5年级下册数学(春季)-第4讲-应用题中的数量关系

第4讲巧解盈亏应用题方法和技巧分配某种物品，分配者一定，被分配的物品数一定，两种分配方案的结果会出现“盈”（余）或“亏”（不足），求分配者数和被分配物品数，这类问题叫盈亏问题。

常用方法：总差额÷每人（或每件的差额）＝人数（或件数）A级基础点睛【例1】小波从家去体育馆参加比赛，先以50米每分钟的速度走了4分钟后，发现这样走下去要迟到3分钟；后来他改用65米每分钟的速度前进，结果提前3分钟到达。

问：小波家和体育馆相距多少米？分析与解由每分钟走50米要迟到3分钟，可知体育馆进行比赛时，小波离体育馆有50×3＝150（米）；由每分钟走65米早到3分钟，可知体育馆进行比赛时，他还可以走65×3＝195（米）。

每分钟50米少150米？分钟每分钟每分钟65米多195米比较两种方案，每分钟相差65－50＝15（米），结果相差150＋195＝345（米）。

时间为345÷15＝23（分），即出发4分钟后距离准时比赛时间。

按第一种方案一共药性4＋23＋3＝30（分）才能到达体育馆，小波家与体育馆相距50×（345÷15﹢7）＝50×﹙23﹢7﹚＝1500米答：小波家和体育馆相距1500米。

做一做1 动物园为猴山的猴买来桃，这些桃如果每只猴分5个，还剩32个；如果其中10只小猴分4个，其余的猴分8个，就恰好分完。

问：猴山有猴多少只？共买来多少个桃？分析与解根据观察对应数量关系的变化寻找答案的解题思路，首先需要把条件“如果其中10只小猴分4个，其余的猴分8个，就恰好分完”转化成：如果每只猴都分8个就少（8－4）×10＝40个，然后按盈亏问题来求解。

每只猴都分8个，所缺桃子数为﹙8－4﹚×10＝40﹙个﹚猴子总数为﹙40＋32﹚÷﹙8－5﹚＝24（只）猴子总数为5×24＋32＝152﹙个）答：猴山有猴24只，共买来152个桃。

第四讲列方程解应用题【专题知识点概述】有些数量关系比较复杂的应用题，用算术方法求解比较困难。

此时，如果能恰当地假设一个未知量为x（或其它字母），并能用两种方式表示同一个量，其中至少有一种方式含有未知数x，那么就得到一个含有未知数x的等式，即方程。

利用列方程求解应用题，数量关系清晰、解法简洁，应当熟练掌握。

方程作为一种数学工具对于解题有相当大的帮助，并且在代数学中乃至整个数学中有重要的意义。

列方程与方程组解应用题关键注意以下几点：1、设未知数的主要技巧和手段：把与其他数量关系紧密的关键量设为“x”.2、用代数法来表示各个量：利用“x”表示出所有未知量或变量.3、找准等量关系，构建方程：明显的等量关系与隐含的等量关系的寻找.一、列一元一次方程解应用题方程是代数学最基本的模型，而一元一次方程是方程中最简单的种类.解一元一次方程的步骤：1、去分母2、去括号3、移项4、合并同类项5、系数化1二、二元一次方程组列方程组解应用题的主要步骤与列方程解应用题基本没有区别，由于可以多设未知数，所以通过列方程组解应用题可以有更多的选择,但解方程组的过程更需要一些技巧方法，其中最关键的步骤是消元，“消元”顾名思义减少方程组中未知数的个数，解方程组的消元方法主要有①代入消元法.②加减消元法.加减消元法：将方程组中的某个未知数的系数调整为相等，将方程组中方程的相减达到消元目的.代入消元法：利用方程组中的某条方程得到某项未知数的代数表达式，然后将它代入方程组中的其他方程达到消元目的.消元后，把方程转化成一元一次方程求解。

【重点难点解析】重点：列方程及方程组解应用题的主要步骤：1、仔细审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密的数量关系.2、设这个量为x，用含x的代数式来表示题目中的其他量.3、找到题目中的等量关系，建立方程.4、解方程.5、通过求到的关键量求得题目答案.难点：1.恰当的假设未知数2.从已知条件中寻找等量关系，列出方程或方程组并求解。

1、每份数×份数=总数总数÷每份数=份数
总数÷份数=每份数
2、1倍数×倍数=几倍数几倍数÷1倍数=倍数
几倍数÷倍数=1倍数
3、速度×时间=路程
路程÷速度=时间
路程÷时间=速度
4、单产量×面积=总产量总产量÷面积=单产量
总产量÷单产量=面积
5、单价×数量=总价
总价÷单价=数量
总价÷数量=单价6、加数+加数=和
和-—个加数=另一个加数
7、被减数-减数=差
被减数-差=减数
差+减数=被减数
8、因数×因数=积
积÷一个因数=另一个因数
9、被除数÷除数=商
被除数÷商=除数
商×除数=被除数
10、植树问题
两端都栽：棵数=间隔数+1只栽一端：棵数=间隔数两端不栽：棵数=间隔数-1
11、（甲速+乙速）×相遇时间=路程和即：速度和×相遇时间=路程和
路程和÷速度和=相遇时间
路程和÷相遇时间=速度和
12、工作效率×工作时间=工作总量
工作总量÷工作效率=工作时间
工作总量÷工作时间=工作效率
13、鸡兔同笼问题
兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷（4-2）如果假设全是兔子，可以有下面的式子：鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷（4-2）兔的只数=总头数-鸡的只数。

第4讲行程问题教学目标1、理解行程应用题的基本数量关系，正确的解决相遇、追及……等问题。

2、掌握用“转化、假设……”等方法把复杂的数量关系转化为简单的数量关系。

重点用线段图、示意图分析数量关系。

难点用类比法把行程问题转化成“和差、盈亏、工程……”等问题来解决。

教学内容【内容概述】行程问题大致分为以下三种情况：（1）相向而行：相遇时间=距离÷速度和（2）相背而行：相背距离=速度×时间（3）同向而行：追及时间=追及距离÷速度差解答这些问题时，我们还是要理清题中已知条件与所求问题之间的关系，同时采用“转化”、“假设”等方法，简化数量关系，把一个复杂的问题转化为几个简单的问题逐一进行解决。

【典型问题-1】相遇问题例1、货车和客车同时从东西两地相向而行，货车每小时行48千米，客车每小时行42千米，两车在距中点18千米处相遇。

东西两地相距多少千米？分析：货车比客车速度快，当货车过中点18千米时，客车距中点还有18千米，因此货车比客车多行18×2=36千米。

每小时货车比客车多行48－42=6千米，即可求出两车相遇的时间。

解： 18×2÷（48-42）=6（小时）（48+42）×6=540（千米）练习1、快车和慢车同时从南北两地相对开出，已知快车每小时行40千米，经过3小时后，快车已驶过中点25千米，这时慢车还相距7千米。

慢车每小时行多少千米？【典型问题-2】例2 、甲乙两地相距420千米，一辆汽车从甲地开到乙地共用了8小时，途中，有一段路在整修路面，汽车行驶这段路时每小时只能行20千米，其余时间每小时行60千米。

整修路面的一段路长多少千米？分析：假如这8小时都是每小时行60千米，就比实际行的路程多出了60×8－420=60千米。

在8小时里，只要有1小时行驶在整修路面的公路上，汽车就少行60－20=40千米，60里面有1.5个40，因此，汽车在整修路面的公路上行驶了1.5小时，路长20×1.5=30千米。

列方程解应用题找等量关系(1)以总路程为等量关系建立方程例题：两列火车同时从距离536千米的两地相向而行，4小时相遇,慢车每小时行60千米，快车每小时行多少小时？解：设快车小时行X千米数量关系：快车4小时行的+慢车4小时行的二总路程列方程：4X+60×4=536(2)以总量为等量关系建立方程例题：甲、乙两个粮仓一共有粮6800包，甲是乙的3倍，两仓各有多少包？解：设乙仓有粮X包，则甲仓有粮3X包数量关系：甲粮仓的包数+乙粮仓的包数=总共的包数列方程：X+3X=6800(3)以相差数为等量关系建立方程例题：化肥厂三月份用水420吨，四月份用水380吨，四月份比三月份节约水费60元，这两个月各付水费多少元？解：设每吨水费X元数量关系：三月份的水费一四月份的水费=节约的水费列方程：420X—380X=60(4)从事情变化的结果找等量关系。

例如：共有1428个网球，每5个装一筒，装完后还剩3个，一共装了多少筒？解：设一共装了X筒等量关系：网球总个数-装了的个数=剩下的个数(5)从关键句中找等量关系。

例如：足球上黑色的皮都是五边形的，白色的皮都是六边形的.白色皮共有20块，比黑色皮的2倍少4块.共有多少块黑色皮？解：设黑色皮有X块数量关系：黑色皮块数x2-4=白色皮块数列方程：2x-4=20(6)从常见的数量关系中找等量关系。

例如：学校买回椅子4把，桌子2张，椅子单价22元，共花198元，求桌子的单价是多少？解：设桌子的单价是X元等量关系：椅子总价+桌子的总价=一共花的钱列方程：22×4+2x=198(7)从公式中找等量关系。

例如：用120厘米长的铁丝，围成一个长方形，要使长是42厘米,宽应该是多少厘米？解：设宽应该是X厘米等量关系：(长+宽)x2=长方形周长列方程：(x+42)×2=120(8)从隐蔽条件中找等量关系。

例如：笼子里关了一些鸡和兔子，已知它们的腿加起来共有48条,并且鸡的只数和兔子的只数相同，那么鸡和兔子各有多少只？解：设鸡和兔各有X只，等量关系：鸡的腿数+兔的腿数=总腿数隐藏条件：鸡和2条腿，兔有4条腿。

和差倍问题课首小测（100分）1、0.36里面有36个（ ）分之一, 化成分数是（ ）。

2、把3米长的绳子平均分成5段，每段长（ ）米，每段占这条绳子的（ ）。

3、A ÷B ＝5（A ，B 是不为0的自然数），则A 和B 的最大公因数是（ ），最小公倍数是（）。

4、分数单位是81的所有最简真分数的和是（ ）。

5、解方程。

32＋x ＝1211x －135＝416、计算下列题，能用简便算法的要用简便算法。

)4183(43+-31838532+++7、幼儿园买来一些糖果，第一次吃了它的51，第二次比第一次少吃了这些糖果的61，两次一共吃了这些糖果的几分之几？培优导学知识点一：和倍问题和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题． 解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。

和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数。

和倍问题的数量关系式是：和÷(倍数+1)=小数小数×倍数=大数 或 和一小数=大数如果要求两个数的差，要先求1份数：l 份数×(倍数－1)=两数差解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。

例题大挑战1、根据线段图列式计算：2、小敏有14元，小花有10元，小花给小敏几元，小敏的钱数就是小花的2倍？3、小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的7倍。

爷爷比小华大多少岁？4、师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个？我爱展示1、5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。

每箱苹果和每箱葡萄各重多少千克？2、红、黄、蓝三个纸盒里共有彩票56张．其中红色纸盒里的彩票是黄色纸盒的2倍，蓝色纸盒里的彩票是红色纸盒的2倍，红、黄、蓝三个纸盒里各有多少张彩票?3、果园里有梨树和苹果树共54棵，苹果树的棵数是梨树的5倍，苹果树比梨树多多少棵？4、商店运来橘子、苹果、香蕉共53千克，橘子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉的重量是苹果的2倍多2千克，橘子重多少千克?5、实验一小、实验二小两校共有学生2346人，如果实验一小增加146人，实验二小减少88人，两校的学生人数就相等，你知道两校实际各有多少人吗?知识点二：差倍问题解答差倍问题时，先要求出与两个数的差对应的倍数差。

五年级列方程解应用题找等量关系经典练习整理:王宪纬一、译式法将题目中的关键性语句翻译成等量关系。

(一)从关键语句中寻找等量关系。

1、关键句是“求和"句型的.例：先锋水果店运来苹果和梨共720千克，其中苹果是270千克。

运来的梨有多少千克？理解：720千克由两部分组成：一部分是苹果,一部分是梨。

苹果重量＋梨重量 =720270＋x=7202、关键句是“相差关系”句型。

关键词:比一个数多几,比一个数少几,例：小张买苹果用去7．4元，比买橘子多用0．6元，买橘子用去多少元？理解：苹果与橘子相比较,多用了0.6元。

（推荐）直译法列式:从“比”字后面开始列:买橘子用去的钱数＋0。

6=买苹果用去钱数x＋0。

6=7。

4比较法列式：较大数－较小数=两数差：买苹果用去的钱－买橘子用去钱=0。

6元7。

4－x=0。

63、关键句是“倍数关系”句型。

饲养场共养2400只母鸡，母鸡只数是公鸡的2倍，饲养场养公鸡多少只？理解：公鸡是“1”倍数，母鸡是“1.5”倍数，母鸡公鸡和为2400只。

（推荐）列乘法式：（从“是”字后面开始列）公鸡只数×2=母鸡只数X ×2=2400列除法式：母鸡只数÷公鸡只数=2倍2400÷x=24、有两个关键句，既有“倍数”关系，又有“求和”或者“相差”关系。

（必考考点）（1）倍数关系,用来设未知量。

“1”倍数设为x，几倍数设为几X。

把“和差”关系作为等量关系式。

例：果园里共种240棵果树，其中桃树棵树是梨树的2倍，这两种树各有多少棵？解：设梨树为x棵,则桃树为2x棵。

桃树棵树＋梨树棵树=2402x＋x=240例：河里鸭比鹅多27只,其中鸭的只数是鹅的4倍.鹅和鸭各多少只？解：设鹅为x只，则鸭为4x只。

鹅只数＋27只=鸭只数鸭只数－鹅只数=27只x＋27=4x4x－x=27(2)如果只有和差关系的话，一般把求和关系作为等量关系式，相差关系作为两个未知量之间的关系.（把较小数设为x，则较大数为x＋a。

第4讲归一问题1 归一问题【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。

这类应用题叫做归一问题。

【数量关系】总量÷份数＝1份数量1份数量×所占份数＝所求几份的数量另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

例1 买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？解（1）买1支铅笔多少钱？（2）买16支铅笔需要多少钱？列成综合算式答：需要元。

例2 3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6 天耕地多少公顷？解（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？列成综合算式答：5台拖拉机6 天耕地公顷。

例3 5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？解（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？（3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？列成综合算式答：需要运次。

例4 甲乙两个打字员4小时共打字3600个。

现在二人同时工作，在相同时间内，甲打字2450个，乙打字2050个。

求甲乙两人每小时各打字多少个？解（1）甲乙两人每小时共打字多少个？（2）“相同时间”是几小时？（3）甲打字员每小时打字的个数：（4）乙打字员每小时打字的个数：答：甲打字员每小时打字，乙打字员每小时打字。

练习1、一只乌龟3分钟爬行12分米，照这样的速度，1小时爬行多少分米？2、织布厂要织布3600米，8小时织了960米，照这样计算，再织几小时能完成任务？3、竹器编织组，8人3天可以编织144个精制竹蓝，照这样计算，12人6天可编织多少个？4、灯泡厂某车间16人4天生产灯泡10560只，按这样速度，20人生产42900只灯泡，需要多少天？5、电扇厂4名工人5小时能安装80台电扇，现在要在12小时内安装384台，需增加几名工人？6、花果山上桃树多，6只小猴分180棵。

第4讲列方程解应用题(一)-和差倍问题精锐教育学科教师辅导教案学员编号：年级：五年级课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课程主题：列方程解应用题（一）授课时间：2017.1 学习目标1、初步掌握列方程解应用题的步骤；2、在理解题意的基础上正确寻找“和倍”、“差倍”、“和差”应用题的等量关系，初步掌握列方程解两、三步计算的简单实际问题。

教学内容1．常用“负数”来表示与正数相反的意义，如温度、海拔中均有负数出现。

2．正数表示比0大的数，而负数表示比0小的数，负得越多数越小。

3．类似于温度计,可以将正负数分布在一条直线上,这种直线叫做数轴。

我们把规定了原点、正方向、单位长度的一条直线叫做数轴。

4.数轴的画法： 1.画直线（一般画成水平的），定原点，标出原点“0”。

2.取原点向右方向为正方向，那么，向左方向为负方向，并标出箭头。

3.选适当的长度作为单位长度，（必须一样长短）并标出……，－3，－2，-3，1，2，3……各点。

（所标的数可以是正数、也可以是分数、小数、）-3 -2 -1 0 1 2 3 知识精讲内容回顾0 1 2 -2 -1原点单位长正方向【知识梳理】解决和、差、倍问题的关键是抓住“1倍量”，找到“多倍数”。

如果用方程来解决，那么一般将“1倍量”设为未知数，再根据其他条件列出方程。

【例题精讲】例1.一个三角形的底边长 4.3厘米，面积是17.2厘米。

它的高是多少厘米？例2.用一根长为28厘米的铁丝围成一个长方形，这个长方形的长是8厘米，宽是几厘米？试一试：1.一块梯形木版，面积是22.4平方分米，上底是2分米，高是 6.4分米，下底长几分米？2.一个长方形，长是宽的 1.4倍，如果宽增加2厘米，这个长方形就变成一个正方形，这个长方形的长和宽各是多少厘米？例3.果园里梨树和桃树共有365棵，桃树的棵树比梨树的2倍多5棵。

果园里梨树和桃树各有多少棵？例4.有两根电线，第二根长度是第一根的 2.5倍，如果第二根剪去12米，那么两根电线的长度就相等。

第4课时 分数与除法的关系的应用 学习内容课本第 50页例3及练习十二的相关习题。

编写人 学习目标 进一步理解分数与除法的关系,学会根据分数与除法的关系,把低级单位的名数改写成高级单位的名数和解答"求一个数是另一个数的几分之几"的应用题。

重 难 点 重点：分数与除法之间的互化。

难点：分数与除法之间的互化的实质理解。

导学流程 自主空间【独立自主学习】自读教材50页2遍，然后独立完成下面问题：1、用分数表示下面各式的商.5÷6 14÷25 12÷12 18÷352、在括号里填上适当的数或字母。

12÷35=()() ( )÷( )= 74 ( )÷( )= b a 8÷( )= ()9( )÷17=()71÷( )= ()d3、把5个饼分给9孩子吃,每个孩子分得多少个？1、 完成“做一做”。

【合作互助学习】1、分数与除法的联系与区别:联系 区别 分除2、完成练习十二的7-12题。

【展示引导学习】全班展示上面问题，其他小组轮流补充展示或置疑，组与组间、师生之间问疑答难并给予正确评价。

【评价提升学习】1、填空：710 表示把单位“1”平均分成( ）份，表示这样的（ ）份的数，4÷21表示两个数（ ），还可以表示（ ）。

2、填入适当的分数：9cm=( )( ) dm 79dm=( )( ) m 30cm=( )( ) m3、用100千克的油菜籽可以榨41千克菜籽油，2千克油菜籽可榨出多少千克菜籽油？4、小刚积攒的钱的21是3元，小兰攒的钱的51是2元，猜一猜，他们俩谁攒的钱多？学案整理：本节课我学会了：还有疑惑的问题是：教学反思。