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三角形复习讲义(补课用)

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三角形复习讲义(补课用)一、三角形相关概念1 .三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形。

要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接.2 .三角形的表示：通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△，其中线段、、是三角形的三条边，/ A、/ B、/ C分别表示三角形的三个内角。

3 .三角形中的三种重要线段：三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段.(1)三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.①三角形的角平分线是一条线段，可以度量。

而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线.②三角形有三条角平分线且相交于一点。

这一点一定在三角形的内部.③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画。

(2)三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.注意:①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点.②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可.(3 )三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.①三角形的三条高是线段②锐角三角形三条高线的交点在三角形内部，直角三角形的三条高线的交点在直角顶点上，钝角三角形三条高线的交点在三角形外部。

③画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高.(二)三角形三边关系定理：①三角形两边之和大于第三边。

故同时满足△三边长a、b、c的不等式有：>c, >a, >b.②三角形两边之差小于第三边。

故同时满足△三边长a、b、c的不等式有：a>, b>, c>.注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可(三)三角形的稳定性:三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性. 例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理.三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种: （四）三角形的内角：结论1 :三角形的内角和为180°.表示：在△中，/// 180°（1）构造平角①可过A点作// （如图）②可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图）（2）构造邻补角，可延长任一边得邻补角（如图）构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图）结论2:在直角三角形中，两个锐角互余.表示：如图，在直角三角形中，/ 90 °,那么// 90° （因为ZZZ 180°)注意:①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角女口：在△中，/ 180°-（ZZ B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角.如：△中，已知/ A:/ B:/ 2: 3: 4,求/ A、/ B、 / C的度数.（五）三角形的外角：1 .定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.如图，/为△的一个外角，/也是△的一个外角，这两个角为对顶角，大小相等.2 .性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角如图中，/// B , / >/ A , / >/ B.③三角形的一个外角与之相邻的内角互补3 .外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等）, 可见一个三角形共有六个外角.（六）多边形1. 多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。

2. 凸多边形的定义：画出多边形的任何一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。

如图：3. 在平面内，各个角都相等，各条边也都相等的多边形叫做正多边形① n边形的内角和为（n —2）x 180°②多边形的外角和为360°③多边形的对角线凹3）条对角线2（七）多边形的镶嵌1. 镶嵌：用一些形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖，这就是平面图形的镶嵌.注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠2. 用一种正多边形镶嵌：①•用边长相同的正三角形可以镶嵌②.用边长相同的正方形可以镶嵌③用边长相同的正六边形可以镶嵌④形状、大小完全相同的任意三角形可以镶嵌⑤形状、大小完全相同的任意四边形可以镶嵌⑥用边长相同的正五边形、正八边形不能镶嵌3. 镶嵌平面图案需要的什么条件：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360度。

即：要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°。

要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360 °，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是360°而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360 °，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌.4. 多种正多边形的平面镶嵌几种情况：①正三角形+正方形可以镶嵌（34、2□）②正三角形+正六边形可以镶嵌（24、2正六方边形或44、1 正六方边形）③正八变形+正方形可以镶嵌（2个正八变形与1个正方形）④正三角形+正12边形可以镶嵌（2个正12变形与1个正三角形）⑤正五变形+正三角形+正方形可以镶嵌（2正五变形、1个正三角形和1个正方形）⑥正六边形+正方形+正三角形可以镶嵌（1个正六边形、2个正方形和1个正三角形）（见课件）例:典型例题分析：例1..对下面每个三角形，过顶点A画出中线，角平分线和⑵（1例2.下列说法错误的是（）.A .三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B .三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C .三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D .三角形的三条高可能相交于外部一点例3.下列四个图形中，线段是△的高的图形是 （）变式题1 :如图3,在△中，点D 在上，且，是边上的高，若 沿所在直线折叠，点 C 恰好落在点D 处，则/ B 等于（）A. 25°B. 30°C. 45°D. 60°变式题2:如图4,已知，那么/ 1和/2之间的关系是 （ ）AB C D2题图C. / 1+3/ 2=180°D. 3 / 1- / 2=180°变式题1 ：如图6,丄BC ，则边上的中线为,SABD 。

2例6.如图1,在△中，/ 600, / 450,是△的一条角平分线, 则/ 0，/变式题1:如图2,在△中，是中线，是角平分线，是高，则B. 2/ 1+Z 2=180例4.如图7在△中，已知点D, E , F 分别为边， ,的中点,且 S ABC = 4cm 2,A . 2 cm 2B. 例5.如图7,则S阴影等于（）C. 3 丄 cm 2 2 的中线。

1cm 2D. 2.52cm那么, 是6题图根据图形填空：⑴=1:⑵/=1⑶Z=9002「E2 \B F D C2题变式题2:如图在△中，/A相等的角是（）A ZB B、/C 、/D 、/900,是边上的高。

那么图中与变式题3:在△中，的度数（）1 Z1厶是角平分线'求/ A及‘D变式题4:已知，如图，//,平分/，平分/,求/ E 的度例7.关于三角形的边的叙述正确的是 （）A.三边互不相等 B 、至少有两边相等C 、任意两边之和一定大于第三边D 、最多有两边相等例8.已知△中，/ 200,// C,那么三角形△是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、正三角形 例9.下面说法正确的是个数有（）①如果三角形三个内角的比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形；②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内 角，则这么三角形是直角三角形； ③如果一个三角形的三条高的 交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形； ④ 如果// 1 / C,那么△是直角三角形；⑤若三角形的一个内2角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；⑥在 中，若变式题5:如图，在△中， 求 SABE .SABC =4cm 2 ,/ A+ZZ C,则此三角形是直角三角形。

A 3个B 、4个C 、5个D 、6个例10. 一个多边形中，它的内角最多可以有个锐角例11.如图是一副三角尺拼成图案，AB C例12.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A. 3, 4, 8B. 8, 7, 15C. 13, 12, 20D. 5, 5, 11变式题1.用7根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形，能摆成的不同的三角形的个数为解析：设三角形的边长分别为x、y、z.贝y X y z 7 其中X、y、Z都是正整数，那么三边长的可能情况有1,1,5;124;1,3,3;2,2,3 再根据三角形的两边之和大于第三边进行验证，可知只有1, 3, 3; 2, 2, 3符合要求.(1)6m因心⑶（4）'变式题2.下列长度的三条线段能组成三角形的是 （）A 3 , 4, 8B 、5 , 6, 11C 、1 , 2, 3D 、5 , 6, 10变式题3.等腰三角形两边长分别为 3,7 ,则它的周长为（） A 、13 B 、17 C 、13 或 17 D、不能确定变式题5. △中，如果8，5,那么的取值范围是.变式题6.长为11, 8, 6, 4的四根木条，选其中三根组成 三角形有种选法，它们分别是变式题7. 一个等腰三角形的两条边长分别为 8 cm 和5 cm, 那么它的周长为变式题8..已知是三角形的三边长，化简.例13.不是利用三角形稳定性的是（） A.自行车的三角形车架B 、三角形房架C 、照相机的三角架D 、矩形门框的斜拉条变式题1:下列图形中具有稳定性的有（） A 、正方形 B 、长方形 C 、梯形 D 、直角三角形变式题2:下列图形中具有稳定性有（）A 、2个B、3个C、4个D、5个变式题3:如图，一扇窗户打开后用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（）A 、三角形的稳定性B 、两点确定一条直线C 、两点之间线段最短D 、垂线段最短变式题4:.桥梁拉杆，电视塔底座，都是三角形结构，这是利用三角形的性；例14.已知△的三个内角的度数之比/ A:/ B:/ 1: 3: 5, 则/ 0，/ 0变式题1如图4,/ 1 + / 2+/3+/ 4等于多少度；图4变式题2.如图，已知点P在△内任一点，试说明/ A与/ P的大小关系例15.已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是三角形变式题1.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为（）A. 30 °B. 60 °C. 90 °D. 120 °变式题2.已知三角形的三个外角的度数比为 2 : 3 : 4,则它的最大内角的度数（）.A . 90 ° B. 110 C. 100 ° D. 120变式题3.如图，下列说法错误的是（）A、/ B > /B、// =180 ° -Z AC 、ZZ <180°变式题3.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（）.A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、无法确定变式题4.如图6,若/ 10°, Z 45°, / 38°,则/等于（）A. 120 °B. 115°C. 110 °D. 105 °变式题5.如图7,/ 1.变式题6.如图8,则/ 1, / 2, / 3,变式题7.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为.变式题8.等腰三角形的底边8 ,且—2，则腰长为（）A.10 或6B.10C.6D.8 或6例16.如图10,在△中是边上一点，/仁/ 2, / 3=/4, / 63° ,求/的度数.变式题1 ：如图ABC 的平分线和△的外角 ACE 的平分线交于占 4八、、变式题3:如图，已知/ 120° ,则//////( 2400)例17. 一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边()形是 D, BDC 30求A 的度数变式题/ 3=/ 4,,yA 、三角形B、四边形C、五边形D、六边形变式题1. 一个多边形内角和是10800,则这个多边形的边数为（）A、6 B 、7 C 、8 D 、9变式题2. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是（）A、四边形B、五边形C、六边形D、八边形变式题3. —个多边形的边数增加一倍，它的内角和增加（）A. 180 °B. 360 °C. （2）• 180°D. n • 180变式题4.若一个多边形的内角和与外角和相加是1800°,则此多边形是（）A、八边形B、十边形C、十二边形D、十四边形变式题5.正方形每个内角都是，每个外角都是。

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初中数学全等三角形综合复习讲义-全面完整版

初中数学全等三角形综合复习讲义-全面完整版

初中数学全等三角形综合复习讲义-全面完整版初中数学全等三角形综合复讲义——全面完整版一、基础知识1.全等图形的有关概念1)全等图形的定义：两个图形能够完全重合，就是全等图形。

例如，图13-1和图13-2就是全等图形。

2)全等多边形的定义：两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。

例如，图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。

3)全等多边形的对应顶点、对应角、对应边：两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。

4)全等多边形的表示：例如，图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A’B’C’D’E’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。

表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。

5)全等多边形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等。

6)全等多边形的识别：对边形相等、对应角相等的两个多边形全等。

2.全等三角形的识别1)根据定义：若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。

2)根据SSS：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。

3)根据SAS：如果两个三角形有两边及夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。

4)根据ASA：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

5)根据AAS：如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

3.直角三角形全等的识别1)根据HL：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

2)SSS、SAS、ASA、AAS对于直角三角形同样适用。

第一章 三角形的初步认识总复习 讲义

第一章 三角形的初步认识总复习 讲义

龙文教育学科教师辅导讲义学员姓名：辅导课目：数学年级：七年级学科教师：汪老师授课日期及时段课题第一章三角形的初步认识总复习重点、难点、考点1、三角形的基本概念的应用2、三角形全等的证明学习目标1、理解三角形的相关概念2、会证明三角形的全等教学内容第一章三角形的初步认识总复习：1.1认识三角形①“△ABC”读作“三角形ABC”。

三角形任何两边的和大于第三边。

②三角形三个内角的和等于180°。

三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和。

1.2三角形的平分线和中线在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的三角形的平分线。

在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。

1.3三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。

直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，垂足都是直角的顶点。

而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。

1.4全等三角形能够重合的两个三角形称为全等三角形。

两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。

“全等”可用符号“≌”来表示。

全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。

1.5三角形全等的条件①三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS ”）。

当三角形三边长确定是，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性，这是三角形特有的性质。

②有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS ”）。

垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

【第1部分】专题05《三角形》数学四升五衔接精编讲义(教师版)人教版

【第1部分】专题05《三角形》数学四升五衔接精编讲义(教师版)人教版

人教版数学四升五衔接讲义（复习进阶）专题05 三角形知识互联网知识导航知识点一：三角形的特性1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合）.叫三角形。

2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线.顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.这条对边叫做三角形的底。

三角形只有3条高。

重点：三角形高的画法：一落二移三画四标3、三角形具有稳定性。

如：自行车的三角架.电线杆上的三角架。

4、三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。

三角形任意两边之差小于第三边。

两边之差〈第三边〈两边之和。

判断三条线段能不能组成三角形.只要看最短的两条边的和是不是大于第三条边。

5、为了表达方便.用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点.三角形可表示成三角形ABC。

知识点二：三角形的分类1、按照角大小来分：锐角三角形.直角三角形.钝角三角形。

2、按照边长短来分：三边不等的△.三边相等的△,等腰△（等边三角形或正三角形是特殊的等腰△）。

3、等边△的三边相等.每个角是60度。

（顶角、底角、腰、底的概念）4、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。

5、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

6、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。

7、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。

8、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

9、三条边都相等的三角形叫等边三角形.也叫正三角形。

10、等边三角形是特殊的等腰三角形知识点三：三角形的内角和1、三角形的内角和是180°。

四边形的内角和是360°。

一个三角形中至少有两个锐角.每个三角形都至多有一个直角；每个三角形都至多有一个钝角。

可以根据最大的角判断三角形的类型。

最大的角是哪类角.就属于那类三角形。

最大的角是直角.就是直角三角形。

最大的角是钝角.就是钝角三角形。

2、图形的拼组：（1）当两个三角形有一条边长度相等时.就可以拼成四边形。

解三角形复习讲义

解三角形复习讲义

解三角形复习讲义【考点梳理】要点一、三角形中的边与角之间的关系1．边的关系：两边之和大于第三边：a b c +>，a c b +>，c b a +>；两边之差小于第三边：a b c -<，a c b -<，c b a -<；2．角的关系：ABC ∆中，A B C π++=,222C B A ++=2π （1）互补关系：sin()sin()sin A B C C π+=-=cos()cos()cos A B C C π+=-=-tan()tan()tan A B C C π+=-=-（2）互余关系：sin sin()cos 2222A B C C π+=-= cos cos()sin 2222A B C C π+=-= tan tan()cot 2222A B C C π+=-= 要点二、正弦定理、余弦定理1.正弦定理：在—个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即：2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ∆的外接圆半径）⇒⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 2. 余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

即：2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎫=+-⎪=+-⎬⎪=+-⎭⇒222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形；每个等式可视为一个方程：知三求一.（2）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边.（3）利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；②已知三角形的三条边，求其三个角.(4) 利用余弦定理判断三角形形状：①勾股定理是余弦定理的特殊情况，22290cos 0a b c C C +=⇔=︒⇔=. ②在ABC ∆中，222222cos 0902b c a c b a A A bc +-+>⇔=>⇔<︒，所以A 为锐角；若222a c b +>，222a b c +>，同理可得角B 、C 为锐角.当222a c b +>，222a b c +>，222c b a +>都成立时，ABC ∆为锐角三角形． ③在ABC ∆中，若222222cos 0902b c a c b a A A bc +-+<⇔=<⇔>︒，所以A 为钝角，则ABC ∆是钝角三角形．同理：若222a cb +<，则ABC ∆是钝角三角形且B 为钝角；若222a b c +<，则ABC ∆是钝角三角形且C 为钝角．要点三、解斜三角形的类型1.已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解.2.已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在ABC ∆中，已知,a b 和角A 时，解的情况如下： (1)若A 为锐角时：a bsin A a bsin A ()bsin A a b ()a b ()<⎧⎪=⎪⎨<<⎪⎪≥⎩无解一解直角二解一锐，一钝一解锐角(2)若A 为直角或钝角时：a b a b ()≤⎧⎨>⎩无解一解锐角3.已知三边，用余弦定理有解时，只有一解.4.已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解.要点诠释：1．在利用正弦定理理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍.2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变换（如因式分解、配方等）求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会漏掉一种形状的可能． 要点四、三角形面积公式1．12a S a h =⋅（a h 表示a 边上的高）； 2．111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===； 3．22sin sin sin S R A B C =；4．4abc S R=； 要点五、实际问题中的常用角1. 仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：2.方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角. 方位角的取值范围为0°～360°.如图，点B 的方位角是0135α=。