九年级数学下册第24章圆24.4直线与圆的位置关系第3课时切线长定理学案沪科版

24.4 直线与圆的位置关系东宫白庶子,南寺远禅师。

——白居易《远师》枫岭头学校张海泉第1课时直线与圆的三种位置关系、切线的性质定理1．了解并掌握直线与圆的不同位置关系时的有关概念；2．能够运用直线与圆的位置关系解决实际问题(重点、难点)．一、情境导入你看过日出吗，如图是海上日出的一组图片，如果把海平面看做一条直线，太阳看做一个圆，在日出过程中，二者会出现几种位置关系呢？二、合作探究探究点：直线与圆的位关系【类型一】根据点到直线的距离判断直线与圆的位置关系已知⊙O的半径为5，点P在直线l上，且OP＝5，直线l与⊙O的位置关系是( )A．相切 B．相交C．相离 D．相切或相交解析：分两种情况讨论：(1)OP⊥直线l，则圆心到直线l的距离为5，此时直线l与⊙O相切；(2)若OP与直线l不垂直，则圆心到直线的距离小于5，此时直线l与⊙O相交．所以本题选D.[方法总结：判断直线与圆的位置关系，主要看该圆心到直线的距离，所以要判断直线与圆的位置关系，我们先确定圆心到直线的距离．【类型二】由直线和圆的位置关系确定圆心到直线的距离已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d 的取值范围是________．解析：因为直线l与圆没有交点，所以直线l与圆相离，所以圆心到直线的距离大于圆的半径，即d＞5.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型三】直线与圆的位置关系与一元二次方程的综合已知⊙O的半径为R，点O到直线m的距离为d，R、d是方程x2－2x ＋a＝0的两根，当直线m与⊙O相切时，求a的值．解析：由直线m与⊙O相切可得出d＝R，即方程x2－2x＋a＝0有两个相等的根，由Δ＝0即可求出a的值．解：∵直线m与⊙O相切，∴d＝R.即方程x2－2x＋a＝有两个相等的根，∴Δ＝4－4a＝0，∴a＝1.方法总结：由直线与圆的位置关系可知：当直线与圆相切时，d＝R.再结合一元二次方程根的判别式的知识，列出关于未知数的方程，即可得解．【类型四】坐标系内直线与圆的位置关系的应用如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点．若点M的坐标是(－4，－2)，则点N的坐标为( ) A．(－1，－2 B．(1，2)C．(－1.5，－2) D．(1.5，－2)解析：过点A作AQ⊥MN于点Q，连接AN，设半径为r，由垂径定理有MQ＝NQ，所以AQ＝2，AN＝r，NQ＝4－r，利用勾股定理得r2＝4＋(4－r)2，解得r ＝2.5，可以求出NQ＝1.5，所以N点坐标为(－1，－2)．故选A.方法总结：在圆中如果有弦要求线的长度，通常要将经过圆心的半径画出，利用垂径定理和勾股定理解决问题．【类型五】 直线与圆的位置关系中的移动问题如图，∠ABC ＝80°，O 为射线BC 上一点，以点O 为圆心，12OB 长为半径作⊙O ，要使射线BA 与⊙O 相切，应将射线A 绕点B 按顺时针方向转( ) A ．40°或80° B ．50°或100°C ．50°或110°D ．60°或120°解析：如图，①当BA ′与⊙O 相切，且BA ′位于BC 上方时，设切点为P ，连接OP ，则∠OPB ＝90°；Rt △OPB 中，OB ＝2OP ，∴∠A ′BO ＝30°，∴∠ABA ′＝50°；②当A ′与⊙O 相切，且BA ′位于BC 下方时同①，可求得∠A ′BO ＝30°，此时∠ABA ′＝80°＋30°＝110°.故旋转角α的度数为50°或110°，故选C.方法总结：此题主要考查的是切线的性质，以及解直角三角形的应用，需注意切线的位置有两种情况，不要漏解．当BA ′与⊙O 相切时，可连接圆心与切点，通过构建的直角三角形，求出∠A ′BO 的度数，然后再根据BA ′的不同位置分类讨论．三、板书设计直线与圆的位置关系(1)相交：直线与圆有两个交点，直线l 与⊙O 相交d <r ；(2)相切：直线与圆只有一个交点，直线l 与⊙O 相切d ＝r ；(3)相离：直线与圆没有公共点，直线l 与⊙O 相离d >r .[教学过程中，强调学生从实际生活中感受、体会直线与圆的几种位置关系，并会用数学语言来描述归纳，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提升学生独立思考问题的能力.【素材积累】1、一个房产经纪人死后和上帝的对话一个房产经纪人死后，和上帝喝茶。

第24章 圆24.4 直线与圆的位置关系第3课时 切线长定理教学目标1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明.2.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.教学重难点重点：掌 握切线长定理.难点：学会运用切线长定理进行计算与证明，利用方程思想解决几何问题. 教学过程导入新课1.上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线，如果点P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？2.过圆外一点作圆的切线，可以作几条？探究新知1.切线长 （1）切线长的定义：切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.（2）切线与切线长的区别： ①切线是直线，不能度量；度量.2.切线长定理问题情境：在透明纸上画出右图，设P A ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 是切点，沿直线OP 对折图形，你能猜测一下P A 与PB ，∠APO 与∠BPO 分别有什么关系吗？师生活动：学生按要求动手操作，小组交流讨论，并用语言描述发现的结论，教师适时点拨，得出结论：P A ＝PB ，∠APO ＝∠BPO .教师追问：你能用你学过的知识进行证明吗？师生活动：学生尝试证明，教师巡视，适时点拨，抽一名学生到黑板板书证明过程.【解】如上图，连接OA ，OB ， ∵ P A ，PB 是⊙O 的两条切线， ∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP . 又∵OA ＝OB ，OP ＝OP ， ∴ Rt △AOP ≌Rt △BOP ，教学反思∴P A ＝PB ，∠APO ＝∠BPO . 【归纳总结】（1与这一点的连线平分两条切线的夹角.几何语言：P A ，PB 分别切⊙O 于A ，B PA ⎧⎪⎨⎪⎩⇒∠【归纳总结】拓展结论如图，P A ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 线OP 交⊙O 于点D ，E ，交AB 于点C .（1）写出图中所有的垂直关系： OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，AB ⊥OP . （2）写出图中与∠OAC 相等的角： ∠OAC ＝∠OBC ＝∠APC ＝∠BPC . （3）写出图中所有的全等三角形：△AOP ≌ △BOP ，△AOC ≌ △BOC ，△（4）写出图中所有的等腰三角形：△APB 注意：切线长问题辅助线添加方法： （1）分别连接圆心和切点；（2【新知应用】例1 如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC ，AB 分别相切于点D ，E ，F ，且AB ＝9，BC ＝14，＝13，求AF ，BD ，CE 的长.师生活动：我们能得到哪些相等的线段？【解】设AF ＝x ，则AE ＝x ，CD ＝CE ＝AC -＝13-x ，同理BD ＝BF ＝AB -AF ＝9-x .由BD +CD ＝BC ，可得（9-x ）+（13-x ）＝解得x ＝4，∴AF ＝4，BD ＝5，CE ＝9.【归纳总结】利用切线长定理，得到AF ＝AE 用方程思想解决.例2 如图，四边形ABCD 的边AB ，BC ，L ，M ，N ，P .求证： AD +BC ＝AB +CD . 【证明】由切线长定理，得AL ＝AP ，LB ＝MB ，NC ＝MC ，DN ＝DP ， ∴AL +LB +NC +DN ＝AP +MB +MC +DP ， 即AB +CD ＝AD +BC . 【归纳总结】和相等.课堂练习1.如图，P A 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，A.∠APO ＝∠BPOB.P A ＝ PBC.AB ⊥OPD.P A ＝ PO 2.如图，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，APB ＝ 40 ° ，则∠APO ＝ ， PB 教学反思3. P A，PB 异于A，B4.Q为⊙O已知P A＝参考答案1.D2.20°43.65°或4.∴PE+EPF+F Q＝∴周长为课堂小结1.2.圆外一点.布置作业教材第板书设计1.2.教学反思。

切线长定理一、教学目标：1.能准确应用切线长定理去解决有关计算题、证明题。

2.清楚三角形内切圆、内心的有关知识。

3.会计算直角三角形内切圆的半径。

二、新课讲授：（一）切线长定理：1.复习：直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？2.从上面的问题我们可以看出，过⊙O上任一点A都可以作条切线，•并且条，根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题．问题：请你拿出一张纸，在你手中的纸上画出⊙O，并画出过A点的唯一切线PA，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？我们把，，叫做这点到圆的切线长。

如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB．由此我们得到：。

例1.已知PA、PB分别切⊙O于A、B两点，C是AB上任一点，过C作⊙O•的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为12，则PA长为多少？练习：1. 如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB//CD，若OB ＝6cm，OC＝8cm，则∠BOC＝__________， BE+CG= ，⊙O的半径是_________。

2. 如图，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A=50°，点P是圆上异于B、C的一动点，•则∠BPC的度数为。

C B A （二）圆的内切圆：探究：已知，如图，△ABC 是一张三角形的铁皮，工人师傅想在它上面截下一块圆形的用料，并且是圆的面积尽可能大，请问如何做呢？定义： 叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是 ，叫做三角形的内心。

例3. 已知，如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F 且AB =9c m ，BC =14c m ，CA =13c m ，求AF 、BD 、CE 的长.D C B A。

24.4 直线与圆的位置关系——《切线的判定定理》【教学目标】：知识与技能：1.理解切线的判定定理，并学会初步运用．2.知道判定切线的常用的三种方法，初步掌握方法的选择。

3.掌握在解决切线的问题中常用的辅助线的作法。

过程与方法：通过复习直线与圆的位置关系，以“d=r 直线是圆的切线”为依据，探究切线的判定定理。

情感、态度与价值观：经历观察、探究、证明等数学活动过程，培养学生初步的演绎推理能力，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。

【教学重点】：探索圆的切线的判定定理，并能运用【教学难点】：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径的外端；二是直线垂直于这条半径,利用切线的判定解决几何问题的技巧——辅助线的添加。

【教具】：三角板、圆规、多媒体课件【教学过程】：一、情景导入：当你在下雨天快速转动雨伞时，雨水飞出的方向是什么方向呢？雨水是沿着圆的切线的方向飞出的．怎样判断一条直线是圆的切线呢？二、新知探究思考交流图中直线l满足什么条件就是⊙O的切线？方法1：直线与圆只有一个公共点方法2：圆心到直线的距离等于半径注意：实际证明过程中，通常不采用方法1;方法2是从“数量关系”的角度来判定圆的切线的方法。

判定一条直线是不是圆的切线除了这两种方法外还有其它方法吗?观察与思考在⊙O上任意作一条半径OA，经过半径外端点A作直线l⊥OA。

（1）圆心O到直线l的距离d和圆的半径r有什么数量关系?d=r（2）直线 l 和⊙O有什么位置关系呢？相切由此你发现直线l满足什么条件，又能得到什么结论呢？①直线l经过半径OA的外端点A；②直线l垂直于半径0A．结论: 直线l是⊙O切线归纳新知：切线的判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

对定理的理解：切线必须同时满足两个条件：①经过半径外端点；②垂直于这条半径．定理的数学语言表达：∵ OA是半径， l ⊥OA于点A∴ l是⊙O的切线判断：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？(1)不是，因为没有垂直. (2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.注意：在此定理中，1.“经过半径的外端点”2.“垂直于这条半径”，这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.要点归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；3.判定定理：经过半径外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线.三、应用新知例1 已知：如图,∠ABC=45°，AB是☉O的直径，AB=AC.求证：AC是☉O的切线.解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°.∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°.∵AB是☉O的直径，∴ AC是☉O的切线.证明直线和圆相切的常见类型①有交点，连半径，证垂直例2 如图，已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。

沪科版数学九年级下册24.4《直线与圆的位置关系》教学设计2一. 教材分析《直线与圆的位置关系》是沪科版数学九年级下册第24.4节的内容。

本节内容主要介绍直线与圆的位置关系，包括相切和相离两种情况，并通过判定来求解相关问题。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握直线与圆的位置关系的判定和应用。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了直线、圆的基本知识，对图形的直观理解能力较强。

但直线与圆的位置关系较为抽象，需要学生具有较强的逻辑思维能力和空间想象能力。

此外，学生可能对一些判定定理和公式理解不深，需要在教学中加以引导和巩固。

三. 教学目标1.了解直线与圆的位置关系，掌握相切和相离的判定方法。

2.能够运用直线与圆的位置关系解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

四. 教学重难点1.直线与圆的位置关系的判定方法。

2.如何运用直线与圆的位置关系解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究直线与圆的位置关系。

2.利用多媒体辅助教学，直观展示直线与圆的位置关系。

3.运用实例分析法，让学生学会将理论知识应用于实际问题。

4.小组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.直线与圆的位置关系的相关例题和练习题。

3.教学课件。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示直线与圆的图片，引导学生思考直线与圆的位置关系。

提问：你们认为直线与圆有哪些位置关系？2.呈现（10分钟）通过课件介绍直线与圆的两种位置关系：相切和相离。

给出判定方法，并用图示进行解释。

3.操练（10分钟）让学生独立完成教材中的例题，引导学生运用判定方法解决问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）学生进行小组讨论，分享解题心得。

教师选取部分学生的解题过程进行点评，巩固知识点。

5.拓展（10分钟）提出一些与直线与圆位置关系相关的实际问题，让学生尝试解决。

引导学生运用所学知识分析问题，培养学生的应用能力。

24.4 直线和圆的位置关系（2）切线长定理教学设计一、教学目标（一）、知识与技能：1．理解切线长的概念；2．掌握切线长定理，并能解决一些简单问题；3．知道圆外切四边形的性质。

（二）、过程与方法：1.通过操作、观察两条切线长，发展学生的合情推理能力和演绎推理能力。

2.学生经历知识的形成与运用过程，培养学生的数学语言概括、表达能力。

3.学生探索切线长定理过程中，学会用数形结合思想解决问题。

通过运用切线长定理解题，提高学生运用知识和技能解决问题的能力。

（三）．情感、态度与价值观培养学生主动参与探索知识来源，获得数学知识的良好学习习惯，从而提高学生学习数学的积极性。

二、重点、难点：1．重点：切线长定理的理解；2．难点：定理的应用。

三、教学方法：问题及引导发现模式四、教具及器材：圆规、三角板；自制课件五、、教学过程（一）复习巩固：（放投影，提问）提出问题：1．如图，PA与⊙O相切于点A，则PA与OA有什么位置关系？2．切线的判定定理内容是什么？（二）讲授新知提出问题：（用课件出示问题）问题1：经过⊙O 内一点Ｐ能作圆的切线吗？经过圆上一点呢？能作圆的几条切线？问题2：从圆外一点P 引圆的两条切线。

如图引导学生指出切线长的概念，教师板书： 切线长定理切线长：从圆外一点引圆的切线，这一点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长。

问题3：从圆外一点可引圆的两条切线上切线长有何关系？（让学生猜想，回答问题）PAOPA B· O它们的切线长相等。

（教师引导学生分析证明猜想）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B试证明：PA＝PB证明：连结OA、OP、OB∵ PA、PB与⊙O相切于点A、B∴ PA⊥OA、PB⊥OB∴∠OAP＝∠OBP又∵ OA＝OB，OP＝OP∴ Rt△AOP≌Rt△BOP∴ PA＝PB大家由全等三角形的性质还能得到哪些结论？（∠OPA＝∠OPB等）问题4：分析问题2的结论及证明，想想我们能得到什么命题？教师引导学生从条件、结论入手总结“切线长定理”，并板书：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。