.且与圆相离D.且与圆相离【答案】C【解析】【分析】求圆心到直线的距离,然后与a2+b2＜r2比较,可以判断直线与圆的位置关系,易得两直线的关系.【详解】以点M为中点的弦所在的直线的斜率是﹣,直线m的斜率为,∴直线l⊥m, ∵点M(a,b)是圆x2+y2＝r2内一点,∴a2+b2＜r2,∴圆心到bx﹣ay＝r2的距离是＞r,故相离.故答案为：C【点睛】本题主要考查直线的位置关系,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8.若圆和圆关于直线对称,过点的圆与轴相切,则圆心的轨迹方程是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出两个圆的圆心坐标,两个半径,利用两个圆关于直线的对称知识,求出a的值,然后求出过点C(﹣a,a)的圆P与y轴相切,就是圆心到C的距离等于圆心到y轴的距离,即可求出圆心P的轨迹方程.【详解】圆x2+y2﹣ax+2y+1＝0的圆心(),因为圆x2+y2﹣ax+2y+1＝0与圆x2+y2＝1关于直线y＝x﹣1对称,设圆心()和(0,0)的中点为(),所以()满足直线y＝x﹣1方程,解得a＝2,过点C(﹣2,2)的圆P与y轴相切,圆心P的坐标为(x,y)所以解得：y2+4x﹣4y+8＝0,所以圆心的轨迹方程是y2+4x﹣4y+8＝0,故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查圆关于直线的对称问题,考查动点的轨迹方程的求法,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求轨迹方程的四种主要方法：①待定系数法：通过对已知条件的分析,发现动点满足某个曲线(圆、圆锥曲线)的定义,然后设出曲线的方程,求出其中的待定系数,从而得到动点的轨迹方程.②代入法：如果点的运动是由于点的运动引起的,可以先用点的坐标表示点的坐标,然后代入点满足的方程,即得动点的轨迹方程.③直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程.④参数法：动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的,可以选参、设参,然后用这个参数表示动点的坐标,即,再消参.9.平行四边形中,,,点在边上,则的最大值为( )A. B. C.0 D.2【答案】D【解析】【分析】根据向量的数量积的运算,求出A＝120°,再建立坐标系,得到•＝x(x﹣2)+＝x2﹣2x+＝(x﹣1)2﹣,设f(x)＝(x﹣1)2﹣,利用函数的单调性求出函数的最值,问题得以解决.【详解】∵平行四边形ABCD中,AB＝2,AD＝1,•＝﹣1,点M在边CD上,∴||•||•cos∠A＝﹣1,∴cosA＝﹣,∴A＝120°,以A为原点,以AB所在的直线为x轴,以AB的垂线为y轴,建立如图所示的坐标系,∴A(0,0),B(2,0),D(﹣,),设M(x,),则﹣≤x≤,∴＝(﹣x,﹣),＝(2﹣x,﹣),∴•＝x(x﹣2)+＝x2﹣2x+＝(x﹣1)2﹣,设f(x)＝(x﹣1)2﹣,则f(x)在[﹣,1)上单调递减,在[1,]上单调递增,∴f(x)min＝f(1)＝﹣,f(x)max＝f(﹣)＝2,则•的最大值是2,故答案为：D【点睛】本题考查了向量的数量积定义和向量数量积的坐标表示和函数的最值问题,关键是建立坐标系,属于中档题.10.已知椭圆上一点关于原点的对称点为,为其右焦点,若,设,且,则该椭圆的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】椭圆＝1(a＞b＞0)焦点在x轴上,四边形AFF1B为长方形.根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|＝2a,∠ABF＝α,则∠AF1F＝α.椭圆的离心率e＝＝＝,α∈[,],≤sin(α+)≤1,≤≤﹣1,即可求得椭圆离心率e的取值范围.【详解】椭圆＝1(a＞b＞0)焦点在x轴上,椭圆上点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点,设左焦点为F1,连接AF,AF1,BF, BF1,∴四边形AFF1B为长方形.根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|＝2a,∠ABF＝α,则：∠AF1F＝α.∴2a＝2ccosα+2csinα椭圆的离心率e＝＝＝,α∈[,],∴≤α+≤,则：≤sin(α+)≤1,∴≤≤﹣1,∴椭圆离心率e的取值范围：,故答案为：【点睛】本题考查椭圆的定义,三角函数关系式的恒等变换,利用定义域求三角函数的值域,离心率公式的应用,属于中档题型.(2)求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：①利用圆锥曲线的变量的范围,建立不等关系；②直接根据已知中的不等关系,建立关于离心率的不等式；③利用函数的思想分析解答.11.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点,点为抛物线的焦点,在抛物线上且满足,当取最大值时,点恰好在以,为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】过P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义,结合|PA|＝m|PB|,可得＝,设PA的倾斜角为α,则当m取得最大值时,sinα最小,此时直线PA与抛物线相切,求出P的坐标,利用双曲线的定义,即可得出结论.【详解】过P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|＝|PB|, ∵|PA|＝m|PB|,∴|PA|＝m|PN|,∴＝,设PA的倾斜角为α,则sinα＝,当m取得最大值时,sinα最小,此时直线PA与抛物线相切,设直线PA的方程为y＝kx﹣1,代入x2＝4y,可得x2＝4(kx﹣1),即x2﹣4kx+4＝0,∴△＝16k2﹣16＝0,∴k＝±1,∴P(2,1),∴双曲线的实轴长为PA﹣PB＝2(﹣1),∴双曲线的离心率为＝+1.故答案为：C【点睛】本题考查抛物线的性质,考查双曲线、抛物线的定义,考查学生分析解决问题的能力,当m取得最大值时,sinα最小,此时直线PA与抛物线相切,是解题的关键.(2)圆锥曲线的离心率常见的有两种方法：公式法和方程法.12.已知在上的函数满足如下条件：①函数的图象关于轴对称；②对于任意,；③当时,；④函数,,若过点的直线与函数的图象在上恰有8个交点,则直线斜率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件分别判断函数的周期性,奇偶性以及函数在一个周期上的图象,利用函数与图象之间的关系,利用数形结合进行求解即可.【详解】∵函数f(x)的图象关于y轴对称,∴函数f(x)是偶函数,由f(2+x)﹣f(2﹣x)＝0得f(2+x)＝f(2﹣x)＝f(x﹣2),即f(x+4)＝f(x),即函数f(x)是周期为4的周期函数,若x∈[﹣2,0],则x∈[0,2],∵当x∈[0,2]时,f(x)＝x,∴当﹣x∈[0,2]时,f(﹣x)＝﹣x,∵函数f(x)是偶函数,∴f(﹣x)＝﹣x＝f(x),即f(x)＝﹣x,x∈[﹣2,0],则函数f(x)在一个周期[﹣2,2]上的表达式为f(x)＝,∵f(n)(x)＝f(2n﹣1•x),n∈N*,∴数f(4)(x)＝f(23•x)＝f(8x),n∈N*,故f(4)(x)的周期为,其图象可由f(x)的图象压缩为原来的得到,作出f(4)(x)的图象如图：易知过M(﹣1,0)的斜率存在,设过点(﹣1,0)的直线l的方程为y＝k(x+1),设h(x)＝k(x+1),则要使f(4)(x)的图象在[0,2]上恰有8个交点,则0＜k＜k MA,∵A(,0),∴k MA＝＝,故0＜k＜,故选：A.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用,根据条件判断函数的性质,结合数形结合是解决本题的关键.综合性较强,难度较大.(2)函数零点问题的处理常用的有方程法、图像法、方程+图像法.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.在中,分别是角的对边,已知,,的面积为,则的值为_______________.【答案】2【解析】【分析】根据解出A＝,利用三角形的面积公式算出c＝2.根据余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA的式子算出c＝,最后利用正弦定理加以计算,即可得到答案.【详解】∵,A∈(0,π)∴2A+＝,可得A＝∵b＝1,△ABC的面积为,∴S＝bcsinA＝,即,解之得c＝2由余弦定理,得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝1+4﹣2×＝3∴a＝(舍负)根据正弦定理,得＝＝＝2故答案为：2【点睛】本题着重考查了特殊角的三角函数值、三角形的面积公式、正余弦定理解三角形等知识,属 于中档题. 14.已知平面上有四点,向量,,满足：,,则的周长是_______________.【答案】【解析】 【分析】先判断三角形为正三角形,再根据正弦定理,问题得以解决. 【详解】平面上有四点O,A,B,C ,满足++＝,∴O 是△ABC 的重心, ∵•＝•, ∴•(﹣)＝•＝0,即：⊥, 同理可得：⊥,⊥,即O 是垂心,故△ABC 是正三角形, ∵•＝•＝•＝﹣1,令外接圆半径R ,则：R 2cos(∠AOB)＝R 2cos()＝﹣1即：R ＝ 即：＝＝2R ＝2,即：a ＝, 故周长：3a ＝3, 故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的有关知识以及正弦定理解三角形等有关知识,属于中档题.15.已知、是椭圆和双曲线的公共焦点,是他们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_______________.【答案】【解析】【分析】设|PF1|＝r1,|PF2|＝r2,|F1F2|＝2c,椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,由余弦定理可得4c2＝(r1)2+(r2)2﹣2r1r2cos,①在椭圆中,①化简为即4c2＝4a2﹣3r1r2…②,在双曲线中,化简为即4c2＝4a12+r1r2…③,,再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值.【详解】设椭圆的长半轴为a,双曲线的实半轴为a1,(a＞a1),半焦距为c, 由椭圆和双曲线的定义可知,设|PF1|＝r1,|PF2|＝r2,|F1F2|＝2c,椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,∵∠F1PF2＝,则∴由余弦定理可得4c2＝(r1)2+(r2)2﹣2r1r2cos,①在椭圆中,①化简为即4c2＝4a2﹣3r1r2…②,在双曲线中,①化简为即4c2＝4a12+r1r2…③,,由柯西不等式得(1+)()≥()2故答案为：【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质,利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键.属于难题.16.已知数列的前项和,若不等式对恒成立,则整数的最大值为________________.【答案】4【解析】【分析】由数列递推式求得首项,然后构造出等差数列{},求出通项后代入不等式2n2﹣n﹣3＜(5 ﹣λ)a n,整理后得到5﹣λ.然后根据数列的单调性求得最值得答案.【详解】当n＝1时,,得a1＝4；当n≥2时,,两式相减得,得,∴.又,∴数列{}是以2为首项,1为公差的等差数列,,即.∵a n＞0,∴不等式2n2﹣n﹣3＜(5﹣λ)a n,等价于5﹣λ.记,n≥2时,.∴n≥3时,,.∴5﹣λ,即,∴整数λ的最大值为4.故答案为:4【点睛】本题考查了数列通项的求法,考查了等差关系的确定,考查了数列的函数特性,考查了不等式的恒成立问题,是中档题.(2)解答本题的关键有两点,其一是根据求数列的通项,其二是求的最大值.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算17.在中,角的对边分别是,已知向量,,且满足.(1)求角的大小；(2)若,试判断的形状.【答案】(1)(2) 直角三角形【解析】【分析】(1)直接化简得,.(2)联立①,②,化简得或,当b＝2c时,可以推理得到为直角三角形,同理,若,则也为直角三角形.【详解】(1)∵,代入,,有,∴,即,∴,.(2)∵,∴①又∵②联立①②有,,即,解得或,又∵,若,则,∴,为直角三角形,同理,若,则也为直角三角形.【点睛】(1)本题主要考查三角恒等变换,考查余弦定理解三角形,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是推理得到或.18.已知圆经过原点且与直线相切于点(Ⅰ)求圆的方程；(Ⅱ)在圆上是否存在两点关于直线对称,且以线段为直径的圆经过原点？若存在,写出直线的方程；若不存在,请说明理由【答案】(Ⅰ).【解析】【分析】(Ⅰ)由已知得圆心经过点P(4,0)、且与y＝2x﹣8垂直的直线上,它又在线段OP 的中垂线x＝2上,求得圆心C(2,1),半径为,可得圆C的方程.(Ⅱ)假设存在两点M,N关于直线y＝kx﹣1对称,则y＝kx﹣1通过圆心C(2,1),求得k＝1,设直线MN为y＝﹣x+b,代入圆的方程,利用韦达定理及•＝0,求得b的值,可得结论. 【详解】(Ⅰ)法一：由已知,得圆心在经过点且与垂直的直线上,它又在线段的中垂线上,所以求得圆心,半径为.所以圆的方程为.(细则：法一中圆心3分,半径1分,方程2分)法二：设圆的方程为,可得解得,所以圆的方程为(细则：方程组中一个方程1分)(Ⅱ)假设存在两点关于直线对称,则通过圆心,求得,所以设直线为代入圆的方程得,设,,则解得或这时,符合题意,所以存在直线为或符合条件(细则：未判断的扣1分).【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合应用问题,其中解答中涉及到圆的标准方程及其简单的几何性质的应用,直线与圆的位置关系的应用,向量的坐标运算等知识点的考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,本题的解答中把直线的方程和椭圆方程联立,转化为方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答问题的关键19.各项均为正数的数列中,,是数列的前项和,对任意,有.(1)求常数的值；(2)求数列的通项公式；(3)记,求数列的前项和.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)令中n＝1即得p的值.(2)利用项和公式求数列的通项公式.(3)先求出,再利用错位相减法求数列的前项和.【详解】解：(1)由及,得：,∴.(2)由①,得②由②－①,得,即：,∴,由于数列各项均为正数,∴,即,∴数列是首项为1,公差为的等差数列,∴数列的通项公式是.(3)由,得：,∴,∴,.【点睛】(1)本题主要考查项和公式求数列的通项,考查等差数列的通项和求和公式,考查错位相减法求和,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)数列,其中是等差数列,是等比数列,则采用错位相减法.20.已知椭圆的离心率,原点到过点,的直线的距离是.(1)求椭圆的方程；(2)如果直线交椭圆于不同的两点,且都在以为圆心的圆上,求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由题得到a,b的方程组,解方程组即得椭圆的标准方程.(2)联立直线和椭圆的方程消去y 得到,可知,设,,的中点是,求出M的坐标,再根据求出k的值.【详解】解：(1)因为,,所以,因为原点到直线的距离,解得,,故所求椭圆的方程为.(2)由题意消去,整理得,可知,设,,的中点是,则,,所以,所以,即,又因为,所以,所以.【点睛】(1)本题主要考查椭圆方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键是利用韦达定理求出点M的坐标,根据已知得到.21.已知定点,定直线：,动圆过点,且与直线相切.(Ⅰ)求动圆的圆心轨迹的方程；(Ⅱ)过点的直线与曲线相交于,两点,分别过点,作曲线的切线,,两条切线相交于点,求外接圆面积的最小值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)当时线段最短,最短长度为4,此时圆的面积最小,最小面积为.【解析】试题分析：(Ⅰ)设,由化简即可得结论；(Ⅱ)由题意的外接圆直径是线段,设：,与联立得,从而得,时线段最短,最短长度为4,此时圆的面积最小,最小面积为.试题解析：(Ⅰ)设点到直线的距离为,依题意.设,则有.化简得.所以点的轨迹的方程为.(Ⅱ)设：,代入中,得.设,,则,.所以.因为：,即,所以.所以直线的斜率为,直线的斜率为.因为,所以,即为直角三角形.所以的外接圆的圆心为线段的中点,线段是直径.因为,所以当时线段最短,最短长度为4,此时圆的面积最小,最小面积为.【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式,属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法,设出动点的坐标,根据题意列出关于的等式即可；②定义法,根据题意动点符合已知曲线的定义,直接求出方程；③参数法,把分别用第三个变量表示,消去参数即可；④逆代法,将代入.本题(Ⅰ)就是利用方法①求圆心轨迹方程的.22.设函数.(1)当时,求函数的最大值；(2)令,其图象上任意一点处切线的斜率恒成立,求实数的取值范围；(3)当,,方程有唯一实数解,求正数的值.【答案】(1)(2) (3)【解析】【分析】(1)利用导数求函数的单调区间即得函数的最大值.(2)由题得,.再求右边二次函数的最大值即得.(3)转化为有唯一实数解,设,再研究函数在定义域内有唯一的零点得解.【详解】(1)依题意,知的定义域为,当时,,,令,解得.(∵)因为有唯一解,所以,当时,,此时单调递增；当时,,此时单调递减,所以的极大值为,此即为最大值.(2),,则有,在上恒成立,所以,.当时,取得最大值,所以.(3)因为方程有唯一实数解,所以有唯一实数解,设,则,令,,因为,,所以(舍去),,当时,,在上单调递减；当时,,在上单调递增；当时,,取最小值.则,即,所以,因为,所以(*)设函数,因为当时,是增函数,所以至多有一解,因为,所以方程(*)的解为,即,解得.【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数的最值,考查利用导数研究不等式的恒成立问题,考查利用导数研究函数的零点,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)研究函数的零点问题常用的有方程法、图像法、方程+图像法.。

衡水金卷2018届全国高三大联考理科第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|540}M x x x =-+≤，{|24}xN x =>，则 ( ) A ．{|24}M N x x =<< B ．M N R =C ．{|24}MN x x =<≤D ．{|2}MN x x =>2. 记复数z 的虚部为Im()z ，已知复数5221iz i i =--（i 为虚数单位），则Im()z 为( ) A ．2 B ．-3 C ．3i - D ．33. 已知曲线32()3f x x =在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-=+( ) A ．12 B ．2 C ．35 D ． 38- 4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( ) A ．27265mm π B ．236310mm π C.23635mm π D ．236320mm π5. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线经过圆E ：22240x y x y +-+=的圆心，则双曲线C 的离心率为( )A 6. 已知数列{}n a 为等比数列，且2234764a a a a =-=-，则46tan()3a a π⋅=( )A ． D ．-7. 执行如图的程序框图，若输出的S 的值为-10，则①中应填( )A ．19?n <B ．18?n ≥ C. 19?n ≥ D ．20?n ≥()f x 为R 内的奇函数，且当0x ≥时，2()1cos f x e m x =-++，记2(2)a f =--，(1)b f =--，3(3)c f =，则a ，b ，c 间的大小关系是( )A ．b a c <<B ．a c b << C.c b a << D ．c a b <<9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )A ．23π+ B ．12π+ C.26π+ D ．23π+ 10. 已知函数()2sin()(0,[,])2f x x πωϕωϕπ=+<∈的部分图象如图所示，其中5||2MN =.记命题p ：5()2sin()36f x x ππ=+，命题q ：将()f x 的图象向右平移6π个单位，得到函数22sin()33y x ππ=+( )A.p q ∧为真B.p q ∨为假C.()p q ⌝∨为真D.()p q ∧⌝为真24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为 ( )A ．712612+．926910+．832612{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，2*63,n nS a a n N =+∈，12(21)(21)nn n a n a a b +=--，若*,n n N k T ∀∈>恒成立，则k 的最小值是( )A ．71 B ．149 C. 49 D ．8441第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每题5分.ABC ∆中，||||BC AB CB =-，(1,2)AB =，若边AB 的中点D 的坐标为(3,1)，点C 的坐标为(,2)t ，则t = ． 14. 已知*1()()2nx n N x-∈的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p ，q ，则64p q +的最小值为 ．15. 已知x ，y 满足3,,60,x y t x y π+≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩其中2t π>，若sin()x y +的最大值与最小值分别为1，12，则实数t 的取值范围为 ．16.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao ）.已知在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，2MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为 ．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数21()cos 3sin()cos()2f x x x x ππ=+-+-，x R ∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()1f A =-，3a =，sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积.18. 如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//,CD AB BC AB ⊥，侧面ABE ⊥平面ABCD ，且222AB AE BE BC CD =====，动点F 在棱AE 上，且EF FA λ=. （1）试探究λ的值，使//CE 平面BDF ，并给予证明； （2）当1λ=时，求直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值.A 市的普及情况，A 市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（ⅠA 市使用网络外卖的情况与性别有关？（Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率②将频率视为概率，从A 市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20()P K k ≥0k20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为点1F ，2F ，其离心率为12，短轴长为3（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点1F 的直线1l 与椭圆C 交于M ，N 两点，过点2F 的直线2l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且12//l l ，证明：四边形MNPQ 不可能是菱形.21. 已知函数，()(1)(,)xf x e a x b a b R =-+-∈其中e 为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性及极值；（Ⅱ）若不等式()0f x ≥在x R ∈内恒成立，求证：(1)324b a +<. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos ,sin x t y αα=⎧⎨=⎩（0t >，α为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()34πθ+=.（Ⅰ）当1t =时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21|1|f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式()3f x ≤；（Ⅱ）记函数()()|1|g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：2313t t t+≥+.衡水金卷2018届全国高三大联考理科参考答案及评分细则一、选择题1-5: CBCBA 6-10:ACDAD 11、12：BB二、填空题13. 1 14. 16 15. 57[,]66ππ16. 24π-三、解答题17. 解：（1）原式可化为，21()cos cos 2f x x x =-，1cos 21222x x +=-， sin(2)sin(2)66x x ππ=-=--， 故其最小正周期22T ππ==，令2()62x k k Z πππ-=+∈， 解得()23k x k Z ππ=+∈，即函数()f x 图象的对称轴方程为，()23k x k Z ππ=+∈. （2）由（1），知()sin(2)6f x x π=--， 因为02A π<<，所以52666A πππ-<-<. 又()sin(2)16f A A π=--=-，故得262A ππ-=，解得3A π=.由正弦定理及sin sin b C a A =，得29bc a ==.故1sin 2ABC S bc A ∆==18.（1）当12λ=时，//CE 平面BDF . 证明如下：连接AC 交BD 于点G ，连接GF . ∵//,2CD AB AB CD =，∴12CG CD GA AB ==. ∵12EF FA =，∴12EF CG FA GA ==.∴//GF CE .又∵CE ⊄平面BDF ，GF ⊂平面BDF ，∴//CE 平面BDF .（2）取AB 的中点O ,连接EO . 则EO AB ⊥.∵平面ABE ⊥平面ABCD ，平面ABE 平面ABCD AB =，且EO AB ⊥，∴EO ⊥平面ABCD .∵//BO CD ，且1BO CD ==，∴四边形BODC 为平行四边形，∴//BC DO . 又∵BC AB ⊥，∴//AB DO .由,,OA OD OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .则(0,0,0)O ，(0,1,0)A ，(0,1,0)B -，(1,0,0)D ，(1,1,0)C -，3)E . 当1λ=时，有EF FA =， ∴可得13(0,)2F . ∴(1,1,0)BD =，(3)CE =-，33(1,2BF =. 设平面BDF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则有0,0,n BD n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,330,22x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令3z =1y =-，1x =.即(1,1,3)n =-.设CE 与平面BDF 所成的角为θ， 则sin |cos |CE n θ=<⋅>=1555=⨯.∴当1λ=时，直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值为15. 19.解：（1）由列联表可知2K 的观测值，2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++2200(50405060) 2.020 2.07211090100100⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.A 市使用网络外卖情况与性别有关.（2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有6053100⨯=（人）， 偶尔或不用网络外卖的有4052100⨯=（人）. 则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为2133233355710C C C P C C =+=. ②由22⨯列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为1101120020=， 将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人， 恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为1120. 由题意得11~(10,)20X B ， 所以1111()10202E X =⨯=；11999()10202040D X =⨯⨯=. 20. 解：（1）由已知，得12c a =，3b =，又222c a b =-， 故解得224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）由（1），知1(1,0)F -，如图，易知直线MN 不能平行于x 轴.所以令直线MN 的方程为1x my =-，11(,)M x y ，22(,)N x y .联立方程2234120,1,x y x my ⎧+-=⎨=-⎩，得22(34)690m y my +--=， 所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+.此时MN = 同理，令直线PQ 的方程为1x my =+，33(,)P x y ，44(,)Q x y ，此时342634m y y m -+=+，342934y y m -=+，此时PQ =故||||MN PQ =.所以四边形MNPQ 是平行四边形.若MNPQ 是菱形，则OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=， 于是有12120x x y y +=. 又1212(1)(1)x x my my =--，21212()1m y y m y y =-++，所以有21212(1)()10m y y m y y +-++=，整理得到22125034m m --=+， 即21250m +=，上述关于m 的方程显然没有实数解，故四边形MNPQ 不可能是菱形.21.解：（1）由题意得'()(1)xf x e a =-+.当10a +≤，即1a ≤-时，'()0f x >，()f x 在R 内单调递增，没有极值.当10a +>，即1a >-， 令'()0f x =，得ln(1)x a =+，当ln(1)x a <+时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当ln(1)x a >+时，'()0f x >，()f x 单调递增，故当ln(1)x a =+时，()f x 取得最小值(ln(1))1(1)ln(1)f a a b a a +=+--++，无极大值. 综上所述，当1a ≤-时，()f x 在R 内单调递增，没有极值；当1a >-时，()f x 在区间(,ln(1))a -∞+内单调递减，在区间(ln(1),)a ++∞内单调递增，()f x 的极小值为1(1)ln(1)a b a a +--++，无极大值.（2）由（1），知当1a ≤-时，()f x 在R 内单调递增，当1a =-时，(1)3024b a +=<成立. 当1a <-时，令c 为1-和11ba -+中较小的数，所以1c ≤-，且11bc a-≤+.则1x e e -≤，(1)(1)a c b -+≤--+.所以1()(1)(1)0xf c e a c b e b b -=-+-≤---<， 与()0f x ≥恒成立矛盾，应舍去.当1a >-时，min ()(ln(1))f x f a =+=1(1)ln(1)0a b a a +--++≥， 即1(1)ln(1)a a a b +-++≥，所以22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a +≤+-++. 令22()ln (0)g x x x x x =->， 则'()(12ln )g x x x =-.令'()0g x >，得0x <<令'()0g x <，得x >故()g x 在区间内单调递增，在区间)+∞内单调递减.故max ()2e g x g e e ==-=，即当11a a +=⇒=时，max ()2e g x =. 所以22(1)(1)(1)ln(1)2e a b a a a +≤+-++≤. 所以(1)24b a e +≤. 而3e <， 所以(1)324b a +<. 22.解：（1）直线l 的直角坐标方程为30x y +-=.曲线C 上的点到直线l 的距离，d ==|)3|πα+- 当sin()14πα+=-时，max 22d +==， 即曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为22+. （2）∵曲线C 上的所有点均在直线l 的下方，∴对R α∀∈，有cos sin 30t αα+-<恒成立，)3αϕ-<（其中1tan tϕ=）恒成立，3<.又0t >，∴解得0t <<∴实数t的取值范围为(0,. 23.解：（1）依题意，得3,1,1()2,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩于是得1,()333,x f x x ≤-⎧≤⇔⎨-≤⎩或11,223,x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1,233,x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩解得11x -≤≤.即不等式()3f x ≤的解集为{|11}x x -≤≤.（2）()()|1|g x f x x =++=|21||22|x x -++≥|2122|3x x ---=， 当且仅当(21)(22)0x x -+≤时，取等号，∴[3,)M =+∞.原不等式等价于2331t t t-+-， 22233(3)(1)t t t t t t t-+--+==. ∵t M ∈，∴30t -≥，210t +>.∴2(3)(1)0t t t-+≥. ∴2313t t t+≥+.。

2017-2018学年度高三上学期一调考试数学（理）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）{}1A B =，则D.{A ．12-B ．0C ．12D ．23. 执行如图的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为( )A.5B.4C.3D.2A.3B.C.D.66. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的所有棱中,最长的棱长为( )A.3B.C.A.()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B.[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭11. 已知函数()321f x x ax=++的对称中心的横坐标为x0(x0>0)且f(x)有三个零点,则实数a的取值范围是( )A.(),0-∞B.,⎛-∞⎝⎭C.()0,+∞ D.(),1-∞-第II卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 如图,正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若AC AM BNλμ=+，则λ+μ=___ .14. 已知定义在实数集R的函数f(x)满足f(1)=4且f(x)导函数f′(x)<3,则不等式f(ln x)>3ln x+1的解集为___.15. 已知数列{a n}的前n项和为S n , S1=6, S2=4, S n>0,且S2n , S2n−1 . S2n+2成等比数列,S2n−1.S2n+2,S2n+1成等差数列,则a2016等于___.5[f(x)]2−(5a+6)f(x)+6a=0(a∈R)有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是___.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）17.(本小题满分12分)在ABC∆中，角A,B,C,的对边分别是a，b，c()cos2cosC b A=.（1）求角A的大小；（2）求25cos2sin22CBπ⎛⎫--⎪⎝⎭得取值范围.18. (本小题满分12分)高三某班12月月考语文成绩服从正态分布N（100，17.52），数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135的则认为特别优秀．（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有x人，求x的分布列和数学期望．（附公式及表）若x～N（μ，σ2），则P（μ-σ<x≤μ+σ）=0.68，P（μ-2σ<x≤μ+2σ）=0.96．11120. (本小题满分12分)已知曲线f(x)=ax+bx2ln x在点(1,f(1))处的切线是y=2x−1. (Ⅰ)求实数a、b的值。

衡水金卷2018届全国三大联考理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后,将答题卷交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|540}M x x x =-+≤，{|24}xN x =>，则 ( ) A ．{|24}M N x x =<< B ．M N R =C ．{|24}MN x x =<≤D ．{|2}MN x x =>2. 记复数z 的虚部为Im()z ，已知复数5221iz i i =--（i 为虚数单位），则Im()z 为( ) A ．2 B ．-3 C ．3i - D ．33. 已知曲线32()3f x x =在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-=+( ) A ．12 B ．2 C ．35 D ． 38- 4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( ) A ．27265mm π B ．236310mm π C.23635mm π D ．236320mm π5率A6A7A8cA9A1f下A1线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为 ( )A ．712612 B ．926+ C. 910+ D ．83261212.已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，2*63,n n S a a n N =+∈，12(21)(21)nn n a n a a b +=--，若*,n n N k T ∀∈>恒成立，则k 的最小值是( ) A ．71 B ．149 C. 49 D ．8441第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13.已知在ABC ∆中，||||BC AB CB =-，(1,2)AB =，若边AB 的中点D 的坐标为(3,1)，点C 的坐标为(,2)t ，则t = ． 14. 已知*1()()2nx n N x-∈的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p ，q ，则64p q +的最小值为 ．15. 已知x ，y 满足3,,60,x y t x y π+≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩其中2t π>，若sin()x y +的最大值与最小值分别为1，12，则实数t 的取值范围为 ．16.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao ）.已知在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，2MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为 ．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1（（求1且（（1的调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖的情况与性别有关？ （Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率②将频率视为概率，从A 市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20()P K k ≥0.050 0.010 0.001 0k3.8416.63510.82820. 已知椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点分别为点1F ，2F ，其离心率为12，短轴长为3（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（四2（（请2在轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线lsin()34θ+=.（Ⅰ）当1t =时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21|1|f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式()3f x ≤；（Ⅱ）记函数()()|1|g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：2313t t t+≥+.一1二、填空题13. 1 14. 16 15. 57[,]66ππ16. 2482ππ- 三、解答题17. 解：（1）原式可化为，21()cos 3sin cos 2f x x x =--，1cos 231sin 2222x x +=--， sin(2)sin(2)66x x ππ=-=--， 故其最小正周期22T ππ==，令2()62x k k Z πππ-=+∈，解得()23k x k Z ππ=+∈，即函数()f x 图象的对称轴方程为，()23k x k Z ππ=+∈. （2）由（1），知()sin(2)6f x x π=--， 因为02A π<<，所以52666A πππ-<-<. 又()sin(2)16f A A π=--=-，故得262A ππ-=，解得3A π=.由正弦定理及sin sin b C a A =，得29bc a ==. 故193sin 24ABCS bc A ∆==. 18.（1）当12λ=时，//CE 平面BDF . 证明如下：连接AC 交BD 于点G ，连接GF . ∵//,2CD AB AB CD =，∴12CG CD GA AB ==. ∵12EF FA =，∴12EF CG FA GA ==. ∴又∴（则∵∴∵∴又由则当∴∴设则令即设则sin |cos |CE n θ=<⋅>=1555=⨯. ∴当1λ=时，直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值为15. 19.解：（1）由列联表可知2K 的观测值，2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++2200(50405060) 2.020 2.07211090100100⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖情况与性别有关. （2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有6053100⨯=（人）， 偶尔或不用网络外卖的有4052100⨯=（人）. 则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为2133233355710C C C P C C =+=. ②由22⨯列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为1101120020=， 将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人， 恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为1120. 由题意得11~(10,)20X B ， 所以1111()10202E X =⨯=；11999()10202040D X =⨯⨯=. 20. 解：（1）由已知，得12c a =，3b =，又222c a b =-， 故解得224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）由（1），知1(1,0)F -，如图，易所M联得所此同P此此故所若于又=所整即21250m +=，上述关于m 的方程显然没有实数解， 故四边形MNPQ 不可能是菱形.21.解：（1）由题意得'()(1)xf x e a =-+.当10a +≤，即1a ≤-时，'()0f x >，()f x 在R 内单调递增，没有极值. 当10a +>，即1a >-， 令'()0f x =，得ln(1)x a =+，当ln(1)x a <+时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当ln(1)x a >+时，'()0f x >，()f x 单调递增，故当ln(1)x a =+时，()f x 取得最小值(ln(1))1(1)ln(1)f a a b a a +=+--++，无极大值. 综上所述，当1a ≤-时，()f x 在R 内单调递增，没有极值；当1a >-时，()f x 在区间(,ln(1))a -∞+内单调递减，在区间(ln(1),)a ++∞内单调递增，()f x 的极小值为1(1)ln(1)a b a a +--++，无极大值.（2）由（1），知当1a ≤-时，()f x 在R 内单调递增，当1a =-时，(1)3024b a +=<成立. 当1a <-时，令c 为1-和11ba -+中较小的数，所以1c ≤-，且11bc a-≤+.则1x e e -≤，(1)(1)a c b -+≤--+.所以1()(1)(1)0xf c e a c b e b b -=-+-≤---<， 与()0f x ≥恒成立矛盾，应舍去.当1a >-时，min ()(ln(1))f x f a =+=1(1)ln(1)0a b a a +--++≥， 即1(1)ln(1)a a a b +-++≥，所以22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a +≤+-++. 令22()ln (0)g x x x x x =->，则令令故在故即所所而所2曲当即（∴即∴又∴23.解：（1）依题意，得3,1,1()2,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩于是得1,()333,x f x x ≤-⎧≤⇔⎨-≤⎩或11,223,x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1,233,x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩ 解得11x -≤≤.即不等式()3f x ≤的解集为{|11}x x -≤≤.（2）()()|1|g x f x x =++=|21||22|x x -++≥|2122|3x x ---=， 当且仅当(21)(22)0x x -+≤时，取等号， ∴[3,)M =+∞.原不等式等价于2331t t t-+-，22233(3)(1)t t t t t t t-+--+==.∵t M ∈，∴30t -≥，210t +>.∴2(3)(1)0t t t-+≥. ∴2313t t t+≥+.高。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（一）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，，则（）A. B. C. D.2. 设是虚数单位，若，，，则复数的共轭复数是（）A. B. C. D.3. 已知等差数列的前项和是，且，则下列命题正确的是（）A. 是常数B. 是常数C. 是常数D. 是常数4. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）学*科*网...A. B. C. D.5. 已知点为双曲线：（，）的右焦点，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6. 已知函数则（）A. B. C. D.7. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A. B. C. D.8. 已知函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数的图象（）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向右平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得9. 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A. B. C. D.10. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形是边长为1的正六边形，点为的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A. B. C. D.11. 已知抛物线：的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（）A. 16B. 20C. 24D. 3212. 若函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．若，，使成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，，且，则__________．14. 已知，满足约束条件则目标函数的最小值为__________．15. 在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，则数列的前项和为__________．16. 如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．（1）求及角的大小；（2）求的值．18. 在四棱柱中，底面是正方形，且，．（1）求证：；（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为．19. “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则，．20. 已知椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由．21. 已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数，是大于0的常数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；（2）分别记直线：，与圆、圆的异于原点的焦点为，，若圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若正数，满足，求证：．一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，故，集合表示非负的偶数，故，故选C.2. 设是虚数单位，若，，，则复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，根据两复数相等的充要条件得，即，其共轭复数为，故选A.3. 已知等差数列的前项和是，且，则下列命题正确的是（）A. 是常数B. 是常数C. 是常数D. 是常数【答案】D【解析】，为常数，故选D.4. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由七巧板的构造可知，，故黑色部分的面积与梯形的面积相等，则所求的概率为，故选A.5. 已知点为双曲线：（，）的右焦点，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，解得点，又，则的中点坐标为，于是，，则，解得或（舍去），故选D.【方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据的中点坐标为在双曲线上找出之间的关系，从而求出离心率．6. 已知函数则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，的几何意义是以原点为圆心，半径为的圆的面积的，故，故选D.7. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】图中程序数列的和，因为，故此框图实质计算，故选C.8. 已知函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数的图象（）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向右平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得【答案】B【解析】，因为函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，所以函数的最小正周期为，而，，故的图象可看作是的图象向右平移个单位而得，故选B.9. 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，得，而常数项为，所以展开式中剔除常数项的各项系数和为，故选A.10. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形是边长为1的正六边形，点为的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个六棱锥，其底面是边长为的正六边形，有一个侧面是底边上的离为的等腰三角形，且有侧面底面，设球心为，半径为到底面的距离为，底面正六边形外接球圆半径为，解得此六棱锥的外接球表面枳为，故选C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力以及外接球的表面积，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.11. 已知抛物线：的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（）A. 16B. 20C. 24D. 32【答案】C【解析】易知直线，的斜率存在，且不为零，设，直线的方程为，联立方程，得，，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，又（当且仅当时取等号），的最小值为，故选C.12. 若函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．若，，使成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是定义在区间内的级类周期函数，且，，当时，，故时，时，，而当时，，，当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增，故，依题意得，即实数的取值范围是，故选B.【方法点睛】本题主要考查分段函数函数的最值、全称量词与存在量词的应用以及新定义问题. 属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）只需；（2），只需；（3），只需；（4），，.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，，且，则__________．【答案】【解析】,,故答案为.14. 已知，满足约束条件则目标函数的最小值为__________．【答案】【解析】，作出约束条件表示的可行域，如图，平移直线，由图可知直线经过点时，取得最小值，且，，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，则数列的前项和为__________．【答案】【解析】设的公比为，则由等比数列的性质，知，则，由与的等差中项为，知，得，即，则，，故答案为.16. 如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为__________．【答案】【解析】，平面，设，则五棱锥的体积，，得或（舍去），当时，单调递增，故，即的取值范围是，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．（1）求及角的大小；（2）求的值．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由及正弦定理化简可得即，从而得．又，所以，由余弦定理得；（2）由，得，所以．试题解析：（1）由及正弦定理得，即，在中，，所以．又，所以．在中，由余弦定理得，所以．（2）由，得，所以．18. 在四棱柱中，底面是正方形，且，．（1）求证：；（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为．【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）连接，，，与的交点为，连接，则，由正方形的性质可得，从而得平面，，又，所以；（2）由勾股定理可得，由（1）得所以底面，所以、、两两垂直．以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设（），求得，利用向量垂直数量积为零可得平面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式列方程可解得，从而可得结果.试题解析：（1）连接，，，因为，，所以和均为正三角形，于是．设与的交点为，连接，则，又四边形是正方形，所以，而，所以平面．又平面，所以，又，所以．（2）由，及，知，于是，从而，结合，，得底面，所以、、两两垂直．如图，以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，由，易求得．设（），则，即，所以．设平面的一个法向量为，由得令，得，设直线与平面所成角为，则，解得或（舍去），所以当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为．【方法点晴】本题主要考查利用线面垂直证明线线垂直以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则，．【答案】(1) (2) （3）的分布列为0 1 2 3 4∴．【解析】试题分析：（1）直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（2）①∵服从正态分布，且，，由可得落在内的概率是，②的可能取值为，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得的数学期望.试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．（2）①∵服从正态分布，且，，∴，∴落在内的概率是．②根据题意得，；；；；．∴的分布列为0 1 2 3 4∴．20. 已知椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由．【答案】(1) (2) 存在点，使得为定值，且定值为0．【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为可得，解方程组即可的结果；（2）由得，根据韦达定理以及过两点的直线的斜率公式可得，只需令，即可得结果.试题解析：（1）由已知可得解得，，所求椭圆方程为．（2）由得，则，解得或．设，，则，，设存在点，则，，所以．要使为定值，只需与参数无关，故，解得，当时，．综上所述，存在点，使得为定值，且定值为0．21. 已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）函数在区间上单调递增等价于在区间上恒成立，可得，函数在区间单调递减等价于在区间上恒成立，可得，综合两种情况可得结果；（2），由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调，所以在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，所以只需在区间内恰有两个零点即可，利用导数研究函数的单调性，结合函数单调性讨论的零点，从而可得结果．试题解析：（1），当函数在区间上单调递增时，在区间上恒成立，∴（其中），解得；当函数在区间单调递减时，在区间上恒成立，∴（其中），解得．综上所述，实数的取值范围是．（2）．由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调，所以在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，所以在区间内恰有两个零点．由（1）知，当时，在区间上单调递增，故在区间内至多有一个零点，不合题意．当时，在区间上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意；所以．令，得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．记的两个零点为，（），因此，，必有，．由，得，所以，又，，所以．综上所述，实数的取值范围为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数，是大于0的常数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；（2）分别记直线：，与圆、圆的异于原点的焦点为，，若圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．【答案】(1) ， (2) ，【解析】试题分析：（1）先将圆的参数方程化为直角坐标方程，再利用可得圆的极坐标方程，两边同乘以利用互化公式即可得圆的直角坐标方程；（2）由（1）知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，圆与圆外切的性质列方程解得，分别将代入、的极坐标方程，利用极径的几何意义可得线段的长.试题解析：（1）圆：（是参数）消去参数，得其普通方程为，将，代入上式并化简，得圆的极坐标方程，由圆的极坐标方程，得．将，，代入上式，得圆的直角坐标方程为．（2）由（1）知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，，∵圆与圆外切，∴，解得，即圆的极坐标方程为．将代入，得，得；将代入，得，得；故．【名师点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、圆的极坐标方程和直角坐标方程的转化以及极径的几何意义，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只需利用转化即可.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若正数，满足，求证：．【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集，即可得不等式的解集；（2）先利用基本不等式成立的条件可得，所以.学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...试题解析：（1）此不等式等价于或或解得或或．即不等式的解集为．（2）∵，，，，即，当且仅当即时取等号．∴，当且仅当，即时，取等号．∴．。

数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. z 是z 的共轭复数，若()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位），则z =（ ） A ．1i + B ．1i -- C ．1i -+ D ．1i -2. 已知向量a 与b 的夹角为60,2,5a b ==，则2a b -在a 方向上的投影为（ ） A ．32 B ．2 C ．52D ．3 3. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ） A ． 12日 B ．16日 C ． 8日 D ．9日 4. 已知0,0a b >>，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ． 4 B ．16 C ． 9 D ．35. 动点(),P x y 满足1253y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，点Q 为()1,1,O -为原点，OQ OP OQ λ=，则λ的最大值是（ ）A ． 1- B．1 C ．2 D 6. 如图为某几何体的三视图，則该几何体的表面积为（ ）A ．10 B ．10+ C．6+．67. 已知函数()()2sin sin 3f x x x ϕ=+是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则函数()()cos 2g x x ϕ=-的图象（ ）A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．可由函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到 C ．可由函数()f x 的图象向左平移6π个单位得到D ．可由函数()f x 的图象向左平移3π个单位得到8. ABC ∆中，若)sin sin cos C A A B =+，则（ ）A ．3B π=B ．2b a c =+C ．ABC ∆是直角三角形D ．222a b c =+或2B A C =+9. 已知数列{}n a 满足()111,2nn n a a a n N a *+==∈+，若()()11121,n n b n n N b a λλ*+⎛⎫=-+∈=- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是单调递增数列，則实数λ的取值范围是（ ） A ． 23λ>B ．32λ>C ．23λ<D ．32λ< 10. 如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+= （ ）A ．43 B ．53 C ．158D ．211. 已知函数()3212f x ax x =+，在1x =-处取得极大值，记()()1'g x f x =,程序框图如图所示，若输出的结果20142015S >，则判断框中可以填人的关于n 的判断条件是（ ）A ． 2014n ≤？B ．2015n ≤？C ．2014n >？D ．2015n >？12. 已知{}n a 满足()211112311,,44...44nn n n n n a a a n N S a a a a *-+⎛⎫=+=∈=++++ ⎪⎝⎭，则54n n n S a -=（ ）A ．1n -B ．nC ．2nD ．2n第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 数列{}n a 满足：11a =，且对任意的,m n N *∈都有：n m n m a a a nm +=++，则100a = ．14. 在ABC ∆中，111,2,4,,,2224A AB AC AF AB CE CA BD BC π∠======，则DE DF 的值为 ．15. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，cos23C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．16. 已知方程23ln 02x ax -+=有4个不同的实数根，則实数a 的取值范围是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且()cos 2cos C b A =.（1）求角A 的大小; （2）求25cos 2sin 22C B π⎛⎫--⎪⎝⎭的取值范围.18. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 和为n S ，()211,22n n a S na n n n N *==-+∈.（1）求证：数列{}n a 为等差数列, 并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式; （2）是否存在自然数n ,使得321...2112423n n S S S S n+++++=？若存在,求出n 的值; 若不存在, 请说明理由; （3）设()()()1232,...7n n n n c n N T c c c c n N n a **=∈=++++∈+,若不等式()32n mT m Z >∈,对n N *∈恒成立, 求m 的最大值. 19. （本小题满分12分）如图, 以坐标原点O 为圆心的单位圆与x 轴正半轴交于点A ,点,B P 在单位圆上, 且,B AOB α⎛∠= ⎝⎭. （1）求4cos 3sin 5cos 3sin αααα-+的值;（2）若四边形OAQP 是平行四边形.①当P 在单位圆上运动时，求点Q 的轨迹方程;②设()02POA θθπ∠=≤≤,点(),Q m n ,且()f m θ=+,求关于θ的函数()f θ的解析式, 并求其单调增区间.20. （本小题满分12分）已知函数()()1ln f x x a x a R x=-+∈. （1）若函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围;（2）已知()()()()()2111,22g x x m x m h x f x g x x =+-+≤-=+,当1a =时, ()h x 有两个扱值点12,x x ,且12x x <,求()()12h x h x -的最小值.21. （本小题满分12分）在单调递增数列{}n a 中, 122,4a a ==,且21221,,n n n a a a -+成等差数列,22122,n n n a a a ++ 成等比数列，1,2,3,...n =.（1）①求证：数列为等差数列;②求数列{}n a 通项公式； （2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nS ,证明:()4,33n n S n N n *>∈+. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,,A B 是圆O 上两点, 延长AB 至点C ,满足22AB BC ==,过C 作直线CD 与圆O 相切于点,D ADB ∠的平分线交AB 于点E . （1）证明:CD CE =; （2）求ADBD的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos (0,sin x a a b y b θϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线1C上的点(M 对应的参数,34ππϕθ==与曲线2C交于点4D π⎫⎪⎭. （1）求曲线1C ,2C 的普通方程; （2）()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭是曲线1C 上的两点, 求221211ρρ+的值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()2122f x x x x =-++++. （1）求证:()5f x ≥;（2）若对任意实数()229,1521x f x a a -<++都成立, 求实数a 的取值范围.河北省衡水中学2018届高三上学期第二次调研考试数学（理）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.DADBD DCB 11-12.BB 二、填空题（每小题5分，共20分）13.5050 14.14-16.20,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题17.解：解：（1cos 2sin cos cos A C B A C A =,从而可得()2sin cos 2sin cos A C B A B B A +==,又B 为三角形的内角, 所以s i n 0B ≠,于是cos A =又A 为三角形的内角, 因此6A π=.（2）255cos 2sin sin cos 1sin cos 1226C B B C B B ππ⎛⎫⎛⎫--=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭553sin coscos sin sin 1sin 1166226B B B B B B πππ⎛⎫=++-=--=-- ⎪⎝⎭,由6A π=可知,520,,,6663B B ππππ⎛⎫⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,从而1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,因此21162B π⎛⎤⎛⎫--∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦,故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围为1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 18. 解：（1）由()222n n S na n n n N *=-+∈,得()()()()211121212n n S n a n n n --=---+-≥,相减得()()()()()111144114142n n n n n n n a na n a n n a n a n a a n ---=---+⇒---=-⇒-=≥.()()2321121...2135 (21222232)n n n n n n n S S S S n n n +-⎡⎤⎣⎦∴+++++=++++-+=+=+,由221124n n +=,得10n =,即存在满足条件的自然数10n =.（3）()()12321111111111,...1...7212122231n n n n c T c c c c n a n n n n n n ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-=++++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣()1112121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭,()()()()11110,2121221n n n n n n T T T T n n n n +++-=-=>∴<++++,即n T 单调递增, 故()1min 14n T T ==要使32n m T >恒成立, 只需1324m <成立, 即()8m m Z <∈. 故符合条件m 的最大值为7 .19. 解：（1）由三角函数定义得tan 2α=-,所以4cos 3sin 43tan 10105cos 3sin 53tan 1αααααα--===-++-.（2）四边形OAQP 是平行四边形, 所以PA 与OQ 互相平分.①设PA 中点为H ,()()11,,,P x y Q x y ,则22111111,,22x y x y H +⎛⎫+=⎪⎝⎭,又111,,22x x x y H y y=-⎧⎛⎫∴⎨ ⎪=⎝⎭⎩,代入上式得点Q 的轨迹方程()2211x y -+=. ②依题意得11cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩,又由①知111cos 1,sin x m m y nn θθ=-=+⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩,()cos 12sin 16f πθθθθ⎛⎫∴=+=++ ⎪⎝⎭, 22,,0262302k k k Z ππππθππθθπ⎧-≤+≤+∈⎪∴≤≤⎨⎪≤≤⎩或()42,3f πθπθ≤≤∴的增区间为 0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 20. 解：（1）由已知可得()'0f x ≥在[]1,+∞上恒成立,()222211'1,10a x ax f x x ax x x x ++=++=∴++≥ 恒成立,21x a x--∴≥, 记()2112x x x x x ϕ--⎛⎫==-+≤- ⎪⎝⎭,当且仅当1x =时等号成立,2a ∴≥-.（2）()21ln 2h x a x x mx =++，当1a =时，由()()22111ln ,'2x mx h x x x mx h x x m x x++=++=++=，由已知210x mx ++=有两互异实根12,x x ，由根与系数的关系得1212,,1x x m x x +=-=，()()221211122211ln ln 22h x h x x x mx x x mx ⎛⎫⎛⎫∴-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()221212121ln ln 2x x m x x x x =-+-+-()()()()222211212121212211ln ln ln 22x x x x x x x x x x x x =--+-+-=--+1212121ln 2x x x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.令()()2222112121229,0,1,22x t t x x x x x x m x =∴∈+=++-≥,2222121212122155151,,,0,2222x x x x x x t t x x x x t +⎛⎫∴+≥∴=+≥+≥∴∈ ⎪⎝⎭,()()()()()2122111ln ,'222t h x h x t t t t t ϕϕ-⎛⎫∴-=--=∴=- ⎪⎝⎭,()t ϕ∴单调递减,()min 13ln 224t ϕϕ⎛⎫∴==-⎪⎝⎭. 21. 解：（1）①因为数列{}n a 单调递增数列,()120,0n a a n N *=>∴>∈, 由题意21221,,n n n a a a -+成等差数列,22122,n n n a a a ++ 成等比数列1,2,3n =得. 222121212222,2n n n n n n a a a a a a -+++=+=,于是222n a =, 化简得=所以数列为等差数列.②又233214226,9a a a a a a =-===,所以数列2=,公差为1,1d n ==+,从而()221n a n =+.结合221222n n n a a a --=可得()211n a n n -=+,因此,当n 为偶数时()2124n a n =+,当n 为奇数时()()134n n n a ++=. （2）求数列{}n a 通项公式为:()()()()()()2121327111111,11,242448nn n n n n n a n n +++++-⎡⎤⎡⎤=+-++-=++⎣⎦⎣⎦, 因为()()()22711111234844nn a n n n n n n +-=++≤++<++,所以()()14112323n a n n n n ⎛⎫>=- ⎪++++⎝⎭, 则有123111*********...4...34451223n n S a a a a n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++>-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.22. 解：（1）由题可知,,,,CDB DAB EDA EDB CED DAE EDA EDC EDB BDC∠=∠∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠,故CED EDC ∠=∠,故CD CE =.（2）因为CD 与CA 分别为圆O 的切线和割线, 所以2,3CD CB CA ==,得CD =,又因为直线CD 与圆O 相切于点D ,则CDB DAC ∠=∠,则CDB CAD ∆=∆,则3BD CD AD AC ==,故AD BD =23. 解：（1）将(m 及时对应的参数,,34ππϕθ==, 代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩得2cos 43,2sin 3a a b b ππ⎧=⎪=⎧⎪∴⎨=⎩=, 所以1C 的方程为221164x y +=,设圆2C 的半径R ,则圆2C 的方程为2cos R ρθ=(或()222x R y R -+=),将点4D π⎫⎪⎭代入得:1,R ∴=∴ 圆2C 的方程为:2cos ρθ=( 或()2211x y -+=).（2）设曲线1C 的方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=,将()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭代入得222211cos sin 1164ρθρθ+=,222222cos sin 221164ππρθρθ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=,所以2222221211cos sin sin cos 11516416416416θθθθρρ⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.24. 解：（1）()()43,25,21,27,1243,2x x x f x f x x x x x --≤-⎧⎪-<≤-⎪=∴⎨+-<≤⎪⎪+>⎩的最小值为()5,5f x ∴≥. （2）由（1）知:()152f x - 的最大值等于5,()222299111511a a a a +=++-≥=++,“=”成立,()22911a a ⇔+=+, 即a =当a =,2291a a ++ 取得最小值5,当a ≠,22951a a +>+, 又因为对任意实数()229,1521x f x a a -<++都成立, 所以a ≠a ∴的取值范围a ≠。

2017~2018学年度上学期高三年级五调考试数学(理科)试卷本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

共150分。

考试时间120分钟．第I卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑)1A B C D2．已知复数z是虚数单位)A B C D3A．向左平移1个单位长度B．向右平移1个单位长度C D4A B C D5．下列命题中正确的是A BC6．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为A BC D7A B．1 C．2 D8．已知三角形的三边长构成等比数列，设它们的公比为q，则q的一个可能值为A B C D9P，a的取值范围为A．(0，3] B．[1，3] C．[2，3] D．[1，2]10F是它的焦点，若A BC D11．已知点P右焦点，点I为△PF1F2的内心(三角形内切圆的圆心)，则双曲线的离心率的取值范围为A．(1，2] B．(1，2) C．(0，2] D．(2，3]12．已定义域单调函数，若对任意都有x(0，3]上有两解，则实数a的取值范围是A．(0，5] B C．(0，5) D．[5，+∞)第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13A，B则a的值是__________．14P为椭圆上任意一点，点M的坐标为_________．15次与上述两曲线交于点A，B，C，D CD_________．16．已知四面体ABCD，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球的半径为__________．三、解答题(共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答)（一）必考题：共60分．17．(本小题满分12分)数列．(1)(2)n18．(本小题满分12分)在区间OACB ABC的内角A，B，C的(1)(2)求四边形OACB面积的最大值．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，DA=DP，BA=BP．(1)(2)D—PC—B的正弦值．20. (本小题满分12分)C的左焦点为A，右焦点为B，点P是椭圆C上位于x AP，BP 与直线y=3分别交于G，H两点．(1)求椭圆C的方程及线段GH的长度的最小值；(2)T是椭圆C上一点，当线段GH的长度取得最小值时，求△TPA的面积的最大值．21．(本小题满分12分)(1)m 的取值范围；(2)(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程C 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线lC 1与圆C 的交点为O ，P 两点，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲(1)(2)a的取值范围．。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

（）A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

【答案】A考点：集合的运算．2.已知错误！未找到引用源。

为虚数单位，复数错误！未找到引用源。

满足错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

为（）A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

【答案】C【解析】试题分析：由题意得，错误！未找到引用源。

，故选C．考点：复数的运算．3.如图，网格纸上小正方形的边长为错误！未找到引用源。

，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

【答案】B【解析】试题分析：由题意得，根据给定的三视图可知，该几何体为如图所示的几何体，是一个三棱锥与三棱柱的组合体，其中三棱锥的体积为错误！未找到引用源。

，三棱柱的体积为错误！未找到引用源。

，所以该几何体的体积为错误！未找到引用源。

，故选B．考点：几何体的三视图及几何体的体积．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，根据给定的三视图，得出该几何体是一个三棱锥与三棱柱的组合体，即可求解该组合体的体积．4.已知命题错误！未找到引用源。

：方程错误！未找到引用源。

有两个实数根；命题错误！未找到引用源。

：函数错误！未找到引用源。

的最小值为错误！未找到引用源。

．给出下列命题：①错误！未找到引用源。

；②错误！未找到引用源。

；③错误！未找到引用源。

DOABCE 数学参考答案（理科）1.【解析】∵{3}AB =，∴3m =-，即2230x x --=，∴B ={}3,1-2.【解析】设z a bi =+，则()12z z a bi abi i -=-=+=-，∴2b =-．3.【解析】由1012162a a =+得1012212a a =+，812a =,又24a =，∴8216a a +=，即58a =.4.【解析】由折线图可知A 、B 正确；()4067.41 6.6%38154000÷+≈<，故C 正确；2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个.故D 错误.5.【解析】由双曲线的对称性可知()34,3P -，()44,3P 在双曲线上，且()14,2P 一定不再双曲线上， ∴()22,0P 也在双曲线上，∴2,a b ==c e =6.【解析】11,lg lg 31,3i S ===->-否；1313,lg +lg lg lg51,355i S ====->-否；1515,lg +lg lg lg71,577i S ====->-否；1717,lg +lg lg lg91,799i S ====->-否；1919,lg +lg lg lg111,91111i S ====-<-是，输出9,i =故选B ．7.【解析】由(0)z ax by a b =+≥>，得1a z a y x b b b ⎛⎫=-+-≤- ⎪⎝⎭，画出可行域，如图所示，数学结合可知在点()6,2B 处取得最大值，622a b +=，即： 31a b +=，直线10ax by +-=过定点()3,1.8.【解析】如图，时间轴点所示，概率为55512111P ==9.【解析】如图，取BC 中点D ，13EB AB =，则2O B O C O D +=，∴()332A B O B O C O D =+=，∵13EB AB =，∴EB OD =，∴3ABC ABCBOC BECS S S S ∆∆∆∆==. 10.【答案】B 【解析】因为()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调，∴22T π≥，即202T πππωω≥⇒≥⇒<≤，而()0T ππ--=≤；若T π=，则2ω=；若T π>，则2x π=-是()f x 的一条对称轴，,04π⎛⎫⎪⎝⎭是其相邻的对称中心，所以34424T πππ⎛⎫=--=⎪⎝⎭，∴2233T T ππω=⇒==.11.【解析】由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥A BCD -， 外接球球心O 在过CD 中点E 且垂直于平面BCD 的直线l 上， 又点O 到,A D 距离相等，∴点O 又在线段AD 的垂直平分面α上， 故O 是直线l 与面α的交点，可知O 是直线l 与直线MN 的交点 （,M N 分别是左侧正方体对棱的中点）∴32OE NE ==，OD =故三棱锥A BCD -外接球的半径R=11S π= 12.【解析】由()()2a u x v x x ⋅⋅=，得()()224ln ln 0x a x m ex x m x ++-⋅+-=⎡⎤⎣⎦， 得1214ln 10m m a e x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-⋅+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即121ln 12m m e x x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令1m t x =+，()()2ln g t e t t =-⋅，则()()22ln 11ln e eg t t t t t'=-+-=-+， 显然t e =是函数()g t '的唯一零点，易得()()max g t g e e ==，∴12e a ≤)1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭13.【答案】1【解析】原式()2cos 6053sin52cos553sin5cos5---==cos53sin 53sin 51+-== 14.【答案】24【解析】()()4421211x x -=-+⎡⎤⎣⎦，()()22221421241T C x x +=-=-⎡⎤⎣⎦.15.【答案】45【解析】由抛物线的对称性不妨设()()111,0M x y y >，则112x +=，得()1,2M ， 法一：MF KF ⊥，在Rt MKF ∆中，2MF KF ==，所以MKO ∠=45.法二：因为()()1,0,0,0K O -，所以()()2,2,1,0KM KO ==，可得2KM KO ⋅=，22,1KM KO ==ADCBEOMN2cos cos ,2KM KO MKO KM KO KM KO⋅∠===⋅，所以MKO ∠=45. 16.【答案】30【解析】当1q =时，112p p p a a a a +=⋅=，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴12(21)2,2221n nn n n a S +-===--，∴122n n S -=-，()()112222n nn n S S --⋅+=-⋅， ∴()()2222562562223022nn n nnf n -+==-+≥=当且仅当216,n=即4n =时，等号成立，()min 30f n =17.【解析】(Ⅰ)由2222cos a c b ac B +-= ………………………………………………………………2分 2cos cos()sin cos ac B B ac A Aπ--⇒= ………………………………………………………………4分sin 21A ∴=且02A π<<4A π⇒=………………………………………………………………6分（Ⅱ）1350904590090B C B C C +=︒⎧⎪︒<<︒⇒︒<<︒⎨⎪︒<<︒⎩………………………………………………………………8分又2sin sin sin b c aB C A===2sin,2sin b B c C ∴== 2sin(135)2sin bc C C =︒-⋅2sin(245)C =-︒……………………………………………10分45245135sin(245)1C c ︒<-︒<︒⇒<-︒≤，bc ∴∈ …………………………12分 18.【解析】(Ⅰ)如图1所示，连接11,AC AC 交于M 点，连接MQ . ∵四边形11A ACC 是正方形，∴M 是1AC 的中点 又已知Q 是1A B 的中点，∴12MQ BC ∥又∵11B C BC ∥且11=2BC B C ，∴11 MQ B C ∥ 即四边形11B C MQ 是平行四边形，∴11BQ C M ∥，∵11C M AC ⊥，∴11B Q AC ⊥ …………………………………………………………………………6分 (Ⅱ) 如图2所示，以C 为原点，1,CB CC 分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系， 令1122AC BC BC ===，则)1,0A-，)()()111,2,0,2,0,0,1,2A B B -，∴()3,1,0CA =-，()113,2,0B A =-，()10,1,2B B =-，设平面11A BB 的法向量为n (),,x y z =，则由n 11B A ⊥，n 1BB ⊥，可得：2020y y z -=-=⎪⎩，可令y =4,x z =，∴平面11A BB的一个法向量n (= 设直线AC 与平面11A BB 所成角为α，则2sin 2n CA n CAα⋅===⋅. …………………………12分 19. 【解析】（Ⅰ）共8n +个城市，取出2个的方法总数是28n C +，其中全是小城市的情况有28C ，故全是小城市的概率是()()28288748715n C C n n +⨯==++，∴()()872101514n n ++==⨯，∴714n +=，故7n =. …………………………………………4分 （Ⅱ）①0,1,2,3,4X =.01874151(0)39C C P X C ===； 13874158(1)39C C P X C ===； (2)P X =22874152865C C C ==； 318741556(3)195C C P X C ===； 43874152(4)39C C P X C ===. 故X012343939651953915EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………………………………8分②若4球全是超大城市，共有4735C =种情况；若4球全是小城市，共有4870C =种情况；故全为超大城市的概率为47448735170353C C C ==++. …………………………………………………12分20.【解析】（Ⅰ）由已知，可得21()22b c a c +=.又由222b a c =-，可得2220c ac a +-=，解得c a 2=设椭圆C 方程：2222143+=x y c c，当直线l 斜率不存在时，线段MN 长为c 32；………………………2分 当直线l 斜率存在时，设l 方程：c kx y +=，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+c kx y c y c x 1342222，得088)34(222=-++c kcx x k ，从而 3412164|34|1||22222++⋅+⋅=+∆⋅+=k k k c k k MN c k c k k k c 32)34(1132)34()24()44(32222222<+-⋅=++⋅+⋅=，…4分易知当0=k 时，||MN 的最小值为c 364，从而1=c ，因此，椭圆C 的方程为：22143+=x y …6分 （Ⅱ）由第（Ⅰ）问知，3412164||222++⋅+⋅=k k k MN ，而D的半径=r ，又直线OB 的方程为1=-y x k ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+x k y y x 113422，得4312222+=k k x B ， 因此43112||1)1(||222++⋅=⋅+-=k k x k OB B ， …………………………………………………………8分由题意可知1sin 21∠==++POQ r OB r OB r，要求∠POQ 的最大值，即求OB r 的最小值而2OB r===342+=k u ，则)31,0(1,3∈>u u ， 因此125)27(5743175)1()73(75||22≥+--=-+=-⋅+=uu u u u u r OB , ………………………10分当且仅当72=u ，即72=u 时等号成立，此时42±=k ，所以1sin22∠≤POQ ，因此26π∠≤POQ ，所以∠POQ 的最大值为3π. 综上所述，∠POQ 的最大值为3π，取得最大值时直线l 的斜率为42±=k .…………………………12分21.【解析】（Ⅰ）由题意，()()()21212x x f x ax e ax x a e --⎡⎤'=+-++⎣⎦()211212x e ax a x a -⎡⎤=-+-+-⎣⎦()()1112x e x ax a -=--+-.…………………………………………2分 ①当0a =时，()()112xf x e x -'=--，令()0f x '>，得1x <；()0f x '<，得1x >，所以()f x 在(),1-∞单调递增，()1,+∞单调递减.所以()f x 的极大值为()15122f e e=≠，不合题意. ②当0a >时，111a -<，令()0f x '>，得111x a -<<；()0f x '<，得11x a<-或1x >，所以()f x 在11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，1,1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递减.所以()f x 的极大值为()215122a f e e+==，得2a =.综上所述2a =.…………………………………6分 （Ⅱ）令()()2122xx x axg a e e+=+，(],0a ∈-∞，当[)0,x ∈+∞时，2102x x e +≥， 则()()ln 12b x g a +≤对(],0a ∀∈-∞恒成立等价于()()()ln 102b x g a g +≤≤， 即()ln 1xxb x e ≤+，对[)0,x ∈+∞恒成立. ①当0b ≤时，()0,x ∀∈+∞，()ln 10b x +<，0x x e >，此时()ln 1xx b x e >+，不合题意. ②当0b >时，令()()ln 1x xh x b x e=+-，[)0,x ∈+∞， 则()()()2111x x xxb be x h x e xe x x e--+-'=--=++，其中()10x x e +>，[)0,x ∀∈+∞， 令()[)21,0,xp x be x x =+-∈+∞，则()p x 在区间[)0,+∞上单调递增，1b ≥时，()()010p x p b ≥=-≥，所以对[)0,x ∀∈+∞，()0h x '≥，从而()h x 在[)0,+∞上单调递增，所以对任意[)0,x ∈+∞，()()00h x h ≥=，即不等式()ln 1xb x xe -+≥在[)0,+∞上恒成立.01b <<时，由()010p b =-<，()10p be =>及()p x 在区间[)0,+∞上单调递增，所以存在唯一的()00,1x ∈使得()00p x =，且()00,x x ∈时，()00p x <. 从而()00,x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间()00,x 上单调递减， 则()00,x x ∈时，()()00h x h <=，即()ln 1xb x xe -+<，不符合题意.综上所述，1b ≥.………………………………………………………………………………………………12分22.【解析】（Ⅰ）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 0ρθ=，即2πθ=()R ρ∈，2C 的极坐标方程为((22cos 21sin 30ρρθρθ--++=. ………………………………5分（Ⅱ）2πθ=代入((22cos 21sin 30ρρθρθ--++=，得((22130ρρ-++=，解得11ρ=4πθ=代入((22cos 21sin 30ρρθρθ--+++=，得((22130ρρ-++=，解得21ρ=故OAB ∆的面积为(21sin 1412π⨯+⨯=. ………………………… 10分23.【解析】（Ⅰ）233f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭错误！未找到引用源。

2017~2018学年度上学期高三年级五调考试数学(理科)试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

共150分。

考试时间120分钟．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑)1．设集合{}(){}2230,ln 2=A x x x B x y x A B =--<==-⋂，则（ ）A ．{}13x x -<<B ．{}12x x -<<C ．{}32x x -<<D ．{}12x x <<2．已知复数z满足()1z =(i 是虚数单位)，则z =（ ）A．344+ B．322i - C．322i + D．344- 3．要得到函数()cos 21y x =+的图像，只要将函数cos 2y x =的图像（ ）A ．向左平移1个单位长度B ．向右平移1个单位长度C ．向左平移12个单位长度D ．向右平移12个单位长度4．已知向量()()2,1,1,3a b =-=-，则（ ）A ．//a bB ．a b ⊥C ．()a a b ⊥-D ．()//a a b -5．下列命题中正确的是（ ）A ．若22a b ac bc >>，则B ．若,a b a b c d c d ><>，则C ．若,a b c d a c b d >>->-，则D ．若110,,ab a b a b>><则6．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（ ）2222侧视图俯视图ABC．D7．若()()()3230123021354x a a x a x a x a a a a +=++++-+=，则（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．2-8．已知三角形的三边长构成等比数列，设它们的公比为q ，则q 的一个可能值为（ ）A ．12B ．35C ．58D ．539．已知两点()()(),0,,00A a B a a ->，若曲线22230x y y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(0，3]B ．[1，3]C ．[2，3]D ．[1，2]10．抛物线()()()()211223320,,,,,y p x p A xy B x y C x y =>上有三点，F 是它的焦点，若,,AF BF CF 成等差数列，则（ ）A ．132,,x x x 成等差数列B ．123,,y y y 成等差数列C ．123,,x x x 成等差数列D ．132,,y y y 成等差数列11．已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，12F F ，分别为双曲线的左、右焦点，点I 为△PF 1F 2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有121212IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≥成立，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A ．(1，2]B ．(1，2)C ．(0，2]D ．(2，3]12．已知()f x 是定义域为()0,+∞的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()13log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，且关于x 的方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(0，3]上有两解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0，5]B ．(),5-∞C ．(0，5)D ．[5，+∞)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．设直线()()2230124ax y x y -+=-+-=与圆相交于A ，B两点，且弦长为a 的值是__________．14．设12,F F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为()6,4，则1PM PF -的最小值为_________．15．已知抛物线24y x =，圆()22:11F x y -+=，直线()()10y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D ，则AB CD 的值是_________．16．已知四面体ABCD ，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球的半径为__________．三、解答题(共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答) （一）必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的公差不为零，且满足126146,,,a a a a =成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)记()21n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．(本小题满分12分)已知函数()()sin 003f x x πωω⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦在区间，上单调递增，在区间233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减．如图，在四边形OACB 中，,,a b c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且满足4cos cos sin sin 3sin cos B CB C A Aω--+=．(1)证明：2b c a +=.(2)若()022b c AOB OA OB θθπ=∠=<<==，设，，求四边形OACB 面积的最大值．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，DA=DP ，BA=BP ． (1)求证：PA BD ⊥；(2)若,60,2DA DP ABP BA BP BD ⊥∠====，求二面角D —PC —B 的正弦值．20. (本小题满分12分)已知椭圆()22221012x y C a b a b ⎛⎫+=>> ⎪ ⎪⎝⎭：过点，，椭圆C 的左焦点为A ，右焦点为B ，点P 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，且4AP BP +=，直线AP ，BP 与直线y=3分别交于G ，H 两点． (1)求椭圆C 的方程及线段GH 的长度的最小值；(2)T 是椭圆C 上一点，当线段GH 的长度取得最小值时，求△TPA 的面积的最大值．21．(本小题满分12分)已知函数()()22ln f x x x mx m R =+-∈． (1)若()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的取值范围； (2)若()175,2m f x <<且有两个极值点()()()121212,x x x x f x f x <-，求的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x t y t=+⎧⎨=⎩，(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是2sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭曲线1C 的极坐标方程为()00θαρ=≥，其中0α满足0tan 2α=，曲线C 1与圆C 的交点为O ，P 两点，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数()()f x x a a R =+∈．(1)若()23f x x ≥+的解集为[]3,1a --，求的值；(2)若x R ∀∈，不等式()22f x x a a a +-≥-恒成立，求实数a 的取值范围．2017~2018学年度上学期高三年级五调考试数学(理科)试卷答案1.B2.A3.C4.C5.D6.D7.A 8.C 9.B 10.C11.A12.A13.014. -515.116. 17.解：（1）由题意知26214a a a =⋅，所以()()()2111513a d a d a d +=++，化简得213a d d =. 因为16,0a d =≠，所以2d =， 所以24n a n =+. （2）由（1）得()()()()21111241212n b n n n n n n ===-++++++， 所以123n n S b b b b =+++1111111123344512n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()112222n n n =-=++.（12分） 43π=，解得32ω= （2分）sin sin 2cos cos sin cos B C B CA A+--=, 所以sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin B A C A A B A C A +=--， 所以sin cos cos sin sin cos cos sin =2sin B A B A C AC A A +++， 所以sin sin 2sin C B A +=,所以由正弦定理的b+c=2a （5分）（2）解：因为b+c=2a ，b=c，所以a =b =c ，所以△ABC 为等边三角形， 又21S sin 2OACBOAB ABC S S OA OBθ∆∆=+=⋅)22sin 2cos OA OB OA OB θθ=+-⋅ sin 2sin 3πθθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭（8分） 因为()20,,,333πππθπθ⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎝⎭， 当且仅当32ππθ-=，即56πθ=时取最大值,S OACB 的最大值为2+（12分）19.（1）证明：取AP 中点 M ，连DM,BM, 因为DA=DP,BA=BP,所以PA ⊥DM,PA ⊥BM, 因为DMBM M =,所以PA⊥平面DMB,又因为BD ⊂平面DMB,所以PA ⊥BD.（2）解：因为,,,60DA DP BA BP DA DP ABP ==⊥∠=︒,所以DAP ∆是等腰三角形，ABP ∆是等边三角形，因为AB=PB=BD=2，所以1,DM BM ==所以222,BD MB MD MD MB =+∴⊥. 如图以MP,MB,MD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()1,0,0,,1,0,0,0,0,1A B P D -,从而得()()()()1,0,1,1,3,0,1,3,0,1,0,1DP DC AB BP BC AD =-===-==, 设平面DPC 的法向量()1111,,n x y z =，则110n DP n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即111100x z x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，令11y =，得(111,x z n ==∴=，设平面PCB 的法向量()2222,,n n y z =，由220n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得222200x z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令21,y =得(2223,1,x z n ===所以1212121cos ,7n n n n n n ⋅==，设二面角D-PC-B 为α，4sin ,n n α∴=20.解：（1）由4AP BP +=,得24a =，所以2a =，又椭圆过点⎛ ⎝⎭. 所以213144b+=，解得1b =.故椭圆C 的方程为2214x y +=.设点()00,P x y ，则由GPH ∆∆∽APB ,得003GHy AB y -=003y y -=,则031GH y ⎫=-⎪⎭, 由001y <≤，得031y ⎫-⎪⎭≥GH的长度取得最小值（2）由（1）可知，当GH 的长度取得最小值时，01y =，将点()00,x y 代入2214x y +=，得00x =，故此时点P(0，1),则直线AP的方程为1y x =+，此时2AP =, 当平行线AP 的直线l 与椭圆下方相切时，TPA ∆的面积取最大值，设直线:l y m =+，则由2214y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22712120x m ++-=，则()()224712120m ∆=-⨯-=，所以m =，或m （舍去）. 由平行线间的距离公式，得此时点T 到直线AP 的距离d ==故()max 11222TPA S AP d ∆==⨯=即TPA ∆. 21.解：（1）因为()f x 的定义域为()0,+∞，且()f x 在定义域内单调递增. 所以()220f x x m x '=+-≥，即22m x x+≤在区间()0,+∞内恒成立. 因为224x x+≥，所以4m ≤，即实数m 的取值范围是(],4-∞.（2）由（1）知()22222x m x f x x m x x-+'=+-=，当1752m <<时，()f x 有两个极值点，此时1202m x x +=>， 121x x =1201x x ∴<<<，因为1111725,2m x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得11142x <<，由于211x x =，于是()()()()22121112222ln 2ln f x f x x mx x x mx x -=++--+ ()()()222121212112112ln ln 4ln x x m x x x x x x x =---+-=-+， 令()2214ln h x x x x=-+，则()()223210x h x x --'=<，所以()h x 在11,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()1124h h x h ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()()()121141ln 2161ln 2416f x f x --<-<--，故()()12f x f x -的取值范围为152554ln 2,16ln 2416⎛⎫-- ⎪⎝⎭.22.解（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=,又cos ,sin x y ρθρθ==，所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=； （2）设()11,ρθ为点P 的极坐标，则有1112cos tan 2ρθθ=⎧⎨=⎩解得11tan 2ρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 设()22,ρθ为点Q 的极坐标22222sin cos cos sin 44tan 2ππρθθθ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩22tan 2ρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 由于12θθ=，所以12PQ ρρ=-=所以线段PQ . 23. 解：（1）()23f x x +≥，即23x a x ++≥，两边平方并整理得()22312290x a x a +-+-=， 所以3,1--是关于x 的方程()22312290x a x a +-+-=的两根.由根与系数的关系得到212243933aa -⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪⎩，解得0a =. （2）因为()()()2f x x a x a x a a +-+--=≥，所以若不等式()22f x x a a a +--≥恒成立，只需222a a a -≥， 当0a ≥时，222a a a -≥解得04a ≤≤；当0a <时，22a a --2a ≥，此时满足条件的a 不存在， 综上可得实数a 的取值范围是[]0,4.。

2017~2018学年度上学期高三年级三调考试数学（理科）试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，从每小题给出的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．已知集合2{|3100},{|ln(2)}A x x x B x y x =--<==-，则()R A B =（ ）A ．(2,5)B ．[2,5)C ．(2,2]-D ．(2,2)-1．答案：C解析：2{|3100}(2,5),{|ln(2)}(2,),A x x x B x y x =--<=-==-=+∞()(,2],(2,2]B AB ∴=-∞=-R R2．已知复数z 满足3(i)(12i)i z -+=（其中i 是虚数单位），则复数z 的虚部等于（ ） A ．15- B ．25-C ．45D ．352．答案：C解析：3i i(12i)2424(i)(12i)i i,i i,i 12(12i)(12i)5555z z z i ----+==-∴-===--∴=-+++-， 故z 的虚部为453．阅读如图所示的程序框图，若输入的919a =，则输出的k 值是（ ） A ．9B ．10C ．11D ．123．答案：C 解析：11(21)(21)111(21)(21)2(21)(21)22121k k k k k k k k +--⎛⎫=⨯=- ⎪-+-+-+⎝⎭，所以11111111112335212122121k S k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令92119k S k =>+，解得9k >，所以取10k =，再执行一步1k k =+，则输出11k = 4．若数列{}n a 满足122,1a a ==，且1111(2)n n n n n n n n a a a an a a a a -+-+⋅⋅=--≥，则数列{}n a 的第100项为（ ） A ．10012 B ．5012 C ．1100D ．1504．答案：D 解析：由1111n n n n n n n n a a a a a a a a -+-+⋅⋅=--，两边取倒数，得111111(2)n n n nn a a a a -+-=-≥，故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，其首项为1112a =，公差为211112a a -=，所以111=+(1),222n n n a -= 100221,10050n a a n ∴===5．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥ ，则3412x y +-的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．6D ．45．答案：A解析：作可行域如图所示，则可行域内的任一点(,)x y 到直线34120x y +-=的距离34125x y d +-=，所以3412=5x y d +-，由图可知，点(1,1)A 到直线34120x y +-=的距离最小，所以min 34123141125x y +-=⨯+⨯-=xyOx y -=2x y +=34120x y +-=AB6．放在水平桌面上的某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．4π+B ．3π+C ．342π+ D ．322π+6．答案：C解析：该几何体可以看成是一个底面是扇形的柱体，其表面积245453222222143603602S πππ⎛⎫=⨯⨯⨯+++⨯⨯⨯⨯=+ ⎪⎝⎭7．在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B ⋅+的值为（ ）A ．0B ．1C ．2013D ．20147．答案：C解析：222222013cos ,2cos 201322a b c c C ab C c ab ab+-==∴=，由正弦定理，得： 22sin sin cos 2013sin A B C C =，所以2sin sin cos 2013sin 2A B C B =， 2tan tan 2sin sin cos 2sin sin cos =tan (tan tan )sin (sin cos sin cos )sin sin()A B A B C A B CC A B C A B B A C A B ⋅=+++22sin sin cos 201322013sin 2A B C C ==⨯= 8．若对于数列{}n a ，有任意,m n N *∈，满足2,2m n m n a a a a +=+=，则132013222014a a a a a a ++++++的值为（ ） A ．10061007B ．10081009C ．10051006D ．100710088．答案：D解析：由2,2m n m n a a a a +=+=，当1m =时，21112,1a a a a =+=∴=；当1m =时，111n n n a a a a +=+=+，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，故n a n =，所以132013222014(12013)1007132********(22014)242014100810072a a a a a a +⨯++++++===+++++++⨯ 9．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若32C ππ<<，sin 2,sin sin 2b Ca bA C=--3a =，sin 6B =，则b 等于（ ） A B ．2CD ．9．答案：A 解析：由sin 2sin sin 2b C a b A C =--及正弦定理可得sin sin 2sin sin sin sin 2B CA B A C=--， 即sin sin sin sin 2sin sin 2sin sin 2B A B C A C B C -=-，sin sin sin sin 2B A A C ∴= 又sin 0A ≠，sin sin 2B C ∴=，故2B C =或2B C π+=，又因为3C π>，若2B C =，则23B C C π+=>，故舍去，所以2B C π+=，又因为A B C π++=，所以A C =，所以3c a ==，由sin 6B =可得5cos 6B =，由余弦定理可得 2222cos 99153b a c ac B =+-=+-=，故b =10．如图所示，23ABC π∠=，圆M 与,AB AC 分别相切于,,1D E AD =，若点P 是圆M 及其内部任意一点，且(,)AP x AD y AE x y R =+∈，则x y +的取值范围是（ ） A．[1,4+B．[44-+ C．[1,2+D．[22+10．答案：B解析：连接DE ，则当点P 在线段DE 上运动时，1x y +=，连接AM 并延长，交圆于,ST两点，交线段DE 于点N ，则圆的半径r =12,,22AM AN AS AM r===-= 2AT AM r =+=，当点P 位于点T时，x y +取得最大值，最大值为4ATAN=+当点P位于点S 时，x y +取得最小值，最小值为4ASAN=-另一种解释，考虑以,AD AE 方向为x 轴、y 轴，AD 为单位长度建立菱形坐标系，则直线DE 的方程为1x y +=，设z x y =+，作直线0x y +=并平移，当直线过点S 时，z 取得最小值，当直线过点T 时，z 取得最大值．11．已知向量,,αβγ满足()()()1,2,αααβαγβγ=⊥--⊥-，若17,βγ=的最大值和最小值分别为,m n ，则m n +等于（ ） A ．32B ．2C ．52D．211．答案：C 解析：()()212,22120,2ααβααβααβαβαβ⊥-∴⋅-=-⋅=-⋅=∴⋅=，()22217255211,442αβααββαβ∴+=+⋅+=++=∴+=， 如图，设,,OA OB OC αβγ===，则,CA CB αγβγ-=-=，所以CA CB ⊥，即点C 在以AB 为直径的圆上，设D 为AB 中点，连接OD 并延长，与圆交于12,C C 两点，则125,,22m OC OD r n OC OD r m n OD αβ==+==-+==+=12．已知定义在(0,)+∞内的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()(ln )2()f x x x f x '>，则（ ）A ．326()2()3()f e f e f e >> B ．236()3()2()f e f e f e << C ．236()3()2()f e f e f e >> D ．326()2()3()f e f e f e <<12．答案：B解析：由2()(ln )2()f x x x f x '>可得()(ln )()f x x x f x '>，设()()ln f x g x x=，则 221()ln ()()(ln )()()0(ln )(ln )f x x f x f x x x f x x g x x x x '-⋅'-'==>，故()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以23()()()g e g e g e <<，即23()()()23f e f e f x <<，即236()3()2()f e f e f e << 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）C 2C 1DABO13．322144x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 ．13．答案：160解析：22222111144(2)222x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++⋅⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故362211442x x x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开式中的常数项为333461(2)160T C x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S，若函数()22()f x x x x R =+∈的最大值为1a ，且满足114n n n n n a a a S a S +-=-，则数列n a 的前2 017项之积2017A = ． 14．答案：4解析：()224sin(2)4f x x x x π=+=+的最大值为4，故14a =，由114n n n n n a a a S a S +-=-，得1()1n n n n a a S S +--=，即11n n n a a a +-=，111n n a a +∴=-， 由14a =，可得23431,,443a a a ==-=，故数列{}n a 的周期为3，且31231A a a a ==-， 又201736721=⨯+，所以672201720171(1)4A a a =-==15．已知O 为ABC △的外接圆圆心，16,10AB AC ==AO x AB y AC =+，且322525x y +=，则AO = ．15．答案：10解析：以点A 为坐标原点，AO 方向为x 轴正方向建立直角坐标系，设直线AO 与圆的另一个交点为D ，设,BAD CAD αβ∠=∠=，则(16cos ,16sin ),(16cos ,16sin )B C ααββ-，在RT ABD △中，16cos cos AB AD αα==， 在RTACD △中，cos AC ADβ==，所以416cos cos cos cos 2ααββ=∴==，根据数字特征，不妨假设4cos ,cos 5αβ==，然后再进行验证，此时20,10,AD AO ==(10,0),AO =6448,,(10,10)55AB AC ⎛⎫==- ⎪⎝⎭由AO x AB y AC =+，得6448(10,0)10,1055x y x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，故6410105481005x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，AO =()0h x =在区间(0,)+∞内有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ．16．答案：53,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭解析：()min((),())h x f x g x =，()ln g x x =-有1个零点1x =，2()3f x x a '=+，显然必须0a <，令()0f x '=，得x =()f x 的对称中心为10,4⎛⎫⎪⎝⎭，要想满足题意，只需0(1)0f f ⎧<⎪⎨⎪>⎩，即21034504a ⎧<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得：5344a -<<-，故实数a 的取值范围是 53,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭17．（本小题满分12分）在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22cos c a B b -=． （1）求角A 的大小； （2）若ABC △，且22cos 4c ab C a ++=，求a ． 17．解：（1）由22cos c a B b -=及正弦定理可得2sin 2sin cos sin C A B B -=， 因为sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以2cos sin sin A B B =，因为sin 0B ≠，所以1cos 2A =，又因为0A π<<，所以3A π=． （5分） （2）22cos 4c ab C a ++= （*）又由余弦定理得222cos 2a b c ab C +-=，代入（*）式得22283b c a +=-．1sin 12ABC S bc A bc ===∴=△，由余弦定理得222222cos 1a b c bc A b c =+-=+-， 所以22831a a =--，解得a = （12分） 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，211()(2)n n n n a S S S n ---=⋅≥，且11,0.n a a =>（1）求2a 的值，并证明数列{}n S 是等比数列；（2）设212(1)log ,nn n n n b S T b b b =-=+++，求n T ．18．解：（1）令2n =，得221121()()a a a a a -=+⋅，将11a =代入并整理得：22230a a -=，因为0n a >，所以23a =．由题意得211(2)(2)n n n n S S S S n ---=⋅≥，整理得11()(4)0,n n n n S S S S ----=1(4)0n n n a S S -∴-=，因为0n a >，所以14(2)n n S S n -=≥，所以数列{}n S 收首项为1，公比为4的等比数列． （7分）（2）由（1）可知14n n S -=，所以2(1)log (1)(22)n nn n b S n =-=--所以1,2[0123456(1)(1)],n n n n T n n n -⎧=⨯+-+-+-++--=⎨⎩为奇数为偶数 （12分） 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足214(1)(),1n n nS n a n N a *=+∈=．（1）求n a ； （2）设n n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：74n T <． 19．解：（1）由题意得2(1)4nn n a S n += ① 211(2)4(1)n n n a S n n --=-≥ ② ①－②，得：221(1)44(1)n n n n a n a a n n -+=--，所以133(2)(1)nn a a n n n -=-≥， 所以数列3n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个常数列，所以3131,1n n a a a n n ==∴= （6分） （2）由（1）得21n b n =，所以127571;;444T T =<=< 当3n ≥时， 222221111111117171123442334(1)44n T n n n n =+++++<+++++=-<⨯⨯-⨯综上可得7()4n T n N *<∈ （12分） 20．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x x ax =++，其中a R ∈．（1）当1a =-时，求证：()0f x ≤；（2）对任意210x ex >≥，存在(1,)x ∈-+∞，使212212(1)(1)(1)()f x f x a x f x x x x ----->-成立，求a 的取值范围．（其中e 是自然对数的底数， 2.71828e =） 20．解：（1）当1a =-时，()ln(1)(1)f x x x x =+->-，则1()111x f x x x -'=-=++， 令()0f x '=，得0x =．当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当0x =时，函数()f x 取得极大值，也是最大值，所以max ()(0)0f x f ==，所以()0f x ≤，得证． （4分）（2）不等式212212(1)(1)(1)()f x f x a x f x x x x ----->-， 即为[]221221(1)(1)()x f x f x ax f x a x x ---->---，而[]221221(1)(1)x f x f x ax x x -----[]22212221112221212221212222111ln ()ln (1)ln (1)=ln ln 1x x a x x x x a x x a x x ax ax x x x x x x x x x x ax ax x x x x x ⎡⎤+-⎢⎥+----⎣⎦-=---=+-=⋅-- 令21()x t t e x =≥，原命题即故对任意t e ≥，存在(1,)x ∈-+∞，使ln ()1t t f x a t >---恒成立，所以()min min ln ()1t t f x a t ⎛⎫>--⎪-⎝⎭， 设ln ()1t t h t t =-，则21ln ()(1)t t h t t --'=-，设()1ln u t t t =--，则11()10t u t t t-'=-=>对于t e ≥恒成立，则()1ln u t t t =--为区间[,)e +∞上的增函数，于是()()20u t u e e =->≥，所以21ln ()0(1)t t h t t --'=>-对于t e ≥恒成立，所以ln ()1t t h t t =-为区间[,)e +∞上的增函数， 所以min ()()1e h t h e e ==-． 设()()ln(1)p xf x a x ax a =--=-+--，①当0a ≥时，函数()p x 为区间(1,)-+∞上的单调递减函数，其值域为R ，可知符合题意； ②当0a <时，1()1p x a x '=--+，令()0p x '=，得111x a=-->-，由()0p x '>得 11x a >--，则函数()p x 在区间11,a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭内为增函数；由()0p x '<，得11x a <--，则函数()p x 在区间11,1a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭内为减函数，所以min 1()1ln()1p x p a a ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭， 从而ln()11e a e >-+-，解得110e e a --<<． 综上所述，a 的取值范围是11,e e -⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． （12分）21．（本小题满分12分）设函数2()ln(1)f x x a x =++．（1）若函数()y f x =在区间[1,)+∞内是单调递增函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：21()10ln 22f x x <<-+． 21．解：（1）由题意知222()2011a x x a f x x x x ++'=+=>++在区间[1,)+∞内恒成立（1分） 即222a x x >--在区间[1,)+∞内恒成立，解得4a >- （3分） 当4a =-时，22242(2)(1)()011x x x x f x x x +-+-'==>++，当[1,)x ∈+∞时，()0f x '≥，且仅当1x =时，()0f x '=，所以函数()f x 单调递增，所以a 的取值范围是[4,)-+∞ （4分）（2）函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，222()1x x a f x x ++'=+，即2()22g x x x a =++，则有480(1)0112a g a ⎧⎪∆=->⎪-=>⎨⎪⎪->-⎩，解得102a << 证法一：因为2122222111,220,0222x x x x a x x +=-++==-+-<<， 所以222222212()(22)ln(1)=1f x x x x x x x -++--， 令22(22)ln(1)1(),,012x x x x k x x x -++⎛⎫=∈- ⎪--⎝⎭（8分） 则2223262()2ln(1),()(1)(1)x x x k x x k x x x ++'''=++=++，因为()4,(0)2k x k ''''=-=，所以存在01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()0k x ''=，列表如下：又1(0)0,12ln 202k k ⎛⎫''=-=-< ⎪⎝⎭，所以1()0,,02k x x ⎛⎫'<∈- ⎪⎝⎭， 所以函数()k x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭内为减函数， （11分） 所以1(0)()2k k x k⎛⎫<<-⎪⎝⎭，即21()10ln 22f x x <<-+． （12分） 证法二：因为2x 是方程2220x x a ++=的解，所以22222a x x =--．因为122110,0,222a x x x <<<<=-+，所以2102x -<<． 先证21()0f x x >，因为120x x <<，即证2()0f x <， 在区间12(,)x x 内，()0f x '<，在区间2(,0)x 内，()0f x '>，所以2()f x 为极小值，2()(0)0f x f <=，即2()0f x <，所以21()0f x x >成立． （8分） 再证21()1ln 22f x x <-+，即证22211()ln 2(1)ln 2(1)22f x x x ⎛⎫⎛⎫>-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 令2211()(22)ln(1)ln 2(1),,022g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++--+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（10分） 则1()2(21)ln(1)ln 22g x x x ⎛⎫'=-++-- ⎪⎝⎭，因为1ln(1)0,210,ln 202x x +<+>-<， 所以()0g x '>，函数()g x 在区间1,02⎛⎫-⎪⎝⎭内为增函数， 所以111111()ln ln 20242242g x g ⎛⎫>-=+-+= ⎪⎝⎭， （11分） 所以221()ln 2(1)2f x x ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭成立． 综上可得21()10ln 22f x x <<-+成立． （12分） （二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）；在以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若射线:(0)l y kx x =≥与曲线12,C C 的交点分别为,A B （,A B 异于原点），当斜率k ∈时，求OA OB ⋅的取值范围．22．解：（1）曲线1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，即2220x x y -+=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，由2cos sin ρθθ=，两边同时乘以ρ，得22cos sin ρθρθ=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得曲线2C 的直角坐标方程为2x y =． （5分）（2）设射线:(0)l y kx x =≥的倾斜角为ϕ，则射线的极坐标方程为θϕ=，且tan k ϕ=∈．联立2cos ρθθϕ=⎧⎨=⎩，得12cos OA ρϕ==， （7分） 联立2cos sin ρθθθϕ⎧=⎨=⎩，得22sin cos OB ϕρϕ== （8分）所以122sin 2cos 2tan 2(2,cos OA OB k ϕρρϕϕϕ⋅=⋅=⋅==∈，即OA OB ⋅的取值范围是(2, （10分）23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()13f x x x =-++的最小值为m ．（1）求m 的值；（2）若正实数,,a b c 满足(22)a a c b m bc ++=-，求3a b c ++的最小值．23．解：（1）因为()13(1)(3)4f x x x x x =-++--+=≥，所以4m =． （4分）（2）因为(22)4a a c b bc ++=-，所以2(22)()4a ac ab bc +++=，即(2)()4a b a c ++=所以3(2)()4a b c a b a c ++=+++=≥，当且仅当22a b a c +=+=时取等号，所以3a b c ++的最小值的最小值为4 （10分）。

2017~2018学年度上学期高三年级一调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．设集合2{1,2,4},{|40}A B x x x m ==-+=．若{1}A B =，则B =（ ）A ．{1,3}-B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}1．答案：C解析：由题意可知1B ∈，将1x =代入240x x m -+=，得3m =，所以2430x x -+=， 即(1)(3)0x x --=，解得1x =或3x =，所以{1,3}B = 2．已知i 是虚数单位，若复数i12ia -+为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．22．答案：D 解析：设ii,12i a b b R -=∈+，则i i(12i)2i a b b b -=+=-+，所以21a b b =-⎧⎨=-⎩，故2a = 3．执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．答案：D解析：1,100,0t M S ===→是100,10,2S M t →==-=→是90,1,3S M t →===→否→输出9091S =<，结束，所以正整数N 的最小值为2．4．已知点(2,0)A -，点(,)M x y 为平面区域220,240,33x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤0上的一个动点，则AM 的最小值是（ ） A ． 5 B ．3CD．4．答案：C解析：作可行域如图所示，则AM 的最小值为点A 到直线220x y +-=的距离，5d ===5．已知ABC △的三个内角,,A B C 依次成等差数列，BC边上的中线2AD AB ==，则ABC S =△（ ）A ．3 B．C．D ．65．答案：C解析：因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+，又因为180A B C ++=︒，所以60B =︒， 在ABD △中，由余弦定理可得2222cos60AD AB BD AB BD =+-⋅⋅︒，即2230BD BD --=，所以(3)(1)0BD BD -+=，所以3BD =，故26BC BD ==，1sin 602ABC S AB BC =⨯⨯︒=△6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（ ） A ．3 B．C．D6．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，则1,2,3BC AC CD BD AB AD ======所以最长的棱为3ABCD7．已知数列{}n a满足110,()n a a n N *+==∈，则20a =（ ）A ．0 B．CD7．答案：B解析：解法1：123410,02a a a a a -======-，周期3T =，所以202a a == 解法2：设tan n n a α=，则1tan 0a =，11tan tan3tan 1tan tan 3n n n a πααπα++-===+tan 3n πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以13n n παα+=-，所以数列{}n α是一个首项为0，公差为3π-的等差数列，13n n απ-=-，所以2020201919,tan tan tan tan 3333a ππαπαπ⎛⎫⎛⎫=-==-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．110,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．答案：B 解析：当,32x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，,33323x πππππωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，根据题意可得3,2,2,332322k k k Z ππππππωωππ⎛⎫⎛⎫--⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2332,32232k k Z k πππωππππωπ⎧-+⎪⎪∈⎨⎪-+⎪⎩≥≤， 解得：125121123k k ω++≤≤，所以1251211023k k ++<≤，所以571212k -<≤，又因为k Z ∈，所以0k =，所以511,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9．设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><．若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A ．17,224πωϕ==B ．211,312πωϕ==-C ．111,324πωϕ==-D ．2,312πωϕ==9．答案：D 解析：根据题意1153(21),8844k T k Z πππ+-==∈，所以3,21T k Z k π=∈+，又因为2T π>，所以220,3,3k T T ππω====，当58x π=时，52,,122x k k Z ππωϕϕπ+=+=+∈212k πϕπ∴=+，又因为ϕπ<，所以12πϕ=10．已知函数31()xxf x e x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数a 满足()()20.5log log 2(1)f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,(2,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B ．1,[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10．答案：C解析：函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，0.52log log a a =-，所以()22log 2(1)f a f ≤，所以()2log (1)f a f ≤，所以21log 1a -≤≤，所以122a ≤≤11．已知函数32()1f x x ax =++的图像的对称中心的横坐标为00(0)x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞ B．,⎛-∞ ⎝⎭ C ．(0,)+∞ D ．(,1)-∞-11．答案：B解析：2()32f x x ax '=+，()f x '的对称轴为3a x =-，所以003ax =->，所以0a <，令 ()0f x '=，得1220,03a x x ==->，所以当0x =时，()f x 取得极大值1，当23ax =-时，()f x 取得极小值34127a +，要想使()f x 有三个零点，则必须341027a +<，解得2a <-12．定义在[1,)+∞内的函数()f x 满足：①当24x ≤≤时，()13f x x =--；②(2)()f x c f x =（c 为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ） A ．1 B ．2±C ．12或3 D ．1或212．答案：D解析：在区间[2,4]上，当3x =时，()f x 取得极大值1，极大值点为(3,1)A ，当[4,8]x ∈时，[2,4]2x ∈，()2x f x cf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以在区间[4,8]上，当32x =，即6x =时，()f x 取得极大值c ，极大值点为(6,)B c ，当[1,2]x ∈时，2[2,4]x ∈，所以1()(2)f x f x c=，所以在区间[1,2]上，当23x =，即32x =时，()f x 取得极大值1c ，所以极大值点为31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意，(3,1)A ，(6,)B c ，31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线，所以111332c c --=，解得1c =或2 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= ．13．答案：85解析：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则(2,2)AC =，(2,1),(1,2)AM BN ==-，因为AC AM BN λμ=+，所以(2,2)(2,2)λμλμ-+=，所以2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得685,255λλμμ⎧=⎪⎪∴+=⎨⎪=⎪⎩AMx14．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)4f =，且()f x 的导函数()3f x '<，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为 ．14．答案：(0,)e解析：设ln t x =，则()31f t t >+，即()31f t t ->，设()()3g t f t t=-，则(1)(1)31g f =-=，且()()30g t f t ''=-<，所以函数()g t 是一个单调递减函数，不等式()31f t t ->等价于()(1)g t g >，所以1t <，即ln 1x <，解得(0,)x e ∈15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，126,4,0n S S S ==>，且22122,,n n n S S S -+成等比数列，212221,,n n n S S S -++成等差数列，则2016a 等于 ．15．答案：1009-解析：由题意可得2212222221212n n n n n n S S S S S S -++-+⎧=⎪⎨=+⎪⎩，因为0n S>，所以222n S +所以)n N *=∈，故数列为等差数列，又由126,4S S ==，2124S S S =⋅，可得49S =；4132S S S =+，可得312S =，所以数列2=为首1=1n =+，即22(1)n S n =+，故21(1)(2)n S n n -==++，故2201620151009,10091010S S ==⨯，所以2016201620151009a S S =-=-16．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin ,01,42()11, 1.4xx x f x x π⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤， 若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ． 16．答案：01a <≤或54a =解析：由25[()](56)()60f x a f x a -++=可得[5()6][()]0f x f x a -⋅-=，所以6()5f x =或()f x a =，画出()y f x =的图像，当6()5f x =时，因为65154<<，所以该方程有4个根；因2（1）求角A 的大小； （2）求25cos 2sin 22C B π⎛⎫--⎪⎝⎭的取值范围．17．解：（1cos (2)cos C b A =-及正弦定理可得：cos (2sin )cos 2sin cos cos A C B C A B A C A ==，故2sin cos cos sin cos ))B A A C C A A C B =+=+=，0πB <<，sin 0B ∴≠，cos A ∴=0πA <<，所以6πA =（2）25cos 2sin sin cos 1sin cos()122πC B B C B A B ⎛⎫--=+-=-+-⎪⎝⎭3sin coscos sinsin 1sin cos 1166226πππB B B B B B ⎛⎫=-+-=--=-- ⎪⎝⎭ 由6πA =，可得50,6πB ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππB ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而1sin ,162πB ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，116πB ⎛⎤⎛⎫--∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围是1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀．（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望． 参考数据：若2(,)XN μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=18．解：因为语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，所以语文成绩特别优秀的概率为11(135)(10.96)0.022p P X =>=-⨯=，数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244p =⨯⨯= 所以语文成绩特别优秀的同学有5000.0210⨯=（人），数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=（人）……………………（5分）（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3321123101061066333316161616327151(0),(1),(2),(3),14565628C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………（12分）19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠=︒==分别为11,AB A B 的中点，现把平行四边形11AAC C 沿1CC 折起，如图②所示，连接1111,,B C B A B A ①②ACBA 1C 1B 1ACBA 1C 1B 1（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB 11C AB A --的余弦值．19．（1）证明：由已知可得，四边形1111,ACC A BCC B 均为边长为2的菱形，且11160ACC B C C ∠=∠=︒，取1CC 的中点O ，连接11,,AO B O AC ，则1ACC △是等边三角形，所以1AO CC ⊥，同理可得11B O CC ⊥．又因为1AOB O O =，所以1CC ⊥平面1AOB ，又因为1AB ⊂平面1AOB ，所以11AB CC ⊥．…………………………（5分）AC BA 1C 1B 1O（2）由已知得1OA OB AB ===2221OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，分别以11,,OB OC OA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得11(0,1,0),C B A A -．设平面1CAB 的法向量111(,,)m x y z =，1(3,0,3),(0,1,AB AC =-=-，11111300AB m xAC m y ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=--=⎪⎩，令11x =，得 111,z y ==1CAB 的法向量(1,m =．设平面11AA B 的法向量222(,,)n x y z =，11(3,0,3),(0,2,0)AB AA =-=，由122123020AB n x AA n y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21x =，得221,0z y ==， 所以平面11AA B 的法向量(1,0,1)n =， 于是cos ,55m n m n m n⋅===⨯⋅．因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为5-20．（本小题满分12分）已知曲线2()ln f x ax bx x =+在点(1,(1))f 处的切线方程是21y x =-． （1）求实数,a b 的值；（2）若2()(1)f x kx k x +-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值． 20．解：（1）()2ln f x a bx x bx '=++，由(1)1(1)2f a f a b ==⎧⎨'=+=⎩，可得1a b ==……（4分）（2）由22ln (1)x x x kx k x ++-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即2ln 1x x k x ++≤恒成立，令 2ln ()(0)1x x g x x x +=>+，则22(ln 1)(1)2ln ln 1()(1)(1)x x x x x x g x x x ++--+-'==++， 显然ln 1y x x =+-单调递增，且有唯一零点1x =，所以()g x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增，所以min ()(1)1g x g ==，所以1k ≤，故k 的最大值为1………………………………（12分）21．（本小题满分12分）已知函数211()ln 22f x ax x ax ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（a 为常数，0a >）． （1）当1a =时，求函数()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）当()y f x =在12x =处取得极值时，若关于x 的方程()0f x b -=在[0,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围； （3）若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立，求实数m 的取值范围．21．解：（1）当1a =时，211()ln 22f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，所以13()21,(1)12f x x f x ''=+-=+，又(1)0f =，即切点为(1,0)，所以切线方程为3(1)2y x =-，即3230x y --=．……（3分） （2）()21a f x x a ax '=+-+，依题意，1101212a f a a ⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭+，即220a a --=，因为 0a >，所以2a =，此时2(21)()12x x f x x -'=+，所以()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1135(0)ln ,,(2)ln 2242f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以31ln 42b -<≤．…………（6分） （3）2222(2)2(2)()2111x ax a a ax a x f x x a ax ax ax⎡⎤--+-⎣⎦'=+-==+++， 因为12a <<，所以221(2)(1)0222a a a a a --+-=<，即22122a a -<，所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以max 11()(1)ln 122f x f a a ⎛⎫==++- ⎪⎝⎭． 问题等价于对任意的(1,2)a ∈，不等式211ln 1(23)22a a m a a ⎛⎫++->+-⎪⎝⎭恒成立， 设211()ln 1(23)(12)22h a a a m a a a ⎛⎫=++--+-<< ⎪⎝⎭， 则212(41)2()12211ma m a m h a ma m a a --+-'=---=++，又(1)0h =，所以()h a 在1a =右侧需先单调递增，所以(1)0h '≥，即18m -≤． 当18m -≤时，设2()2(41)2g a ma m a m =--+-，其对称轴为1114a m=--<，又20m ->，开口向上，且(1)810g m =--≥，所以在(1,2)内，()0g a >，即()0h a '>，所以()h a 在(1,2)内单调递增，()(1)0h a h >=，即211ln 1(23)(12)22a a m a a a ⎛⎫++->+-<< ⎪⎝⎭． 于是，对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立． 综上可知，18m -≤…………………………（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的非负半轴重合，直线l 的参数方程为1,212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，求PQ 的值．22．解：（1）将4c o s ρθ=化为24cos ρρθ=，由222,c os ρρθx y x =+=，得224x y x +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=．由1,212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t解得10x +=， 所以直线l的普通方程为10x +=……………………（5分）（2）把1,212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(2)4x y -+=，整理得250t -+=，设其两根为12,t t ，则12125t t t t +==，所以12PQ t t =-==………………（10分） 方法2，圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r =，圆心C 到直线l 的距离32d =，所以PQ ==………………（10分）方法3，将1x =-代入22(2)4x y -+=，化简得：2450y -+=，由韦达定理得：12125,24y y y y +==，PQ === 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()223,()12f x x a x g x x =-++=-+．（1）解不等式()5g x <；（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．23．解：（1）由125x -+<，得5125x -<-+<，所以13x -<，即313x -<-<，解得： 24x -<<，所以原不等式的解集为{|24}x x -<<（2）因为对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()223(2)(23)3f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(23)0x a x -+≤时取等号，()122g x x =-+≥，所以32a +≥，解得：1a -≥或5a -≤，所以实数a 的取值范围是(,5][1,)-∞--+∞。

2018届河北省衡水金卷全国高三大联考理科数学试题（解析版）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则 ( )A. B.C. D.【答案】C【解析】.所以,.故选C.2. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则为( )A. 2B. -3C.D. 3【答案】B【解析】.故的虚部为-3，即.故选B.3. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则( )A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】由，得，故.故选C.4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )A. B. C. D.【解析】根据题意，可估计军旗的面积大约是.故选B.5. 已知双曲线：的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】圆：的圆心为，双曲线的渐近线为.依题意得.故其离心率为.故选A.6. 已知数列为等比数列，且，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，得，所以.由,得，或（由于与同号，故舍去）.所以..故选A.7. 执行如图的程序框图，若输出的的值为-10，则①中应填( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由图，可知.故①中应填.8. 已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则，，间的大小关系是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意得，令.则为内的偶函数，当时，.所以在内单调递减.又，，.故，选D.9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是一个半圆柱与一个地面是等腰直角三角形的三棱锥构成的组合体，故其体积.故选A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10. 已知函数的部分图象如图所示，其中.记命题：，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象.则以下判断正确的是( )A. 为真B. 为假C. 为真D. 为真【答案】D【解析】由，可得.解得.因为，所以，故为真命题；将图象所有点向右平移个单位，..............................所以为假，为真，为假，为真.故选D.11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】令，得，即.由抛物线的光学性质可知经过焦点，设直线的方程为，代入.消去，得.则，所以..将代入得，故.故.故的周长为.故选B.点睛：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.12. 已知数列与的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值是( )A. B. C. 49 D.【答案】B【解析】当时，，解得或.由得.由，得.两式相减得.所以.因为，所以.即数列是以3为首项，3为公差的等差数列，所以.所以.所以.要使恒成立，只需.故选B.点睛：由和求通项公式的一般方法为.数列求和的常用方法有：公式法；分组求和；错位相减法；倒序相加法；裂项相消法；并项求和.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13. 已知在中，，，若边的中点的坐标为，点的坐标为，则__________．【答案】1【解析】依题意，得，故是以为底边的等腰三角形，故，所以.所以.14. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为，，则的最小值为__________．【答案】16【解析】显然.令，得.所以.当且仅当.即时，取等号，此时的最小值为16.15. 已知，满足其中，若的最大值与最小值分别为，，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】作出可行域如图所示（如图阴影部分所示）设，作出直线，当直线过点时，取得最小值；当直线过点时，取得最大值.即，当或时，.当时，.所以，解得.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为__________．【答案】【解析】设的中点为，如图，由，且为直角三角形，得.由等体积法，知.即，解得.故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数，.（Ⅰ）求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，求的面积.【答案】（1）最小正周期，对称轴方程为；（2）.【解析】试题分析：（1）化简函数得，其最小正周期，令即可解得对称轴；（2）由，解得，由正弦定理及，得，利用即可得解. 试题解析：（1）原式可化为，，，，故其最小正周期，令，解得，即函数图象的对称轴方程为，.（2）由（1），知，因为，所以.又，故得，解得.由正弦定理及，得.故.18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，侧面平面，且，动点在棱上，且.（1）试探究的值，使平面，并给予证明；（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接交于点，连接通过证得，即可证得平面；（2）取的中点,连接，可得两两垂直，建立空间直角坐标系，设与平面所成的角为，则，为平面的一个法向量.试题解析：（1）当时，平面.证明如下：连接交于点，连接.∵，∴.∵，∴.∴.又∵平面，平面，∴平面.（2）取的中点,连接.则.∵平面平面，平面平面，且，∴平面.∵，且，∴四边形为平行四边形，∴.又∵，∴.由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，.当时，有，∴可得.∴，，.设平面的一个法向量为，则有即令，得，.即.设与平面所成的角为，则.∴当时，直线与平面所成的角的正弦值为.点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？（Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：【答案】（1）见解析；（2）①，②见解析.【解析】试题分析：（1）计算的值，进而可查表下结论；（2）①由分层抽样的抽样比计算即可；②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为，由题意得.试题解析：（1）由列联表可知的观测值，.所以不能在犯错误的概率不超过的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.（2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），偶尔或不用网络外卖的有（人）.则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为.②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为.由题意得，所以；.20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为点，，其离心率为，短轴长为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，过点的直线与椭圆交于，两点，且，证明：四边形不可能是菱形.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由，及，可得方程；（2）易知直线不能平行于轴，所以令直线的方程为与椭圆联立得，令直线的方程为，可得，进而由是菱形，则，即，于是有由韦达定理代入知无解.试题解析：（1）由已知，得，，又，故解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1），知，如图，易知直线不能平行于轴.所以令直线的方程为，，.联立方程，得，所以，.此时，同理，令直线的方程为，，，此时，，此时.故.所以四边形是平行四边形.若是菱形，则，即，于是有.又，，所以有，整理得到，即，上述关于的方程显然没有实数解，故四边形不可能是菱形.21. 已知函数，其中为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论函数的单调性及极值；（Ⅱ）若不等式在内恒成立，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）函数求导得，讨论和演技单调性及极值即可；（2）当时，在内单调递增，可知在内不恒成立，当时，，即，所以.令，进而通过求导即可得最值.试题解析：（1）由题意得.当，即时，，在内单调递增，没有极值.当，即，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故当时，取得最小值，无极大值.综上所述，当时，在内单调递增，没有极值；当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值.（2）由（1），知当时，在内单调递增，当时，成立.当时，令为和中较小的数，所以，且.则，.所以，与恒成立矛盾，应舍去.当时，，即，所以.令，则.令，得，令，得，故在区间内单调递增，在区间内单调递减.故，即当时，.所以.所以.而，所以.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（，为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；（Ⅱ）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）将直线的极坐标方程化为普通方程，进而由圆的参数方程得曲线上的点到直线的距离，，利用三角函数求最值即可；（2）曲线上的所有点均在直线的下方，即为对，有恒成立，即（其中）恒成立，进而得.试题解析：（1）直线的直角坐标方程为.曲线上的点到直线的距离，，当时，，即曲线上的点到直线的距离的最大值为.（2）∵曲线上的所有点均在直线的下方，∴对，有恒成立，即（其中）恒成立，∴.又，∴解得，∴实数的取值范围为.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）记函数的值域为，若，证明：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）分段去绝对值解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式得..用作差法比较大小得到，即可证得.试题解析：（1）依题意，得于是得或或解得.即不等式的解集为.（2），当且仅当时，取等号，∴.原不等式等价于，.∵，∴，.∴.∴.。

衡水中学2018届高三数学上学期五调试题（理科有答案）2017~2018学年度上学期高三年级五调考试数学(理科)试卷本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

共150分。

考试时间120分钟．第I卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑)1．设集合A．B．C．D．2．已知复数z满足(i是虚数单位)，则A．B．C．D．3．要得到函数的图像，只要将函数的图像A．向左平移1个单位长度B．向右平移1个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度4．已知向量，则A．B．C．D．5．下列命题中正确的是A．若B．若C．若D．若6．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为A．B．C．D．7．若A．B．1C．2D．8．已知三角形的三边长构成等比数列，设它们的公比为q，则q的一个可能值为A．B．C．D．9．已知两点，若曲线上存在点P，使得，则正实数a的取值范围为A．(0，3]B．[1，3]C．[2，3]D．[1，2]10．抛物线三点，F是它的焦点，若成等差数列，则A．成等差数列B．成等差数列C．成等差数列D．成等差数列11．已知点P为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，点I为△PF1F2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有成立，则双曲线的离心率的取值范围为A．(1，2]B．(1，2)C．(0，2]D．(2，3]12．已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且关于x的方程在区间(0，3]上有两解，则实数a的取值范围是A．(0，5]B．C．(0，5)D．[5，+∞)第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．设直线相交于A，B两点，且弦长为，则a的值是__________．14．设分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为，则的最小值为_________．15．已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D，则的值是_________．16．已知四面体ABCD，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球的半径为__________．三、解答题(共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答) （一）必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知等差数列的公差不为零，且满足成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前n项和.18．(本小题满分12分)已知函数上单调递增，在区间上单调递减．如图，在四边形OACB中，分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足．(1)证明：.(2)若，求四边形OACB面积的最大值．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，DA=DP，BA=BP．(1)求证：；(2)若，求二面角D—PC—B的正弦值．20.(本小题满分12分)已知椭圆，椭圆C的左焦点为A，右焦点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，且，直线AP，BP与直线y=3分别交于G，H两点．(1)求椭圆C的方程及线段GH的长度的最小值；(2)T是椭圆C上一点，当线段GH的长度取得最小值时，求△TPA的面积的最大值．21．(本小题满分12分)已知函数．(1)若在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围；(2)若有两个极值点的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是，曲线的极坐标方程为，其中满足，曲线C1与圆C的交点为O，P两点，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数．(1)若的解集为的值；(2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．。