福建省龙岩市一级达标校2018-2019学年高一数学下学期期末教学质量检查试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题中给出四个选项，只有一项是符合要求的，把答案填涂在答题卡的相应位置）1.已知a ，b ，c 为实数，则下列结论正确的是（ ）A. 若ac ＞bc ＞0，则a ＞bB. 若a ＞b ＞0，则ac ＞bcC. 若ac 2＞bc 2，则a ＞bD. 若a ＞b ，则ac 2＞bc 2【答案】C【解析】【分析】 本题可根据不等式的性质以及运用特殊值法进行代入排除即可得到正确结果．【详解】由题意，可知：对于A 中，可设5,4,3a b c =-=-=-，很明显满足0ac bc >>，但a b <，所以选项A 不正确；对于B 中，因为不知道c 的正负情况，所以不能直接得出ac bc >，所以选项B 不正确； 对于C 中，因为22ac bc <，所以20c >，所以a b >，所以选项C 正确；对于D 中，若0c =，则不能得到22ac bc >，所以选项D 不正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了不等式性质的应用以及特殊值法的应用，着重考查了推理能力，属于基础题．2.直线x+2y ﹣3＝0与直线2x+ay ﹣1＝0垂直，则a 的值为（ ）A. ﹣1B. 4C. 1D. ﹣4 【答案】A【解析】【分析】由两直线垂直的条件，列出方程即可求解，得到答案．【详解】由题意，直线230x y +-=与直线210x ay +-=垂直，则满足1220a ⨯+⨯=，解得1a =-，故选：A ．【点睛】本题主要考查了两直线位置关系的应用，其中解答中熟记两直线垂直的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.设等差数列{a n }的前n 项的和S n ，若a 2+a 8＝6，则S 9＝（ ）A. 3B. 6C. 27D. 54 【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的性质和求和公式，即可求得9S 的值，得到答案．【详解】由题意，等差数列{}n a 的前n 项的和n S ，由286a a +=，根据等差数列的性质，可得196a a +=， 所以1999()962722a a S +⨯===， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n 项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.直线x ﹣y+2＝0与圆x 2+（y ﹣1）2＝4的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定 【答案】A【解析】【分析】求得圆心到直线的距离，然后和圆的半径比较大小，从而判定两者位置关系，得到答案．【详解】由题意，可得圆心(0,1) 到直线的距离为22d ==<， 所以直线与圆相交．故选：A ．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系判定，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．5.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为（ ）A. 1：3B. 3：1C. 2：3D. 3：2 【答案】D【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r ，利用圆柱侧面积公式与球的表面积公式建立关系式，算出球的半径R r =，再利用圆柱与球的体积公式加以计算，可得所求体积之比．【详解】设圆柱的底面半径为r ，轴截面正方形边长a ，则2a r =，可得圆柱的侧面积2124S ra r ππ==， 再设与圆柱表面积相等的球半径为R ， 则球的表面积22244S R r ππ==，解得R r =，因此圆柱的体积为2312V r a r ππ=⨯=，球的体积为3324433V R r ππ==， 因此圆柱的体积与球的体积之比为1232V V =． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积和体积公式，以及球的表面积和体积公式的应用，其中解答中熟记公式，合理计算半径之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6.设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，b ＝2，A ＝4π，则B ＝（ ） A. 6π B. 6π或56π C. 3π D. 3π或23π 【答案】A【解析】【分析】由已知利用正弦定理可求sin B的值，利用大边对大角可求B为锐角，利用特殊角的三角函数值，即可得解．【详解】由题意知323,,24 a b Aπ===，由正弦定理sin sina bA B=，可得sinsinb ABa⋅=＝322223⨯＝12，又因为b a<，可得B为锐角，所以6Bπ=．故选：A．【点睛】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P﹣ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E为棱PA的中点，则异面直线AB与CE所成角的正弦值为（）A.22B.535D.32【答案】B【解析】【分析】由异面直线所成角的定义及求法，得到ECD∠为所求，连接ED，由CDE∆为直角三角形，即可求解．【详解】在四棱锥P ABCD-中，//AB CD，可得ECD∠即为异面直线AB与CE所成角，连接ED，则CDE∆为直角三角形，不妨设2AB a=，则5,3DE a EC a==，所以5sin3DEECDEC∠==,故选：B ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的作法及求法，其中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8.若点（m ，n ）在反比例函数y ＝1x 的图象上，其中m ＜0，则m+3n 的最大值等于（ ） 3B. 2C. ﹣3D. ﹣2【答案】C【解析】【分析】根据题意可得出1mn =，再根据0m <可得0n <，将3m n +添上两个负号运用基本不等式，即可求解．【详解】由题意，可得1mn =，因为0m <，所以0n <， 所以3[()(3)]2()(3)2323m n m n m n mn +=--+-≤--⋅--- 当且仅当3m n =，即33,3m n =-=-时，等号成立， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，给出以下四个结论：①D 1C∥平面A 1ABB 1 ②A 1D 1与平面BCD 1相交③AD⊥平面D 1DB ④平面BCD 1⊥平面A 1ABB 1正确的结论个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】 在①中，由11//D C A B ，得到1//D C 平面11A ABB ；在②中，由11//A D BC ，得到11A D ⊂平面1BCD ；在③中，由45ADB ∠=o ，得到AD 与平面1D DB 相交但不垂直；在④中，由BC ⊥平面11A ABB ，得到平面1BCD ⊥平面11A ABB ，即可求解．【详解】由正方体1111ABCD A B C D -中，可得：在①中，因为11//D C A B ，1D C ⊄平面11A ABB ，1A B ⊂平面11A ABB ，∴1//D C 平面11A ABB ，故①正确；在②中，∵11//A D BC ，BC ⊂平面1BCD ，11A D I 平面11BCD D =，∴11A D ⊂平面1BCD ，故②错误；在③中，∵45ADB ∠=o ，∴AD 与平面1D DB 相交但不垂直，故③错误；在④中，∵BC ⊥平面11A ABB ，BC ⊂平面1BCD ，∴平面1BCD ⊥平面11A ABB ， 故④正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.已知曲线C 方程为x 2+y 2＝2（x+|y|），直线x ＝my+4与曲线C 有两个交点，则m 的取值范围是（ ）A. m ＞1或m ＜﹣1B. m ＞7或m ＜﹣7C. m ＞7或m ＜﹣1D. m ＞1或m ＜﹣7【答案】A【解析】【分析】先画出曲线C 的图象，再求出直线与C 相切时的m ，最后结合图象可得m 的取值范围，得到答案．【详解】如图所示，曲线C 的图象是两个圆的一部分，由图可知：当直线4x my =+与曲线C 相切时，只有一个交点，此时1m =±，结合图象可得1m >或1m <-．故选：A ．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练应有直线与圆的位置关系，合理结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．11.在数列{a n }中，a n ＝31﹣3n ，设b n ＝a n a n+1a n+2（n∈N *）．T n 是数列{b n }的前n 项和，当T n 取得最大值时n 的值为（ ）A. 11B. 10C. 9D. 8【答案】B【解析】【分析】由已知得到等差数列{}n a 的公差0d <，且数列{}n a 的前10项大于0，自第11项起小于0，由12n n n n b a a a ++=，得出从1b 到8b 的值都大于零，9n =时，90,10b n <=时，100b >，且109b b >，而当11n ≥时，0n b <，由此可得答案．【详解】由313n a n =-，得1280a =>，等差数列{}n a 的公差30d =-<，由3130n a n =->，得313n <，则数列{}n a 的前10项大于0，自第11项起小于0． 由12,()n n n n b a a a n N *++=∈，可得从1b 到8b 的值都大于零，当9n =时，90,10b n <=时，100b >，且109b b >，当11n ≥时，0n b <，所以n T 取得最大值时n 的值为10.故选：B ．【点睛】本题主要考查了数列递推式，以及数列的和的最值的判定，其中解答的关键是明确数列{}n b 的项的特点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．12.过点P （0，2）作直线x+my ﹣4＝0的垂线，垂足为Q ，则Q 到直线x+2y ﹣14＝0的距离最小值为（ ）A. 0B. 2 【答案】C【解析】【分析】由直线40x my +-=过定点(4,0)M ，得到,P Q 的中点(2,1)N ，由PQ 垂直直线40x my +-=，得到点Q 在以点(2,1)N 为圆心，以PN =由此求出Q 到直线2140x y +-=的距离最小值，得到答案．【详解】由题意，过点(0,2)P 作直线40x my +-=的垂线，垂足为Q ，直线40x my +-=过定点(4,0)M ，由中点公式可得，,P Q 的中点(2,1)N ，由PQ 垂直直线40x my +-=，所以点点Q 在以点(2,1)N 为圆心，以PN ==其圆的方程为22(2)(1)5x y -+-=，则圆心(2,1)N 到直线2140x y +-=的距离为255d == 所以点Q 到直线2140x y +-=的距离最小值；2555-=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系的应用，同时涉及到点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与计算能力，以及分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于中档试题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置.）13.不等式x （2x ﹣1）＜0的解集是_____．【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】求出不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集，得到答案．【详解】由不等式(21)0x x -<对应方程的实数根为0和12， 所以该不等式的解集是1{|0}2x x <<．故答案为：1{|0}2x x <<．【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a n ＝_____【答案】12n -【解析】【分析】利用等比数列的前n 项和公式列出方程组，求出首项与公比，由此能求出该数列的通项公式． 【详解】由题意，631,2q S S ==,不合题意舍去；当1,q ≠等比数列{}n a 的前n 项和为36,7,63n S S S ==， 即()()3136161711631a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪⎨-⎪==⎪-⎩，解得11,2a q ==，所以12n n a -=， 故答案为：12n -．【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若b·cosC=c·cosB，且cosA ＝23，则cosB 的值为_____．【解析】【分析】利用余弦定理表示出cos B 与cos C ，代入已知等式中，整理得到c b =，再利用余弦定理表示出cos A ，将c b =及cos A 的值代入用b 表示出a ，将表示出的a 与c 代入cos B 中计算，即可求出值．【详解】由题意，由余弦定理得222222cos ,cos 22a c b a b c B C ac ab+-+-==， 代入cos cos b C c B =，得22222222a b c a c b a a +-+-=，整理得c b =，所以22222222cos 223b c a b a A bc b +--===，即222634b a b -=，=，即a =，则2222222cos 26b b b a c b B ac +-+-===，故答案为：6【点睛】本题考查了解三角形的综合应用，高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16.三棱锥P ﹣ABC 的底面ABC 是等腰三角形，AC ＝BC ＝2，AB ＝PAB 是等边三角形且与底面ABC 垂直，则该三棱锥的外接球表面积为_____． 【答案】20π 【解析】 【分析】求出PAB ∆的外接圆半径2r ，ABC ∆的外接圆半径1r ，求出外接球的半径r ，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．【详解】由题意，设PAB ∆的外心为2O ，ABC ∆的外心为1O ， 则PAB ∆的外接圆半径2122r ==， 在ABC ∆中，因为2,AC BC AB ===，由余弦定理可得2221cos 22AC BC AB C AC BC +-==-⋅，所以sin C =， 所以ABC ∆的外接圆半径12sin AB r C ===，在等边PAB ∆中，由23AB =，所以3PD =，所以22321O D PD r =-=-=， 设球心为O ，球的半径为r ，则12321,2OO O P =-==， 又由1OO ⊥面ABC ，2OO ⊥面PAB ，则222215r =+=，所以该三棱锥的外接球的表面积为2420r ππ=． 故答案为：20π．【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的求解，其中解答中熟练应用空间几何体的结构特征，确定球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答需写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17.（1）若关于x 的不等式2x ＞m （x 2+6）的解集为{x|x ＜﹣3或x ＞﹣2}，求不等式5mx 2+x+3＞0的解集．（2）若2kx ＜x 2+4对于一切的x ＞0恒成立，求k 的取值范围． 【答案】（1）3|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）2k < 【解析】 【分析】（1）原不等式等价于2260mx x m -+<根据不等式的解集由根与系数的关系可得关于m 的方程，解出m 的值，进而求得2530mx x ++>的解集；（2）由224kx x <+对于一切的0x >恒成立，可得42k x x<+，求出4x x +的最小值即可得到k 的取值范围．【详解】（1）原不等式等价于2260mx x m -+<， 所以2260mx x m -+<的解集为{|32}x x x <->-或 则23(2)m =-+-，25m =-， 所以2530mx x ++>等价于2230x x -++>，即2230x x --<，所以312x -<<， 所以不等式的解集为3|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（2）因为0x >，由224kx x <+，得42k x x <+，44x x +≥=Q 当且仅当2x =时取等号. 242k k ∴<∴<【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，不等式恒成立问题和基本不等式，考查了方程思想和转化思想，属基础题．18.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2+c 2﹣b 2＝mac ，其中m∈R ．（1）若m ＝1，a ＝1，c 的面积；（2）若m A ＝2B ，a b ．【答案】（1）34；（2 【解析】 【分析】（1）当1m =时，由余弦定理可求1cos 2B =，利用同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，根据三角形的面积公式即可求解．（2）当2m =时，由余弦定理可求cos 4B =，利用同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，根据二倍角的正弦函数公式可求sin A 的值，利用正弦定理可求b 的值．【详解】（1）当1m =时，222a cb ac +-=，2221cos 22a cb B ac +-∴==，0B Q π<<,sin B ∴=,1sin 2ABC S ac B ∴=V 1122=⨯34=． （2）当2m =时，222cos 2224a cb mac m B ac ac +-∴====， 0B Q π<<sin B ∴=,2A B =Q sin 2sin cos 2444A B B ∴===g g g ， 由正弦定理得：sin sin a b A B =,sin 4sin a b B A ∴=⨯== 【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，二倍角的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，S n ＝2S n ﹣1+n （n≥2） （1）求出a 1，a 3的值，并证明：数列{a n +1}为等比数列； （2）设b n ＝log 2（a 3n +1），数列{11n n b b +}的前n 项和为T n ，求证：1≤18T n ＜2． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）可令2,3n n ==求得13,a a 的值；再由数列的递推式，作差可得112(1)n n a a ++=+，可得数列{}1n a +为首项为2，公比为2的等比数列； （2）由（1）求得()23log 13n n b a n =+=，()11111133191n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭，再由数列的裂项相消求和，可得n T ，再由不等式的性质即可得证．【详解】（1）当2n =时，2122S S =+，即12122a a a +=+，∴1221a a =-=， 当3n =时，3223S S =+，即123122()3a a a a a ++=++，∴31237a a a =++=，∵12(2)n n S S n n -=+≥，∴121n n S S n +=++，()()11212n n n n S S S n S n +-∴-=++-+，∴121n n a a +=+ ()1121n n a a +∴+=+(2)n ≥，∴112(2)1n n a n a ++=≥+， 又∵112a +=，214a +=，∴21121a a +=+，∴112()1n n a n N a *++=∈+， ∴数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）可知12nn a +=，所以3312n n a +=，所以()23log 13n n b a n =+=，()11111133191n n b b n n n n +⎛⎫∴==- ⎪⋅++⎝⎭， 111111192231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 11191n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， n N *∈Q ,所以111121n ≤-<+,所以11189n T ≤<,即1182n T ≤<．【点睛】本题主要考查了数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．20.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，且∠BAP＝∠CDP＝90°（1）证明：平面PAB⊥平面PAD ； （2）若PA ＝PD ＝AB ＝22AD ，且四棱锥的侧面积为3P ﹣ABCD 的体积． 【答案】（1）见解析；（2）83【解析】【分析】（1）只需证明AB ⊥平面PAD ，，即可得平面平面PAB ⊥平面PAD ； （2）设AB PA PD x ===，则2AD x =，由四棱锥P ABCD -的侧面积，取得2x =，在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ．可得PE ⊥平面ABCD 且22PE x ==,即可求四棱锥P ABCD -的体积．【详解】（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB AP ⊥，CD PD ⊥， 由于//AB CD ，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD ， 又AB Ì平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .（2）设AB PA PD x ===，则2AD x =，所以222PA PD AD +=，从而PAB ∆，PCD ∆也为等腰直角三角形，PBC ∆为正三角形， 于是四棱锥P ABCD -的侧面积22133(2)62324S x x =⨯+=+2x =， 在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ， 由（1）知，AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥， 可得PE ⊥平面ABCD 且22PE x == 故四棱锥P ABCD -的体积1182222333P ABCD V AB AD PE -=⋅⋅=⨯⨯=． 【点睛】本题考查了面面垂直的判定与证明，以及四棱锥的体积的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．21.足球，有“世界第一运动的美誉，是全球体育界最具影响力的单项体育运动之一．足球传球是足球运动技术之一，是比赛中组织进攻、组织战术配合和进行射门的主要手段．足球截球也是足球运动技术的一种，是将对方控制或传出的球占为己有，或破坏对方对球的控制的技术，是比赛中由守转攻的主要手段．这两种运动技术都需要球运动员的正确判断和选择．现有甲、乙两队进行足球友谊赛，A 、B 两名运动员是甲队队员，C 是乙队队员，B 在A 的正西方向，A 和B 相距20m ，C 在A 的正北方向，A 和C 相距143m ．现A 沿北偏西60°方向水平传球，球速为103m/s ，同时B 沿北偏西30°方向以10m/s 的速度前往接球，C 同时也以10m/s 的速度前去截球．假设球与B 、C 都在同一平面运动，且均保持匀速直线运动．（1）若C 沿南偏西60°方向前去截球，试判断B 能否接到球？请说明理由． （2）若C 改变（1）的方向前去截球，试判断C 能否球成功？请说明理由． 【答案】（1）能接到；（2）不能接到 【解析】 【分析】（1）在ABD ∆中由条件可得，20DB AB ==，进一步可得ACE ∆为等边三角形，然后计算C 运动到点E 所需时间即可判断；（2）建立平面直角坐标系，作CF AD ⊥于F ，求出直线AD 的方程，然后计算C 到直线AD 的距离即可判断．【详解】（1）如图所示，在ABD ∆中，120ABD ∠=o ，30BAD ∠=o ，30ADB ∴∠=o , 20DB AB ∴==,203DA ∴=由题意可知，如果C 不运动，经过2s ，B 可以接到球， 在AD 上取点E ，使得60ACE ︒∠=,60CAD ∠=o Q ,∴ACE ∆为等边三角形，Q 143CA =143AE ∴=C 运动到点E 要310s ，此143342143=>. 所以B 能接到球．（2）建立如图所示的平面直角坐标系，作CF AD ⊥于F ，所以直线AD 的方程为：30x y +=，Q C 经过2s ，运动了20m ． 点C 到直线AD 的距离1433212013CF ⨯==>+，所以以C 为圆心，半径长为20的圆与直线AD 相离． 故C 改变（1）的方向前去截球，C 不能截到球．【点睛】本题主要考查了三角形的实际应用，以及点到直线的距离的应用，考查了推理与运算能力，属中档题．22.已知动点P 与两个定点O （0，0），A （3，0）的距离的比值为2，点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的轨迹方程（2）过点（﹣1，0）作直线与曲线C 交于A ，B 两点，设点M 坐标为（4，0），求△ABM 面积的最大值．【答案】（1）()2244x y -+=；（2）2 【解析】 【分析】（1）设点(),P x y ，运用两点的距离公式，化简整理可得所求轨迹方程；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =+，求得M 到直线的距离，以及弦长公式，和三角形的面积公式，运用换元法和二次函数的最值可得所求． 【详解】（1）设点(),P x y ，2PO PA=Q,即2PO PA =，()222243x y x y ⎡⎤∴+=-+⎣⎦，即()2244x y -+=，∴曲线C 的方程为()2244x y -+=．（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =+， 由（1）可知，点M 是圆()2244x y -+=的圆心， 点M 到直线l的距离为d =2d <2<，即24021k ≤<，又AB ==所以1•2ABM S AB d ∆===，令21t k =+，所以25121t ≤<，211125t<≤， 则ABMS∆===所以2ABM S ∆==≤， 当12325t =，即2523t =，此时2242321k =<，符合题意，即k =时取等号，所以ABM ∆面积的最大值为2. 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法，直线和圆的位置关系，以及弦长公式和点到直线的距离公式的运用，考查推理与运算能力，试题综合性强，属于中档题．。
