2019-2020学年北京师大附中高二(上)期中数学试卷-含详细解析

2019-2020学年北京市北京师范大学第二附属中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o，则椭圆的离心率为（ ）A ．22B ．33C ．12D ．13【答案】B【解析】作出图形，设1PF t =，可得22PF t =，123F F t =，可将2a 和2c 均用t 表示，即可计算出该椭圆的离心率. 【详解】设该椭圆的焦距为()20c c >，如下图所示：设()10PF t t =>，1PF x ⊥Q 轴，1260F PF ∠=o ，2130PF F ∴∠=o ， 22PF t ∴=，22122123c F F PF PF t ==-=，由椭圆定义可得1223a PF PF t =+=，因此，该椭圆的离心率为2323c e a ==. 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的焦点三角形问题，一般利用椭圆定义来处理，考查计算能力，属于中等题.2．在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．6【答案】B【解析】在等差数列{}n a 中，若244,2a a ==，则()()4266114222a a a a =+=+=，解得60a =，故选B.3．椭圆123222=+y x 的两焦点之间的距离为 A． BC．D【答案】C【解析】试题分析：根据题意，由于椭圆的方程为2222y 2312+=164x x y +=∴,故可知长半轴的长为222a 22b c a b c ==∴=-=∴=,那么可知两个焦点的坐标为（0），因此可知两焦点之间的距离为 C【考点】椭圆的简单几何性质点评：解决的关键是将方程变为标准式，然后结合性质得到结论，属于基础题。

4．已知双曲线()22221,0x y a b a b-=>的一条渐近线方程为y =，它的一个焦点坐标为()2,0，则双曲线的方程为（ ）A ．22126x y -=B ．22162x y -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=【答案】C【解析】根据题意得出关于a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，即可得出所求双曲线的方程. 【详解】由题意可得20,0ba ab ⎧=⎪=>>⎪⎪⎩，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩2213y x -=.故选：C.【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，解题的关键就是求出a 、b 的值，考查方程思想的应用，属于基础题.5．“(1)(2)0x x --=”是“10x -=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：因为(1)(2)012x x x x --=⇔==或,而结论是x=1，那么根据前者表示的x 的集合包含后者，可知条件不能推出结论，但是结论可以推出条件，因此说条件是结论成立的充分不必要条件，故选B【考点】本题主要考查充分条件的判定问题的运用。

绝密★启用前北京市北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高二第一学期期中考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．椭圆22194x y +=的离心率为（ ）A ．23B C D ．322．等差数列{}n a 中，1421120n a a a ===，，，则n 的值是（ ） A ．7B ．8C ．9D ．103．设00a b >>，，若28a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．164．若方程2212y x m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．()3-∞，B ．()23，C ．()2+∞，D ．()3+∞， 5．已知13x x y -，，，中，前三项依次成等差数列，后三项依次成等比数列，则y =（ ）A ．-5B ．5C ．-9D ．96．设实数x y ，满足3412x y <<<<，，则2x y -的取值范围是（ ） A ．()46， B ．()47， C ．()56， D ．()57，7．已知数列a 中，12a a ==，，对任意3n ≥且*有8a a a ++=，则1000a =（ ） A ．1B ．2C ．5D ．88．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若当且仅当10n =或11时，n S 取得最小值，则下列选项错误的是（ ） A ．数列{}n a 的首项10a > B ．数列{}n a 的公差0d > C ．存在*k N ∈，使得1k k S S += D ．存在*k N ∈，使得2k k S S =第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题9．不等式223x x -<的解集为___________________. 10．已知各项均不为0的等差数列中，522a a =，则73a a =_______________. 11．已知数列{}n a 的通项公式为103n a n =-，则n a 的最小项为___________.此时n 的值为___________.12．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若423S S =，则数列{}n a 的公比为____________. 13．设椭圆22:12x C y +=的左､右焦点分别为12F F ，，过坐标原点作一条斜率0k ≠的直线交椭圆C 于两点P Q ，，则四边形12F PF Q 的周长为___________. 14．设0a >，函数()5af x x x =+-的值域为集合S ，若2S ∉，则a 的取值范围是___________.15．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若37363S S ==，，则3a =________. 16．一个皮球从距地为H 的地方释放，经地面反弹最后上升至2H处，之后每次反弹后上升的最高高度为上一次反弹的一半，若该皮球从开始释放至第五次接触地面瞬间，在空中的运动轨迹长为10米则H =________米｡17．若关于x 的方程()21210x m x m --+-=的两根分别在区间()1,0-和()0,1内，订…………○…………线_考号：___________订…………○…………线则m 的取值范围是_______________.18．如图，椭圆C 的中心为坐标原点O ，其左､右焦点分别为12F F ，，上，下顶点分别为12A A ，，已知点P 在椭圆C 上，满足1124PF F F ==，取线段1PF 的中点Q ，若1OQ =，则12A A =_________.19．已知数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为8n n a b n n λ==+，，设n n n n n nn a a b c b a b ≤⎧=⎨>⎩，，，若2λ=-，则数列{}n c 中的最大项是_________.若数列{}n c 中的最大项2m c <，则λ的取值范围是_________. 三、解答题20．已知以()()122020F F -，，，为焦点的椭圆过点()23P ，. （1）求椭圆方程.（2）设椭圆的左顶点为A ，线段1AF 的垂直平分线l 交椭圆于M N ，两点，求MNP △的面积.21．设函数()2f x x mx n =++.已知不等式()0f x <的解集为{}14x x <<（1）求m 和n 的值.（2）若()f x ax ≥对任意0x >恒成立，求a 的取值范围.22．数列{}n a 中，11a =，对任意2n ≥且*n N ∈有()112n n n a na --=. （1）设nn a b n=，证明:数列{}n b 为等比数列，并求{}n a 的通项公式. （2）求{}n a 的前n 项和n S .23．解关于x 的不等式240ax x a -+<.24．已知数列{}n a 满足11a =，对任意*n N ∈，都有2121nn a a n n+=++成立. （1）直接写出234a a a ，，的值. （2）推测出{}n a 通项公式并证明.25．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且5434S a -=. （1）求{}n a 的通项公式. （2）设11n n n n a b S S ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使不等式121122019m T T T ⋅-<…成立的最小的正整数m .（3）设()2n an n c a t =-⋅.若数列{}n c 单调递增.①求t 的取值范围.②若t 是符合条件的最小正整数，那么{}n c 中是否存在三项()i j k c c c i j k <<，，依次成等差数列?若存在，给出i j k ，，的值.若不存在，说明理由.参考答案1．B 【解析】 【分析】由椭圆方程直接可以求得2a 和2b ，利用离心率公式求得离心率. 【详解】由题可知，229,4a b ==，故离心率e ==.故选：B. 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算公式，注意：本题也可以通过2a 和2b ，计算出c ，再用ce a=来计算离心率. 2．A 【解析】 【分析】设出等差数列的公差，列方程，由基本量来求解. 【详解】设该数列的公差为d ，由14211a a ==，，可得：1311a d +=，解得3d =，故3120n a n =-=解得：7n =. 故选：A. 【点睛】本题考查由基本量计算通项公式，属数列基础题. 3．C 【解析】 【分析】由28a b +=，可得()2a b ⨯的最大值，进而求解.因为00a b >>，，故由均值不等式：()()2111228224ab a b a b =≤⨯+=， 当且仅当24a b ==时，取得最大值. 故选：C. 【点睛】本题考查均值不等式的应用（和定积最大）；但是要注意配凑的技巧. 4．D 【解析】 【分析】利用方程表示椭圆、且焦点在y 轴上，可得参数的范围，即可求得. 【详解】因为方程2212y x m +=-表示椭圆，故：20m ->，且21m -≠；又该椭圆的焦点在y 轴上，故只需21m ->，解得3m >. 故选：D. 【点睛】本题考查由方程表示椭圆，确定参数的范围问题，属椭圆方程基础题. 5．D 【解析】 【分析】由前三项等差求得x ，代入后，由后三项等差求得y . 【详解】因为13x x -，，构成等差数列，故：312x x -=，解得1x =； 又3x x y ，，等比，故29xy x =，由1x =，解得9y =. 故选：D. 【点睛】本题考查等差中项，以及等比中项，属基础知识题. 6．B【分析】由x 的范围，求得2x 的范围；由y 的范围，求得y -的范围；再用不等式性质，求2x y -的范围. 【详解】因为34x <<，故可得：628x <<； 由12y <<，故可得21y -<-<-； 综上，利用不等式同向可加性可得：427x y <-<.故选：B. 【点睛】本题考查利用不等式的性质求范围的问题，注意不等式性质的利用条件. 7．A 【解析】 【分析】列举数列，找出周期性，从而求解. 【详解】由121,2a a ==以及递推公式可得：35a =； 依次解得：41a =，52a =，65a =，如此类推， 可知：该数列为以3为周期的周期数列； 故100011a a ==. 故选：A 【点睛】本题考查数列由递推公式求数列的项，涉及数列周期性，属基础题. 8．A 【解析】 【分析】根据数列前n 项和的性质，对每个选项进行逐一分析即可.因为等差数列的前n 项和：2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 当0d ≠时，n S 为关于n 的二次函数. 由题可知，n S 有最小值，故02d>，即0d >，故B 选项正确； 又由题可知，10n =或11时，n S 取得最小值，故其对称轴为10.5， 则：1110.52a d -=，110a d =-，故1a 与d 异号，因为0d >，故10a <， 故A 选项错误； 根据110a d=-，可得1100a d +=，即110a =，故C 选项正确； 对D 选项，若2k k S S =，则由公式可得：()()2211222222d d d d k a k k a k ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 整理得：12133a k d =-+，又110ad=-，得7k =，故D 选项正确. 故选：A. 【点睛】本题考查数列前n 项和的性质以及通项公式的性质，涉及通项与前n 项和之间的关系，属于综合中档题. 9．()1,3- 【解析】 【分析】移项，分解因式，即可求得. 【详解】不等式223x x -<，整理为2230x x --<， 分解因式可得：()()310x x -+<，解得：()1,3x ∈- 故答案为：()1,3-. 【点睛】本题考查二次不等式的求解，属基础题.10．2 【解析】 【分析】由数列的基本量表示通项，解方程即可求得. 【详解】设数列的公差为d ，因为522a a =，即：()1142a d a d +=+，解得12a d =；又73a a =1168224a d d a d d+==+. 故答案为：2. 【点睛】本题考查等差数列中基本量的计算，属基础题. 11．133 【解析】 【分析】对通项公式分类讨论，分别求解最小值，取两最小值中的最小值即可. 【详解】 因为103n a n =-，故： ①当1,2,3n =时，103n a n =-，此时n a 的最小项为13，3n =； ②当3,n n N +>∈时，103n a n =-，此时n a 的最小项为23，4n =；综上所述，故n a 的最小项为13，此时3n =.故答案为：13；3.【点睛】本题考查数列与函数的关系，从函数的角度看待数列，是处理数列问题的重要方法. 12．【解析】【分析】由首项和公比表示前n 项和，列方程，从而求得基本量. 【详解】设数列的公比为()1q q ≠，因为423S S =，故： 42131q q-=-，整理得22q =，解得q =故答案为：. 【点睛】本题考查数列的前n 项和公式的基本量计算，属基础题.13．【解析】 【分析】由椭圆的定义可知周长为4a ，代值计算即可. 【详解】因为P 、Q 均为椭圆上的点，由椭圆的定义可知：122FQ F Q a +=，122F P F P a +=， 故四边形12F PF Q 的周长为：12124FQ F Q F P F P a +++=，又知：22a =，故a =故答案为：【点睛】本题考查椭圆的定义，属椭圆定义的基础题. 14．9,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】 【分析】将25ax x +≠-，转化为直线y a =，与函数()()25y x x =---没有交点的问题，数形结合求解即可. 【详解】2S ∉，等价于25ax x +≠-，整理得：()()25a x x ≠---，且5x ≠， 即可转化为：直线y a =，与函数()()25y x x =---，()5x ≠ 的图像没有交点，根据题意，作图如下：容易知该函数的最大值94max y =，若直线与该函数没有交点，则：9,4a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭故答案为：9,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数与方程的问题，注意数形结合. 15．5 【解析】 【分析】由等差数列前n 项和的性质，以及通项公式下标和性质即可求解. 【详解】由33S =，可得233a =，解得21a =； 由763S =，可得4763a =，解得49a =； 又2432a a a +=，故解得：35a =. 故答案为：5. 【点睛】本题考查数列前n 项和性质（()21121n n S n a ++=+），以及下标和性质；同时本题也可以用基本量进行计算求解. 16．8023. 【解析】 【分析】将实际问题，转化为等比数列的问题，由基本量进行求解. 【详解】根据题意，皮球第n 次接触地面至第1n +次接触地面的运动轨迹长度 满足一个以首项为1a =H ，公比12q =的等比数列{}n a ， 故皮球从开始释放至第五次接触地面，在空中的运动轨迹长度为：12334a a a a a H +++++()4111a q H q -=+-238H =由题可知，23108H =，故可解的8023H =. 故答案为：8023. 【点睛】本题考查实际问题与数列的结合，涉及等比数列前n 项和，属基础题. 17．11,32⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】由一元二次方程根的分布问题，结合二次函数图像，求解即可. 【详解】令()()2121f x x m x m =--+-，方程()21210x m x m --+-=的两根分别在区间()1,0-和()0,1内等价于：函数()f x 与x 轴的交点的横坐标在()1,0-和()0,1，如下图所示：若满足以上要求，则只需：()()()001010f f f ⎧<⎪>⎨⎪->⎩，即21010310m m m -<⎧⎪+>⎨⎪->⎩，即11,32m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查一元二次方程根的分布问题，通过转化为函数零点的问题，数形结合进行处理. 18．【解析】 【分析】由题中几何线段的长度，可求得椭圆的,,a b c ，即可求解. 【详解】设椭圆方程为：22221(0)x y a b a b+=>>因为124F F =，故解得24c =，即2c =； ① 在12PF F n 中，由题意可知，OQ 为三角形中线， 故：222PF OQ ==，由椭圆的定义可知：1226PF PF a +== 解得：3a =； ②由222b a c =-，结合①②解得b =则12AA b ==故答案为：【点睛】本题考查椭圆方程中,,a b c 的求解，以及对应的几何意义，涉及椭圆的定义，属基础知识题. 19．2 (),2-∞- 【解析】 【分析】由数列的单调性，寻找数列{}n c 的最大项，从而求解. 【详解】①当2λ=-时，()8,42,(14)n n c n n n ⎧≥⎪=⎨⎪-≤<⎩当14n ≤<时，该数列为增数列，故其最大项为31a =； 当4n ≥时，该数列为减数列，故其最大项为42a =； 综上所述，则此时该数列的最大项是2.②根据题意，为更好说明问题，构造函数()()8min ,,h x x x N x λ+⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，在同一坐标系中绘制出8y x=与y x λ=+的函数图像，如下所示：结合题意，由图可知，若使得()h x 的最大值小于2，只需：当4x =时，y x λ=+的函数值小于2即可， 故：42λ+<，解得2λ<-. 故答案为：2；(),2-∞-. 【点睛】本题考查数列的单调性，应该用函数的角度来思考问题.20．(1)22 11612x y +=；(2) 【解析】 【分析】（1）设出椭圆方程，由焦点坐标、椭圆上的一点坐标，列方程求解即可； （2）先求出点M 、N 的坐标，根据三角形面积公式即可求得. 【详解】（1）设椭圆方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，因为其焦点为()()122020F F -，，，，则 2c =； ①又因为椭圆过点()23P ，，则点P 的坐标满足椭圆方程： 22491?a b += ② 结合：222a b c =+ ③， 由①②③可解得：22216,12,4a b c ===，故椭圆方程为：2211612x y +=.（2）由题意，作图如下：由（1）可知，椭圆的左顶点坐标为()4,0A -，又()12,0F -， 故线段1AF 的垂直平分线的方程为：3x =-， 即3M N x x ==-，又因为M 、N 均为垂直平分线与椭圆的交点，故当3x =-时，求得：2911612y +=，解得,22M N y y ==-，综上所述：点M 坐标为⎛- ⎝⎭，点N 坐标为3,⎛- ⎝⎭由此解得：M N MN y y =-=①又点P 的坐标为()2,3，则点P 到直线MN 的距离5P M h x x =-= ②故115222MNP S MN h =⨯==n . 【点睛】本题考查根据椭圆上一点，及焦点坐标求椭圆方程，以及求椭圆上点的坐标，涉及三角形面积公式，属椭圆方程的基础题. 21．(1) 5m =-，4n =；(2)(],1-∞-. 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集，求得方程的根，根据韦达定理求得参数； （2）等式两边同除以x ，分离参数，转化为最值问题. 【详解】（1）由不等式()0f x <的解集为{}14x x <<，可知：1x =和4x =为方程20x mx n ++=的两根，故：由韦达定理可知：5m =-，4n =.（2）由（1）可知，()254f x x x =-+，则：若()f x ax ≥对任意0x >恒成立，等价于：45a x x≤+-，对任意0x >恒成立，只需： min45a x x ⎛⎫≤+- ⎪⎝⎭，(0)x >因为0x >，则4551x x +-≥=-， 即：min451x x ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，当且仅当4x x =时取得. 故1a ≤-，即(],1a ∈-∞-. 【点睛】本题第一问考查一元二次不等式与二次方程之间的关系，第二问考查由恒成立问题求解参数的范围，涉及均值不等式的利用.22．(1)证明见详解，12n n a n -=n ；(2)()121nn S n =-+. 【解析】 【分析】（1）用定义法证明数列为等比数列，求得n b ，再求n a ； （2）用错位相减法求解即可. 【详解】（1）因为()112n n n a na --=，则可得：121n n a na n -=- 当2n ≥时，1111221n n n n b a n n n b n a n n ----=⨯=⨯=-，又111b a ==， 则数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列.故：1112n n n b b q --==，又因为n n a nb =， 故：12n n a n -=n .（2）由（1）可知：12n n a n -=n ，则：01211222322n n S n -=++++n n n L n ①①2⨯，可得：12321222322n n S n =++++n n n L n ②由①-②可得：12112222n n n S n --=++++-L n()212n n n S n -=--n整理得：()121nn S n =-+即为所求.【点睛】本题考查用定义法证明等比数列，由基本量求解通项公式，以及错位相减法求前n 项和，属数列综合问题.23．当(),2a ∈-∞-时，解集为：R ；当2a =-时，解集为：22,,a a ⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当()2,0a ∈-时，解集为((22,,a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当0a =时，解集为()0,+∞； 当()0,2a ∈时，解集为((22,a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭；当[)2,a ∈+∞时，不等式的解集为：∅. 【解析】 【分析】对参数a 展开讨论，从而求解不等式. 【详解】（1）当0a =时，原不等式等价于40x -<， 解得0x >，故不等式解集为{}0x x ；（2）当0a ≠时，原不等式为二次不等式，2164a =-n ，①当0>n 时，即()()2,00,2a ∈-⋃时，不等式对应的方程240ax x a -+=有两个不相等实根，解得：((1222 ,x x aa+==当()0,2a ∈时，12x x >，故不等式的解集为((22,a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；当()2,0a ∈-时，12x x <，故不等式的解集为((22,,a a⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②当0=n 时，即2a =±时，不等式对应的方程240ax x a -+=有两个相等的实根， 即122x x a==当2a =时，不等式的解集为：∅ 当2a =-时，不等式的解集为：22,,a a ⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ③当0<n 时，即()(),22,a ∈-∞-⋃+∞时， 不等式对应的方程240ax x a -+=没有实数根，故 当(),2a ∈-∞-时，不等式的解集为：R . 当()2,a ∈+∞时，不等式的解集为：∅. 综上所述： 当(),2a ∈-∞-时，解集为：R当2a =-时，解集为：22,,a a ⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当()2,0a ∈-时，解集为((22,,a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当0a =时，解集为()0,+∞当()0,2a ∈时，解集为((22,a a ⎛⎫+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭当[)2,a ∈+∞时，不等式的解集为：∅. 【点睛】本题考查含参一元二次不等式的求解，其方法对参数进行分类讨论.一般地，我们针对参数是否为零，n 的正负，以及两根的大小关系，进行三级分类讨论.24．(1)234,9,416a a a ===；(2)2 n a n =，证明见详解. 【解析】 【分析】（1）由递推公式，赋值即可求得； （2）归纳总结后，用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）由2121nn a a n n+=++，以及11a =， 令1n =，可得：24a =， 令2n =，可得：39a =， 令3n =，可得：416a =. （2）由（1），归纳猜想：()2n a nn N +=∈，下面应用数学归纳法进行证明：①当1n =时，2111a ==，满足题意，故成立；②假设当()2,n k k k N +=≥∈成立，即2k a k =故当1n k =+时：212 1kk a a k k+=++ =221k k ++ =()21k +故1n k =+时，等式成立，由①②可知，对任意自然数等式都成立，故()2n a n n N +=∈【点睛】 本题考查归纳猜想、以及用数学归纳法证明数列的通项公式，属中档题.25．(1) 21n a n =-；(2)1?009；(3)不存在，证明见详解.【解析】【分析】（1）计算基本量，写出通项公式；（2）由（1）中的n a ，求得n b 以及n T ，进而求解不等式即可；（3）①由10n n c c -->，即可求得；②采用反证法，推证矛盾.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，因为5434S a -=故：()11510334a d a d +-+=，又11a =，解得：2d =，故该数列通项公式为：21n a n =-（2）由21n a n =-，可得：121n a n +=+，()2211n n S S n n +=+， 故11n n n n a b S S ++==()()2222211111n n n n n +=-++ 则123n n T b b b b =++++L =()2222211111112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎝⎭L =()2111n -+ =()()221n n n ++()()1232222211324351223421m m m TT T T m +⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯⨯-+L L =()()21212m m +-+ =122m +若使得其满足 11222019m <+，且m 为正整数，故解得： 1008.5m >，故取1009m =使得不等式成立.（3）由（1）可知()2n a n n c a t =-⋅=()21212n n t ---①因为数列为增数列，故10n n c c -->恒成立()2n ≥等价于：()()21232122320n n n t n t ------->n n 整理得：()2326310n n t --->， 即：()1223t n n <-≥恒成立，又111233min n ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 故111233min t n ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭，即11,3t ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭. ②由①可知，此时1t =, 故()14n n c n =-n ,假设存在三项()i j k c c c i j k <<，，依次成等差数列，则i c 2k j c c +=，即：()()()1414214i k j i k j -+-=-n n n ①因为j k <，且,j k 均为整数，故：1j k ≤-，12j k -≤-，144j k -≤故：()()()1121422414142j k k k j k k k -⎛⎫-≤-=-<- ⎪⎝⎭n n n n ，即 ()()21414j k j k -<-n n ②又因为()014ii ≤-n ③ 由②③可得：()()()2141414j k i j k i -<-+-n n n ，与①矛盾，故假设不成立，即不存在三项()i j k c c c i j k <<，，依次成等差数列.【点睛】本题考查由数列基本量求解通项公式、裂项求和，以及利用等差中项证明存在性问题，属数列综合困难题.。

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：20XX-20XX学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是（）A．AB⊂αB．AB⊄αC．由线段AB的长短而定D．以上都不对2．垂直于同一条直线的两条直线一定（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能3．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线（）A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，在平面α内C．有两条，不一定都在平面α内D．有无数条，不一定都在平面α内4．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（）A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：2：4 D．3：1：25．过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．x﹣2y+7=0 B．2x+y﹣1=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=06．平面α与平面β平行的条件可以是（）A．α内有无穷多条直线与β平行B．直线a∥α，a∥βC．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD．α内的任何直线都与β平行7．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）A．B．C．D．8．下列命题中错误的是（）A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．10．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是．11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为．12．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABC，此图形中有个直角三角形．13．如图，E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是．14．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．①若AC=BD，则四边形EFGH是；②若AC⊥BD，则四边形EFGH是．三．解答题：（本大题共3小题，共30分）15．求点A（3，﹣2）关于直线l：2x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F 分别是AP、AD的中点，求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．四．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）.18．正六棱台的两底面边长分别为1cm，2cm，高是1cm，它的侧面积为．19．二面角α﹣l﹣β内一点P到平面α，β和棱l的距离之比为1：：2，则这个二面角的平面角是度．20．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是．21．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B（1，4），D（5，0），则直线l的方程为．22．圆柱形玻璃杯高8cm，杯口周长为12cm，内壁距杯口2cm的点A处有一点蜜糖．A点正对面的外壁（不是A点的外壁）距杯底2cm的点B处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少cm．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）23．在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为．五．解答题：（本大题共2小题，共20分）.24．一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V与x的函数关系式，并求出函数的定义域．25．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．20XX-20XX学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是（）A．AB⊂αB．AB⊄αC．由线段AB的长短而定D．以上都不对【考点】平面的基本性质及推论．【专题】证明题．【分析】线段AB在平面α内，则直线AB上所有的点都在平面α内，从而即可判断直线AB与平面α的位置关系．【解答】解：∵线段AB在平面α内，∴直线AB上所有的点都在平面α内，∴直线AB与平面α的位置关系：直线在平面α内，用符号表示为：AB⊂α故选A．【点评】本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一，主要根据定义进行判断，考查了空间想象能力．公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上．2．垂直于同一条直线的两条直线一定（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】分类讨论．【分析】根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断．【解答】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．故选D【点评】本题主要考查在空间内两条直线的位置关系．3．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线（）A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，在平面α内C．有两条，不一定都在平面α内D．有无数条，不一定都在平面α内【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】综合题．【分析】通过假设过点P且平行于l的直线有两条m与n的出矛盾，由题意得m∥l且n∥l，这与两条直线m与n相交与点P相矛盾，又因为点P在平面内所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内．【解答】解：假设过点P且平行于l的直线有两条m与n∴m∥l且n∥l由平行公理4得m∥n这与两条直线m与n相交与点P相矛盾又因为点P在平面内所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内所以假设错误．故选B．【点评】反证法一般用于问题的已知比较简单或命题不易证明的命题的证明，此类题目属于难度较高的题型．4．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（）A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：2：4 D．3：1：2【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由已知中圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，我们设出球的半径，代入圆柱、圆锥、球的体积公式，计算出圆柱、圆锥、球的体积即可得到答案．【解答】解：设球的半径为R，则圆柱、圆锥的底面半径也为R，高为2R，=则球的体积V球=2πR3圆柱的体积V圆柱=圆锥的体积V圆锥故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR3：：=3：1：2故选D【点评】本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．5．过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．x﹣2y+7=0 B．2x+y﹣1=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=0【考点】直线的一般式方程；两条直线平行的判定．【专题】计算题．【分析】由题意可先设所求的直线方程为x﹣2y+c=0再由直线过点（﹣1，3），代入可求c 的值，进而可求直线的方程【解答】解：由题意可设所求的直线方程为x﹣2y+c=0∵过点（﹣1，3）代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7∴x﹣2y+7=0故选A．【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x﹣2y+c=0．6．平面α与平面β平行的条件可以是（）A．α内有无穷多条直线与β平行B．直线a∥α，a∥βC．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD．α内的任何直线都与β平行【考点】平面与平面平行的判定．【专题】证明题．【分析】当α内有无穷多条直线与β平行时，a与β可能平行，也可能相交，当直线a∥α，a∥β时，a与β可能平行，也可能相交，故不选A、B，在两个平行平面内的直线可能平行，也可能是异面直线，故不选C，利用排除法应选D．【解答】解：当α内有无穷多条直线与β平行时，a与β可能平行，也可能相交，故不选A．当直线a∥α，a∥β时，a与β可能平行，也可能相交，故不选B．当直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β 时，直线a 和直线b可能平行，也可能是异面直线，故不选C．当α内的任何直线都与β 平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行，故选D．【点评】本题考查两个平面平行的判定和性质得应用，注意考虑特殊情况．7．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】立体几何．【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形．【解答】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项．故选：C．【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．8．下列命题中错误的是（）A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】对应思想；分析法；立体几何．【分析】对于A，B，计算出截面面积与轴截面面积比较大小即可判断，对于C，D，利用旋转体的结构特征进行分析判断．【解答】解：对于A，设圆柱的底面半径为r，高为h，设圆柱的过母线的截面四边形在圆柱底面的边长为a，则截面面积S=ah≤2rh．∴当a=2r时截面面积最大，即轴截面面积最大，故A正确．对于B，设圆锥SO的底面半径为r，高为h，过圆锥定点的截面在底面的边长为AB=a，则O到AB的距离为，∴截面三角形SAB的高为，∴截面面积S==≤=．故截面的最大面积为．故B错误．对于C，由圆台的结构特征可知平行于底面的截面截圆台，所得几何体仍是圆台，故截面为圆面，故C正确．对于D，由于圆锥的所有母线长都相等，轴截面的底面边长为圆锥底面的直径，故圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形，故D正确．故选：B．【点评】本题考查了旋转体的结构特征，属于中档题．二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是50π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．【解答】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：；则这个球的表面积是：=50π．故答案为：50π．【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力．10．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是x﹣y﹣2=0．【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；中点坐标公式．【专题】计算题．【分析】先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB 的中垂线得方程，并化为一般式．【解答】解：直线AB的斜率k AB=﹣1，所以线段AB的中垂线得斜率k=1，又线段AB的中点为（3，1），所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=x﹣3即x﹣y﹣2=0，故答案为x﹣y﹣2=0．【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为平行．【考点】平面与平面之间的位置关系．【专题】常规题型．【分析】根据正方体中相应的对角线之间的平行关系，我们易得到平面AB1D1和平面BC1D 内有两个相交直线相互平行，由面面平行的判定定理，我们易得到平面AB1D1和平面BC1D 的位置关系．【解答】解：∵AB1∥C1D，AD1∥BC1，AB1⊂平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，AB1∩AD1=AC1D⊂平面BC1D，BC1⊂平面BC1D，C1D∩BC1=C1由面面平行的判定理我们易得平面AB1D1∥平面BC1D故答案为：平行．【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．12．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABC，此图形中有4个直角三角形．【考点】棱锥的结构特征．【专题】证明题．【分析】本题利用线面垂直，判定出线线垂直，进而得到直角三角形，只需证明直线BC⊥平面PAC问题就迎刃而解了．【解答】解：由PA⊥平面ABC，则△PAC，△PAB是直角三角形，又由已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°所以BC⊥AC，从而易得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB 也是直角三角形，所以图中共有四个直角三角形，即：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB．故答案为：4【点评】本题考查空间几何体的结构特征，空间中点线面的位置关系，线面垂直的判定定理和性质定理的熟练应用是解答本题的关键．13．如图，E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由题意图形折叠为三棱锥，直接求出三棱柱的体积即可．【解答】解：由题意图形折叠为三棱锥，底面为△EFC，高为AC，所以三棱柱的体积：××1×1×2=，故答案为：．【点评】本题是基础题，考查几何体的体积的求法，注意折叠问题的处理方法，考查计算能力．14．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．①若AC=BD，则四边形EFGH是菱形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形．【考点】棱锥的结构特征．【专题】证明题．【分析】①结合图形，由三角形的中位线定理可得EF∥AC，GH∥AC且EF=AC，GH=AC，由平行四边形的定义可得四边形EFGH是平行四边形，再由邻边相等地，得到四边形EFGH是菱形．②由①知四边形EFGH是平行四边形，再由邻边垂直得到四边形EFGH是矩形．【解答】解：如图所示：①∵EF∥AC，GH∥AC且EF=AC，GH=AC∴四边形EFGH是平行四边形又∵AC=BD∴EF=FG∴四边形EFGH是菱形．②由①知四边形EFGH是平行四边形又∵AC⊥BD，∴EF⊥FG∴四边形EFGH是矩形．故答案为：菱形，矩形【点评】本题主要考查棱锥的结构特征，主要涉及了线段的中点，中位线定理，构成平面图形，研究平面图形的形状，是常考类型，属基础题．三．解答题：（本大题共3小题，共30分）15．求点A（3，﹣2）关于直线l：2x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】设点A′的坐标为（m，n），求得A′A的中点B的坐标并代入直线l的方程得到①，再由线段A′A和直线l垂直，斜率之积等于﹣1得到②，解①②求得m，n 的值，即得点A′的坐标．【解答】解：设点A（3，﹣2）关于直线l：2x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标为（m，n），则线段A′A的中点B（，），由题意得B在直线l：2x﹣y﹣1=0上，故2×﹣﹣1=0 ①．再由线段A′A和直线l垂直，斜率之积等于﹣1得×=﹣1 ②，解①②做成的方程组可得：m=﹣，n=，故点A′的坐标为（﹣，）．【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的坐标的方法，注意利用垂直及中点在轴上两个条件．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F 分别是AP、AD的中点，求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】立体几何．【分析】（1）要证直线EF∥平面PCD，只需证明EF∥PD，EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD即可．（2）连接BD，证明BF⊥AD．说明平面PAD∩平面ABCD=AD，推出BF⊥平面PAD；然后证明平面BEF⊥平面PAD．【解答】证明：（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD．又因为EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD所以直线EF∥平面PCD．（2）连接BD．因为AB=AD，∠BAD=60°．所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD．又因为BF⊂平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD．【点评】本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（I）利用AA1C1C是正方形，可得AA1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．【解答】（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，∴AA1⊥平面ABC．（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴，，．设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为=（x2，y2，z2）．则，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴．，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴．===．∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，∴=，=（0，3，﹣4），∵，∴，∴，解得t=．∴．【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．四．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）.18．正六棱台的两底面边长分别为1cm，2cm，高是1cm，它的侧面积为cm2．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】作出正六棱台的一部分，侧面ABB1A1为等腰梯形，OO1为高且OO1=1cm，AB=1cm，A1B1=2cm．取AB和A1B1的中点C，C1，连接OC，CC1，O1C1，则C1C为正六棱台的斜高，且四边形OO1C1C为直角梯形．根据正六棱台的性质求出OC，O1C1，CC1和上、下底面周长，由此能求出正六棱台的侧面积．【解答】解：如图所示，是正六棱台的一部分，侧面ABB1A1为等腰梯形，OO1为高且OO1=1cm，AB=1cm，A1B1=2cm．取AB和A1B1的中点C，C1，连接OC，CC1，O1C1，则C1C为正六棱台的斜高，且四边形OO1C1C为直角梯形．根据正六棱台的性质得OC=，O1C1==，∴CC1==．又知上、下底面周长分别为c=6AB=6cm，c′=6A1B1=12cm．∴正六棱台的侧面积：S=．==（cm2）．故答案为：cm2．【点评】本题考查正六棱台的侧面积的求法，是中档，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．二面角α﹣l﹣β内一点P到平面α，β和棱l的距离之比为1：：2，则这个二面角的平面角是75度．【考点】二面角的平面角及求法．【专题】空间角．【分析】点P可能在二面角α﹣l﹣β内部，也可能在外部，应区别处理．利用点P到α，β和棱l的距离分别为1：：2，即可求二面角α﹣l﹣β的大小．【解答】解：点P可能在二面角α﹣l﹣β内部，也可能在外部，应区别处理．当点P在二面角α﹣l﹣β的内部时，如图，A、C、B、P四点共面，∠ACB为二面角的平面角，由题设条件，点P到α，β和棱l的距离之比为1：：2可求∠ACP=30°，∠BCP=45°，∴∠ACB=75°．故答案为：75．【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查分类讨论的数学思想，正确找出二面角的平面角是关键．20．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】利用正方体的体积减去8个三棱锥的体积，求解即可．【解答】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，8个三棱锥的体积为：=．剩下的凸多面体的体积是1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力．21．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B（1，4），D（5，0），则直线l的方程为．【考点】直线的两点式方程．【专题】计算题．【分析】先求出BD的中点，再求出斜率，用斜截式求直线的方程．【解答】解：∵直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，则直线过BD的中点（3，2），故斜率为=，∴由斜截式可得直线l的方程为，故答案为．【点评】本题考查直线的斜率公式，直线方程的斜截式．22．圆柱形玻璃杯高8cm，杯口周长为12cm，内壁距杯口2cm的点A处有一点蜜糖．A点正对面的外壁（不是A点的外壁）距杯底2cm的点B处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少10cm．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】数形结合；综合法；立体几何．【分析】作出圆柱的侧面展开图，找到A点关于茶杯口的对称点A′，则A′A在展开图中的直线距离即为最短距离．【解答】解：作出圆柱的侧面展开图如图所示，设A关于茶杯口的对称点为A′，则A′A=4cm，BC=6cm，∴A′C=8cm，∴A′B==10cm．故答案为：10．【点评】本题考查了曲面的最短距离问题，通常转化为平面图形来解决．23．在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为．【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，从而得到四面体ABCD的体积的最大值即可．【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有V=×2×h××2，当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，则四面体ABCD的体积的最大值为．故答案为：．【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．五．解答题：（本大题共2小题，共20分）.24．一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V与x的函数关系式，并求出函数的定义域．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题．【分析】设出所截等腰三角形的底边边长为xcm，在直角三角形中根据两条边长利用勾股定理做出四棱锥的高，表示出四棱锥的体积，根据实际意义写出定义域．【解答】解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm，在Rt△EOF中，，∴，∴依题意函数的定义域为{x|0＜x＜10}【点评】本题是一个函数模型的应用，这种题目解题的关键是看清题意，根据实际问题选择合适的函数模型，注意题目中写出解析式以后要标出自变量的取值范围．25．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）由题意可知：平面AA1C1C⊥平面ABC，根据平面与平面垂直的性质定理可以得到，只要证明A1O⊥AC就行了．（2）此小题由于直线A1C与平面A1AB所成角不易作出，再由第（1）问的结论可以联想到借助于空间直角坐标系，设定参数，转化成法向量n与所成的角去解决（3）有了第（2）问的空间直角坐标系的建立，此题解决就方便多了，欲证OE∥平面A1AB，可以转化成证明OE与法向量n垂直【解答】解：（Ⅰ）证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点，所以A1O⊥AC．又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，且A1O⊂平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABC．（Ⅱ）如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴，所以得：则有：．设平面AA1B的一个法向量为n=（x，y，z），则有，令y=1，得所以．．因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量n与所成锐角互余，所以．（Ⅲ）设，即，得所以，得，令OE∥平面A1AB，得，即﹣1+λ+2λ﹣λ=0，得，即存在这样的点E，E为BC1的中点．。

北京师大附中2019-2020学年上学期高二年级期末考试数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.从每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知i 是虚数单位，复数z 满足1z i =-，则复平面内表示z 的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2.已知a R ∈，i 为虚数单位，若(1)()i a i -+为纯虚数，则a 的值为（ ）A. 2B. 1C. -2D. -13.已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3=6，S 3=12，则公差d 等于（ ）A. 1B.C. 2D. 34.已知双曲线22x a -25y =1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于 A. 314 B. 32 C. 32 D. 435.“0m n >>”是“方程221x y m n+=表示的曲线为椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则点1A 到平面1B AC 的距离是（ ）A. 3B. 22C. 223D. 23 7.如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，CC 1的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（ ）A. 56B. 5-C. 6D. 25 8.如图，已知三棱锥S –ABC 中，SA =SB =CA =CB 3AB =2，SC 2，则二面角S –AB –C 的平面角的大小为A. 30°B. 45°C. 60°D. 90° 9.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p => 上任意一点，M 是线段PF 的中点，则直线OM 的斜率的最大值为（ ） A. 22B. 1C. 2D. 2 10.已知曲线1:2C y x -=与曲线222:4C x y λ+=怡好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）A . (][),10,1-∞-UB. (]1,1--C. [)1,1- D. []()1,01,-+∞U 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分.11.i 是虚数单位，则51i i-+的值为__________. 12.双曲线2212516y x -=的渐近线方程为_____________ 13.设12,F F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12:2:1PF PF =，则△12F PF 的面积等于___________.14.已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =____________．15.已知等比数列{a n }各项均为正数，5671,32a a a =+=，若存在正整数(3)k k >，使得123123k k a a a a a a a a ++++>L L ，请写出一个满足题意的k 值_________.16.已知数列{}n a 的各项均为正整数，S n 为其前n 项和，对于n ＝1，2，3，…，有135,=,2n n n n n k a a a a a ++⎧⎪⎨⎪⎩为奇数为偶数，其中k 为使1n a +为奇数的正整数，当35a =时，1a 的最小值为__________；当11a =时，1220S S S +++=L ___________.三、解答题：共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.已知各项均不相同的等差数列{}n a 的前四项和414S =，且1a 、3a 、7a 成等比数列（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求2019T 的值. 18.如图所示，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，点E 、F 分别是棱BC 、DC 的中点.（1）求证：BD ∥平面1EFC ； （2）若13AA AB =，求直线11A C 与平面1EFC 所成角的正弦值. 19.已知抛物线22(0)y px p =>的准线方程是12x =-. （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线(2)(0)y k x k =-≠与抛物线相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，证明：OM ON ⊥. 20.已知点2,1)P 和椭圆22:142x y C +=. （1）设椭圆的两个焦点分别为12,F F ，试求△12PF F 的周长；（2）若直线220(0)l x y m m -+=≠与椭圆C 交于两个不同点A ，B ，直线,PA PB 与x 轴分别交于M ，N 两点，求证：||||PM PN =.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点(0,1). （1）求椭圆C 的方程；（2）若点A 、B 为椭圆C的左右顶点，直线:l x =x 轴交于点D ，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的动点，直线AP 、BP 分别交直线l 于E 、Ｆ两点，当点P 在椭圆C 上运动时，||||DE DF ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.22.已知数列{}n a 、{}n b ，其中，112a =，数列{}n a 满足1(1)(1)n n n a n a -+=-,()*2,n n N ≥∈，数列{}n b 满足112,2n n b b b +==．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）是否存在自然数m ，使得对于任意*,2,n N n ∈≥有12111814n m b b b -++++<L 恒成立？若存在,求出m 的最小值；（3）若数列{}n c 满足1,,n n nn na c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前n 项和n T ．。

北京师大附中2020学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知命题N n p ∈∀:，n n>2，则p ⌝是A. N n ∈∀，n n≤2 B. N n ∈∀，n n<2C. N n ∈∃，n n ≤2D. N n ∈∃，n n >22. 设直线0=++c by ax 的倾斜角为α，且0cos sin =+αα，则a,b 满足 A. 1=+b a B. 1=-b aC. 0=+b aD. 0=-b a3. 已知p,q 是简单命题，那么“q p ∧是真命题”是“p ⌝是真命题”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于E ，F 两点，则EOF ∆（O 是原点）的面积为A.23B.43C. 52D.556 5. 关于两条不同的直线m,n 与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是 A. α//m ，β//n 且βα//，则n m // B. α⊥m ，β//n 且βα//，则n m ⊥ C. α⊥m ，β⊥n 且βα⊥，则n m //D. α//m ，β⊥n 且βα⊥，则m//n6. 已知椭圆12222=+y ax 的一个焦点与抛物线x y 82=的焦点重合，则该椭圆的离心率是A.36B.332 C. 22 D.23 7. 已知双曲线的焦点在x 轴上，焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线012=+-y x 平行，则双曲线的标准方程为A. 1422=-y xB. 1422=-y xC. 15320322=-y xD. 12035322=-y x 8. 已知点A （2，1），抛物线x y 42=的焦点是F ，若抛物上存在一点P ，使得||||PF PA +最小，则P 点的坐标为 A. （2，1） B. （1，1）C. （21，1）D. )1,41(9. 某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛，该校高一年级有1，2，3，4，四个班参加了比赛，其中有两个班获奖，比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”，已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是 A. 乙，丁 B. 甲，丙 C. 甲，丁D. 乙，丙10. 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，P 为底面ABCD 上的动点，C A PE 1⊥于E ，且PA=PE ，则点P 的轨迹是A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分二、填空题（每小题5分，共30分）11. 已知直线02=+y x 与直线04)1(=+++y a x 垂直，则实数a 的值是________。

2019-2020学年北京市西城区北京师范大学附中高二上学期期中数学试题一、单选题1．命题p ：“∀x ∈（-∞，0），3x≥4x”的否定￢p 为（ ） A ．(),0x ∀∈-∞,34x x < B ．(),0x ∀∈-∞,34x x ≤ C ．()000,0,34xxx ∃∈-∞<D ．()000,0,34xxx ∃∈-∞≤【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可 【详解】命题是全称命题,则p ⌝：()000,0,34xxx ∃∈-∞＜,故选：C 【点睛】本题考查含有量词的命题的否定,根据全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键2．在等比数列{a n }中，a 3=2，a 5=8，则a 4=（ ） A ．4 B ．5C ．4±D ．5±【答案】C【解析】根据题意,设等比数列{}n a 的公比为q ,由等比数列的通项公式可得253a a q =⋅,解可得q 的值,代入通项公式计算即可 【详解】根据题意, 设等比数列{}n a 的公比为q ,由已知得253a a q =⋅,即282q =,所以2q =±,都符合题意,所以434a a q =⋅=±, 故选：C 【点睛】本题考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题3．若a b c >>，且0a b c ++=，则下列不等式中一定成立的是.A ab ac > .B a c b c > .C a b c b > .D 222a b c >> 【答案】A 【解析】略4．设01x <<,则a b =1+x ,c =11x-中最大的一个是 A ．a B ．bC ．cD ．不确定【答案】C【解析】因为b-a =1+x 0>,所以b >a ;又c-b =111x x ---=201x c x=>-,则c >b ,所以最大的一个是c.5．在等比数列{a n }中，a 1=3，前n 项和为S n ，若数列{a n +1}也是等比数列，则S n 等于（ ） A ．2n B ．3nC ．121n +-D ．31n -【答案】B【解析】根据数列{}n a 为等比数列,可设出n a 的通项公式,因数列{}1n a +也是等比数列,进而根据等比性质求得公比q ,进而根据等比数列的求和公式求出n S 【详解】因数列{}n a 为等比数列,则13n n a q -=,因数列{}1n a +也是等比数列, 则()()()212111n n n a a a +++=++,∴211222n n n n n n a a a a a a +++++=⋅++,∴()()()2222n n n n nn a q a q a a qaa q ⋅+⋅=⋅⋅++⋅,即22n n n a q a a q ⋅=+⋅,∴()2120n a q q +-=,即2210q q -+=, ∴1q = 则3n a =, 所以3n S n =, 故选：B本题考查等比数列的定义和求和公式,考查等比中项的应用,着重考查了运算能力 6．若互不等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4- B ．2-C ．2D ．4【答案】A【解析】试题分析：因为成等差数列，所以；因为成等比数列，所以；联立，得，即.【考点】等差数列与等比数列的综合应用7．设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形面积（1,2,i =），则{}n A 为等比数列的充要条件为（ ） A ．{}n a 是等比数列 B ．1321,,,,n a a a -或242,,,,n a a a 是等比数列 C ．1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列D ．1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同【答案】D 【解析】【详解】因为i A 是边长为1,i i a a +的矩形面积（1,2,i =），所以1(1,2,3,)i i i A a a i n +==⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则数列{}n A 的通项为1;n n n A a a +=根据等比数列的定义，数列{}n A 为等比数列的充要条件是(1,2,3,)n =⋅⋅⋅11221n n n n n n n nA a a a q A a a a +++++===(常数)， 故选D.本题考查等比数列的定义，充要条件的概念及判定.8． 设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0＜x ＜100，x ∈N ＋)人去进行新开发的产础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．18【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意，分流前每年创造的产值为100t （万元），分流后x 人后，每年创造的产值为()()1001 1.2%x x t -+，则由()()0100{1001 1.2%100x x x t t<<-+≥，解得：5003x <<． ∵x ∈N∴x 的最大值为16． 故选：B ．【考点】 函数模型的选择与应用．二、填空题9．数列{a n }中，已知a 1=1，a 2=2，a n +1=a n +a n +2（n ∈N ），则a 7= ______ ． 【答案】1【解析】根据递推公式12n n n a a a ++=+,得21n n n a a a ++=-,把11a =,22a =代入可依次求出前7项即可 【详解】由12n n n a a a ++=+,得21n n n a a a ++=-, 所以321211a a a =-=-=,432121a a a =-=-=-,543112a a a =-=--=-,()654211a a a =-=---=-,()765121a a a =-=---=故答案为：1 【点睛】本题考查由数列的递推公式求数列的项,数列的递推公式是给出数列的一种方法 10．若实数x ，y 满足xy =1，则x 2+4y 2的最小值为______． 【答案】4【解析】运用不等式222a b ab +≥（当且仅当a b =取得等号）计算可得所求最小值若实数,x y 满足1xy=,则2242244x y x y xy +≥⋅⋅==,当且仅当2x y ==,上式取得最小值4 故答案为：4 【点睛】本题考查用基本不等式求最值,考查运算能力,属于基础题.11．设a 、b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1.其中能推出“a 、b 中至少有一个数大于1”的条件是：_____ 【答案】③【解析】试题分析：若a ＝12，b ＝23，则a ＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab>1，故⑤推不出； 对于③，即a ＋b>2，则a ，b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a≤1且b≤1， 则a ＋b≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1．[Z 【考点】不等式性质12．已知{}n a 是等差数列,11a =,公差,n S 为其前n 项和,若成等比数列,则8_____S = 【答案】64【解析】试题分析：由数列为等差数列，且成等比数列，所以，则，所以，因为，所以，根据等差数列前n 项和公式，。

2019-2020学年北京市海淀区首都师范大学附属中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．抛物线24x y =的焦点是 A ．(1,0)- B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)【答案】D【解析】先判断焦点的位置，再从标准型中找出p 即得焦点坐标. 【详解】焦点在y 轴上，又2p =，故焦点坐标为()0,1，故选D. 【点睛】求圆锥曲线的焦点坐标，首先要把圆锥曲线的方程整理为标准方程，从而得到焦点的位置和焦点的坐标.2．“2a =”是“直线210x ay +-=与直线320ax y +-=垂直”的（ ）． A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当直线210x ay +-=与直线320ax y +-=垂直时，2350a a a +==，即0a =，∴“2a =”是“直线210x ay +-=与直线320ax y +-=垂直”的 既不充分也不必要条件．3．若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3【答案】B【解析】由双曲线定义可构造方程求得结果. 【详解】由双曲线定义可知：122326PF PF PF a -=-== 又20PF > 29PF ∴= 故选：B 【点睛】本题考查双曲线定义的应用，属于基础题. 4．直线:30l x y ++=被圆14cos :24sin x C y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数)截得的弦长为( )A ．B ．CD ．2【答案】A【解析】将圆的参数方程化为普通方程，可确定圆心和半径；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离；根据垂径定理求得弦长. 【详解】由圆C 的参数方程可得圆C 的普通方程为：()()221216x y ++-=∴圆C 是以()1,2-为圆心，4为半径的圆∴圆心到直线距离d == ∴弦长为=故选：A 【点睛】本题考查直线被圆截得的弦长问题的求解，涉及到参数方程化普通方程、点到直线距离公式和垂径定理的应用，属于常考题型.5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率为( )A ．B C ．12D【答案】A 【解析】将2by =代入椭圆方程求得,B C ，可表示出,BF CF ，由垂直关系可知0BF CF ⋅=，从而构造出关于,a c 的齐次方程，由ce a=求得结果. 【详解】将2by =代入椭圆方程得：,22b B a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,22b C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭又椭圆焦点(),0F c ,22b BF c a ⎛⎫∴=+- ⎪ ⎪⎝⎭，,22b CF c a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭90BFC ∠=22222222233310444442b ac B F C F c a c a c a -∴⋅=-+=-+=-=22223c e a ∴== e ∴=故选：A 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够利用垂直关系构造出关于,a c 的齐次方程，从而根据ce a=求得离心率. 6．设α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，则下列命题中正确的为（ ） A ．若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α B ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β D ．若m ⊥β，m ⊂α，则α⊥β 【答案】D【解析】在A 中，m 与α相交、平行或m ⊂α；在B 中，m 与n 平行或异面；在C 中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在D 中，由面面垂直的判定定理得α⊥β． 【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，得： 在A 中，若m ∥n ，n ⊂α，则m 与α相交、平行或m ⊂α，故A 错误； 在B 中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故B 错误； 在C 中，若α⊥β，m ⊂α，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故C 错误； 在D 中，若m ⊥β，m ⊂α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D 正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 7．已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32 【答案】B【解析】试题分析：解：F （2，0）K （-2，0），过A 作AM ⊥准线，则|AM|=|AF|，∴|AK|=|AM|，∴△AFK 的高等于|AM|，设A （m 2，2m ）（m ＞0）则△AFK 的面积=4×2m•=4m又由|AK|=|AF|，过A 作准线的垂线，垂足为P ，三角形APK 为等腰直角三角形，所以m=∴△AFK 的面积=4×2m•=8故答案为B【考点】抛物线的简单性质点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握．8．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A．BC ．1D ．2【答案】A【解析】由椭圆和双曲线定义可求得1112PF r a a ==+，2212PF r a a ==-，（12r r >），从而得到11211r e e c +=；在12F PF ∆中由余弦定理可得22212124c r r r r =+-，令212r m c =，代入余弦定理的结论可得到22141324m r r =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，根据二次函数性质可求得max m ，进而得到所求最大值；由对称性可知所求结果即为最终结果. 【详解】设椭圆的长半轴为1a ，双曲线的实半轴为2a ，()12a a >，半焦距为c ，则122F F c =设11PF r =，22PF r =，且12r r >，椭圆离心率为1e ，双曲线离心率为2e 在12F PF ∆中，由余弦定理得：222221212121242cos3c r r r r r r r r π=+-=+-由椭圆和双曲线定义可得：12112222r r a r r a +=⎧⎨-=⎩ 112212r a a r a a =+⎧∴⎨=-⎩ 1211211a a r e e c c+∴+== 令221122222121222211144413124r r m c r r r r r rr r r r ====+-⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴当2112r r =时，max 163m =1m a x 3r c ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即12max11e e ⎛⎫+= ⎪⎝⎭由双曲线的对称性可知，当12r r <时，结论一致1211e e ∴+的最大值为3故选：A 【点睛】本题考查椭圆和双曲线离心率的求解问题，涉及到椭圆和双曲线定义、余弦定理的应用、函数最值的求解等知识；关键是能够将所求的量转化为关于某一变量的函数的形式，进而利用函数最值的求解方法求得结果.二、填空题9．已知直线l的参数方程为112(12x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数)，则直线l 的倾斜角为_____________． 【答案】π3【解析】先消去参数，化为普通方程，然后求解斜率，可得倾斜角. 【详解】因为11212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以11212x t y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相除可得11)y x -=-，故倾斜角为3π. 【点睛】本题主要考查直线的参数方程，掌握常用消参的方法是求解的关键.10．若圆22:1O x y +=与圆22:680C x y x y m ++++=相切，则实数m =______. 【答案】11-或9.【解析】分析：首先将圆C 的方程化为标准方程，根据两圆相切，得到两圆心之间的距离要么等于两半径和，要么等于两半径差，得出相应的等量关系式，从而求得相应的结果.详解：圆C ：22680x y x y m ++++=可化为22(3)(4)25x y m +++=-， 因为22:1O x y +=与圆C 相切，所以15OC ==或15OC ==， 所以9m =或11m =-，故答案是11-或9点睛：该题考查的是有关两圆的位置关系的问题，根据两圆相切，得到两圆内切或外切，从而得到两圆心之间的距离所满足的关系式，从而求得结果，在解题的过程中，需要注意相切应分为外切和内切两种情况.11．若方程22125x y k k+=--表示的是焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是__________. 【答案】7,52⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】根据椭圆标准方程的形式和焦点位置可构造不等式求得结果. 【详解】由题意得：250k k ->->，解得：752k << k ∴的取值范围为7,52⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：7,52⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查根据椭圆焦点所在轴求解参数范围的问题，属于基础题.12．直线与双曲线2244x y -=相交于,A B 两点，若点()4,1P 为线段AB 的中点，则直线的方程是_____. 【答案】30x y --=【解析】由中点坐标公式可知128x x +=，122y y +=；利用点差法可求得直线斜率1k =，进而得到直线方程.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y()4,1P 为AB 中点 128x x ∴+=，122y y +=由221122224444x y x y ⎧-=⎨-=⎩两式作差可得：()()()()121212124x x x x y y y y +-=+- ∴直线斜率()1212121214y y x x k x x y y -+===-+∴直线方程为：()114y x -=⨯-，即30x y --=故答案为：30x y --= 【点睛】本题考查根据弦中点求解直线方程的问题，关键是能够熟练应用点差法，将直线的斜率与中点坐标之间的关系表示出来，从而求得直线斜率.13．已知圆()()221:211C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线1y x =+对称，则圆2C 的标准方程是_____. 【答案】()2211x y ++=【解析】由圆1C 方程得到圆心和半径，根据两圆关于直线对称可知圆心关于直线对称，半径相同；由点关于直线对称点的求解方法构造方程求得圆2C 的圆心，进而得到圆2C 的标准方程. 【详解】由圆1C 的方程可知圆1C 的圆心为()2,1-，半径为1设圆2C 的圆心为(),a b (),a b ∴与()2,1-关于直线1y x =+对称11212122b a b a -⎧=-⎪⎪+∴⎨+-⎪=+⎪⎩，解得：01a b =⎧⎨=-⎩ ∴圆2C 的圆心为()0,1-，半径为1 ∴圆2C 的标准方程为：()2211x y ++=故答案为：()2211x y ++= 【点睛】本题考查圆关于直线的对称圆的求解，关键是明确两圆关于直线对称则圆心关于直线对称，半径相同，进而利用点关于直线对称点的求解方法求得对称圆的圆心.14．已知椭圆G ：2221(06x y b b+=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+，当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②OP 的最小值为2； ③存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个， 其中，所有正确命题的序号是__________． 【答案】①②【解析】分析：运用椭圆的定义可得P 也在椭圆222166y x b+=-上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；由图象可得当p 的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，OP 的值取得最小，即可判断②正确；通过b 的变化，可得③不正确. 详解：椭圆(222:106x y G b b+=<<的两个焦点分别为)1F 和()2F ，短轴的两个端点分别为()10,B b -和()20,B b ， 设(),P x y ，点P 在椭圆G 上， 且满足1212PB PB PF PF +=+，由椭圆定义可得，1222PB PB a b +==>，即有P 在椭圆222166y x b+=-上， 对于①，将x 换为x -方程不变， 则点P 的轨迹关于y 轴对称，故①正确.；对于②，由图象可得，当P 满足22x y =，即有226b b -=，即b =OP 取得最小值，可得222x y ==时，即有2OP ===取得最小值为2，故②正确；对于③，由图象可得轨迹关于,x y 轴对称，且0b <<，则椭圆G 上满足条件的点P 有4个，不存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 有2个，故③不正确. ，故答案为①②.点睛：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的定义以及椭圆的简单性质，属于难题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、离心率等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.三、解答题15．已知动点P 与平面上点()1,0A -，()10B ,的距离之和等于 (1)试求动点P 的轨迹方程C .(2)设直线:1l y kx =+与曲线C 交于M 、N 两点，当MN =时，求直线的方程. 【答案】（1）2212x y +=；（2）1y x =±+【解析】（1）由椭圆定义可知所求轨迹为a =1c =的椭圆，进而求得2b ，从而得到所求轨迹；（2）将直线方程代入椭圆方程，得到韦达定理的形式；由弦长公式可构造方程求得k ，进而得到结果. 【详解】（1）2PA PB AB +=>=∴由椭圆定义可知点P 轨迹是以,A B为焦点的椭圆，且a =1c =2221b a c ∴=-= ∴动点P 的轨迹方程C 为：2212x y +=（2）将直线:1l y kx =+代入椭圆方程得：()221240k xkx ++=则2160k ∆=> 0k ∴≠设()11,M x y ，()22,N x y 122412kx x k∴+=-+，120x x =3MN ∴===，解得：1k =± ∴直线l 的方程为：1y x =±+【点睛】本题考查轨迹方程的求解、弦长公式的应用；关键是能够熟练掌握椭圆的定义，进而得到动点所满足的方程，属于基础题.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，且3PB AB AD ===，1BC =.(1)若点F 为PD 上一点且13PF PD =，证明：CF P 平面PAB .(2)求二面角B PD A --的大小. 【答案】（1）见解析；（2）3π【解析】（1）作//FH AD ，根据比例关系可知1HF =，从而可证得四边形HFCB 为平行四边形，进而得到//CF BH ，由线面平行判定定理可证得结论；（2）根据垂直关系可以B 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）作//FH AD 交PA 于H ，连接BH13PF PD = 113H F A D ∴==又//AD BC 且1BC = //HF BC ∴且HF BC =∴四边形HFCB 为平行四边形 //CF BH ∴BH ⊂平面PAB ，CF ⊄平面PAB //CF ∴平面PAB（2）PB ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD P B B C∴⊥ 又AD AB ⊥，//AD BC A B B C∴⊥ 则可以B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则()0,0,0B ，()0,0,3P ，()3,3,0D ，()0,3,0A()3,3,3PD ∴=-，()0,3,3PA =-，()3,3,0BD =设平面PAD 法向量()1111,,n x y z = 则11111113330330n PD x y z n PA y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令11z =，则11y =，10x = ()10,1,1n ∴= 设平面PBD 的法向量()2222,,n x y z =则22222223330330n PD x y z n BD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令21x =，则21y =-，20z = ()21,1,0n ∴=- 1212121cos ,22n n n n n n ⋅∴<>===-⨯ 122,3n n π∴<>=二面角B PD A --为锐二面角 ∴二面角B PD A --的大小为3π【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握空间向量法求解立体几何中的角度问题的方法；需注意的是，法向量的夹角可能为二面角，也可能为二面角的补角.17．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，点()2,1在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线与圆22:2O x y +=相切，与椭圆C 相交于,P Q 两点，求证：POQ ∠是定值.【答案】（1）22163x y +=；（2）见解析 【解析】（1）利用离心率可得2212c a =，进而得到2212b a =；将点()2,1代入椭圆方程可求得22,a b ，从而得到椭圆方程；（2）①当直线PQ 斜率不存在时，可求得,P Q 坐标，从而得到0OP OQ ⋅=，得到90POQ ∠=；②当直线PQ 斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，由直线与圆相切可得到2222m k =+；将直线方程与椭圆方程联立可得到韦达定理的形式，从而表示出OP OQ ⋅，整理可得0OP OQ ⋅=，得到90POQ ∠=；综合两种情况可得到结论.【详解】（1）由题意得：2c e a ==，即2212c a = 2212b a ∴= ∴椭圆方程为222221x y a a += 将()2,1代入椭圆方程得：26a = 23b ∴=∴椭圆C 的方程为：22163x y +=（2）①当直线PQ 斜率不存在时，PQ 方程为：x =或x =当x =时，P，Q，此时0OP OQ ⋅=OP OQ ∴⊥ 90POQ ∴∠=当x =90POQ ∠=②当直线PQ 斜率存在时，设PQ 方程为：y kx m =+，即0kx y m -+=直线与圆相切=2222m k =+联立220163kx y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222124260k x kmx m +++-=设()11,P x y ，()22,Q x y 122412km x x k ∴+=-+，21222612m x x k-=+ ()()()()221212121212121OP OQ x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ∴⋅=+=+++=++++()2222226411212m km k km m k k -⎛⎫=+⨯+⨯-+ ⎪++⎝⎭代入2222m k =+整理可得：0OP OQ ⋅= O P O Q ∴⊥ 90POQ ∴∠= 综上所述：POQ ∠为定值90 【点睛】本题考查根据椭圆上的点求解椭圆方程、直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解；求解定值问题的关键是能够将所求量表示为韦达定理的形式，进而通过整理化简，消去变量得到常数，从而得到结果.18．设A 、B 分别为椭圆22143x y +=的左右顶点，设点P 为直线4x =上不同于点()4,0的任意一点，若直线AP 、BP 分别与椭圆相交于异于A 、B 的点M 、N .（1）判断B 与以MN 为直径的圆的位置关系（内、外、上）并证明.（2）记直线4x =与轴的交点为H ，在直线4x =上，求点P ，使得APN APH S S =△△. 【答案】（1）点B 在以MN 为直径的圆内，证明见解析；（2）()4,3P ± 【解析】（1）设()00,M x y ，()4,P P y ，由M 在椭圆上可得()2200344y x =-且022x -<<；由,,P A M 三点共线可得0064,2y P x ⎛⎫⎪+⎝⎭，表示出BM BP ⋅，可整理得到0BM BP ⋅>，从而可知MBP ∠为锐角，得到MBN ∠为钝角，从而得到B 在以MN 为直径的圆内；（2）设(),N N N x y ，()4,P P y ，由,,P B N 三点共线得到22NP N y y x =-；根据APN APH S S ∆∆=可知ABN BPH S S ∆∆=，从而构造出关于N y 的方程，求得N y ，进而得到P y ，求得P 点坐标. 【详解】（1）点B 在以MN 为直径的圆内．证明如下：由已知可得()2,0A -，()2,0B ，设()00,M x y ，()4,P P y ，0p y ≠M 在椭圆上，()2200344y x ∴=-…① 又点M 异于顶点,A B ，022x ∴-<< 由,,P A M 三点共线可得：00422P y y x =++，即0064,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭()002,BM x y ∴=-，0062,2y BP x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭()22200000062243422y BM BP x x y x x ∴⋅=-+=+-++…② 将①代入②化简可得：()05202BM BP x ⋅=-> MBP ∴∠为锐角，MBN ∴∠为钝角B ∴在以MN 为直径的圆内（2）设(),N N N x y ，()4,P P y由,,P B N 三点共线可得：422N PN y y x =--，即22N PN y y x =- 又APN APH S S ∆∆=等价于ABN BPH S S ∆∆= ，211421222N N P N N y y y x x ∴⨯⨯=⨯⨯=⇒=-，21143Ny ∴+=，解得：32N y =±，3P y ∴=±()4,3P ∴±【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到点与圆的位置关系的判定、共线向量的坐标表示等知识；关键是能够通过三点共线构造方程，从而减少变量的个数，进而利用已知条件中的等量关系求得结果.。

2019-2020学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题：共40分）1．命题p ：“(,0)x ∀∈-∞，34x x …”的否定p ⌝为( ) A ．(,0)x ∀∈-∞，34x x <B ．(,0)x ∀∈-∞，34x x …C ．000(,0),34x x x ∃∈-∞<D ．000(,0),34x x x ∃∈-∞…2．在等比数列{}n a 中，32a =，58a =，则4(a = ) A ．4B ．5C ．4±D ．5±3．若a b c >>且0a b c ++=，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab ac >B ．ac bc >C ．||||a b c b >D ．222a b c >>4．设01x <<，则a =，1b x =+，11c x=-中最大的一个是( ) A ．aB ．bC ．cD ．不能确定5．在等比数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，若数列{1}n a +也是等比数列，则n S 等于( )A ．2nB ．3nC ．121n +-D ．31n -6．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且310a b c ++=，则(a = )A ．4B ．2C ．2-D ．4-7．设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为i a ，1i a +的矩形的面积(1i =，2，)⋯，则{}n A 为等比数列的充要条件是( )A ．{}n a 是等比数列B ．1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯或2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯是等比数列C ．1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯和2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯均是等比数列D ．1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯和2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯均是等比数列，且公比相同 8．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数）．公司决定从原有员工中分流(0100)x x <<人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2%x ．若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( ) A ．15B ．16C ．17D ．18二、填空题（共6小题：共30分）9．数列{}n a 中，已知11a =，22a =，*12()n n n a a a n N ++=+∈，则7a = ． 10．若实数x ，y 满足1xy =，则224x y +的最小值为 ． 11．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>；④222a b +>；⑤1ab >．其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是 ．（填序号，只有一个正确选项） 12．已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若1a ，2a ，5a 成等比数列，则8S = ．13．等比数列{}n a 中，若前n 项的和为21n n S =-，则222n a a a ++⋯+= ． 14．珠海市板樟山森林公园（又称澳门回归公园）的山顶平台上，有一座百子回归碑．百子回归碑是一座百年澳门简史，记载着近年来澳门的重大历史事件以及有关史地，人文资料等，如中央四数连读为19991220--标示澳门回归日，中央靠下有2350-标示澳门面积约为23.50平方公里．百子回归碑实为一个十阶幻方，是由1到100共100个整数填满100个空格，其横行数字之和与直列数字之和以及对角线数字之和都相等．请问如图2中对角线上数字（从左上到右下）之和为 ．三、解答题（共6小题：共80分）15．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =-． （1）若34a =，求{}n a 的通项公式；（2）若10a >，求使得n n S a …的n 的取值范围．16．已知命题：“{|11}x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题， （1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围．17．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110)x 剟，每小时可获得利润是3100(51)x x+-元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；（2）要使生产1200千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．18．已知:(1)(2)0p x x +-…，q ：关于x 的不等式2260x mx m +-+>恒成立． （1）当x R ∈时q 成立，求实数m 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．19．已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=，*n N ∈．数列{}n b 满足111n n n b a a +=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和． （1）求1a 、d 和n T ；（2）若对任意的*n N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+-恒成立，求实数λ的取值范围．20．已知无穷数列{}()n n a a Z ∈的前n 项和为n S ，记1S ，2S ，⋯，n S 中奇数的个数为n b ． （Ⅰ）若n a n =，请写出数列{}n b 的前5项；（Ⅱ）求证：“1a 为奇数，(2i a i =，3，4，)⋯为偶数”是“数列{}n b 是单调递增数列”的充分不必要条件；（Ⅲ）若i i a b =，1i =，2，3，⋯，求数列{}n a 的通项公式．2019-2020学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题：共40分）1．命题p ：“(,0)x ∀∈-∞，34x x …”的否定p ⌝为( ) A ．(,0)x ∀∈-∞，34x x <B ．(,0)x ∀∈-∞，34x x …C ．000(,0),34x x x ∃∈-∞<D ．000(,0),34x x x ∃∈-∞…【解答】解：命题是全称命题，则000:(,0),34x x p x ⌝∃∈-∞<， 故选：C ．2．在等比数列{}n a 中，32a =，58a =，则4(a = ) A ．4B ．5C ．4±D ．5±【解答】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ， 由已知得253a a q =，所以2q =±，都符合题意， 所以434a a q ==±， 故选：C ．3．若a b c >>且0a b c ++=，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab ac >B ．ac bc >C ．||||a b c b >D ．222a b c >>【解答】解：a b c >>且0a b c ++=，0a c ∴>>，b R ∈．ab ac ∴>，ac bc <，||a b 与||c b 大小关系不确定，2a 、2b 、2c 大小关系不确定．则上述不等式中正确的是A ． 故选：A ．4．设01x <<，则a =，1b x =+，11c x=-中最大的一个是( ) A ．aB ．bC ．cD ．不能确定【解答】解：01x <<，1x ∴+>=>． ∴只需比较1x +与11x-的大小． 2211110111x x x x x x --+-==-<---，111x x ∴+<-． 故选：C ．5．在等比数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，若数列{1}n a +也是等比数列，则n S 等于( )A ．2nB ．3nC ．121n +-D ．31n -【解答】解：因数列{}n a 为等比，则13n n a q -=， 因数列{1}n a +也是等比数列， 则212(1)(1)(1)n n n a a a +++=++211222n n n n n n a a a a a a ++++∴+=++212n n n a a a ++∴+=2(12)0n a q q ∴+-=1q ∴=即3n a =， 所以3n s n =， 故选：B ．6．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且310a b c ++=，则(a = )A ．4B ．2C ．2-D ．4-【解答】解：由互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，可设a b d =-，c b d =+，由题设得，2310()()b d b b d b d b b d -+++=⎧⎨-=+⎩，解方程组得26b d =⎧⎨=⎩，或20b d =⎧⎨=⎩，0d ≠， 2b ∴=，6d =， 4a b d ∴=-=-，故选：D ．7．设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为i a ，1i a +的矩形的面积(1i =，2，)⋯，则{}n A 为等比数列的充要条件是( )A ．{}n a 是等比数列B ．1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯或2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯是等比数列C ．1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯和2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯均是等比数列D ．1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯和2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯均是等比数列，且公比相同 【解答】解：依题意可知1i i i A a a +=， 112i i i A a a +++∴=，若{}n A 为等比数列则12(i i i iA a q q A a ++==为常数），则1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯和2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯均是等比数列，且公比均为q ；反之要想{}n A 为等比数列则12i i i iA a A a ++=需为常数，即需要1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯和2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯均是等比数列，且公比相等；故{}n A 为等比数列的充要条件是1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯和2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯均是等比数列，且公比相同． 故选：D ．8．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数）．公司决定从原有员工中分流(0100)x x <<人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2%x ．若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A ．15B ．16C ．17D ．18【解答】解：由题意，公司原有100人每年创造的产值为100t （万元）， 分流后剩余(100)x -人每年创造的产值为(100)(1 1.2%)x x t -+， 则由0100(100)(1 1.2%)100x x x t t <<⎧⎨-+⎩…，解得：5003x <<．x N ∈，x ∴的最大值为16．故选：B ．二、填空题（共6小题：共30分）9．数列{}n a 中，已知11a =，22a =，*12()n n n a a a n N ++=+∈，则7a = 1 ． 【解答】解：由12n n n a a a ++=+，得21n n n a a a ++=-， 所以3211a a a =-=，432121a a a =-=-=-，543112a a a =-=--=-，6542(1)1a a a =-=---=-，7651(2)1a a a ===---=．故答案为：1．10．若实数x ，y 满足1xy =，则224x y +的最小值为 4 ． 【解答】解：若实数x ，y 满足1xy =，则2242244x y x y xy +==…，当且仅当2x y ==时，上式取得最小值4． 故答案为：4．11．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>；④222a b +>；⑤1ab >．其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是 ③ ．（填序号，只有一个正确选项） 【解答】解：关于①，1a b +>，可取23a =，23b =，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”；关于②，2a b +=，可取1a =，1b =，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”； 关于④，222a b +>，可取2a =-，2b =-，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”； 关于⑤，1ab >，可取2a =-，2b =-，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”．关于③，若2a b +>，则a ，b 中至少有一个大于1，可用反证法证明，它是正确的． 证明如下：假设1a …且1b …， 则2a b +…．与已知条件“2a b +>”矛盾， 故假设不成立．即有a ，b 中至少有一个大于1，故③正确． 故选③．12．已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若1a ，2a ，5a 成等比数列，则8S = 64 ．【解答】解：{}n a 是等差数列，1a ，2a ，5a 成等比数列， ∴2111()(4)a d a a d +=+，又11a =，220d d ∴-=，公差0d ≠， 2d ∴=．∴其前8项和81878856642S a d ⨯=+⨯=+=． 故答案为：64．13．等比数列{}n a 中，若前n 项的和为21n n S =-，则222n a a a ++⋯+= 1)3n- ． 【解答】解：111a S ==，221312a S S =-=-=，∴公比2q =． 又数列2{}n a 也是等比数列，首项为211a =，公比为24q =，∴2222121(14)4(41)143nn a a a ⨯-++⋯+==-- 故答案为：4(41)3n -14．珠海市板樟山森林公园（又称澳门回归公园）的山顶平台上，有一座百子回归碑．百子回归碑是一座百年澳门简史，记载着近年来澳门的重大历史事件以及有关史地，人文资料等，如中央四数连读为19991220--标示澳门回归日，中央靠下有2350-标示澳门面积约为23.50平方公里．百子回归碑实为一个十阶幻方，是由1到100共100个整数填满100个空格，其横行数字之和与直列数字之和以及对角线数字之和都相等．请问如图2中对角线上数字（从左上到右下）之和为 505 ．【解答】解：由题意得：8275535419209843169505+++++++++=，故答案为：505．三、解答题（共6小题：共80分）15．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =-． （1）若34a =，求{}n a 的通项公式；（2）若10a >，求使得n n S a …的n 的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，等差数列{}n a 中，设其公差为d ， 若95S a =-，则19955()992a a S a a +⨯===-，变形可得50a =，即140a d +=， 若34a =，则5322a a d -==-， 则3(3)210n a a n d n =+-=-+， （2）若n n S a …，则11(1)(1)2n n na d a n d -++-…， 当1n =时，不等式成立，当2n …时，有12ndd a -…，变形可得1(2)n d a --…， 又由95S a =-，即19955()992a a S a a +⨯===-，则有50a =，即140a d +=，则有11(2)4a n a ---…， 又由10a >，则有10n …，则有210n 剟，综合可得：110n 剟．n N ∈． 16．已知命题：“{|11}x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题， （1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围．【解答】解：（1）由20x x m --=可得2211()24m x x x =-=--11x -<<∴124m -<…1{|2}4M m m =-<…（2）若x N ∈是x M ∈的必要条件，则M N ⊆①当2a a >-即1a >时，{|2}N x a x a =-<<，则12421a a a ⎧-<-⎪⎪⎨⎪>⎪⎩…即94a >②当2a a <-即1a <时，{|2}N x a x a =<<-，则11422a a a <⎧⎪⎪<-⎨⎪-⎪⎩…即14a <-③当2a a =-即1a =时，N ϕ=，此时不满足条件 综上可得9144a a ><-或17．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110)x 剟，每小时可获得利润是3100(51)x x+-元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；（2）要使生产1200千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【解答】解：（1）由题意可得：3200(51)3000x x +-…，即3514x x-…，解得3x …，又110x 剟， 310x ∴剟．（2）设生产1200千克产品的利润为y ，则2231200311161100(51)120000(5)120000[3()]612y x x x x x x =+-=-++=--+，∴当116x =即6x =时，y 取得最大值610000． 故甲厂以6千克/小时的速度生产可使利润最大，最大利润为610000元． 18．已知:(1)(2)0p x x +-…，q ：关于x 的不等式2260x mx m +-+>恒成立． （1）当x R ∈时q 成立，求实数m 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）244240m m +-<， 260m m ∴+-<，32m ∴-<<， ∴实数m 的取值范围为：(3,2)-．（2）:12p x -剟，设{|12}A x x =-剟，2{|260}B x x mx m =+-+>， p 是q 的充分不必要条件，A B ∴Ü①由（1）知，32m -<<时，B R =，满足题意；②3m =-时，2{|690}{|3}B x x x x x =-+>=≠，满足题意； ③2m =时，2{|440}{|2}B x x x x x =++>=≠-，满足题意； ④3m <-，或2m >时，设2()26f x x mx m =+-+， ()f x 对称轴为x m =-，由A B Ü得 1(1)0m f -<-⎧⎨->⎩或2(2)0m f ->⎧⎨>⎩， ∴1370m m >⎧⎨-+>⎩或23100m m <-⎧⎨+>⎩， ∴713m <<或1023m -<<-， ∴1033m -<<-或723m << 综上可知：10733m -<< 19．已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=，*n N ∈．数列{}n b 满足111n n n b a a +=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和． （1）求1a 、d 和n T ；（2）若对任意的*n N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+-恒成立，求实数λ的取值范围． 【解答】解：（1）2111a S a ==，10a ≠，11a ∴=．⋯．（1分） 223123a S a a a ==++，2(1)33d d ∴+=+，1d ∴=-，2，当1d =-时，20a =不满足条件，舍去． 因此2d =．⋯．（4分） 21n a n ∴=-，∴112121n b n n =--+，221n nT n ∴=+．⋯．（6分） （2）当n 为偶数时，2821n n n λ<++，∴(21)(8)18(217)22n n n n nλ++<=++， 828n n +…，当2n =时等号成立，∴18(217)2n n ++最小值为252， 因此252λ<． ⋯．（9分） 当n 为奇数时，(21)(8)18(215)22n n n n nλ+-<=--，82n n -在1n …时单调递增，1n ∴=时18(215)2n n --的最小值为212-，∴212λ<-． ⋯．（12分） 综上，212λ<-． ⋯．（14分） 20．已知无穷数列{}()n n a a Z ∈的前n 项和为n S ，记1S ，2S ，⋯，n S 中奇数的个数为n b ． （Ⅰ）若n a n =，请写出数列{}n b 的前5项；（Ⅱ）求证：“1a 为奇数，(2i a i =，3，4，)⋯为偶数”是“数列{}n b 是单调递增数列”的充分不必要条件；（Ⅲ）若i i a b =，1i =，2，3，⋯，求数列{}n a 的通项公式． 【解答】解：()n I a n =，(1)2n n n S +=． 11S ∴=，23S =，36S =，410S =，515S =．11b ∴=，22b =，32b =，42b =，53b =．证明：()II （充分性）1a 是奇数，(2i a i =，3，4)⋯为偶数， ∴对于任意*i N ∈，i S 都是奇数，n b n ∴=，∴数列{}n b 是单调递增数列．（不必要性）当数列{}n a 中只有2a 是奇数，其余项都是偶数时，1S 为偶数，(2i S i =，3，4)⋯均为奇数， 1n b n ∴=-，数列{}n b 是单调递增数列，∴ “1a 为奇数，(2i a i =，3，4，)⋯为偶数”是“数列{}n b 是单调递增数列”的不必要条件．综上，：“1a 为奇数，(2i a i =，3，4，)⋯为偶数”是“数列{}n b 是单调递增数列”的充分不必要条件．（Ⅲ）（1）当k a 为奇数时，若k S 为偶数，若1k a +是奇数，则1k S +为奇数，111k k k b b a +∴=+=+为偶数，与11k k a b ++=矛盾； 若1k a +为偶数，则1k S +为偶数，1k k k b b a +∴==为奇数，与11k k a b ++=矛盾． ∴当k a 为奇数时，k S 不能为偶数；（2）当k a 为偶数，若k S 为奇数，若1k a +为奇数，则1k S +为偶数，1k k k b b a +∴==为偶数，与11k k a b ++=矛盾， 若1k a +为偶数，则1k S +为奇数，111k k k b b a +∴=+=+为奇数，与11k k a b ++=矛盾， ∴当k a 为偶数时，k S 不能是奇数．综上，k a 与k S 同奇偶，111a b S ==为偶数，且101b 剟，110b a ∴==，22111a b b=+=…，且20b…，220b a∴==，以此类推，得到0na=．。

北京市清华大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共8小题）1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A. B. C. D.2.倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是( )A. B. C. D.3.过点（-1，2）且与直线2x-3y+4=0垂直的直线方程为（）A. B. C. D.4.设m是不为零的实数，则“m＞0”是“方程表示的曲线为双曲线”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|-|MF2|=1则△MF1F2是（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形6.已知点F1，F2是椭圆x2+2y2＝2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）A. 0B. 1C. 2D.7.已知直线x-y+m=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为正三角形，则实数m的值为（）A. B. C. 或 D. 或8.在△ABC中，AB=AC=1，D是AC的中点，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.双曲线x2-=1的渐近线方程为______．10.已知圆C的圆心在直线x-y=0上，过点（2，2）且与直线x+y=0相切，则圆C的方程是______．11.已知l为双曲线C：-=1的一条渐近线，其倾斜角为，且C的右焦点为（2，0），则C的右顶点为______ ，C的方程为______ ．12.已知圆的方程为x2+y2+2x-8y+8=0，过点P（1，0）作该园的一条切线，切点为A，那么线段PA的长度为______．13.若⊙O1：x2+y2=5与⊙O2：（x-m）2+y2=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是______．14.已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，•＝0，则C的离心率为三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数．16.（1）求函数f（x）图象的相邻两条对称轴的距离；17.（2）求函数f（x）在区间上的最大值与最小值，以及此时x的取值．18.19.20.21.22.23.24.25.在△ABC中，a2+c2=b2+ac．26.（1）求cos B的值；27.（2）若，a=8，求b以及S△ABC的值．28.29.30.31.32.33.34.35.已知的短轴长，离心率为，圆O：x2+y2=b2．36.（1）求椭圆C和圆O的方程；37.（2）过椭圆左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，，若直线l于圆O交于M，N两点，求直线l的方程及△OAB与△OMN的面积之比．38.39.40.41.42.43.44.45.已知函数f（x）=（ax+a）e x（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，已知f（x）和g（x）在x=0处有相同的切线．46.（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；47.（2）求函数f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值；48.（3）判断函数F（x）=2f（x）-g（x）+2的零点个数，并说明理由．49.50.51.52.53.54.55.56.已知椭圆的焦点到短轴的端点的距离为，离心率为．57.（1）求椭圆C的方程；58.（2）过点（1，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，过点B作平行于x轴的直线BN，交直线x=5于点N，求证：直线AN恒过定点．59.60.61.62.63.64.65.66.已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数n，该数列前n项的最大值记为A n，第n项之后各项a n+1，a n+2，…的最小值记为B n，记d n=A n-B n．67.（1）若数列{a n}的通项公式为a n=，求数列{d n}的通项公式；68.（2）证明：“数列{a n}单调递增”是“∀n∈N*，d n＜0”的充要条件；69.（3）若d n=a n对任意n∈N*恒成立，证明：数列{a n}的通项公式为a n=0．70.71.72.73.74.75.76.答案和解析1.【答案】D【解析】解：已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴a=2b，椭圆的离心率，故选D．根据椭圆的长轴长是短轴长的2倍可知a=2b，进而可求得c关于a的表达式，进而根据求得e．本题主要考查了椭圆的基本性质．属基础题．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查倾斜角与斜率的关系，用斜截式求直线的方程方法，解题的关键是正确把握截距的含义，属于基础题．先求出直线的斜率，再利用在y轴上的截距是-1，用斜截式写出直线方程．【解答】∵直线倾斜角是135°，∴直线的斜率等于-1，∵在y轴上的截距是-1，由直线方程的斜截式得：y=-x-1，亦即x+y+1=0.故选：D．3.【答案】A【解析】解：∵所求直线方程与直线2x-3y+4=0垂直，∴设方程为-3x-2y+c=0∵直线过点（-1，2），∴-3×（-1）-2×2+c=0∴c=1∴所求直线方程为3x+2y-1=0．故选：A．根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x-3y+4=0垂直的直线方程为-3x-2y+c=0，再把点（-1，2）代入，即可求出c值，得到所求方程．本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于常规题．4.【答案】A【解析】解：方程表示的曲线为双曲线⇔m≠0．∴“m＞0”是“方程表示的曲线为双曲线”的充分不必要条件．故选：A．方程表示的曲线为双曲线⇔m≠0．即可判断出结论．本题考查了双曲线的标准方程、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意，|F1F2|=2，|MF1|+|MF2|=4，∵|MF1|-|MF2|=1，∴|MF1|=，|MF2|=，∴|MF2|2+|F1F2|2=|MF1|2，故选：B．由椭圆的定义知，|F1F2|=2，|MF1|+|MF2|=4，又由|MF1|-|MF2|=1可知，|MF2|2+|F1F2|2=|MF1|2．本题考查了椭圆的定义以及简单性质的应用，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：∵O为F1F2的中点，∴=2，可得=2||当点P到原点的距离最小时，||达到最小值，同时达到最小值．∵椭圆x2+2y2=2化成标准形式，得=1，∴a2=2且b2=1，可得a=，b=1，因此点P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即||最小值为b=1∴=2||的最小值为2故选：C．根据向量的加法法则和三角形中线的性质，可得等于点P到原点距离的2倍，由此结合椭圆的标准方程和简单几何性质，即可得到的最小值是2．本题给出点F1、F2是椭圆的两个焦点，求椭圆上一个动点P指向两个焦点所成向量和的向量长度的最小值，着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：直线x-y+m=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为正三角形，则：△AOB的边长为1，则：圆心（0，0）到直线x-y+m=0的距离d=，解得：m=±．故选：D．直接利用等边三角形的性质，进一步利用点到直线的距离公式求出结果．本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用．8.【答案】A【解析】解：=-（），设∠CAB=α∈（0，π），所以=-=-[]=--cos（π-α）=-（）∈．故选：A．利用已知条件表示的表达式，然后求解范围即可．本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力．9.【答案】y=±x【解析】解：双曲线x2-=1的a=1，b=，可得渐近线方程为y=±x，即有y=±x．故答案为：y=±x．由双曲线的方程-=1的渐近线方程为y=±x，求得a，b，即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的性质，考查运算能力，属于基础题．10.【答案】（x-1）2+（y-1）2=2【解析】解：根据题意，圆C的圆心在直线x-y=0上，设圆C的圆心为（a，a），半径为r；又由圆C过点（2，2）且与直线x+y=0相切，则有r2=（a-2）2+（a-2）2=（）2，解可得a=1，即圆心的坐标为（1，1），则r2=（a-2）2+（a-2）2=2，则圆C的方程为（x-1）2+（y-1）2=2；故答案为：（x-1）2+（y-1）2=2．根据题意，设圆C的圆心为（a，a），半径为r，结合题意可得r2=（a-2）2+（a-2）2=（）2，解可得a的值，即可得圆心的坐标，据此求出r的值，由圆的标准方程即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系以及圆的标准方程的计算，关键是求出圆的圆心，属于基础题．11.【答案】（，0）；-=1【解析】解：由题意可得c=2，即a2+b2=4，一条渐近线的斜率为k==tan=1，解得a=b=，则双曲线的右顶点为（，0），C的方程为-=1．故答案为：（，0），-=1．由题意可得c=2，求出渐近线方程，解方程可得a，b，即可得到右顶点和双曲线的方程．本题考查双曲线的顶点坐标和渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．12.【答案】【解析】解：圆x2+y2+2x-8y+8=0，即（x+1）2+（y-4）2=9，表示以C（-1，4）为圆心、半径R=3的圆，再由切线长定理可得切线长PA=，故答案为：．由条件求得圆的标准方程，可得圆心坐标和半径，再利用切线长定理求得切线长PA的值．本题主要考查直线和圆相切的性质，切线长定理，属于基础题13.【答案】4【解析】解：由题知O1（0，0），O2（m，0），半径分别为，2，根据两圆相交，可得圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和，即＜m＜3．又O1A⊥O2A，所以有m2=+=25，∴m=±5．再根据=•AO1•AO2=O1O2•，求得AB=2×=4，故答案为：4．画出草图，O1A⊥AO2，有勾股定理可得m的值，再用等面积法，求线段AB的长度．本小题主要考查圆的标准方程、两直线的位置关系、直线和圆相交的性质等知识，属于基础题．14.【答案】2【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．由题意画出图形，结合已知可得F1B⊥OA，结合双曲线的对称性可得一条渐近线方程的倾斜角为，从而可得，进而求出离心率.【解答】解：如图，∵=，且•=0，∴,∴OA⊥F1B，则,则,所以一条渐近线的斜率为,所以,故答案为：2．15.【答案】解：==2sin（2x+）+1．（1）函数f（x）图象的相邻两条对称轴的距离为；（2）∵x∈，∴2x+∈[，]，∴当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值为3；当2x+=，即x=-时，f（x）取得最大值为-1．【解析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积．（1）求出函数的半周期得答案；（2）由x的范围求出相位的范围，进一步求得函数的最值及使函数取得最值的x值．本题考查y=A sin（ωx+φ）型函数的图象与性质，训练了倍角公式与两角和的正弦的应用，是基础题．16.【答案】解：（1）由余弦定理及已知得：cos B==，（2）因为A，B为三角形内角，所以sin A===，sin B===，由正弦定理得：b===7，又∵cos A==．∴c2-2c-15=0，解得c=5 （c=-3舍）．∴S△ABC=bc•sin A=．【解析】（1）直接把等式变形即可求解；（2）先利用同角三角函数关系式求出角A，B的正弦值，再借助于正弦定理求出b，带入已知条件求出c，进而求出三角形的面积．本题主要考查余弦定理以及同角三角函数基本关系式，并涉及到三角形的面积公式和计算能力，属于中档题目．17.【答案】解：（1）由题得b=，e==，所以c2=a2，所以b2=a2=3，则a2=4，所以椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2=3；（2）根据题意可知，左焦点F（-1，0），且直线l的斜率存在且不为0，不妨设y=k（x+1），联立，整理得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，所以x A+x B=，，所以|AB|=|x A-x B|==12×=，解得k=±，则l：y=（x+1）；所以原点到l的距离d==，所以△AOB面积为=；MN=2=3，所以△MON面积为=，所以△OAB与△OMN的面积之比为16：15．【解析】（1）由条件可知b，再结合离心率即可求出a；（2）有条件可知k存在且不为0，联立椭圆与直线l方程，用k表示出|AB|，求出k即可得l方程；根据l方程可求出圆心到l距离，|MN|，表示出面积即可求出面积之比．本题考查椭圆方程的求法，涉及直线与圆的交点，直线与椭圆的交点等，属于中档题．18.【答案】解：（1）f（x）=（ax+a）e x（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，f（0）=a，g（0）=2．f′（x）=a（x+2）e x，g′（x）=2x+b，f′（0）=2a，g′（0）=b．∵f（x）和g（x）在x=0处有相同的切线．∴2a=b，a=2．解得a=2，b=4．∴f（x）=2（x+1）e x，g（x）=x2+4x+2，（2）f（x）=2（x+1）e x，x∈[-3，3]．f′（x）=2（x+2）e x，可得f（x）在[-3，-2）上单调递减，在（-2，3]上单调递增．∴x=-2时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（-2）=-．又f（-3）=，f（3）=8e3．∴x=3时，函数f（x）取得最大值，f（3）=8e3．综上可得：函数f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值分别为：8e3，-．（3）函数F（x）=2f（x）-g（x）+2=4（x+1）e x-x2-4x．F′（x）=4（x+2）e x-2x-4=2（x+2）（2e x-1）．令F′（x）=0，解得x=-2，x=-ln2．可得：x=-2时，函数F（x）取得极大值，F（-2）=4-＞0；x=-ln2．函数F（x）取得极小值，F（-ln2）=2+2ln2-ln22＞0．又x→-∞时，F（x）→-∞．可得：函数F（x）=2f（x）-g（x）+2只有一个零点．【解析】（1）f（x）=（ax+a）e x（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，f（0）=a，g（0）=2．利用导数运算性质可得：f′（x），g′（x），根据f（x）和g（x）在x=0处有相同的切线．可得f′（0）=g′（0）．f（0）=g（0），联立解得a，b．（2）f（x）=2（x+1）e x，x∈[-3，3]．利用导数运算法则可得：f′（x），研究其单调性可得极值，再求出区间端点函数值即可得出．（3）函数F（x）=2f（x）-g（x）+2=4（x+1）e x-x2-4x．利用导数研究函数的单调性极值即可得出函数F（x）的零点个数．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.【答案】解：（1）由椭圆的焦点到短轴的端点的距离为，则a=，又离心率为，即e==，解得c=2，∴b2=a2-c2=1，∴椭圆C的方程为+y2=1；（2）证明：当直线l的斜率不存在，即方程设为x=1，代入椭圆方程可得y=±=±，即有A（1，），B（1，-），N（5，-），直线AN的方程为y=-（x-3），直线AN恒过定点Q（3，0）；当直线l的斜率存在，设过点（1，0）的直线l的方程为y=k（x-1），由，消去y整理得（1+5k2）x2-10k2x+5k2-5=0．由△=100k4-4（1+5k2）（5k2-5）=80k2+20＞0恒成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），N（5，y2），则x1+x2=，…①，x1x2=，…②，k AN==，由k QN===，k AN-k QN=k（-）=k•，由①②可得x1x2-3（x1+x2）+5=-3•+5=0，则k AN-k QN=0，即k AN=k QN，综上可得直线AN过定点（3，0）．【解析】（1）由题意可得a=，由离心率公式可得c，再由a，b，c的关系可得b，即可得到所求椭圆方程；（2）讨论直线l的斜率不存在，设为x=1，求得A，B，N的坐标，可得直线AN的方程，直线AN恒过定点Q（3，0）；当直线l的斜率存在，设过点（1，0）的直线l的方程为y=k（x-1），联立椭圆方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，结合三点共线的条件，即可得到定点．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于难题．20.【答案】解：（1）当1≤n≤4，数列{a n}是递减数列，最大为a1=4，又a4=a5=...=a n= (1)所以A n=4，B n=1，n=1，2，3，…，所以d n=A n-B n=4-1=3，（2）充分性：数列{a n}单调递增，则a1＜a2＜…＜a n＜…，则A n=a1，B n=a n+1，所以d n=A n-B n=a1-a n+1＜0；必要性：数列{a n}，∀n∈N*，d n＜0，d n=A n-B n＜0，d1=A1-B1＜0，a1＜B1=min{a2，…，a n+1，…}，所以a1＜a2，d2=A2-B2＜0，A n=max{a1，a2}=a2，B2=min{a3，…，a n+1，…}，所以a2＜a3，同理a3＜a4＜…＜a n…即数列{a n}单调递增，故“数列{a n}单调递增”是“∀n∈N*，d n＜0”的充要条件．（3）反证法：若d n=a n对任意n∈N*恒成立，数列{a n}的通项a n≠0．当n=1时，d1=a1=A1-B1，A n=a1，所以B1=0，这说明从第二项起，至少有一个项为0，这与假设矛盾，故原命题成立．【解析】（1）当1≤n≤4，数列{a n}是递减数列，最大为a1=4，又a4=a5=...=a n= (1)所以A n=4，B n=1，n=1，2，3，…，所以d n=A n-B n=4-1=3，（2）充分性：数列{a n}单调递增，则a1＜a2＜…＜a n＜…，则A n=a1，B n=a n+1，所以d n=A n-B n=a1-a n+1＜0；必要性：数列{a n}，∀n∈N*，d n＜0，d n=A n-B n＜0，逐步推出a1＜a2＜a3＜a4＜…＜a n…（3）采用了反证法，假设d n=a n对任意n∈N*恒成立，数列{a n}的通项公式为a n≠0，推出矛盾．本题考查了新定义和应用，考查了充要条件的证明，以及反证法，属于中档题．。

2019-2020学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题：共40分）1．命题p ：“(,0)x ∀∈-∞，34x x ”的否定p ⌝为()A ．(,0)x ∀∈-∞，34x x <B ．(,0)x ∀∈-∞，34x xC ．000(,0),34x x x ∃∈-∞<D ．000(,0),34x x x ∃∈-∞ 2．在等比数列{}n a 中，32a =，58a =，则4(a =)A ．4B ．5C ．4±D ．5±3．若a b c >>且0a b c ++=，则下列不等式中正确的是()A ．ab ac>B ．ac bc>C ．||||a b c b >D ．222a b c >>4．设01x <<，则a =，1b x =+，11c x=-中最大的一个是()A ．aB ．bC ．cD ．不能确定5．在等比数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，若数列{1}n a +也是等比数列，则n S 等于()A ．2nB ．3nC ．121n +-D ．31n -6．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且310a b c ++=，则(a =)A ．4B ．2C ．2-D ．4-7．设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为i a ，1i a +的矩形的面积(1i =，2，)⋯，则{}n A 为等比数列的充要条件是()A ．{}n a 是等比数列B ．1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯或2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯是等比数列C ．1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯和2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯均是等比数列D ．1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯和2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯均是等比数列，且公比相同8．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数）．公司决定从原有员工中分流(0100)x x <<人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2%x ．若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是()A ．15B ．16C ．17D ．18二、填空题（共6小题：共30分）9．数列{}n a 中，已知11a =，22a =，*12()n n n a a a n N ++=+∈，则7a =．10．若实数x ，y 满足1xy =，则224x y +的最小值为．11．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>；④222a b +>；⑤1ab >．其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是．（填序号，只有一个正确选项）12．已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若1a ，2a ，5a 成等比数列，则8S =．13．等比数列{}n a 中，若前n 项的和为21n n S =-，则222n a a a ++⋯+=．14．珠海市板樟山森林公园（又称澳门回归公园）的山顶平台上，有一座百子回归碑．百子回归碑是一座百年澳门简史，记载着近年来澳门的重大历史事件以及有关史地，人文资料等，如中央四数连读为19991220--标示澳门回归日，中央靠下有2350-标示澳门面积约为23.50平方公里．百子回归碑实为一个十阶幻方，是由1到100共100个整数填满100个空格，其横行数字之和与直列数字之和以及对角线数字之和都相等．请问如图2中对角线上数字（从左上到右下）之和为．三、解答题（共6小题：共80分）15．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =-．（1）若34a =，求{}n a 的通项公式；（2）若10a >，求使得n n S a 的n 的取值范围．16．已知命题：“{|11}x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题，（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围．17．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110)x ，每小时可获得利润是3100(51)x x+-元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；（2）要使生产1200千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．18．已知:(1)(2)0p x x +- ，q ：关于x 的不等式2260x mx m +-+>恒成立．（1）当x R ∈时q 成立，求实数m 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．19．已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足221nn a S -=，*n N ∈．数列{}n b 满足111n n n b a a +=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（1）求1a 、d 和n T ；（2）若对任意的*n N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+- 恒成立，求实数λ的取值范围．20．已知无穷数列{}()n n a a Z ∈的前n 项和为n S ，记1S ，2S ，⋯，n S 中奇数的个数为n b ．（Ⅰ）若n a n =，请写出数列{}n b 的前5项；（Ⅱ）求证：“1a 为奇数，(2i a i =，3，4，)⋯为偶数”是“数列{}n b 是单调递增数列”的充分不必要条件；（Ⅲ）若i i a b =，1i =，2，3，⋯，求数列{}n a 的通项公式．2019-2020学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题：共40分）1．命题p ：“(,0)x ∀∈-∞，34x x ”的否定p ⌝为()A ．(,0)x ∀∈-∞，34x x <B ．(,0)x ∀∈-∞，34x xC ．000(,0),34x x x ∃∈-∞<D ．000(,0),34x x x ∃∈-∞ 【解答】解：命题是全称命题，则000:(,0),34x x p x ⌝∃∈-∞<，故选：C ．2．在等比数列{}n a 中，32a =，58a =，则4(a =)A ．4B ．5C ．4±D ．5±【解答】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知得253a a q = ，所以2q =±，都符合题意，所以434a a q ==± ，故选：C ．3．若a b c >>且0a b c ++=，则下列不等式中正确的是()A ．ab ac>B ．ac bc>C ．||||a b c b >D ．222a b c >>【解答】解：a b c >>且0a b c ++=，0a c ∴>>，b R ∈．ab ac ∴>，ac bc <，||a b 与||c b 大小关系不确定，2a 、2b 、2c 大小关系不确定．则上述不等式中正确的是A ．故选：A ．4．设01x <<，则a =，1b x =+，11c x=-中最大的一个是()A ．aB ．bC ．cD ．不能确定【解答】解：01x << ，1x ∴+>=>．∴只需比较1x +与11x-的大小．2211110111x x x x x x --+-==-<--- ，111x x∴+<-．故选：C ．5．在等比数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，若数列{1}n a +也是等比数列，则n S 等于()A ．2nB ．3nC ．121n +-D ．31n -【解答】解：因数列{}n a 为等比，则13n n a q -=，因数列{1}n a +也是等比数列，则212(1)(1)(1)n n n a a a +++=++211222n n n n n n a a a a a a ++++∴+=++212n n n a a a ++∴+=2(12)0n a q q ∴+-=1q ∴=即3n a =，所以3n s n =，故选：B ．6．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且310a b c ++=，则(a =)A ．4B ．2C ．2-D ．4-【解答】解：由互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，可设a b d =-，c b d =+，由题设得，2310()()b d b b d b d b b d -+++=⎧⎨-=+⎩，解方程组得26b d =⎧⎨=⎩，或20b d =⎧⎨=⎩，0d ≠ ，2b ∴=，6d =，4a b d ∴=-=-，故选：D ．7．设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为i a ，1i a +的矩形的面积(1i =，2，)⋯，则{}n A 为等比数列的充要条件是()A ．{}n a 是等比数列B ．1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯或2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯是等比数列C ．1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯和2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯均是等比数列D ．1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯和2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯均是等比数列，且公比相同【解答】解：依题意可知1i i i A a a += ，112i i i A a a +++∴= ，若{}n A 为等比数列则12(i i i iA a q q A a ++==为常数），则1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯和2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯均是等比数列，且公比均为q ；反之要想{}n A 为等比数列则12i i i iA a A a ++=需为常数，即需要1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯和2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯均是等比数列，且公比相等；故{}n A 为等比数列的充要条件是1a ，3a ，⋯，21n a -，⋯和2a ，4a ，⋯，2n a ，⋯均是等比数列，且公比相同．故选：D ．8．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数）．公司决定从原有员工中分流(0100)x x <<人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2%x ．若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是()A ．15B ．16C ．17D ．18【解答】解：由题意，公司原有100人每年创造的产值为100t （万元），分流后剩余(100)x -人每年创造的产值为(100)(1 1.2%)x x t -+，则由0100(100)(1 1.2%)100x x x t t <<⎧⎨-+⎩ ，解得：5003x <<．x N ∈ ，x ∴的最大值为16．故选：B ．二、填空题（共6小题：共30分）9．数列{}n a 中，已知11a =，22a =，*12()n n n a a a n N ++=+∈，则7a =1．【解答】解：由12n n n a a a ++=+，得21n n n a a a ++=-，所以3211a a a =-=，432121a a a =-=-=-，543112a a a =-=--=-，6542(1)1a a a =-=---=-，7651(2)1a a a ===---=．故答案为：1．10．若实数x ，y 满足1xy =，则224x y +的最小值为4．【解答】解：若实数x ，y 满足1xy =，则2242244x y x y xy +== ，当且仅当2x y ==时，上式取得最小值4．故答案为：4．11．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>；④222a b +>；⑤1ab >．其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是③．（填序号，只有一个正确选项）【解答】解：关于①，1a b +>，可取23a =，23b =，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”；关于②，2a b +=，可取1a =，1b =，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”；关于④，222a b +>，可取2a =-，2b =-，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”；关于⑤，1ab >，可取2a =-，2b =-，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”．关于③，若2a b +>，则a ，b 中至少有一个大于1，可用反证法证明，它是正确的．证明如下：假设1a 且1b ，则2a b + ．与已知条件“2a b +>”矛盾，故假设不成立．即有a ，b 中至少有一个大于1，故③正确．故选③．12．已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若1a ，2a ，5a 成等比数列，则8S =64．【解答】解：{}n a 是等差数列，1a ，2a ，5a 成等比数列，∴2111()(4)a d a a d +=+ ，又11a =，220d d ∴-=，公差0d ≠，2d ∴=．∴其前8项和81878856642S a d ⨯=+⨯=+=．故答案为：64．13．等比数列{}n a 中，若前n 项的和为21n n S =-，则222n a a a ++⋯+=4(41)3n-．【解答】解：111a S == ，221312a S S =-=-=，∴公比2q =．又 数列2{}n a 也是等比数列，首项为211a =，公比为24q =，∴2222121(14)4(41)143nn a a a ⨯-++⋯+==--故答案为：4(41)3n -14．珠海市板樟山森林公园（又称澳门回归公园）的山顶平台上，有一座百子回归碑．百子回归碑是一座百年澳门简史，记载着近年来澳门的重大历史事件以及有关史地，人文资料等，如中央四数连读为19991220--标示澳门回归日，中央靠下有2350-标示澳门面积约为23.50平方公里．百子回归碑实为一个十阶幻方，是由1到100共100个整数填满100个空格，其横行数字之和与直列数字之和以及对角线数字之和都相等．请问如图2中对角线上数字（从左上到右下）之和为505．【解答】解：由题意得：8275535419209843169505+++++++++=，故答案为：505．三、解答题（共6小题：共80分）15．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =-．（1）若34a =，求{}n a 的通项公式；（2）若10a >，求使得n n S a 的n 的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，等差数列{}n a 中，设其公差为d ，若95S a =-，则19955()992a a S a a +⨯===-，变形可得50a =，即140a d +=，若34a =，则5322a a d -==-，则3(3)210n a a n d n =+-=-+，（2）若n n S a ，则11(1)(1)2n n na d a n d -++- ，当1n =时，不等式成立，当2n 时，有12ndd a - ，变形可得1(2)n d a -- ，又由95S a =-，即19955()992a a S a a +⨯===-，则有50a =，即140a d +=，则有11(2)4a n a --- ，又由10a >，则有10n ，则有210n ，综合可得：110n ．n N ∈．16．已知命题：“{|11}x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题，（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围．【解答】解：（1）由20x x m --=可得2211()24m x x x =-=--11x -<< ∴124m -< 1{|2}4M m m =-< （2）若x N ∈是x M ∈的必要条件，则M N⊆①当2a a >-即1a >时，{|2}N x a x a =-<<，则12421a a a ⎧-<-⎪⎪⎨⎪>⎪⎩即94a >②当2a a <-即1a <时，{|2}N x a x a =<<-，则11422a a a <⎧⎪⎪<-⎨⎪-⎪⎩ 即14a <-③当2a a =-即1a =时，N ϕ=，此时不满足条件综上可得9144a a ><-或17．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110)x ，每小时可获得利润是3100(51)x x+-元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；（2）要使生产1200千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【解答】解：（1）由题意可得：3200(513000x x+- ，即3514x x- ，解得3x ，又110x ，310x ∴ ．（2）设生产1200千克产品的利润为y ，则2231200311161100(51120000(5)120000[3(612y x x x x x x =+-=-++=--+ ，∴当116x =即6x =时，y 取得最大值610000．故甲厂以6千克/小时的速度生产可使利润最大，最大利润为610000元．18．已知:(1)(2)0p x x +- ，q ：关于x 的不等式2260x mx m +-+>恒成立．（1）当x R ∈时q 成立，求实数m 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）244240m m +-< ，260m m ∴+-<，32m ∴-<<，∴实数m 的取值范围为：(3,2)-．（2）:12p x - ，设{|12}A x x =- ，2{|260}B x x mx m =+-+>，p 是q 的充分不必要条件，A B∴Ü①由（1）知，32m -<<时，B R =，满足题意；②3m =-时，2{|690}{|3}B x x x x x =-+>=≠，满足题意；③2m =时，2{|440}{|2}B x x x x x =++>=≠-，满足题意；④3m <-，或2m >时，设2()26f x x mx m =+-+，()f x 对称轴为x m =-，由A B Ü得1(1)0m f -<-⎧⎨->⎩或2(2)0m f ->⎧⎨>⎩，∴1370m m >⎧⎨-+>⎩或23100m m <-⎧⎨+>⎩，∴713m <<或1023m -<<-，∴1033m -<<-或723m <<综上可知：10733m -<<19．已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足221nn a S -=，*n N ∈．数列{}n b 满足111n n n b a a +=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（1）求1a 、d 和n T ；（2）若对任意的*n N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+- 恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1） 2111a S a ==，10a ≠，11a ∴=．⋯．（1分）223123a S a a a ==++，2(1)33d d ∴+=+，1d ∴=-，2，当1d =-时，20a =不满足条件，舍去．因此2d =．⋯．（4分）21n a n ∴=-，∴112121n b n n =--+，221n n T n ∴=+．⋯．（6分）（2）当n 为偶数时，2821n n n λ<++，∴(21)(8)18(217)22n n n n n λ++<=++， 828n n + ，当2n =时等号成立，∴18(217)2n n ++最小值为252，因此252λ<．⋯．（9分）当n 为奇数时，(21)(8)18(215)22n n n n n λ+-<=--， 82n n -在1n 时单调递增，1n ∴=时18(215)2n n --的最小值为212-，∴212λ<-．⋯．（12分）综上，212λ<-．⋯．（14分）20．已知无穷数列{}()n n a a Z ∈的前n 项和为n S ，记1S ，2S ，⋯，n S 中奇数的个数为n b ．（Ⅰ）若n a n =，请写出数列{}n b 的前5项；（Ⅱ）求证：“1a 为奇数，(2i a i =，3，4，)⋯为偶数”是“数列{}n b 是单调递增数列”的充分不必要条件；（Ⅲ）若i i a b =，1i =，2，3，⋯，求数列{}n a 的通项公式．【解答】解：()n I a n =，(1)2n n n S +=．11S ∴=，23S =，36S =，410S =，515S =．11b ∴=，22b =，32b =，42b =，53b =．证明：()II （充分性）1a 是奇数，(2i a i =，3，4)⋯为偶数，∴对于任意*i N ∈，i S 都是奇数，n b n ∴=，∴数列{}n b 是单调递增数列．（不必要性）当数列{}n a 中只有2a 是奇数，其余项都是偶数时，1S 为偶数，(2i S i =，3，4)⋯均为奇数，1n b n ∴=-，数列{}n b 是单调递增数列，∴“1a 为奇数，(2i a i =，3，4，)⋯为偶数”是“数列{}n b 是单调递增数列”的不必要条件．综上，：“1a 为奇数，(2i a i =，3，4，)⋯为偶数”是“数列{}n b 是单调递增数列”的充分不必要条件．（Ⅲ）（1）当k a 为奇数时，若k S 为偶数，若1k a +是奇数，则1k S +为奇数，111k k k b b a +∴=+=+为偶数，与11k k a b ++=矛盾；若1k a +为偶数，则1k S +为偶数，1k k k b b a +∴==为奇数，与11k k a b ++=矛盾．∴当k a 为奇数时，k S 不能为偶数；（2）当k a 为偶数，若k S 为奇数，若1k a +为奇数，则1k S +为偶数，1k k k b b a +∴==为偶数，与11k k a b ++=矛盾，若1k a +为偶数，则1k S +为奇数，111k k k b b a +∴=+=+为奇数，与11k k a b ++=矛盾，∴当k a 为偶数时，k S 不能是奇数．综上，k a 与k S 同奇偶，111a b S == 为偶数，且101b ，110b a ∴==，22111a b b=+=，且20b ，220b a∴==，以此类推，得到0na=．。