(整理)控制工程基础第2章答案

第二章 参考答案2-1 （1） 不是 （2） 是 （3） 不是 （4） 不是 2-2 (a))()()(3)(2222t u t u dtt du RC dt t u d C R i o o o =++ (b) )()()()()()()()(2211222121222111222121t u dtt du C R C R dt t u d C C R R t u dt t du C R C R C R dt t u d C C R R i i i o o o +++=++++ (c ) )()()()()()(33221312221t u R dtt du C R R t u R R dt t du C R R R R R i i o o +=++++(d))()()()()()()()(1211222121211211222121t u dtt du C R C R dt t u d C C R R t u dt t du C R C R C R dt t u d C C R R i i i o o o +++=++++ (e))()()()()()()()(221222121211222222121t u dtt du R C C dt t u d C C R R t u dt t du C R C R C R dt t u d C C R R i i i o o o +++=++++ (f) )()()()()()()(22121221t u R dtt du L t u R R dt t du L C R R dt t u d CL R i i oo o +=++++ 2-3 (a) )]()([)()()(23213121t u R dtt du C R R t u R dt t du C R R R R i i o o +=++－(b) )()()()(4141232022213210t u R R t u R R dt t du C R R R dt t u d C C R R R R i o o o －=++ (c))]()()([)(32321t u R R dtt du C R R t u R i i o ++=－(d) )()()()()(221122212121t u dt t du C R C R dt t u d C C R R dt t du C R i i i o +++=－ (e) )()()()(2412222142t u dtt du C R C R dt t u d C C R R o o o +++ )}()(])([)({21213224223221432132t u dtt du R R C C R R C R dt t u d R R C C R R R R R R i i i +++++++=－ 2-4 (a) dt t dx f dt t dx f f dt t x d m i o o )()()()(12122=++ (b) dt t dx f k t x k k dt t dx f k k i o o )()()()(12121=++ (c) )()()()()(121t x k dt t dx f t x k k dt t dx f i i o o +=++ (d) )()()()()()(112121t x k dtt dx f t x k k dt t dx f f i i o o +=+++2-5 (a))(1)()()()(1)()()(2112212221211*********t u C C dt t du C R C R dt t u d R R t u C C dt t du C R C R C R dt t u d R R i i i o o o +++=++++ (b))()()()()()()()(2112212221211211212221t x k k dtt dx k f k f dt t x d f f t x k k dt t dx k f k f k f dt t x d f f i i i o o o +++=++++ 由(a)(b)两式可以看出两系统具有相同形式的微分方程，所以(a)和(b)是相似系统。

第2章系统的数学模型(习题答案)2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。

常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。

2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。

线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。

2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。

求出它们各自的微分方程, 图中x i表示输入位移, x o表示输出位移, 假设输出端无负载效应。

题图2.3解：①图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得整理得将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得[]于是传递函数为②图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。

引出点处取为辅助点B。

则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：消去中间变量x，可得系统微分方程对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为③图(c)：以的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：移项整理得系统微分方程对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即则系统传递函数为2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压)(t u r 和位移)(t x r 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t x c 为输出量；1,k k 和2k 为弹簧弹性系数；f 为阻尼系数。

+-+-u )tfC)+-+-f)(a )(b )(c )(d R题图2.4【解】：)(a方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰i R u u dt i C u cc r 1消去中间变量，整理得：dtdu RC u dt du RCrc c =+ 方法二：dtdu RC u dt du RCRCs RCs CsR R s U s U rc c r c =+⇒+=+=11)()()(b 由于无质量，各受力点任何时刻均满足∑=0F ，则有：cc r kx dt dxdt dx f =-)(dtdx k f x dt dx k f rc c =+⇒)(c ()r r c c r c u dtduC R u dt du C R R Cs R R Cs R CsR R CsR s U s U +=++⇒+++=+++=221212212)(1111)()( )(d 设阻尼器输入位移为a x ，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程r rc c aa c a r c r x dtdx k f x dt dx f k k k k dt dx f x x k x x k x x k +=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-22121221)()()( 结论：)(a 、)(b 互为相似系统，)(c 、)(d 互为相似系统。

第2章系统的数学模型(习题答案)2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。

常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。

2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。

线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。

2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。

求出它们各自的微分方程, 图中x i表示输入位移, x o表示输出位移, 假设输出端无负载效应。

题图2.3解：①图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得整理得将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得[]于是传递函数为②图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。

引出点处取为辅助点B。

则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：消去中间变量x，可得系统微分方程对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为③图(c)：以的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：移项整理得系统微分方程对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即则系统传递函数为2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压)(t u r 和位移)(t x r 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t x c 为输出量；1,k k 和2k 为弹簧弹性系数；f 为阻尼系数。

+-+-u )tfC)+-+-f)(a )(b )(c )(d R题图2.4【解】：)(a方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰i R u u dt i C u cc r 1消去中间变量，整理得：dtdu RC u dt du RCrc c =+方法二：dtdu RC u dt du RCRCs RCs CsR R s U s U rc c r c =+⇒+=+=11)()( 由于无质量，各受力点任何时刻均满足∑=0F ，则有：cc r kx dt dxdt dx f =-)(dtdx k f x dt dx k f rc c =+⇒()r r c c r c u dtduC R u dt du C R R Cs R R Cs R Cs R R CsR s U s U +=++⇒+++=+++=221212212)(1111)()( 设阻尼器输入位移为a x ，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程r rc c aa c a r c r x dtdx k f x dt dx f k k k k dt dx f x x k x x k x x k +=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-22121221)()()( 结论：)(a 、)(b 互为相似系统，)(c 、)(d 互为相似系统。

二到四章答案2-1试建立题2-1图所示各系统的微分方程［其中外力的),位移x(f)和电压为输入量；位移y⑺和电压顽)为输出量；k(弹性系数)，"(阻尼系数)，R(电阻)，C(电容)和m(质量)均为常数］。

////////m/(O M(a)题2-1图系统原理图解：2-l(a)取质量m为受力对象，如图，取向下为力和位移的正方向。

作用在质量块m上的力有外力f(t),重力mg,这两个力向下，为正。

有弹簧恢复力4X0+Jo］和阻尼力〃也也，这两个力向上，为负。

其中，光为at扣)=0、物体处于静平衡位置时弹簧的预伸长量。

A A dtmv v7(0哗根据牛顿第二定理£F=ma,有f(t)+mg一灯yQ)+为］—#«')=/花』，?)其中：mg=ky0代入上式得f(t)-ky(f)-r顿')=m"半)at dt整理成标准式：d2y(t)dyit)...…..m-—以—ky(t)=/(0dt dt或也可写成：H顷)~dT m at m m它是一个二阶线性定常微分方程。

2-l(b)如图，取A点为辅助质点，设该点位移为x A(t),方向如图。

再取B点也为辅助质点，则该点位移即为输出量X0,方向如图A 点力平衡方程：4M 。

一％“)] = //[竺史一¥]at atB 点力平衡方程：k 2y(t}= 〃[也也—也£1]dt dt由①和②：^[%(z)-x A (O] = k 2y(t}得：xA (t) = x(t)-^y(t)二边微分，办a ") _办⑺ *2 ©(，)dt将③代入②：①dt 、 dt整理成标准式：k 、+ k 2 dy(t) * k 2 y(Q _ dx(t)k 、 dt 〃 dt或也可写成：dy(t)工 k x k 2+ ，，仰)=灯如)dt /u(k\ + 幻) k x +k 2 dt它是一个一阶线性定常微分方程。

第二章习题解答a) b)c——II— -------------- oC、1 i\Ro J pa)1必)=i(t)RRC _ %(" + u0(if = RC—曲(f) dt dt- ■Bb)M)=冲务甜("7 G)】} Mf)=fK(t) = Kx o(t)~iR o-i = 1R +4— f/?r二R严肖"吗=心站+u o C)R\R2C ~~ U n(^)+(^1 + R Z)U O0)= R&H 亍气Q) + R/i Q) at atKi f\({\ Bf dXj dx o、dt dt > Mld) d d临也吸临⑷+W)―吋2-^^^_]]_ 纟K （曲= A?2 （X 0 一 X } = B仗严心怡£陀©+“K 州（0=曲Q”K]K 円⑴dtdt10G02町 _9_-cLPQd 一%二遢十汕 itj =也十迢2dxdt17 G(5) =+ 5S 7 + 9$+ 7(Z l)(g +2)加］州2 £早+ (刚裙2 +旳坷+朋2*1 +砒2厉)今¥t/N+ (料《2 + 粮［K \ + BjS 》+ 〃1虽 + B2B3) &三川r+ (隔 + K 岛 + K 2B { + K% 爭 + K 、K 血 di二严 3dtJ + c@+Q )M +卯G(»E + 2捉£+1)? (£+3)3 辭 +25^8占(& +X| X 3"）一3 一场鲁办J dt j83 GM )={$+□)($+帶E _a 1 c —b= ------------------ H ------(a-b)2 s + a a-b (5+6)2 (m —方尸 £+方8&⑷—用◎十2）（2十2f 十4）g(t) = £"[G<s)] = 1-2e~^ 十 e~x casVif, i H 0的4[G （帕和一遇型za~c 1g(z)=£-1[G(i)] = -_小+ -_ +- (d -by L@ ~^r a7 G(s) = ——5(x¥ + l)2 (-S + 3)_ 2 1 J 113 1 ~ 3 S 12 5 + 32(£ + l)2 45 + 1 <31 \—+ —/ e 就2丿2 ig ⑴=£T[G(9]=T 年号e _3r- 丸r>0■< />o 54 1i-2^—-F s £+ 2 s 1 +4\2士十（卄1乎+?1 1~2~ 13（恥吊P 血再1 s<D 2 S 2十血'= £+2 + ———{盼如2)g (t )= A _1[Gf5)] = 4s (r )+ 28(0+ 2k-&亠，r>oat242 x\t) - x(f) = 4sin/ + 5cos2r s x(0) = 1, x*(0) =-2h{7) + 2^(O+5X(0 = 3, X (0) = 0. /(0) = 01V2 2-肮(0)-玖 0) - X(f) = 4—^ + 5—^Z + l E+4 ^-2+4—!—+ 5^—M-U 2+4 s^i(s-2)(s 7 +1)(v 2 十4)十4(2 十4)+5$(W +1)-lXW+l)(/+4)X0)=丄--2 --誉亠l s —1K ?2 +1 Q+4x(f)=L ，+e r -2sin/—cos2/» t>0 3 Q X(s)+2sX(s) + 5X(s)=- s217OV+l)(A+2)0.6--0.6 1S'^ s ($ + 1尸+4M/)=(L6—OWL cos1^0.3e_f sin2c t>0*叫+2$+疔sI M +1= 0,6--0.6—二——03 _s (s+1)' 4 4 G+l”+4fl^+(l+b l^)(一+H Ish (I十 b 賀)(1—fl +^1嘗) ——® O S 丄A)ao3涉十朋+ KJ益(的-§誠⑻=(月弭+ KjXf ($)⑷=(伽+ KjX(R(恥+KXd”K』(s + K^)(B^ s + KJ + K\ R、s6b叱（4予（f）-怎（0-禹（0 .农⑴二恥（f）I馆（0二心比⑴-艾⑴］!如皆加）=陀）xz=乔二耳⑶-%⑸-压戈㈤F K^）=K{X O（S）同=忑［兀（町-*（舟］_ffl$Cl 2-0血⑴1Bs念(f)Rib)o-^附(f)o—1CG021mv2血(f)IId)讹f)-o/脚（f）二浙go-尤;（f）］办⑴二忌⑴-入⑹ 齐2（彳）=屍竝⑴儿⑴二丄［為㈤+耳㈤ms＞耳（刀=銅心）-儿（创&©）=司尤⑷—血⑴］伦㈤=竝A31.心)—*2-10Cl-HI—R\ &RiC,必)o—b)卞C：就f)-------------- od)>□—+= i 护!z jy/7（^f+ b）J —+ 切”=（l）°n31~~|__H[—o―[J G）1?衍i"+ （T + ^3^）（1+訓。

第一章习题解笞U]>U2 U\ U2第二章习题解答2-1a) b)d)f)L^f| 忙d)f\ — fl =^2X O严(f)=$(M+E ⑴虑 如(f) =iQ)RRC^-u o (t)^u o (t) = RC^-u^t) at at fs (r)=B 低[xi (f) -曲(幼 j/B (t)=fK (t) = KXo(t) B dB d 『八10602斤不％()+%©二斤击可()占dR^c —% (0+ (*i + 心)％ ⑴=邛应 ~u i (0+ R 2u t (0 atati =i R +，C u o =IR?：R R 严冃3宙 % =gR\ +u oa)=K ］（旳一兀）+」:dx o ](J?l + J?2)C —«c (!)+ %("■ R Q C — Wj(O + tti (Oat at(K[ + K2)B — x o (t)+ K\K2X o (t)= K\R 〒曲(f)+ 琦心再(f)dt at10602a) b) c) Q © f)U Q —1/?2 + — j icit— Z/?| + iR-f H —J idte)dxK\% K i (兀 _ %) = K 》(兀)—x)=号二dtoB 2+ （®K° ++ B'B? + 场*3 + 水2〃?）& 2+ （K }B 2+K }B 3 + 心汝 + KM 巴2 + K }K 2X 2 dt3J S + 2用 + 8S-丘（$ + 2）（$戈+2$十4）广、■炉+ 5,2+9用+7E （$+恥 + 2）乡一rn\fU2K 2rdx { dx 2< dt dt ；/（O™-坷罕~_叭 dtdxj … 一 —- - K?x^ = m dtdx l dx 2dt dt护d 2x 2 2~d^ k,用典2+ （的+创坷+用2创+加2*3）；?7皿乔对）13173 G($)= --------------- —(£+。

第二章2-1 解：（1）: )](12[)](1[)](5[)]()4[()(t L t t L t L t t L S F ⋅+⋅++=δδ SS S S 215215022++=+++= （2）: )25(253)(2++=s s S F （3）: 11)(2++=-s e S F sπ（4）: )}(1)6(1)]6(2cos 4{[)(5t e t t L S F t ⋅+-⋅-=-ππ5144512426226+++=+++=--S s Se S s Se ss ππ（5）: Se S e S F ss 226600)(--+=+++= （6）: )]4(1)90453cos(6[)(π-⋅--=t t L S F9636)]4(1)4(3cos 6[24224+=+=-⋅-=--S SeS Se t t L S Sππππ（7）: )](18sin 25.0)(18cos [)(66t t e t t e L S F t t ⋅+⋅=--1001288)6(28)6(622222+++=++++++=S S S S S S （8）: 99)20(52022)(262++++++=-s es s S F s π2-2解：（1）: )(1)2()3221()(321t e e S S L t f t t ⋅+-=+++-=--- （2）: )(12sin 21)(t t t f ⋅=（3）: )(1)2sin 212(cos )(t t t e t f t ⋅+=（4）: )1(1)1()(11-⋅=-=---t e S e L t f t s（5）: )(1)22()(2t e e te t f t t t ⋅-+-=---（6）: )(1215sin 15158))215()21(21515158()(2221t t e S L t f t⋅=++⋅=-- （7）: )(1)3sin 313(cos )(t t t t f ⋅+=2-3 解：（1） 对原方程取拉氏变换，得：SS X x S SX x Sx S X S 1)(8)]0()([6)0()0()(2=+-+--⋅∙ 将初始条件代入，得：61)()86(1)(86)(6)(22++=++=+-+-S SS X S S SS X S SX S S X S48724781)86(16)(22+-++=++++=S S S S S S S S S X 取拉氏反变换，得：t t e e t x 42874781)(---+=（2） 当t=0时，将初始条件50)0(=∙x 代入方程，得：50+100x(0)＝300 则x(0)=2.5对原方程取拉氏变换，得： sx(s)-x(0)+100x(s)=300/s 将x(0)=2.5代入，得：S300100X(S)2.5-SX(S)=+1005.03100)S(S 3002.5S X(S)+-=++=s s取拉氏反变换，得：-100t 0.5e -3x(t)=2-4解：该曲线表示的函数为：)0002.0(16)(-⋅=t t u则其拉氏变换为：se s U s 0002.06)(-=2-5 解：)0()0()(3)(2)(2)(30100==+=+i i x y t x dtt dx t y dt t dy 将上式拉氏变换，得：2332)()()()32()()23()(3)(2)(2)(30000++=+=++=+S S S X S Y S X S S Y S S X S SX S Y S SY i i i i23-S 32-S Z p ==∴零点极点又当 时)(1)(t t x i =S S X i 1)(=SS S S X S X S Y S Y i i 12332)()()()(00⋅++=⋅= 3212332)()0(2312332)()(limlim lim lim 000000=⋅++⋅=⋅=∴=⋅++⋅=⋅=∞∴∞→∞→→→S S S S S Y S y S S S S S Y S y s s s s2-6 解：（a ）传递函数：132123233321123233321232333211111H G G G H G G H G G G G H H G G H G G G G H G G H G G G G R C+++=⋅++⋅+++⋅=（b ）传递函数：（ｃ）传递函数：（ｄ）传递函数：32121212211211H G G H H G G H G H G G G R C++++=2-7 解：通过方块图的变换，系统可等价为下图：2-8 解：2-9解：（a）（b）（c）（d）（e）（f）(g)2-10解：（a）（b）（c）2-11解：（a）（b）（c）（d）2-12解：（a）（b）2-13 解：（a）（b）2-14 解：2-15 解：（1（2）2-16解：2-17解：2-18解：以题可画出方块图如下：2-19 解：2-20 解：2-21 解：（1）（2、3、4）缺第三章3-1解：3-23-33-4解：3-53-6解：3-7 解：3-8 解：3-9 解：3-103-113-12 解：3-13 解：3-14解：3-153-163-17 解：3-183-193-203-21 解：3-223-23 解：3-243-25 解：3-26、3-27 缺3-28解：3-29、3-30 缺3-31解：3-32、3-33缺第四章4-1解：4-3 解：4-4 解：4-6解：（a）(b)(c)(d)(e)4-74-8、4-9 缺4-10解：4-11解：4-12解：4-16解：4-17 缺4-18解：4-19、4-20、4-21 缺第五章5-15-2、5-3、5-4 缺5-55-6 缺5-75-85-115-125-13 缺5-145-15 缺5-16解：5-17 缺5-18 5-19解：5-20 5-25解：5-26 缺附题：设单位反馈的开环传递函数为)10)(2()5.0(10)(2+++=S S S S K S G试用乃氏判据确定该系统在K=1和K=10时的稳定性。

第一章3解：1）工作原理：电压u2反映大门的实际位置，电压u1由开（关）门开关的指令状态决定，两电压之差△ u= u1 —u2驱动伺服电动机，进而通过传动装置控制大门的开启。

当大门在打开位置，u2= u上：如合上开门开关，u1 = u 上, △ u = 0,大门不动作；如合上关门开关，u1= u下，△ u<0,大门逐渐关闭，直至完全关闭，使△ u= 0。

当大门在关闭位置，u2 二u 下：如合上开门开关，u1 = u上, △ u>0,大门执行开门指令，直至完全打开，使△ u = 0; 如合上关门开关，u1 = u下，△ u= 0,大门不动作。

2）控制系统方框图解：1）控制系统方框图a）系统方a ）水箱是控制对象，水箱的水位是被控量，水位的给定值 h '由浮球顶杆的长度给定，杠 杆平衡时，进水阀位于某一开度，水位保持在给定值。

当有扰动（水的使用流出量和给水 压力的波动）时，水位发生降低（升高），浮球位置也随着降低（升高），通过杠杆机构是 进水阀的开度增大（减小），进入水箱的水流量增加（减小），水位升高（降低），浮球也随 之升高（降低），进水阀开度增大（减小）量减小，直至达到新的水位平衡。

此为连续控制 系统。

b ）水箱是控制对象，水箱的水位是被控量，水位的给定值 h '由浮球拉杆的长度给定。

杠 杆平衡时，进水阀位于某一开度，水位保持在给定值。

当有扰动（水的使用流出量和给水 压力的波动）时，水位发生降低（升高），浮球位置也随着降低（升高），到一定程度后， 在浮球拉杆的带动下，电磁阀开关被闭合（断开），进水阀门完全打开（关闭），开始进水（断水），水位升高（降低），浮球也随之升高（降低），直至达到给定的水位高度。

随后水 位进一步发生升高（降低），到一定程度后，电磁阀又发生一次打开（闭合）。

此系统是离 散控制系统。

2-1 解：（c ）确定输入输出变量（u1，u2）得到：CR 2dU 1（1 匹）u 2 =CR 2dU 1-R2u 1 dt R 1 dt R一阶微分方程（e ）确定输入输出变量（u1，u2）消去i 得到：（& R 埒汁2牛亡 一阶微分方程第二章2- 2解：1）确定输入、输出变量f （t ） 、X 2□2）工作原理：b ）系统方框图干f(t)-fK1⑴-fB 1⑴-fBMF^d^- - 1 -(s 2) (s 1) (s 1)2M(s)=0, 4) D(s)=0,得到极点：一1, M(s)=0, 得到零点：2) 对各元件列微分方程:2f f f _ d X 2(t)fB3 ~'T K2-'T B 2= m 2K1B3 dt 2=K 1X 1； f B1 = B 1 -- -dt B d (x 1 - x2) =B 3 甬；fK2 = K 2X23)4) 5) 拉氏变换.F(s)—KX(s)—B 1SX1G)—B3$(X 1(s) —X 2(s)] = gs 2X 1(s) 叉'B 3S[X 1(s) -X 2(s)] -K 2X2G)-B 2SX2G ) = m 2S 2X 2(s) 消去中间变量： 拉氏反变换：mi|m 2 d 4X d 3X d 2X$ (B 1m 2 七2口1 B s mh B s mJ $(B 1B 3 B 1B 2 B s B ?心口2 ^心)/dt dt dt 2_3(K 1B 2 K 1B 3 K 2B 1 K 2B 3)等 K 1g 弋詈解:(2) (4)1 1 11 1 1 — 29 s 49 s 13 (s 1)(5)(6)-0.25 2s 0.5 2 22 2.5 s2- 5解：1)D(s)=0, M(s)=0,2) D(s)=0, M(s)=0,得到极点：0,0,-2,-5得到零点：一 1 , ' 得到极点：一 2, — 1, —2 得到零点：0 , 0 , — 1+ □0 +oci3) D(s)=O, 得到极点：0,得到零点：一2,2- 8解：1) a )建立微分方程b) 拉氏变换 c) 画单元框图(略) d) 画系统框图mx o (t) = f k (t) f Bl (t) - f B2(t) f k (t)二 k(X i (t) —x °(t))ms 2X o (s) = F k (s) F BI (S ) -F B 2(S )b) 拉氏变换：F k (s )=k (X i (s )-X o (s))F Bi (s)=B i S (X j (s)—X o (s))F B 2(S )工 B 2S X O (S )c) 绘制单元方框图(略)4)绘制系统框图Fi ( s )2)a)建立微分方程:f B1(t) B id (N (t)-")) dtf B2 (t)=B 2 dX o (t) dt由于扰动产生的输出为:要消除扰动对输出的影响，必须使 X o2(S )=0 得到：QK 2K 3G o (s) -K 3K 4S =0第三章3- 1解：1)法一：一阶惯性环节的调整时间为 4T ,输出达稳态值的98%故: 4T = 1min ,得到：T = 15s法二：求出一阶惯性环节的单位阶跃时间响应，代入，求出。

控制工程基础习题解答第二章2-1．试求下列函数的拉氏变换，假定当t<0时，f(t)=0。

(1).()()t t f 3cos 15-= 解：()[]()[]9553cos 152+-=-=s ss t L t f L (2). ()t et f t10cos 5.0-=解：()[][]()1005.05.010cos 25.0+++==-s s t eL t f L t(3). ()⎪⎭⎫⎝⎛+=35sin πt t f 解：()[]()252355cos 235sin 2135sin 2++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=s st t L t L t f L π 2-2．试求下列函数的拉氏反变换。

(1).()()11+=s s s F解：()[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=---11121111s k s k L s s L s F L()10111==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=s s s s k()()111112-=-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=s s s s k ()[]te s s L s F L ----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=111111 (2).()()()321+++=s s s s F解：()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=---3232121111s k s k L s s s L s F L()()()1223211-=-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=s s s s s k ()()()2333212=-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=s s s s s k ()[]tt e e s s L s F L 231123221-----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-= (3).()()()2222522+++++=s s s s s s F解：()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=---22222225232112211s s k s k s k L s s s s s L s F L()()()22222225221-=-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=s s s s s s s k ()()()3331331222222513223222232==-=---=-+---=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=--=+k k jjjjk k k j s s s s s s s s j s k s k ()[]()()t e e s s s L s s s s L s F L tt cos 32111322223322221211-----+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++-=2-3．用拉氏变换法解下列微分方程（1）()()()()t t x dt t dx dtt x d 18622=++，其中()()00,10===t dt t dx x 解：对方程两边求拉氏变换，得：()()()()()()()()()()()()()()()()()[]()0,8747818747814242168616181618060042132132122222≥-+==-===++++=++++=++++==+-+-=+-+=-----t e e s X L t x k k k s k s k s k s s s s s s s s s s s X ss X s sX s s X s ss X x s sX t dt t dx sx s X s t t（2）()()210=+t x dtt dx ，其中()00=x 解：对方程两边求拉氏变换，得：()()()()()()()()()[]()0,515151511010221021001012121≥-==-==++=+==+=+---t e s X L t x k k s k s k s s s X s s X s sX ss X x s sX t（3）()()300100=+t x dtt dx ，其中()500=x 解：对方程两边求拉氏变换，得：()()()()()()()()()[]()0,4734731001003005030010050300100010012121≥+====++=++==+-=+---t e s X L t x k k s k s k s s s s X ss X s sX s s X x s sX t2-4．某系统微分方程为()()()()t x dtt dx t y dt t dy i i 322300+=+，已知()()0000==--i x y ，其极点和零点各是多少？解：对方程两边求拉氏变换，得：()()()()()()()()()()()233223323022030000-=-=++==+-=+-z p i i i i s s s s s X s Y s G s X x s sX s Y y s sY2-5．试求图2-25所示无源网络传递函数。

第二章2.1求下列函数的拉氏变换 （1）s s s s F 232)(23++=（2）4310)(2+-=s s s F （3）1)(!)(+-=n a s n s F （4）36)2(6)(2++=s s F（5） 22222)()(a s a s s F +-= （6）)14(21)(2s s s s F ++= （7）521)(+-=s s F 2.2 （1）由终值定理：10)(lim )(lim )(0===∞→∞→s t s sF t f f （2）11010)1(10)(+-=+=s s s s s F 由拉斯反变换：t e s F L t f ---==1010)]([)(1 所以 10)(lim =∞→t f t2.3（1）0)2()(lim )(lim )0(2=+===∞→→s ss sF t f f s t )0()0()()()](['2''0''f sf s F s dt e t f t f L st --==-+∞⎰)0()0()(lim )(lim'2''0f sf s F s dt e t f s st s --=+∞→-+∞+∞→⎰1)2()(lim )0(222'=+==+∞→s s s F s f s (2)2)2(1)(+=s s F , t te s F L t f 21)]([)(--==∴ ,0)0(2)(22'=-=--f te et f tt又，1)0('=∴f2.4解：dt e t f e t f L s F st s--⎰-==22)(11)]([)(⎰⎰------+-=2121021111dt e e dt e e sts sts)11(11)11(11222s s s s se s e s e e s s e -------+--=22)1(111s s e s e ---∙-=2.5求下列函数的拉氏反变换（1）t t f 2sin 21)(= （2）t e t t f -=361)(（3）t t e e t f 32321)(+-=- （4）t t e e t f 235352)(+=-（5）t e t e t f t t 3sin 313cos 2)(22--+= （6）t t t e e te t f 222)(----+-=2.6（1）0)()()(22=--dtt y d m t ky t f（2）0)()()(222121=-+-dt t y d m t y k k k k t f2.7（1）14312)(23++++=s s s s s G（2）210)(22++=-s s e s G s2.8 解 水的流量Q1由调节控制阀的开度控制，流出量Q2则根据需要可通过负载阀来改变，被调量H 反映了。

第2章系统的数学模型(习题答案)2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。

常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。

2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。

线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。

2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。

求出它们各自的微分方程, 图中x i表示输入位移, x o表示输出位移, 假设输出端无负载效应。

题图2.3解：①图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得整理得将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得[]于是传递函数为②图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。

引出点处取为辅助点B。

则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：消去中间变量x，可得系统微分方程对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为③图(c)：以的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：移项整理得系统微分方程对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即则系统传递函数为2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压)(t u r 和位移)(t x r 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t x c 为输出量；1,k k 和2k 为弹簧弹性系数；f 为阻尼系数。

+-+-C)(t u r )(t u c )(t r )(t x c f1k 2k CR)(t u r )(u c +-+-f)(t r )(t x c )(a )(b )(c )(d R 2R题图2.4【解】：)(a方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰i R u u dt i C u cc r 1消去中间变量，整理得：dtdu RC u dt du RCrc c =+方法二：dtdu RC u dt du RCRCs RCs CsR R s U s U rc c r c =+⇒+=+=11)()( 由于无质量，各受力点任何时刻均满足∑=0F ，则有：cc r kx dt dxdt dx f =-)(dtdx k f x dt dx k f rc c =+⇒()r r c c r c u dtduC R u dt du C R R Cs R R Cs R Cs R R CsR s U s U +=++⇒+++=+++=221212212)(1111)()( 设阻尼器输入位移为a x ，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程r rc c aa c a r c r x dtdx k f x dt dx f k k k k dt dx f x x k x x k x x k +=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-22121221)()()( 结论：)(a 、)(b 互为相似系统，)(c 、)(d 互为相似系统。