2020年西城区高三模拟测试(二模)数学试题及答案

2020年北京市西城区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集，集合，，则集合A. B.C. D. ，2.设复数，则A. B. 2i C. D.3.焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是A. B. C. D.4.在锐角中，若，，，则A. B. C. D.5.函数是A. 奇函数，且值域为B. 奇函数，且值域为RC. 偶函数，且值域为D. 偶函数，且值域为R6.圆截x轴所得弦的长度等于A. 2B.C.D. 47.设a，b，c为非零实数，且，则A. B.C. D. 以上三个选项都不对8.设向量，满足，，则的最小值为A. B. C. 1 D.9.设为等比数列，则“对于任意的，”是“为递增数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的▱ABCD由六个正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为A. 平行B. 相交C. 异面且垂直D. 异面且不垂直二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.在的展开式中，x的系数为______．12.在等差数列中，若，，则______；使得数列前n项的和取到最大值的______．13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______．14.能说明“若，则方程表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值是______．15.已知函数的定义域为R，满足，且当时，有以下三个结论：；当时，方程在区间上有三个不同的实根；函数有无穷多个零点，且存在一个零点．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，在三棱柱中，底面ABC，，D是的中点，且．Ⅰ求证：平面；Ⅱ求直线BC与平面所成角的正弦值．17.已知函数同时满足下列四个条件中的三个：最小正周期为；最大值为2；；．Ⅰ给出函数的解析式，并说明理由；Ⅱ求函数的单调递增区间．18.随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔．其中，小型视频会议软件格外受人青睐．根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A，B，C，D，E，在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况．为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量单位：人次与使用量单位：人次，数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率，当时，称该款软件为“有效下载软件”调查公司以调查得到的使用率t作为实际中该款软件的使用率．Ⅰ在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；Ⅱ从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X，求X的分布列与数学期望；Ⅲ将Ⅰ中概率值记为对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有的软件为“有效下载软件”？说明理由．19.设函数，其中，曲线在点处的切线经过点．Ⅰ求a的值；Ⅱ求函数的极值；Ⅲ证明：．20.已知椭圆E：经过点，离心率为为坐标原点．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，D为椭圆E上一点不在坐标轴上，直线CD交x 轴于点P，Q为直线AD上一点，且，求证：C，B，Q三点共线．21.如图，表1是一个由个非负实数组成的40行20列的数表，其中2，，40；，2，，表示位于第m行第n列的数．将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列不改变该数所在的列的位置，得到表即，其中，2，，39；，2，，．表1表2Ⅰ判断是否存在表1，使得表2中的2，，40；，2，，等于？等于呢？结论不需要证明Ⅱ如果，且对于任意的，2，，39；，2，，20，都有成立，对于任意的，2，，40；，2，，19，都有成立，证明：；Ⅲ若2，，，求最小的正整数k，使得任给，都有成立．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：，，，，，．故选：D．进行补集和并集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，补集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：，．故选：A．由z求得，利用两数和的平方公式展开即可得出．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：解：根据题意，要求抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设其标准方程为，又由焦点到准线的距离为4，即，故要求抛物线的标准方程为，故选：D．根据题意，设要求抛物线的标准方程为，结合抛物线的几何性质可得p的值，代入抛物线的标准方程即可得答案．本题考查抛物线的标准方程，注意抛物线标准方程的形式，属于基础题．4.答案：C解析：解：在锐角中，若，，，由正弦定理，可得，由B为锐角，可得．故选：C．由已知利用正弦定理可求sin B的值，结合B为锐角，利用同角三角函数基本关系式即可求解cos B 的值．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，属于基础题．5.答案：B解析：解：根据题意，函数，其定义域为，有，即函数为奇函数，其导数，在区间和上都是增函数，且；其图象大致如图：其值域为R；故选：B．根据题意，其出函数的定义域，分析可得，即函数为奇函数；进而求出函数的导数，分析其单调性可得在区间和上都是增函数，且；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的判断以及值域的计算，注意分析函数的定义域，属于基础题．6.答案：B解析：解：令，则圆的方程转换为，所以，，所以．故选：B．首先令，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长．本题考查的知识要点：直线圆的位置关系的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.答案：C解析：解：设a，b，c为非零实数，且，所以对于选项A：当，，时，，故错误．对于选项B：当，，时，无意义，故错误．对于选项C：由于，，所以，故正确．对于选项D：由于C正确，所以选项D错误．故选：C．直接利用不等式的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：B解析：解：，当时，取得最小值．故选：B．两边平方，得出关于x的二次函数，从而得出最小值．本题考查了平面向量的模长计算，考查二次函数的最值，属于基础题．9.答案：C解析：解：对于任意的，，即．，，任意的，，或．“为递增数列”，反之也成立．“对于任意的，”是“为递增数列”的充要条件．故选：C．对于任意的，，即可得：，，任意的，解出即可判断出结论．本题考查了等比数列的通项公式及其单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.答案：B解析：解：将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，且AB与CD相交，且B，C两点重合，故选：B．可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB，CD的位置关系．本题考查平面展开图与其直观图的关系，考查空间想象能力，属于基础题．11.答案：30解析：解：展开式的通项公式为：；令x的指数为1，即；的系数为：；故答案为：30．先写出二项式的展开式的通项，要求x的系数，只要使得展开式中x的指数是1，求得r，代入数值求出x的系数．本题考查二项式定理，解决的方法是利用二项展开式的通项公式，属于容易题．12.答案：9 5解析：解：设等差数列的公差为d，，，，，解得：，．．令，解得．使得数列前n项的和取到最大值的．故答案为：9，5．设等差数列的公差为d，由，，可得，，解得：，可得令，解得n即可得出．本题考查了等差数列的通项公式、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.答案：解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为边长为2，高为2的正四棱锥体．如图所示：所以．故答案为：．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14.答案：答案不唯一，，解析：解：则方程表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值为：满足即可，可取，，故答案为：，．由题意可得满足或者，即可，任意取满足m，n的值即可．本题考查双曲线，椭圆的性质，属于基础题．15.答案：解析：解：因为函数的定义域为R，满足，时，，所以；所以正确；的大致图象如图所示可得当时，方程在区间上有三个不同的实根；所以正确因为时，时，，又因为，所以函数由无数个零点，但没有整数零点，所以不正确；故答案为：．由题意可得函数的大致图象，可判断出所给命题的真假．本题考查函数的性质及命题真假的判断，属于中档题．16.答案：Ⅰ证明：连接，设，连接DE，由为三棱柱，得．又是的中点，．平面，平面，平面；Ⅱ解：底面ABC，，，CB，两两互相垂直，故分别以CA，CB，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则0，，2，，0，，2，，0，，，，．设平面的法向量为，由，取，得；设直线BC与平面所成角为．则．直线BC与平面所成角的正弦值为．解析：Ⅰ连接，设，连接DE，可得，再由直线与平面平行的判定得到平面；Ⅱ由底面ABC，，得CA，CB，两两互相垂直，分别以CA，CB，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线BC与平面所成角的正弦值．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．17.答案：解：Ⅰ若函数满足条件，则，这与，矛盾，故函数不能满足条件，所以函数只能满足条件，，，由条件，可得，又因为，可得，由条件，可得，由条件，可得，又因为，所以，所以Ⅱ由，，可得：，，可得的单调递增区间为，．解析：Ⅰ若函数满足条件，则由，推出与，矛盾，可得函数不能满足条件，由条件，利用周期公式可求，由条件，可得，由条件，可得，结合范围，可求，可得函数解析式．Ⅱ利用正弦函数的单调性即可求解．本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．18.答案：解：，，，，，．款软件中有4款有效下载软件，这6款软件中任取1款，该款软件是“有效下载软件”的概率为．的可能取值有2，3，4，且，，，X 2 3 4P．不能认为这些软件中大约有的软件为“有效下载软件”．理由：用样本估计总体时应保证总体中的每个个体被等可能抽取，此次调查是对有视频会议需求的人群进行抽样调查，且只选取下载量排名前6名的软件，不是对所有软件进行的随机抽取6件的样本．解析：计算各软件的使用率，得出有效下载软件的个数，从而可得出所求概率；根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望；根据样本是否具有普遍性进行判断．本题考查了古典概型的概率计算，离散型随机变量的分布列，样本估计总体思想，属于中档题．19.答案：解：，则，，故取消在处的切线方程，把点代入切线方程可得，，由可得，，易得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极小值，没有极大值，证明：等价于，由可得当且仅当时等号成立，所以，故只要证明即可，需验证等号不同时成立设，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，当且仅当时等号成立，因为等号不同时成立，所以当时，．解析：由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求a；先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解；由于等价于，结合可得，故只要证明即可，需验证等号不同时成立结合导数可证．本题主要考查了导数的几何意义及导数与极值的关系，还考查了利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用．20.答案：解：Ⅰ由题意，得，，又因为，所以，，故椭圆E的方程为．Ⅱ，，，设，则，所以直线CD的方程为，令，得点P的坐标为，设，由，得显然，直线AD的方程为，将代入，得，即，故直线BQ的斜率存在，且．又因为直线BC的斜率，所以，即C，B，Q三点共线．解析：Ⅰ由，，，解得a，c，进而得出椭圆的方程．Ⅱ设，则，直线CD的方程为，令，得点P 的坐标，设，由，得显然，写出直线AD的方程为，得，所以，即C，B，Q三点共线．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆相交问题，向量问题，属于中档题．21.答案：解Ⅰ存在表1，使得，不存在表1，使得．证明：Ⅱ因为对于任意的，2，3，，，2，，都有．所以，，．所以，即．由于，2，，，2，3，，都有．所以，，．所以，即．解：Ⅲ当表1如下图时，0111101111101111011111011110111111101111011111011110其中，每行恰有1个0和19个1，每列恰有2个0和38个因此每行的和均为19，符合题意．重新排序后，对应表2中，前38行中每行各数均为1，每行的和均为20，后两行各数均为0，因此．以下先证：对于任意满足条件的表1，在表2中的前39行中，至少包含原表1中某一行设为第r行的全部实数即包含，，，，假设表2的前39行中，不能包含原表1中任一行的全部实数、则表2的前39行中至多含有表1中的个数．这与表2中前39行中共有个数相矛盾．所以：表2的前39行中，至少包含原表1中某一行设为第r行，的全部实数．其次，在表2中，根据重拍规则得：当时，，2，，．所以，所以．综上所述．解析：Ⅰ直接利用表格求出结果．Ⅱ利用行列式的变换的应用求出结果．Ⅲ利用假设法的应用和关系式的变换的应用求出结论．本题考查的知识要点：行列式的变换的应用，组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于难题．。

市西城区2020届高三数学二模试题（含解析）一、选择题（共10小题）.1. 设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（UA）∪B＝（）A. （﹣∞，2）B. [2，+∞）C. （1，2）D. （﹣∞，1）∪[2，+∞）【答案】D【解析】【分析】先求出U A，再求（UA）∪B得解【详解】U＝R，A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，∴U A＝{x|x≥2}，（UA）∪B＝（﹣∞，1）∪[2，+∞）.故选：D【点睛】本题主要考查集合的补集和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2. 设复数z＝1+i，则z2＝（）A. ﹣2iB. 2iC. 2﹣2iD. 2+2i【答案】A【解析】【分析】由z求得z，再利用复数的乘方运算求解即可.【详解】∵z＝1+i，∴2z＝（1﹣i）2212i i=+-＝﹣2i .故选：A.【点睛】本题主要考查共轭复数的定义，考查了复数出乘方运算，属于基础题.3. 焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）A. x 2＝4yB. y 2＝4xC. x 2＝8yD. y 2＝8x【答案】D【解析】【分析】根据题意，设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，结合抛物线的几何性质可得p 的值，代入抛物线的标准方程即可得答案.【详解】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，设其标准方程为22(0)y px p =>，又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4，故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ，故选：D.【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解，属于基础题4. 在锐角ABC ∆中，若2a =，3b =，π6A =，则cos B =（）A. 34B. 【答案】C【解析】【分析】由题意可用正弦定理先求出sin B ，再由三角函数中的平方关系及B 角的X 围，求出cos B ，进而得到答案. 【详解】在锐角ABC ∆中，若2a =，3b =，6A π=，∴由正弦定理sin sin a b A B =，可得13sin 32sin 24b A B a ⨯⋅===， ∴由B为锐角，可得cos B ==． 故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理及三角函数中平方关系的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.5. 函数f (x )＝x 1x-是（） A. 奇函数，且值域为（0，+∞）B. 奇函数，且值域为RC. 偶函数，且值域为（0，+∞）D. 偶函数，且值域为R【答案】B【解析】【分析】由奇偶性定义，求出函数f (x )为奇函数，再求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f （1）＝f （﹣1）＝0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案.【详解】根据题意，函数f (x )＝x 1x-，其定义域为{x |x ≠0}，有f （﹣x ）＝（﹣x ）﹣（1x -）＝﹣（x 1x-）＝﹣f (x )，即函数f (x )为奇函数，其导数f ′(x )＝121x +，在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f （1）＝f （﹣1）＝0； 其图象大致如图：其值域为R ；故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，值域的求解，属于基础题6. 圆x 2+y 2+4x ﹣2y +1＝0截x 轴所得弦的长度等于（）35【答案】B 【解析】【分析】首先令y ＝0，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长.【详解】令y ＝0，可得x 2+4x +1＝0，所以124x x +=-，121=x x ，所以2121212|()423AB x x x x x x =-=+-故选：B【点睛】本题考查的是圆中弦长的求法，较简单.7. 设,,a b c 为非零实数，且a b c >>，则（）A. a b b c ->-B. 111a b c<< C. 2a b c +> D. 以上三个选项都不对【答案】C【解析】【分析】直接利用不等式的性质，结合特例，利用排除法，即可求解.【详解】设,,a b c 为非零实数，且a b c >>，所以对于选项A ：当3,2,1a b c ===时，1a b b c -=-=，故错误.对于选项B ：当0,1,2a b c 时，1a无意义，故错误. 对于选项C ：由于,a c b c >>，所以2a b c +>，故正确.对于选项D ：由于C 正确，所以选项D 错误.故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，其中解答中不等式的基本性质，以及合理利用特例，结合排除法求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.8. 设向量,a b →→满足1a b →→==，12a b →→⋅=，则()a x b x R →→+∈的最小值为（）A.B. 【答案】B【解析】【分析】 两边平方，得出2a xb →→+关于x 的二次函数，从而得出最小值.【详解】解：222222132124a x b a x a b x b x x x →→→→→→⎛⎫+=+⋅+=++=++ ⎪⎝⎭ ∴当12x =-时，a x b →→+=故选：B.【点睛】本题考查向量的模的求解方法，利用二次函数求最值，考查运算能力，是中档题.9. 设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的（） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】对于任意的*2,m m m N a a +∈>，即()210m a q >﹣.可得：2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈，解出即可判断出结论.【详解】解：对于任意的*2,m m m N a a +∈>，即()210m a q >﹣. ∴2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈， ∴01m a q ⎧⎨⎩＞＞，或001m a q ⎧⎨⎩＜＜＜. ∴“{}n a 为递增数列”，反之也成立.∴“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的充要条件. 故选：C.【点睛】本题考查等比数列的单调性，充分必要条件，是基础题. ABCD 由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（）A. 平行B. 相交C. 异面且垂直D. 异面且不垂直【答案】B【解析】【分析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB，CD的位置关系．【详解】将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，B C两点重合，所以AB与CD相交，且，故选：B【点睛】本题考查平面展开图与其直观图的关系，考查空间想象能力，属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 在（1+5x）6的展开式中，含x的项系数为_____.【答案】30.【解析】【分析】先写出二项式的展开式的通项，要求含x 的项系数，只要使得展开式中x 的指数是1，求得r ，代入数值即可求出含x 项的系数.【详解】展开式的通项公式为： ()6166155rr r r r r r T C x C x -+=⋅⋅=⋅⋅， 令x 的指数为1，即r ＝1；∴含x 的项系数为：16530C ＝； 故答案为：30.【点睛】本题考查二项式中具体项的系数求解问题，属于基础题12. 在等差数列{a n }中，若a 1+a 2＝16，a 5＝1，则a 1＝_____；使得数列{a n }前n 项的和S n 取到最大值的n ＝_____.【答案】 (1). 9 (2). 5.【解析】【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1+a 2＝16，a 5＝1，可得2a 1+d ＝16，a 1+4d ＝1，解得：a 1，d ，可得a n ，令a n ≥0，解得n 即可得出.【详解】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1+a 2＝16，a 5＝1，∴2a 1+d ＝16，a 1+4d ＝1，解得：a 1＝9，d ＝﹣2.∴a n ＝9﹣2（n ﹣1）＝11﹣2n .令a n ＝11﹣2n ≥0，解得n 112≤=512+.∴使得数列{a n }前n 项的和S n 取到最大值的n ＝5.故答案为：9；5.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n 项的和的最值，考查学生的计算能力，是中档题.13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____.【答案】4+45.【解析】【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积.【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为，该几何体为底面为边长为2，高为2正四棱锥体.如图所示：所以212242212S =⨯+⨯⨯+=5故答案为：【点睛】本题考查了利用三视图求几何体的表面积，考查了空间想象能力和空间感，属于基础题.14. 能说明“若()20m n +≠，则方程2212x y m n +=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组,m n 的值是_____.【答案】4,2m n ==（答案不唯一）.【解析】【分析】由题意可得满足20m n =+>或者0,20m n <+<即可，取满足上述条件的,m n 的值即可（答案不唯一）. 【详解】若方程222x y m n +=+1表示的曲线为椭圆或双曲线是错误的，则20m n =+>，或者0,20m n <+<，则可取4,2m n ==（答案不唯一）.故答案为：4,2m n ==（答案不唯一）.【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程，属于基础题.15. 已知函数f (x )的定义域为R ，满足f （x +2）＝2f (x )，且当x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3.有以下三个结论：①f （-1）12=-； ②当a ∈（14，12]时，方程f (x )＝a 在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根； ③函数f (x )有无穷多个零点，且存在一个零点b ∈Z .其中，所有正确结论的序号是_____.【答案】①②.【分析】由题意可得函数f (x )的大致图象，根据图像逐个判断，即可判断出所给命题的真假.【详解】如图：对①，因为函数f (x )的定义域为R ，满足f （x +2）＝2f (x )，x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3，所以f （-1）12=f （-1+2） 12=f （1）12=•（21﹣3）12=-，所以①正确； 对②，f (x )的大致图象如图所示可得当a ∈（14，12]时， 方程f (x )＝a 在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根，所以②正确对③，因为x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3＝0，x ＝log 23，又因为f （x +2）＝2f (x )，所以函数f (x )由无数个零点，但没有整数零点，所以③不正确；故答案为：①②.【点睛】本题考查了类周期函数的图像与性质，考查了数形结合思想和函数方程思想，属于三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，D是A1C1的中点，且AC＝BC＝AA1＝2.（1）求证：BC1∥平面AB1D；（2）求直线BC与平面AB1D所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（26【解析】【分析】（1）连接A1B，设A1B∩AB1＝E，连接DE，可得BC1∥DE，再由直线与平面平行的判定得到BC1∥平面AB1D；（2）由CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，得CA，CB，CC1两两互相垂直，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1D的一个法向量与AB的坐标，1由两向量所成角的余弦值可得直线BC与平面AB1D所成角的正弦值.【详解】（1）证明：连接A1B，设A1B∩AB1＝E，连接DE，由ABC﹣A1B1C1为三棱柱，得A1E＝BE.又∵D是A1C1的中点，∴BC1∥DE.∵BC 1⊄平面AB 1D ，DE ⊂平面AB 1D ，∴BC 1∥平面AB 1D ；（2）解：∵CC 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，∴CA ，CB ，CC 1两两互相垂直，故分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），B （0，2，0），A （2，0，0），B 1（0，2，2），D （1，0，2），∴()1222AB =-，，，()1120B D =-，，，()020BC =-，，. 设平面AB 1D 的法向量为()n x y z ，，=，由11222020n AB x y z n B D x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取y ＝1，得()211n =，，； 设直线BC 与平面AB 1D 所成角为θ.则sin θ＝|cos n BC ＜，＞|66n BCn BC ⋅==⋅. ∴直线BC 与平面AB 1D 所成角的正弦值为66.【点睛】本题考查线面平行的证明和求线面角的大小，考查了通过线线平行证明线面平行的方法，同时考查了空间直角坐标系，利用向量求线面角，是立体几何中较为常规的一类题型，有一定的计算量，属于中档题.17. 已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为π；②最大值为2；③()01f =-；④06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （1）给出函数()f x 的解析式，并说明理由；（2）求函数()f x 的单调递增区间【答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，理由见解析；（2）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【解析】【分析】（1）根据题意，先判断()f x 不能满足条件③，再由条件①求出2ω=，由条件②，得2A =，由条件④求出3πϕ=，即可得出函数解析式；（2）根据正弦函数的单调区间，列出不等式，即可求出结果.【详解】（1）若函数()f x 满足条件③，则(0)sin 1f A ϕ==-.这与0A >，02πϕ<<矛盾，故()f x 不能满足条件③，所以函数()f x 只能满足条件①，②，④. 由条件①，得2||ππω=， 又因为0>ω，所以2ω=.由条件②，得2A =. 由条件④，得2sin 063f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为02πϕ<<，所以3πϕ=.所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈， 得51212k x k ππππ-≤≤+， 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【点睛】本题主要考查由三角函数的性质求函数解析式，以及求正弦型函数的单调区间，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.18. 随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔.其中，小型视频会议软件格外受人青睐.根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A ，B ，C ，D ，E ，F .在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况.为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W （单位：人次）与使用量U （单位：人次），数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率t U W=，当t ≥0.9时，称该款软件为“有效下载软件”.调查公司以调查得到的使用率t 作为实际中该款软件的使用率.（1）在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；（2）从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X ，求X 的分布列与数学期望；（3）将（1）中概率值记为x %.对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x %的软件为“有效下载软件”？说明理由.【答案】（1）23；（2）分布列见解析；期望为83；（3）不能；答案见解析. 【解析】【分析】（1）计算各软件的使用率，得出有效下载软件的个数，从而可得出所求概率；（2）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望；（3）根据样本是否具有普遍性进行判断.【详解】解：（1）t A 9196=＞0.9，t B 8491=＞0.9，t C 6985=＜0.9，t D 5474=＜0.9，t E 6469=＞0.9，t F 6365=＞0.9. ∴6款软件中有4款有效下载软件，∴这6款软件中任取1款，该款软件是“有效下载软件”的概率为4263=. （2）X 的可能取值有2，3，4，且P （X ＝2）22424625C C C ==，P （X ＝3）314246815C C C ==，P （X ＝4）4446115C C ==， ∴X 的分布列为：E （X ）＝25⨯+315⨯+4153⨯=. （3）不能认为这些软件中大约有x %的软件为“有效下载软件”.理由：用样本估计总体时应保证总体中的每个个体被等可能抽取，此次调查是对有视频会议需求的人群进行抽样调查，且只选取下载量排名前6名的软件，不是对所有软件进行的随机抽取6件的样本.【点睛】本题考查随机事件的概率，超几何分布，考查数学建模能力与数学应用能力，是中档题.19. 设函数()ln f x ax x =，其中a R ∈，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()3,2.（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的极值；（3）证明:()2x x f x e e->. 【答案】（1）1a =；（2）极小值11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，没有极大值；（3）证明见解析. 【解析】【分析】 （1）由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求a ；（2）先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解；（3）由于()2x x f x e e ->等价于2ln 0x x x x e e -+>，结合（2）可得()1ln f x x x e=≥-，故只要证明10x x e e-≥即可，（需验证等号不同时成立）结合导数可证. 【详解】解：（1）()ln f x a x a '+=，则()()10,1f f a '==，故()y f x =在()()1,1f 处的切线方程()1y a x =-，把点()3,2代入切线方程可得，1a =，（2）由（1）可得()ln 1,0f x x x '=+>， 易得，当10x e<<时，()0f x '<，函数单调递减，当1x e >时,()0f x '>，函数单调递增，故当1=x e 时，函数取得极小值11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，没有极大值， 证明：（3）()2x x f x e e ->等价于2ln 0x x x x e e-+>， 由（2）可得()1ln f x x x e =≥-（当且仅当1=x e时等号成立）①， 所以21ln x x x x x x e e e e-+≥-， 故只要证明10x x e e-≥即可，（需验证等号不同时成立） 设()1x x g x e e =-，0x >则()1x x g x e-'=， 当01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，当1x >时，()0g x '>，函数单调递增， 所以()()10g x g ≥=，当且仅当1x =时等号成立，②因为①②等号不同时成立，所以当0x >时，()2x x f x e e->. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及导数与极值的关系，还考查了利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用．20. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()0,1C O 为坐标原点. （1）求椭圆E 的方程；（2）设A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，D 为椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线CD 交x 轴于点P ，Q 为直线AD 上一点，且4OP OQ =⋅，求证：C 、B 、Q 三点共线.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）将点C 的坐标代入椭圆E 的方程，可求得b 的值，再由椭圆E 的离心率可求得a 、c 的值，由此可得出椭圆E 的方程；（2）设点()()0000,0D x y x y ≠，可得出220044x y -=，求出直线CD 的方程，可求得点P 的坐标，由4OP OQ =⋅，可求得点Q 的横坐标，代入直线AD 的方程可求得点Q 的坐标，验证BQ BC k k =，即可证得结论成立.【详解】（1）将点C 的坐标代入椭圆E 的坐标可得1b =， 由题意可得223210c e a a c c ⎧==⎪⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得23a c =⎧⎪⎨=⎪⎩， 因此，椭圆E 的标准方程为2214x y +=； （2）椭圆E 的左、右顶点分别为()2,0A -、()2,0B ，设点()()0000,0D x y x y ≠，则220014x y +=，则220044x y -=，直线CD 斜率为001CD y k x -=，则直线CD 的方程为0011y y x x -=+， 令0y =，可得001x x y =-，即点00,01x P y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 设点()11,Q x y ，由104OP OQ x x ⋅==，可得()01041y x x -=， 直线AD 的斜率为002AD y k x =+，则直线AD 的方程为()0022y y x x =++，将()0041y x x -=代入直线AD 的方程得()()000002222y x y y x x -+=+， 所以点Q 的坐标为()()()000000041222,2y y x y x x x ⎛⎫--+ ⎪ ⎪+⎝⎭， 直线BC 的斜率为101022BC k -==-- 直线BQ 的斜率为()()()2000000020000001012222222222424BQ y x y x y y y y k x x y x x x y y -+-+===-+-----20000200002214242BC x y y y k y x y y -+==-=--， 又BQ 、BC 有公共点B ，因此，C 、B 、Q 三点共线.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三点共线的证明，考查计算能力，属于难题.21. 如图，表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表，其中a m ，n （m ＝1，2，…，40；n ＝1，2，…，20）表示位于第m 行第n 列的数.将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即b i ，j ≥b i +1，j ，其中i ＝1，2，…，39；j ＝1，2，…，20）.表1表2（1）判断是否存在表1，使得表2中的b i ，j （i ＝1，2，…，40；j ＝1，2，…，20）等于100﹣i ﹣j ？等于i +2﹣j 呢？（结论不需要证明）（2）如果b 40，20＝1，且对于任意的i ＝1，2，…，39；j ＝1，2，…，20，都有b i ，j ﹣b i +1，j ≥1成立，对于任意的m ＝1，2，…，40；n ＝1，2，…，19，都有b m ，n ﹣b m ，n +1≥2成立，证明：b 1，1≥78；（3）若a i ，1+a i ，2+…+a i ，20≤19（i ＝1，2，…，40），求最小的正整数k ，使得任给i ≥k ，都有b i ，1+b i ，2+…+b i ，20≤19成立.【答案】（1）存在表1，使得b i ，j ＝100﹣i ﹣j ，不存在表1，使得2ji j b i -=+，；（2）证明见解析；（3）k ＝39. 【解析】 【分析】（1）由1000i j --≥，140i ≤≤，120j ≤≤可知存在表1，使得,100i j b i j =--；若,2i j j i b -+=，则1,12i j j i b +-++=，故,1,10i j i j b b +-=-<，故不存在；（2）对于任意的1,2,3,39,1,2,,20i j ==，都有,1,1i j i j b b -≥-成立，进而得()()()1,202,202,203,2039,2040,2039bb b b b b -+-++-≥，故1,2040,203940b b ≥+=，同理由对于任意的1,2,,40,1,2,3,,19m n ==，都有,12m n m n b b +-≥，得1,11,203878b b ≥+≥.（3）取特殊表1，得39k ≥，再证明39k ≤即可得39k =.【详解】解（1）存在表1，使得b i ，j ＝100﹣i ﹣j ，不存在表1，使得2ji j b i -=+，.证明：（2）因为对于任意的1,2,3,39,1,2,,20i j ==，都有,1,1i j i j b b -≥-.所以1,202,20220320392040201,1,,1b b b b b b -≥--≥≥，，，，.所以()()()1202202203203920402039b b b b b b +++≥---，，，，，，，即12020403940b b ≥+=，，. 由于1,2,,40,1,2,3,,19m n ==，都有,12m n m n b b +-≥，.所以1,11,21,21,31,191,202,2,,2b b b b b b ≥--≥-≥所以()()()1112121311912038b b b b b b --++≥-+，，，，，，，即1178b ≥，.解：（3）当表1如下图时，其中，每行恰有1个0和19个1，每列恰有2个0和38个1.因此每行的和均为19，符合题意.重新排序后，对应表2中，前38行中每行各数均为1，每行的和均为20，后两行各数均为0，因此k ≥39.以下先证：对于任意满足条件的表1，在表2中的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r 行）的全部实数（即包含12.20,,,r r r a a a ，，），假设表2的前39行中，不能包含原表1中任一行的全部实数、 则表2的前39行中至多含有表1中的40×19＝760个数. 这与表2中前39行中共有39×20＝780个数相矛盾.所以：表2的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r 行），的全部实数. 其次，在表2中，根据重排规则得：当39i ≥时，,39,,i j j i j b b a ≤≤，（1,2,,20j =）.所以1220122019i i i r r r b b b a a a ++⋯+≤++⋯+≤，，，，，，， 所以39k ≤. 综上所述39k =.【点睛】本题主要考查不等式，排列组合的综合应用，考查数学抽象，逻辑推理，数学运算等核心素养，是难题.。

北 京 西 城 区 高 三 诊 断 性 测 试数 学2020.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 01．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（A ）{}0,2（B ）{}2,2-（C ）{}2,0,2- （D ）{}2,1,0,1,2--02．若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则在复平面内z 对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限03．下列函数中，值域为R 且区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）3y x =-（B ）y x x =（C ）1y x -=（D ）y =04．抛物线24x y =的准线方程为（A ）1x = （B ）1x =-（C ）1y = （D ）1y =-05．在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310 （D ）3506．设0.23a =，3log 2b =，0.2log 3c =，则（A ）a c b >> （B ）a b c >> （C ）b c a >> （D ）b a c >>07．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A ）6（B ）4（C ）3（D ）208．若圆22420x y x y a +-++=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是（A ）(,1]-∞（B ）(,0]-∞（C ）[0,)+∞（D ）[5,)+∞09．若向量a 与b 不共线，则“0•<a b ”是“2->+a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件10．设函数()(1)e x f x x =-．若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则正数a 的取值范围是（A ）(0,e]（B ）2(0,e ]（C ）2e 1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（D ）2e 11,2⎛⎤+ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．设平面向量(1,2)=-a ，(,2)k =b 满足⊥a b ，则=b ____．12．若双曲线2221(0)16x y a a -=>经过点(2,0)，则该双曲线渐近线的方程为____．13．设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____．14．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖____，____．15．在四棱锥P -，,,E F H 分别是棱,,PB BC PD①截面的面积等于②截面是一个五边形；③截面只与四棱锥P ABCD -四条侧棱中的三条相交． 其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE BF ∥，且22DE BF ==．（Ⅰ）求证：平面BCF ∥平面ADE ； （Ⅱ）求钝二面角D AE F --的余弦值．17．（本小题满分14分）从①前n 项和2()n S n p p =+∈R ，②13n n a a +=-，③611a =且122n n n a a a ++=+这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．在数列{}n a 中，11a =，_______，其中*n ∈N ． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若1,,n m a a a 成等比数列，其中*,m n ∈N ，且1m n >>，求m 的最小值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分14分）某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[0.486,0.536)，[0.536,0.586)，…，[0.836,0.886)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 级”，发芽率低于0.636的种子定为“C 级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率； （Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”“C 级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X 元，以频率为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为F ，点(,0)A a ，且1AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点,M N ，直线,MA NA 分别与直线4x =交于点P ，Q ，求PFQ ∠的大小．20．（本小题满分15分）设函数()e cos x f x a x =+，其中a ∈R ． （Ⅰ）已知函数()f x 为偶函数，求a 的值； （Ⅱ）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（Ⅲ）若()f x 在区间[0,π]内有两个不同的零点，求a 的取值范围． 21．（本小题满分14分）设N 为正整数，区间[,1]k k k I a a =+（其中k a ∈R ，1,2,,k N =）同时满足下列两个条件：①对任意[0,100]x ∈，存在k 使得k x I ∈； ②对任意{}1,2,,k N ∈，存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉（其中1,2,,1,1,,i k k N =-+）． （Ⅰ）判断(1,2,,)k a k N =能否等于1k -或12k-；（结论不需要证明）． （Ⅱ）求N 的最小值；（Ⅲ）研究N 是否存在最大值，若存在，求出N 的最大值；若不在在，说明理由．西城区高三诊 断 性测试数学参考答案2020.5一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1．C 2．A 3．B 4．D 5. A 6. B7. D8. A9. A10. D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．12．2y x =± 13．π1 14．乙，丁15．②③注：第14题全部选对得5分，其他得0分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分. 三、解答题：本大题共6小题，共85分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为//DE BF ，DE ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ，所以//BF 平面ADE . ………………3分 同理，得//BC 平面ADE . 又因为BCBF B =，BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以平面//BCF 平面ADE . ………………6分 （Ⅱ）由DE ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，得,,DA DC DE 两两垂直，故分别以,,DA DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系， ………………7分则(0,0,0)D ，(0,0,2)E ，(2,2,1)F ，(2,0,0)A ， 所以(2,0,2)AE =-，(0,2,1)AF =. ………8分 设平面AEF 的法向量(,,)x y z =n ， 由0AE ⋅=n ，0AF ⋅=n ，得220,20,x z y z -+=⎧⎨+=⎩令1y =，得(2,1,2)=--n .………………11分 平面DAE 的法向量(0,1,0)=m .设钝二面角D AE F --的平面角为θ，则1|cos ||cos ,|||||||3θ⋅=<>==⋅m n m n m n ，所以1cos 3θ=-，即钝二面角D AE F --的余弦值为13-. ………………14分17．（本小题满分14分） 解：选择 ①：(Ⅰ) 当1n =时，由111S a ==，得0p =. ……………… 2分 当2n ≥时，由题意，得21(1)n S n -=-， ……………… 3分所以121n n n a S S n -=-=-（2n ≥）. ……………… 5分 经检验，11a =符合上式，所以21()n a n n =-∈N *. ……………… 6分(Ⅱ)由1,,n m a a a 成等比数列，得21nm a a a =，……………… 8分 即2(21)1(21)n m -=⨯-. ……………… 9分化简，得22112212()22m n n n =-+=-+，……………… 11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >， 所以当2n =时，m 有最小值5．……………… 14分选择 ②:(Ⅰ)因为13n n a a +=-，所以13n n a a +-=．………………2分所以数列{}n a 是公差3d =的等差数列． ………………4分所以1(1)32()n a a n d n n =+-=-∈N *. ………………6分(Ⅱ)由1,,n m a a a 成等比数列，得21n m a a a =，……………… 8分即2(32)1(32)n m -=⨯-. ……………… 9分化简，得22223423()33m n n n =-+=-+，………………11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >， 所以当2n =时，m 取到最小值6．………………14分 选择 ③：(Ⅰ) 由122n n n a a a ++=+，得121n n n n a a a a +++-=-. 所以数列{}n a 是等差数列．……………… 2分又因为11a =，61511a a d =+=， 所以2d =． ……………… 4分所以1(1)21()n a a n d n n =+-=-∈N *. ………………6分(Ⅱ) 因为1,,n m a a a 成等比数列，所以21nm a a a =，………………8分 即2(21)1(21)n m -=⨯-. ……………… 9分化简，得22112212()22m n n n =-+=-+，……………… 11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >， 所以当2n =时，m 有最小值5．……………… 14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”， ……………… 1分由图表，得(0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.20.4)0.051a +++++++⨯=， 解得 2.4a =.……………… 2分由图表，知“C 级”种子的频率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=，………… 3分 故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2.因为事件M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件，所以事件M 的概率()10.20.8P M =-=.……………… 5分（Ⅱ） 由题意，任取一种种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为(4.4 1.20.4)0.050.3++⨯=， 恰好是“B 级”康乃馨的概率为(4.0 6.0)0.050.5+⨯=，恰好是“C 级”的概率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=. ……………… 7分 随机变量X 的可能取值有20，25，30，35，40， 且(20)0.20.20.04P X ==⨯=，(25)0.20.50.50.20.2P X ==⨯+⨯=，(30)0.50.50.30.20.20.30.37P X ==⨯+⨯+⨯=， (35)0.30.50.50.30.3P X ==⨯+⨯=， (40)0.30.30.09P X ==⨯=.……………… 9分所以X 的分布列为：……………… 10分故X 的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………… 11分（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了.…… 14分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意得1,21,c a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩解得2a =，1c =， …………… 3分 从而b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=．… 5分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，有3(1,)2M ，3(1,)2N -，(4,3)P -，(4,3)Q ，(1,0)F ，则(3,3)FP =-，(3,3)FQ =，故0FP FQ ⋅=，即90PFQ ∠=．…………6分 当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，其中0k ≠． ……………… 7分 联立22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(43)84120k x k x k +-+-=． ……………… 8分 由题意，知0∆>恒成立，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．………… 9分直线MA 的方程为11(2)2yy x x =--． ……………… 10分令4x =，得1122P y y x =-，即112(4,)2y P x -． ……………… 11分同理可得222(4,)2y Q x -． ……………… 12分 所以112(3,)2y FP x =-，222(3,)2y FQ x =-． 因为121249(2)(2)yy FP FQ x x ⋅=+--212124(1)(1)9(2)(2)k x x x x --=+--2121212124[()1]92()4k x x x x x x x x -++=+-++22222222241284(1)434394121644343k k k k k k k k k --+++=+--+++22222224[(412)8(43)]9(412)164(43)k k k k k k k --++=+--++0=， 所以90PFQ ∠=． 综上，90PFQ ∠=.……………… 14分20．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）函数()f x 为偶函数，所以(π)(π)f f -=，即ππe 1e 1a a --=-， ……………… 2分 解得0a =.验证知0a =符合题意. ……………… 4分 （Ⅱ）()e sin x f x x '=-. ……………… 6分 由0x >，得e 1x >，sin [1,1]x ∈-， ……………… 7分 则()e sin 0x f x x '=->，即()f x 在(0,)+∞上为增函数.故()(0)2f x f >=，即()2f x >. ………………9 分 （Ⅲ）由()e cos 0xf x a x =+=，得a = 设函数cos ()e xxh x =-，[0,π]x ∈ ……………… 10分 则sin cos ()e xx xh x +'=. ……………… 11分令()0h x '=，得3π4x =.随着x 变化，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在3(0,)4上单调递增，在(,π)4上单调递减. ……………… 13分又因为(0)1h =-，π(π)e h -=，3π43π()4h -=， 所以当3ππ4[e ,)a --∈时，方程cos e x x a =-在区间[0,π]内有两个不同解，且在区间3π[0,)4与3π(,π]4上各有一个解.即所求实数a 的取值范围为3ππ4[e ,)2--. ……………… 15分21．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)k a 可以等于1k -，但k a 不能等于12k-. ……………… 3分 (Ⅱ) 记b a -为区间[,]a b 的长度，则区间[0,100]的长度为100，k I 的长度为1.由①，得100N ≥. ……………… 6分 又因为1[0,1]I =，2[1,2]I =，，100[99,100]I =显然满足条件①，②.所以N 的最小值为100. ……………… 8分 (Ⅲ)N 的最大值存在，且为200. ……………… 9分 解答如下：（1）首先，证明200N ≤. 由②,得12,,,N I I I 互不相同，且对于任意k ，[0,100]kI ≠∅.不妨设12n a a a <<<<.如果20a ≤，那么对于条件②，当1k =时，不存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(2,3,,)i N =.这与题意不符，故20a >. ……………… 10分 如果111k k a a +-+≤，那么11k k k I I I -+⊆，这与条件②中“存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(1,2,,1,1,)i k k N =-+”矛盾，故111k k a a +->+.所以4211a a >+>，6412a a >+>，，200198199a a >+>，则2001100a +>. 故12200[0,100]I I I ⊇.若存在201I ，这与条件②中“存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(1,2,,200)i =”矛盾，所以200N ≤. ……………… 12分 （2）给出200N =存在的例子 .令1100(1)2199k a k =-+-，其中1,2,,200k =，即12200,,,a a a 为等差数列，公差100199d =.由1d <，知1kk I I +≠∅，则易得122001201[,]22I I I =-，所以12200,,,I I I 满足条件①.西城区2020年高三二模数学试题及答案(WORD 版)11 / 11 又公差10011992d =>， 所以100(1)199k k I -∈，100(1)199i k I -∉(1,2,,1,1,)i k k N =-+.（注：100(1)199k - 为区间k I 的中点对应的数）所以12200,,,I I I 满足条件②.综合（1）（2）可知N 的最大值存在，且为200. ……………… 14分。

西城区高三诊断性测试数学2020.5本试卷共6页,150分㊂考试时长120分钟㊂考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效㊂考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回㊂第Ⅰ卷(选择题共40分)一㊁选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合A={x||x|<3},B={x|x=2k,kɪZ},则AɘB=(A){0,2}(B){-2,2}(C){-2,0,2}(D){-2,-1,0,1,2}2.若复数z满足z㊃i=-1+i,则在复平面内z对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3.下列函数中,值域为R且在区间(0,+¥)上单调递增的是(A)y=-x3(B)y=x|x|(C)y=x-1(D)y=x4.抛物线x2=4y的准线方程为(A)x=1(B)x=-1(C)y=1(D)y=-15.在әA B C中,若aʒbʒc=4ʒ5ʒ6,则其最大内角的余弦值为(A)18(B)14(C)310(D)356.设a=30.2,b=l o g32,c=l o g0.23,则(A)a>c>b(B)a>b>c(C)b>c>a(D)b>a>c7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(A)6(B)4(C)3(D)28.若圆x2+y2-4x+2y+a=0与x轴,y轴均有公共点,则实数a的取值范围是(A)(-¥,1](B)(-¥,0](C)[0,+¥)(D)[5,+¥)9.若向量a与b不共线,则 a㊃b<0 是 2|a-b|>|a|+|b| 的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件10.设函数f(x)=(x-1)e x.若关于x的不等式f(x)<a x-1有且仅有一个整数解,则正数a的取值范围是(A)(0,e](B)(0,e2](C)(1,e22](D)(1,e2+12]第Ⅱ卷(非选择题共110分)二㊁填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.设平面向量a=(1,-2),b=(k,2)满足aʅb,则|b|=12.若双曲线x2a2-y216=1(a>0)经过点(2,0),则该双曲线渐近线的方程为.13.设函数f(x)=s i n2x+2c o s2x.则函数f(x)的最小正周期为;若对于任意xɪR,都有f(x)ɤm成立,则实数m的最小值为.14.甲㊁乙㊁丙㊁丁四人参加冬季滑雪比赛,其中有两人最终获奖.在比赛结果揭晓之前,四人的猜测如下表,其中 ɿ 表示猜测某人获奖, ˑ 表示猜测某人未获奖,而 ʻ 则表示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确的,那么两名获奖者是,.甲获奖乙获奖丙获奖丁获奖甲的猜测ɿˑˑɿ乙的猜测ˑʻʻɿ丙的猜测ˑɿˑɿ丁的猜测ʻʻɿˑ15.在四棱锥P-A B C D中,底面A B C D为正方形,P Aʅ底面A B C D,P A=A B=4, E,F,H分别是棱P B,B C,P D的中点,对于平面E F H截四棱锥P-A B C D所得的截面多边形,有以下三个结论:①截面的面积等于46;②截面是一个五边形;③截面只与四棱锥P-A B C D四条侧棱中的三条相交.其中,所有正确结论的序号是.三㊁解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明㊁证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在几何体A B C D E F中,底面A B C D是边长为2的正方形,D Eʅ平面A B C D, D EʊB F,且D E=2B F=2.(Ⅰ)求证:平面B C Fʊ平面A D E;(Ⅱ)求钝二面角D-A E-F的余弦值.17.(本小题满分14分)从①前n项和S n=n2+p(pɪR),②a n=a n+1-3,③a6=11且2a n+1=a n+a n+2这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并完成解答.在数列{a n}中,a1=1,,其中nɪN*.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)若a1,a n,a m成等比数列,其中m,nɪN*,且m>n>1,求m的最小值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(本小题满分14分)某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨,通过试验田培育,得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率,并按发芽率分为8组:[0.486,0.536),[0.536,0.586), ,[0.836,0.886.企业对康乃馨的种子进行分级,将发芽率不低于0.736的种子定为 A级 ,发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为 B级 ,发芽率低于0.636的种子定为 C级 . (Ⅰ)现从这些康乃馨种子中随机抽取一种,估计该种子不是 C级 种子的概率; (Ⅱ)该花卉企业销售花种,且每份 A级 ㊁ B级 ㊁ C级 康乃馨种子的售价分别为20元㊁15元㊁10元.某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份,共花费X元,以频率为概率,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)企业改进了花卉培育技术,使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍,那么对于这些康乃馨的种子,与旧的发芽率数据的方差相比,技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化?若发生变化,是变大了还是变小了?(结论不需要证明).19.(本小题满分14分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,右焦点为F,点A(a,0),且|A F|=1.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过点F的直线l(不与x轴重合)交椭圆C于点M,N,直线M A,N A分别与直线x=4相交于点P,Q.求øP F Q的大小.北京市西城区诊断性测试高三数学第5页(共6页)20.(本小题满分15分)设函数f(x)=a e x+c o s x,其中aɪR.(Ⅰ)已知函数f(x)为偶函数,求a的值;(Ⅱ)若a=1,证明:当x>0时,f(x)>2;(Ⅲ)若f(x)在区间[0,π]内有两个不同的零点,求a的取值范围.21.(本小题满分14分)设N为正整数,区间I k=[a k,a k+1](其中a kɪR,k=1,2, ,N)同时满足下列两个条件:①对任意xɪ[0,100],存在k使得xɪI k;②对任意kɪ{1,2, ,N},存在xɪ[0,100],使得x∉I i(其中i=1,2, , k-1,k+1, ,N).(Ⅰ)判断a k(k=1,2, ,N)能否等于k-1或k2-1;(结论不需要证明) (Ⅱ)求N的最小值;(Ⅲ)研究N是否存在最大值,若存在,求出N的最大值;若不存在,说明理由.西城区高三诊断性测试数学参考答案2020.5一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．C 2．A 3．B 4．D 5.A 6.B7.D8.A9.A10.D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．12．2y x =±13．π114．乙，丁15．②③注：第14题全部选对得5分，其他得0分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为//DE BF ，DE ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ，所以//BF 平面ADE .………………3分同理，得//BC 平面ADE .又因为BC BF B = ，BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以平面//BCF 平面ADE .………………6分（Ⅱ）由DE ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，得,,DA DC DE 两两垂直，故分别以,,DA DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，………………7分则(0,0,0)D ，(0,0,2)E ，(2,2,1)F ，(2,0,0)A ，所以(2,0,2)AE =- ，(0,2,1)AF =.………8分设平面AEF 的法向量(,,)x y z =n ，由0AE ⋅= n ，0AF ⋅= n ，得220,20,x z y z -+=⎧⎨+=⎩A BCFED yxz令1y =，得(2,1,2)=--n .………………11分平面DAE 的法向量(0,1,0)=m .设钝二面角D AE F --的平面角为θ，则1|cos ||cos ,|||||||3θ⋅=<>==⋅m n m n m n ，所以1cos 3θ=-，即钝二面角D AE F --的余弦值为13-.………………14分17．（本小题满分14分）解：选择①：(Ⅰ)当1n =时，由111S a ==，得0p =.………………2分当2n ≥时，由题意，得21(1)n S n -=-，………………3分所以121n n n a S S n -=-=-（2n ≥）.………………5分经检验，11a =符合上式，所以21()n a n n =-∈N *.………………6分(Ⅱ)由1,,n m a a a 成等比数列，得21nm a a a =，………………8分即2(21)1(21)n m -=⨯-.………………9分化简，得22112212(22m n n n =-+=-+，………………11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5．………………14分选择②:(Ⅰ)因为13n n a a +=-，所以13n n a a +-=．………………2分所以数列{}n a 是公差3d =的等差数列．………………4分所以1(1)32()n a a n d n n =+-=-∈N *.………………6分(Ⅱ)由1,,n m a a a 成等比数列，得21nm a a a =，………………8分即2(32)1(32)n m -=⨯-.………………9分化简，得22223423(33m n n n =-+=-+，………………11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 取到最小值6．………………14分选择③：(Ⅰ)由122n n n a a a ++=+，得121n n n n a a a a +++-=-.所以数列{}n a 是等差数列．………………2分又因为11a =，61511a a d =+=，所以2d =．………………4分所以1(1)21()n a a n d n n =+-=-∈N *.………………6分(Ⅱ)因为1,,n m a a a 成等比数列，所以21nm a a a =，………………8分即2(21)1(21)n m -=⨯-.………………9分化简，得22112212(22m n n n =-+=-+，………………11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5．………………14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”，………………1分由图表，得(0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.20.4)0.051a +++++++⨯=，解得 2.4a =.………………2分由图表，知“C 级”种子的频率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=，…………3分故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2.因为事件M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件，所以事件M 的概率()10.20.8P M =-=.………………5分（Ⅱ）由题意，任取一种种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为(4.4 1.20.4)0.050.3++⨯=，恰好是“B 级”康乃馨的概率为(4.0 6.0)0.050.5+⨯=，恰好是“C 级”的概率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=.………………7分随机变量X 的可能取值有20，25，30，35，40，且(20)0.20.20.04P X ==⨯=，(25)0.20.50.50.20.2P X ==⨯+⨯=，(30)0.50.50.30.20.20.30.37P X ==⨯+⨯+⨯=，(35)0.30.50.50.30.3P X ==⨯+⨯=，(40)0.30.30.09P X ==⨯=.………………9分所以X 的分布列为：X 2025303540P0.040.20.370.30.09………………10分故X 的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.………………11分（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了.……14分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得1,21,c a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩解得2a =，1c =，……………3分从而b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．…5分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，有3(1,)2M ，3(1,)2N -，(4,3)P -，(4,3)Q ，(1,0)F ，则(3,3)FP =- ，(3,3)FQ = ，故0FP FQ ⋅=，即90PFQ ∠= ．…………6分当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，其中0k ≠．………………7分联立22(1), 3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(43)84120k x k x k +-+-=．………………8分由题意，知0∆>恒成立，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．…………9分MPAFNxyOQ直线MA 的方程为11(2)2y y x x =--．………………10分令4x =，得1122P y y x =-，即112(4,)2y P x -．………………11分同理可得222(4,2y Q x -．………………12分所以112(3,2y FP x =- ，222(3,)2y FQ x =- ．因为121249(2)(2)y y FP FQ x x ⋅=+--212124(1)(1)9(2)(2)k x x x x --=+--2121212124[()1]92()4k x x x x x x x x -++=+-++22222222241284(1)434394121644343k k k k k k k k k --+++=+--+++22222224[(412)8(43)]9(412)164(43)k k k k k k k --++=+--++0=，所以90PFQ ∠= ．综上，90PFQ ∠= .………………14分20．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）函数()f x 为偶函数，所以(π)(π)f f -=，即ππe 1e 1a a --=-，………………2分解得0a =.验证知0a =符合题意.………………4分（Ⅱ）()e sin x f x x '=-.………………6分由0x >，得e 1x >，sin [1,1]x ∈-，………………7分则()e sin 0x f x x '=->，即()f x 在(0,)+∞上为增函数.故()(0)2f x f >=，即()2f x >.………………9分（Ⅲ）由()e cos 0xf x a x =+=，得cos e xxa =-.设函数cos ()e xxh x =-，[0,π]x ∈，………………10分则sin cos ()e xx xh x +'=.………………11分令()0h x '=，得3π4x =.随着x 变化，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x 3π(0,)43π43π(,π)4()h x '+0-()h x ↗极大值↘所以()h x 在3π(0,)4上单调递增，在3π(,π)4上单调递减.………………13分又因为(0)1h =-，π(π)e h -=，3π43π()e 42h -=，所以当3ππ42[e ,)2a --∈时，方程cos e x x a =-在区间[0,π]内有两个不同解，且在区间3π[0,)4与3π(,π]4上各有一个解.即所求实数a 的取值范围为3ππ42[e ,e )2--.………………15分21．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)k a 可以等于1k -，但k a 不能等于12k-.………………3分(Ⅱ)记b a -为区间[,]a b 的长度，则区间[0,100]的长度为100，k I 的长度为1.由①，得100N ≥.………………6分又因为1[0,1]I =，2[1,2]I =， ，100[99,100]I =显然满足条件①，②.所以N 的最小值为100.………………8分(Ⅲ)N 的最大值存在，且为200.………………9分解答如下：（1）首先，证明200N≤.由②,得12,,,N I I I 互不相同，且对于任意k ，[0,100]k I ≠∅ .不妨设12n a a a <<<< .如果20a ≤，那么对于条件②，当1k =时，不存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(2,3,,)i N = .这与题意不符，故20a >.………………10分如果111k k a a +-+≤，那么11k k k I I I -+⊆ ，这与条件②中“存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(1,2,,1,1,)i k k N =-+ ”矛盾，故111k k a a +->+.所以4211a a >+>，6412a a >+>， ，200198199a a >+>，则2001100a +>.故12200[0,100]I I I ⊇ .若存在201I ，这与条件②中“存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(1,2,,200)i = ”矛盾，所以200N≤.………………12分（2）给出200N =存在的例子.令1100(1)2199k a k =-+-，其中1,2,,200k = ，即12200,,,a a a 为等差数列，公差100199d =.由1d <，知1k k I I +≠∅ ，则易得122001201[,]22I I I =- ，所以12200,,,I I I 满足条件①.又公差10011992d =>，所以100(1)199k k I -∈，100(1)199i k I -∉(1,2,,1,1,)i k k N =-+ .（注：100(1)199k -为区间k I 的中点对应的数）所以12200,,,I I I 满足条件②.综合（1）（2）可知N 的最大值存在，且为200. (14)。

西城区高三诊断性测试数学2020.5本试卷共6页,150分㊂考试时长120分钟㊂考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效㊂考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回㊂第Ⅰ卷(选择题共40分)一㊁选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合A={x||x|<3},B={x|x=2k,kɪZ},则AɘB=(A){0,2}(B){-2,2}(C){-2,0,2}(D){-2,-1,0,1,2}2.若复数z满足z㊃i=-1+i,则在复平面内z对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3.下列函数中,值域为R且在区间(0,+¥)上单调递增的是(A)y=-x3(B)y=x|x|(C)y=x-1(D)y=x4.抛物线x2=4y的准线方程为(A)x=1(B)x=-1(C)y=1(D)y=-15.在әA B C中,若aʒbʒc=4ʒ5ʒ6,则其最大内角的余弦值为(A)18(B)14(C)310(D)356.设a=30.2,b=l o g32,c=l o g0.23,则(A)a>c>b(B)a>b>c(C)b>c>a(D)b>a>c7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(A)6(B)4(C)3(D)28.若圆x2+y2-4x+2y+a=0与x轴,y轴均有公共点,则实数a的取值范围是(A)(-¥,1](B)(-¥,0](C)[0,+¥)(D)[5,+¥)9.若向量a与b不共线,则 a㊃b<0 是 2|a-b|>|a|+|b| 的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件10.设函数f(x)=(x-1)e x.若关于x的不等式f(x)<a x-1有且仅有一个整数解,则正数a的取值范围是(A)(0,e](B)(0,e2](C)(1,e22](D)(1,e2+12]第Ⅱ卷(非选择题共110分)二㊁填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.设平面向量a=(1,-2),b=(k,2)满足aʅb,则|b|=12.若双曲线x2a2-y216=1(a>0)经过点(2,0),则该双曲线渐近线的方程为.13.设函数f(x)=s i n2x+2c o s2x.则函数f(x)的最小正周期为;若对于任意xɪR,都有f(x)ɤm成立,则实数m的最小值为.14.甲㊁乙㊁丙㊁丁四人参加冬季滑雪比赛,其中有两人最终获奖.在比赛结果揭晓之前,四人的猜测如下表,其中 ɿ 表示猜测某人获奖, ˑ 表示猜测某人未获奖,而 ʻ 则表示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确的,那么两名获奖者是,.甲获奖乙获奖丙获奖丁获奖甲的猜测ɿˑˑɿ乙的猜测ˑʻʻɿ丙的猜测ˑɿˑɿ丁的猜测ʻʻɿˑ15.在四棱锥P-A B C D中,底面A B C D为正方形,P Aʅ底面A B C D,P A=A B=4, E,F,H分别是棱P B,B C,P D的中点,对于平面E F H截四棱锥P-A B C D所得的截面多边形,有以下三个结论:①截面的面积等于46;②截面是一个五边形;③截面只与四棱锥P-A B C D四条侧棱中的三条相交.其中,所有正确结论的序号是.三㊁解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明㊁证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在几何体A B C D E F中,底面A B C D是边长为2的正方形,D Eʅ平面A B C D, D EʊB F,且D E=2B F=2.(Ⅰ)求证:平面B C Fʊ平面A D E;(Ⅱ)求钝二面角D-A E-F的余弦值.17.(本小题满分14分)从①前n项和S n=n2+p(pɪR),②a n=a n+1-3,③a6=11且2a n+1=a n+a n+2这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并完成解答.在数列{a n}中,a1=1,,其中nɪN*.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)若a1,a n,a m成等比数列,其中m,nɪN*,且m>n>1,求m的最小值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(本小题满分14分)某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨,通过试验田培育,得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率,并按发芽率分为8组:[0.486,0.536),[0.536,0.586), ,[0.836,0.886)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.企业对康乃馨的种子进行分级,将发芽率不低于0.736的种子定为 A级 ,发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为 B级 ,发芽率低于0.636的种子定为 C级 . (Ⅰ)现从这些康乃馨种子中随机抽取一种,估计该种子不是 C级 种子的概率; (Ⅱ)该花卉企业销售花种,且每份 A级 ㊁ B级 ㊁ C级 康乃馨种子的售价分别为20元㊁15元㊁10元.某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份,共花费X元,以频率为概率,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)企业改进了花卉培育技术,使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍,那么对于这些康乃馨的种子,与旧的发芽率数据的方差相比,技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化?若发生变化,是变大了还是变小了?(结论不需要证明).19.(本小题满分14分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,右焦点为F,点A(a,0),且|A F|=1.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过点F的直线l(不与x轴重合)交椭圆C于点M,N,直线MA,N A分别与直线x=4相交于点P,Q.求øP F Q的大小.20.(本小题满分15分)设函数f(x)=a e x+c o s x,其中aɪR.(Ⅰ)已知函数f(x)为偶函数,求a的值;(Ⅱ)若a=1,证明:当x>0时,f(x)>2;(Ⅲ)若f(x)在区间[0,π]内有两个不同的零点,求a的取值范围.21.(本小题满分14分)设N为正整数,区间I k=[a k,a k+1](其中a kɪR,k=1,2, ,N)同时满足下列两个条件:①对任意xɪ[0,100],存在k使得xɪI k;②对任意kɪ{1,2, ,N},存在xɪ[0,100],使得x∉I i(其中i=1,2, , k-1,k+1, ,N).(Ⅰ)判断a k(k=1,2, ,N)能否等于k-1或k2-1;(结论不需要证明) (Ⅱ)求N的最小值;(Ⅲ)研究N是否存在最大值,若存在,求出N的最大值;若不存在,说明理由.。

2020年北京市西城区⾼考数学⼀模试卷（⼆）（有答案解析）2020年北京市西城区⾼考数学⼀模试卷（⼆）⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，共40.0分）1.设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={-3，-1，1，3}，则集合（?U A）∩B=（）A. {-3，-1}B. {-3，-1，3}C. {1，3}D. {-1，1}2.若复数，则在复平⾯内z对应的点位于（）A. 第⼀象限B. 第⼆象限C. 第三象限D. 第四象限3.执⾏如图所⽰的程序框图，则输出的k值为（）A. 4B. 5C. 7D. 94.下列直线中，与曲线C：没有公共点的是（）A. 2x+y=0B. 2x+y-4=0C. 2x-y=0D. 2x-y-4=05.设a，b，m均为正数，则“b＞a”是“”的（）A. 充分⽽不必要条件B. 必要⽽不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.如图，阴影表⽰的平⾯区域W是由曲线x-y=0，x2+y2=2所围成的．若点P（x，y）在W内（含边界），则z=4x+3y的最⼤值和最⼩值分别为（）A. ，-7B. ，C. 7，D. 7，-77.购票⼈数1~5051~100100以上门票价格13元/⼈11元/⼈9元/⼈现某单位要组织其市场部和⽣产部的员⼯游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需⽀付门票费为1290元；若两个部门合在⼀起作为⼀个团体，同⼀时间购票游览公园，则需⽀付门票费为990元，那么这两个部门的⼈数之差为（）A. B. C. D.8.如果把⼀个平⾯区域内两点间的距离的最⼤值称为此区域的直径，那么曲线围成的平⾯区域的直径为（）A. B. C. D.⼆、填空题（本⼤题共6⼩题，共30.0分）9.在等⽐数列{a n}中，a2=1，a5=8，则数列{a n}的前n项和S n=______．10.设F1，F2为双曲线的两个焦点，若双曲线C的两个顶点恰好将线段F1F2三等分，则双曲线C的离⼼率为______．11.函数f（x）=sin2x+cos2x的最⼩正周期T=______；如果对于任意的x∈R都有f（x）≤a，那么实数a的取值范围是______．12.某四棱锥的三视图如图所⽰，那么该四棱锥的体积为______．13.能说明“若sinα=cosβ，则α+β=k?360°+90°，其中k∈Z”为假命题的⼀组α，β的值是______．14.如图所⽰，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表⽰数2，右侧的每个算珠表⽰数1（允许⼀侧⽆珠），记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c．例如，图中上档的数字和a=9．若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法有______种．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共80.0分）15.在△ABC中，已知a2+c2-b2=mac，其中m∈R．（Ⅰ）判断m能否等于3，并说明理由；（Ⅱ）若m=-1，，c=4，求sin A．16.如图，在多⾯体ABCDEF中，梯形z与平⾏四边形D-xyz所在平⾯互相垂直，AF∥DE，DE⊥AD，AD⊥BE，，．（Ⅰ）求证：BF∥平⾯CDE；（Ⅱ）求⼆⾯⾓B-EF-D的余弦值；（Ⅲ）判断线段BE上是否存在点Q，使得平⾯CDQ⊥平⾯BEF？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．17.为培养学⽣的阅读习惯，某校开展了为期⼀年的“弘扬传统⽂化，阅读经典名著”活动．活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、⼄两组各10名学⽣的阅读量（单位：本），统计结果⽤茎叶图记录如下，⼄组记录中有⼀个数据模糊，⽆法确认，在图中以a表⽰．（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值⼤于⼄组阅读量的平均值，求图中a的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、⼄两组中阅读量超过15本的学⽣称为“阅读达⼈”．设a=3，现从所有“阅读达⼈”⾥任取3⼈，求其中⼄组的⼈数X的分布列和数学期望．（Ⅲ）记甲组阅读量的⽅差为s02．在甲组中增加⼀名学⽣A得到新的甲组，若A 的阅读量为10，则记新甲组阅读量的⽅差为s12；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的⽅差为s22，试⽐较s02，s12，s22的⼤⼩．（结论不要求证明）18.设函数f（x）=me x-x2+3，其中m∈R．（Ⅰ）当f（x）为偶函数时，求函数h（x）=xf（x）的极值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-2，4]上有两个零点，求m的取值范围．19.已知椭圆W：的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P（n，0）的直线与椭圆W相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合）．（Ⅰ）当n=0，且直线CD⊥x轴时，求四边形ACBD的⾯积；（Ⅱ）设n=1，直线CB与直线x=4相交于点M，求证：A，D，M三点共线．20.如图，设A是由n×n（n≥2）个实数组成的n⾏n列的数表，其中a ij（i，j=1，2，…，ij∈{1，-1}．a11a12 (1)a21a22 (2)…?a n1a n2…a nn定义p st=a s1a t1+a s2a t2+…+a sn a tn（s，t=1，2，…，n）为第s⾏与第t⾏的积．若对于任意s，t（s≠t），都有p st=0，则称数表A为完美数表．（Ⅰ）当n=2时，试写出⼀个符合条件的完美数表；（Ⅱ）证明：不存在10⾏10列的完美数表；（Ⅲ）设A为n⾏n列的完美数表，且对于任意的i=1，2，…，l和j=1，2，…，k，都有a ij=1，证明：kl≤n．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：根据题意，全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，则?U A={x|x≤0或x≥2}⼜由B={-3，-1，1，3}，则集合（?U A）∩B={-3，-1，3}；故选：B．根据题意，由补集的定义求出集合?U A，进⽽由交集的定义分析可得答案．本题考查集合的混合运算，关键是掌握集合交、并、补集的定义，属于基础题．2.答案：D解析：解：∵=，∴在复平⾯内z对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．直接利⽤复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表⽰法及其⼏何意义，是基础题．3.答案：D解析：解：当k=1时，S==-3，k=3，S＜2成⽴，S==-，k=5，S＜2成⽴，S=，k=7，S＜2成⽴，S=，k=9，S＜2不成⽴，输出，k=9，故选：D．根据程序框图进⾏模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利⽤模拟运算是解决本题的关键．4.答案：C解析：解：曲线C参数⽅程为：，①×2-②得，2x-y-4=0，故曲线C为斜率为2的直线，选项中斜率为2的直线为C，D．⽽D与曲线C重合，有⽆数个公共点，排除．故选：C．通过C的参数⽅程，得到C的普通⽅程2x-y-4=0，再根据直线与直线的位置关系，可得．本题考查了直线的参数⽅程，直线与直线的位置关系，为基础题．5.答案：C解析：解：∵a，b，m均为正数，∴由得b（a+m）＞a（b+m），即ab+bm＞ab+am，即bm＞am，∵m是正数，∴b＞a，反之也成⽴，所以“b＞a”是“”的充要条件，故选：C．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进⾏判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式关系是解决本题的关键．6.答案：A解析：解：由题意可知直线平移直线0=4x+3y，当直线经过A上取得最⼩值，平移到与x2+y2=2相切于B时，取得最⼤值，B（-1，-1），最⼩值为：-7；由可得：25x2-8zx+z2-18=0，△=64z2-4（z2-8）×25=0，解得z=5，z=（舍去），所以则z=4x+3y的最⼤值和最⼩值分别为：5；-7．故选：A．利⽤已知条件平移直线0=4x+3y，判断最优解，求解⽬标函数的最值即可．本题考查线性规划的简单应⽤，考查转化思想以及计算能⼒．7.答案：B解析：解：∵990不能被13整除，∴两个部门⼈数之和：a+b≥51，（1）若51≤a+b≤100，则11 （a+b）=990得：a+b=90，①由共需⽀付门票费为1290元可知，11a+13b=1290 ②解①②得：b=150，a=-60，不符合题意．（2）若a+b≥100，则9 （a+b）=990，得a +b=110 ③由共需⽀付门票费为1290元可知，1≤a≤50，51≤b≤100，得11a+13b=1290 ④，解③④得：a=70⼈，b=40⼈故两个部门的⼈数之差为70-40=30⼈，故选：B．根据990不能被13整除，得两个部门⼈数之和：a+b≥51，然后结合门票价格和⼈数之间的关系，建⽴⽅程组进⾏求解即可．本题主要考查函数的应⽤问题，结合门票价格和⼈数之间的关系，建⽴⽅程是解决本题的关键．考查学⽣分析问题的能⼒．8.答案：B解析：解：曲线x4+y2=2围成的平⾯区域，关于x，y轴对称，设曲线上的点P（x，y），可得|OP|==≤．所以曲线x4+y2=2围成的平⾯区域的直径为：3．故选：B．利⽤曲线的对称性，设出点的坐标，通过距离公式以及⼆次函数的性质求解最值即可．本题考查曲线与⽅程的应⽤，新定义的应⽤．考查转化思想以及计算能⼒．9.答案：解析：解：∵a2=1，a5=8∴a5=a2q3，即q3==8，即q=2，⾸项a1=，则数列{a n}的前n项和S n==2n-1-，故答案为：2n-1-．根据等⽐数列的通项公式，求出⾸项和公⽐，结合等⽐数列的前n项和公式进⾏计算即可．本题主要考查等⽐数列前n项和的计算，结合通项公式求出⾸项和公⽐是解决本题的关键．10.答案：3解析：解：双曲线C的两个顶点恰好将线段F1F2三等分，可得2a=?2c，则c=3a，即e==3．故答案为：3．由题意可得2a=?2c，结合离⼼率公式，可得所求值．本题考查双曲线的⽅程和性质，主要是离⼼率的求法，考查运算能⼒，属于基础题．11.答案：π解析：解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），即函数的周期T==π，若对于任意的x∈R都有f（x）≤a，则a≥f（x）max，即当sin（2x+）=1时，f（x）取得最⼤值，最⼤值为，即f（x）max=，则a≥，故答案为：π，a≥．利⽤辅助⾓公式，结合周期公式进⾏求解，不等式f（x）≤a等价为a≥f（x）max，进⾏求解即可．本题主要考查三⾓函数的性质的应⽤，利⽤辅助⾓公式进⾏化简是解决本题的关键．12.答案：解析：【分析】本题考查三视图求解⼏何体的体积，判断⼏何体的形状是解题的关键，属于基础题．画出⼏何体的直观图，利⽤三视图的数据，求解⼏何体的体积．【解答】解：⼏何体的直观图如图：是底⾯是长为2，宽为1的长⽅形，⾼为2的四棱锥，故四棱锥的体积为：×1×2×2=．故答案为．13.答案：α=110°，β=20°解析：解：若sinα=cosβ，则α=k?360°+90°±β（k∈Z），命题中α=k?360°+90°-β，（k∈Z），要否定命题，只须从α=k? 360°+90°+β（k∈Z）中找⼀个反例即可，如α=110°，β=20°，（答案不唯⼀，再如α=120°，β=30°等，只要满⾜α=k? 360°+90°+β（k∈Z）且α≠k?360°+90°-β（k∈Z）即可作为反例．故填：α=110°，β=20°．若sinα=cosβ，则α=k?360°+90°±β（k∈Z），⽽命题中只给出了α=k?360°+90°-β（k∈Z）的情况，故可从另⼀种情况中找反例．本题考查了三⾓函数的值及三⾓函数的性质、诱导公式等知识，属于基础题．14.答案：32解析：解：根据题意，a，b，c的取值范围都是从7～14共8个数字，故公差d范围是-3到3，①当公差d=0时，有=8种，②当公差d=±1时，b不取7和14，有2=12种，③当公差d=±2时，b不取7，8，13，14，有2=8种，④当公差d=±3时，b只能取10或11，有2=4种，综上共有8+12+8+4=32种，故填：32a，b，c的取值范围都是从7～14，可以根据公差d的情况进⾏讨论．本题考查排列、组合的应⽤，要表⽰的有3项，做题时容易找不到切⼊点，本题应考虑等差中项的选取⽅法，属于中档题．15.答案：解：（Ⅰ）当m=3时，由题可知a2+c2-b2=3ac，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得．这与cos B∈[-1，1]⽭盾，所以m不可能等于3．（Ⅱ）由（Ⅰ），得，所以．因为，c=4，a2+c2-b2=-ac，所以a2+16-28=-4a，解得a=-6（舍）或a=2.在△ABC中，由正弦定理，得．解析：本题考查了正弦定理余弦定理的应⽤，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．（Ⅰ）当m=3时，由题可知a2+c2-b2=3ac，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，化简求得cos B，即可判断出结论．（Ⅱ）由（Ⅰ），得，可得B．由，c=4，a2+c2-b2=-ac，解得a，再利⽤正弦定理即可得出．16.答案：解：（Ⅰ）由底⾯ABCD为平⾏四边形，知AB∥CD，⼜因为AB?平⾯CDE，CD?平⾯CDE，所以AB∥平⾯CDE．………………（2分）同理AF∥平⾯CDE，⼜因为AB∩AF=A，所以平⾯ABF∥平⾯CDE．……………（3分）⼜因为BF?平⾯ABF，所以BF∥平⾯CDE．………………（4分）（Ⅱ）连接BD，因为平⾯ADEF⊥平⾯ABCD，平⾯ADEF∩平⾯ABCD=AD，DE⊥AD，所以DE⊥平⾯ABCD．则DE⊥DB．⼜因为DE⊥AD，AD⊥BE，DE∩BE=E，所以AD⊥平⾯BDE，则AD⊥BD．故DA，DB，DE两两垂直，所以以DA，DB，DE所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，如图建⽴空间直⾓坐标系，………………（6分）则D（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（-1，1，0），E（0，0，2），F （1，0，1），所以，，=（0，1，0）为平⾯DEF的⼀个法向量．设平⾯BEF的⼀个法向量为=（x，y，z），由=0，?=0，得令z=1，得=（1，2，1）．………………（8分）所以cos＜，＞==．如图可得⼆⾯⾓B-EF-D为锐⾓，所以⼆⾯⾓B-EF-D的余弦值为．………………（10分）（Ⅲ）结论：线段BE上存在点Q，使得平⾯CDQ⊥平⾯BEF．………………（11分）证明如下：设，所以．设平⾯CDQ的法向量为=（a，b，c），⼜因为，所以，=0，即………………（12分）若平⾯CDQ⊥平⾯BEF，则=0，即a+2b+c=0，………………（13分）解得．所以线段BE上存在点Q，使得平⾯CDQ⊥平⾯BEF，且此时．……（14分）解析：（Ⅰ）根据⾯⾯平⾏的性质定理先证明平⾯ABF∥平⾯CDE即可证明BF∥平⾯CDE；（Ⅱ）建⽴空间坐标系，求出两个平⾯的法向量，利⽤向量法求⼆⾯⾓B-EF-D的余弦值；（Ⅲ）根据⾯⾯垂直与向量之间的关系转化为向量进⾏求解．本题主要考查空间直线和平⾯，平⾯和平⾯位置关系的判定，利⽤相应定理或者建⽴空间坐标系，利⽤向量法是解决本题的关键．17.答案：（本⼩题满分13分）解：（Ⅰ）甲组10名学⽣阅读量的平均值为，⼄组10名学⽣阅读量的平均值为．………………（2分）由题意，得，即a＜2．………………（3分）故图中a的取值为0或1．………………（4分）（Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达⼈”有2⼈，⼄组“阅读达⼈”有3⼈．由题意，随机变量X的所有可能取值为：1，2，3．………………（5分）且，，．……（8分）所以随机变量X的分布列为：X123P………………（9分）所以．………………（10分）（Ⅲ）．………………（13分）解析：（Ⅰ）由茎叶图分别求出甲组10名学⽣阅读量的平均值和⼄组10名学⽣阅读量的平均值，由此能求出图中a的取值．（Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达⼈”有2⼈，⼄组“阅读达⼈”有3⼈．随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．（Ⅲ）．本题考查实数值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、⽅差等基础知识，考查运算求解能⼒，是中档题．18.答案：解：（Ⅰ）由函数f（x）是偶函数，得f（-x）=f（x），即me-x-（-x）2+3=me x-x2+3对于任意实数x都成⽴，所以m=0．此时h（x）=xf（x）=-x3+3x，则h'（x）=-3x2+3．由h'（x）=0，解得x=±1,当x变化时，h'（x）与h（x）的变化情况如下表所⽰：x（-∞，-1）-1（-1，1）1（1，+∞）h'（x）-0+0-h（x）↘极⼩值↗极⼤值↘所以（）在（，），（，）上单调递减，在（，）上单调递增,所以h（x）有极⼩值h（-1）=-2，h（x）有极⼤值h（1）=2．（Ⅱ）由f（x）=me x-x2+3=0，得．所以“f（x）在区间[-2，4]上有两个零点”等价于“直线y=m与曲线，x∈[-2，4]有且只有两个公共点”．对函数g（x）求导，得．由g'（x）=0，解得x1=-1，x2=3．当x变化时，g'（x）与g（x）的变化情况如下表所⽰：x（-2，-1）-1（-1，3）3（3，4）g'（x）-0+0-g（x）↘极⼩值↗极⼤值↘所以g（x）在（-2，-1），（3，4）上单调递减，在（-1，3）上单调递增．⼜因为g（-2）=e2，g（-1）=-2e，，，所以当或时，直线y=m与曲线，x∈[-2，4]有且只有两个公共点．即当或时，函数f（x）在区间[-2，4]上有两个零点.解析：（Ⅰ）先求出m的值，再求函数的导数，得到函数的单调区间，从⽽求出函数的极值；（Ⅱ）由已知可得，命题等价于“直线y=m与曲线，x∈[-2，4]有且只有两个公共点”．对g（x）求导，得到函数的单调区间，分类讨论即可得解．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应⽤，考查换元思想、分类讨论思想，解题时仔细谨慎，属于中档题．19.答案：解：（Ⅰ）由题意，得a2=4m=4，解得m=1．所以椭圆W⽅程为．当n=0，及直线CD⊥x轴时，易得C（0，1），D（0，-1）．且A（-2，0），B（2，0）．所以|AB|=4，|CD|=2，显然此时四边形ACBD为菱形，所以四边形ACBD的⾯积为．（Ⅱ）当直线CD的斜率k不存在时，由题意，得CD的⽅程为x=1，代⼊椭圆W的⽅程，得，，易得CB的⽅程为．则，，，所以，即A，D，M三点共线．当直线CD的斜率k存在时，设CD的⽅程为y=k（x-1）（k≠0），C（x1，y1），D（x2，y2），联⽴⽅程消去y，得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0．由题意，得△＞0恒成⽴，故，．直线CB的⽅程为．令x=4，得．⼜因为A（-2，0），D（x2，y2），则直线AD，AM的斜率分别为，，所以．上式中的分⼦===0，所以k AD-k AM=0．所以A，D，M三点共线．解析：（Ⅰ）当n=0，及直线CD⊥x轴时，易得C（0，1），D（0，-1）．且A（-2，0），B（2，0）．所以|AB|=4，|CD|=2，显然此时四边形ACBD为菱形，可得⾯积．（Ⅱ）分斜率是否存在讨论，①当直线CD的斜率k不存在时，求出A，M，C，D坐标，⽤向量法易证A，D，M三点共线．②当直线CD的斜率k存在时，设CD的⽅程为y=k（x-1）（k≠0），C（x1，y1），D（x2，y2），联⽴⽅程消去y，得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0．将k AM，k AD表⽰为含有k的算式，可以证k AM，k AD相等．故A，D，M 三点共线．本题考查椭圆的⽅程和性质，主要考查椭圆⽅程的运⽤，注意联⽴直线⽅程，运⽤韦达定理，同时考查向量的共线的坐标运算，证明时需对直线CD斜率是否存在讨论，属于中档题．20.答案：（Ⅰ）解：由题意，可写出如下的完美数表：11-11+a12a22=1×（-1）+1×1=0，121121∴此完美数表符合条件．（Ⅱ）证明：假设存在10⾏10列的完美数表A．根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何⼀列的数变为其相反数（即+1均变为-1，⽽-1均变为+1），得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表．完美数表A反复经过上述两个结论的变换，前三⾏可以为如下形式：1...11...11...11 (1)1…11…1-1…-1-1…-11…1-1…-11…1-1…-1在这个新数表中，设前三⾏中的数均为1的有x列，前三⾏中“第1，2⾏中的数为1，且第3⾏中的数为-1”的有y列，前三⾏中“第1，3⾏中的数为1，且第2⾏中的数为-1”的有z列，前三⾏中“第1⾏中的数为1，且第2，3⾏中的数为-1”的有w列（如上表所⽰），则x+y+z+w=10①由p12=0，得x+y=z+w；②由p13=0，得x+z=y+w；③由p23=0，得x+w=y+z．④解⽅程组①，②，③，④，得．这与x，y，z，w∈N⽭盾，所以不存在10⾏10列的完美数表．（Ⅲ）证明：记第1列前l⾏中的数的和a11+a21+…+a l1=X1，第2列前l⾏中的数的和a12+a22+…+a l2=X2，……，第n列前l ⾏中的数的和a1n+a2n+…+a ln=X n，∵对于任意的i=1，2，…，l和j=1，2，…，k，都有a ij=1，∴．⼜∵对于任意s，t（s≠t），都有p st=0，∴．⼜∵，∴ln≥l2k，即kl≤n．解析：本题第（Ⅰ）题可根据题⽬的意思先写出⼀个完美数表，然后⽤P12是否等于0来验证；第（Ⅱ）题可先假设这样的10⾏10列的完美数表是存在的，然后根据完美数表的特点进⾏适当变换，观察完美数表中1与-1的个数再与题⼲中的验证公式去验证，最终得到⽭盾的结论，命题得证；第（Ⅲ）题先设出每⾏中1的个数，然后根据题⼲中结论的任意性来证明结论成⽴．本题第（Ⅰ）题主要考查对题意的阅读理解能⼒；第（Ⅱ）题主要考查联系矩阵的特点对完美数表的规律的认识；第（Ⅲ）题主要考查对完美数表元素1的个数特点证明．本题是⼀道较难的偏难题．。

2020年北京市西城区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集U={1,2，3，4，5}，集合A={1,3，4}，B={2,3，5}，则(∁U A)∪B=()A. {2}B. {2,5}C. {2,3，5}D. {2,3，4，5}2.已知复数z满足(1+i)z=(1−i)2，则z=()A. −1+iB. 1+iC. 1−iD. −1−i3.焦点在x 轴，且焦点到准线的距离为2的抛物线方程为()A. y2=2xB. y2=4xC. y2=±2xD. y2=±4x4.已知△ABC中，a=6，b=4，A=60°，则cosB=()A. √33B. 23C. √63D. √325.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+1x，则f(−1)=()A. −2B. 0C. 1D. 26.圆x2+y2−4x+4y+6=0截直线x–y−5=0所得的弦长为()A. 5B. √6C. 5√22D. 17.已知a<b<0，则()A. 1a <1bB. a2<abC. a2<b2D. 1a−b<1a8.已知向量a⃗=(2,1)，|a⃗+b⃗ |=4，a⃗⋅b⃗ =1，则|b⃗ |=()A. 2B. 3C. 6D. 129.“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件10.如图，是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB、CD这两条线段所在直线的位置关系是()A. 平行B. 相交C. 异面D. 平行或异面二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 在二项式(x 2−1x )5的展开式中，二项式系数之和是_____，含x 4的项的系数_______．12. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2=5，S 9=−9，则a 8的值为_______． 13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______ ．14. 已知椭圆x 225+y 216=1与双曲线x 2m −y 25=1有共同的焦点F 1,F 2，则m =_________15. 已知函数f(x)={e x ,x ≥0−2x,x <0，则关于x 的方程f[f(x)]+k =0给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有1个实根； ②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．其中正确命题的序号是______ (把所有满足要求的命题序号都填上)． 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 如图，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 为PA 的中点．(Ⅰ)求证：PC//平面BDM ；(Ⅱ)若PA =AB =2√2，BD =2√3，求直线BM 与平面PAC 所成角的正弦值．)的最小正周期为π，且图象上有一个最低17.已知函数f(x)=Asin(ωx+θ)(A>0,ω>0,|θ|<π2,−3)．点为M(7π12(1)求f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[0,π]的单调递增区间18.随着科技的进步，视屏会议系统的前景愈加广阔，其中，小型视频会议软件格外受人青睐，根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名依次为A，B，C，D，E，F，在实际中，存在很多软件下载后未使用的情况，为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W(单位：人次)与使用量U(单位：人次)，数据用柱状图表示如下：，当t≥0.9时，称该软件为“有效下载软件”，调查公司以调查得到的定义软件的使用率t=UW使用率t作为实际中该款软件的使用率(Ⅰ)在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率(Ⅱ)从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X ，求X 的分布列与数学期望(Ⅲ)将(Ⅰ)中的概率值记为x%，对于市场上所有小型会议视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”？说明理由19. 设函数f(x)=xlnx ．(1)求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若函数F(x)=f(x)−ax 2有两个极值点，求实数a 的取值范围；(3)当x 1>x 2>0时，m2(x 12−x 22)>f(x 1)−f(x 2)恒成立，求实数m 的取值范围．20. 已知点(1,32)在椭圆E:x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)上，设A ，B 分别为椭圆的左顶点、下顶点，原点O 到直线AB 的距离为2√217． (1)求椭圆E 的方程；(2)设P 为椭圆E 在第一象限内一点，直线PA ，PB 分别交y 轴、x 轴于D ，C 两点，求四边形ABCD 的面积．21.数列{a n}满足a1+2a2+3a3+⋯+na n=2−n+2．2n(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n，求{b n}的前n项和T n．(1+a n)⋅(1+a n+1)-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查集合的运算，考查计算能力，属于简单题．利用补集和并集运算的定义即可求解．解：∵∁U A={2,5}，B={2,3，5}，∴(∁U A)∪B={2,3，5}，故选C．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z，则z−可求．解：由(1+i)z=(1−i)2=−2i，得z=−2i1+i =−2i(1−i)(1+i)(1−i)=−1−i，∴z−=−1+i．故选：A．3.答案：D解析：本题考查了抛物线的标准方程，属于基础题．焦点到准线的距离为p．解：焦点在x 轴，且焦点到准线的距离为2，可知：p=2，故抛物线方程为y2=±4x．故选D．4.答案：C解析：本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．由已知及正弦定理可得sin B，由b<a，可得范围B<60°，利用同角三角函数基本关系式即可得解cos B的值．解：∵a=6，b=4，A=60°，∴由正弦定理可得：sinB=b⋅sinAa =4×√326=√33，∵b<a，∴B<60°，∴cosB=√1−sin2B=√63．故选：C．5.答案：A解析：由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得f(−1)=−f(1)，运算求得结果．解：∵函数f(x)为奇函数，x>0时，f(x)=x2+1x，∴f(−1)=−f(1)=−2，故选A．6.答案：B解析：计算直线和圆的相交弦长的通性通法就是，利用几何性质，只要计算出圆心到直线的距离，再用勾股定理即可．已知圆x2+y2−4x+4y+6=0，易得圆心和半径．再利用几何性质，只要计算出圆心到直线的距离，再用勾股定理即可算出弦长．解：已知圆x2+y2−4x+4y+6=0，易得圆心为(2,−2)，半径为√2．圆心为(2,−2)到直线x−y−5=0易得为√22．利用几何性质，则弦长为2√( √2 )2−(√22 )2 =√6．故选B．7.答案：D解析：解：对于A、B、C，令a=−2，b=−1，显然A、B、C错误；对于D，由a<b<0，得a<a−b<0，故1a−b <1a；故D正确；故选：D．根据特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D即可．本题考查了不等式的性质，考查特殊值的应用，是一道基础题．8.答案：B解析：解：∵|a⃗+b⃗ |=4，∴a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =16，∴5+|b⃗ |2+2=16，∴|b⃗ |=3故选：B．将|a⃗+b⃗ |=4两边平方可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．9.答案：C解析：。

北京市西城区 2020年抽样测试高三数学试卷（理科） 2020.5本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合A 、B 满足A B A =I ，那么下列各式中一定成立的是（ ） A. AB B. B AC. A B B=U D. A B A =U2. 在复平面内，满足条件(1+z ⋅i)=2的复数z 对应的点位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 设向量a =(1, x -1)，b =(x +1,3)，则“x =2”是“a //b ”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 已知一个平面a ，那么对于空间内的任意一条直线a ，在平面a 内一定存在一条直线b ，使得a 与b （ ）A. 平行B. 相交C. 异面D. 垂直题号分数一 二三总分1516171819205. 已知函数()sin f x x =，()f x ¢为()f x 的导函数，那么（ ） A. 将()f x 的图象向左平移2p个单位可以得到()f x '的图象 B. 将()f x 的图象向右平移2p个单位可以得到()f x '的图象C. 将()f x 的图象向左平移p 个单位可以得到()f x '的图象D. 将()f x 的图象向右平移p 个单位可以得到()f x '的图象6. 如果数列{}(R)n n a a Î对任意*,N m n Î满足m n m n a a a +=?，且38a =，那么10a 等于( ) A.1024 B. 512 C. 510 D. 2567. 设斜率为1的直线l 与椭圆22:142x y C +=相交于不同的两点A 、B ，则使||AB 为整数的直线l 共有（ ）A.4条B. 5条C. 6条D. 7条8. 根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α（20πα≤≤）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但α的大小以及何时改变方向不定. 如右图. 假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S ，则S 的面积（单位：平方米）等于（ ） A. 100p B. 100200p - C. 400100p - D. 200北京市西城区 2020年抽样测试高三数学试卷（理科） 2020.5第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上 . 9. 函数ln(1)y x =-的反函数是___________.10. 设(2,2),(0,4)AB AC ==uu u r uu u r，则ABC V 的内角A =___________.11. 若291()ax x-的展开式中常数项为84，则a =___________，其展开式中二项式系数之和为_________. (用数字作答)12 设P 为曲线1cos (2sin x y q q q ì=-+ïïíï=+ïî为参数)上任意一点，(3,5)A ，则||PA 的最小值为______________. 13. 已知一个球的表面积为144p ，球面上有P 、Q 、R 三点，且每两点间的球面距离均为3p ，那么此球的半径r =___________，球心到平面PQR 的距离为__________.14. 已知集合{1,2,3,4}A =，函数()f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意i A ∈，i i f ≠)(. 设4321,,,a a a a 是4,3,2,1的任意一个排列，定义数表12341234()()()()a a a a f a f a f a f a ⎛⎫⎪⎝⎭，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为_________.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分12分）已知函数()cos (sin cos )1f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的值域和最小正周期； （Ⅱ）设(0,)a p Î，且()1f α=，求α的值.16.（本小题满分12分）甲，乙两人射击，每次射击击中目标的概率分别是11,34. 现两人玩射击游戏，规则如下：若某人某次射击击中目标，则由他继续射击，否则由对方接替射击. 甲、乙两人共射击3次，且第一次由甲开始射击. 假设每人每次射击击中目标与否均互不影响. (Ⅰ) 求3次射击的人依次是甲、甲、乙的概率；(Ⅱ) 若射击击中目标一次得1分，否则得0分(含未射击). 用ξ表示乙的总得分，求ξ的分布列和数学期望.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,1,2AB BC AB BC AA ^===，D 是AA 1的中点. (Ⅰ) 求异面直线11AC 与1B D 所成角的大小； (Ⅱ) 求二面角C-B 1D-B 的大小；(Ⅲ) 在B 1C 上是否存在一点E ，使得//DE 平面ABC ? 若存在，求出1B EEC的值；若不存在，请说明理由.18.（本小题满分14分）设a ∈R，函数1,0,())1,0.a x x f x x a x ⎧-+<⎪=--> (Ⅰ) 当a =2时，试确定函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 若对任何x ∈R ，且0x ≠，都有()1f x x >-，求a 的取值范围.C BC 1 B 1A A 1D已知AOB V 的顶点A 在射线:(0)l y x =>上， A , B 两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足||||3AM MB ?. 当点A 在l 上移动时，记点M 的轨迹为W . (Ⅰ) 求轨迹W 的方程；(Ⅱ)设P (-1,0)，Q (2,0)，求证：2MQP MPQ ??.20.（本小题满分14分）已知f 是直角坐标平面xOy 到自身的一个映射，点P 在映射f 下的象为点Q ，记作()Q f P =. 设1P 11(,)x y ，2132(),()P f P P f P ==,1,(),n n P f P -=L L . 如果存在一个圆，使所有的点*(,)(N )n n n P x y n Î都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点(,)n n n P x y 的一个收敛圆. 特别地，当11()P f P =时，则称点1P 为映射f 下的不动点. (Ⅰ) 若点(,)P x y 在映射f 下的象为点(2,1)Q x y -.○1 求映射f 下不动点的坐标；○2 若1P 的坐标为(1,2)，判断点*(,)(N )n n n P x y n Î是否存在一个半径为3的收敛圆，并说明理由. (Ⅱ) 若点(,)P x y 在映射f 下的象为点(1,)22x y x yQ +-+,1P (2,3). 求证：点*(,)(N )n n n P x y n Î存在一.北京市西城区 2020年抽样测试参考答案高三数学试卷（理科） 2020.5一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. e 1(R)x y x =+? 10. 45o 11. 1，512 12. 4 13. 6， 14. 216 注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：()cos (sin cos )1f x x x x =-+2sin cos cos 1x x x =?+11cos2sin 2122x x +=-+ ---------------------------2分11(sin 2cos2)22x x =-+1)42x p =-+， ---------------------------4分 因为1sin(2)14xp-??(其中x ÎR )，1)42x p ?+?， 即函数()f x的值域为11[]22-+. ---------------------------6分函数()f x 的最小正周期为22T pp ==. ---------------------------8分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得1())1242f p a a =-+=，所以sin(2)42p a -=----------------------------9分因为0<<a p ，所以72444p p pa -<-<， ----------------------------10分 所以32,24444p p p pa a -=-=或， 所以 ,42p pa a ==或. ---------------------------12分16.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：记 “3次射击的人依次是甲、甲、乙” 为事件A . ---------------------------1分由题意，得事件A 的概率122()339P A =?； ---------------------------5分 （Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为0,1,2， ---------------------------6分11123237(0)++33334349P x ==创创=； 12121313(1)+33434472P x ==创创=； 2111(2)=34424P x ==创.所以，x 的分布列为：---------------------------10分x 的数学期望7131190129722472E x =???. ---------------------------12分 17.（本小题满分14分）方法一：（Ⅰ）解：如图，设F 为BB 1的中点，连接AF ，CF ， Q 直三棱柱111ABC A B C -，且D 是AA 1的中点， 111//,//AF B DAC AC\，CAF \?为异面直线11AC 与1BD 所成的角或其补角. -----------2分 在Rt ABF V 中，BF AB ^，AB =1，BF =1，AF \=CF =在ABC V 中，,1,AB BC AB BC ^==Q AC \=在ACF V 中，AC AF CF ==Q ，60CAF\?o，C G BC 1 B 1AA 1 DEF\异面直线11AC 与1B D 所成的角为60o. ----------------------------4分（Ⅱ）解：Q 直三棱柱111ABC A B C -，1B B BC \^， 又1,AB BC AB BB B ^=I ，BC \^平面1ABB D . ---------------------------5分如图，连接BD ，在1BB D V 中，112BD B D BB ===Q ，22211BD B D BB \+=，即1BD B D ^，BD Q 是CD 在平面1ABB D 内的射影，1CD B D \^，CDB \?为二面角C -B 1D -B 的平面角. ---------------------------7分在BCD V 中, 90CBD?o , BC=1, BD =tan BC CDBBD \?=,\二面角C -B 1D -B 的大小为arctan---------------------------9分 （Ⅲ）答：在B 1C 上存在一点E ，使得//DE 平面ABC ，此时11B EEC=.----------------------10分 以下给出证明过程.证明：如图，设E 为B 1C 的中点，G 为BC 的中点，连接EG ，AG ，ED ， 在1BCB V 中，1,BG GC B E EC ==Q ，1//EG BB \，且112EG BB =， 又1//AD BB ，且112AD BB =，//,EG AD EG AD \=， \四边形ADEG 为平行四边形，//DE AG \， ---------------------------12分 又AG Ì平面ABC ，DE Ë平面ABC ，\//DE 平面ABC . ---------------------------14分 方法二：（Ⅰ）如图，以B 为原点，BC 、BA 、BB 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，则111(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,2),(1,0,2),(0,1,2),(0,1,1)B C A B C A D ，111(1,1,0),(0,1,1)AC B D =-=-uuu u r uuu rQ , ---------------------------2分 1111111111cos ,2||||AC B D AC B D AC B D ×\<>==-×uuu u r uuu ruuu u r uuu r uuu u r uuu r ， \异面直线11AC 与1B D 所成的角为60o. ---------------------------4分（Ⅱ）解：Q 直三棱柱111ABC A B C -，1B B BC \^， 又1,AB BC AB BB B ^=I ，BC \^平面1ABB D . ---------------------------5分如图，连接BD ，在1BB D V 中，112BD B D BB ===Q ，22211BD B D BB \+=，即1BD B D ^，BD Q 是CD 在平面1ABB D 内的射影，1CD B D \^，CDB \?为二面角C -B 1D -B 的平面角. ---------------------------7分(1,1,1),(0,1,1)DC DB =--=--uuu r uu u rQ ，cos ||||DC DB CDBDC DB ×\?=×uuu r uu u r uuu r uu u r \二面角C -B 1D -B 的大小为 -----------------------------9分 （Ⅲ）同方法一. ---------------------------14分 18.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：当0x <时，1()2f x x=-+， 因为21()0f x x ¢=>， 所以()f x 在(,0)-?上为增函数； ---------------------------3分 当0x >时，()2)1f x x =--，1()f x ¢=， ---------------------------4分 由()0f x ¢>，解得23x >，由()0f x ¢<，解得203x <<，所以()f x 在2(,)3+?上为增函数，在2(0,)3上为减函数.综上，()f x 增区间为(,0)-?和2(,)3+?，减区间为2(0,)3. ---------------------------7分（Ⅱ）解：当0x <时，由()1f x x >-，得11a x x -+>-，即 11a x x>+-， 设 1()1g x x x=+-，所以1()[()()]113g x x x=--+--≤-=-（当且仅当1x =-时取等号）， 所以当1x =-时，()g x 有最大值3-， 因为对任何0x <，不等式11a x x>+-恒成立， 所以 3a >-； ---------------------------10分当0x >时，由()1f x x >-)11x a x -->-，即a x <-，设()h x x =-，则211())24h x x =--，12，即14x =时，()h x 有最小值14-，因为对任何0x >，不等式a x <-恒成立，所以 14a <-. --------------------------13分 综上，实数a 的取值范围为134a -<<-. ---------------------------14分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为A , B 两点关于x 轴对称，所以AB 边所在直线与y 轴平行.设M (x , y )，由题意，得(),(,)A x B x -， ----------------------------2分所以||,||AM y MB y =-=，因为||||3AM MB ?，所以)()3y y -⨯+=，即2213y x -=， ----------------------------5分所以点M 的轨迹W 的方程为221(0)3y x x -=>. -----------------------------6分（Ⅱ）证明：设000(,)(0)M x y x >，因为曲线221(0)3y x x -=>关于x 轴对称，所以只要证明“点M 在x 轴上方及x 轴上时，2MQP MPQ ∠=∠”成立即可. 以下给出“当00y ≥时，2MQP MPQ ∠=∠” 的证明过程.因为点M 在221(0)3y x x -=>上，所以01x ≥.当x 0=2时，由点M 在W 上，得点(2,3)M ，此时,||3,||3MQ PQ MQ PQ ⊥==， 所以,42MPQ MQP ππ∠=∠=，则2MQP MPQ ∠=∠； --------------------------8分当02x ¹时，直线PM 、QM 的斜率分别为0000,12PM QM y y k k x x ==+-， 因为0001,2,0x x y ≥≠≥，所以0001PM y k x =≥+，且0011PM yk x =≠+，又tan PM MPQ k ∠=，所以(0,)2MPQ π∠∈，且4MPQ π∠≠，所以22tan tan 21(tan )MPQ MPQ MPQ ∠∠=-∠00002220000212(1)(1)1()1y x y x yx y x ⨯++==+--+，---------------10分 因为点M 在W 上，所以220013y x -=，即22033y x =-， 所以tan 2MPQ ∠000220002(1)(1)(33)2y x y x x x +==-+---，因为tan QM MQP k ∠=-，所以tan tan 2MQP MPQ ∠=∠， -----------------------------12分 在MPQ ∆中，因为(0,)2MPQ π∠∈，且4MPQ π∠≠，(0,)MQP π∠∈，所以2MQP MPQ ∠=∠. 综上，得当00y ≥时，2MQP MPQ ∠=∠.所以对于轨迹W 的任意一点M ，2MQP MPQ ∠=∠成立. -----------------------------14分20.（本小题满分14分）（Ⅰ）○1解：设不动点的坐标为000(,)P x y ， 由题意，得000021x x y y ì=ïïíï=-ïî，解得0010,2x y ==，所以映射f 下不动点为01(0,)2P . ---------------------------2分 ○2结论：点(,)nnnP x y 不存在一个半径为3的收敛圆. 证明：由1(1,2)P ，得234(2,1),(4,2),(8,1)P P P --，所以14||6PP =，则点14,P P 不可能在同一个半径为3的圆内， 所以点(,)n n n P x y (n ÎN *)不存在一个半径为3的收敛圆. --------------------------5分（Ⅱ）证明：由1(2,3)P ，得271(,)22P -. 由1()n n P f P +=，得11122n n n n n n x y x x y y ++ì+ïï=+ïïíï-ï=ïïïî， ---------------------------7分 所以11111,1n n n n n n x y x x y y +++++=+-=+，由21()n n P f P ++=，得112112122n n n n n n x y x x y y ++++++ì+ïï=+ïïïíï-ï=ïïïî， 所以221311,2222n n n n x x y y ++=+=+， ---------------------------9分 即22113(3),1(1)22n n n n x x y y ++-=--=-，由1230,30x x -??，得30n x -?，同理10n y -?，所以223111,3212n n n n x y x y ++--==--，所以数列212{3},{3}(n n x x n ---?N *)都是公比为12的等比数列，首项分别为 12131,32x x -=--=，所以112121113(),3()222n n n n x x ----=--=?， 同理可得1121213112(),1()222n n n n y y ----=?=-?. ---------------------------12分 所以对任意n ÎN *，|3|1,|1|2n n x y -??，设(3,1)A ，则||n AP =所以||n AP £故所有的点*(N )n P n Î都在以(3,1)A即点(,)n n n P x y 的收敛圆. -------------------------14分。

2020北京西城高三二模数 学 2020.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（A ）{}0,2（B ）{}2,2−（C ）{}2,0,2−（D ）{}2,1,0,1,2−−2．若复数z 满足i 1i z ⋅=−+，则在复平面内z 对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．下列函数中，值域为R 且区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）3y x =−（B ）y x x =（C ）1y x −=（D ）y4．抛物线24x y =的准线方程为（A ）1x =（B ）1x =−（C ）1y =（D ）1y =−5．在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310 （D ）356．设0.23a =，3log 2b =，0.2log 3c =，则（A ）a c b >>（B ）a b c >>（C ）b c a >>（D ）b a c >>7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A ）6 （B ）4 （C ）3 （D ）28．若圆22420x y x y a +−++=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是（A ）(,1]−∞（B ）(,0]−∞（C ）[0,)+∞（D ）[5,)+∞9．若向量a 与b 不共线，则“0•<a b ”是“2−>+a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件10．设函数()(1)e x f x x =−．若关于x 的不等式()1f x ax <−有且仅有一个整数解，则正数a 的取值范围是（A ）(0,e]（B ）2(0,e ]（C ）2e 1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（D ）2e 11,2⎛⎤+ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．设平面向量(1,2)=−a ，(,2)k =b 满足⊥a b ，则=b ____．12．若双曲线2221(0)16x y a a −=>经过点(2,0)，则该双曲线渐近线的方程为____． 13．设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____．14．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确定的，那么两名获奖者是____，____．15．在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，,,E F H 分别是棱,,PB BC PD 的中点，对于平面EFH 截四棱锥P ABCD −所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面的面积等于 ②截面是一个五边形；③截面只与四棱锥P ABCD −四条侧棱中的三条相交． 其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE BF ∥，且22DE BF ==．（Ⅰ）求证：平面BCF ∥平面ADE ； （Ⅱ）求钝二面角D AE F −−的余弦值．17．（本小题满分14分）从①前n 项和2()n S n p p =+∈R ，②13n n a a +=−，③611a =且122n n n a a a ++=+这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．在数列{}n a 中，11a =，_______，其中*n ∈N ． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若1,,n m a a a 成等比数列，其中*,m n ∈N ，且1m n >>，求m 的最小值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[0.486,0.536)，[0.536,0.586)，…，[0.836,0.886)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B级”，发芽率低于0.636的种子定为“C级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C级”种子的概率；（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A级”、“B级”“C级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X元，以频率为概率，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，右焦点为F，点(,0)A a，且1AF=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点,M N，直线,MA NA分别与直线4x=交于点P，Q，求PFQ∠的大小．设函数()e cos x f x a x =+，其中a ∈R ． （Ⅰ）已知函数()f x 为偶函数，求a 的值； （Ⅱ）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（Ⅲ）若()f x 在区间[0,π]内有两个不同的零点，求a 的取值范围．21．（本小题满分14分）设N 为正整数，区间[,1]k k k I a a =+（其中k a ∈R ，1,2,,k N =）同时满足下列两个条件：①对任意[0,100]x ∈，存在k 使得k x I ∈； ②对任意{}1,2,,k N ∈，存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉（其中1,2,,1,1,,i k k N =−+）．（Ⅰ）判断(1,2,,)k a k N =能否等于1k −或12k−；（结论不需要证明）． （Ⅱ）求N 的最小值；（Ⅲ）研究N 是否存在最大值，若存在，求出N 的最大值；若不在在，说明理由．2020北京西城高三二模数学参考到案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1．C 2．A 3．B 4．D 5. A 6. B7. D8. A9. A10. D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．12．2y x =± 13．π1+ 14．乙，丁15．② ③注：第14题全部选对得5分，其他得0分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分. 三、解答题：本大题共6小题，共85分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为//DE BF ，DE ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ，所以//BF 平面ADE . ……………… 3分 同理，得//BC 平面ADE . 又因为BCBF B =，BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以平面//BCF 平面ADE . ……………… 6分 （Ⅱ）由DE ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，得,,DA DC DE 两两垂直，故分别以,,DA DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 7分则(0,0,0)D ，(0,0,2)E ，(2,2,1)F ，(2,0,0)A ， 所以(2,0,2)AE =−，(0,2,1)AF =. ……… 8分 设平面AEF 的法向量(,,)x y z =n ， 由0AE ⋅=n ，0AF ⋅=n ，得220,20,x z y z −+=⎧⎨+=⎩令1y =，得(2,1,2)=−−n . ………………11分 平面DAE 的法向量(0,1,0)=m .设钝二面角D AE F −−的平面角为θ，则 1|cos ||cos ,|||||||3θ⋅=<>==⋅m n m n m n ，所以1cos 3θ=−，即钝二面角D AE F −−的余弦值为13−. ……………… 14分17．（本小题满分14分）解：选择 ①：(Ⅰ) 当1n =时，由111S a ==，得0p =. ……………… 2分 当2n ≥时，由题意，得21(1)n S n −=−， ……………… 3分 所以121n n n a S S n −=−=−（2n ≥）. ……………… 5分 经检验，11a =符合上式，所以21()n a n n =−∈N *. ……………… 6分(Ⅱ)由1,,n m a a a 成等比数列，得21nm a a a =， ……………… 8分 即2(21)1(21)n m −=⨯−. ……………… 9分化简，得22112212()22m n n n =−+=−+， ……………… 11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5． ……………… 14分选择 ②:(Ⅰ)因为13n n a a +=−，所以13n n a a +−=． ……………… 2分 所以数列{}n a 是公差3d =的等差数列． ……………… 4分 所以1(1)32()n a a n d n n =+−=−∈N *. ……………… 6分(Ⅱ)由1,,n m a a a 成等比数列，得21nm a a a =， ……………… 8分即2(32)1(32)n m −=⨯−. ……………… 9分化简，得22223423()33m n n n =−+=−+， ……………… 11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 取到最小值6． ……………… 14分 选择 ③： (Ⅰ) 由122n n n a a a ++=+，得121n n n n a a a a +++−=−.所以数列{}n a 是等差数列． ……………… 2分又因为11a =，61511a a d =+=，所以2d =． ……………… 4分 所以1(1)21()n a a n d n n =+−=−∈N *. ……………… 6分(Ⅱ) 因为1,,n m a a a 成等比数列，所以21nm a a a =， ……………… 8分 即2(21)1(21)n m −=⨯−. ……………… 9分化简，得22112212()22m n n n =−+=−+， ……………… 11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5． ……………… 14分 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”，…………… 1分 由图表，得(0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.20.4)0.051a +++++++⨯=，解得 2.4a =. ……………… 2分 由图表，知“C 级”种子的频率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=， ………… 3分故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2. 因为事件M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件，所以事件M 的概率()10.20.8P M =−=. ……………… 5分（Ⅱ） 由题意，任取一种种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为(4.4 1.20.4)0.050.3++⨯=， 恰好是“B 级”康乃馨的概率为(4.0 6.0)0.050.5+⨯=，恰好是“C 级”的概率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=. ……………… 7分 随机变量X 的可能取值有20，25，30，35，40， 且(20)0.20.20.04P X ==⨯=， (25)0.20.50.50.20.2P X ==⨯+⨯=，(30)0.50.50.30.20.20.30.37P X ==⨯+⨯+⨯=， (35)0.30.50.50.30.3P X ==⨯+⨯=，(40)0.30.30.09P X ==⨯=. ……………… 9分 所以X 的分布列为：X20 25 30 35 40 P0.040.20.370.30.09……………… 10分 故X 的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………… 11分 （Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了. …… 14分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得1,21,c a a c ⎧=⎪⎨⎪−=⎩解得2a =，1c =， …………… 3分 从而223b a c =−=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=． … 5分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，有3(1,)2M ，3(1,)2N −，(4,3)P −，(4,3)Q ，(1,0)F ，MPAF NxyOQ则(3,3)FP =−，(3,3)FQ =，故0FP FQ ⋅=，即90PFQ ∠=． ………… 6分 当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =−，其中0k ≠． ……………… 7分 联立22(1),3412,y k x x y =−⎧⎨+=⎩ 得2222(43)84120k x k x k +−+−=． ……………… 8分 由题意，知0∆>恒成立，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k −=+． ………… 9分 直线MA 的方程为11(2)2y y x x =−−． ……………… 10分 令4x =，得1122P y y x =−，即112(4,)2y P x −． ……………… 11分 同理可得222(4,)2y Q x −． ……………… 12分 所以112(3,)2y FP x =−，222(3,)2y FQ x =−． 因为121249(2)(2)y y FP FQ x x ⋅=+−−212124(1)(1)9(2)(2)k x x x x −−=+−−2121212124[()1]92()4k x x x x x x x x −++=+−++ 22222222241284(1)434394121644343k k k k k k kk k −−+++=+−−+++22222224[(412)8(43)]9(412)164(43)k k k k k k k −−++=+−−++0=， 所以90PFQ ∠=．综上，90PFQ ∠=. ……………… 14分 20．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）函数()f x 为偶函数，所以(π)(π)f f −=，即ππe 1e 1a a −−=−， ……………… 2分 解得0a =.验证知0a =符合题意. ……………… 4分 （Ⅱ）()e sin x f x x '=−. ……………… 6分由0x >，得e 1x >，sin [1,1]x ∈−， ……………… 7分 则()e sin 0x f x x '=−>，即()f x 在(0,)+∞上为增函数.故()(0)2f x f >=，即()2f x >. ………………9 分（Ⅲ）由()e cos 0x f x a x =+=，得cos e xx a =−. 设函数cos ()e xx h x =−，[0,π]x ∈， ……………… 10分 则sin cos ()e xx x h x +'=. ……………… 11分 令()0h x '=，得3π4x =. 随着x 变化，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(0,)4上单调递增，在(,π)4上单调递减. ……………… 13分又因为(0)1h =−，π(π)e h −=，3π43π()e 42h −=，所以当3ππ4[e ,)2a −−∈时，方程cos e x x a =−在区间[0,π]内有两个不同解，且在区间3π[0,)4与3π(,π]4上各有一个解.即所求实数a 的取值范围为3ππ4[e ,)2−−. ……………… 15分 21．（本小题满分14分）解：(Ⅰ) k a 可以等于1k −，但k a 不能等于12k −. ……………… 3分 (Ⅱ) 记b a −为区间[,]a b 的长度，则区间[0,100]的长度为100，k I 的长度为1.由①，得100N ≥. ……………… 6分 又因为1[0,1]I =，2[1,2]I =，，100[99,100]I =显然满足条件①，②. 所以N 的最小值为100. ……………… 8分 (Ⅲ) N 的最大值存在，且为200. ……………… 9分 解答如下：（1）首先，证明200N ≤.由②,得12,,,N I I I 互不相同，且对于任意k ，[0,100]k I ≠∅.不妨设12n a a a <<<<. 如果20a ≤，那么对于条件②，当1k =时，不存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(2,3,,)i N =. 这与题意不符，故20a >. ……………… 10分 如果111k k a a +−+≤，那么11k k k I I I −+⊆，这与条件②中“存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(1,2,,1,1,)i k k N =−+”矛盾， 故111k k a a +−>+.所以4211a a >+>，6412a a >+>，，200198199a a >+>， 则2001100a +>.故12200[0,100]I I I ⊇.若存在201I ，这与条件②中“存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(1,2,,200)i =”矛盾， 所以200N ≤. ……………… 12分（2）给出200N =存在的例子 .令1100(1)2199k a k =−+−，其中1,2,,200k =，即12200,,,a a a 为等差数列，公差100199d =. 由1d <，知1k k I I +≠∅，则易得122001201[,]22I I I =−， 所以12200,,,I I I 满足条件①.又公差10011992d =>， 所以100(1)199k k I −∈，100(1)199i k I −∉(1,2,,1,1,)i k k N =−+.（注：100(1)199k − 为区间k I 的中点对应的数） 所以12200,,,I I I 满足条件②. 综合（1）（2）可知N 的最大值存在，且为200. ……………… 14分 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