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其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来．
我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．
由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0．因此，只需引入两个距离函数即可．考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C 和B,D对换了．因此，记
A、B两脚与地面竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。
数学模型：已知f（θ）和g（θ）是θ的非负连续函数，对任意θ，f（θ）•g(θ)＝0，证明：存在θ0∈[0，π]，使得f（θ0）＝g （θ0）＝0成立。
第十届“新秀杯”校园数学建模竞赛论文题目：教室座位选择摘要本文研究了关于西南交通大学峨眉校区的两种教室听课最佳座位选择的问题。
我们根据题目中所给的示意图以及数据，联系实际，合理假设，建立模型进行求解，旨在找出最适合听课的座位。
本篇论文我们通过仔细读题，确认该题属于数学规划最优解模型。
在问题一中：选择最优座位，则需要考虑视角，仰角两个决策指标，所以我们建立直角坐标系，使用向量夹角来表示视角α和仰角β，使用了满意度函数f (β,α)来衡量不同位置同学们满意度，以得到最佳位置。
为了消除两项决策指标的量纲不同的影响，我们用变异系数法来衡量各项指标的权重大小，其中定义│β-6│和αmax -α为两个决策指标，分别求得权重并赋给两个决策变量，而满意度函数值f (β,α)函数值越小，则表示该座位越合适。
因此我们进行了满意度函数最小值点的求解，解得在普通教室和阶梯教室最小值点均在第二排处取得。
紧接着，我们又绘制了满意度函数与座位数n 的函数图像进行验证。
最后我们可以得到结论，普通教室最佳座位为第二排，阶梯教室最佳座位也为第二排。
问题二在问题一的基础上增加了一个决策指标L ，我们在问题一的决策指标基础上增加了一个新的决策变量L ，然后重新求解三个决策指标的变异系数，进行无量纲化，再分别求得权重，赋给三个决策变量，进行满意度函数g (β,α,L)最小值点的求解，我们解得：普通教室g (β,α,L)最小是在第一排取得，阶梯教室g (β,α,L)最小也是在第一排处取得。
我们又绘制了满意度函数g (β,α,L)与座位排数n 的图像进行验证，综上，我们得出普通教室的第一排，阶梯教室的第一排是最佳座位。
本文最大的特色在于：通过满意度函数，将三个量纲不同的决策函数综合起来，作为座位的属性，给出了衡量舒适度的方法。
此种数学模型能够帮助我们找到教室里或者诸如电影院之类的房间的最佳座位。
关键词：满意度函数 变异系数法 MATLAB 软件一．问题提出自高中升入大学，许多学生一下子从紧的学习进入到自由宽松的学习氛围中，也有一部分同学依旧保持着热忱的学习热情，在大学上课前抢着去占座位。
数学建模试题（带答案）第一章4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。
试构造模型并求解。
答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。
f 和g 都是连续函数。
椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。
不妨设0)0(,0)0(g >=f 。
当椅子旋转90°后，对角线互换，0π/2)(,0)π/2(>=g f 。
这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。
就归结为证明如下的数学命题：已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===⋅f g a g a f a 且，0)π/2(,0)0(>>g f 。
证明存在0a ，使0)()(00==a g a f证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则， 由g f 和的连续性知h 也是连续函数。
根据连续函数的基本性质，必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=•a g a f ，所以0)()(00==a g a f8第二章7.10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
第三章5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低 ，销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出ka q kbp pa bp x r --++-=02)(当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为bakb ka q p 2220*+--=6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。
（显示模子函数的结构进程）
在上述假设下,解决问题的症结在于选择适合的变量,把椅子四只脚同时着地暗示出来．
起首,引入适合的变量来暗示椅子地位的挪动．生涯经验告知我们,要把椅子经由过程挪动放稳,平日有拖动或迁移转变椅子两种办法,也就是数学上所说的平移与扭改变换．然而,平移椅子后问题的前提没有产生本质变更,所以用平移的办法是不克不及解决问题的．于是可测验测验将椅子当场扭转,并试图在扭转进程中找到一种椅子能放稳的情况．
留意到椅脚连线呈长方形,长方形是中间对称图形,绕它的对称中间扭转180度后,椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中间O扭转,这可以暗示椅子地位的改变.于是,扭转角度θ这一变量就暗示了椅子的地位．为此,在平面上树立直角坐标系来解决问题．
如下图所示,设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC地点的直线为x轴,对称中间O为原点,树立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针偏向扭转角度θ后,长方形ABCD转至A1B1C1D1 的地位,如许就可以用扭转角θ（0≤θ≤π）暗示出椅子绕点O扭转θ后的地位．
其次,把椅脚是否着地用数学情势暗示出来．
我们知道,当椅脚与地面的竖直距离为零时,椅脚就着地了,而当这个距离大于零时,椅脚不着地．因为椅子在不合的地位是θ的函数,是以,椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．
因为椅子有四只脚,因而椅脚与地面的竖直距离有四个,它们都是θ的函数．而由假设(3)可知,椅子在任何地位至少有三只脚同时着地,即这四个函数对于随意率性的θ,其函数值至少有三个同时为0．是以,只需引入两个距离函数即可．斟酌到长方形ABCD是中间对称图形,绕其对称中间 O沿逆时针偏向扭转180°后,长方形地位不变,但A,C和B,D对调了．是以,记。
09级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。
试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。
（15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设 ：（1）地面为连续曲面（2）长方形桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。
以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。
当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。
容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。
为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和，()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。
由假设（1），()f θ,()g θ均为θ的连续函数。
又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（∀θ）。
不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。
证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。
作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。
数学建模作业1(长方形椅子能否在不平的地
面上放稳吗)
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
四、模型建立
（显示模型函数的构造过程）
在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．
首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。
于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．
如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置．
其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来．
我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．
由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ。
一、把椅子往地面一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地放稳了，就四脚连线成长方形的情形建模并加以说明。
（15分） 解：一、模型假设：1. 椅子四只脚一样长，椅脚与地面的接触可以看作一个点，四脚连线呈长方形。
2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，地面可以看成一张光滑曲面。
3. 地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
（3分） 二、建立模型：以初始位置的中位线为坐标轴建立直角坐标系，用θ表示椅子绕中心O 旋转的角度，椅子的位置可以用θ确定：()f θ记为A 、B 两点与地面的距离之和 ()g θ记为C 、D 两点与地面的距离之和由假设3可得，()f θ、()g θ中至少有一个为0。
由假设2知()f θ、()g θ是θ的连续函数。
（3分） 问题归结为：已知()f θ和()g θ是θ的连续函数，对任意θ，()()0f g θθ=，且设()()00,00g f =>。
证明存在0θ， 使得()()000f g θθ== （3分） 三、模型求解： 令()()()h f θθθ=－g 若()()000f g =，结论成立若()()000f g 、不同时为，不妨设()()00,00g f =>，椅子旋转()180π或后，AB 与CD 互换，即()()0,0g f ππ>=，则()(0)0,0h h π><。
（3分）由f g 和的连续性知h 也是连续函数。
根据连续函数的基本性质，必存在()000θθπ<<使000()0,()()h f g θθθ==即。
最后，因为00()()0f g θθ=，所以00()()0f g θθ==。
（3分）图 5二、给出7支队参加比赛的循环比赛赛程安排，要求各参赛队的每两场比赛之间的休息场次尽可能均衡，并列出表格说明。
解：设(1,2,7)i A i =表示7支参赛队。
建模论文——最优教室坐位选择问题梁婷20031090001吕荣20031090003史蓉200310900052006年5月12日摘要:为了求出一个教室中的最佳上课位置,我们根据有效视角的相关资料，通过实地测量,得到一些主要数据,例如屏幕上边缘到地面的高度,屏幕的高度等等,然后运用几何方法构造出一个目标函数,使之成为一个多目标规划问题，最终将其转化为一个非线性规划问题,通过数学软件计算出一系列可行解,即一个教室中的最佳上课位置.关键词:有效视角仰角多目标规划最优教室坐位选择问题一问题的背景在每一栋教学楼中都会有一些普通的大教室和阶梯教室,它们都备有多媒体设备，我想每个同学应该都曾在这两种教室中上过课。
随着科学技术水平的发展,许多课程都开始使用多媒体技术上课.然而,在这两种教室里,由于教室面积较大，而教室前方的投影较小，所以坐在边缘和后排的学生和坐在中间的学生所能获得的收获往往是不一样的。
为了提升自己的听课效果，很多同学会提前来到教室，打算在上课前就占到一个好的座位，以便更好地看到投影上的内容。
大家都想在上课时能坐在一个好的位置听课，那怎么样才算一个视角好是座位呢？现在我们就来讨论一下在以多媒体技术上课时我们该选择一个怎样的座位，才能获得最好的视觉效果.二相关资料根据资料显示：有效视角是指人的有效视觉范围，一般，双眼正常有效视角大约为水平90°，垂直70°，考虑双眼余光时的视角大约为水平180°，垂直90°。
观影时的视角是同学眼睛到黑板上、下边缘视线的夹角。
经医学实验得知：10°以内是视力敏锐区，即中心视野，对图像的颜色及细节部分的分辨能力最强。
20°以内能正确识别图形等信息，称为有效视野。
20°～30°，虽然视力及色辨别能力开始降低，但对活动信息比较敏感，30°之外视力就下降很低了。
但是听课时若只考虑视角的大小而忽略了仰角、斜角也是不行的，其中仰角指观众眼睛到黑板上边缘视线与水平线的夹角。
椅子能在不平的地面上放稳吗”是空间而非平面问题强载杰“椅子能在不平的地面上放稳吗”是“数学模型（姜启源编）”的第一个示例。
此例的原型来源于日常生活中一件普通的事实：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。
不难看出，有二个对象：一是椅子；二是不平的地面（此后，我们把不平的地面简称为地面）。
而其中的关键：地面是不平的。
显然，“椅子往不平的地面上放”不是一个数学上的平面问题。
纵览全节，除在模型假设2把地面“视为数学上的连续曲面”外，通篇看作平面问题；用一元函数来处理的。
那么，这样能合理的构成模型，严密地求得正确的解吗？先从模型假设开始，本示例作了三个假设。
假设1是对第一个对象——椅子所作的。
它将椅脚与地面接触处视为一个点，四脚的连线呈正方形（关于这一点，后面再讨论）。
于是，椅子的四只脚在一个平面上（其实，三只脚就可以确定一个平面了，第四只脚必在此平面上），不妨称其为椅脚平面。
假设2是对第二个对象——地面的数学描述。
地面可视为数学上的连续曲面，并且没有台阶。
不妨假想有一个平面（比如水平面），我们称其为地平面，地面只是在此地平面上下起伏。
假设3是对地面的不平坦程度作进一步假设，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
在这里值得注意的有二点：其一，“椅子在任何位置”应是指椅子放置在地面上后所处的位置，并非指空间的任何位置；其二，任意二个位置至少有三只脚同时着地时，这二个椅脚平面不能确保在同一平面上，也不能确保在地平面上。
接着来看椅子位置的改变。
文中是以椅脚连线构成的正方形绕此正方形的中心点旋转代表椅子位置的改变。
注意，这里是在这个正方形所在的平面（椅脚平面）中的旋转。
我们不妨假设初始位置时，椅子是放置在地面上的，由假设3此时至少有三只脚同时着地，我们称由这三只脚构成的平面为初始椅脚平面。
椅子绕此椅脚连线构成的正方形的中心点旋转一个角度之后，代表椅脚的正方形的四个点仍在此初始椅脚平面上，但这并不表明已确实把椅子放置在地面上了。
教室座位选择问题摘要本文研究交大两种教室在不同的影响条件下对于最佳座位的选择问题，构建线性离散加权模型的评价体系，从仰角α、视角β和学生与老师的距离L三个不同的影响因素来研究最佳位置。
针对问题一，在不考虑老师的影响因素下，分别对普通教室和阶梯教室的最佳位置进行研究。
我们需要在获得本题相关数据的前提下设置一个数学量建立一个评价体系，通过该数学量的取值来评价座位的最佳程度。
对于此问题的评价体系，由于最佳位置是由多个因素共同决定，且每排座位都可以看作离散的个体，故采用线性离散加权模型对α和β进行客观的加权的出每排座位的满意度。
首先，我们算出每排的α角与β角的大小，然后对其进行数据的一致化处理，α为极大型数据，而β为中间型数据，我们统一将数据转化为极大型。
于是我们将β减去30°加绝对值，之后再取倒数，得极大型数据，再用极值化法对处理后的数据进行无量纲化，然后用变异系数法对视角和仰角加权，最后建立线性离散加权模型进行求解。
最终在客观赋权的基础上求出普通教室的最佳座位位于第6排，满意度为0.7191，阶梯教室的最佳座位位于第4排，满意度为0.8852.对于问题二，在考虑座位与距离老师远近产生的影响下，分别选出普通教室和阶梯教室的最佳座位。
大致步骤同问题一相似，只是多了一个评价指标，既座位与老师的距离，座位越靠前越容易集中精神，也越好。
我们把距离与老师的影响视为线性相关，从而把老师对学生的影响转化为与老师距离的大小，所以需要求出每排座位的距离，进行预处理与加权，再建立线性离散加权模型进行求解。
最终在三个因素的共同影响下确定普通教室的最佳座位位于第6排，满意度为0.5470，其中第1排与第6排的满意度比较接近，阶梯教室的最佳座位位于第四排，满意度为0.7980。
由最终结果可知，通过变异系数法所确定的β的权重明显高于其他两个评价指标，致使满意度在很大程度上取决于β的取值，而α与距离L的影响相对不大，这主要因为我们是通过客观的变化规律对指标取得相应的权重，完全忽略了主观因素对结果的影响。
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来。
椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同，当距离为0时，就是椅子四只脚着地，所以这个距离就是椅子位置变量θ的函数。
虽椅子有四只脚，四个距离，但由长方形是中心对称图形可用两个距离函数就行了。
A,C 两脚与地面的距离之和为()f θ
B,D 两脚与地面的距离之和为()g θ
由假设2知道地面为连续曲面所以()f θ，()g θ是连续函数。
由假设3可得对于任意的θ，()f θ，()g θ至少一个为0。
可以假设(0)f =0，(0)g 〉0，而当椅子旋转180度后，对角线AC ，BD 互换，于是()f π〉0，()g π=0。
这样，改变椅子的位置使四只脚着地，就归结为证明如下的数学问题：
已知()f θ，()g θ是θ的连续函数， 对任意的θ，()f θ*()g θ=0，而且()(0)0f g π==， (0)0,()0f g π>>。
证明存在0θ，使(0)(0)0f g θθ==。
五、模型求解
（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）
令()()()h f g θθθ=-，则(0)0h <和()0h π>。
由f 和g 的连续性知h 也是连续函数。
根据连续函数的基本性质，比存在0(0)θθπ<<使得(0)0h θ=，即(0)(0)f g θθ=。
最后因为(0)*(0)0f g θθ=，所以(0)(0)0f g θθ==。
