九年级数学上册第3章《对圆的进一步认识复习》知识梳理与要点回顾(青岛版)

九年级数学青岛版圆的知识点总结圆是数学中重要的几何概念之一，它们存在于我们生活的方方面面，从轮胎到钟表都离不开圆形的设计。

在九年级数学青岛版教材中，涉及到了许多关于圆的知识点，下面让我们来总结一下。

首先，让我们从最基本的定义开始。

圆是一个平面上所有到一个固定点距离都相等的点的集合。

这个固定点被称为圆心，圆心到圆上任意一点的距离被称为半径。

在圆上任意连接两个点得到的线段被称为弦，若弦通过圆心，则称之为直径。

直径是弦中最长的一条，等于两倍的半径。

接下来，我们介绍圆的常见性质。

首先是圆的周长和面积。

圆的周长是它的边界长度，等于直径乘以π（即3.14），或者等于半径乘以2π。

圆的面积是其内部的区域大小，等于半径的平方乘以π。

其次，我们讨论圆的一些重要定理。

其中之一是圆心角定理。

圆心角是指以圆心为顶点所对的角。

圆心角的度数等于该角所对的弧度数的两倍。

另一个重要的定理是弧长角定理。

弧长角是指弧所对的角，它们的度数等于弧长与半径的比值乘以180度。

在九年级数学青岛版教材中，我们还学习到了一些与圆相关的线段和角关系。

首先是切线定理。

切线是与圆相切于圆上一点的直线，切线与半径的关系有两个重要结论。

第一个是切线与半径垂直于切点。

第二个是切线所切割的弧与切点所对的圆心角相等。

另一个与圆相关的内容是弦的性质。

首先，如果两条弦等长，则它们所对的弧也等长。

其次，如果两条弦相等且垂直，则它们所对的圆心角也相等。

此外，若弦和半径垂直，则其所对的弧为直径。

最后，我们学习了圆的相交性质。

当两个圆相交时，它们的交点可以是零个、一个或两个。

如果两个圆的交点为两个，则它们相交于两个弦上。

这两个弦所对的圆心角还满足一个重要的性质，即互补角。

互补角是指两个角的度数之和为180度。

通过学习这些有关圆的知识点，我们可以更好地理解和解决与圆相关的数学问题。

圆的定义、性质和定理是数学中重要的基础，也是我们日常生活中不可或缺的一部分。

希望本次总结能对你有所帮助，加深对圆的认识和理解。

通过折叠活动，你发现了什么？__________________________________________________________________. 请试一试证明！ 垂径定理：_________________________________________________________。

三、例题分析1300多年前,我国隋代建造的赵州桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为３７.４m,拱高(拱的中点到弦的距离,也叫弓形的高)为７.2m,求桥拱的半径.(精确到0.1m)ＲＡＢＤＣＯ37.4m7.2m四、巩固练习1．如何确定圆形纸片的圆心？说说你的想法。

2．（1）判断下列图形是否具有对称性？如果是轴对称图形，指出它的对称轴。

B①②③④⑤AO O O OCDO DCA BCBADA BC（2）如果将图①中的弦AB 改成直径(AB与CD相互垂直的条件不变)，结果又如何？将图②中的直径AB改成怎样的一条弦，图②将变成轴对称图形。

3.如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离是3.求⊙O的半径.4.如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，OE=3，求弦CD的长.五、拓展延伸１.如图，过⊙O内一点P，作⊙O的弦AB，使它以点P为中点。

２.如图，⊙O的直径是10，弦AB的长为8，P是AB 上的一个动点，求OP的求值范围。

３.如图，OA=OB，AB交⊙O与点C、D，AC与BD是否相等？为什么？４.在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度。

六、课堂小结七.达标测试如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D.AC与BD相等吗？为什么？拓展思考：如图，AB、CD是⊙O的两条平行弦，AC 与BD相等吗？为什么？八.作业：P40练习1,2教学反思：ＤＥＢＡＯＣ试一试：如图,已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD 分别是⊙O 、⊙O '的两条弦.填空：（1）若AB=CD ，则 ， （2）若AB= CD ，则 ， （3）若∠AOB=∠CO 'D ，则 ， .活动三、在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 三、例题分析：例：如图,AB 与ＤＥ是⊙O 的直径，Ｃ是⊙O 上一点,ＡＣ//ＤＥ,求证:(１) A Ｄ=ＣＥ；(２)ＢＥ=ＥＣ四、随堂练习：1．如图，在⊙O 中，AC=BD ，∠AOB=50°,求∠COD 的度数．2. 如图，在⊙O 中， AB=AC ，∠A=40°,求∠B 的度数．O ’DCOBA3.如图,在△ABC中, ∠C=90°, ∠B=28°,以C为圆心,CA为半径的圆交AB于点D,交BC与点E,求AD、 DE的度数.4.如图，AD、BE、CF是⊙O的直径，且∠AOF=∠BOC=∠DOE。

3.1圆的对称性教学目标【知识与能力】(1)理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心；(2)掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题．【过程与方法】(1)通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高；(2)通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧．【情感态度价值观】经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣．教学重难点【教学重点】对圆心角、弧和弦之间的关系的理解．【教学难点】能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题．课前准备多媒体课件教学过程一、创设情境，导入新课问：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？(如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴)．问：我们是用什么方法来研究轴对称图形？生：折叠．今天我们继续来探究圆的对称性．问题1：前面我们已经认识了圆，你还记得确定圆的两个元素吗？生：圆心和半径．问题2：你还记得学习圆中的哪些概念吗？忆一忆：1．圆：平面上到____________等于______的所有点组成的图形叫做圆，其中______为圆心，定长为________．2．弧：圆上_____叫做圆弧，简称弧，圆的任意一条____的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做圆的半径．__________称为优弧，_____________称为劣弧．3．___________叫做等圆，_________叫做等弧．4．圆心角：顶点在_____的角叫做圆心角．二、探究交流，获取新知知识点一：圆的对称性1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？2．大家交流一下：你是用什么方法来解决这个问题的呢？动手操作：请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠：看折痕经不经过圆心？学生讨论得出结论：我们通过折叠的方法得到圆是轴对称图形，经过圆心的一条直线是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条．知识点二：垂径定理按下面的步骤做一做：1．在一张纸上任意画一个⊙O ，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．2．得到一条折痕CD ．3．在⊙O 上任取一点A ，过点A 作CD 折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M 是两条折痕的交点，即垂足．4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B ，如上图．师：老师和大家一起动手．(教师叙述步骤，师生共同操作)师：通过第一步，我们可以得到什么？学生齐声：可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．师：很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？生：我发现了，AM =BM ，AC BC =，AD BD =．师：为什么呢？生：因为折痕AM 与BM 互相重合，A 点与B 点重合．师：还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？师生共析：如下图示，连接OA 、OB 得到等腰△OAB ，即OA =OB ．因CD ⊥AB ，故△OAM 与△OBM 都是Rt △，又OM 为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM =BM ．又⊙O 关于直径CD 对称，所以A 点和B 点关于CD 对称，当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合，AC 与BC 重合，AD 与BD 重合．因此AM =BM ，AC =BC ，AD =BD ．师：在上述操作过程中，你会得出什么结论？生：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．结论：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.例1：如教材69页图3-4，以△OAB 的顶点O 为圆心的⊙O 交AB 于点C ，D ，且AC =BD .求证：OA =OB .例2:1400多年前，我国隋唐时期建造的赵州石拱桥的桥拱近似于圆弧形，它的跨度为37.02m ，拱高(弧的中点到弦的距离，也叫弓形的高)为7.23m.求拱桥所在圆的半径(精确到0.1m).知识点三：圆的中心对称性．问：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？让学生得出结论：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，我们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．知识点四：同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系做一做：在等圆⊙O 和⊙O '中，分别作相等的圆心角∠AOB 和A O B '''∠(如图3-8)，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，得OA 与OA '重合．你能发现哪些等量关系吗？说一说你的理由．小红认为''=AB A B ，''=AB A B ，她是这样想的：∵半径OA 重合，'''∠∠=AOB A O B ，∴半径OB 与OB '重合，∵点A 与点A '重合，点B 与点B '重合，∴AB 与A B ''重合，弦AB 与弦A B ''重合，∴AB =A B ''，AB =A B ''．生：小红的想法正确吗？同学们交流自己想法，然后得出结论，教师点拨．结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．问：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？学生之间交流，谈谈各自想法，教师点拨．结论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．例3：如书本71页图3-11，AB 与DE 是⊙O 的两条直径，C 是⊙O 上一点，AC ∥DE .求证：(1)弧AD =弧CE ；(2)BE =EC .知识点五：圆心角的度数与它所对弧的度数之间的关系思考：（1）把顶点在圆心的周角等分成360份，每份圆心角的度数是多少？（2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，整个园被分成了多少份？每一份的弧是否 相等？为什么？ 师：整个圆1360的叫做1°的弧.1°的圆心角所对的弧是多少度；反之，1°的弧所对的圆心角是多少度.圆心角与它所对的弧有什么关系？生：1°的圆心角所对的弧是1°；1°的弧所对的圆心角是1°.结论：圆心角的度数与它所对弧的度数相等.例4：如书本73页图3-14，OA ，OC 是⊙O 中两条垂直的直径，D 是⊙O 上的一点.连接AD 并延长与OC 的延长线相交于点B ，∠B =25°.求弧AD ，弧CD 的度数.例5：如书本73页图3-15，在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的31，圆的半径为2cm ，求AB 的长. 三、随堂练习1．日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关，试举几例．2．利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案：(1)是轴对称图形但不是中心对称图形；(2)是中心对称图形但不是轴对称图形；(3)既是轴对称图形又是中心对称图形．3．已知，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB =120°，C 是AB 的中点，试确定四边形OACB 的形状，并说明理由．四、自我小结，获取感悟1．对自己说，你在本节课中学习了哪些知识点？有何收获？2．对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示？3．对老师说，你还有哪些困惑？。

《第3章 对圆的进一步认识》复习【基本考点】 垂径定理、与圆有关的位置关系、圆中的计算问题．【知识网络】【教学内容】知识点一：圆的有关概念 1、圆的定义在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径． 2、弦、直径、弧的概念（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做直径．直径等于半径的2倍． （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 弧用符号“⌒”表示，以A ，B 为端点的弧记作“AB ⌒ ”，读作 “弧AB ”．大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）．知识点二：圆的有关性质 （一）垂径定理1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．3、垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （二）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆是中心对称图形，对称中心为圆心．在同圆或等圆中，如果①两个圆心角；②两条弧；③两条弦；④两条弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． （三）圆周角定理及推论在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．圆的基本性质与圆有关的位置关系三角形与圆圆中的计算圆的对称性与圆有关的角的性质轴对称垂径定理中心对称圆心角、弧、弦 之间的关系定理 圆周角定理 点与圆的位置关系直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系三角形的外接圆 三角形的内切圆弧长和扇形面积的计算圆知识点三：与圆有关的位置关系 （一）点与圆的位置关系不在同一直线上的三点确定一个圆．也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心． （二）直线与圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，圆心到直线L 的距离为d ．l(a)(b)直线L 和⊙O 相交⇔d<r ，如图（a ）所示；直线L 和⊙O 相切⇔d=r ，如图（b ）所示； 直线L 和⊙O 相离⇔d>r ，如图（c ）所示．切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 知识点四：圆中的计算问题弧长公式：180R n l π= 扇形面积公式：lR R n S 213602==π扇形（n 为圆心角的度数，R 为圆的半径,l 为弧长）．【典例解析】例1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，∠1=∠C ．（1）求证：CB ∥PD ；（2）若BC=3cm ，sinP=0.6，求⊙O 的直径．例2、如图，AB 为⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于B ，AC 交⊙O 于E ，点D 是BC 边的中点，连结DE ． （1）求证：DE 与⊙O 相切；（2）若⊙O 的半径为3，DE=3，求AE ．【巩固练习】1、如图，AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD 于点E ，则在不添加辅助线的情况下，求出图中与∠CDB 相等的角．2、已知如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ． 求证：DE 是⊙O 的切线．3、12．（15分）已知：如图，点N 为△ABC 的内心，延长AN 交BC 于点D ，交△ABC 的外接圆于点E ．（1）求证：EB=EN=EC ； （2）求证：NE 2=AE •DE ．【点击中考】1、（2013年泰安中考）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC 等于（ ）． （A ）60° （B ）70° （C ）120° （D ）140°2、（2013年泰安中考）如图，已知AB 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A ，点C 是EB ⌒ 的中点，则下列结论不成立的是（ ）．（A ）OC ∥AE （B ）EC=BC （C ）∠DAE=∠ABE （D ）AC ⊥OE【过关检测】1、（2013江苏南通）如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是AB 的中点，且OM ＝3，则⊙O 的半径等于（ ） A. 8 B. 5 C. 10 D. 2（1题） （2题） （4题） （5题） 2、（2013四川凉山）如上图，∠AOB=100°，点C 在⊙O 上，且点C 不与A ，B 重合，则∠ACB 的度数为（ ）A.50°B.50°或80°C.130°D.50°或130° 4、（2011湖北荆州）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，CD 是直径，∠B ＝40°，则∠ACD 的度数是 . 5、（2014南京）如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，C 为切点。

第三章《对圆的进一步认识》（知识梳理）【思维导图】⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩圆的有关概念轴对称性，垂径定理圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系有关概念及性质圆的有关性质圆心角定理旋转不变性圆周角定理圆内接四边形点和圆的位置关系点和圆的位置关系过不在同直线上的三点作圆三角形的外接圆相离\相交切线的性质直线和圆的位置关系切线的判定相切切线长及切线长定理三角形的内切圆圆正多边正多边形和圆2222ππ11802ππ360ππR n C R n l R S lR R n S R n S R S rl S S S r ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎫⎫︒⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩=⎬︒⎧⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩⎭=⎫⎪=+⎬=⎪⎭扇形扇形侧全侧底底形的定义正多边形和圆正多边形的判定及性质正多边形的有关计算正多边形及有关计算半径为的圆中，的圆心角圆的周长所对的弧长为=半径为的圆中，圆心角为圆中的有关计算圆的面积的扇形面积为圆锥的侧面积圆锥的全面积圆锥的底面积S ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎩⎩实际应用【知识清单】知识点一:圆的定义（一）描述性定义：在平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫作圆。

固定的端点O 叫作圆心，线段OA 叫作半径。

以点O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．A（二）集合性定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。

圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。

（三）圆的特征1.圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；2.到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

点拨（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。

三角形的内切圆教学设计教师寄语：真正的智慧是懂得蓄势待发；真正的阶梯是永远拼搏；真正的成功是最后掌声四起！【教学目标】1.理解三角形的内切圆相关的概念，2.能利用三角形内心的性质进行有关的证明和计算。

【重点、难点】重点：三角形内切圆的概念和画法.难点：三角形内切圆有关性质的应用.【教法学法分析】一、教学方法本课时采用学案导学、类比探究式教学，让学生在学案的引导下去自主探索，去发现探索三角形的内切圆的定义、做法、性质。

教师采用启发式设疑诱导为辅的教学方法。

二、学情分析本课时在诸城市枳沟镇初级中学初三、二班上课，该班学生基础知识较扎实，有较为良好的学习习惯，课堂参与性强。

结合个人教学特点，选用学案导学，目的是希望通过学生活动，引导学生积极思考、主动探索获三角形的内切圆的相关知识。

【教学过程】（一）复习回顾1、确定圆的条件有哪些？2、什么是角平分线？角平分线有哪些性质？3、左图中△ABC与⊙O有什么关系？4、三角形外接圆的外心的作法、性质？（课堂上，老师检查学生的回顾情况，并指出存在的问题）设计意图：通过复习回顾角平分线的作法与性质为三角形的内切圆的作法和性质做好铺垫；通过复习回顾三角形的外心，为与三角形内心的比较做好铺垫。

以问题为载体，帮助学生复习、整理已有的知识结构，培养学生养成良好的学习习惯．（二）创设情境，引入新课李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大.应该怎样画出裁剪图？探索：（1）当裁得圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？（2）与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？（3）如何确定这个圆的圆心？设计意图：出示生活实例，激发学生的求知欲，同时利用问题进行引导。

另一方面，让学生体会数学研究的对象来源于生活，很多数学研究的内容都能在生活找到模型，学会用数学眼光看待、解释生活中的某些现象。

（三）探究新知：1、思考下列问题：（1）在下图∠AOB内作圆，使其与两边OA、OB都相切，满足上述条件的圆是否可以作出，如果可以作出，能作多少个？所作出的圆的圆心的位置有什么特征？（2）如图2，如果⊙O 与△ABC 的内角∠ABC 的两边相切，且与内角∠ACB 的两边也相切，那么此⊙O 的圆心在什么位置？（3）如何确定一个与三角形的三边都相切的圆心的位置与半径的长？ （4）你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆么？（教师一步步设疑，学生一边思考一边动手操作）设计意图：通过动手操作作三角形一个角、两个角的角平分线，引出三角形内切圆的做法，使学生加深对三角形内切圆的认识，进而总结出三角形内切圆的性质。