苏教版网格中的图形PPT教学课件

数学中的格点图形网格是学生从小就熟悉的图形，在网格中研究格点图形，具有很强的可操作性，这和新课程的理念相符合，因此它也成为近几年新课程中考的热点问题． 一、考查坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的． 【例1】（2006，大连）如图，在平面直角坐标系中，点E 的坐标是（ ）．A ．(1， 2) ；B ．(2， 1) ；C ．(－1， 2) ；D ．(1，－2)．图 1Ey x123-1-2-3-3-2-1321O 123574689A C B D E F G H I12345678【例2】如图，围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋．为记录棋谱方便，横线用数字表示，纵线用英文字母表示，这样，黑棋①的位置可记为(C ，4)，白棋②的位置可记为(E ，3)，则白棋⑨的位置应记为___________ ．【例3】已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A'B'C' 与△ABC 关于y 轴对称，那么点A 的对应点A'的坐标为（ ）．A ．(－4，2)；B ．(－4，－2)；C ．(4，－2)；D ．(4，2) ．二、在网格中运用勾股定理进行计算．【例4】图4，是由边长为1m 的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A →B →C 所走的路程为_______m ．（结果保留根号）【例5】三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是( ).A . 43； B . 34 ； C . 53 ； D . 54．ABC4题 图1mαABC【例6】如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC 边上的高是（）．A．322；B．3510；C．355；D．455．【例7】如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中A点坐标为(2，－1)，则△ABC的面积为＿＿＿＿平方单位．A BCOxyABCOxyDE F【例8】（2006，广州）如图1，将一块正方形木板用虚线划分成36个全等的小正方形，然后，按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片，制成一副七巧板．用这副七巧板拼成图2的图案，则图2中阴影部分的面积是整个图案面积的( )．1111A. ;B. ;C. ;D. .47822图1 图2【例9】在平面直角坐标系中描出下列各点A（2，1），B（0，1），C（－4，－3），D（6，－3），并将各点用线段顺次连接构成一个四边形ABCD．（1）四边形ABCD是什么特殊的四边形？（2）在四边形ABCD内找一点P，使得△APB、△BPC、△CPD、△APD都是等腰三角形，请写出P点的坐标．三、分类讨论思想在格点问题中的运用．【例10】已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为A．3个；B．4个；C．5个；D．6个．【例11】如图所示，A、B是4×5网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．四、网格中图形变换的画图与描述．【例12】在5×5方格纸中将图1中的图形N平移后的位置如图2所示，那么下面平移中正确的是（）图1 图2A. 先向下移动1格，再向左移动1格；B. 先向下移动1格，再向左移动2格；C. 先向下移动2格，再向左移动1格；D. 先向下移动2格，再向左移动2格．【例13】如图1，点O、B的坐标分别为(0，0)、(3，0)，将△OAB绕O点逆时针方向旋转90°得到△O A′B′．⑴画出△OA′B′；⑵点A′的坐标为________________；⑶求BB′的长．AOB【例14】如图1，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（－1，－1）．（1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形并写出点B1的坐标；（2）把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C的图形并写出点B2的坐标；（3）把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1:2，画出△AB3C3的图形．图1【例15】如图1，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1)画出位似中心点O；（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1．5．图1五、网格图形的操作方案设计问题．【例16】如图，在网格中有两个全等的图形(阴影部分)，用这两个图形拼成轴对称图形，试分别在图(1)、(2)中画出两种不同的拼法．【例17】如图，在方格纸(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)中，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．如图中的△ABC称为格点△ABC．（1）如果A、D两点的坐标分别是(1，1)和(0，－1)，请你在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点B、点C的坐标；（2）请根据你所学过的平移、旋转或轴对称等知识，说明图中“格点四边形图案”是如何通过“格点△ABC图案”变换得到的．【例18】请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x＞0)．依题意，割补前后图形的面积相等，有25x=x=，解得5的长．于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形．请你参考小东同学的做法，解决如下问题： 现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．【例19】操作与探究：（1）图①是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按如图方法折叠，使点A 与点C重合，DE 为折痕．试证明△CBE 等腰三角形；（2）再将图①中的△CBE 沿对称轴EF 折叠(如图②)．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝无重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图③中的△ABC 折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图③中画出折痕；（3）请你在图④的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；（4）有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四条边上)．请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足何条件时，一定能折成组合矩形？图5图4 图1 图2 图3六、利用格点图形探究规律．【例20】在边长为l 的正方形网格中，按下列方式得到“L ”形图形第1个“L ”形图形的周长是8，第2个“L ”形图形的周长是12， 则第n 个“L ”形图形的周长是①③②ABCBCF 图①图②图③图④。

第三章网格作图网格作图的特点：仅利用无刻度直尺，利用格点来作图，所以在网格中作图时一定要体现出过的格点．基本知识一、网格中作平行图1 图2图1中虚线线段均与线段AB平行，仔细观察，可发现线段AB长宽比为3∶1的矩形对角线，故想要作出与AB线段平行的线，必然也要使得作出的线段是长宽比为3∶1的矩形对角线，所以图1、图2均满足要求，即都与AB平行．二、网格中作垂直图1图1中虚线线段均与线段AB垂直，仔细观察，可发现线段AB长宽比为3∶1的矩形对角线，故想要作出与AB线段垂直的线，必然也要使得作出的线段是长宽比为3∶1的矩形对角线．【与平行的区别在于一个竖方向，一个横方向】三、网格中作垂直平分线在网格中垂直平分线的做法，利用垂直平分线性质逆定理，首先需要找到线段A、B两点距离相等的格点，图1中的C、D、E均满足到A、B距离相等，故连接CE（或者ED或者CD均可）．此方法也适用于在网格中作线段中点，如图2图1 图2四、网格中等分线段以作三等分为例，在下列网格中，在线段AB上找一点P，使得BP=2AP．此类作图可利用相似的性质来解决，以下示范3种作法作法一 作法二 作法三五、网格中作相似三角形请分别在图1、2中作出一个△DEF ，使得△DEF 与△ABC 相似（图1和图2中的两个三角形不全等）图1 图2 【解析】在网格图中，三角形的任意一条边均可计算出来，所以常规来说只需计算出每条边，同比放大或缩小即可！本题有个特殊角，即∠ABC =135°，所以先找到135°，该角两边同倍缩小或放大即可！（图1缩小为原来的12，即相似比为1∶2；图2似比为1例题讲解例题1、已知在下列边长为1的网格图中，用3种不同的方法作一个直角三角形，使得该直角三角形面积为8．作法一 作法二 作法三【解析】由题意可知，直角边乘积为16，若均为整数，则有1×16，2×8，4×4；若均为无理；也可以从比例去解决，下面分别以上三中思路各作一个三角形．例题2、如图，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．已知△ABC 中，AB ，AC BC =6．（1）请你在所给的网格中画出格点△A 1B 1C 1，使得△A 1B 1C 1与△ABC 相似（画出一个即可，不需证明）；（2）试直接写出在所给的网格中与△ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一个（不需证明）．【解析】（1）先画个与△ABC 全等的三角形（如图1），再以∠B 为公共角，将∠B 的边缩小一半即可（如图1）图1 图2（2）因为ABCDNMS S ∆∆=相似比2，故只需使得相似比最大即可，我们找最长边AC格中最长边为对角线，MN=，由此ND DM AB BC =所以可计算出DNDM2中点D 即为关键点，连接DM 、DN 即可．例题3、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A 、B 、C 均在格点上．（1）AB 的长等于 ；（2）在△ABC 的内部有一点P ，满足S △P AB ∶S △PBC ∶S △PCA =1∶2∶3，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）．【解析】（1）AB（2）方法一：关注到S △P AB +S △PBC =S △PCA ，可得到S △PCA =12S △ABC ．如图1，找到AB 中点D ，过点D 作AC 平行线，交BC 与点E ，所以点P 必然在线段DE 上．在网格中找到一点M ，使得点C 到MB 的距离与点A 到MB 的距离之比为1∶2．如图2，点Q 为AC 三等分点，连接BO ，与线段DE 交点即为点P ．方法二：发现AC边上本身就存在点D、E使得AD:EC:DE=1∶2∶3，先作出如下图形，接着利用平行，将△ADB和△BEC面积转化．过点B作AC平行线，与l1交于点H，与l2交于点G，连接EG、DH，易证EG∥BC，DH ∥AB，所以EG与DH交点即为点P．2、请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，仅用无刻度的直尺完成下列作图，过点P 向线段AB引平行线．解：如图所示，PQ即为所求．4、如图，方格图中每个小格的边长为1，仅用直尺过点C画线段CD，使CD∥AB，D是格点，过C作AB的垂线CH，垂足为H．连结BC、AD．（1）试猜想：线段BC与线段AD的关系为；（2）请计算：四边形ABCD的面积为；（3）若线段AB的长为m，则线段CH长度为．（用含m的代数式表示）解：（1）∵AD ＝BC ==BC ∥AD 且BC ＝AD ．故答案为BC ∥AD 且BC ＝AD ；（2）S ▱ABCD ＝3×512-⨯1×212-⨯1×412-⨯1×212-⨯1×4＝15﹣1﹣2﹣1﹣2＝9．故答案为9；（3）∵AB =，S ▱ABCD ＝9m ，∴AB •CH ＝9，即CH=m 5=m ．故m ．图1 图2 图3 图47、图1，图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．（1）在图1中画出等腰直角△MON ，使点N 在格点上，且∠MON =90°；（2）在图2中以格点为顶点画出一个正方形ABCD ，使正方形ABCD 面积等于（1）中等腰直角△MON 面积的4倍，并将正方形ABCD 分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD 面积没有剩余（画出一种即可）．图1 图2 解：（1）如图1所示：∠MON ＝90°；图1 图2 图3（2）如图2、3所示．10、如图，将线段AB 放在边长为1的小正方形网格，点A 点B 均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB 上画出点P ，使AP =217，并保留作图痕迹．（备注：本题只是找点不是证明，所以只需连接一对角线就行）解：由勾股定理得，AB 224117=+=，所以，AP 2173=时AP ∶BP ＝2∶1．点P 如图所示．11、如图，在平面直角坐标系中，A （0，4）、B （4，4）、C （6，2）． （1）在图中画出经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的位置； （2）点M 的坐标为 ；（3）判断点D （5，—2）与OM 的位置关系． （3）判断点D （5，﹣2）与⊙M 的位置关系．解：（1）如图1，点M 就是要找的圆心；（2）圆心M 的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；（3）圆的半径AM 2224=+=25．线段MD 22(52)213=-+=＜25，所以点D 在⊙M 内．12、如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A 、B 、C ． （1）画出该圆弧所在圆的圆心D 的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接AD 、CD ． （2）请在（1）的基础上，以点0为原点、水平方向所在直线为x 轴、竖直方向所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，完成下列问题：①OD的半径为（结果保留根号）；②若用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是；③若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由．解：（1）根据题意画出相应的图形，如图所示：（2）①在Rt△AOD中，OA＝4，OD＝2，根据勾股定理得：AD==则⊙D的半径为②AC==CD＝AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°．扇形ADC的弧长==，圆锥的底面的半径=；③直线EC与⊙D的位置关系为相切，理由为：在Rt△CEF中，CF＝2，EF＝1，根据勾股定理得：CE==在△CDE中，CD＝CE=DE＝5，∵CE2+CD2＝（）2+（2＝5+20＝25，DE2＝25，∴CE2+CD2＝DE2，∴△CDE为直角三角形，即∠DCE＝90°，则CE与圆D相一、构造直角例题1、网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sin A= ．【解析】如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，由勾股定理得AB＝AC＝BC＝，AD ＝ABC 是等腰三角形，由面积相等可得，12BC •AD 12=AB •CE ， 即CE 5==，sinA 35CE AC ===，故答案为35．【总结】由于格点三角形各边都可求，所以利用解直角三角形即可求出各个内角的三角函数值．二、角度转换例题2、如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是 ．思路一：构造直角连接BE ，由四边形EDBC 为正方形可知，CD ⊥BE ，∴tan ∠APD =tan ∠BPF =BFPF，设小正，可得BF =1，CD =2，由△ACP ∽△BDP ，且相似比为3∶1可得PCDP=3， ∴PC CD =34，∴PC =33242⨯=，∴PF =PC —CF =12， ∴tan ∠BPF 1=212=．思路二∶角度转换连接BE ，可知BE ∥CD ，∴∠APD =∠BPF =∠ABE ，连接AE ，AE 和BE 均为正方形对角线，易得AE ⊥BE ，tan ∠ABE =2AEBE=．例题3、在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A 、B 、C 、D 都在格点处，AB 与CD 相交于O ，则tan ∠BOD 的值等于【答案】3 【解析】转化思路一：到格点三角形内，再用例题1的方法（此方法构造情况较多，解法较暴力，在此不一一列举，以下给出三种转化法）转化思路二：思路一的情况下，存在转化出的格点三角形恰好为直角三角形，这类方法最巧妙，但需要学生有较强的观察能力！直角构造思路三：通过连接某些辅助线，构造出直角后直接在直角三角形内求解．2、如图，在4x 5的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则tan ∠ABC = ；sin ∠ACB = ．【解析】找到与A 构成小正方形对角线的格点D 、E ，连接CD ，AE ，EB ，AC 与EB 交于点F ．由网格特点和正方形的性质可知，∠BAE ＝90°，根据勾股定理得，AE =AB ＝，DB ，DC BE ===，则tan ∠ABC 3DCDB==，又BE ⊥AC ，易得△AEF ∽△BAF ，故13AE EF AF AB AF BF ===，∴19EF BF =，∴BF =910⨯sin ∠ACB=BF BC ===，故答案为3．3、如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点P ，则APPB的值＝ ，tan ∠APD 的值＝ ．【解析】∵四边形BCED 是正方形，∴DB ∥AC ，∴△DBP ∽△CAP ，∴AP ACPB DB==3， 连接BE ，∵四边形BCED 是正方形，∴DF ＝CF 12=CD ，BF 12=BE ，CD ＝BE ，BE ⊥CD ，∴BF ＝CF ，根据题意得：AC ∥BD ，∴△ACP ∽△BDP ，∴DP ：CP ＝BD ：AC ＝1：3，∴DP ：DF ＝1：2，∴DP ＝PF 12=CF 12=BF ，在Rt △PBF 中，tan ∠BPF BF PF ==2，∵∠APD ＝∠BPF ，∴tan ∠APD ＝2，故答案为3，2．5、如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O ）为60°，A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC 的值是 ．【解析】如图，连接EA ，EC ，设菱形的边长为a ，由题意得∠AEF ＝30°，∠BEF ＝60°，AE =，EB ＝2a ，∴∠AEC ＝90°，∵∠ACE ＝∠ACG ＝∠BCG ＝60°， ∴E 、C 、B 共线，在Rt △AEB 中，tan ∠ABC AE BE ===6、如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD ，则tan ∠DBC 的值为 ．【解析】如图，连接AC 与BD 相交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BO 12=BD ，CO 12=AC ，由勾股定理得，AC ==，BD ==BO 122==，CO 12=⨯2=tan ∠DBC CO BO ===3．故案为3．7、如图1是由边长为1的小正方形组成的网格，点A 、B 、C 、D 都在网格的格点上，AC 、BD 相交于点O ．图1 图2 图3 图4 （一）探索发现（1）如图1，当AB ＝2时，连接AD ，则∠ADO ＝90°，BO ＝2DO ，AD =BO 23=tan ∠AOD ＝ ．如图2，当AB ＝3时，画AH ⊥BD 交BD 的延长线于H ，则AH 32=BO ＝ ，tan ∠AOD ＝ ．如图3，当AB ＝4时，tan ∠AOD ＝ ．（2）猜想：当AB ＝n （n ＞0）时，tan ∠AOD ＝ ．（结果用含n 的代数式表示），请证明你的猜想． （二）解决问题（3）如图，两个正方形的一边CD 、CG 在同一直线上，连接CF 、DE 相交于点O，若tan ∠COE 1713=，求正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长之比． 解∶（一）探索发现（1）如图1，当AB ＝2时，∵BO ＝2DO ，BO 23=∴OD =又∵∠ADO ＝90°，AD =tan ∠AOD 3ADOD===3，即tan ∠AOD ＝3． 如图2，设DCBE 为正方形，连接CE ，交BD 于F ．∵四边形BCDE 是正方形， ∴DF ＝CF ＝BF 12=BD 12=CE ，BD ⊥CE ．根据题意得∶AB ∥DC ，∴△AOB ∽△COD ， ∴DO ∶BO ＝CD ∶AB ．当AB ＝3时，DO ∶BO ＝1∶3，∴BO 4=．∵S △ABD 12=BD •AH 12=AB •ED ，∴BD •AH ＝AB •ED ，∴AH 2AB ED BD ⋅===，DO ∶BO ＝CD ∶AB ＝1∶3，∴DO ∶DF ＝1∶2，∴OF ∶DF ＝1∶2，即OF ∶CF ＝1∶2．在Rt △OCF 中，tan ∠COF CFOF==2，∵∠AOD ＝∠COF ，∴tan ∠AOD ＝2；如图3，当AB ＝4时，DO ∶BO ＝CD ∶AB ＝1∶4，∴DO ∶DF ＝1∶2．5＝2∶5，∴OF ∶DF ＝3∶5，即OF ∶CF ＝3∶5．在Rt △OCF 中，tan ∠COF 53CF OF ==，∵∠AOD ＝∠COF ，∴tan ∠AOD 53=；故答案是32；53；（2）猜想∶当AB ＝n （n ＞0）时，tan ∠AOD 11n n +=-（结果用含n 的代数式表示）． 证明∶过点A 作AH ⊥BH 于点H ，则AH ＝BH 2=n ．∵AB ∥OD ，∴△AOB ∽△COD ， ∴1OB AB nOD CD ==，∴OB 1n =+．∴OH ＝BH ﹣OB 2=n 1n -+．∴tan ∠AOD 11AHn HDn +===-；故答案是11n n +-； （二）解决问题（3）解：如图4，过点D作DH⊥CF于点H，则tan∠DOHDHHO=．∵∠DOH＝∠COE，∴tan∠DOH1713=，又由（一）结论得：117113nn+=-，∴n152=，∴正方形ABCD和正方形CEFG的边长之比为152．图1 图2 图3 图4。