2017春九年级数学下册2圆小专题(三)圆的切线的判定方法习题(新版)湘教版

小专题(三) 圆的切线的判定方法类型1直线与圆有交点方法归纳：直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于90°等．【例1】如图，AB＝AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DM⊥AC于M.求证：DM与⊙O相切．1．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求证：CD是⊙O的切线．2．(衡阳中考改编)如图，AB是⊙O的直径，点C，D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：CE为⊙O的切线．3．(张家界中考)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC＝∠CAD.(1)求证：直线MN是⊙O的切线；(2)若CD＝3，∠CAD＝30°，求⊙O的半径．类型2不确定直线与圆是否有公共点方法归纳：直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”．证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等．【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于点D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D.求证：AC是⊙D的切线．4．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F.求证：CD与⊙O相切．5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3.(1)求证：AC是⊙D的切线；参考答案【例1】 证明：法一：连接OD.∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.∵OB ＝OD ，∴∠BDO ＝∠B.∴∠BDO＝∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴DM ⊥OD.∴DM 与⊙O 相切．法二：连接OD ，AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC.∵AB ＝AC ，∴∠BAD ＝∠CAD.∵DM⊥AC，∴∠CAD＋∠ADM＝90°.∵OA ＝OD ，∴∠BAD ＝∠ODA.∴∠ODA＋∠ADM＝90°，即OD⊥DM.∴DM 与⊙O 相切． 【例2】 证明：过点D 作DF ⊥AC 于点F.∵∠B ＝90°，∴DB ⊥AB.∵AD 是∠BAC 的平分线，BD ＝DF ＝R ，∴DF ⊥AC.又∵DF 是⊙D 的半径，∴AC 为⊙D 的切线．针对训练1．证明：连接OC.∵AC ＝CD ，∠D ＝30°，∴∠A ＝∠D＝30°.∴∠COD ＝2∠A＝60°.∴∠OCD ＝180°－∠COD－∠D＝90°，即OC⊥CD.∴CD 是⊙O 的切线．2．证明：连接OD.∵点C ，D 为半圆O 的三等分点，∴∠BO C ＝12∠BOD . ∵∠BAD ＝12∠BOD， ∴∠BOC ＝∠BAD.∴AE∥OC.∵AD⊥EC，∴OC ⊥EC.∴CE 为⊙O 的切线．3．(1)证明：连接OC.∵OA ＝OC ，∴∠BAC＝∠ACO.∴∠ACO＝∠CAD.∴OC∥AD.又∵AD⊥MN，∴OC⊥MN.∴直线MN是⊙O的切线．(2)∵在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝3，∴AC＝2CD＝6.∵∠BAC＝∠CAD，∠CAD＝30°，∴∠BAC＝30°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.在Rt△ACB中，AC＝6，∠BAC＝30°，∴AB＝43，即⊙O的直径为4 3.∴⊙O的半径为2 3.4．证明：连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为点N. ∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD，又∵ON⊥CD，OM⊥BC，∴OM＝ON.∴点N在⊙O上．∴CD与⊙O相切．5．(1)证明：过点D作DF⊥AC于点F.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∴BD＝DF.∴点F在⊙D上．∴AC是⊙D的切线．(2)在Rt△BDE和Rt△FDC中，∵BD＝DF，DE＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)．∴EB＝FC.∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DF⊥AC，∴AB＝AF.∴AB＋EB＝AF＋FC，即AB＋EB＝AC.∴AC＝5＋3＝8.。

2.5.2 圆的切线第1课时切线的判定知|识|目|标1．通过回顾圆的切线的概念和直线与圆的位置关系，理解切线的判定定理．2．通过切线的判定定理，掌握圆的切线的作法．目标一理解切线的判定定理(1)直线与圆有公共点时证明直线是圆的切线例1 教材例2针对训练已知：如图2－5－4，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC 于点D，过点D作DE⊥AC于点E.求证：DE是⊙O的切线．图2－5－4【归纳总结】判定圆的切线的三种方法：(1)与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；(2)若圆心到直线的距离等于圆的半径，则这条直线是圆的切线；(3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)直线与圆位置关系不明时证明圆的切线例2 教材补充例题已知：如图2－5－5所示，在△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作⊙O.求证：AC与⊙O相切．图2－5－5 【归纳总结】判定圆的切线的常用辅助线的选择：(1)如果已知直线过圆上一点，那么连接这点和圆心，得到半径，证明这条半径垂直于已知直线即可，可记为：有交点，作半径，证垂直；(2)如果已知直线与圆没有明确是否有公共点，那么过圆心作已知直线的垂线段，证明垂线段等于半径即可，可记为：无交点，作垂线，证半径．目标二掌握圆的切线的作法尺规作图，过圆外一点作圆的切线．图2－5－6已知：如图2－5－6，⊙O及⊙O外一点P.求作：过点P的⊙O的切线．如图2－5－7，(1)连接OP，作线段OP的中点A；(2)以点A为圆心，图2－5－7OA的长为半径作圆，交⊙O于点B，C；(3)作直线PB和PC.所以PB和PC就是所求作的切线.老师说：“小涵的作法是正确的．”请回答：小涵的作图依据是________________________________________．【归纳总结】圆的切线的作法：(1)过圆外一点作圆的切线的方法：①连接圆外的点与圆心；②以连接得到的线段长为直径作圆，与已知圆交于两点；③连接圆外的点与交点，即得到过圆外一点所作的已知圆的两条切线．(2)圆的切线的作法是以圆的切线的判定定理为依据，将作切线转化为作垂线来实现，所作的直线必须满足两个基本特征：①经过半径的外端；②垂直于这条半径．知识点一切线的判定定理切线的判定定理：经过半径的______并且________________的直线是圆的切线．[注意] (1)圆的切线必须同时满足两个条件：①经过半径的外端；②垂直于这条半径．二者缺一不可．(2)“垂直于这条半径”不要省去了“这条”两个字，如图2－5－8，直线l过半径OA的外端，垂直于半径OB，但直线l不是⊙O的切线．图2－5－8(3)切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②圆心到直线的距离等于半径；③切线的判定定理．知识点二 过圆上一点作圆的切线步骤：(1)根据题意在圆周上取一点A ； (2)连接圆心O 与点A ；(3)过点A 作一条直线垂直于OA ，则这条直线就是所求作的圆的切线．如图2－5－9，OP 是∠AOB 的平分线，以点P 为圆心的⊙P 与OA 相切于点C.求证：⊙P 与OB 相切．图2－5－9证明：如图2－5－10，设⊙P 与OB 的公共点为D ，连接PC ，PD.图2－5－10∵OA 与⊙P 相切于点C ， ∴PC ⊥OA.又OP 平分∠AOB ， ∴∠COP ＝∠DOP. 在△COP 与△DOP 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠PCO ＝∠PDO ，∠COP ＝∠DOP ，OP ＝OP ，∴△COP ≌△DOP ， ∴PC ＝PD ，∴⊙P 与OB 相切．上述证明过程有无错误？若有错误，请指出错误的原因，并改正．教师详解详析【目标突破】例1 [解析] 若要证DE是⊙O的切线，只需DE满足两个条件：①DE过半径的外端点；②DE 垂直于这条半径．所以只需连接OD，则满足条件①，故只需证明DE⊥OD即可，而DE⊥AC，则只需证OD∥AC.证明：如图，连接OD，则∠OBD＝∠ODB.又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴DE⊥OD.又∵DE过半径OD的外端点，∴DE是⊙O的切线．例2 [解析] 要证AC是⊙O的切线，题目没有点明AC与⊙O的交点，即没有点明切点，因此，过点O作AC的垂线，垂足为E；而⊙O与AB相切于点D，所以⊙O的半径即是OD，只要证明OE＝OD问题即得解．证明：如图，连接OA，过点O作OE⊥AC，垂足为E.∵AB＝AC，O是BC的中点，∴∠BAO＝∠CAO.又∵ OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E，∴ OE＝OD，∴ AC与⊙O相切．例3 直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【总结反思】[小结] 知识点一外端垂直于这条半径[反思]有错误，错误原因有两个：①条件中没有给出“⊙P与OB有公共点”；②∠PCO＝∠PDO 缺乏依据．正确解答：连接PC，过点P作PD⊥OB于点D.∵OA与⊙P相切于点C，∴PC⊥OA.又OP平分∠AOB，∴PC＝PD，∴⊙P与OB相切．。

第2课时切线的性质基础题知识点圆的切线的性质1．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，OP＝4，∠APO＝30°，则⊙O的半径为( )A．1 B. 3 C．2 D．42．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，如果∠P＝60°，那么∠AOB等于( )A．60° B．90° C．120° D．150°3．(邵阳中考)如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.已知∠A ＝30°，则∠C的大小是( )A．30° B．45° C．60° D．40°4．如图，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为( )A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm5．(内江中考)如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD＝120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为( )A．40° B．35° C．30° D．45°6．如图所示，⊙O与AC相切于点A，且AB＝AC，BC与⊙O相交于点D，下列说法不正确的是( )A．∠C＝45° B．CD＝BDC．∠DAB＝∠DAC D．CD＝AB7．(湘潭中考)如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO＝5，PA切⊙O于A点，则PA＝____________.8．(永州中考)如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°.则∠B＝____________度．9．如图，等腰△OAB中，OA＝OB，以点O为圆心作圆与底边AB相切于点C.求证：AC＝BC.10．(株洲中考)如图，已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C.(1)求∠BAC的度数；中档题11．(嘉兴中考)如图，△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为( ) A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.612．(枣庄中考)如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是( ) A．30° B．45° C．60° D．90°13．(益阳中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P＝40°，则∠D的度数为____________．14．(自贡中考)如图，一个边长为4 cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等，⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为____________cm.15．(娄底中考)如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.(1)求证：△ABD≌△CDB；若∠DBE＝37°，求∠ADC的度数．16．(盐城中考)已知：如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线与点D，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D的度数；综合题17．(菏泽中考)如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F.(1)求证：∠AB C＝2∠CAF；(2)若AC＝210，CE∶EB＝1∶4，求CE的长．参考答案1．C 2.C 3.A 4.C 5.C 6.D 7.4 8.60 9．证明：∵AB 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥AB. ∵OA ＝OB ， ∴AC ＝BC.10．(1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°. ∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD ＝∠CBD.∵直线BC 与⊙O 相切于点B ， ∴∠ABC ＝90°. ∴∠ABD ＝45°.∴∠BAC ＝180°－90°－45°＝45°. (2)证明：∵∠BAC＝45°，∠ABC ＝90°， ∴∠C ＝45°. ∴AB ＝CB. 又∵BD⊥AC， ∴AD ＝CD.11．B 12.A 13.115° 14.3 15．(1)证明：∵AB ，CD 是直径， ∴∠ADB ＝∠CBD＝90°.在△ABD 和△CDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，BD ＝DB ，∴Rt △ABD ≌Rt △CDB(HL)．(2)∵BE 是切线， ∴AB ⊥BE.∴∠ABE ＝90°. ∵∠DBE ＝37°， ∴∠ABD ＝53°. ∵OA ＝OD ，∴∠BAD ＝∠ODA＝90°－53°＝37°. ∴∠ADC 的度数为37°. 16．(1)∵OA ＝OC ， ∴∠A ＝∠OCA.∴∠COD＝∠A＋∠OCA＝2∠A. ∵∠D＝2∠A， ∴∠COD ＝∠D.∵PD 与⊙O 相切于点C ， ∴OC ⊥PD ，即∠OCD＝90°. ∴∠D ＝45°.(2)由第(1)问可知△OCD 是等腰直角三角形． ∴OC ＝CD ＝2.由勾股定理，得OD ＝22＋22＝2 2. ∴BD ＝OD －OB ＝22－2. 17．(1)证明：连接BD. ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠DAB＋∠ABD＝90°.∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB＝90°，即∠DAB＋∠CAF＝90°.∴∠CAF＝∠ABD.∵BA＝BC，∠ADB＝90°，∴∠ABC＝2∠ABD.∴∠ABC＝2∠CAF.(2)连接AE，则∠AEB＝90°.设CE＝x.∵CE∶EB＝1∶4，∴EB＝4x，BA＝BC＝5x.在Rt△ABE中，AE＝AB2－BE2＝3x.在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2，即(210)2＝x2＋(3x)2，解得x＝2. ∴CE＝2.。

第2课时切线的性质基础题知识点圆的切线的性质1．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，OP＝4，∠APO＝30°，则⊙O的半径为( )A．1 B. 3 C．2 D．42．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，如果∠P＝60°，那么∠AOB等于( )A．60° B．90° C．120° D．150°3．(邵阳中考)如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.已知∠A ＝30°，则∠C的大小是( )A．30° B．45° C．60° D．40°4．如图，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为( )A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm5．(内江中考)如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD＝120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为( )A．40° B．35° C．30° D．45°6．如图所示，⊙O与AC相切于点A，且AB＝AC，BC与⊙O相交于点D，下列说法不正确的是( )A．∠C＝45° B．CD＝BDC．∠DAB＝∠DA C D．CD＝AB7．(湘潭中考)如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO＝5，PA切⊙O于A点，则PA＝____________. 8．(永州中考)如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°.则∠B＝____________度．9．如图，等腰△OAB中，OA＝OB，以点O为圆心作圆与底边AB相切于点C.求证：AC＝BC.10．(株洲中考)如图，已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C.(1)求∠BAC的度数；中档题11．(嘉兴中考)如图，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，以点C 为圆心的圆与AB 相切，则⊙C 的半径为( )A ．2.3B ．2.4C ．2.5D ．2.612．(枣庄中考)如图，已知线段OA 交⊙O 于点B ，且OB ＝AB ，点P 是⊙O 上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°13．(益阳中考)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AB 是直径，过C 点的切线与AB 的延长线交于P 点，若∠P＝40°，则∠D 的度数为____________．14．(自贡中考)如图，一个边长为4 cm 的等边三角形ABC 的高与⊙O 的直径相等，⊙O 与BC 相切于点C ，与AC 相交于点E ，则CE 的长为____________cm.15．(娄底中考)如图，在⊙O 中，AB ，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接AD ，BC ，BD.(1)求证：△ABD≌△CDB；若∠DBE＝37°，求∠ADC 的度数．16．(盐城中考)已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线与点D ，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D 的度数；综合题17．(菏泽中考)如图，在△ABC 中，BA ＝BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，BC 的延长线与⊙O 的切线AF 交于点F.(1)求证：∠ABC＝2∠CAF；(2)若AC ＝210，CE ∶EB ＝1∶4，求CE 的长．参考答案1．C 2.C 3.A 4.C 5.C 6.D 7.4 8.609．证明：∵AB 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥AB.∵OA ＝OB ，∴AC ＝BC.10．(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD ＝∠CBD.∵直线BC 与⊙O 相切于点B ，∴∠ABC ＝90°.∴∠ABD ＝45°.∴∠BAC ＝180°－90°－45°＝45°.(2)证明：∵∠BAC＝45°，∠ABC ＝90°，∴∠C ＝45°.∴AB ＝CB.又∵BD⊥AC，∴AD ＝CD.11．B 12.A 13.115° 14.315．(1)证明：∵AB ，CD 是直径，∴∠ADB ＝∠CBD＝90°.在△ABD 和△CDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，BD ＝DB ， ∴Rt △ABD ≌Rt △CDB(HL)．(2)∵BE 是切线，∴AB ⊥BE.∴∠ABE ＝90°.∵∠DBE＝37°，∴∠ABD＝53°.∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA＝90°－53°＝37°.∴∠ADC的度数为37°.16．(1)∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA.∴∠COD＝∠A＋∠OCA＝2∠A.∵∠D＝2∠A，∴∠COD＝∠D.∵PD与⊙O相切于点C，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°.∴∠D＝45°.(2)由第(1)问可知△OCD是等腰直角三角形．∴OC＝CD＝2.由勾股定理，得OD＝22＋22＝2 2.∴BD＝OD－OB＝22－2.17．(1)证明：连接BD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠DAB＋∠ABD＝90°.∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB＝90°，即∠DAB＋∠CAF＝90°.∴∠CAF＝∠ABD.∵BA＝BC，∠ADB＝90°，∴∠ABC＝2∠ABD.∴∠ABC＝2∠CAF.(2)连接AE，则∠AEB＝90°.设CE＝x.∵CE∶EB＝1∶4，∴EB＝4x，BA＝BC＝5x.在Rt△ABE中，AE＝AB2－BE2＝3x.在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2，即(210)2＝x2＋(3x)2，解得x＝2. ∴CE＝2.。

小专题(六) 圆的切线的判定方法(教材变式)例(教材P75习题T2)如图，AB是⊙O的直径，直线MN过点B，△ABC内接于⊙O，∠CBM＝∠A.求证：MN是⊙O的切线．【解答】∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°.∴∠A＋∠ABC＝90°.又∵∠CBM＝∠A，∴∠CBM＋∠ABC＝90°.∴AB⊥BM.又∵OB是⊙O的半径，∴MN是⊙O的切线．证明一条直线为圆的切线，主要有以下两种方法：①直线与圆有公共点：要判断是不是圆的切线关键看直线和圆是不是有公共点，若有(但没说唯一)，那么就连出这条半径，如果能够证明该直线和这个半径垂直，就说明直线是圆的切线(简称为“连半径证垂直”)；②不确定直线与圆是否有公共点：若题目中没有告诉直线和圆有公共点，那就算圆心到直线的距离是不是等于圆的半径．若等于，则该直线就是圆的切线．(简称为“作垂直证半径”)1．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°.(1)求∠ABC的度数；(2)求证：AE是⊙O的切线．解：(1)∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠ABC＝∠D＝60°.(2)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠BAC＝30°.∴∠BAE＝∠BAC＋∠EAC＝30°＋60°＝90°.∴BA⊥AE，且OA是⊙O的半径．∴AE是⊙O的切线．2．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于点D，且过点D的⊙O的切线DE平分边BC，交BC 于E.求证：BC是⊙O的切线．证明：连接OD，OE，∵O为AB的中点，E为BC的中点，∴OE为△ABC的中位线．∴OE∥AC.∴∠DOE＝∠ODA，∠BOE＝∠A.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA.∴∠DOE＝∠BOE(SAS)．∵OD＝OB，OE＝OE，∴△ODE≌△OBE.∴∠ODE＝∠OBE.∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝∠OBE＝90°.∴OB⊥BC.∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线．3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：CE为⊙O的切线．。

2.5.2 圆的切线第1课时切线的判定基础题知识点圆的切线的判定1.下列直线中，能判定为圆的切线的是（）A. 与圆有公共点的直线B. 过圆的半径的外端点的直线C. 垂直于圆的半径的直线D. 经过直径的一个端点，且垂直于这条直径的直线2 .如图，A是圆0上一点，AO= 5, PO= 13, AP= 12,则PA与圆0的位置关系是（）A. 无法确定B. 相交C. 相切D. 相离3. __________________________________________________________________________________________________ 如图，△ ABC的一边AB是OO的直径，请你添加一个条件，使BC是OO的切线，你所添加的条件为____________________4. __________________________________________________________________________________________________ 如图，A, B是OO上的两点，AC是过A点的一条直线，如果/ AOB= 120°,那么当/ CAB的度数等于 ____________________ 度时，AC才能成为OO的切线.5. 如图，延长OO 的半径OA使OA= AB过点A作弦AC使AC= OA.求证：BC是OP的切线.6. （梅州中考）如图，在△ ABO中，OA= OB C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C.（1）求证：AB与OO相切；-1 B若/AOB= 120°, AB= 4 3，求OO 的面积.7.如图，已知两条射线CA CB.试画一圆，使此圆与两射线相切.C中档题8 .如图，AB是OO的直径，BC交OO于点D, DEL AC于点E,要使DE是OO的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（）-1 BA. DE= DOB. AB= ACC. CD= DBD. AC// OD9.（随州中考）如图，O O中，点C为両勺中点，/ ACB= 120°, 0C的延长线与AD交于点D,且/ D=Z B.求证：AD 与OO相切.10 .（宿迁中考）如图，AB是OO的弦，OPL 0A交AB于点P,过点B的直线交0P的延长线于点C,且CP= CB. （1）求证：BC 是OO的切线；⑵若OO的半径为5, OP= 1，求BC的长.参考答案综合题11.(常德中考)如图，已知OO的直径为AB, ACL AB于点A, BC与OO相交于点D,在AC上取一点E,使得ED= EA.(1)求证：ED是OO的切线;⑵当0A= 3, AE= 4时，求BC的长度.1 . D 2. C 3. AB丄BC 4. 605. 证明：T AC= OA= OC,•••/ OCA=Z OAC= 60°.又OA= AB,••• AC= AB.1•••/ ACB= -Z OAC= 30° .2•Z OCB=Z OCArZ ACB= 90°.• BC是OP的切线.6. (1)证明：连接CO.•/ AO= BQ•△ AOB是等腰三角形.••• C是边AB的中点，• OCL AB.•/ OC是OO的半径，• AB与OO相切.(2)在等腰△ AOB 中，Z AOB= 120° ,•Z A=Z B= 30 °.•/ C是边AB的中点，AB= 4 3,• AC= 2 3.在Rt△ACO中, Z ACO= 90°,Z A= 30°, AC= 2 3,• OC= #AC= 2,2• S= n X 2 = 4 n .7 .作法：(1)作Z ACB的平分线CE;⑵在CE上任取一点O;⑶作ODL CA于点D (4)以点O为圆心，以OD为半径作圆，则OO8. A9 •证明：连接OA.•/ CA= C B• CA= CB.又T Z ACB= 120°,•Z B= 30°.•Z O= 2Z B= 60°.T Z D=Z B= 30°,•Z OAD= 180°—( Z O+Z D)= 90°.• AD与OO相切.10 . (1)证明：连接OB.T OPL OA•Z A+Z OPA= 90 °.T CP= CB•Z CPB=Z CBP.又T Z APO=Z CPB•Z APO=Z CBP.T OA= OB•Z OAP=Z OBP. 即为所求.参考答案•Z OBAF Z PBC= 90°,即Z OB= 90° .• OBL BC.••• BC是OO的切线.⑵设C9 CB= x,在Rt△ OBC中, ( 5)2+ x2= (x + 1)2,解得x = 2. • BC= 2.11 . (1)证明：连接OD.•/ ACL AB•••/ BAC= 90°,即/ OA匡90° .OA= OD在厶AOE与厶DOE中，AE= DEOP OE•△ ACE^^ DOE(SSS).•••/ OAE=Z ODE= 90°,即卩ODL ED.又••• OD是OO的半径，• ED是OO的切线.(2) T AB是直径，•••/ ADB= 90° .•••/ ADC= 90° .•••/ AD冉/ CDE= 90°,/ DA冉/ ACD= 90° . •/ AE= DE,•••/ ADE=/ DAE.•••/ C DE=/ ACD.• DE= CE.又AE= DE• AE= CE.• AC= 2AE= 8.•/ OA= 3,• AB= 6.在Rt△ ABC中, BC= .A B"+ AC= ,62+ 82= 10. • BC的长度是10.。

小专题(六) 圆的切线的判定方法(教材变式)例(教材P75习题T2)如图，AB是⊙O的直径，直线MN过点B，△ABC内接于⊙O，∠CBM＝∠A.求证：MN是⊙O的切线．【解答】∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°.∴∠A＋∠ABC＝90°.又∵∠CBM＝∠A，∴∠CBM＋∠ABC＝90°.∴AB⊥BM.又∵OB是⊙O的半径，∴MN是⊙O的切线．证明一条直线为圆的切线，主要有以下两种方法：①直线与圆有公共点：要判断是不是圆的切线关键看直线和圆是不是有公共点，若有(但没说唯一)，那么就连出这条半径，如果能够证明该直线和这个半径垂直，就说明直线是圆的切线(简称为“连半径证垂直”)；②不确定直线与圆是否有公共点：若题目中没有告诉直线和圆有公共点，那就算圆心到直线的距离是不是等于圆的半径．若等于，则该直线就是圆的切线．(简称为“作垂直证半径”)1．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°.(1)求∠ABC的度数；(2)求证：AE是⊙O的切线．解：(1)∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠ABC＝∠D＝60°.(2)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠BAC＝30°.∴∠BAE＝∠BAC＋∠EAC＝30°＋60°＝90°.∴BA⊥AE，且OA是⊙O的半径．∴AE是⊙O的切线．2．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于点D，且过点D的⊙O的切线DE平分边BC，交BC 于E.求证：BC是⊙O的切线．证明：连接OD，OE，∵O为AB的中点，E为BC的中点，∴OE为△ABC的中位线．∴OE∥AC.∴∠DOE＝∠ODA，∠BOE＝∠A.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA.∴∠DOE＝∠BOE(SAS)．∵OD＝OB，OE＝OE，∴△ODE≌△OBE.∴∠ODE＝∠OBE.∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝∠OBE＝90°.∴OB⊥BC.∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线．3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：CE为⊙O的切线．证明：连接OD.∵点C ，D 为半圆O 的三等分点， ∴∠BOC＝12∠BOD.∵∠BAD＝12∠BOD，∴∠BOC＝∠BAD.∴AE∥OC. ∵AD⊥EC，∴OC⊥EC. ∵OC 是⊙O 的半径， ∴CE 为⊙O 的切线．4．如图，AB 为⊙O 直径，C 是⊙O 上一点，CO⊥AB 于点O ，弦CD 与AB 相交于点F ，过点D 作∠CDE，使∠CDE＝∠DFE，交AB 的延长线于点E.过点A 作⊙O 的切线交ED 的延长线于点G.求证：GE 是⊙O 的切线．证明：连接OD ，∵OC＝OD ，∴∠C＝∠ODC. ∵OC⊥AB， ∴∠COF＝90°， ∴∠OCD＋∠CFO＝90°. ∴∠ODC＋∠CFO＝90°.∵∠EFD＝∠CFO，∠EFD＝∠CDE， ∴∠ODC＋∠CDE ＝90°. ∴OD⊥GE.又∵OD 是⊙O 的半径，∴GE是⊙O的切线．5．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F.求证：CD与⊙O相切．证明：连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N.∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.∵在正方形ABCD中，AC平分∠BCD，ON⊥CD，OM⊥BC，∴OM＝ON.∴点N在⊙O上．∴CD与⊙O相切．6．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为D，且∠BAC＝∠CAD.(1)求证：直线MN是⊙O的切线；(2)若CD＝3，∠CAD＝30°，求⊙O的半径．解：(1)证明：连接OC.∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO.又∵∠BAC＝∠CAD，∴∠ACO＝∠CAD.∴OC∥AD.又∵AD⊥MN，∴OC⊥MN.∵OC是⊙O的半径，∴直线MN是⊙O的切线．(2)∵在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝3，∴AC＝2CD＝6.∵∠BAC＝∠CAD，∴∠BAC＝30°.∵AB是⊙O的直径，∴∠AC B＝90°.在Rt△ACB中，AC＝6，∠BAC＝30°，∴AB＝43，即⊙O的直径为4 3.∴⊙O的半径为2 3.7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3.(1)求证：AC是⊙D的切线；(2)求线段AC的长．解：(1)证明：过点D作DF⊥AC于点F.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∴B D＝DF.∴点F在⊙D上．∴AC是⊙D的切线．(2)在Rt△BDE和Rt△FDC中，∵BD＝DF，DE＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)．∴EB＝CF.∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DF⊥AC，∴AB＝AF.∴AB＋EB＝AF＋FC，即AB＋EB＝AC.∴AC＝5＋3＝8.8．已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图1所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：①∠BAE＝90°；②∠EAC＝∠ABC；(2)如图2所示，若AB不是⊙O的直径而是弦，且∠CAE＝∠B，EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．图1 图2解：EF是⊙O的切线．证明：连接AO并延长，交⊙O于点M，连接CM，则∠ACM＝90°，∠M＝∠ABC，即∠M＋∠CAM＝∠ABC＋∠CAM＝90°.∵∠CAE＝∠ABC，∴∠CAM＋∠CAE＝90°.∴AE⊥AM.∵AM为直径，∴EF是⊙O的切线．。

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小专题（三）圆的切线的判定方法类型1直线与圆有交点方法归纳:直线过圆上某一点,证明直线是圆的切线时,只需“连半径，证垂直，得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的关系得到９０°的角，如直径所对的圆周角等于90°等．【例1】如图,AB=AＣ，AB是⊙O的直径，⊙O交ＢC于点D，DM⊥AC于M。

求证:ＤＭ与⊙O相切.1.如图，点D在⊙O的直径ＡB的延长线上，点C在⊙O上,AＣ=CD,∠D=３０°,求证:CD是⊙Ｏ的切线．2.(衡阳中考改编）如图,AB是⊙Ｏ的直径,点C,D为半圆Ｏ的三等分点,过点C作CE⊥ＡD，交ＡD的延长线于点E。

求证:CE为⊙Ｏ的切线．3．（张家界中考)如图,AB是⊙O的直径，C是⊙Ｏ上的一点，直线MN经过点C,过点A作直线MN的垂线，垂足为点D,且∠BＡC＝∠CAD。

(１)求证:直线MＮ是⊙Ｏ的切线；(２)若CＤ＝3,∠CAD＝３０°,求⊙Ｏ的半径.类型2不确定直线与圆是否有公共点方法归纳:直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直,证半径,得切线”.证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等．【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,∠Ａ的平分线交BC于点Ｄ,以D为圆心,DＢ长为半径作⊙D。

2.5.2 圆的切线第1课时切线的判定1．过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．2．以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______．3．下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线C．垂直于圆的半径的直线D．过圆直径外端点的直线4．OA平分∠BOC，P是OA上任意一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC 相切，那么⊙P与OB的位置位置是（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切5．△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，以B为圆心，5为半径的圆与直线AC的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不能确定6．菱形的对角线相交于O，以O为圆心，以点O到菱形一边的距离为半径的⊙O•与菱形其它三边的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．无法确定7．平面直角坐标系中，点A（3，4），以点A为圆心，5为半径的圆与直线y=－x的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能8．如图，AB是半径⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，且AC=CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若OA=2，求AC的长．9．如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．10．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线于点E，连结BC．（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）如果CD=6，tan∠BCD=12，求⊙O的直径．11．如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sin=12，∠D=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=6，求AD的长．12．已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B•点，OC=BC，AC=12 OB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．13．如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．14．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结OG并延长与BE 相交于点F，延长AF•与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是⊙O的切线；（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为2，求BD和FG的长度．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m ＋1)x＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C ．第二象限D ．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k 、b 是一元二次方程(2x ＋1)(3x －1)＝0的两个根，且k ＞b ，则函数y ＝kx ＋b 的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m 2)x 和关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋mx ＋1＝0中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是 ．12．(甘孜州中考)若函数y ＝－kx ＋2k ＋2与y ＝kx (k ≠0)的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． .◆类型三 一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2C ．m ≥3D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m ＜0，∴m ＜－1，∴m ＋1＜1－1，即m ＋1＜0，m －1＜－1－1，即m －1＜－2，∴一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k ≠013．B 14.k ≥1。