最新数学建模椅子能在不平的地面上放稳吗

1 椅子能在不平的地面上放稳得问题的拓展.模型假设对椅子和地面应该作一些必要的假设:1.椅子的四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点。

四脚的连线呈长方形。

2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，即地面可视为数学上连续曲面。

3.对于脚的间距和椅腿的长度而言，地面时相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三个脚同时着地。

模型构成中心问题是用数学语言把椅子的四只脚同时着地的条件和结论表示出来。

首先要用变量把椅子的位置，注意到椅脚连线呈长方形。

以中心为对称点，长方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是因此可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。

在图中角线B’D’与X轴重合，椅子绕中心点O轴旋转角度θ后。

长方形A’B’C’D’转至ABCD位置。

用θ(对角线与x 轴的夹角)表示椅子位置，椅脚与地面距离为θ的函数.A,C 两脚与地面距离之和 ~ f (θ,),B,D 两脚与地面距离之和 ~ g (θ)地面为连续曲面 F (θ) , g(θ)是连续数.椅子在任意位置至少三只脚着地.对任意θ, f(θ ), g (θ )至少一个为0.已知： f (θ ) , g (θ )是连续函数 ;对任意θ， f (θ• g (θ )=0 ;且 g (0)=0， f (0) > 0.证明：存在θ0，使 f (θ0) = g (θ0) = 0.模型求解证明；设长方形的长为a ,宽为b。

将椅子旋转θ=2arctanb/a，对角线AC取代BD的位置。

由g(0)=0，f(0) > 0 ，知f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )>0.或,g（2arctanb/a )=0（1）f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )=0,桌子能放平衡。

（2）f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )>0令h(θ)= f(θ)–g(θ), 则h(0)>0和h(2arctanb/a)<0.由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在θ0 , 使h(θ0)=0, 即f(θ0) = g(θ0) .因为f(θ) • g(θ)=0, 所以f(θ0) = g(θ0) = 0.第一题一根1米长的水平弹性绳子，存在A端和B端。

1 椅子在不平的地面上能放稳吗（一）问题的分析与假设由三点构成一个平面可知，通常情况下，在不平的地面椅子是三只脚着地，如果要达到放稳的要求，必须是四只椅脚同时着地。

问题中，椅子四脚呈长方形，在以下建模过程中，为方便讨论，我们作出以下假设：（1）椅子的四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四角连线呈矩形；（2）地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面；（3）地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。

（二）模型的建立与求解问题的解决，是通过建立直角坐标系，利用矩形的对角线平分且相等，以AC所在直线作为X轴，以垂至于AC的直线作为为Y轴，以矩形的中心点为原点建立直角坐标系。

如图所示：错误!用对角线AC与X轴的夹角α表示椅子当前的位置，此时，可设椅脚与地面的距离是α的函数。

椅子的四脚与地面应有四个距离的函数，但由于矩形的对称性，对角上的两点距离之和可用一个函数表示。

设A,C两脚与地面的距离之和为，B,D两脚与地面的距离之和为。

已知地面是连续曲面，椅子可在任意位置至少三只脚着地，把已知条件转化为数学问题为已知，是连续函数，即α为任意值，·=0总成立；且。

现只需证明存在α0,使。

现给出证明方法：开始α=0，将椅子旋转角度大小为∠AOB=a，此时对角线AC和BD互换。

由，知,。

令, 则有。

因为，为连续函数，所以也为连续函数，根据连续函数的基本性质，必存在α0使=0，即，又因为·=0，所以可得，证毕。

由证明的结果看，在不平的平面上，椅子呈矩形四脚距离地面的距离能同时为零，即椅子能在不平的地面放平稳。

若椅子的四脚呈等腰梯形，同理可证这样的椅子也能在不平的地面上放稳。

问题：椅子能在不平的地面放稳吗？
模型假设对椅子和地面应该做出一些假设：
1．椅子四条腿一样长，椅子与地面接触可视为一个点，四角的连接呈长方形。

2．地面的高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可以视为数学上的连续平面。

3．对于椅子腿的间距和椅子腿的长度而言地面是相对平坦的，使椅子腿在任何地方都有三个腿同时着地。

分析：
当椅子放稳时应为椅子的四条腿同时着地（即椅子的四条腿脚与地面的的距离为零）
如图建立直角坐标系，A、B、C、D为椅子的四条腿脚与地面的接触点。

表示在椅子不稳的情况下将椅子绕0点旋转角度后椅子的位置，不同的则表示椅子不同的位置。

问题:
是否存在一使得椅子的四条腿与地面的距离为零。

与假设三:记为椅子旋转角度时A、C两点（腿）到地面的距离之和记为椅子旋转角度时B、D两点（腿）到地面的距离之和对，=0
有假设二和都是在区间上的连续函数（地面是连续变化的）
由假设三不妨设：=0时有这样改变椅子的位置就可以使椅
子四只脚同时着地。

归结出数学命题：
已知和是的连续函数。

对，=0 且
证明存在，使得
模型求解：
如图（2）为将椅子旋转（两对角线之夹角）角度后，对角线BD覆盖到原先对角线AC 的位置上，而AC 则旋转出一新的位置。

由可知
令则有
的连续性可知也是连续函数，根据连续函数的基本性质
比存在使得
即有
肯定存在一位置可以使得四条腿同时着地放稳椅子，即椅子可以在不平的地方放。

其次要把椅脚着地用数学符号表示出来。

椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同，当距离为0时，就是椅子四只脚着地，所以这个距离就是椅子位置变量θ的函数。

虽椅子有四只脚，四个距离，但由长方形是中心对称图形可用两个距离函数就行了。

A,C 两脚与地面的距离之和为()f θ
B,D 两脚与地面的距离之和为()g θ
由假设2知道地面为连续曲面所以()f θ，()g θ是连续函数。

由假设3可得对于任意的θ，()f θ，()g θ至少一个为0。

可以假设(0)f =0，(0)g 〉0，而当椅子旋转180度后，对角线AC ，BD 互换，于是()f π〉0，()g π=0。

这样，改变椅子的位置使四只脚着地，就归结为证明如下的数学问题：
已知()f θ，()g θ是θ的连续函数， 对任意的θ，()f θ*()g θ=0，而且()(0)0f g π==， (0)0,()0f g π>>。

证明存在0θ，使(0)(0)0f g θθ==。

五、模型求解
（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）
令()()()h f g θθθ=-，则(0)0h <和()0h π>。

由f 和g 的连续性知h 也是连续函数。

根据连续函数的基本性质，比存在0(0)θθπ<<使得(0)0h θ=，即(0)(0)f g θθ=。

最后因为(0)*(0)0f g θθ=，所以(0)(0)0f g θθ==。

（显示模子函数的结构进程）
在上述假设下,解决问题的症结在于选择适合的变量,把椅子四只脚同时着地暗示出来．
起首,引入适合的变量来暗示椅子地位的挪动．生涯经验告知我们,要把椅子经由过程挪动放稳,平日有拖动或迁移转变椅子两种办法,也就是数学上所说的平移与扭改变换．然而,平移椅子后问题的前提没有产生本质变更,所以用平移的办法是不克不及解决问题的．于是可测验测验将椅子当场扭转,并试图在扭转进程中找到一种椅子能放稳的情况．
留意到椅脚连线呈长方形,长方形是中间对称图形,绕它的对称中间扭转180度后,椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中间O扭转,这可以暗示椅子地位的改变.于是,扭转角度θ这一变量就暗示了椅子的地位．为此,在平面上树立直角坐标系来解决问题．
如下图所示,设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC地点的直线为x轴,对称中间O为原点,树立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针偏向扭转角度θ后,长方形ABCD转至A1B1C1D1 的地位,如许就可以用扭转角θ（0≤θ≤π）暗示出椅子绕点O扭转θ后的地位．
其次,把椅脚是否着地用数学情势暗示出来．
我们知道,当椅脚与地面的竖直距离为零时,椅脚就着地了,而当这个距离大于零时,椅脚不着地．因为椅子在不合的地位是θ的函数,是以,椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．
因为椅子有四只脚,因而椅脚与地面的竖直距离有四个,它们都是θ的函数．而由假设(3)可知,椅子在任何地位至少有三只脚同时着地,即这四个函数对于随意率性的θ,其函数值至少有三个同时为0．是以,只需引入两个距离函数即可．斟酌到长方形ABCD是中间对称图形,绕其对称中间 O沿逆时针偏向扭转180°后,长方形地位不变,但A,C和B,D对调了．是以,记。

椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了.下面用数学语言证明.一、 模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：1. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形.2.3. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面.4.5. 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.二、模型建立中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论.首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转D '角度θ这一变量来表示椅子的位置.其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数.由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A 、C 两脚与地面距离之和为()θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为()θg ，显然()θf 、()0≥θg ，由假设2知f 、g 都是连续函数，再由假设3知()θf 、()θg 至少有一个为0.当0=θ时，不妨设()()0,0>=θθf g ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：命题 已知()θf 、()θg 是θ的连续函数，对任意θ，()θf *()θg =0，且()()00,00>=f g ，则存在0θ，使()()000==θθf g .三、模型求解将椅子旋转90︒，对角线AC 和BD 互换，由()()00,00>=f g 可知()()02,02=>ππf g .令()()()θθθf g h -=，则()()00,20h h π<>，由f 、g 的连续性知h 也是连续函数，由零点定理，必存在()2000πθθ<<使()00=θh ，()()00θθf g =，由()()000g f θθ⨯=，所以()()000==θθf g .四、评 注模型巧妙在于用一元变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转90︒并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.。

椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。

下面用数学语言证明。

一、模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：1、椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形。

2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。

3、对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。

二、模型建立示四只脚同时着地的条件、结论。

首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度θ这一变量来表示椅子的位置。

其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了。

椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。

由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A 、C 两脚与地面距离之和为()θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为()θg ，显然()θf 、()0≥θg ，由假设2知f 、g 都是连续函数，再由假设3知()θf 、()θg 至少有一个为0。

当0=θ时，不妨设()()0,0>=θθf g ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题： 命题 已知()θf 、()θg 是θ的连续函数，对任意θ，()θf *()θg =0，且()()00,00>=f g ，则存在0θ，使()()000==θθf g 。

三、模型求解将椅子旋转090，对角线AC 和BD 互换，由()()00,00>=f g 可知()()02,02=>ππf g 。

令()()()θθθg f h -=，则()()02,00<>πh h ，由f 、g 的连续性知h 也是连续函数，由零点定理，必存在()2000πθθ<<使()00=θh ，()()00θθf g =，由()()0*00=θθf g ，所以()()000==θθf g 。

问题一：椅子能在不平的地面上放稳吗？假设：1、四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈长方形；2、地面高度连续变化，可视为数学上的连续面；3、地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。

长方形ABCD 可以围绕着对角线AC 、BD 的交点O 旋转，对角线AC 、BD 的夹角是1θ。

A,C 两脚与地面距离之和 ~ f (θ) B,D 两脚与地面距离之和 ~ g (-θ)。

已知： f (θ) , g (-θ)是连续函数 ;对任意θ，有f (θ) • g (-θ)=0 ;且 g (0)>0，f (0)=0.证明：存在0θ，使 f (0θ) = g (-0θ) = 0.解；将椅子顺时针旋转1θ ，则对角线BD 将旋转到AC 的位置，对角线AC 将旋转到与X 轴成180-1θ 的位置。

由g(0)>0,f(0) = 0 ，知f(1θ)>0 , g(1θ)=0。

令h(θ)= f(θ)–g(- θ), 则h(0)>0和h(1θ)<0.由 f, g 的连续性知 h 为连续函数, 据连续函数的基本性质, 在[0, 1θ]必存在0θ , 使h(0θ )=0.因为f (θ ) • g (θ)=0 , 所以f (0θ) = g (0θ) = 0.问题2 录像机计数器的用途经试验，一盘标明180分钟的录像带从头走到尾，时间用了184分，计数器读数从0000变到6061。

在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？假设：1、录像带运动速度是V 。

2、录像带厚度均匀且均为d 。

3、右盘的半径为r 。

右轮转一圈计数器就记一次数。

设计数器计数n ，时间t 。

则Vt id r ni =+∑=1)(2π。

得；V n d r dn t /])2([2πππ++=。

数学建模试题（带答案）第一章4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。

试构造模型并求解。

答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。

f 和g 都是连续函数。

椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。

不妨设0)0(,0)0(g >=f 。

当椅子旋转90°后，对角线互换，0π/2)(,0)π/2(>=g f 。

这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。

就归结为证明如下的数学命题：已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===⋅f g a g a f a 且，0)π/2(,0)0(>>g f 。

证明存在0a ，使0)()(00==a g a f证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则， 由g f 和的连续性知h 也是连续函数。

根据连续函数的基本性质，必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=•a g a f ，所以0)()(00==a g a f8第二章7.10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。

第三章5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低 ，销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出ka q kbp pa bp x r --++-=02)(当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为bakb ka q p 2220*+--=6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。

椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。

下面用数学语言证明。

一、 模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：1、 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形。

2、 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。

3、 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。

二、模型建立中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论。

首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度θ这一变量来表示椅子的位置。

其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了。

椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。

由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A 、C 两脚与地面距离之和为()θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为()θg ，显然()θf 、()0≥θg ，由假设2知f 、g 都是连续函数，再由假设3知()θf 、()θg 至少有一个为0。

当0=θ时，不妨设()()0,0>=θθf g ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：命题 已知()θf 、()θg 是θ的连续函数，对任意θ，()θf *()θg =0，且()()00,00>=f g ，则存在0θ，使()()000==θθf g 。

三、模型求解将椅子旋转090，对角线AC 和BD 互换，由()()00,00>=f g 可知()()02,02=>ππf g 。

令()()()h f g θθθ=-，则()()02,00<>πh h ，由f 、g的连续性知h 也是连续函数，由零点定理，必存在()2000πθθ<<使()00=θh ，()()00θθf g =，由()()0*00=θθf g ，所以()()000==θθf g 。

长方形椅子能否在不平的地面上放稳?一、问题提出在日常生活中有这样的现象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地，课本上已经证明了四条腿正方形连线的椅子能放平，现在建模说明长方形椅子的情况。

二、模型假设首先对椅子和地面做一些必要的假设（同正方形椅子一致）：（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形；（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即从数学的角度看，地面是连续曲面；（3）地面相对平坦，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地；三、模型构成首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。

生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。

然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的，于是可将椅子就地旋转，并在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。

椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，把长方形绕它的对称中心0旋转，这可以表示椅子位置的改变。

于是，旋转角度B这一变量就表示了椅子的位置，所以可以在平面上建立直角坐标系来解决问题。

如下图1所示，设椅脚连线为长方形ABCD ,以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心0为原点，建立平面直角坐标系。

椅子绕0点沿逆时针方向旋转角度B后，长方形ABCD 转至A I B I C I D I的位置，这样就可以用旋转角0 （0<92n）表示出椅子绕点0旋转B后的椅子的位置。

图1变量B表示椅子的位置其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。

由上述假设可知，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。

由于椅子在不同的位置是B的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是B的函数。

由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是0的函数。

实验1 椅子能在不平的地面上放稳吗“椅子能在不平的地面上放稳吗”是来源于日常生活中一件普通的事实：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。

不难看出，有二个对象：一是椅子；二是不平的地面（此后，我们把不平的地面简称为地面）。

而其中的关键：地面是不平的。

显然，“椅子往不平的地面上放”不是一个数学上的平面问题。

纵览全节，除在模型假设2把地面“视为数学上的连续曲面”外，通篇看作平面问题；用一元函数来处理的。

那么，这样能合理的构成模型，严密地求得正确的解吗？先从模型假设开始，本示例作了三个假设。

假设1是对第一个对象——椅子所作的。

它将椅脚与地面接触处视为一个点，四脚的连线呈正方形（关于这一点，后面再讨论）。

于是，椅子的四只脚在一个平面上（其实，三只脚就可以确定一个平面了，第四只脚必在此平面上），不妨称其为椅脚平面。

假设2是对第二个对象——地面的数学描述。

地面可视为数学上的连续曲面，并且没有台阶。

不妨假想有一个平面（比如水平面），我们称其为地平面，地面只是在此地平面上下起伏。

假设3是对地面的不平坦程度作进一步假设，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。

在这里值得注意的有二点：其一，“椅子在任何位置”应是指椅子放置在地面上后所处的位置，并非指空间的任何位置；其二，任意二个位置至少有三只脚同时着地时，这二个椅脚平面不能确保在同一平面上，也不能确保在地平面上。

接着来看椅子位置的改变。

文中是以椅脚连线构成的正方形绕此正方形的中心点旋转代表椅子位置的改变。

注意，这里是在这个正方形所在的平面（椅脚平面）中的旋转。

我们不妨假设初始位置时，椅子是放置在地面上的，由假设3此时至少有三只脚同时着地，我们称由这三只脚构成的平面为初始椅脚平面。

椅子绕此椅脚连线构成的正方形的中心点旋转一个角度之后，代表椅脚的正方形的四个点仍在此初始椅脚平面上，但这并不表明已确实把椅子放置在地面上了。

数学建模作业长⽅形椅⼦能否在不平的地⾯上放稳吗修订稿
数学建模作业长⽅形椅⼦能否在不平的地⾯上
放稳吗
Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
四、模型建⽴
（显⽰模型函数的构造过程）
在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅⼦四只脚同时着地表⽰出来．
⾸先，引⼊合适的变量来表⽰椅⼦位置的挪动．⽣活经验告诉我们，要把椅⼦通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅⼦两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然⽽，平移椅⼦后问题的条件没有发⽣本质变化，所以⽤平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅⼦就地旋转，并试图在旋转过程中找到⼀种椅⼦能放稳的情形．
注意到椅脚连线呈长⽅形，长⽅形是中⼼对称图形，绕它的对称中⼼旋转180度后，椅⼦仍在原地．把长⽅形绕它的对称中⼼O旋转，这可以表⽰椅⼦位置的改变。

于是，旋转⾓度θ这⼀变量就表⽰了椅⼦的位置．为此，在平⾯上建⽴直⾓坐标系来解决问题．
如下图所⽰，设椅脚连线为长⽅形ABCD，以对⾓线AC所在的直线为x 轴，对称中⼼O为原点，建⽴平⾯直⾓坐标系．椅⼦绕O点沿逆时针⽅向旋转⾓度θ后，长⽅形ABCD转⾄A1B1C1D1 的位置，这样就可以⽤旋转⾓θ（0≤θ≤π）表⽰出椅⼦绕点O旋转θ后的位置．
其次，把椅脚是否着地⽤数学形式表⽰出来．
我们知道，当椅脚与地⾯的竖直距离为零时，椅脚就着地了，⽽当这个距离⼤于零时，椅脚不着地．由于椅⼦在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地⾯的竖直距离也是θ的函数．
由于椅⼦有四只脚，因⽽椅脚与地⾯的竖直距离有四个，它们都是θ。

四、模型建立
（显示模型函数的构造过程）
在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．
首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。

于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．
如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置．
其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来．
我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．
由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0．因此，只需引入两个距离函数即可．考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了．因此，记。

椅子放平稳问题所谓数学模型是指对于一个实际问题，为了特定目的，作出必要的简化假设，根据问题的内在规律，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构 . 建立及求解数学模型的过程就是数学建模. 下面例子是一个简单的数学建模问题.问题：四条腿一样长的椅子一定能在不平的地面上放平稳吗？1.模型假设 (文字转化为数学语言)(1) 椅子四条腿一样长，椅子脚与地面的接触处视为一个点，四脚连线呈正方形；(2) 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有台阶那样的情况），即视地面为数学上的连续曲面；(3) 地面起伏不是很大，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.2.模型建立 （运用数学语言把条件和结论表现出来）设椅脚的连线为正方形 ABCD ，对角线 AC 与 x 轴重合，坐标原点 O 在椅子中心，当椅子绕 O 点旋转后，对角线 AC 变为 A'C'，A'C'与 x 轴的夹角为θ.由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记 A 、C 两脚与地面距离之和为 )(θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为 )(θg .显然0)(≥θf 、0)(≥θg 。

因此椅子和地面的距离之和可令)()()(θθθg f h +=。

由假设（2），)(x f 、)(x g 为连续函数，因此)(θh 也是连续函数；由假设（3），得：0)()(=θθg f 。

则该问题归结为：已知连续函数0)(≥θf 、0)(≥θg 且0)()(=θθg f ，至少存在一个0θ，使得：0)()(00==θθg f3.模型求解 （找出0θ）证明：不妨设,0)0(>f 则0)0(=g 令2πθ=（即旋转o 90，对角线AC 和BD 互换）。

则有0)2(,0)2(>=ππg f定义：)()()(θθθg f H -=，所以0)]2()0([)2()0(<-=ππg f H H 根据连续函数解的存在性定理，得：存在)2,0(0πθ∈使得：0)()()(000=-=θθθg f H ； 又 0)()(00=θθg f 所以0)()(00==θθg f 即 当0θθ=时，四点均在同一平面上。

长方形椅子能否在不平的地面上放稳？一、问题提出在日常生活中有这样的现象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地，课本上已经证明了四条腿正方形连线的椅子能放平，现在建模说明长方形椅子的情况。

二、模型假设首先对椅子和地面做一些必要的假设（同正方形椅子一致）：（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形；（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面；（3）地面相对平坦，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地；三、模型构成首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。

生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。

然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的，于是可将椅子就地旋转，并在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。

椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。

于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置，所以可以在平面上建立直角坐标系来解决问题。

如下图1所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系。

椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤2π）表示出椅子绕点O旋转θ后的椅子的位置。

图1 变量θ表示椅子的位置其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。

由上述假设可知，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。

由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。

由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数。

而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。