太原理工大学高数

所以，矩阵J的最小多项式为 所以，矩阵 的最小多项式为(x-a)k.
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证毕. 证毕
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定理15 数Biblioteka P上n级矩阵 与对角矩阵相似的 定理 数域 上 级矩阵A与对角矩阵相似的 级矩阵 相似 充分必要条件为 的最小多项式是 上 充分必要条件为A的最小多项式是P上互素的一次 因式的乘积. 因式的乘积 证明 根据引理 的推广的情形，条件的必要性 根据引理3的推广的情形，条件的必要性 引理 的情形 是显然的. 是显然的 现在证明充分性 现在证明充分性. 充分性 根据矩阵和线性变换之间的对应关系，我们 根据矩阵和线性变换之间的对应关系， 矩阵 之间的对应关系 可定义任意线性变换 的最小多项式， 可定义任意线性变换A的最小多项式，它等于其对 任意线性变换 应矩阵A的最小多项式. 应矩阵 的最小多项式
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如果矩阵A与 相似 即有B=T-1AT，那么对任 相似， 如果矩阵 与B相似，即有 ， 一多项式f(x)，就有f(B)=T-1f(A)T. 因此 ，就有 因此f(B)=0当且 一多项式 当 仅当f(A)=0. 仅当 相似矩阵有相同的最小多项式. 结论 相似矩阵有相同的最小多项式 注意，这个条件并不是充分的， 注意，这个条件并不是充分的，即最小多项 式相同的矩阵不一定是相似的 式相同的矩阵不一定是相似的. 下面的例子说明这 不一定是相似的 个结论. 个结论
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引理3 设A是一个准对角矩阵 引理 是一个准对角矩阵
A1 A= A2 并设A1的最小多项式为g1(x)，A2的最小多项式为 并设 最小多项式为 ， 最小多项式为
g2(x)，那么 的最小多项式为g1(x), g2(x)的最小公倍 ，那么A的最小多项式为 的 式[g1(x), g2(x)]. 证明 记g(x)=[g1(x), g2(x)]，首先 ，

余弦函数 y = cos x
y = cos x
正切函数
y = tan x
y = tan x
余切函数 y = cot x
y = cot x
正割函数
y = sec x
y = sec x
余割函数
y = csc x
y = csc x
sin 它们均为周期函数， 有界。 它们均为周期函数， x 和 cos x 有界。其余三
双曲函数常用公式
sinh( x ± y ) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y cosh( x ± y ) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y
cosh 2 x − sinh 2 x = 1
sinh 2 x = 2 sinh x cosh x
cosh 2 x = cosh x + sinh x
x
−x
y = cosh x
且是奇函数 奇函数， 定义域 D : ( −∞ ,+∞ ), 且是奇函数， 1
y = ex 2 在 ( −∞ ,+∞ )内单调增加。 内单调增加。
x −x
1 y = e−x 2
e +e 双曲余弦 cosh x = 2
y = sinh x
定义域 D : ( −∞ ,+∞ ), 且是偶函数，在 ( 0,+∞ ) 且是偶函数，
2 2
2. 反双曲函数
反双曲正弦 y = ar sinh x
y = ar sinh x = ln( x + x + 1)
2
y = ar sinh x
定义域为D : ( −∞ ,+∞ ) 且是奇函数, 且是奇函数 在 ( −∞ , +∞ ) 内单调增加

0 1 z
sin t dt t
sin z 2 sin z 2sin z 2 − sin z 2 z ⋅ − = z2 z z x2 Fy F ∂z − ze ∂z −2 zy 5 , 那么 = − x = = − = ∂x Fz 2sin z 2 − sin z ∂y Fz 2sin z 2 − sin z 而Fx = e x , Fy = 2 y 5 , Fz =
⎧3x − y − 2 z − 9 = 0 从而投影直线为 ⎨ ⎩x + y + z −1 = 0 9． 解 要证四点共面， 只需证过四点的三向量共面， 即证三向量混合积为 0，
而这里 AB = {1, −1, 0} , AC = {0, −2,1} , AD = {1,1, −1} ,
1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0
a 的模 | a |= 132 + 7 2 + 152 = 443 ，方向余弦为：
cos α = 13 7 15 ， cos β = ， cos γ = 443 443 443 13 7 15 , , } 443 443 443
a 0 = ±{
| AC |= (1 − 0) 2 + (0 − 3) 2 + (2 − 1) 2 = 11
成的旋转曲面的方程为 x 2 + y 2 = (1 − z ) 2 + z 2 ，截面 Dz 为一圆域，半 径为 R = (1 − z ) 2 + z 2 ， Dz 的面积 A( z ) = π R 2 = π [(1 − z ) 2 + z 2 ] ，那么 所求立体的体积为
V = π ∫ [(1 − z ) 2 + z 2 ]dz = π (−
[ AB, AC , AD] = 0 − 2 1 = 0 − 2 1 = 0 − 2 1 = 0 ,故四点共面， 1 1 −1 0 2 −1 0 0 0

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线性变换的值域 值域与 都是V的子空间. 结论 线性变换的值域与核都是 的子空间 证明 由 Aα+Aβ=A(α+β)， kAα=A(kα) ， 可知， 对加法与数量乘法是封闭的 同时， 可知，AV对加法与数量乘法是封闭的，同时，AV 是非空的，因此AV是 的子空间. 是非空的，因此 是V的子空间 由Aα=0与Aβ=0可知 与 可知 A(α+β)=0 ， A(kα)=0 . 这就是说， 这就是说，A-1(0)对加法与数量乘法是封闭的. 又 对加法与数量乘法是封闭的 因为A(0)=0，所以 ∈A-1(0)，即A-1(0)是非空的 是非空的. 因为 ，所以0∈ ， 是非空的 是 的子空间 证毕. 证毕 因此，A-1(0)是V的子空间. 因此，
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我们来证明， 在一组适当的基下的矩阵是 在一组适当的基下的矩阵是(1). 这 我们来证明，A在一组适当的基下的矩阵是 由定理4，也就证明了所要的结论. 样，由定理 ，也就证明了所要的结论 如果α∈ ， 由A2=A，可知 2=A. 如果 ∈AV，即对某个 ，可知A β∈V有， ∈ 有 α=Aβ . 那么 Aα=A(Aβ)=A2β=Aβ=α. 因此我们有 AV∩A-1(0)={0} . 由定理11即得 由定理 即得 V=AV⊕A-1(0) . ⊕
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kr+1Aεr+1+L+knAεn=0. L 成立， 成立，则 A(kr+1εr+1+L+knεn)=0. L 这说明向量k 属于A 这说明向量 r+1εr+1+L+knεn属于 -1(0). 因此可被核 L 的基所线性表示： 的基所线性表示： kr+1εr+1+L+knεn=k1ε1+L+krεr . L L 线性无关推出 推出k 从ε1,ε2,L,εn线性无关推出 i=0 (i=1,2,L,n). 因此 L Aεr+1,Aεr+2,L,Aεn . 线性无关， 线性无关，则A的秩=n-1，于是 的 - ， A的秩+A的零度 . 的 的零度=n

0, 0, 使当 x x0 时, 恒有 f ( x ) f ( x0 )
1 例1 试证函数 f ( x ) x sin x 0 在x 0处连续
x0 x0
1 证： lim x sin 0 x 0 x
又 f ( 0) 0
3. 无穷间断点 如果 f ( x )在点 x0处左、右极限 至少有一个为无穷大，则称点 x0为函数 f ( x )的无
1 例6 讨论函数 f ( x ) x x
穷间断点。
x0 在x 0处的连续性 x0
y
解： f (0 0) 0
f (0 0)
o x
间断点分为第一类间断点与第二类间断点。 第一类间断点：如果 f ( x ) 在间断点 x0处左右极限
存在,则称点 x0为 f ( x )的第一类间断点。 第二类间断点：如果 f ( x ) 在间断点 x0处左右极限 中至少有一个不存在,则称点 x0为 f ( x ) 的第二类
间断点。
1. 跳跃间断点 如果 f ( x )在点 x0处左, 右极限都
令 f (0) 1 ,即可使函数在 x 0 处连续。 对于 k 0 ,
x k 0
( k 0)
因为 lim x ,所以 x k
x 0
sin x
是第二类间断点且为无穷间断点。
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点。
如例5中, 令 f (1) 2
y
2 1
2 x 0 x 1 则 f ( x) x1 1 x 在x 1处连续
o
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点。 特点 函数在点 x0处的左、右极限都存在

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条件2)可以同样证明 可以同样证明. 对条件 可以同样证明 即 σσ-1(kα’)=kα’=kσσ-1(α’)=σ(kσ-1(α’)) 两边用σ 作用，即得条件 条件2) 两边用 -1作用，即得条件 σ1(kα’)=kσ-1(α’) . 再设σ和 分别是线性空间V到 和 到 的 分别是线性空间 再设 和τ分别是线性空间 到V’和V’到V’’的同构 映射, 我们来证明乘积τσ是 到 的一个同构映射. 的一个同构映射 映射 我们来证明乘积 是V到V’’的一个同构映射 显然， 是 对应的 显然，τσ是1—1对应的映射 由 对应 映射. τσ(α+β) = τ(σ(α)+σ(β))=τσ(α)+τσ(β)， ， τσ(kα)=τ(kσ(α))=kτσ(α) . 看出， 还适合定义11的条件1)与 ，因而是同构 还适合定义 看出， τσ还适合定义 的条件 与2)，因而是同构 映射. 映射
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3. V 中向量组 α1,α2,…,αr 线性相 无)关<＝>它们 线性相(无 关 ＝ 它们 的象σ(α 线性相(无 的象 1),σ(α2),…,σ(αr)线性相 无) 关. 线性相 因为由 k1α1+k2α2+…+krαr=0. 可得 k1σ(α1)+k2σ(α2)+…+krσ(αr)=0. 反过来， 反过来，由 k1σ(α1)+k2σ(α2)+…+krσ(αr)=0. 有 σ(k1α1+k2α2+…+krαr)=0. 对应的 只有σ(0)=0 ，所以 因为σ是 因为 是1—1对应的，只有 对应 k1α1+k2α2+…+krαr=0.
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2) 设V分解成若干个 -子空间的直和： 分解成若干个A分解成若干个 子空间的直和： V =W1⊕W2⊕L⊕Ws . 在每一个A-子空间W 中取基 在每一个 -子空间 i中取基 ε i1 ,ε i 2 ,L,ε ini (i = 1,2,L, s) (3) 并把它们合并起来成为V的一组基I. 则在这组基下， 合并起来成为 并把它们合并起来成为 的一组基 则在这组基下， A的矩阵具有准对角形状 的 A 1 A2 (4) O As 其中A 就是A|Wi在基(3)下的矩阵 下的矩阵 其中 i (i=1,2,L,s)就是 L 就是 下的矩阵.
{
}
= (λ − λ1 )r1 L(λ − λi −1 )ri−1 (λ − λi +1 )ri+1 L(λ − λs )rs ,
及
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Vi=fi(A)V .
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值域. 由本节例 知道 知道V 则Vi是fi(A) 的值域 由本节例3知道 i是A-子空间 -子空间. 显然V 显然 i满足 (A-λiE)riVi=f(A)V={0} . {0} 下面来证明 下面来证明 V =V1⊕V2⊕L⊕Vs . 为此要证明两点， 为此要证明两点， 证明两点 第一点，要证V中每个向量α都可表成 第一点，要证 中每个向量 都可表成 α1+α2++αs=0，αi∈Vi ，i=1,2,L,s. ， L 第二点，向量的这种表示法是唯一的. 第二点，向量的这种表示法是唯一的 显然， 显然，(f1(λ), f2(λ),L,fs(λ))=1，因此有多项式 L ， u1(λ), u2(λ),L,us(λ)使 L 使
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若线性变换A与 是可交换的 例3 若线性变换 与B是可交换的，则B的核 的 值域都是 子空间. 都是A与值域都是 -子空间 中任取一向量ξ 在B的核V0中任取一向量 ，则 的 B(Aξ)=(BA)ξ=(AB)ξ=A(Bξ)=A0=0 . 所以Aξ在 下的 是零， 下的像 这就证明V 所以 在B下的像是零，即Aξ∈V0. 这就证明 0是 ∈ A-子空间 在B的值域 中任取一向量 中任取一向量Bη ，则 -子空间. 的值域BV中任取一向量 A(Bη)=B(Aη)∈BV . ∈ 因此BV也是 -子空间. 因此 也是A-子空间 也是 因为A的多项式 是和A可交换 因为 的多项式f(A)是和 可交换的，所以 的多项式 是和 可交换的 所以f(A) 值域与 都是A-子空间. 这种A-子空间是经常 的值域与核都是 -子空间 这种 -子空间是经常 碰到的. 碰到的.

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反过来，设ξ是A属于特征值λ0的一个特征向
量，则ξ以及它任一倍数在A下的像是原像的λ0倍，
仍旧是ξ的一个倍数. 这说明ξ的倍数构成一个一维
A-子空间. 显然，A的属于特征值λ0的一个特征子空间Vλ0 也是A的不变子空间.
我们指出，A-子空间的和与交还是A-子空间. (证明留给大家回去作练习).
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反之，如果线性变换A在基I下的矩阵是准对
角形(4)，则由(3)生成的子空间Wi是A-子空间.
这个证明与1)相仿(留给大家回去作练习).
由此可知，矩阵分解为准对角形与空间分解 为不变子空间的直和是相当的.
下面我们应用哈密尔顿-凯莱定理将空间V按
特征值分解成不变子空间的直和.
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( 1 ) r1 ( i 1 ) ri 1 ( i 1 ) ri 1 ( s ) rs ,
及
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Vi=fi(A)V .
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则Vi是fi(A) 的值域. 由本节例3知道Vi是A-子空间. 显然Vi满足 (A-λiE)riVi=f(A)V={0} .
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定理12 设线性变换A的特征多项式为f(λ)，它可 分解成一次因式的乘积
f ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( s )
r1 r2
rs
则V可分解成不变子空间的直和 V =V1⊕V2⊕…⊕Vs . ri 其中 Vi | ( A i E ) 0, V 证明 令 f ( ) f i ( ) ( i ) ri
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必须在概念上弄清楚A与A|W的异同：A是V 的线性变换， V中每个向量在变换A下都有确定的 像； A|W 是不变子空间W上的线性变换，对于W

第一节 常量与变量 函数关系
一 函数的概念 二 特殊的函数
一、 函数的概念
定义1 设 x 和 y 是两个变量， D 是一个给定的 数集，如果对于每个数 x D ，变量 y 按照一定 法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函 数，记作 y f ( x ) 自变量
因变量
数集D叫做这个函数的定义域，
函数的表示方法： 1）表格法
2）图形法 3）解析法
二、 几个特殊的函数举例
例1 符号函数
y 1 o -1 x
1 x0 y sgn x 0 x 0 1 x 0
x sgn x x
例2
取整函数
y
4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 1 2 3 -2 -3 -4
当 x0 D 时，称 f ( x0 )为函数在 x0 处的函数值， 函数值全体组成的数集
W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域。
1. 函数的两要素
定义域与对应法则
x (
(
D
对应法则f
x0 )
f ( x0 )
自变量
W
y
)
因变量
约定
定义域是自变量所能取的使算式有
意义的一切实数值。
例如 y 1 x 2 1 例如 y 1 x2
D : [1,1] D : ( 1,1)
2. 单值函数与多值函数
如果自变量在定义域内任取一个数值时, 对应的函数值总是只有一个，这种函数叫 做单值函数，否则叫做多值函数。 例如 x 2 y 2 a 2 ,
y a2 x2
y = [x]
[x]表示不超过 x 的
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