三角函数弧度制-P

第四章 三角函数、解三角形 第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的□1端点旋转所成的图形． (2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为□2正角、□3负角、□4零角．按终边位置不同分为□5象限角和轴线角．(3)相反角：我们把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为□6－α．(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义把长度等于□7半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示． (2)公式3．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，α∈R ，它的终边OP 与单位圆相交于点P (x ，y )， 则sin α＝□9y ，cos α＝□10x ，tan α＝y x (x ≠0). (2)任意角的三角函数的定义(推广)：设P (x ，y )是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0).4．三角函数在各象限的符号规律常用结论►(1)三角函数在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (2)象限角(3)轴线角1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)小于90°的角是锐角．( )(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( ) (3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 2．(教材改编)67°30′化为弧度是( ) A ．3π8B ．38C ．673π1 800D ．6731 8003．(教材改编)已知α是第一象限角，那么α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角4．(教材改编)已知角θ的终边经过点P (－12，5)，则sin θ＋cos θ＝ ．关键能力 互动探究 命题点1 任意角及其表示例1 (1)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( C )(2)(2024·河北唐山质检)在[－720°，0°]范围内所有与45°终边相同的角为 ． 命题点睛►(1)表示区间角的三个步骤①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；②再按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α＜x ＜β}，其中β－α＜360°；③最后令起始、终止边界的对应角α，β加上360°的整数倍，即得区间角的集合． (2)象限角的两种判断方法①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；②转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．针对训练1．(多选)下列命题正确的是( )A ．终边落在x 轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2k π，k ∈Z }B ．终边落在y 轴上的角的集合为{α|α＝90°＋k π，k ∈Z }C ．第三象限角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|π＋2k π≤α≤3π2＋2k π，k ∈ZD ．在－900°≤x <0°范围内所有与30°角终边相同的角为－690°和 －330°2．终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3．命题点2 弧度制及其应用例2 已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长是20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．命题点睛►应用弧度制解决问题时的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 针对训练(多选)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形(如图)的面积为S 1，圆心角为α1，扇形所在圆面中剩余部分的面积为S 2，圆心角为α2，当S 1与S 2的比值为5－12≈0.618(黄金分割比)时，折扇看上去较为美观，那么( )A ．α1≈127.5°B ．α1≈137.5°C ．α2＝(5－1)πD ．α1α2＝5－12命题点3 三角函数的定义及其应用角度1 三角函数的定义例3 (1)已知角α的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫35，m 5，则sin α的值是( ) A ．±45B ．±35C ．34D ．－34(2)如果点P 在角23π的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标是( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(－3，1)D ．(－3，－1) 角度2 三角函数的符号例4 (1)点P (sin 100°，cos 100°)在( ) A ．第一象限内 B ．第二象限内 C ．第三象限内D ．第四象限内 (2)已知sin θ<0，tan θ<0，则角θ的终边位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限命题点睛►1．三角函数定义的应用(1)找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，直接利用三角函数的定义，确定这个角的三角函数值．(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值．2．要判断三角函数的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再确定三角函数在各象限的符号．如果不能确定角所在象限，那么就要进行分类讨论求解．针对训练1．(2023·黑龙江哈尔滨期中)已知角α的终边经过点P (－3，4)，则sin α－cos α－11＋tan α的值为( )A ．－65B ．1C ．2D ．32．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，若A (－1，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－31010，则y ＝( )A ．3B ．－3C ．1D ．－13．(2024·福建福州质检)若α是第二象限角，则下列不等式正确的是( ) A ．cos (－α)>0 B ．tan α2>0C ．sin 2α>0D ．sin (－α)>0 课时作业 [基础巩固练]1．下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )2．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，其终边经过点P (1，2)，则sin α＝( ) A ．255B ．55 C ．2D ．123．点A (sin 1 240°，cos 1 240°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4．(2023·天津河东一模)在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为( ) A ．4 B ．22 C ．2D ．15．(2024·河南郑州质检)已知α是第二象限角，则点(cos (sin α)，sin (cos α))所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角；③无论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二象限角或第三象限角．其中正确命题的序号是( )A ．②④⑤B ．③⑤C ．③D ．①③⑤7．(多选)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，终边上有一点P (1，2sin α)，且|α|<π2，则角α的可能取值为( )A ．－π3B ．0C ．π6D ．π38．已知角α的终边经过点(2a －1，4)，且cos α＝－35，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－1C ．2D ．1 9．若角α的终边与函数5x ＋12y ＝0(x <0)的图象重合，则2cos α＋sin α＝ ． 10．用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内(含边界)的角θ的集合是11．α为第二象限角，且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2在第 象限． 12．(2024·山东德州质检)已知扇形的圆心角为23π，面积为3π，则该扇形的周长为 ．[能力提升练]13．(多选)在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点P (－1，m )(m >0)，则下列各式的值一定为负的是( )A ．sin α＋cos αB ．sin α－cos αC ．sin αcos αD ．sin αtan α14．(2023·山西长治模拟)水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力材料(SIM)所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴由线段AB ，AC 和圆的优弧BC 围成，其中AB ，AC 恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为1，点A 到圆弧所在圆的圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为( A )A ．3＋2π3B ．23＋2π3C ．23＋π3D ．3＋π315．(2023·黑龙江牡丹江三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ⎝⎛⎭⎫35，45，将线段OA 绕原点顺时针旋转π3得到线段OB ，则点B 1016．若点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0，2π)内α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4．。

三角函数弧度制公式L=n×π×r/180，L=α×r。

在数学和物理中，弧度是角的度量单位。

它是由国际单位制导出的单位，单位缩写是rad。

定义：弧长等于半径的弧，其所对的圆心角为1弧度。

（即两条射线从圆心向圆周射出，形成一个夹角和夹角正对的一段弧。

当这段弧长正好等于圆的半径时，两条射线的夹角的弧度为1）。

三角函数的弧长计算公式
弧长计算公式是一个数学公式，为L=n（圆心角度数）×π（1）×r（半径）/180（角度制），L=α（弧度）×r(半径) （弧度制）。

其中n是圆心角度数，r是半径，L是圆心角弧长。

弧长公式：
l = n（圆心角）×π（圆周率）×r（半径）/180=α(圆心角弧度数)×r（半径）
在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2
πr，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πr÷180°（l=n°x2πr/360°)。

三角函数弧度制与角度的转换表
弧度制与角度制的换算公式：1度=π/180≈0.01745弧度，1弧度=180/π≈57.3度。

角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制。

由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量。

角度以弧度给出时，通常不写弧度单位。

弧度制的精髓就在于统一了度量弧与角的单位，从而大大简化了有关公式及运算，尤其在高等数学中，其优点就格外明显。

高中数学(三角函数)零角：逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋转负角，不做任何旋转零角; 连同角&在内，都可以表示为集合{0丨0 = & +「360°山wZ}(3)、象限的许J ：在肓和坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限, 就是笫儿象限的角；角的终边落在处标轴上，这个角不属于任何象限。

2、弧度制：(1)、定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。

1 QH (2).度数与弧度数的换算：180° 弧度，1弧度=(——)，57°18‘71(3)、弧长公式：I =\a\r (a 是角的弧度数)sin 2<z + cos 26z = l tan^=^^cos a(4)同角三角函数的常见变形：(活用“1”)(s)(sina ±cos a)2 = l±2sinacosQ = l±sin2a,5、诱导公式：(奇变偶不变，符号看象限)公式一：sin(a + k - 360°) = sin a cos(a + R - 360°) = cos a tan(a + k - 360°) = tana\p (xy)-\2 >0 y1扇形面积:(2)、 4、同角三角函数基本关系式 (1)平方关系:(2 )商数关系:S = —lr == — \a\r 22 2第四章三角函数1、角:(1)、正角、负角、 (2 )、与Q 终边相同的角, ①.sirr a = l — cos~ a ,sin a = ±vl-cos 2cr ； cos 2 cr = 1-sin 2 cr, cos a = ±Vl-sin 2cr ；A /1 ±sin 2a =1 sin Q 土 cos a Isin(— + a) = cos a sin(— -cz) = -coscz sin(— + a) = -cos a2 2 2 cos(y + ◎) = 一sin a cos(^- - a) = - sin a cos (号 + a) = sin a6、两角和与差的正弦、余弦、正切S (a+0)： sin(a + 0) =s in a cos 0 + cos a sin (3 Sg" sin (6z-/?) =sin a cos 0 - cos a sin 0C(a+0)： COS(d+0) =cos a cos 0 - sin & sin 0 C (_#): cos(d - 0) = cos a cos 0 + sin a sin /3T(a+0):tan© + 0)tan Q + tan 0 1 - tan cr tan 0T(a-/j ):tan(o - 0)=tan Q - tan 0I + tan (7 tan 0T (a+ft ｝的整式形式为： tan a + tan 0 = tan(cr + 0) • (1 - tan a tan 0)例：若 71 + B = 45° ,则(1 + tan A)(\ + tan B) = 2 .(反Z 不一•定成立)=J/ +/?2(sin x • cos (p + cos x • sin (p) = V^z 2 +/?2 • sin(x + (p)(其中©称为辅助角，0的终边过点(a,b), tan^9 =—)(多用于研究性质) a8、二倍角公式：(1)、S 2a : sin 2& = 2sin a cos &(3)^ 二倍角公式的常丿 IJ 变形：①k 71 - cos 2a = V2 I sin cr I, Jl + cos2a =V2 I cos a I ；公式二：sin(180o -tz) = sin a cos(l 80° -a) = - cos a tan(l 80° -a) = - tana 补充：公式三： sin(l 80° + a) = -sin a cos(l 80° + a) = - cos a tan(180° + a) = tana公式四: sin(-a) = -sin a cos(-tz) = COS6Z tan(-ez) = - tan «公式五：sin(360° -a) = -sin a cos(360°-a) = cos a tan(360° -<z) = -tancrsin(y - ct) = coscz cos (守-Q ) = sin7、辅助角公式: asinx + bcosx = Ja ，+b?, _____ s i“+〒L= +b 2 yja 2 +b 2 \cosx丿(2)、降次公式：(多用于研究性质)aacos 2a = cos a-sin a=1 -2 sin 2 a - 2cos 2 a 一 1tan 2a =2 tan a1-tan 2 asin a cos a = —sin 2a2.9 1 - cos 2a 1 小 1sirr a = -------------- =——cos 2a + —2 2 221 + cos 2a 1 c 1 cos 「a = ------------- = —coszcr + —2 2 2②、J*-*cosN =1 sina I,J 丄 + 丄 cos la =1 cos a IV2 2③、• 4 4 1 c • 22 1 sin 2asin a + cos a = l-2sirr acos a - 1 ----------------------- cos4(2 - sin4a = cos2a ；9、三角函数的图象性质(1) 、函数的周期性：①、定义：对于函数f (x),若存在一个非零常数T,当兀取定义域内的每一个值时, 都有：f (x+T) =/(x),那么函数/(x)叫周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期；②、如果函数/(x)的所有周期中存在一个最小的匸数，这个最小的匸数叫/(%)的最小正周期。

弧度制与三角函数的计算在数学中，弧度制和三角函数是两个非常重要的概念。

它们在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。

本文将探讨弧度制和三角函数的计算方法，并讨论它们的实际用途。

一、弧度制的定义与计算弧度制是一种用弧长来度量角度的方法。

在弧度制中，角度的度量单位是弧度（rad）。

一个圆的周长是2πr，其中r是半径。

如果一个角所对应的弧长等于半径的长度，那么这个角的度数就是1弧度。

要将角度转换为弧度，可以使用以下公式：弧度 = 角度× π / 180例如，将30度转换为弧度：弧度 = 30 × π / 180 = π / 6。

同样地，要将弧度转换为角度，可以使用以下公式：角度 = 弧度× 180 / π例如，将π / 4弧度转换为角度：角度= π / 4 × 180 / π = 45度。

弧度制的优势在于它能够更方便地进行角度的计算和推导。

在三角函数的计算中，弧度制也更为常用。

二、三角函数的计算三角函数是用来描述角度与三角形边长之间的关系的函数。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

正弦函数（sin）表示一个角的对边与斜边之比。

在弧度制中，正弦函数的计算公式为：s in(θ) = 对边 / 斜边余弦函数（cos）表示一个角的邻边与斜边之比。

在弧度制中，余弦函数的计算公式为：cos(θ) = 邻边 / 斜边正切函数（tan）表示一个角的对边与邻边之比。

在弧度制中，正切函数的计算公式为：tan(θ) = 对边 / 邻边三角函数的计算可以通过查表、使用计算器或计算机软件来进行。

在实际应用中，三角函数常用于解决各种几何问题，例如计算三角形的边长、角度和面积等。

三、弧度制与三角函数的实际应用弧度制和三角函数在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有广泛的应用。

在物理学中，弧度制和三角函数常用于描述物体的运动和力学性质。

例如，角速度的单位是弧度每秒（rad/s），它描述了物体每秒钟绕某个轴旋转的角度。

弧度制知识点弧度制是数学中一种角度计算的单位制，也是一种非常重要的数学工具。

在解决圆的相关问题时，使用弧度制可以使计算更加简单明了。

弧度制的原理其实很简单，就是把弧长和半径之间的比值作为角度的度量单位。

在本文中，我们将介绍弧度制的基本定义、应用、转换以及相关数学问题。

基本定义弧度，是用来衡量圆周的长度和弧之间的关系的单位。

弧度制的基本定义是，一弧度是圆周长度和圆的半径之比。

简单地说，一弧度等于圆周的长度为半径的倍数，因此，圆周总共有360度，也就是2π弧度的长度。

应用及优势弧度制是一种非常重要的数学工具，它的应用涵盖了很多领域。

在三角函数的学习中，弧度制的应用可以帮助我们更加便捷地计算正弦、余弦等函数的值。

此外，弧度制在计算圆的周长、面积、相对位置等方面也发挥了重要的作用。

与角度制相比，弧度制更加优越的原因在于，它的定义更加简单明了，而且计算过程中更为直接简单。

在圆上每增加一个角度，对应的弧长和半径的比值就要增加一个弧度单位。

相比之下，角度制需要考虑360度转化、计算过程繁琐等问题，因此在实际运用中弧度制更为实用。

弧度制转角度制在实际运用中，有可能需要将弧度制转化为角度制。

这时我们可以使用弧度转角度公式：角度=弧度×180/π。

例如：1弧度=180/π度，而1度=π/180弧度。

如果给定一个角的弧度值，我们可以将其乘以180，然后除以π，即可得到对应的角度值。

同理，如果给定一个角的角度值，我们也可以将其乘以π，然后除以180，即可得到对应的弧度值。

数学问题弧度制与三角函数的应用密切相关，因此，其中涉及的数学问题也比较典型。

在本文中，我们将介绍弧度制下的基本三角函数及其相关性质。

正弦函数正弦函数（Sine Function）是一种基本的三角函数。

在数学上，正弦函数f(x)=sin x被定义为一个函数，它的输出值（y值）等于对应的输入值（x值）的弧度值的正弦值。

也就是说，对于任意实数x，f(x)=sin x= y/r,其中，y是一个以x为圆心角的圆的弧度。

三角函数弧度制三角函数是数学中的一种基本函数，它们在三角形的计算中非常有用。

在数学中，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的定义和性质可以用角度或弧度来表示。

在这里，我们将重点介绍三角函数的弧度制。

弧度制是一种角度的度量方式，它是以圆的半径为单位来度量角度的大小。

具体来说，一个角度的弧度数等于它所对应的圆弧长度与圆的半径之比。

例如，一个角度为60度的圆心角所对应的弧长是圆的周长的1/6，如果圆的半径为1，那么这个角度的弧度数就是1/6π，即约为0.523。

在三角函数中，弧度制的应用非常广泛。

例如，正弦函数的定义是一个角度的正弦值等于它所对应的三角形的对边长度与斜边长度之比。

在弧度制下，正弦函数的定义可以改写为一个角度的正弦值等于它所对应的圆上一点的纵坐标与圆的半径之比。

这个定义可以用下面的公式来表示：sinθ=y/r其中，θ是一个角度，y是它所对应的圆上一点的纵坐标，r是圆的半径。

这个公式可以用来计算任意一个角度的正弦值，只要知道它所对应的圆上一点的坐标即可。

同样地，余弦函数和正切函数的定义也可以用弧度制来表示。

余弦函数的定义是一个角度的余弦值等于它所对应的三角形的邻边长度与斜边长度之比。

在弧度制下，余弦函数的定义可以改写为一个角度的余弦值等于它所对应的圆上一点的横坐标与圆的半径之比。

正切函数的定义是一个角度的正切值等于它所对应的三角形的对边长度与邻边长度之比。

在弧度制下，正切函数的定义可以改写为一个角度的正切值等于它所对应的圆上一点的纵坐标与横坐标之比。

总之，弧度制是一种非常重要的角度度量方式，它在三角函数的计算中起着至关重要的作用。

掌握弧度制的概念和计算方法，可以帮助我们更好地理解三角函数的定义和性质，从而更加熟练地运用它们进行数学计算。