新人教版九年级数学圆的切线的判定与性质

专题24.7 圆的切线的判定与性质--重难点题型【人教版】【题型1 切线判定（连半径，证垂直）】【例1】（2021•新兴县一模）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，连接BD，∠DAB＝∠B＝30°，求证：直线BD是⊙O的切线．【变式1-1】（2020秋•思明区校级期末）如图，AB是圆O的一条弦，点E是劣弧AB的中点，直线CD经过点E且与直线AB平行，证明：直线CD是圆O的切线．【变式1-2】（2020秋•福州期末）如图，AB是⊙O的直径，C为半圆O上一点，直线l经过点C，过点A 作AD⊥l于点D，连接AC，当AC平分∠DAB时，求证：直线l是⊙O的切线．【变式1-3】（2021•芜湖模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD ＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线．【题型2 切线判定（作垂直，证半径）】【例2】（2020秋•原州区期末）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．【变式2-1】（2020秋•北京期末）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（）A．以OA为半径的圆B．以OB为半径的圆C．以OC为半径的圆D．以OD为半径的圆【变式2-2】（2020秋•曲靖期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．求证：DE是⊙O的切线；【变式2-3】（2021•南平模拟）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，过A，C，D三点的圆O交AB于点E，已知，BD＝AD，∠BAD＝2∠DAC＝36°．（1）求证：AD是圆O的直径；（2）过点E作EF⊥BC于点F，求证：EF与圆O相切．【题型3 切线判定（定义法）】【例3】（2020秋•北塘区期中）给出下列说法：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）垂直于圆的半径的直线是圆的切线；（4）过圆的半径的外端的直线是圆的切线．其中正确的说法个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式3-1】（2020秋•锡山区校级月考）下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线C．到圆心的距离大于半径的直线D．到圆心的距离小于半径的直线【变式3-2】给出下列说法：①与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③垂直于圆的半径的直线是圆的切线；④过圆的半径的外端的直线是圆的切线；⑤经过圆心和切点的直线垂直于这条切线．其中正确的是．（填序号）【变式3-3】（2020•龙川县二模）如图，P A和⊙O相切于A点，PB和⊙O有公共点B，且P A＝PB，求证：PB是⊙O的切线．【题型4 切线的性质（求长度问题）】【例4】（2020秋•衢江区期末）如图，直线AB与⊙O相切于点C，OA交⊙O于点D，连结CD．已知OD ＝CD＝5，求AC的长．【变式4-1】（2021•温州三模）在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝2，D是AB边上一点，以AD为直径的⊙O恰好与BC相切于点C，则BD的长为（）A ．1B ．2√33C ．2D ．2√55【变式4-2】（2021•湖州一模）如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 的切线DE ⊥AC 于点E ．（1）求证：AB ＝AC ；（2）若AB ＝10，BD ＝8，求DE 的长．【变式4-3】（2021•陕西模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，连接BC ，F 为BC 的中点，连接FO 并延长交⊙O 于点D ，过点D 的切线与CA 的延长线交于点E ．（1）求证：四边形CEDF 是矩形；（2）若AC ＝OA ＝2，求AE 的长．【题型5 切线的性质（求半径问题）】【例5】（2020秋•市中区期末）如图，BE 是⊙O 的直径，点A 和点D 是⊙O 上的两点，过点A 作⊙O 的切线交BE 延长线于点C ．（1）若∠ADE ＝28°，求∠C 的度数；（2）若AC ＝2√3，CE ＝2，求⊙O 半径的长．【变式5-1】（2020秋•沂水县期末）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，∠ABC ＝15°，切线P A 交OC 延长线于点P ，AP =√3，则⊙O 的半径为（ ）A ．√33B ．√32C ．√3D ．3【变式5-2】（2021•河南模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，作OF ⊥AD 于点E ，交CD 于点F ．（1）在不增加辅助线的情况下，请直接写出图中一对相等的角，并证明；（2）若BD ＝8，EF ＝2，求⊙O 的半径．【变式5-3】（2021•贵池区模拟）已知：在⊙O中，AB为直径，P为射线AB上一点，过点P作⊙O的切线，切点为点C，D为弧AC上一点，连接BD、BC、DC．（1）如图1，求证：∠D＝∠PCB；（2）如图2，若四边形CDBP为平行四边形，BC＝5，求⊙O的半径．【题型6 切线的性质（求角度问题）】【例6】（2021•红桥区三模）在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与边AC，BC交于点D，E，且DE＝BE．（Ⅰ）如图①，若∠CAB＝38°，求∠C的大小；（Ⅱ）如图②，过点E作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，交AC于点G，若∠CAB＝52°，求∠BEF 的大小．【变式6-1】（2021•三明模拟）从⊙O外一点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别为B，C，D是⊙O上不同于B，C的点，∠BAC＝60°，∠BDC的度数是（）A．120°B．60°C．90°或120°D．60°或120°【变式6-2】（2021•北辰区二模）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，∠ABC＝58°．（Ⅰ）如图①，若∠AEC＝85°，求∠BAD和∠CDB的大小；（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线DF，与AB的延长线相交于点F，求∠F的大小．【变式6-3】（2021•天津）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；（Ⅱ）如图②，若CD∥BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．。

新人教版初三九年级上册数学第二十四章圆知识点及练习题(附答案)试卷并且可以用于解决一些圆的问题。

在圆O中，圆心角∠XXX和∠AEB相等，则弦AB和DE相等，弦BC和BD相等，弦AC和AD相等，且弦心距相等。

七、切线与切点1、切线定义：过圆上一点的直线称为圆的切线；2、切点定义：圆上与切线相切的点称为切点；3、定理：切线垂直于半径，切点在切线上，且切点到圆心的距离等于半径长。

在圆O中，点A在圆上，线段AB是圆O上的一条切线，点B是切点，且AB垂直于半径OA，AB上的点与圆心O的距离等于半径OA的长度。

参考答案：一、圆的概念集合形式的概念：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

圆的外部是到定点的距离大于定长的点的集合，圆的内部是到定点的距离小于定长的点的集合。

轨迹形式的概念：圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹，以定点为圆心，定长为半径的圆。

垂直平分线是到线段两端距离相等的点的轨迹，角的平分线是到角两边距离相等的点的轨迹，到直线的距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线，到两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系点在圆内的距离小于半径，点在圆上的距离等于半径，点在圆外的距离大于半径。

三、直线与圆的位置关系直线与圆相离的距离大于半径，直线与圆相切的距离等于半径，直线与圆相交的距离小于半径。

四、圆与圆的位置关系圆与圆外离的距离大于两圆半径之和，圆与圆外切的距离等于两圆半径之和，圆与圆相交的距离在两圆半径之差和之和之间，圆与圆内切的距离等于两圆半径之差，圆与圆内含的距离小于两圆半径之差。

五、垂径定理垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1包括平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。

六、圆心角定理圆心角定理是指同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

中考复习——《圆的切线证明》教学设计一、内容和内容解析1.内容新人教版教材九年级上册第24章。

2.内容解析切线的判定的教学在平面几何乃至整个中学数学教学中都占有重要地位和作用。

除了在证明和计算中有着广泛的应用外，它也是研究三角形内切圆的作法，切线长定理以及后面研究正多边形与圆的关系的基础，所以它是《圆》这一章的重要内容，也可以说是本章的核心。

它在圆的学习中起着承上启下的作用，在整个初中几何学习中起着桥梁和纽带的作用，是几何学习中必不可少的知识和工具。

切线的判定揭示了直线和圆的半径的特殊位置关系，即过半径外端并与这条半径垂直。

切线判定定理的探究过程体现了由一般到特殊的研究方法。

结合教学实际及《课程标准》要求，我对教材内容略作了调整。

当探究出判定后，为了提高学生将所学的知识应用于实际，特增加了例1和例2，让学生总结出“证明一条直线是圆的切线时，常常添加辅助线的两种方法”，帮助学生进一步深化理解切线的判定定理，达到学以致用。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：切线的判定。

二、目标和目标解析1.目标（1）理解切线的判定定理。

（2）会用切线的判定定理解决简单的问题。

（3）通过判定定理的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力。

（4）通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性。

2.目标解析达成目标（1）的标志是：能够理解切线判定定理中的两个要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径。

达成目标（2）的标志是：能运用切线的判定定理解决简单的问题，明确运用定理时常用的添加辅助线的方法。

达成目标（3）和（4）的标志是：学生通过动手操作发现并能用语言陈述切线的判定定理，用符号语言书写证明过程。

三、教学问题诊断分析学生已经掌握了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆周角的知识，与圆有关的性质等。

具有初步的逻辑推理能力和基本的作图能力等。

学习本节课内容之前学习过直线和圆相切的定义及“圆心到直线的距离等于半径时直线与圆相切”，但是不容易理解切线的判定定理。

新人教版九年级上册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)1)相交圆的位置关系：两圆相交于两点，相切于一点，相离于两点.2)内切圆和外切圆的位置关系：内切圆和外切圆的切点在圆心连线上，内切圆和外切圆的圆心连线垂直于切点所在的直线.要点诠释：在解决两圆位置关系问题时，需要注意圆心的位置关系，切点的位置关系以及圆心连线与切点所在直线的垂直关系.要点二、切线及其性质1．切线的定义：过圆上一点，且与圆相交于该点的直线叫做圆的切线.2．切线的性质：1)切线与半径的关系：切线与过切点的圆的半径垂直.2)切线定理：切线与半径的关系可以推出切线定理：过圆外一点作圆的切线，切点与此点的连线垂直于切线.3)切线的判定方法：切线与圆的位置关系可以通过勾股定理、切线定理和判别式来进行判定.要点诠释：切线是圆的一个重要性质，切线定理是判定切线的重要工具，切线的判定方法可以根据具体情况选择不同的方法.要点三、圆的面积和弧长1．圆的面积公式：S=πr².2．弧长公式：L=αr(α为圆心角的度数).3．扇形的面积公式：S=(α/360°)πr².要点诠释：圆的面积公式和弧长公式是圆的基本公式，扇形的面积公式可以通过弧长公式和圆的面积公式来推导得出.要点四、圆锥的侧面积和全面积1．圆锥的侧面积公式：S=πrl.2．圆锥的全面积公式：S=πr(l+r).要点诠释：圆锥的侧面积公式和全面积公式是圆锥的基本公式，其中l为斜高，r为底面半径.1) 两个圆是轴对称图形，其对称轴是连接两圆心的直线。

2) 相交的两个圆的连心线垂直平分它们的公共弦，相切的两个圆的连心线经过切点。

4.与圆有关的角度1) 圆心角是以圆心为顶点的角度。

圆心角的度数等于它所对应的弧的度数。

2) 圆周角是顶点在圆上，两边都与圆相交的角度。

圆周角的性质包括：①圆周角等于它所对应的弧所对应的圆心角的一半；②同弧或等弧所对应的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等；③90度的圆周角所对应的弦为直径；半圆或直径所对应的圆周角为直角；④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角。

切线的概念、切线的判定和性质-人教版九年级数学上册教案一、切线的概念1. 切线的定义在圆上取一点P，连接P与圆心O，若通过点P的直线与圆相交于点P，则这条直线称为该圆在点P处的切线。

2. 切线的性质切线只与圆相交于切点，且垂直于半径。

二、切线的判定1. 判定方法1在圆上任取一点P，连接P与圆心O。

若连接P与圆心O的线段与已知直线L 垂直，则L与圆的交点就是切点，而L即为此点处的切线。

2. 判定方法2在圆上任取一点P，连接P与圆心O。

作过点P并与已知直线L平行的直线，与圆相交于点Q。

再连接点Q与圆心O，则Q与L的交点即为圆在点P处的切点，L即为点P处的切线。

三、切线性质的应用1. 切线定理若一条直线与圆相交于点A、B，则与这条直线垂直的切线分别过点A、B。

2. 判定定理在圆上任取两点P、Q，以这两点为端点连一条线段，若该线段平分圆周角，则它的延长线必过圆的圆心。

3. 弦割定理两条互相垂直的弦互相垂直。

4. 弦长定理两条互相垂直的弦所对圆周的两段弧相等。

5. 弧上点角定理圆周上一点的任意两个角所对的弧长相等。

四、练习题1.已知圆O，半径为3.4cm，P为圆上一点，PA为一条直线，且PA=8.1cm。

求PA的垂线与OP的夹角。

2.已知圆的直径是20cm，D,E,F,G均在圆上。

若DE⊥FG，DE=12cm，FG=9cm，求DG的长。

3.已知圆心角ACB的弧度是20度，线段AB上一点D是圆上的一点，求角ADC的角度。

五、课堂小结1.切线的定义和性质。

2.切线判定方法和定理。

3.切线性质的应用。

4.练习题的解答。

六、作业1.完成课堂练习题。

2.独立思考，将切线定理、判定定理、弦割定理、弦长定理和弧上点角定理的证明写出来。

人教版数学第二十四章第2节切线的判定与性质一、内容和内容解析本节课的内容是人教版九年级数学下册《圆》这一章的第二节直线和圆的位置关系。

圆是几何学习中的重点难点，尤其是切线的相关知识是中考中的热点与难点。

切线的判定的教学在平面几何乃至整个中学数学教学中都占有重要地位和作用。

除了在证明和计算中有着广泛的应用外，它也是研究三角形内切圆的作法，切线长定理以及后面研究两圆的位置关系和正多边形与圆的关系的基础，所以它是《圆》这一章的重要内容，也可以说是本章的核心。

本节课的教学内容如下：一、切线的判定方法1.定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线，但是不常用。

2.数量法（距离法）：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线。

3.判定定理（最常用的方法）：经过半径的外端，并且垂直半径的直线是圆的切线，这是从位置关系进行判定。

其中使用判定定理时，两个条件缺一不可。

经过半径的外端垂直于这条半径的直线是圆的切线。

二、证明切线作辅助线的两种方法1.如果已知直线经过圆上一点，则连接这点和圆心得到辅助半径，再证所作半径与这条直线垂直。

简记：有公共点、连半径、证垂直。

2.如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线段为辅助线。

再证垂线段的长等于半径的长，即为有公共点、作垂直、证半径。

让学生在经历数学知识的探索和发现过程中，体验几何学习中推理的无穷乐趣，感受数学思维的严谨性和数学结论的确定性。

二、目标和目标解析按照课标要求，学生经历探索切线判定定理的过程，要能够灵活运用会运用切线的判定定理解决问题。

鉴于本节课是新授课，根据《数学课程标准》,数学教学必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，所以我确定了如下目标：1.知识与技能：①理解切线的判定定理，并能初步运用它解决简单的问题。

②知道判定切线的常用的三种方法，初步掌握方法的选择。

③掌握在解决切线的问题中常用的辅助线的作法。

2.过程与方法：①通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力。