导数及其应用单调性

导数的定义及其应用领域导数是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

导数的定义和性质被广泛地应用在物理、工程、经济学等领域中。

本文将简要介绍导数的定义，以及它在不同领域的应用。

一、导数的定义导数可以理解为函数的瞬时变化率。

对于函数f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)或df(x)/dx。

导数的定义可以通过极限来描述，即f'(x) = lim┬(h→0)⁡〖((f(x+h)-f(x))/h)〗，其中h是趋于0的增量。

二、导数的性质导数具有多个重要性质，其中一些常见的性质包括：1. 导数可以用于判断函数的单调性。

如果在某个区间内，函数的导数始终为正（或负），则该函数在该区间内单调增加（或减少）。

2. 导数可以用于求解函数的最大值和最小值。

函数在极值点处的导数为零或不存在。

3. 导数满足乘法规则、和差规则和链式法则等运算规则，使得我们可以方便地计算复杂函数的导数。

三、导数的应用领域1. 物理学中的运动学导数在物理学中的运动学方程中起着关键作用。

例如，速度可以定义为物体位移关于时间的导数，加速度则是速度关于时间的导数。

通过求解导数，我们可以推导出各种运动的速度、加速度和位移关系，从而更好地理解物体的运动规律。

2. 工程学中的控制系统导数在工程学中的控制系统中经常被使用。

例如，在机械工程中的控制系统中，导数可以表示速度或者加速度的变化。

这对于设计和分析各种控制系统非常重要，从而提高系统的稳定性和响应度。

3. 经济学中的边际效应导数在经济学中的边际效应分析中起着关键作用。

例如，在经济学中，边际成本和边际收益可以通过求导来计算。

这对于制定合理的经济政策和决策具有重要意义。

4. 生物学中的生态模型导数在生物学中的生态模型中也有广泛应用。

生态学家利用导数来描述物种数量的变化速率，从而研究生态系统的稳定性和动态性。

导数的计算帮助我们理解和预测生物多样性和种群变化等重要生物学现象。

5. 金融学中的风险管理导数在金融学中的风险管理中也起着重要作用。

导数与函数的单调性【考点梳理】函数的导数与单调性的关系函数y ＝f (x )在某个区间内可导，则(1)若f ′(x )＞0，则f (x )在这个区间内单调递增；(2)若f ′(x )＜0，则f (x )在这个区间内单调递减；(3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数函数．【考点突破】考点一、判断或证明函数的单调性【例1】已知函数已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )，讨论f (x )的单调性.[解析] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a . 若a ≤0，则f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0； x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0， 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. 【类题通法】用导数判断或证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤(1)一求．求f ′(x )；(2)二定．确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)三结论．作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．【对点训练】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R)，试讨论f (x )的单调性．[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a 3.当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2≥0，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )＞0， x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0时，f ′(x )＜0， 所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0上单调递减； 当a ＜0时，x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞时，f ′(x )＞0， x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3时，f ′(x )＜0， 所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，－2a 3上单调递减. 考点二、求函数的单调区间【例2】已知函数f (x )＝x 22－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间．[解析] 因为f (x )＝x 22－a ln x ，所以x ∈(0，＋∞)， f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x. (1)当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数.(2)当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x，则有 ①当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为(0，a ).②当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞).综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间.当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞).【类题通法】求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )＞0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )＜0，得单调递减区间．【对点训练】已知函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间．[解析] 由题意得f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0). 当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减.当a >0时，由f ′(x )＝0有x ＝12a ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a . 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞. 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间.当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞. 考点三、已知函数的单调性求参数【例3】已知函数f (x )＝x 3－ax －1.若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围．[解析] 因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立.因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0，即实数a 的取值范围为(－∞，0].【变式1】函数f (x )不变，若f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．[解析] 因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3，即a 的取值范围为(－∞，3].【变式2】函数f (x )不变，若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，试求a 的取值范围．[解析] 由f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，得a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立. 因为－1＜x ＜1，所以3x 2＜3，所以a ≥3.即当a 的取值范围为[3，＋∞)时，f (x )在(－1,1)上为减函数.【变式3】函数f (x )不变，若f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．[解析] ∵f (x )＝x 3－ax －1，∴f ′(x )＝3x 2－a .由f ′(x )＝0，得x ＝±3a 3(a ≥0). ∵f (x )在区间(－1,1)上不单调，∴0＜3a 3＜1，得0＜a ＜3， 即a 的取值范围为(0,3).【类题通法】根据函数单调性求参数的一般方法(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．【对点训练】1．若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，1] B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 [答案] C[解析] 取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A ，B ，D.故选C.2．已知a ∈R ，若函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)在(－1，1)上单调递增，求a 的取值范围.[解析] 因为函数f (x )在(－1，1)上单调递增，所以f ′(x )≥0对x ∈(－1，1)都成立.因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x ＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1，1)都成立.因为e x＞0，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0， 则a ≥x 2＋2x x ＋1＝（x ＋1）2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1，1)都成立. 令g (x )＝(x ＋1)－1x ＋1，则g ′(x )＝1＋1（x ＋1）2＞0， 所以g (x )＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1，1)上单调递增， 所以g (x )＜g (1)＝(1＋1)－11＋1＝32， 所以a ≥32，又当a ＝32时，当且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0， 所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。

导数的应用的单调性与极值在微积分学中，导数是一个非常重要的概念，它有着广泛的应用。

本文将讨论导数的应用方面，着重探讨其与单调性和极值的关系。

一、导数与函数的单调性在研究函数的单调性时，导数是一个非常重要的工具。

通过求函数的导数，我们可以得到函数的增减性质。

1. 单调递增如果一个函数在某个区间内的导数恒大于零，那么这个函数在该区间内是单调递增的。

也就是说，函数的图像在这个区间上是向上的。

举个例子，考虑函数f(x) = x^2，我们可以求得它的导数f'(x) = 2x。

由于2x大于零，所以函数f(x)在整个实数轴上都是单调递增的。

2. 单调递减类似地，如果一个函数在某个区间内的导数恒小于零，那么这个函数在该区间内是单调递减的。

还是以前面的例子f(x) = x^2为例，我们可以看到，函数f(x)的导数2x在负数区间上小于零，因此函数f(x)在负数区间上是单调递减的。

通过上述例子可以看出，导数可以帮助我们分析函数的单调性，从而更好地理解函数的变化规律。

二、导数与函数的极值另一个与导数密切相关的概念是函数的极值。

极值分为极大值和极小值，而导数可以帮助我们判断函数的极值点。

1. 极值点一个函数在某个点上的导数等于零时，该点就是函数的极值点。

根据导数的定义，导数为零表示函数在该点附近的变化趋势趋向于水平。

2. 极大值如果一个函数在某个点的导数从正数变为负数，那么这个点就是函数的极大值点。

在极大值点上，函数的图像从上升转向下降。

3. 极小值与极大值相反，如果一个函数在某个点的导数从负数变为正数，那么这个点就是函数的极小值点。

在极小值点上，函数的图像从下降转向上升。

例如，考虑函数f(x) = x^3，我们可以求得它的导数f'(x) = 3x^2。

当x等于零时，导数为零，说明函数在x=0处有极值。

通过进一步的分析，我们可以得知这个点是极小值点。

三、综合应用导数的应用不仅仅局限于单调性和极值的讨论，还可以应用于其他问题的求解。

利用导函数解决函数单调性问题函数在数学中是一个非常重要的概念，在数学中广泛应用。

在学习函数的过程中，其中一个特性就是函数的单调性。

函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。

利用函数的导数可以帮助我们解决函数的单调性问题，本文将从导数的概念入手，依次介绍如何通过导数判断函数的单调性。

一、导数的概念首先，我们需要了解导数的概念。

在数学中，导数是函数在某一点的变化率。

可以理解为函数图像在某一点的切线斜率。

常见的记作方式为f'(x)，表示函数f(x)在x处的导数。

二、导数与函数单调性的关系导数与函数的单调性之间有着密不可分的联系。

一般来说，在函数的单调性问题中，我们需要判断函数的导数是否大于等于0或小于等于0，从而来判断函数的单调性。

1.导数大于0的函数如果一个函数在其定义域内的任意一点处的导数大于0，则说明该函数在该点左侧是单调递增的，在该点右侧是单调递减的。

换言之，如果一个函数在每个点的导数都大于0，则该函数是单调递增的。

2.导数小于0的函数如果一个函数在其定义域内的任意一点处的导数小于0，则说明该函数在该点左侧是单调递减的，在该点右侧是单调递增的。

换言之，如果一个函数在每个点的导数都小于0，则该函数是单调递减的。

3.导数等于0的函数如果一个函数在其定义域内的任意一点处的导数等于0，则需要进一步分析该点的特性。

如果该点左侧的导数小于0，右侧的导数大于0，则该函数在该点达到局部最小值；反之，如果该点左侧的导数大于0，右侧的导数小于0，则该函数在该点达到局部最大值。

如果该点左右两侧的导数符号相同，则该点为函数的拐点。

三、使用导数解决函数单调性问题的例题下面我们通过一个例题来演示如何利用导数解决函数单调性问题。

例题：已知函数f(x) = 2x^3 - 12x + 5，求函数f(x)的单调区间。

解题思路：1.首先求函数f(x)的一阶导数：f '(x) = 6x^2 - 12 。

2.分析一阶导数的符号：当6x^2 - 12 > 0时，即x^2 > 2，x > sqrt(2)或x < -sqrt(2)时，f(x)单调递增。

高考数学导数及其应用知识点数学导数及其应用知识点一函数的单调性在a，b内可导函数fx，f′x在a，b任意子区间内都不恒等于0.f′x≥0?fx在a，b上为增函数.f′x≤0?fx在a，b上为减函数.1、f′x>0与fx为增函数的关系：f′x>0能推出fx为增函数，但反之不一定.如函数fx=x3在-∞，+∞上单调递增，但f′x≥0，所以f′x>0是fx为增函数的充分不必要条件.2、可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′x0=0是可导函数fx在x=x0处取得极值的必要不充分条件.例如函数y=x3在x=0处有y′|x=0=0，但x=0不是极值点.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.3、可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较.数学导数及其应用知识点二函数的极值1、函数的极小值：函数y=fx在点x=a的函数值fa比它在点x=a附近其它点的函数值都小，f′a=0，而且在点x=a附近的左侧f′x<0，右侧f′x>0，则点a叫做函数y=fx的极小值点，fa叫做函数y=fx的极小值.2、函数的极大值：函数y=fx在点x=b的函数值fb比它在点x=b附近的其他点的函数值都大，f′b=0，而且在点x=b附近的左侧f′x>0，右侧f′x<0，则点b叫做函数y=fx的极大值点，fb叫做函数y=fx的极大值.极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.数学导数及其应用知识点三函数的最值1、在闭区间[a，b]上连续的函数fx在[a，b]上必有最大值与最小值.2、若函数fx在[a，b]上单调递增，则fa为函数的最小值，fb为函数的最大值;若函数fx在[a，b]上单调递减，则fa为函数的最大值，fb为函数的最小值.数学导数及其应用知识点四求可导函数单调区间的一般步骤和方法1、确定函数fx的定义域;2、求f′x，令f′x=0，求出它在定义域内的一切实数根;3、把函数fx的间断点即fx的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数fx的定义区间分成若干个小区间;4、确定f′x在各个开区间内的符号，根据f′x的符号判定函数fx在每个相应小开区间内的增减性.数学导数及其应用知识点五函数极值的步骤1、确定函数的定义域;2、求方程f′x=0的根;3、用方程f′x=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格;4、由f′x=0根的两侧导数的符号来判断f′x在这个根处取极值的情况.六、求函数fx在[a，b]上的最大值和最小值的步骤1、求函数在a，b内的极值;2、求函数在区间端点的函数值fa，fb;3、将函数fx的各极值与fa，fb比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.感谢您的阅读，祝您生活愉快。

一、 导数在单调性中的应用：函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，其思维方法有：一、利用增（减）函数的定义判断单调性；二、导数法。

利用在(,)a b 内可导的函数()f x 在(,)a b 上递增（或递减）的充要条件是()0f x '≥（或()0f x '≤），(,)x ab∈恒成立（但()f x '在(,)a b 的任意子区间内都不恒等于0）。

方法一化简较为繁琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.，特别是对于具体函数更加适用。

1. 利用导数求单调区间：例：函数y =x ln x 在区间(0，1)上是 A. 单调增函数 B. 单调减函数C.在(0，e 1)上是减函数，在(e 1,1)上是增函数 D.在(0，e 1)上是增函数，在(e1,1)上是减函数例2.函数y =sin 2x 的单调递减区间是__________.2. 利用导数和单调性的关系，选择导函数与原函数的图像问题：例：设f ′(x )是函数f (x )的导函数,y =f ′(x )的图象如下图所示,则y =f (x )的图象最有可能是（ACBD3、已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是( ）3. 利用导数和单调性的关系判断方程解的个数：例：方程3269100x x x -+-=的实根的个数是 （） A 、3 B 、2 C 、1 D 、04. 单调性的综合应用：例：已知()1xf x e ax =--。

（1）求()f x的单调增区间；（2）若()f x 在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a 使()f x 在(,0]-∞上单调递减，在[0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由。

导数在研究函数中的应用—单调性一、教材分析本节课，是苏教版选修2-2第一章第3节课。

它承接导数的定义和运算，开启了导数在函数中应用的研究，是导数应用的基础知识，地位重要．二、学情分析学生前面已经学习了导数的定义和简单函数四则运算的导数公式，尤其是已经有了“割线逼近切线”这种数学思想，这为本节课提供了充分的思想方法准备．并且，在本节课开头设置的三个问题中，有的问题可以用单调性定义解决，有些通过观察可以直接判断，而有些则并不能一眼看出单调性，这就触动学生要寻找新的解题方法，探索新的思路。

通过数学问题的导引，带领学生走进课堂．在实际教学中，考虑到学生比较容易局限于观察图象，得出结论，缺乏严谨的推理。

事实上，图象只能提供直观感受，并不能作为说理依据。

教师就要引导学生共同思考：怎样从已有的单调性的定义中，找出合理、可行、有效的方法。

师生共同观察、思考、猜想、证明，最终得出结论，比较圆满地完成一个数学知识的学习过程，体验数学发现的乐趣，拓宽师生的数学视野．三、教学目标1 .探索并了解函数的单调性和函数导数的关系；2.比较初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的异同，体现导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．四、教学重点、难点我认为本节课的重点是从单调性的定义出发，逐步建立单调性与导数之间的关系。

其间，既有代数变形，又有图形直观；既有大胆的猜想，又有严密推理。

教师和学生在这些思想方法之间灵活穿梭、切换，既有激烈地思想交锋，又有严密地逻辑推理，让看似平静的课堂充满了智慧的碰撞。

五、教学方法与教学手段教师从课本章头图引入课题，自然地把导数和单调性结合起来。

教师通过设置问题串，从“会”到“不会”，激发学生学习兴趣，展开探究。

教师利用多媒体PPT和几何画板，动态演示，确定研究方向，最终得出结论。

六、教学过程教师为了能够真正体现“要提高学生独立获取数学知识，并用数学语言表达问题的能力”这个新课程理念，设计了10个环节。

导数的性质及其应用性质单调性(1)若导数大于零,则单调递增;若导数小于零,则单调递减;导数等于零为函数驻点,不一定为极值点。

需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。

(2)若已知函数为递增函数,则导数大于等于零;若已知函数为递减函数,则导数小于等于零。

根据微积分基本定理,对于可导的函数,有:如果函数的导函数在某一区间内恒大于零(或恒小于零) ,那么函数在这一区间内单调递增(或单调递减) ,这种区间也称为函数的单调区间。

导函数等于零的点称为函数的驻点,在这类点上函数可能会取得极大值或极小值(即极值可疑点) 。

进一步判断则需要知道导函数在附近的符号。

对于满足的一点,如果存在使得在之前区间上都大于等于零，而在之后区间上都小于等于零,那么是一个极大值点,反之则为极小值点。

x变化时函数(蓝色曲线)的切线变化。

函数的导数值就是切线的斜率,绿色代表其值为正,红色代表其值为负，黑色代表值为零。

凹凸性可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。

如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的。

如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上恒大于零，则这个区间上函数是向下凹的，反之这个区间上函数是向上凸的。

曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。

应用导数与物理、几何、代数关系密切：在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度、加速度。

导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念，又称变化率。

如一辆汽车在10小时内走了600千米，它的平均速度是60千米/小时。

但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米/小时。

为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为：那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是：当t1无限趋近于t0时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就近似等于t0时刻的瞬时速度，因而就把此时的极限作为汽车在时刻t0的瞬时速度，即，这就是通常所说的速度。