2020届百校联盟高三4月教育教学质量监测考试(全国Ⅰ卷)数学(理)Word版

绝密★启用前百校联盟普通高中2020届高三毕业班教育教学质量监测考试(全国Ⅰ卷)英语试题2020年4月注意事项：1.本试卷分为四部分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。

5.考试范围：高考全部内容。

第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What does the man want the woman to do?A. Talk on the phone.B. Turn off the TV.C. Turn down the TV.2. Where does the conversation probably take place?A. In a restaurant.B. In a hotel.C. In an airport.3. What does the man invite the woman to do this afternoon?A. See a film.B. Go climbing.C. Go swimming.4. How much will the woman pay altogether?A. $ 3.50.B. $ 21. 50.C. $ 25.5. What will Peter do this afternoon?A. Drive a car.B. Go skating.C. Play table tennis.第二节(共15小题；每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。

理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =IA ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=u u u r u u u r r ，()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示 数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二 填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=， 则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的 五位数，其中奇数有 个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这 个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数． （1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合； （2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳题12图 主视图 俯视图左视图族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求()E X．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M、(1,0)N，若动点P满足6||MN MP NP=⋅u u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：2120x y+-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，2π=∠=∠BADABC，42===ADBCAB，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，xAE=．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()f x．（1）当2=x时，求证：BD⊥EG；（2）求()f x的最大值；（3）当()f x取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}na中112a=，前n项和2(1)n nS n a n n=--，1n=，2，…．（1）证明数列1{}nnSn+是等差数列；（2）求nS关于n的表达式；（3）设3n nnb S=１，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本题满分14分）二次函数()f x满足(0)(1)0f f==，且最小值是14-．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBB A ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =I ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =．4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=u u u r u u u r r ，得AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r ，故0DB AC =⋅u u u r u u u r，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=．10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh === 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分． （2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分 答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分 随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个 人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分． （2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）． 依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离5d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离d ==由于55<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5．…12分 当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=o ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =I ，故⊥EG 平面DBH ． 又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱 锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角． 在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴3cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示． 当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-u u u r ，(2,2,0)EG =u u u r，∴440BD EG ⋅=-+=u u u r u u u r．∴BD EG ⊥u u u r u u u r，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>u u u r u u u r或其补角．又(0,0,2)AE =-u u u r ， 故3cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD <>===-++⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分 （2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n nb S =１＝321n n n +g １＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L …１２分 1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分 又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -p ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++． ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++≥=，∴211()()24m n m n +++≥． ……… 14分。

2020届百校联盟高三4月教育教学质量监测考试（全国Ⅰ卷）数学（理）试题一、单选题1．若复数z 满足121z i i -+=+，则||z =（ ）A ．B ．2C D ．3【答案】A【解析】由条件121z i i -+=+，则211z i i =++-，求出z ，在求||z . 【详解】∵121z i i -+=+，∴2z i =+，∴z ==故选：A 【点睛】本题考查复数的加法运算和模长，属于基础题.2．已知集合{}221,,0A a a =-，{1,5,9}B a a =--，且{9}A B =I ，则（ ） A ．{9,25,0}A = B ．{5,9,0}A =C ．{7,9,0}A =-D ．{7,9,0,25,4}A B ⋃=--【答案】C【解析】由{9}A B =I 可得29a =，或219a -=，则3a =±，或5a =，再检验得出结论. 【详解】由已知可得29a =，或219a -=，∴3a =±，或5a =. 当3a =时，{5,9,0}A =，{2,2,9}B =--(舍)， 当5a =时，{9,25,0}A =，{4,0,9}B =-(舍)， 当3a =-时，{7,9,0}A =-，{4,8,9}B =-. 故选：C 【点睛】本题考查利用集合的交集求参数，注意检验集合的元素的唯一性，属于基础题. 3．已知向量()22,1a x x →=-，(1,3)b →=-，则“13x -<<”是“a →，b →的夹角为钝角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】根据若0a b ⋅<r r，则a →，b →的夹角为钝角或平角，再求出a →，b →反向时x 的取值，从而可得到答案. 【详解】∵223x x a b →→=--⋅，∴130a b x →→⋅-<<⇔<，当//a b →→时，()2321x x -⨯-=，解得：13x =±当1x =时，1,13a →⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时a →，b →反向.所以a →，b →的夹角为钝角则13x -<<且1x ≠所以“13x -<<”不能得到“a →，b →的夹角为钝角. 当“a →，b →的夹角为钝角”则能得到“13x -<<”.∴“13x -<<”是“a →，b →的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断和向量的夹角与数量积的关系，属于中档题. 4．将函数2sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，所得函数（ ） A ．在区间3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 B ．在区间5,88ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 C ．以8x π=为一条对称轴D ．以3,08π⎛⎫⎪⎝⎭为一个对称中心 【答案】B【解析】由三角函数的图像平移得出解析式2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后再根据函数()sin y A ωx φ=+的图像性质对选项进行逐一判断，即可得出答案.【详解】将函数2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度,可得2sin 22sin 2444y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由222()242k x k k πππππ--+∈Z 剟，得3()88k x k k ππππ-+∈Z 剟， ∴单调递增区间为3,()88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，故A 错误； 由32+22()242k x k k πππππ-+∈Z 剟，得37+()88k x k k ππππ+∈Z 剟 当1k =-时，函数在5,88ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减. 故B 正确 由242x k πππ-=+，得对称轴为3()28k x k ππ=+∈Z ，故C 错误； 由24x k ππ-=，得()28k x k ππ=+∈Z ，对称中心为,028k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，故D 错误. 故选：B 【点睛】本题考查根据三角函数的图像平移得出解析式，进一步研究函数的单调性和对称性，属于中档题.5．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．83πB ．8πC ．163πD ．12π【答案】B【解析】由三视图知，该几何体为一个圆柱挖去半个球和一个圆锥，然后求体积.【详解】由三视图知，该几何体为一个圆柱挖去半个球和一个圆锥， ∴3114164228323V ππππ=-⨯⨯-⨯⨯=. 故选：B 【点睛】本题考查根据三视图求体积，属于中档题.6．改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话.小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（ ） A ．13B ．12C ．25D ．34【答案】C【解析】根据题意，等待时间不超过10分钟的时间段分别为7：50~8：00，8：20~8：30，共20分钟，7：40至8：30之间共50分钟，由几何概型即可求出概率. 【详解】由题意可知，满足条件的时间段为7：50~8：00，8：20~8：30，共20分钟， 7：40至8：30之间共计50分钟， 由几何概型知所求概率为202505=. 故选：C . 【点睛】本题考查几何概型求概率问题，属于基础题.7．已知函数()212()log f x x ax a =-+在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞ B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎛⎤-⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】可看出该函数是由对数函数和二次函数复合而成的复合函数，这样根据二次函数、对数函数和复合函数的单调性及对数函数的定义域便可建立关于a 的不等式组，解出a 的取值范围即可． 【详解】12log y x =Q 在(0,)+∞上为减函数，2y x ax a ∴=-+在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，且0y >，122a -∴-≤，且211022a a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭， 1a ∴≤，且12a ≥-，1,12a ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦.故选：B . 【点睛】本题考查复合函数单调性的应用，涉及复合函数单调性的判断，解题关键是对数函数的定义域、二次函数的性质的运用，属于中等题.8．在平面直角坐标系xOy 中，A ､B 为函数||y x =图象上的两点，若线段AB 的中点M 恰好落在曲线22330x y -+=上，则OAB V 的面积为（ ）A ．2BCD 【答案】B【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，不妨设10x <，20x >，由线段AB 的中点M ，则122122x x x x M ⎛⎫+-⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,将M 的坐标代入曲线22330x y -+=可得123x x =-，然后求出1OA x =，2OB x =，利用三角形的面积公式可求得答案. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点(,)M x y . 由题意，不妨设10x <，20x >.∵12121221233333222x x xx x y y x x y +⎧=⎪⎪⎨-+⎪+-⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎩， 点(,)M x y 在22330x y -+=上，则22221221123333223330x x x x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫-=-+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎣⎦++=⎝∴123x x =-，又∵2211123OA x y x =+=-， 22222233OB x y x =+=，23AOB π∠=，∴1213sin 323OAB S OA OB AOB x x =⋅⋅∠=-=△. 故选：B 【点睛】本题考查中点坐标公式的应用和求三角形的面积，属于中档题.9．一只蚂蚁从正四面体A BCD -的顶点A 点出发，沿着正四面体A BCD -的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则第4秒时蚂蚁在A 点的概率为（ ）A ．2027B ．79C ．727D ．29【答案】C【解析】设第n 秒时蚂蚁不在顶点A 的概率为n P ，易知11P =.则1121(13)n n n P P P --=+⨯-,先求出n P 的通项公式，然后可得4P ，从而可得答案. 【详解】由题意知，蚂蚁每次爬行到下一个顶点的概率均为13， 设第n 秒时蚂蚁不在顶点A 的概率为n P ，易知11P =.则1121(13)n n n P P P --=+⨯-，∴1313434n n P P -⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴数列34n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以为14为首项，以13-为公比的等比数列. ∴()*331443nn P n ⎛⎫=-⋅-∈ ⎪⎝⎭N ，∴第4秒时蚂蚁在A 点的概率为4207112727P -=-=. 故选：C 【点睛】本题考查概率的计算和利用数列的递推关系求通项公式，属于中档题.10．在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，BC =，则ADB ∠的最大值为（ ） A ．4π B ．3π C ．2π D ．23π 【答案】B【解析】设CD a =，则2AB a =，BC =.取AB 的中点M ，延长AB 到N 点，使BN a =，连接CM ，CN .在MBC △,NBC V 中分别用余弦定理可得2228m n a +=，然后在ABD △中用余弦定理结合均值不等式可求解出答案. 【详解】设CD a =，则2AB a =，BC =.取AB 的中点M ，延长AB 到N 点，使BN a =，连接CM ，CN . 由平面几何知识，易知AD MC =，BD NC =. 设AD MC m ==，BD NC n ==.在MBC △中，222)2cos m a a MBC =+-⨯⋅∠，在NBC V 中，222)2cos()n a a MBC π=+-⨯⋅-∠，∴2228m n a +=，在ABD △中，222244cos 22m n a a ADB mn mn+-∠==， 又∵22228mn m n a +=„，∴222441cos 282a a ADB mn a ∠==…，∴ADB ∠的最大值为3π. 故选：B【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形结合均值不等式求最值，属于中档题.11．我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，M ､N 分别是1BB 和11A C 的中点，则平面AMN 截“堑堵”111ABC A B C -所得截面图形的面积为（ ）A 221B ．213C ．273D ．473【答案】A【解析】延长AN ，与1CC 的延长线交于点P ，则P ∈平面11BB C C .连接PM ，与11B C 交于点E ，连接NE ，可得截面图形，然后计算其面积. 【详解】延长AN ，与1CC 的延长线交于点P ，则P ∈平面11BB C C .连接PM ，与11B C 交于点E ，连接NE ，得到的四边形AMEN 就是平面AMN 截“堑堵”111ABC A B C -所得截面图形.由已知可求得：2215AM AN ==+=, 由1△PC E ∽1△EB M ，可得1111223B E B E ==142C E = 2221713ME ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭,2424217121cos 4533NE ⎛⎫=+-⨯⨯⨯︒= ⎪ ⎪⎝⎭()222115+16MN A N A M =+==.()2222161176221656222323S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴截面面积2213S =. 故选：A【点睛】本题考查作出平面截空间立体几何图形的截面并计算其面积，属于中档题.12．已知函数()ln 2f x a x x =-，若存在*x ∈N ，使()0f x >成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,)e +∞ B ．4,ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．6,ln 3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．(2,)+∞【答案】C【解析】显然当1x =时，不成立，则当1x >时，即2ln x a x >，设2()ln xg x x=，分析出函数()g x 的单调区间，然后可得出答案. 【详解】由题意，得ln 20a x x ->，当1x =时，20->不成立； 当1x >时，2ln x a x >，设2()ln xg x x=，则22(ln 1)()(ln )x g x x -'=，当(1,)x e ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数， 当(,)x e ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数.当2x =时，4(2)ln 2g =，当3x =时，6(3)ln 3g =，又∵4ln3ln81ln646ln2=>=，∴46ln 2ln 3>，∴6ln 3a >. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数分析函数的单调区间进一步解决存在性问题，属于中档题.二、填空题13．若x ，y 满足约束条件43602210210x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则|1|z x y =-+的最大值为__________.【答案】2811【解析】根据条件，作出可行域，分析出可行域在直线10x y -+=的同侧，然后利用目标函数的几何意义可求解. 【详解】由线性约束条件，得到图中ABC V 所在的区域，在图中做出直线10x y -+=，可以看出三角形区域ABC 的所有点都在直线10x y -+=的同一侧，所以当直线10x y -+=平移经过点B 时，z 取得最大值.由4360210x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得152,1111B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入1z x y =-+，得2811z =. 故答案为：2811【点睛】本题考查简单线性规划问题，属于中档题.14．在()251()x x x a +--的展开式中，含5x 项的系数为14，则实数a 的值为___________.【答案】1-或32【解析】由()2525551()()()()+x x x a x x a x x a x a =-+-----，又5()x a -的展开式的通项公式为()515rr rr T C x a -+=-，可得含5x 项，从而可得其系数，从而可得答案.【详解】()2525551()()()()+xx x a x x a x x a x a =-+-----又5()x a -的展开式的通项公式为()515rr r r T C x a -+=-由已知，含5x 的项为22324050555C ()C ()(1)C ()x x a x x a x a -+⋅-+-⋅-⋅()251051a a x =--，∴2105114a a --=，即2230a a --=，解得1a =-或32. 故答案为：1a =-或32. 【点睛】本题考查二项式展开式中指定项的系数，求参数的值，属于基础题. 15．已知实数,x y 满足20y x ≥>，则92y x x x y++的最小值为_____. 【答案】174【解析】采用换元法设yt x=，由已知可得2t ≥，可得9922y x t x x y t +=+++，令9()(2)2f t t t t =+≥+，利用导数求最值即可. 【详解】 设yt x=，由已知可得2t ≥， 9922y x t x x y t ∴+=+++，令9()(2)2f t t t t =+≥+， 29()10(2)f t t '=->+Q ， 9()2f t t t ∴=++在[2,)+∞上为增函数， 917()24f t t t ∴=+≥+，即91724y x x x y +≥+.故答案为：174. 【点睛】本题考查函数的最值问题，题目含有双变量，此类问题可用换元法将其转化为函数，再利用导数求解最值，属于中等题.16．已知1F ､2F 为双曲线2214x y -=的左､右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若12PF F △内切圆的圆心为I ，则圆心I 到圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离的最小值为____________. 【答案】1【解析】设12PF F △内切圆与12PF F △的三边1PF ､2PF ､12F F 的切点分别为D ､N ､M ，根据圆的切线性质，可得2OM =，即可得答案.【详解】由双曲线2214x y -=，则 2,1,a b c ===设12PF F △内切圆与12PF F △的三边1PF ､2PF ､12F F 的切点分别为D ､N ､M ， 根据圆的切线性质，可得1224F M F M a -==，又因为1212F M F M F F +==，∴12F M =，即2OM =， ∴内切圆圆心I 在直线2x =上.又因为圆22(1)1y x +-=的圆心为(0,1)，半径1r =， ∴圆心I 到圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离的最小值为211-=. 故答案为：1 【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，属于中档题.三、解答题17．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，210S =，()*1121n n n S a n N n +-=+∈+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()*2(1)!n n n a b n N n =∈+，数列{}nb 的前n 项和为n T ，求证：112n T ≤<.【答案】（1）()*2nn a n n =⋅∈N .（2）证明见解析【解析】(1)由1121n n n S a n +-=++有()*1222,n n n S a n n n--=+∈N …两式相减可得()*122,1n n a an n n n+=⋅∈+N …，从而可求出答案. (2)由112(1)!(1)!!(1)!n n n a n b n n n n ===-+++用裂项相消可求和.【详解】（1）当1n =时，112S a ==， ∵210S =，∴28a =， 又∵()*1121n n n S a n n +-=+∈+N ， ∴()*1222,n n n S a n n n--=+∈N …， ∴()*1122,1n n n n n a a a n n n n +--=-∈+N …， 整理得：()*122,1n n a an n n n+=⋅∈+N …， ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭从第二项242a =开始是公比为2的等比数列. ∴2422n n na n-=⨯= ∴()*22,nn a n n n =⋅∈N …又∵当1n =时，12a =满足2nn a n =⋅.∴()*2nn a n n =⋅∈N .（2）由（1）得()*112(1)!(1)!!(1)!n n na nb n n n n n ===-∈+++N ， ∴111111112!2!3!!(1)!(1)!n T n n n =-+-+⋯+-=-++，显然当*n ∈N 时，n T 为单调递增函数，且10(1)!n >+，∴1112n T T =<…成立. 【点睛】本题考查利用n a 和n S 的递推关系求通项公式和利用裂项相消可求和，属于中档题. 18．某市为了了解该市教师年龄分布情况，对年龄在[20,60]内的5000名教师进行了抽样统计，根据分层抽样的结果，统计员制作了如下的统计表格： 年龄区间 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 教师人数 2000 1300 样本人数130由于不小心，表格中部分数据被污染，看不清了，统计员只记得年龄在[20,30)的样本人数比年龄在[50,60]的样本人数多10，根据以上信息回答下列问题：（1）求该市年龄在[50,60]的教师人数；（2）试根据上表做出该市教师按照年龄的人数频率分布直方图，并求该市教师年龄的平均数x 及方差2s (同一组的数据用该组区间的中点值作代表). 【答案】（1）800.（2）频率分布直方图见解析，39x =，292s = 【解析】(1)设样本容量为x ，由130********x⨯=解得x 的值，进一步求得年龄在[30,40)的教师在样本中的人数，可得年龄在[20,30)和[50,60]的教师在样本中的人数，在列式计算.(2)分布求出各区间段的频率，即可画出频率分布直方图，再由期望与方差公式求解即可. 【详解】（1）设样本容量为x ，则130********x⨯=，解得500x =， ∴年龄在[30,40)的教师在样本中共有50020002005000⨯=(人)， ∴年龄在[20,30)和[50,60]的教师在样本中共有500200130170--=(人)， 设年龄在[50,60]的教师在样本中的人数为y ， 由题意可知：(10)170y y ++=，∴80y =，∴该市年龄在[50,60]的教师人数为500080800500⨯=. （2）由（1）可知，年龄在[20,30)的教师人数为500020001300800900---=(人)，频率为9000.185000=， 年龄在[30,40)的教师人数为2000(人)，频率为20000.45000=， 年龄在[40,50)的教师人数为1300(人)，频率为13000.265000=， 年龄在[50,60]的教师人数为800(人)，频率为8000.165000=. 由此做出频率分布直方图.250.18350.4450.26550.1639x =⨯+⨯+⨯+⨯=；22222(2539)0.18(3539)0.4(4539)0.26(5539)0.1692s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.【点睛】本题考查频率分布直方图，利用频率分布直方图求期望与方程的估计值，属于中档题. 19．如图，将斜边长为42的等腰直角ABC V 沿斜边BC 上的高AD 折成直二面角B ADC --，E 为AD 中点.（1）求二面角A BC E --的余弦值；（2）M 为线段BC 上一动点，当直线DM 与平面BCE 所成的角最大时，求三棱锥M CDE -外接球的体积.【答案】（1）223.（2510 【解析】(1)设F 为BC 中点，连接EF ､AF 得出BD ⊥平面ADC ，由平面几何可知EF BC ⊥，AF BC ⊥，则EFA Ð就是二面角A BC E --的平面角，在EFA △中求解.(2) 设直线DM 与平面BCE 所成的角为α,点D 到平面BCE 的距离为d ，则sin d DM α=，由等体积法可得求得233d =，当DM 最小时，直线DM 与平面BCE 所成的角的正弦值最大，此时所成角也最大，从而当M 为BC 中点时，直线DM 与平面BCE 所成的角最大，此时2DM =，可求出三棱锥M CDE -外接球的体积. 【详解】 【详解】解法一：（1）设F 为BC 中点，连接EF ､AF . ∵ABC V 为等腰直角三角形， 且二面角B AD C --为直二面角， ∴BD ⊥平面ADC∴22AD BD CD ===，4AB BC CA ===， 由平面几何可知，10BE CE ==， ∴EF BC ⊥，AF BC ⊥，∴EFA Ð就是二面角A BC E --的平面角， 在EFA △中，2AE =，224223AF =-=，1046EF =-=，∴2221622cos 23122EF AF AE EFA EF AF +-∠===⨯⨯， ∴二面角A BC E --的余弦值为223.（2）设直线DM 与平面BCE 所成的角为α，点D 到平面BCE 的距离为d ， 则sin d DMα=， 在三棱锥B CDE -中，1262BCE S BC EF =⨯⨯=△， 由B CDE D BCE V V --=三棱锥三棱锥，求得23d =，∴当DM 最小时，直线DM 与平面BCE 所成的角的正弦值最大，此时所成角也最大， ∴当M 为BC 中点时，直线DM 与平面BCE 所成的角最大，此时2DM =. 由平面几何知识可知，CDE △和CME △都是直角三角形，设N 为CE 的中点， 则11022ND NE NC NM CE =====， ∴三棱锥M CDE -外接球的半径为102， ∴外接球的体积3410510323V ππ⎛⎫==⎪⎝⎭.解法二：（1）∵ABC V 为等腰直角三角形，且二面角B AD C --为直二面角，∴BD ⊥平面ADC ， ∴BD CD ⊥，∴以D 为坐标原点，以DA ､DC ､DB 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.∵在平面图形中，ABC V 是斜边为42的等腰直角三角形，且E 为高AD 的中点， ∴(0,0,0)D ，(22,0,0)A，(0,0,22)B ，(0,22,0)C ，(2,0,0)E ，∴(22,22,0)AC =-，(0,22,22)BC =-u u u r，(2,22,0)EC =-，设平面ABC 的一个法向量为()111,,m x y z =u r，平面BCE 的一个法向量为()222,,n x y z =r，由00m BC m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v v ，得11112222022220y z x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令11x =，则111y z ==∴(1,1,1)m =u r，同理可求得(2,1,1)n =r，∴22cos ,336m n m n m n ⋅〈〉===⨯⨯u r ru r r u r r ， ∴二面角A BC E --的余弦值为22.（2）如图，设(01)BM BC λλ=剟， 可得(0,22,2222)M λλ-， ∴(0,22,2222)DM λλ=-，又由（1）可知平面BCE 的法向量为(2,1,1)n =r，∴2222cos ,244263(21)1DM n λλλ〈〉==-+⨯⨯-+u u r r即直线DM 与平面BCE，∵01λ剟，3，当且仅当12λ=时，等号成立. ∴当M 为BC 中点时，直线DM 与平面BCE 所成的角最大，此时2DM =. 由平面几何知识可知，CDE △和CME △都是直角三角形，设N 为CE 的中点，则122ND NE NC NM CE =====， ∴三棱锥M CDE -外接球的半径为2， ∴外接球的体积34323V π⎛==⎝⎭. 【点睛】本题考查求二面角的余弦值和三棱锥外接球的体积的求法，考查空间线线、线面、面面的位置关系，属于中档题.20．动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4. （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）24y x =.（2）存在点(2,0)Q ，定值为14. 【解析】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =，利用距离公式及弦长公式可得方程，化简可得P 的轨迹方程；（2）假设存在(,0)Q a ，设()11,S x y ､()22,T x y ，由题意知直线l '的斜率必不为0，设直线l '的方程，与抛物线联立，利用根与系数关系可求得()212222121121t a QS QT a t ++=+，当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. 【详解】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =.当P 点不在y 轴上时，过P 做PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，122GB GH ∴==，PG ∴=又PA =Q ，=24(0)y x x =≠；当P 点在y 轴上时，易知P 点与O 点重合.(0,0)P 也满足24y x =，∴曲线C 的方程为24y x =.（2）假设存在(,0)Q a ，满足题意.设()11,S x y ､()22,T x y .由题意知直线l '的斜率必不为0， 设直线l '的方程为()110x t y a t =+≠.由124x t y a y x=+⎧⎨=⎩得21440y t y a --=.1214y y t ∴+=，124y y a ⋅=-. ()2121121242x x t y y a t a ∴+=++=+，2221212116x x y y a ⋅=⋅=. ()()2222221111114(42)QS x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+Q ，()()2222222222224(42)QT x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，()222221212(42)2QS QT x x a x x a ∴+=++-++()()22121212(42)22x x a x x x x a =++-+-+()()21212124222x x x x a x x a =+++--+ ()()22114244t a t =++， ()222221161QS QT a t ⋅=+.()()()()2222211122222222211424411221161t a t QS QT t a QS QT QS QT a t a t ++++∴+===⋅++， 当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. ∴存在点(2,0)Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211QS QT +为定值14. 【点睛】本题考查轨迹方程、定值问题的求解，求轨迹方程，一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，存在性与定值问题一般设存在，代入，结合韦达定理等知识消去参数求解，属于较难题型.21．已知函数1()f x ax x =+，()1xe g x x=-. （1）讨论函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；（2）当12a =时，设(,)P x y 为函数()1ln ((0,))()1x g x y x x f x ⋅-=∈+∞⋅-图象上任意一点.直线OP 的斜率为k ，求证：01k <<.【答案】（1）答案见解析.（2）证明见解析【解析】(1)由22211()ax f x a x x-'=-=，分0a ≤与0a >两类讨论，可求得函数()f x 在(0,)+∞上的单调区间.(2)由已知，即证0y x <<,由于2()11ln ln 1()12x x g x e x y x f x x ⋅---==⋅-，即证210ln 12x e x x x --<<，①设21()12x h x e x x =---，②构造函数21()12x x s x e x x e =---，利用导数研究这两个函数的单调性及函数取值情况，可证结论.【详解】（1）∵1()f x ax x=+， ∴22211()ax f x a x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，由()0f x '=，得x a=±(舍负)当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增. （2）证明：由已知，即证0y x <<. ∵2()11ln ln 1()12x x g x e x y x f x x ⋅---==⋅-， ∴即证210ln 12x e x x x --<<， ①设21()12x h x e x x =---， ∴()1x h x e x '=--， ∴()1x h x e ''=-，∵(0,)x ∈+∞，∴()10x h x e ''=->，∴()h x '为增函数∴()1(0)0x h x e x h ''=-->=， ∴()h x 为增函数 ∴21()1(0)02x h x e x x h =--->=， ∴21102x e x x --->， 即2112x e x x -->，即21112x e x x -->， ∴21ln 012x e x x -->，即0y >， ②构造函数21()12x x s x e x x e =---，∵21()12x x x s x e xe x e '=---， 21()22x x s x xe x e ''=--， ∴21()202x x s x xe x e ''=--<， ∴()s x '在(0,)+∞上为减函数，∴()(0)0s x s ''<=，∴()s x 在(0,)+∞上为减函数，∴()(0)0s x s <=， ∴2112x x e x x e --<， ∴2112x x e x e x --<，即21ln 12x e x y x x --=<成立. 由①②可知0y x <<， ∴01k <<成立.【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性，考查证明不等式的有关问题，考查分离讨论和构造函数，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 04πρϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，P 为直线l 上的任意一点. （1）Q 为曲线C 上任意一点，求P Q 、两点间的最小距离；（2）过点P 作曲线C 的两条切线，切点为A B 、，曲线C 的对称中心为点C ，求四边形PACB 面积的最小值.【答案】（1）1.（2【解析】（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程可得圆，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，由直线与圆的位置关系可得P Q 、两点间的最小距离；（2）△P AC 与△PBC 为直角三角形，AC =BC =1，根据图形的对称性及勾股定理可知，四边形PACB的面积2PAC S S PA AC PA ==⨯==△PC 最小时面积最小，由此能求出面积的最小值．【详解】（1）由曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)，得22(1)(1)1x y -+-=， ∴曲线C 是以(1,1)为圆心，以1为半径的圆.由sin 04πρϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 20ρϕρϕ++=， cos sin x y ρϕρϕ=⎧⎨=⎩Q ，:20l x y ∴++=， P Q 为直线l 上的任意一点，Q 为圆C 上任意一点，min min 1PQ PC ∴=-(其中C 为圆心)，又min PC ==Qmin 1PQ ∴=-.（2）由题意，△P AC 与△PBC 为直角三角形，AC =BC =1，根据图形的对称性及勾股定理可知，四边形PACB 的面积2PAC S S PA AC PA ==⨯==△由（1）知，min PC =∴四边形PACB 面积的最小值min S =.【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程，解题关键是利用极坐标与直角坐标的关系将极坐标方程与参数方程转化为直角坐标方程，利用直线与圆位置关系求解即可，属于中等题.23．若0a >，0b >，且223a b ab ++=.（1）求2a b +的最小值；（2）是否存在a ､b ，使得33a b +=？并说明理由.【答案】（1）4.（2）不存在a ，b ，理由见解析【解析】(1) 利用均值不等式有3222ab a b =++…，从而可求解出答案.(2)由均值不等式有33a b +厖1）2ab …可得出答案. 【详解】（1）由3222ab a b =+++…，得2ab …，当且仅当22a b ==时等号成立. 故2324a b ab +=-…，当且仅当22a b ==时等号成立. 所以2a b +的最小值为4.（2）由（1）知，33a b +厖当且仅当22a b a b =⎧⎨==⎩时等号成立).因此，33a b +>.从而不存在a ，b ，使33a b +=.【点睛】本题考查利用均值不等式求最值和考查等号成立的条件，属于中档题.。

2020年高三统一质量检测数学试题全卷满分150 分.考试用时120分钟｡一､单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知i 是虚数单位,复数12,iz i-=则z 的共轭复数z 的虚部为 A. –iB.1C. iD. -12.已知集合2{|log 2}A x R x =∈<,集合B={x ∈R||x-1|<2}, 则A∩B= A. (0,3)B. (-1,3)C. (0,4)D. (-∞,3)3.已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额ξ(单位:元)服从正态分布2(2000,100),N 则该市某居民手机支付的消费额在(1900, 2200)内的概率为A.0.9759B.0.84C.0.8185D.0.4772附:随机变量ξ服从正态分布2(,),N μσ则P(μ-σ<ξ<μ+σ)= 0.6826,(22)0.9544P μσξμσ-<<+=, P(μ- 3σ<ξ<μ+3σ)= 0.9974 .4.设0.22,a b ==sin22,log 0.2,c =则a, b,c 的大小关系正确的是 A. a>b> cB. b>a> cC. b>c>aD. c>a>b5.已知函数39,0()( 2.718...,0x xx f x e xe x ⎧-≥==⎨<⎩为自然对数的底数),若f(x)的零点为α,极值点为β,则α+β= A.-1B.0C.1D.26.已知四棱锥P-ABCD 的所有棱长均相等,点E,F 分别在线段PA, PC 上,且EF//底面ABCD,则异面直线EF 与PB 所成角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°7.在同一直角坐标系下,已知双曲线C:22221(0,0)y x a b a b-=>>双曲线C 的一个焦点到一条渐近线的距离为2,函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π单位后得到曲线D,点A,B 分别在双曲线C 的下支和曲线D 上,则线段AB 长度的最小值为A.2.B.C D.18.某单位举行诗词大会比赛,给每位参赛者设计了“保留题型” ､“升级题型” ､“创新题型”三类题型,每类题型均指定一道题让参赛者回答｡已知某位参赛者答对每道题的概率均为4,5且各次答对与否相互独立,则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率112.125A80.125B113.125C124.125D 二､多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分｡9.已知向量(1,1),(3,1),(1,1),a b a b c +=-=-=r r r r r 设,a b rr 的夹角为θ,则.||||A a b =r r .B a c ⊥r r.//C b c r r D. θ=135° 10.已知函数22()sin 23sin cos cos ,f x x x x x =+-x ∈R,则 A. -2≤f(x)≤2B. f(x) 在区间(0,π)上只有1个零点C. f(x) 的最小正周期为π.3D x π=为f(x)图象的一条对称轴11.已知数列{}n a 的前n 项和为S 11,1,21,n n n a S S a +==++数列12{}n n n a a +⋅的前n 项和为*,,n T n N ∈则下列选项正确的为A.数列{1}n a +是等差数列B.数列{1}n a +是等比数列C.数列{}n a 的通项公式为21nn a =-.1n D T <12.已知四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面均为正方形,其中22,AB =111112,2,A B AA BB CC ====则下述正确的是A.3 11.B AA CC ⊥C.该四棱台的表面积为26D.该四棱合外接球的表面积为16π三､填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分｡ 13.若∀x 1(0,),4x xa -∈+∞+≥恒成立,则实数a 的取值范围为____14.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数, f(0)=1, 则f(2)=____ 15. 已知a ∈N,二项式61()a x x++展开式中含有2x 项的系数不大于240,记a 的取值集合为A,则由集合A 中元素构成的无重复数字的三位数共有______个 .16.2020年是中国传统的农历“鼠年”,有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象,如图:Q(0,-3)是圆Q 的圆心,圆Q 过坐标原点O;点L ､S 均在x 轴上,圆L 与圆S 的半径都等于2,圆S ､圆L 均与圆Q 外切｡已知直线l 过点O .(1) 若直线l 与圆L ､圆S 均相切,则l 截圆Q 所得弦长为____ ; (2)若直线l 截圆L ､圆S ､圆Q 所得弦长均等于d,则d=____. (本题第一个空2分,第二个空3分)四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤｡ 17.(10分)设等差数列{}n a 的前n项和为,n S 等比数列{}n b 的前n项和为.n T 已知112,a b =236,12,S S ==24,3T =n ∈N *. (1)求{},{}n n a b 的通项公式;(2)是否存在正整数k,使得6k S k <且139k T >？若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由｡18.(12分)在△ABC 中, a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边,22222()(1tan )b b c a A =+--. (1)求角C ;(2)若210,c =D 为BC 中点,在下列两个条件中任选一个,求AD 的长度｡ 条件①:△ABC 的面积S=4且B> A; 条件②:25cos 5B =注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分｡19. (12 分)在如图所示的四棱锥E-ABCD 中,四边形ABCD 为平行四边形,△BCE 为边长为2的等边三角形,AB=AE,点F,O 分别为AB, BE 的中点, OF 是异面直线AB 和OC 的公垂线｡(1)证明:平面ABE ⊥平面BCE;(2)记OCDE 的重心为G,求直线AG 与平面ABCD 所成角的正弦值.20. (12 分)某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节,当天有多项优惠活动,深受广大消费者喜爱｡ (1)已知该网络购物平台近5年“双十”购物节当天成交额如下表:年份2015 2016 2017 2018 2019 成交额（百亿元）912172127求成交额y (,并预测2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元) ;(2)在2020年“双十一”购物节前,某同学的爸爸､妈妈计划在该网络购物平台.上分别参加A ､B 两店各一个订单的“秒杀”抢购,若该同学的爸爸､妈妈在A ､B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为p ､q,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X .( i)求X 的分布列及E(X);(ii)已知每个订单由k(k≥2,k ∈N * )件商品W 构成,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W 总数量为Y ,假设27sin sin,44k k p q k k kπππ=-=,求E(Y)取最大值时正整数k 的值.附:回归方程ˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 1122211())ˆˆ;()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y ba y bxxnx x x ====-⋅--===---∑∑∑∑.21. (12 分)已知O 为坐标原点,椭圆C 2222:1(0)x y a b a b+=>>的左,右焦点分别为点12,,F F 2F 又恰为抛物线D 2:4y x =的焦点,以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2) 若直线l 与D 相交于A,B 两点,记点A,B 到直线x=-1的距离分别为1,d 212,||.d AB d d =+直线l 与C 相交于E,F 两点,记△OAB,△OEF 的面积分别为12,.S S(i)证明:1EFF ∆的周长为定值; (ii)求21S S 的最大值.22. (12 分)已知函数2()ln 2f x ax x x =-+的图象在点(1,1)处的切线方程为y=1. (1)当x ∈(0,2)时,证明: 0< f(x)<2;(2)设函数g(x)=xf(x),当x ∈(0,1)时,证明: 0<g(x)<1 ; (3)若数列{}n a 满足:*11(),01,n n a f a a n N +=<<∈.证明:1ln 0.ni ia=<∑最新文档。

试卷类型：B2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考理科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}N x x x x A ∈<--=,0322，则集合A 的真子集有（ ）A ．5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个2．已知i 是虚数单位，则化简2020)11(ii -+的结果为（ ） A.i B.i - C.1- D.13.若干年前，某教师刚退休的月退休金为400元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A ．4500元 B. 5000元 C ．5500元 D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A.72 B.73 C.71 D.143 5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点)32,3(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则NM NF :等于（ ）A.2:1B.3:1C.4:1D.3:16.在所有棱长都相等的直三棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别为棱AC CC ,1的中点，则直线AB 与平面DE B 1所成角的余弦值为（ ） A.1030 B.2030 C.20130 D.1070 7已知点A （4，3），点B 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥06200y x y x y 所表示平面区域上的任意一点，则AB的最小值为（ ）A.5B.554C.5D.552 8．给出下列说法①定义在[a ，b]上的偶函数b x a x x f ++-=)4()(2的最大值为20； ②“4π=x ”是“1tan =x ”的充分不必要条件； ③命题“21),,0(000≥++∞∈∃x x x ”的否定形式是“21),,0(<++∞∈∀xx x ” 其中正确说法的个数为（ ）A.0B.1C.2D.39.已知5.03422log 2log ,,,03log m c m b m a m ===>，则c b a ,,间的大小关系为 A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a c b <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何?其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ）A ．9两 B.127266两 C.63266两 D.127250两 11在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3cos cos c A b B a =-，则Bb A a B a cos cos cos +的最大值为( ) A.2 B.22 C.23 D.332 12.已知几)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)13(log )()(3+=+x x g x f ，不等式0)()(3≥--t x f x g 对R x ∈恒成立，则t 的最大值为（ ）A.1B.2log 233-C.2D.12log 233- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a =（2，5-），b =（1，52），则b 在a 方向上的投影等于 . 14在△ABC 中，∠B=32π，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC=21AB ，则E 的离心率为 .5已知函数)0,0)(cos()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是奇函数，且在]4,6[ππ-上单调减，则ω的最大值是 .16已知三棱锥A -BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC=CD=2，AB=AD=6，则三棱锥A -BCD 的外接球的体积为 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分） 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明： 32n T ＜．18．（12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF=，∠DFE=∠CEF=45．（1）证明DC ∥FE ；（2）求二面角D -BE -C 的平面角的余弦值．19．（12分）已知点P 在圆O ：x 2+y 2=9上，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足4PQ u u u r u u u r ．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设G （-3，0），H （3，0），过点F （1，0）的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20．（12分）某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A、B、C．经过引种实验发现，引种树苗A的自然成活率为0.7，引种树苗B、C的自然成活率均为p（0.6≤p≤0.8）（1）任取树苗A、B、C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵?21．（12分）已知函数f（x）=（a-1）x+xlnx的图象在点A（e2，f（e2））（e为自然对数的底数）处的切线斜率为4（1）求实数a的值；（2）若m∈Z，且m（x-1）<f（x）+1对任意x>1恒成立，求m的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为-22ππρθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，），直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y ts αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）． （1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x+2+1=0垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f （x ）=|x -1|+2|x+1|，x ∈R（1）求不等式f （x ）<5的解集；（2）若关于x 的不等式122)(-<+t x f 在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围。

机密★启用前华大新高考联盟2020届高三4月教学质量测评理科数学本试题卷共4页.23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝#试顺利★注意事项：1 .答短前.先将fl己的姓名■准考iE弓域可在答距长上.并将准琴江号条形研财在答恩K上的指定位2.逸押IS的作答：侦小应燃目的答案愫勺涂黑・耳在试K上的区域均无效.3.填空*和解答题的作答：用签字笔宜接答在容愆卡上酉应的答题IK域内.写在试题尝,草SI纸和答W卡上的菲答题区域均无效.4.选考也的作答■先把所送趣口的醴号在答粗N上指定的位置用2B松宅涂SL答宝珂在答履卞上对应的谷（SH域内" 。

在武!»■・草棉舐和答的|?上的曹咨IS风域均无效.5 .考试培束后.崎将谷曜卡上交.-、选择题：本题共12小越，每小越5分，共60分，在每小题纶出的四个选项中，只有一项是符合题目萋求的。

1.已W?»r»l+4-.则r •iA.OB.1C.72D.22.设«^A-{xlx＞3}-B-Ullog＞（x-a»0|.Wa=3 是8UA 的A .充分不必要条件 B.2要不充分条件C充妾条件 D.既不充分又K必要条件3.i殳等是数列修」的前〃顼和为S..已知七5s,+., 30.岫S«A.85B.97C.100D.1754.槐晋时期的数学家弟薇首创常剧术.为计算圈周率建星『严密的戒论即完脊的算法.所时割倒术.就是以间内按正多边形的而枳.来无限逼近同血枳.对澈形容他的利同术说,•割之弥细.所失弥少.割之又割.以至丁木讨刮.则勺网合体.而尤所失矣...比；I企一1盘内■一内按正I二边形•将loottSTM机撤入间盘内.发现只右I粒豆子不在正十.边形内.据此实羚估计网周宇的近似值为A-T R 16r22C T n T5.已tU^=lg2.>»-ln3.c ~ log,3•则A.《rVz VyB.Vy<rC.x<y<t\lz<T<y6 .执行如图所示程序也图.设输出教据构成集合人•从集合人中任取一个兀素m,则事件“函敢fM）=/+”rr在［0・+c＞上是增雨数”的借率为理科教学忒题第1页（共4贞〉7 .设/(x).g(r)分别为定义在-5 I的奇函牧和偶函数.日/(”+g(«r) = 2e，cgr(e为自然对数的底j = /(x)-«(x)的图象大致为&某病。

绝密★启用前全国大联考2020届高三毕业班下学期4月联合质量检测数学(理)试题(解析版)2020年4月注意事项：1.考试前，请务必将考生的个人信息准确的输入在正确的位置.2.考试时间120分钟，满分150分.3.本次考试为在线联考，为了自己及他人，请独立完成此试卷，切勿翻阅或查找资料.4.考试结束后，本次考试原卷及参考答案将在网上公布.5.本卷考查内容：高考全部内容.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.不等式110x ->成立的充分不必要条件是（ ） A. 1x > B. 1x >- C. 1x <-或01x << D. 10x -≤≤或1x >【答案】A【解析】【分析】 求解不等式110x->的解集，其充分不必要条件即该解集的真子集即可. 【详解】解110x ->，()10,10x x x x ->->， 得()(),01,x ∈-∞+∞，其充分不必要条件即该解集的真子集，结合四个选项A 符合题意.故选：A【点睛】此题考查充分不必要条件的辨析，关键在于准确求解分式不等式，根据充分条件和必要条件的集合关系判定.2.复数12z i =+的共轭复数是z ，则z z ⋅=（ ）B. 3C. 5【答案】C【解析】【分析】 根据 12z i =+，写出其共轭复数 12z i =-，即可求解.【详解】由题 12z i =+，其共轭复数 12z i =-，()()21212145z z i i i ⋅=+-=-=.故选：C【点睛】此题考查共轭复数的概念和复数的基本运算，关键在于熟练掌握复数的乘法运算.3.已知随机变量()22,XN σ，若()130.36P X <<=，则()3P X ≥=（ ） A. 0.64B. 0.32C. 0.36D. 0.72 【答案】B【解析】【分析】根据正态分布密度曲线性质()3P X ≥=()()11130.322P X -<<=. 【详解】由题：随机变量()22,XN σ，若()130.36P X <<=， 则()3P X ≥=()()11130.322P X -<<=. 故选：B【点睛】此题考查根据正态分布密度曲线性质求解概率，关键在于熟练掌握正态分布密度曲线的相关性质，结合对称性求解.。

2020届百师联盟高三练习题四（全国I卷）数学（理）试题一、单选题(★) 1 . 若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（）A．B．C．D．(★) 2 . 已知复数，则（）A．B．C．D．(★) 3 . 新高考改革后，某校2000名学生参加物理学考，该校学生物理成绩的频率分布直方图如图所示，若规定分数达到90分以上为级，则该校学生物理成绩达到级的人数是（）A．600B．300C．60D．30(★) 4 . 掷硬币实验是很常见却又非常有名的一个概率实验，许多著名的科学家都做过这个实验，比如蒲丰、德摩根等.通过掷硬币的实验，可以让人们感受到随机事件的发生，形成可能性的概率观念.若抛掷一枚硬币出现正面向上记为1，反面向上记为0.现抛掷一枚硬币6次，出现两个0和四个1的概率为（）A．B．C．D．(★) 5 . 已知凸四边形的面积为，点是四边形内部任意一点，若点到四条边，，，的距离分别为，，，，且满足，利用分割法可得；类比以上性质，体积为的三棱锥，点是三棱锥内部任意一点，到平面，，，的距离分别为，，，，若，则（）A．B．C．D．(★) 6 . 已知，是椭圆的两个焦点，的上顶点在圆上，若，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．(★) 7 . 如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图由半圆和直角三角形组成，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．(★) 8 . 执行如图所示的程序框图，则输出的（）A．B．C．2D．(★★) 9 . 已知函数，若函数图象与直线至少有2个交点，则的最小值为（）A．7B．9C．11D．12(★★) 10 . 在如图所示的圆锥中，平面是轴截面，底面圆的面积为，，则该圆锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．(★★)11 . 已知点是双曲线上的动点，点为圆上的动点，且，若的最小值为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．(★★) 12 . 已知是定义在上的偶函数，且满足，当时，.则方程的根的个数为（）A．99B．100C．198D．200二、填空题(★) 13 . 已知向量，，若，则_________.(★) 14 . 12月4日为国家普法日，某校特举行普法知识竞赛，其中一个环节是从6道题中采用不放回的方式抽取两道进行作答，选手甲能正确回答其中的4道题，则甲在第一次抽到的题能回答正确的条件下，第二次抽到的题也能回答正确的概率为________.(★★) 15 . 函数在点处的切线斜率为4，则的最小值为_________.(★★) 16 . 已知数列和，设为数列的前项和，满足，且对任意，都有，若 ，则数列 的所有项中的最小值为_________.三、解答题(★★) 17 . 已知数列满足.（1）证明数列 为等差数列； （2）若，求数列的前 项和 . (★★) 18 . 如图在四棱锥中，侧棱平面，底面是直角梯形，，，，， 为侧棱中点.（1）设 为棱 上的动点，试确定点的位置，使得平面 平面 ，并写出证明过程；（2）求二面角 的余弦值.(★★★★) 19 . 已知函数.（1）当 时，求曲线 在点处的切线方程；（2）当时，，求实数 的取值范围.(★★) 20 . 出版商为了解某科普书一个季度的销售量 （单位：千本）和利润 （单位：元/本）之间的关系，对近年来几次调价之后的季销售量进行统计分析，得到如下的10组数据. 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102.43.14.65.36.47.1 7.88.89.51018.1 14.1 9.1 7.1 4.8 3.8 3.2 2.3 2.11.4根据上述数据画出如图所示的散点图：（1）根据图中所示的散点图判断 和 哪个更适宜作为销售量 关于利润的回归方程类型？（给出判断即可，不需要说明理由） （2）根据（1）中的判断结果及参考数据，求出关于的回归方程；（3）根据回归方程分析：设该科普书一个季度的利润总额为 （单位：千元），当季销售量 为何值时，该书一个季度的利润总额预报值最大？（季利润总额=季销售量×每本书的利润） 参考公式及参考数据：①对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的公式分别为.②参考数据：6.506.601.7582.502.70表中.另： .计算时，所有的小数都精确到0.01.(★★) 21 . 已知点为抛物线 的焦点，点 、 在抛物线上，且 、 、三点共线.若圆的直径为.（1）求抛物线 的标准方程； （2）过点的直线 与抛物线交于点 ， ，分别过 、 两点作抛物线 的切线 ， ，证明直线 ， 的交点在定直线上，并求出该直线.(★★) 22 . 在平面直角坐标系 中，已知曲线 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为.（1）求直线 和曲线 的直角坐标方程；（2），直线和曲线交于两点，求的值.(★★) 23 . 已知函数.（1）求不等式的解集；（2），均为正实数，若为函数的最小值，求实数的取值范围.。

2020年百校联盟高考数学模拟试卷（理科）（4月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足z−1+i=2i+1，则|z|=()A. √5B. 2C. √3D. 32.已知集合A={2a−1,a2,0}，B={1−a,a−5,9}，且A∩B={9}，则()A. A={9,25，0}B. A={5,9，0}C. A={−7,9，0}D. A∪B={−7,9，0，25，−4}3.已知向量a⃗=(x2−2x,1)，b⃗ =(1,−3)，则“−1<x<3”是“a⃗，b⃗ 的夹角为钝角”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件4.将函数y=2sin(2x+π4)的图象向右平移π4个单位长度，所得函数()A. 在区间(−3π8,π8)上单调递增 B. 在区间(−5π8,−π8)上单调递减C. 以x=π8为一条对称轴 D. 以(3π8,0)为一个对称中心5.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为()A. 8π3B. 8πC. 16π3D. 12π6.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是()A. 13B. 12C. 25D. 347.已知函数f(x)=log12(x2−ax+a)在(12,+∞)上为减函数，则实数a的取值范围是()A. (−∞,1]B. [−12,1] C. (−12,1] D. (−12,+∞)8.在平面直角坐标系xOy中，A、B为函数y=√33|x|图象上的两点，若线段AB的中点M恰好落在曲线x2−3y2+3=0上，则△OAB的面积为()A. 2B. √3C. √32D. √339.一只蚂蚁从正四面体A−BCD的顶点A点出发，沿着正四面体A−BCD的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则第4秒时蚂蚁在A点的概率为()A. 2027B. 79C. 727D. 2910.在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD，BC=√3CD，则∠ADB的最大值为()A. π4B. π3C. π2D. 2π311.我国古代的数学著作《九章算术⋅商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC−A1B1C1所得截面图形的面积为()A. 2√213B. 4√213C. 2√73D. 4√7312.已知函数f(x)=alnx−2x，若存在x∈N∗，使f(x)>0成立，则实数a的取值范围是()A. (2e,+∞)B. (4ln2,+∞) C. (6ln3,+∞) D. (2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{4x−3y−6≤02x−2y+1≥0x+2y−1≥0，则z=|x−y+1|的最大值为______．14.在(x2+x−1)(x−a)5的展开式中，含x5项的系数为14，则实数a的值为______．15.已知实数x，y满足y≥2x>0，则yx +9x2x+y的最小值为______．16.巳知F1、F2为双曲线x24−y2=1的左、右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若△PF1F2内切圆的圆心为I，则圆心1到圆x2+(y−1)2=1上任意一点的距离的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知S n为数列{a n}的前n项和，S2=10，S n=n−1n+1a n+1+2(n∈N∗).(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n2n(n+1)!(n∈N∗)，数列{bn}的前n项和为T n，求证：12≤T n<1．18.某市为了了解该市教师年龄分布情况，对年齡在[20,60]内的5000名教师进行了抽样统计，根据分层抽样的结果，统计员制作了如表的统计表格：年龄区间[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]教师人数20001300样本人数130由于不小心，表格中部分数据被污染，看不清了，统计员只记得年龄在[20,30)的样本人数比年龄在[50,60]的样本人数多10，根据以上信息回答下列问题：(1)求该市年龄在[50,60]的教师人数；(2)试根据上表做出该市教师按照年龄的人数频率分布直方图，并求该市教师年龄的平均数x−及方差s2(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)．19.如图，将斜边长为4√2的等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成直二面角B−AD−C，E为AD中点．(1)求二面角A−BC−E的余弦值；(2)M为线段BC上一动点，当直线DM与平面BCE所成的角最大时，求三棱锥M−CDE外接球的体积．20.动圆P过定点A(2,0)，且在y轴上截得的弦GH的长为4．(1)若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；(2)在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l′与曲线C的交点S、T满足1|QS|2+1|QT|2为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=ax+1x ，g(x)=exx−1．(1)讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性；(2)当a=12时，设P(x,y)为函数y=ln x⋅g(x)−1x⋅f(x)−1(x∈(0,+∞))图象上任意一点．直线OP的斜率为k，求证：0<k<1．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+cosθy=1+sinθ(θ为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，P为直线l 上的任意一点(1)Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．(2)过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．23.若a>0，b>0，且2a+b+2=3ab．(1)求2a+b的最小值；(2)是否存在a、b，使得a3+b3=4√2？并说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵z−1+i=2i+1，∴z=2+i，∴|z|=√22+12=√5，故选：A．先根据复数的基本运算求出复数z，再利用复数的模长公式即可算出结果．本题主要考查复数模长的计算，比较基础．2.答案：C解析：解：∵A∩B={9}，∴9∈A，∴2a−1=9或a2=9，∴a=5或a=±3，①a=3时，A={5,9，0}，B={−2,−2,9}，集合B错误，不满足集合元素的互异性，∴a≠3；②a=−3时，A={−7,9，0}，B={4,−8,9}，满足A∩B={9}，即a=−3成立；③a=5时，A={9,25，0}，B={−4,0，9}，A∩B={0,9}，∴a=5不成立，综上得，A={−7,9，0}，A∪B={−8,−7,0，4，9}．故选：C．根据条件可得出2a−1=9或a2=9，从而得出a=±3或a=5，然后对于每个a的值，求出A，B，看是否满足题意即可．本题考查了列举法的定义，交集、并集的定义及运算，元素与集合的关系，集合元素的互异性，考查看计算能力，属于基础题．3.答案：B解析：解：a⃗⋅b⃗ =x2−2x−3=(x−3)(x+1)，当−1<x<3时，a⃗⋅b⃗ <0，此时a⃗，b⃗ 的夹角为钝角或平角，即充分性不成立，若a⃗，b⃗ 的夹角为钝角，则a⃗⋅b⃗ <0，得−1<x<3，即必要性成立，则“−1<x<3”是“a⃗，b⃗ 的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选：B．根据向量数量积与夹角的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积与夹角的关系是解决本题的关键．比较基础．4.答案：B解析：解：函数y=2sin(2x+π4)的图象向右平移π4个单位长度，得到y=2sin(2x−π4)，对于选项A：令−π2+2kπ≤2x−π4≤2kπ+π2(k∈Z)，整理得：−π8+kπ≤x≤kπ+3π8(k∈Z)，故单调增区间为：[−π8+kπ,kπ+3π8](k∈Z).故选项A错误．对于选项B：由于函数的最小正周期为π，所以单调递减区间为[−5π8+kπ,kπ−π8](k∈Z)．当k=0时，在区间(−5π8,−π8)上单调递减，故正确．对于选项C：当x=π8时．2x−π4=0，所以函数没有取得最大或最小值，故错误．对于选项D：当x=3π8时，2x−π4=π2，所以f(3π8)=2≠0，故选项D错误．故选：B．首先利用三角函数关系式的恒等变换和平移变换的应用求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.答案：B解析：解：根据三视图知，该几何体是一个圆柱，挖去一个半球和一个圆锥，结合三视图中的数据，计算该几何体的体积为V=V圆柱−V圆锥−V半球=π⋅22⋅4−13⋅π⋅22⋅2−12⋅4π3⋅23=8π．故选：B．根据三视图知该几何体是一个圆柱，挖去一个半球和一个圆锥，结合三视图中的数据计算该几何体的体积．本题考查了利用几何体的三视图求体积的问题，也考查了运算求解能力，是基础题．6.答案：C解析：解：由题意可知，满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，由几何概型知所求的概率P=2050=25．故选：C．由满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，结合与长度有关的几何概率公式可求．本题主要考查了与长度有关的几何概率公式的应用，属于基础试题．7.答案：B解析：解：∵y=log12x在(0,+∞)上为减函数，∴y=x2−ax+a在(12,+∞)上为增函数，且y>0恒成立，∴{−−a2≤12(12)2−12a+a≥0，解得−12≤a≤1．故选：B．由复合函数的单调性法则可知y =x 2−ax +a 在(12,+∞)上为增函数，由对数函数的真数大于0可知，y >0恒成立，则实数a 应满足{−−a2≤12(12)2−12a +a ≥0，解不等式组即可得到答案．本题主要考查复合函数的单调性法则以及对数函数的图象及性质，考查计算能力，属于基础题． 8.答案：B解析：解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点M(x,y)， 由题意不妨设：x 1<0，x 2>0， ∵{x =x 1+x 22y =y 1+y 22，y═y 1+y 22=√33⋅x 2−x 12， 所以x 2−3y 2=x 1x 2，∴x 1x 2=−3，∵OA =√x 12+y 12=−2√33x 1，OB =2√33x 2，∠AOB =2π3，∴S △AOB =12OA ⋅OBsin∠AOB =−√33x 1x 2=√3．故选：B ．设出AB 坐标，求出中点坐标，代入双曲线方程，利用已知条件，转化求解三角形的面积，推出结果即可．本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 9.答案：C解析：解：由题意可得，蚂蚁每次爬到下一个顶点的概率为13，设第n 秒时蚂蚁不在顶点A 的概率为P n ，易知P 1=1，则P n =23P n−1+1×(1−P n−1)， ∴(P n −34)=−13(P n−1−34)，∴数列{P n −34}是以14为首项，以−13为公比的等比数列， ∴P n −34=14×(−13)n−1， ∴P n =34−34×(−13)n ，n ∈N ∗，∴第4秒时蚂蚁在A 点的概率为1−P 4=1−2027=727， 故选：C ．设第n 秒时蚂蚁不在顶点A 的概率为P n ，易知P 1=1，利用古典概型的的概率公式可得P n =23P n−1+1×(1−P n−1)，即(P n −34)=−13(P n−1−34)，再利用等比数列的通项公式求出P n 即可． 本题主要考查了古典概型的概率公式，是中档题．解析：解：设CD=a，则AB=2a，BC=√3a．取AB的中点M，延长AB到N点，使BN=a，连接CM，CN，由平面几何知识，易知AD=MC，BD=NC．设AD=MC=m，BD=NC=n．在△MBC中，m2=a2+(√3a)2−2×a×√3a⋅cos∠MBC，在△NBC中，n2=a2+(√3a)2−2×a×√3a⋅cos(π−∠MBC)，∴m2+n2=8a2，在△ABD中，cos∠ADB=m2+n2−4a22mn =4a22mn，又2mn≤m2+n2=8a2，∴cos∠ADB=4a22mn ≥4a28a2=12，∴∠ADB的最大值为π3．故选：B．取AB的中点M，延长AB到N点，使BN=a，连接CM，CN，设CD=a，AD=m，BD=n，则AB=2a，BC=√3a，MC=m，NC=n，然后依次在△MBC和△NBC中利用余弦定理，借助∠MBC和∠NBC互补，可以得出m2+n2=8a2，再在△ABD中，利用余弦定理，表示出cos∠ADB，并结合基本不等式的性质即可求得其最大值．本题主要考查解三角形中的余弦定理，还涉及利用基本不等式求最值的问题，作出辅助线并利用互补的两个角的余弦值之和为0属于本题的难点，考查学生的分析能力和逻辑推理能力，属于中档题．11.答案：A解析：解：延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连结PM，与B1C1交于点E，连结NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC−A1B1C1所得截面图形，由题意得NE=ME=√173，AM=AN=√5，MN=√6，∴AMN截“堑堵”ABC−A1B1C1所得截面图形面积为：S=12×√6×√(√5)2−(√62)2+12×√6×(√173)(√62)=2√213．故选：A．延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连结PM，与B1C1交于点E，连结NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC−A1B1C1所得截面图形，由此能求出结果．本题考查平面截“堑堵”所得截面图形的面积的求法，考查“堑堵”性质、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．解析：解：由题意可得alnx −2x >0， 当x =1时，−2>0不成立， 当x >1时，a >2xlnx ， 设g(x)=2xlnx ， 则g′(x)=2(lnx−1)ln 2x ，当x ∈(1,e)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减， 当x ∈(e,+∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增， ∵g(2)=4ln2，g(3)=6ln3， 又4ln3=ln81>ln64=6ln2， ∴4ln2>6ln3， ∴a >6ln3， 故选：C ．由题意可得a >2xlnx ，设g(x)=2xlnx ，利用导数求出a 的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．13.答案：2811解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图： 令t =x −y +1，得y =x +1−t 表示，斜率为1纵截距为1−t 的一组平行直线，{4x −3y +6=0x +2y −1=0⇒C(1511,−211)； 平移直线y =x +1−t ，当直线y =x +1−t 经过点C(1511,−211)时，直线y =x +1−t 的截距最小， 此时t max =1511−(−211)+1=2811，当直线y =x +1−t 与AB 重合时，直线y =x +1−t 的截距最大，A(0,12)此时t min =0−12+1=12，∴z =|x −y +1|的取值范围是：[12,2811]. 故z =|x −y +1|的最大值为2811．故答案为：2811．作出不等式组对应的平面区域，令t=x−y+1，利用目标函数t的几何意义，结合图象得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．14.答案：−1或32解析：解：设(x−a)5的展开式中的通项T r+1=∁5r⋅x5−r⋅(−a)r，则当r=2时，T3=∁52⋅x3⋅(−a)2=10a2⋅x3；则当r=1时，T2=∁51⋅x4⋅(−a)1=−5ax4；则当r=0时，T1=∁50⋅x5⋅(−a)0=x5；∴(x2+x−1)(x−a)5的展开式中，含x5项的系数是：10a2−5a−1=14⇒a=−1或32；故答案为：−1或32．根据题意，利用(x−a)5的展开式中的通项T r+1=∁5r⋅x5−r⋅(−a)r，通过对r取值即可求得(x2+x−1)(x−a)5的展开式中，含x5项的系数进而求得结论．本题考查二项式定理，着重考查二项展开式中的通项公式的应用，考查分析与转化运算的能力，属于中档题．15.答案：174解析：解：设t=yx，由题意知t≥2，则yx+9x2x+y=t+9t+2，令f(t)=t+9t+2，t≥2，∵f′(x)=1−9(t+2)2>0，∴f(t)在t≥2上单调递增，∴f(t)≥f(2)=174，故答案为：174．先令t=yx ，可转化成f(t)=t+9t+2，t≥2，因为不满足不等式取等号时的条件，使用单调性求最值．本题考查导数求最值，使用不等式求最值时，注意取等号时的条件，属于中档题．16.答案：1解析：解：设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|=|PB|，|F1A|=|F1M|，|F2B|=|F2M|．又点P在双曲线右支上，∴|PF1|−|PF2|=2a，即(|PA|+|F1A|)−(|PB|+|F2B|)=2a，∴|F1M|−|F2M|=2a，而|F1M|+|F2M|=2c，设M点坐标为(x,0)，∵|F1M|−|F2M|=2a，∴(x+c)−(c−x)=2a，解得x=a，故内切圆的圆心I与在直线x=2上，故圆x2+(y−1)2=1上任意一点的距离的最小值为2−1=1故答案为：1．设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则可知|PA|=|PB|，|F1A|=|F1M|，|F2B|=|F2M|，点P在双曲线右支上，根据双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2a，因此|F1M|−|F2M|=2a，设M点坐标为(x,0)，代入即可求得x，可得内切圆的圆心I与在直线x=2上，即可求解．本题考查圆与圆锥曲线的综合与双曲线的简单性质，难点在于“|PF1|−|PF2|=2a⇒|F1M|−|F2M|=2a”的分析与应用，着重考查双曲线的定义与性质的灵活运用，属于难题．17.答案：(1)解：由题意，当n=1时，a1=S1=2，∵S2=a1+a2=2+a2=10，∴a2=8，当n≥2时，由S n=n−1n+1a n+1+2，可得：S n−1=n−2na n+2，两式相减，可得：a n=S n−S n−1=n−1n+1a n+1+2−n−2na n−2，整理，得：a n+1 n+1=2⋅a nn(n≥2,n∈N∗)，∴数列{a nn }从第二项a22=4开始是以2为公比的等比数列，∴a nn=4⋅2n−2=2n∴a n=n⋅2n(n≥2,n∈N∗)，∵当n=1时，a1=2也满足上式，∴a n=n⋅2n，n∈N∗．(2)证明：由(1)知，b n=a n2n(n+1)!=n⋅2n2n⋅(n+1)!=n(n+1)!=1n!−1(n+1)!，则T n=b1+b2+⋯+b n=1−12!+12!−13!+⋯+1n!−1(n+1)!=1−1(n+1)!<1，∵b n=n(n+1)!>0，n∈N∗，∴由T n构造成的数列{T n}为单调递增数列，∴T n≥T1=12，∴12≤T n<1．解析：本题第(1)题先计算出a1，a2的值，再根据公式a n=S n−S n−1(n≥2)，代入进行推导可得数列{a nn }从第二项a22=4开始是以2为公比的等比数列，通过计算出数列{a nn}的通项公式可得到数列{a n}的通项公式，最后将n=1代入验证最终可得数列{a n}的通项公式；第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n项和T n，再根据放缩法和数列的单调性的应用即可证明结论．本题主要考查数列求通项公式，以及数列与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，构造法，裂项相消法求数列前n项和，放缩法，不等式的计算能力，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．18.答案：解：(1)设样本容量为x，则x5000×1300=130，解得x=500．∴年龄在[30,40)的教师在样本中共有5005000×2000=200(人)．∴年龄在[20,30)和[50,60)的教师在样本中共有500−200−130=170(人)．设年龄在[50,60)的教师在样本中的人数为y，由题意知，y+(y+10)=170，则y=80．即该市年龄在[50,60]的教师人数为5000500×80=800；(2)由(1)可知，年龄在[20,30]的教师人数为5000−2000−1300−800=900(人)，频率为9005000=0.18；年龄在[30,40]的教师人数为2000(人)，频率为20005000=0.4；年龄在[40,50]的教师人数为1300(人)，频率为13005000=0.26；年龄在[50,60]的教师人数为800(人)，频率为9005000=0.18．由此作出频率分布直方图：x−=25×0.18+35×0.4+45×0.26+55×0.16=39；s2=(25−39)2×0.18+(35−39)2×0.4+(45−39)2×0.26+(55−39)2×0.16=92．解析：(1)设样本容量为x，由x5000×1300=130解得x，进一步求得年龄在[30,40)的教师在样本中的人数，可得年龄在[20,30)和[50,60)的教师在样本中的人数，再由题意列式求解；(2)分别求出各区间段的频率，即可画出频率分布直方图，再由期望与方差公式求该市教师年龄的平均数x−及方差s2．本题考查频率分布直方图，训练了利用频率分布直方图求期望与方程的估计值，考查计算能力，是中档题．19.答案：解：(1)设F为BC中点，连结EF，AF，∵△ABC为等腰直角三角形，且二面角B−AD−C为直二面角，∴BD⊥平面ADC，∴AD=BD=CD=2√2，AB=BC=CA=4，由平面几何可知，BE=CE=√10，∴EF⊥BC，AF⊥BC，∴∠EFA是二面角A−BC−E的平面角，在△EFA中，AE=√2，AF=√42−22=2√3，EF=√10−4=√6，∴cos∠EFA=EF2+AF2−AE22×EF×AF =1612√2=2√23，∴二面角A−BC−E的余弦值为2√23．(2)设直线DM与平面BCE所成角为α，点D到平面BCE的距离为d，则sinα=dDM，在三棱锥B−CDE中，S△BCE=12×BC×EF=2√6，由V B−CDE=V D−BCE，解得d=2√33当DM最小时，直线DM与平面BCE所成角的正弦值最大，此时所成角也最大，∴当M为BC中点时，直线DM与平面BCE所成角最大，此时DM=2，由平面几何知识可知，△CDE和△CME都是直角三角形，设N为CE的中点，则ND=NE=NC=NM=12CE=√102，∴三棱锥M−CDE的外接球的半径为R=√102，∴三棱锥M−CDE外接球的体积为：V=43π×(√102)3=5√103π．解析：(1)设F为BC中点，连结EF，AF，推导出BD⊥平面ADC，AD=BD=CD=2√2，AB=BC= CA=4，由平面几何可知，BE=CE=√10，从而EF⊥BC，AF⊥BC，进而∠EFA是二面角A−BC−E 的平面角，由此能求出二面角A−BC−E的余弦值．(2)设直线DM与平面BCE所成角为α，点D到平面BCE的距离为d，则sinα=dDM，由V B−CDE=V D−BCE，解得d=2√33当DM最小时，直线DM与平面BCE所成角的正弦值最大，此时所成角也最大，从而当M 为BC 中点时，直线DM 与平面BCE 所成角最大，此时DM =2，同此能求出三棱锥M −CDE 外接球的体积．本题考查二面角的余弦值、三棱锥外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20.答案：解：(1)设P(x,y)，由题意知：PA =PG ，当P 点不在y 轴上时，过P 作PB ⊥GH ，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点， ∴GB =12GH =2，∴PG =√x 2+4，又∵PA =√(x −2)2+y 2=√x 2+4，整理可得y 2=4x(x ≠0)； 当点P 在y 轴上时，易知P 点与O 点重合，P(0,0)也满足y 2=4x ， ∴曲线C 的方程为y 2=4x ，(2)假设存在Q(a,0)满足题意，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，根据题意可知直线l′的斜率必不为0，设其方程为x =t 1y +a(t 1≠0)，联立{x =t 1y +a y 2=4x ，整理可得y 2−4t 1y −4a =0，∴y 1+y 2=−4t 1，y 1y 2=−4a ，∴x 1+x 2=t 1(y 1+y 2)+2a =4t 12+2ax 1x 2=116y 12y 22=a 2，∵QS 2=(x 1−a)2+y 12=(x 1−a)2+4x 1=x 12+(4−2a)x 1+a 2，QT 2=(x 2−a)2+y 22=(x 2−a)2+4x 2=x 22+(4−2a)x 2+a 2，∴QS 2+QT 2=x 12+(4−2a)x 1+a 2+x 22+(4−2a)x 2+a 2=(x 1+x 2)2+(4−2a)(x 1+x 2)−2x 1x 2+2a 2=(x 1+x 2)(x 1+x 2+4−2a)−2x 1x 2+2a 2=(4t 12+2a)(4t 12++4)，QS 2⋅QT 2=16a 2(t 12+1)2，则1|QS|+1|QT|=QS 2+QT 2QS ⋅QT =2t 12+a 2a (t 12+1)，当a =2时，上式=14与t 1无关为定值，所以存在Q(2,0)使过点Q 的直线与曲线交于点S 、T 满足1|QS|2+1|QT|2为定值14．解析：(1)设P(x,y)，过P 作PB ⊥GH ，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，GB =12GH =2，PG =√x 2+4，PA =√(x −2)2+y 2=√x 2+4，整理可得y 2=4x(x ≠0)；(2)假设存在Q(a,0)满足题意，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，设其方程为x =t 1y +a(t 1≠0)，联立{x =t 1y +a y 2=4x，利用根与系数关系表示出QS 2，QT 2， 进而表示出1|QS|2+1|QT|2即可．本题考查动点轨迹方程的求法，考查韦达定理，考查换元法的应用，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)∵f(x)=ax +1x ，∴f′(x)=a −1x 2=ax 2−1x 2，…1分；当a ≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,+∞)上的单调递减…2分； 当a >0时，由f′(x)=0，得x =±√1a =±√aa(舍负)，…3分；当x ∈(0,√a a )时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x ∈(√aa ,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；…5分(2)证明：由已知，即证0<y <x ． ∵y =ln x⋅g(x)−1x⋅f(x)−1=lnx(e x x −1)−1x(12x+1x)−1=lne x −x−112x 2，∴即证0<lne x −x−112x 2<x …6分①设ℎ(x)=e x −x −1−12x 2，∴ℎ′(x)=e x −1−x ，ℎ″(x)=e x −1， ∵x ∈(0,+∞)，∴ℎ″(x)=e x −1>0，∴ℎ′(x)=e x −1−x 为增函数． ∴ℎ′(x)=e x −1−x >ℎ′(0)=e 0−1=0， ∴ℎ(x)为增函数，∴ℎ(x)=e x−x −1−12x 2>ℎ(0)=0，即e x−x −1>12x 2，即x(e xx −1)−1x(12x+1x)−1>1，∴lnx(e x x −1)−1x(12x+1x)−1>0，即y >0，…9分②构造函数s(x)=e x −x −1−12x 2e x ，∵s′(x)=e x −1−xe x −12x 2e x ，∴s″(x)=−2xe x −12x 2e x<0，∴s′(x)在(0,+∞)上为减函数， ∴s′(x)<s′(0)=0，∴s(x)在(0,+∞)上为减函数，∴s(x)<s(0)=0， ∴e x−x −1<12x 2e x，即e x −x−112x 2<e x，即y =lne x −x−112x 2<x 成立．由①②可知，0<y <x ，∴0<k <1成立，…12分．解析：(1)由f′(x)=a −1x 2=ax 2−1x 2，分a ≤0与a >0两类讨论，即可求得函数f(x)在(0,+∞)上的单调区间；(2)由已知，即证0<y <x.由于y =lnx⋅g(x)−1x⋅f(x)−1=lnx(e xx −1)−1x(12x+1x)−1=lne x −x−112x 2，即证0<lne x −x−112x 2<x ，①设ℎ(x)=e x −x −1−12x 2；②构造函数s(x)=e x −x −1−12x 2e x ，利用导数研究由这两个函数的单调性及函数取值情况，即可证得0<k <1成立．本题考查导数的综合应用，涉及利用导数判断函数的单调性，考查分类讨论、构造函数、多次求导等方法，有一定综合性，考查学生的分析能力和逻辑推理能力，属于难题．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =1+cosθy =1+sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为(x −1)2+(y −1)2=1．直线l 的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，转换为直角坐标方程为x +y +2=0． 所以圆心(1,1)到直线x +y +2=0的距离d =√2=2√2，所以最小距离d min =2√2−1．(2)由于圆心到直线的最小距离d =2√2， 所以构成的切线长为√(2√2)2−1=√7，×1×√7=√7．所以四边形PACB面积的最小值为S=2×12解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)由3ab=2a+b+2≥2√2ab+2，得ab≥2，当且仅当2a=b=2时成立，所以2a+b=3ab−2≥6−2=4，当且仅当2a=b=2时成立，所以2a+b的最小值为4．(2)由(1)知a3+b3≥2√a3b3≥4√2，当且仅当2a=b=2，a=b时成立，因为2a=b=2，a=b不同时成立，所以a3+b3>4√2，不存在a，b使a3+b3=4√2成立．解析：根据基本不等式求解ab的值域，然后求解(1)(2)．本题考查基本不等式，属于中等题．。

河南省百校联盟2020届高三4月教学质量监测数 学（理科）注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。

5.考试范围：高考全部内容。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z 满足z －1＋i ＝2i ＋1，则|z|＝ 5 B.2 3 D.32.已知集合A ＝{2a －1，a 2，0}，B ＝{1－a ，a －5，9}，且A∩B ＝{9}，则A.A ＝{9，25，0}B.A ＝{5，9，0}C.A ＝{－7，9，0}D.A ∪B ＝{－7，9，0，25，－4}3.已知向量a ＝(x 2－2x ，1)，b ＝(1，－3)，则“－1<x<3”是“a ，b 的夹角为钝角”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.将函数y ＝2sin(2x ＋4π)的图象向右平移4π个单位长度，所得函数 A.在区间(－38π，8π)上单调递增 B.在区间(－58π，－8π)上单调递减 C.以x ＝8π为一条对称轴 D.以(38π，0)为一个对称中心 5.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 A.83π B.8π C.163π D.12π6.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话。

小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是 A.13 B.12 C.25 D.347.已知函数()()122log f x x ax a =-+在(12，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是 A.(－∞，1] B.[－12，1] C.(－12，1] D.(－12，＋∞) 8.在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为函数y ＝3|x|图象上的两点，若线段AB 的中点M 恰好落在曲线x 2－3y 2＋3＝0上，则△OAB 的面积为A.2B.3C.32D.339.一只蚂蚁从正四面体A －BCD 的顶点A 点出发，沿着正四面体A －BCD 的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则第4秒时蚂蚁在A 点的概率为A.2027B.79C.727D.2910.在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB ＝2CD ，BC ＝3CD ，则∠ADB 的最大值为A.4πB.3πC.2π D.23π 11.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”。

第 1 页 共 4 页百师联盟2020届高三理数模拟试卷四（全国卷Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

（共12题；共60分）1.若用列举法表示集合 A ={(x,y)|{2x +y =6x −y =3} ，则下列表示正确的是（ ）A. {x=3，y=0}B. {（3，0）}C. {3，0}D. {0，3} 2.已知复数z=5i 3+i，则 z̅ =（ ）A. −12+32iB. −12−32i C. 12+32i D. 12−32i3.新高考改革后，某校2000名学生参加物理学考，该校学生物理成绩的频率分布直方图如图所示，若规定分数达到90分以上为A 级，则该校学生物理成绩达到A 级的人数是（ ）A. 600B. 300C. 60D. 304.掷硬币实验是很常见却又非常有名的一个概率实验，许多著名的科学家都做过这个实验，比如蒲丰、德摩根等.通过掷硬币的实验，可以让人们感受到随机事件的发生，形成可能性的概率观念.若抛掷一枚硬币出现正面向上记为1，反面向上记为0.现抛掷一枚硬币6次，出现两个0和四个1的概率为（ ） A. 1564B. 516C. 916 D. 585.已知凸四边形ABCD 的面积为S ，点P 是四边形内部任意一点，若点P 到四条边AB ，BC ，CD ，DA 的距离分别为d 1 ， d 2 ， d 3 ， d 4 ， 且满足 AB 1=BC 2=CD 3=DA 4=k ，利用分割法可得d 1+2d 2+3d 3+4d 4=2S k；类比以上性质，体积为V 的三棱锥P-ABC ，点Q 是三棱锥内部任意一点，Q 到平面PAB ，PBC ，PAC ，ABC 的距离分别为D 1 ， D 2 ， D 3 ， D 4 ， 若S ΔPAB 1=S ΔPBC 2=S ΔPAC 3=S ΔABC 4=K ，则D 1+2D 2+3D 3+4D 4=（ ）A. VK B. 2V K C. 3VK D. 4VK 6.已知F 1 ， F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1 （a>b>0）的两个焦点，C 的上顶点A 在圆（x-2）2+（y-1）2=4上，若∠F 1AF 2= 2π3，则椭圆C 的标准方程为（ ）A. x 22+y 2=1 B.x 24+y 23=1 C.x 24+y 2=1 D.x 23+y 2=17.如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图由半圆和直角三角形组成，则该几何体的表面积为（ ）A. 6π+12B. 10π+36C. 5π+36D. 6π+18 8.执行如图所示的程序框图，则输出的a=（ ）A. - 32B. - 13C. 2D. -29.已知函数f （x ）=sinπx6cos πx6- √3 sin 2 πx6+ √32，x ∈[-1，a]，a ∈N*，若函数f （x ）图象与直线y=1至少有2个交点，则a 的最小值为（ ）A. 7B. 9C. 11D. 1210.在如图所示的圆锥中，平面ABC 是轴截面，底面圆O'的面积为4π，∠ABC= π3 ，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）A.64π3B.16π3C.128π3D. 32π11.已知点P是双曲线C：x2a2−y2=1（a>1）上的动点，点M为圆O：x2+y2=1上的动点，且OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，若|PM|的最小值为√3，则双曲线C的离心率为（）A.5√33B. √3C. √52D. √512.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x）=f（2-x），当x∈[0，1]时，f（x）=x·2x.则方程f（x）-|lgx|=0的根的个数为（）A. 99B. 100C. 198D. 200二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届百师联盟高三练习题四（全国Ⅰ卷）数学（理）试题一、单选题1．若用列举法表示集合26(,)|3x y A x y x y +=⎧⎧⎫=⎨⎨⎬-=⎩⎭⎩，则下列表示正确的是（ ）A ．{3,0}x y ==B ．{(3,0)}C ．{3,0}D ．{0,3}【答案】B【解析】解方程组得30x y =⎧⎨=⎩，即可得到集合.【详解】 由263x y x y +=⎧⎨-=⎩解得30x y =⎧⎨=⎩所以{(3,0)}A =.故选：B 【点睛】此题考查集合概念理解，关键在于准确识别描述法表示的集合，根据题意求解方程组，准确表示成所求形式. 2．已知复数53iz i=+，则z =（ ） A ．1322i -+ B ．1322i -- C ．1322i + D ．1322i - 【答案】D【解析】根据复数运算法则求出1322z i =+，即可得到其共轭复数. 【详解】 因为55(3)133(3)(3)22i i i z i i i i -===+++-，所以1322z i =-. 故选：D 【点睛】此题考查复数的基本运算和复数概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则，根据法则准确计算.3．新高考改革后，某校2000名学生参加物理学考，该校学生物理成绩的频率分布直方图如图所示，若规定分数达到90分以上为A 级，则该校学生物理成绩达到A 级的人数是（ ）A．600 B．300 C．60 D．30【答案】B【解析】根据频率分布直方图计算出获得A级的频率，根据总人数即可得到获得A级的人数.【详解】根据频率分布直方图得，该校学生获得A级的频率是0.015(10090)0.15⨯-=，所以该校学生物理成绩达到A级的人数是20000.15300⨯=.故选：B【点睛】此题考查频率分布直方图，根据直方图求解指定组的频率，结合总人数计算频数，关键在于熟练掌握频率分布直方图相关数据的计算方法.4．掷硬币实验是很常见却又非常有名的一个概率实验，许多著名的科学家都做过这个实验，比如蒲丰、德摩根等.通过掷硬币的实验，可以让人们感受到随机事件的发生，形成可能性的概率观念.若抛掷一枚硬币出现正面向上记为1，反面向上记为0.现抛掷一枚硬币6次，出现两个0和四个1的概率为（）A．1564B．516C．916D．58【答案】A【解析】根据古典概型的概率求法，先得到抛掷一枚硬币6次的基本事件总数，再得到这六次恰好有两个0和四个1包含的基本事件的个数，代入公式mPn=求解.【详解】抛掷一枚硬币6次的基本事件总数6264n==，这六次恰好有两个0和四个1包含的基本事件的个数为2615m C==，所以概率是1564mPn==.故选：A 【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5．已知凸四边形ABCD 的面积为S ，点P 是四边形内部任意一点，若点P 到四条边AB ，BC ，CD ，DA 的距离分别为1d ，2d ，3d ，4d ，且满足1234AB BC CD DA k ====，利用分割法可得12342234Sd d d d k+++=；类比以上性质，体积为V 的三棱锥P ABC -，点Q 是三棱锥内部任意一点，Q 到平面PAB ，PBC ，PAC ，ABC 的距离分别为1D ，2D ，3D ，4D ，若1234PAB PBC PAC ABCS S S S K ====△△△△，则1234234D D D D +++=（ ） A ．VKB ．2V KC ．3V KD ．4V K【答案】C【解析】对三棱锥进行切割，根据三棱锥的体积公式，利用等体积法即可得解. 【详解】根据三棱锥的体积公式13V sh =， 得123411113333PAB PBC PAC ABC S D S D S D S D V +++=△△△△， 即12343PAB PBC PAC ABC S D S D S D S D V +++=△△△△， 所以12343234VD D D D K+++=. 故选：C 【点睛】此题考查类比推理，根据平面四边形面积关系类比空间几何体体积关系，关键在于熟练掌握体积公式，准确推导.6．已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点，C 的上顶点A 在圆22(2)(1)4x y -+-=上，若1223F AF π∠=，则椭圆C 的标准方程为（ ）A ．2212x y +=B ．22143x y +=C ．2214x y +=D ．2213x y +=【答案】C【解析】求出A 点坐标，结合1223F AF π∠=求解椭圆的基本量即可得到标准方程. 【详解】圆的方程中令0x =得1y =，所以1b =，所以1223F AF π∠=，13F AO π∠=， 在直角1AFO △中解得2a =，即椭圆C 的标准方程为2214x y +=. 故选：C 【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，关键在于根据题意准确进行基本量的运算，关键在于熟练掌握椭圆的几何特征.7．如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图由半圆和直角三角形组成，则该几何体的表面积为（ ）A ．612π+B ．1036π+C ．536π+D ．618π+【答案】B【解析】根据三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，利用柱体表面积公式求解. 【详解】由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，353334461036S πππ=⨯+⨯+⨯++=+.故选：B 【点睛】此题考查根据三视图求几何体的表面积，关键在于准确识别三视图的特征，还原几何体，利用表面积公式求解.8．执行如图所示的程序框图，则输出的a =（ ）A ．32-B ．13-C ．2D ．2-【答案】C【解析】执行程序可知本题是求一个周期数列，根据周期求解. 【详解】执行程序可知是一个周期数列：2，13-，32-，2，13-，32-…， 周期3T =， 所以第2020项为2. 故选：C 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 9．已知函数2*3()sincos3sin [1,],6662xxxf x x a a πππ=-+∈-∈N ，若函数()f x 图象与直线1y =至少有2个交点，则a 的最小值为（ ）A ．7B ．9C ．11D ．12【答案】A【解析】化简函数()sin 33f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据函数性质，结合图象求解.【详解】 函数2313()sin cos3sin sin cos sin6632232333 x x x x xf x xπππππππ⎛⎫=-+=+=+⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期为263Tππ==，又()f x图象与直线1y=至少有2个交点，即函数()f x在[1,]a-上至少存在两个最大值，如图(1)7.54Ta T--+=…， 6.5a…，所以正整数a的最小值为7.故选：A【点睛】此题考查函数零点与方程的根相关问题，关键在于准确化简三角函数，根据函数性质结合图象求解.10．在如图所示的圆锥中，平面ABC是轴截面，底面圆O'的面积为4π，3ABCπ∠=，则该圆锥的外接球的表面积为（）A．643πB．163πC．1283πD．32π【答案】A【解析】由底面圆O'的面积为4π，可知底面圆O'的半径，根据平面ABC是轴截面和3ABCπ∠=，得到ABCV是正三角形，从而该圆锥的外接球球心，即为ABCV外接圆的圆心，然后由勾股定理求得半径即可.【详解】如图所示：因为底面圆O '的面积为4π，所以底面圆O '的半径2r =， 因为平面ABC 是轴截面，所以ABC V 是等腰三角形， 又3ABC π∠=，所以ABC V 是正三角形.该圆锥的外接球球心O ，即为ABC V 外接圆的圆心，则球O 的半径R === 所以球O 的表面积26443S R ππ==. 故选：A 【点睛】本题主要考查组合体和球的体积求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．已知点P 是双曲线22:1(1)x C y a a-=>上的动点，点M 为圆22:1O x y +=上的动点，且0OM PM ⋅=u u u u r u u u u r，若||PM C 的离心率为（ ）A ．B C D 【答案】C【解析】根据题意，222||||||OM PM OP +=，且||1OM =，若||PM 取最小值，则||OP 取最小值，根据双曲线的性质，当点P 为双曲线实轴的端点时，||OP 取最小值求解. 【详解】由题意得，222||||||OM PM OP +=，且||1OM =，若||PM 取最小值，则||OP 取最小值，由双曲线的性质可知，当点P 为双曲线实轴的端点时，||OP 取最小值a ，此时2221a +=，得2a =，可得c =所以双曲线C . 故选：C 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()2x f x x =⋅.则方程()|lg |0f x x -=的根的个数为（ ）A ．99B ．100C ．198D ．200【答案】B【解析】根据()(2)f x f x =-和()f x 是偶函数，得到函数()f x 的周期为2，然后将方程()|lg |0f x x -=的根的个数，转化为函数()y f x =和|lg |y x =图象交点的个数求解. 【详解】因为()(2)f x f x =-，所以函数()f x 的对称轴为1x =， 又因为()f x 是偶函数，所以0x =为函数()f x 的对称轴， 即函数()f x 的周期为2，方程()|lg |0f x x -=的根的个数，即为函数()y f x =和|lg |y x =图象交点的个数， 如图所示：函数()y f x =和|lg |y x =图象，令lg 2x =，得100x =，两函数图象在每个区间[1,]n n -上都有一个交点，1,2,,100n =L .所以方程()|lg |0f x x -=共有100个根. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数与方程，还考查了数形结合的思想和分析转化求解的能力，属于中档题.二、填空题13．已知向量(3,2)a m =-r ，(1,1)b =-r ，若//a b r r，则|2|a b -=r r _________.【答案】【解析】根据向量平行求得1m =，求出2(3,3)a b -=-r r，即可得到模长. 【详解】由向量//a b r r可得32m -=-，所以1m =，则22(2,2)(1,1)(3,3)a b -=⨯---=-r r ，即|2|a b -=r r故答案为：【点睛】此题考查向量平行的坐标表示，根据向量平行求参数的取值，根据向量的坐标表示求解模长，关键在于熟练掌握向量的基本运算.14．12月4日为国家普法日，某校特举行普法知识竞赛，其中一个环节是从6道题中采用不放回的方式抽取两道进行作答，选手甲能正确回答其中的4道题，则甲在第一次抽到的题能回答正确的条件下，第二次抽到的题也能回答正确的概率为________. 【答案】35【解析】根据条件概率的求法，设第一次抽到的题能回答正确为事件A ，第二次抽到的题能回答正确为事件B ，则第一次和第二次抽到的题都能正确回答为事件AB ，分别求得()n A ，()n AB ，代入公式求解. 【详解】设第一次抽到的题能回答正确为事件A ，第二次抽到的题能回答正确为事件B ， 则第一次和第二次抽到的题都能正确回答为事件AB ， 则1145()20n A C C ==，1143()12n AB C C ==，所以123(|)205P B A ==. 故答案为：35【点睛】本题主要考查条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15．函数2()(1)2(0,0)f x a x bx a b =++->>在点(1,(1))P f 处的切线斜率为4，则22=+z a b 的最小值为_________.【答案】45【解析】求导()2(1)f x a x b'=++，由(1)4f'=，得到22a b+=，而22=+z a b表示线段上的点到原点的距离的平方，再转化为点到直线的距离求解.【详解】因为()2(1)f x a x b'=++，所以(1)224f a b'=++=，即22a b+=，因为0a>，0b>，所以点(,)a b表示直线220x y+-=落在第一象限的图象上的点.22=+z a b表示线段上的点到原点的距离的平方，如图：所以2min455==z.故答案为：45【点睛】本题主要考查导数的几何意义和点到直线的距离，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16．已知数列{}n a和{}n b，设n S为数列{}n a的前n项和，满足12a=，且对任意*,Nm n∈，都有m n m na a a+=⋅，若()21024n nnnS Sba++=，则数列{}n b的所有项中的最小值为_________.【答案】124【解析】根据12a=和任意*,Nm n∈，有m n m na a a+=⋅，令1m=，则112+=⋅=n n n a a a a ，由等比数列的定义，可知数列{}n a 为等比数列，求得n a ，n S ，代入()21024n n n nS S b a ++=化简求解.【详解】由12a =，任意*,N m n ∈，有m n m n a a a +=⋅，令1m =，则112+=⋅=n n n a a a a ，所以数列{}n a 为首项和公比均为2的等比数列，所以2nn a =，122n n S +=-，则()112221024256424412422n n n n nn b ++⋅-+⎛⎫==⨯+-= ⎪⎝⎭.当且仅当25622nn=，即4n =时，n b 取得最小值124. 故答案为：124 【点睛】本题主要考查等比数列的定义，通项公式，前n 项和以及基本不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足()2*123234Nn a a a na n n n ++++=+∈L .（1）证明数列{}n na 为等差数列；（2）若2nn n b na =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）证明见解析（2）1(21)22n n T n +=+⨯-【解析】（1）当2n …时，由2123234n a a a na n n ++++=+L ；得到2123123(1)(1)4(1)n a a a n a n n -++++-=-+-L ，两式相减得23n na n =+，再根据等差数列的定义证明.（2）由题可知(23)2nn b n =+⋅，利用错位相减法求解. 【详解】（1）当1n =时，15a =；当2n …时，由2123234n a a a na n n ++++=+L ①； 得2123123(1)(1)4(1)n a a a n a n n -++++-=-+-L ②， ①-②得23n na n =+，当1n =时符合，即23n na n =+，则1(1)2n n n a na ++-=，所以数列{}n na 为等差数列. （2）由题可知(23)2nn b n =+⋅.所以123527292(23)2nn T n =⨯+⨯+⨯+++⨯L ③，23412527292(23)2n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯L ④，③-④得()234111022222(23)22(21)2nn n n T n n ++-=+⨯++++-+⨯=-+⨯L ，所以1(21)22n n T n +=+⨯-.【点睛】本题主要考查数列的通项与前n 项和间的关系和错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．如图在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，2ADC π∠=，4PA AD CD ===，2AB =，E 为侧棱PD 中点.（1）设F 为棱CD 上的动点，试确定点F 的位置，使得平面//AEF 平面PBC ，并写出证明过程；（2）求二面角A PB C --的余弦值.【答案】（1）当F 为CD 中点时，满足平面//AEF 平面PBC ；证明见解析（2）6-【解析】（1）当F 为CD 中点时，满足平面//AEF 平面PBC ，在梯形ABCD 中，可得CF AB =，//CF AB ，即四边形ABCF 为平行四边形，得到//AF CB ，在DCP V 中，根据E 、F 为中点，得到//EF CP ，再利用面面平行的判定定理得证.（2）根据AB 、AD 、AP 两两垂直，分别以AB 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，分别求得平面PBC 和平面PAB 的一个法向量，利用二面角的向量公式求解. 【详解】（1）当F 为CD 中点时，满足平面//AEF 平面PBC ， 证明如下：在梯形ABCD 中，因为//AB CD ，122CF CD ==，2AB =， 所以CF AB =，//CF AB ，即四边形ABCF 为平行四边形，所以//AF CB ，即//AF 平面PCB ，在DCP V 中，因为E 、F 分别为PD 、CD 中点，所以//EF CP ，即//EF 平面PCB . 又因为EF AF F =I ，EF ⊂平面AEF ，AF ⊂平面AEF ， 所以平面AEF ∥平面PBC .（2）由题知AB 、AD 、AP 两两垂直，如图，分别以AB 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(4,4,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,4)P ，(2,0,4)PB =-u u u r，(2,4,0)BC =u u u r，设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则0,0n PB n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，所以240240x z x y -=⎧⎨+=⎩，所以(2,1,1)n =-r又知AD ⊥平面PAB ，所以平面PAB 的一个法向量为(0,4,0)AD =u u u r，所以cos,6||||n ADn ADn AD⋅〈〉===-⋅r u u u rr u u u rr u u u r，由图可知二面角A PB C--是钝角所以二面角A PB C--的余弦值为.【点睛】本题主要考查面面平行的判定定理和二面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.19．已知函数()(1)(1)ln,f x a x x x a=--+∈R.（1）当2a=时，求曲线()y f x=在点(2,(2))f处的切线方程；（2）当1x>时，()0f x<，求实数a的取值范围.【答案】（1）1ln21ln22y x⎛⎫=-+-⎪⎝⎭（2）(,2]-∞【解析】（1）当2a=时，()2(1)(1)lnf x x x x=--+，求导1()1lnf x xx'=--，分别求得(2)f，(2)f'，再写出切线方程.（2）将当1x>时，()0f x<，转化为(1)ln01a xxx--<+，1x>时成立，令(1)()ln1a xg x xx-=-+研究其最大值即可.【详解】（1）当2a=时，()2(1)(1)lnf x x x x=--+，1()1lnf x xx'=--，所以(2)23ln2f=-，1(2)ln22f'=-，所以切线方程为1ln21ln22y x⎛⎫=-+-⎪⎝⎭，（2）由题()0f x<，即(1)(1)ln0a x x x--+<，所以(1)ln01a xxx--<+，令(1)()ln 1a x g x x x -=-+，222212(1)1()(1)(1)a x a x g x x x x x +-+'=-=-++，(1)0g =，(1)12ag '=-， 由(1)102ag '=-„，可得2a „， 当2a ≤时，()2222(1)121(1)0x a x x x x ⎡⎤-+-+--+=--<⎣⎦„ 即()0g x '<，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递减， 所以()(1)0g x g <=.满足题意； 当2a >时，(1)0g '>，241(2)02(21)a g a a a +'=-<+，所以存在0(1,2)x a ∈，使得()00g x '=，且()g x 在()01,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减， 即()0(1)0g x g >=.不合题意，舍去， 综上所述，实数a 的取值范围为(,2]-∞. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义和导数与不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于难题.20．出版商为了解某科普书一个季度的销售量y （单位：千本）和利润x （单位：元/本）之间的关系，对近年来几次调价之后的季销售量进行统计分析，得到如下的10组数据.根据上述数据画出如图所示的散点图：（1）根据图中所示的散点图判断y ax b =+和ln y c x d =+哪个更适宜作为销售量y 关于利润x 的回归方程类型？（给出判断即可，不需要说明理由） （2）根据（1）中的判断结果及参考数据，求出y 关于x 的回归方程；（3）根据回归方程分析：设该科普书一个季度的利润总额为z （单位：千元），当季销售量y 为何值时，该书一个季度的利润总额预报值最大？（季利润总额=季销售量×每本书的利润） 参考公式及参考数据：①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ⋅⋅⋅，其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的公式分别为()()()121ˆˆˆ,niii n i i u u v v u u u νβαβ==--==--∑∑. ②参考数据：xyu()1021ii xx =-∑()1021ii uu =-∑ ()()101iii x x yy =--∑ ()()101iii u u yy =--∑6.50 6.601.7582.50 2.70143.25- 27.54-表中1011ln ,10i i i i u x u u ===∑.另：ln 4.06 1.40≈.计算时，所有的小数都精确到0.01.【答案】（1））ln y c x d =+更适宜（2）ˆ24.4510.20ln yx =-（3）季销量10.17y =千本时，季利润总额预报值最大【解析】（1）根据散点图对应的图象特征判断.（2）采用换元法令ln u x =，先建立y 关于u 的线性回归方程，再将ln u x =代入求解.（3）根据题意建立函数模型(24.4510.20ln )z xy x x ==-，再利用导数法求解. 【详解】（1）ln y c x d =+更适宜作为销售量y 关于利润x 的回归方程类型； （2）令ln u x =，先建立y 关于u 的线性回归方程，由于()()()101102127.54ˆ10.202.70iii ii u u yy du u ==---===--∑∑， ˆˆ 6.610.20 1.7524.45cy d u =-⋅=+⨯=， 所以y 关于u 的线性回归方程为ˆ24.4510.20yu =-， 即y 关于x 的回归方程为ˆ24.4510.20ln yx =-. （3）由题意得(24.4510.20ln )z xy x x ==-，[(24.4510.20ln )]14.2510.20ln z x x x ''=-=-，令0z '=即14.2510.20ln 0x -=，解得ln 1.40x ≈，所以 4.06x ≈. 当(0,4.06)x ∈时，0z '>，所以z 在(0,4.06)上单调递增， 当(4.06,)x ∈+∞时，0z '<，所以z 在(4.06,)+∞上单调递减， 所以当 4.06x =时，即季销量10.17y =千本时，季利润总额预报值最大. 【点睛】本题主要考查回归分析及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．已知点F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，点M 、N 在抛物线上，且M 、N 、F 三点共线.若圆22:(2)(3)16P x y -+-=的直径为MN .（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与抛物线交于点A ，B ，分别过A 、B 两点作抛物线C 的切线1l ，2l ，证明直线1l ，2l 的交点在定直线上，并求出该直线.【答案】（1）24x y =（2）证明见解析；定直线1y =-【解析】（1）由题可知MN 中点为(2,3)P ，||8MN =，设M 、N 到准线的距离分别为1d ，2d .P 到准线的距离为d ，由梯形中位线得到方程1222p p d d d y +=+=，再根据抛物线定义求解.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由24x y =，得24x y =，则2x y '=，分别设直线1l 的方程为()1112x y y x x -=-，直线2l 的方程为()2222x y y x x -=-，联立1l ，2l 方程，求得交点坐标，再由直线l 方程为1y kx =+，与抛物线24x y =联立，利用韦达定理求解. 【详解】（1）由题可知MN 中点为(2,3)P ，设M 、N 到准线的距离分别为1d ，2d .P 到准线的距离为d ， 则1222p p d d d y +=+=，由抛物线定义得1||=d MF ，2||=d NF ，所以12||8+==d d MN ，所以42p py +=，即()242p p y =⨯-=. 所以抛物线C 的标准方程为24x y =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由24x y =，得24x y =，则2x y '=，所以直线1l 的方程为()1112x y y x x -=-，直线2l 的方程为()2222x y y x x -=-， 联立1l ，2l 方程得1212,2,4x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1l ，2l 的点坐标为1212,24x x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为l 过焦点(0,1)F ，由题可知直线l 的斜率存在，所以设直线l 方程为1y kx =+，与抛物线24x y =联立得2440x kx --=， 所以124x x =-，1214x x y ==-， 所以直线1l ，2l 的交点在定直线1y =-上. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义求方程以及直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线,:,x C y θθθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭. （1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程； （2）(3,0)M ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求11||||MA MB +的值. 【答案】（1）30x y +-=；2216x y +=（2）7【解析】（1）根据极坐标方程与直角坐标方程的转化关系即可得到直线的直角坐标方程，将曲线C 两式平方相加得到C 的普通方程；（2）写出直线的参数方程，将参数方程代入圆的方程利用12121212121111||||t t t t MA MB t t t t t t +-+=+==，结合韦达定理求解. 【详解】（1）将曲线C两式平方22222213sin 3cos cos ,13cos 3sin cos ,x y θθθθθθθθ⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩ 相加得22:16C x y +=，:cos sin 30l ρθρθ+-=，所以直线l 的直角坐标方程为30x y +-=.（2）由题可知点M 在直线l 上，则直线l的参数坐标方程为32x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），设A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线的参数方程带入22:16C x y +=得270t --=，12t t +=127t t =-，12121212121111||||7t t t t MA MB t t t t t t +-+=+====【点睛】此题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，利用直线的参数方程的几何意义解决与线段有关的问题. 23．已知函数()|21||25|f x x x =++-. （1）求不等式()10f x „的解集； （2）a ，b 均为正实数，若41a b+为函数()f x 的最小值，求实数2+a b 的取值范围. 【答案】（1）37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）13⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）利用零点分段讨论求解不等式；（2）根据绝对值三角不等式求出()f x 的最小值为6，即416a b+=，结合基本不等式求解最值得到取值范围. 【详解】（1）()|21||25|f x x x =++-1,24410x x ⎧-⎪⎨⎪-⎩„„或15,22610x ⎧-<<⎪⎨⎪⎩„或5,24410x x ⎧⎪⎨⎪-⎩…„ 解得3722x -≤≤.所以解集为37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）()|21||25||21(25)|6f x x x x x =++-+--=….所以416a b+=，1411812(2)6(616663b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…当且仅当a =时等号成立.所以2+a b 的范围为13⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】此题考查解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式求最小值，利用基本不等式求取值范围，需要注意考虑最值等号成立的条件.。