12A_自适应滤波器计算举例

自适应滤波算法理解与应用什么是自适应滤波器自适应滤波器是能够根据输入信号自动调整性能进行数字信号处理的数字滤波器。

作为对比，非自适应滤波器有静态的滤波器系数，这些静态系数一起组成传递函数。

对于一些应用来说，由于事先并不知道所需要进行操作的参数，例如一些噪声信号的特性，所以要求使用自适应的系数进行处理。

在这种情况下，通常使用自适应滤波器，自适应滤波器使用反馈来调整滤波器系数以及频率响应。

总的来说，自适应的过程涉及到将代价函数用于确定如何更改滤波器系数从而减小下一次迭代过程成本的算法。

价值函数是滤波器最佳性能的判断准则，比如减小输入信号中的噪声成分的能力。

随着数字信号处理器性能的增强，自适应滤波器的应用越来越常见，时至今日它们已经广泛地用于手机以及其它通信设备、数码录像机和数码照相机以及医疗监测设备中。

下面图示的框图是最小均方滤波器（LMS）和递归最小平方（en:Recursive least squares filter，RLS，即我们平时说的最小二乘法）这些特殊自适应滤波器实现的基础。

框图的理论基础是可变滤波器能够得到所要信号的估计。

自适应滤波器有4种基本应用类型：1）系统辨识：这时参考信号就是未知系统的输出，当误差最小时，此时自适应滤波器就与未知系统具有相近的特性，自适应滤波器用来提供一个在某种意义上能够最好拟合未知装置的线性模型2）逆模型：在这类应用中，自适应滤波器的作用是提供一个逆模型，该模型可在某种意义上最好拟合未知噪声装置。

理想地，在线性系统的情况下，该逆模型具有等于未知装置转移函数倒数的转移函数，使得二者的组合构成一个理想的传输媒介。

该系统输入的延迟构成自适应滤波器的期望响应。

在某些应用中，该系统输入不加延迟地用做期望响应。

3）预测：在这类应用中，自适应滤波器的作用是对随机信号的当前值提供某种意义上的一个最好预测。

于是，信号的当前值用作自适应滤波器的期望响应。

信号的过去值加到滤。

第二章自适应滤波器原理2.1 基本原理2.1.1 自适应滤波器的发展在解决线性滤波问题的统计方法中，通常假设已知有用信号及其附加噪声的某些统计参数（例如，均值和自相关函数），而且需要设计含噪数据作为其输入的线性滤波器，使得根据某种统计准则噪声对滤波器的影响最小。

实现该滤波器优化问题的一个有用方法是使误差信号（定义为期望响应与滤波器实际输出之差）的均方值最小化。

对于平稳输入，通常采用所谓维纳滤波器（Wiener filter）的解决方案。

该滤波器在均方误差意义上使最优的。

误差信号均方值相对于滤波器可调参数的曲线通常称为误差性能曲面。

该曲面的极小点即为维纳解。

维纳滤波器不适合于应对信号和/或噪声非平稳问题。

在这种情况下，必须假设最优滤波器为时变形式。

对于这个更加困难的问题，十分成功的一个解决方案使采用卡尔曼滤波器（Kalman filter）。

该滤波器在各种工程应用中式一个强有力的系统。

维纳滤波器的设计要求所要处理的数据统计方面的先验知识。

只有当输入数据的统计特性与滤波器设计所依赖的某一先验知识匹配时，该滤波器才是最优的。

当这个信息完全未知时，就不可能设计维纳滤波器，或者该设计不再是最优的。

而且维纳滤波器的参数是固定的。

在这种情况下，可采用的一个直接方法是“估计和插入过程”。

该过程包含两个步骤，首先是“估计”有关信号的统计参数，然后将所得到的结果“插入（plug into）”非递归公式以计算滤波器参数。

对于实时运算，该过程的缺点是要求特别精心制作，而且要求价格昂贵的硬件。

为了消除这个限制，可采用自适应滤波器（adaptive filter）。

采用这样一种系统，意味着滤波器是自设计的，即自适应滤波器依靠递归算法进行其计算，这样使它有可能在无法获得有关信号特征完整知识的环境下，玩完满地完成滤波运算。

该算法将从某些预先确定的初始条件集出发，这些初始条件代表了人们所知道的上述环境的任何一种情况。

我们还发现，在平稳环境下，该运算经一些成功迭代后收敛于某种统计意义上的最优维纳解。

一．自适应滤波器的应用1.自适应滤波器的工作原理：自适应滤波器是以最小均方误差为准则的最佳滤波器，它能自动调节其本身的单位脉冲响应h(n)特性，已达到最优的滤波效果。

(1)自适应DF的h(n)单位脉冲响应受ε(j)误差信号控制。

(2)根据ε(j)的值而自动调节，使之适合下一刻(j+1)的输入x(j+1)，以使输出y(j+1)更接近于所期望的响应d(j+1), 直至均方误差E[ε 2 (j)]达到最小值.(3)y(j)最佳地逼近d(j)，系统完全适应了所加入的两个外来信号，即外界环境。

2.应用举例自适应噪声抵消系统要求参考输入的参考信号是与噪声相关的。

然而在有些应用中，要想找代一个噪声较好相关性的参考信号是非常困难的，这使自适应噪声抵消系统难以工作。

实际上，如果宽带信号中的噪声是周期性的，则即使没有另外的与噪声相关的参考生信号，也可以使用自适应抵消系统来消除这种同期干扰噪声。

分离周期信号和宽带信号原理图图中原始输入信号x为周期信号和宽带信号的混合。

输入信号直接送入主通道，同时经过延时为δ的延时电路送入参考通道。

延时δ取足够长，使得参考信道输入r中的宽带信号与x中的宽带信号不相关或者相关性极小。

而在x和r中的周期信号因其周期性，其相关性也是周期性的，经过延时δ之后，其相关性不变。

然后经过自适应噪声抵消系统处理，参考通道中的自适应滤波器将调整其加权，使输出y在最小均方误差意义上接近于相关分量——周期信号，而误差越接近与相关分量——宽带信号，从而得到两个输出端：输出1将主要包含宽带信号，输出2将主要包含周期信号。

下面是具体一个应用实例。

设计一个自适应信号分离器，用以从白噪声中提取周期信号。

其中选取正弦信号s=sin(2*pi*t/10)为周期信号，宽带噪声信号为高斯白噪声，设置通道延迟为50。

具体程序及仿真结果如下：%自适应信号分离器t=0:1/10:400;s=sin(2*pi*t/10);%周期信号x=awgn(s,15);D=50;%延迟r=[zeros(1,D),x];%信号延迟Dx=[x zeros(1,D)];N=5;%r经LMS自适应滤波器u=0.02;M=length(r);y=zeros(1,M);w=zeros(1,N);for n=N:Mx1=r(n:-1:n-N+1)y(n)=w*x1';e(n)=x(n)-y(n);w=w+u.*e(n).*x1; endsubplot(3,1,1);plot(t,x(1:(length(x)-D))); title('输入信号');axis([1 200 -1 1]); subplot(3,1,2);plot(t,y(1:(length(x)-D))); title('周期信号');axis([1 200 -1 1]); subplot(3,1,3);plot(t,e(1:(length(x)-D))); title('宽带信号');axis([0 200 -1 1]);仿真结果如下：20406080100120140160180200-11输入信号20406080100120140160180200-11周期信号020406080100120140160180200-101宽带信号如图，输入信号是周期信号和宽带信号的叠加，经过一个延迟和自适应滤波器输出两部分，一个部分周期信号，另一部分时宽带信号，这就实现了信号的分离。

自适应滤波算法解析
自适应滤波算法的核心思想是根据信号自身的统计特性来调整滤波器的参数。

通常情况下，信号的统计特性是由信号的功率谱密度或自相关函数表示的。

根据这些统计特性，可以设计滤波器的参数，从而使得滤波器能够较好地适应信号的变化。

在自适应滤波算法中，最常用的一种方法是最小均方误差（Mean Square Error，MSE）准则。

该准则的目标是通过最小化滤波器输出与期望输出之间的均方误差，来选择最佳的滤波器参数。

为了实现这个目标，通常采用梯度下降法或者最小二乘法等优化方法。

在梯度下降法中，通过计算误差函数关于滤波器参数的梯度，来不断调整滤波器的参数。

具体而言，首先随机初始化滤波器的参数，然后计算误差函数的梯度，并根据梯度的方向和大小来更新滤波器的参数。

重复这个过程直到滤波器参数收敛。

最小二乘法是另一种常用的优化方法，它的核心思想是通过最小化误差函数的二次方和，来选择最佳的滤波器参数。

与梯度下降法不同的是，最小二乘法可以通过对误差函数进行求导并令其等于零来求解滤波器的最佳参数。

除了最小均方误差准则之外，还有一些其他的自适应滤波算法，例如最小绝对值差准则、最小二乘差准则等。

这些算法的核心思想都是通过合适的准则来选择滤波器的参数，从而实现自适应滤波。

总的来说，自适应滤波算法是一种根据信号自身的特性来调整滤波器参数的方法。

该算法通过最小化误差准则来选择最佳的滤波器参数，具有
广泛的应用价值。

在实际应用中，可以根据具体的问题选择合适的自适应滤波算法，并通过调整算法的参数来获得最佳的滤波效果。

自适应滤波算法原理与应用经典的滤波算法包括,维纳滤波，卡尔曼滤波，自适应滤波。

维纳滤波与卡尔曼滤波能够满足一些工程问题的需求，得到较好的滤波效果。

但是他们也存在局限性，对于维纳滤波来说,需要得到足够多的数据样本时，才能获得较为准确的自相关函数估计值，一旦系统设计完毕，滤波器的长度就不能再改变,这难以满足信号处理的实时性要求；对于卡尔曼滤波，需要提前对信号的噪声功率进行估计，参数估计的准确性直接影响到滤波的效果。

在实际的信号处理中,如果系统参数能够随着输入信号的变化进行自动调整，不需要提前估计信号与噪声的参数,实现对信号的自适应滤波，这样的系统就是自适应滤波系统.1。

基本自适应滤波算法自适应滤波算法的基本思想是根据输入信号的特性自适应调整滤波器的系数，实现最优滤波。

图1 自适应滤波结构框图若自适应滤波的阶数为M ，滤波器系数为W ，输入信号序列为X ，则输出为： 10()()()M m y n w m x n m -==-∑（ 1）()()()e n d n y n =-( 2）其中()d n 为期望信号，()e n 为误差信号。

11()()()M Mj i ij m i y n w m x n m y w x -===-→=∑∑（ 3） 令T T 01112[,,,],[,,,]M j j j Nj W w w w X x x x -==（ 4）则滤波器的输出可以写成矩阵形式： T Tj jj y X W W X == ( 5）T Tj j j j j jj e d y d X W d W X =-=-=- （ 6）定义代价函数：222()[][()][()]j j j T j j J j E e E d y E d W X ==-=- （ 7）当使上式中的代价函数取到最小值时,认为实现最优滤波，这样的自适应滤波成为最小均方自适应滤波（LMS)。

对于最小均方自适应滤波，需要确定使得均方误差最小的滤波器系数，一般使用梯度下降法求解这类问题。

5 自适应滤波法5.1 自适应滤波法的基本过程自适应滤波法与移动平均法、指数平滑法一样，也是以时间序列的历史观测值进行某种加权平均来预测的，它要寻找一组“最佳”的权数，其办法是先用一组给定的权数来计算一个预测值，然后计算预测误差，再根据预测误差调整权数以减少误差。

这样反复进行，直至找出一组“最佳”权数，使误差减少到最低限度。

由于这种调整权数的过程与通讯工程中的传输噪声过滤过程极为接近，故称为自适应滤波法。

自适应滤波法的基本预测公式为21-+1-+111ˆ...Ni t t N t N i t i t i y w y w y w y w y-+==+++=∑ （33）式（33）中，1ˆt y+为第1t +期的预测值，i w 为第1t i -+期的观测值权数，-+1t i y 为第1t i -+期的观测值，N 为权数的个数。

其调整权数的公式为+1-+1=+2k i i i t i w w e y '⋅（34）式中，1,2,...,,,1,...,,i =N t N N n n =+为序列数据的个数，i w 为调整前的第i 个权数，i w ' 为调整后的第i 个权数，k 为学习常数，+1i e 为第 1t +期的预测误差。

式（34）表明：调整后的一组权数应等于旧的一组权数加上误差调整项，这个调整项包括预测误差、原观测值和学习常数等三个因素。

学习常数k 的大小决定权数调整的速度。

下面举一个简单的例子来说明此法的全过程。

设有一个时间序列包括10 个观测值，如表9 所示。

试用自适应滤波法，以两个权数来求第 11 期的预测值。

表9 某时间序列数据表时期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10观测值t y 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0本例中=2N 。

取初始权数120.5,0.5w w ==并设0.9k =。

t 的取值由=2N开始，当2t =时：（1）按预测公式（33），求第13t +=期的预测值。

自适应滤波器算法
自适应滤波器算法是一种能够根据信号的特点自动调节滤波器参数的算法。

常见的自适应滤波器算法包括最小均方差算法（LMS）和最
小二乘算法（LMS）。

这两种算法的核心思想都是通过不断
调整滤波器的权重系数，使得滤波器的输出尽可能地接近期望的信号。

LMS算法是一种迭代算法，它通过不断调整滤波器的权重系数，使得滤波器的输出误差最小化。

LMS算法的更新规则为：
w(n+1) = w(n) + μ * e(n) * x(n)
其中，w(n)是滤波器的权重系数，e(n)是滤波器的输出误差，
x(n)是输入信号，μ是步长参数。

LMS算法的优点是计算简单，但对噪声的自适应效果较差。

最小二乘算法是通过最小化滤波器输出误差的平方和来确定滤波器的权重系数。

最小二乘算法的求解过程需要对滤波器的权重系数进行矩阵运算，算法复杂度较高，但自适应性能更好。

自适应滤波器算法在信号处理、通信和控制等领域具有广泛的应用。

它可以有效地降低信号中的噪声和干扰，提高系统的性能和可靠性。

自适应滤波算法分析自适应滤波算法的基本原理是根据信号和噪声的统计特性来自动调整滤波器的参数，以最大程度上抑制噪声的同时保留信号的有效信息。

常用的自适应滤波算法包括最小均方差滤波（LMS）算法、最小二乘逆滤波（RLS）算法等。

最小均方差滤波算法是自适应滤波中最基本也是最常用的一种算法。

其基本原理是通过调整滤波器的权值使得滤波器输出的误差信号的均方差最小化。

算法的流程如下：1.初始化滤波器的权值为0；2.输入待滤波的信号和一个参考信号；3.根据当前滤波器的权值计算输出信号；4.计算输出信号与参考信号之间的误差；5.根据误差信号更新滤波器的权值；6.重复步骤3-5，直到滤波器的权值收敛。

最小均方差滤波算法的优点是实现简单、运算速度快。

但是它也存在一些局限性，如收敛速度慢、对噪声的稳定性差等。

最小二乘逆滤波算法是一种改进的自适应滤波算法，它通过逆滤波的方式估计信号的频谱，从而去除噪声。

算法的流程如下：1.初始化滤波器的权值为0；2.输入待滤波的信号和一个参考信号；3.根据当前滤波器的权值计算输出信号；4.计算输出信号与参考信号之间的误差；5.根据误差信号更新滤波器的权值；6.将滤波器的权值转化为滤波器的频率响应；7.通过逆滤波的方式去除噪声；8.重复步骤3-7，直到滤波器的权值收敛。

最小二乘逆滤波算法的优点是具有较快的收敛速度、对噪声的稳定性较好。

但是它也存在一些问题，如对于非最小相位滤波器的逆滤波存在困难。

除了最小均方差滤波算法和最小二乘逆滤波算法，还有其他一些自适应滤波算法，如最大信号平均滤波（MSA）算法、快速递推自适应滤波（FTRR）算法等。

这些算法通过不同的方式来自适应地调整滤波器的参数，适用于不同的信号处理场景。

综上所述，自适应滤波算法是一种能够根据信号的特性自动调整滤波器参数的算法。

不同的自适应滤波算法有不同的优缺点，应根据实际应用场景选择合适的算法。

通过合理地设计和使用自适应滤波算法，可以有效地去除噪声、增强信号，提高信号质量。

自适应滤波算法及其应用摘要：自适应滤波器理论是现代信号处理技术中的重要组成部分。

而自适应滤波算法作为自适应滤波器的重要组成部分，直接决定着滤波性能的优劣。

本文从自适应滤波器基本原理入手，介绍了自适应滤波器的基本理论思想，算法及设计方法。

本文介绍了两种最基本的自适应算法，即最小均方误差(LMS)算法和递归最小二乘（RLS)算法，并针对两种算法的性能及优缺点进行了详细的比较。

最后，介绍了几种自适应滤波算法的应用，自适应滤波器去除噪声的原理和从强噪声背景中采用自适应滤波提取有用信号的方法，自适应预测器，自适应均衡器。

1.自适应滤波原理自适应滤波是利用前一时刻已获得的滤波器参数的结果，自动的调节现时刻的滤波器参数，以适应信号和噪声未知的或随时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。

自适应滤波器实质上就是一种能调节其自身传输特性以达到最优的维纳滤波器。

自适应滤波器不需要关于输入信号的先验知识，计算量小，特别适用于实时处理。

由于无法预先知道信号和噪声的特性或者它们是随时间变化的，仅仅用FIR 和IIR两种具有固定滤波系数的滤波器无法实现最优滤波。

在这种情况下，必须设计自适应滤波器，以跟踪信号和噪声的变化。

在自适应滤波器中，参数可调的数字滤波器一般为FIR数字滤波器，IIR数字滤波器或格型数字滤波器。

自适应滤波分2个过程。

第一，输入信号想x(n)通过参数可调的数字滤波器后得输出信号y(n)，y(n)与参考信号d(n)进行比较得误差信号e(n)；第二，通过一种自适应算法和x(n)和e(n)的值来调节参数可调的数字滤波器的参数，即加权系数，使之达到最佳滤波效果。

自适应滤波器的一般形式如图1所示，图中 输入信号 x(n)加权到数字滤波器产生输出信号y (n)，自适应算法调节滤波器权系数使输出y(n)和滤波器期望的响应 d(n)之间的误差信号e(n)为最小。

自适应滤波器的系数受误差信号的控制，根据e(n)的值 和自适应算法自动调整。

自适应滤波器的方程
自适应滤波器是一种能够自动调整其参数的滤波器，以便优化某种性能准则，如最小均方误差（MSE）。

最常见的自适应滤波器之一是LMS（最小均方）滤波器。

LMS自适应滤波器的基本方程包括：
滤波器的输出：
(y[n] = \mathbf{w}^T[n] \mathbf{x}[n])
其中，(\mathbf{w}[n]) 是在时刻(n) 的滤波器权重向量，(\mathbf{x}[n]) 是输入信号向量（可能包括过去的输入样本），(y[n]) 是滤波器的输出。

误差信号：
(e[n] = d[n] - y[n])
其中，(d[n]) 是期望信号（或称为参考信号），(e[n]) 是误差信号，表示期望信号与滤波器输出之间的差异。

权重更新：
(\mathbf{w}[n+1] = \mathbf{w}[n] + 2\mu e[n] \mathbf{x}[n])这是LMS算法的核心部分，描述了如何根据误差信号来更新滤波器的权重。

其中，(\mu) 是步长参数，它控制算法的收敛速度和稳定性。

注意：上述方程是基于离散时间表示的，并且使用了向量和矩阵的转置（由(^T) 表示）来简化表示。

在实际应用中，这些
方程可能需要进一步的细化和调整，以适应特定的应用场景和性能要求。

此外，还有其他类型的自适应滤波器，如归一化LMS（NLMS）、递归最小二乘（RLS）等，它们具有不同的权重更新策略和性能特性。