长沙理工大学概率论题库
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长沙理工大学考试试卷
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试卷编号 01 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名
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课程名称（含档次） 概率论与数理统计B
课程代号
专 业 层次（本、专） 本科（城南） 考试方式（开、闭卷） 闭
一、填空题(本大题总分10分，每小题2分)
1 . 某射手向一目标连续射击两次，用iA表示事件“第i次射击命中目标”，1,2i，则12(AA)()AA21表示事件( 两次射击中仅一次命中目标 )
2 . 设(X，Y)服从区域}4yxy){(x,D22上的均匀分布，则)3YP(X22
( 1/4 )
3 . 若随机变量X的数学期望为，方差为(,2＞0)，则用切比雪夫不等式估计得3}PX（ 1/9 ）
4 . 设X服从区间[0，2]上的均匀分布，Y=X2，则cov(X,Y)=（ 2/3 ）
5 . 评价参数的估计量优劣的标准有( 无偏性 )、有效性和一致性。
二、单项选择题(本大题总分20分，每小题5分)
1 . 设离散随机变量X的分布列为
X 0 1
P 0.7 0.3
则D（X）＝（ ④ ）
2 0.5 ②0.3 ③0.09 ④0.21
2 . 设(X，Y)的概率密度为其它01y1,0x01y)f(x,，则随机变量X与Y（ ④ ）
① 相关 ② 不相关
③ 不相关但不独立 ④ 不相关且独立
3 . 从0，1，…，9十个数字中随机地有放回地接连抽取四个数字，则“8”至少出现一次的概率为( ② )
4 0.1 ② 0.3439 ③ 0.4 ④ 0.6561
4 .
设随机变量X的密度函数p(x)满足：p(x)x)p(，F(x)是X的分布函数，则对任意a>0,则a)XP(=（ ① ）
①F(a)]2[1 ②12F(a) ③F(a)2 ④)2F(a1
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三、计算题(本大题总60分,每小题12分)
1 . 三人独立地去破译一个密码,他们能译出的概率分别为413151、、,求
(1)将此密码译出的概率, (2)恰好有一个人译出此密码的概率.
1. 1.解.：设,1,2,3iAi第i人能破译,则
(1) 3i123123i=1423P(A)11()()10.6534PAAAPAPAPA
(6分)
(2) 123123123PAAAPAAAPAAA
(8分)
123123123()()()()()()PAPAPAPAPAPAPAPAPA
(10分)
1234134211353453453430
2 . 已知随机变量X的分布律为
X -1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.3 0.4
令cosπYX，
求：（1）Y的分布律；（2）E（Y）。
2.
解
故Y的分布分律为 (6分)
(8分)
Y -1 1
P 0.4 0.6
从而E(Y)=(-1)*0.4+1*0.6=0.2
(12分)
P 0.1 0.2 0.3 0.4
X -1 0 1 2
Y -1 1 -1 1 3 . 设(,)XY的概率密度为：23,02,01(,)20,xyxyfxy其它
（1）试求关于X和Y的边缘分布密度，（2）问X和Y是否相互独立(需说明理由). 3解 12031,02,02()(,)220,0,Xxydyxxxfxfxydy其它其它
(3分)
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22203,013,01()(,)20,0,Yxydyyyyfyfxydx其它其它
(6分)
从而: ()()(,),.XYfxfyfxy故X和Y相互独立
4 . 设随机变量X和Y的方差分别为25和36，相关系数为0.4，求D（X+Y）及D（X-Y）.、解D(X+Y)=DX+DY+2253620.4253685XYDXDY
(6分)
D(X-Y)=DX+DY-2253620.4253637XYDXDY
5 . 设总体X具有概率密度
f(x)=1010xx其它
n21x,,x,x为来自总体X的容量为n的样本，求θ的极大似然估计.
解111()(,),01,1,2,....nnniiiiiLfxxxin
(4分)
1ln()ln(1)ln.niiLnx
(8分)
11ln()ln0,:.lnniniiiLnnxdxd令得 四、证明题(本大题总分10分)
设X,Y是相互独立随机变量，它们分别服从参数为1,2的泊松分布，证明Z=X+Y服从参数为12的泊松分布.
解 Z的可能取值为0,1,2,…,Z的分布律为
(2分)
0kiPZkPXYkPXiPYki
(6分)
=1212()121201(),0,1,2,...!()!!ikikkieeekikik
(10分)
所以Z服从参数为的12泊松分布.
长沙理工大学考试试卷
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试卷编号 02 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名
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课程名称（含档次） 概率论与数理统计B 课程代号
专 业 层次（本、专） 本科（城南） 考试方式（开、闭卷） 闭
一、填空题(本大题总分10分，每小题2分)
1 . 在某班的学生中任选一人，用A表示事件“选的人是足球爱好者”，B表示事件“选的人是篮球爱好者”，则AB表示事件( 选的人既是足球爱好者又是篮球爱好者 )
2 . 设随机变量X的分布列为P{X=k}=k2C，k=1，2，3，则常数C=（ 8/7 ）
3 . 设(X，Y)服从区域}4y2,0x0y){(x,D上的均匀分布，则)2YP(X ( 3/4 )
4 . 评价参数的估计量优劣的标准有无偏性、( 有效性 )和一致性。
5. 设E（X）=E（Y）=2，cov(X,Y)=，61则E（XY）=（ 23/6 ）
二、单项选择题(本大题总分20分，每小题5分)
1 . 掷一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为32，将此硬币连掷4次，则恰好3次正面朝上的概率是( ③ ) 2 818 ② 278 ③ 8132 ④ 43
2 . 若连续型随机变量X的密度函数p(x)=其它,0Ix,xsin21,则区间I可以是（ ③ ）
3 2,2 ②2,0 ③,0 ④,
3 . 下列关于二维变量分布函数)yF(x,说法不正确的是 （ ④ ）
① 二维随机变量的分布函数y)F(x,的定义域是整个坐标平面，值域是[0，1]。
② y)F(x,是x与y的单调非减函数。
③ 0y),F(,1),F(。
④ 当21xx时，y),F(x1y),F(x2。
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4 . 设(X，Y)的概率密度为其它01y1,0x01y)f(x,，则随机变量X与Y（ ④ ）
① 相关 ② 不相关 ③ 不相关但不独立 ④ 不相关且独立
三、计算题(本大题总分60分，每小题12分)
1 . 两门高射炮对一架敌机一齐各发一炮，它们的命中率分别为20％，30％。
求：(1)敌机至少中一弹的概率；(2)敌机恰中一弹的概率
1.设1,2iAii表示第门高射炮击中敌机,,则
(1) 1212121212P(A)0.44APAPAPAAPAPAPAPA
(6分) (2) 12121212P(A)P(A)P()P(A)0.38AAPAAPA
(12分)
2 . 某射手有3发子弹，射一次命中的概率为32，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽。设X表示耗用的子弹数。
求：（1）X的分布列；（2）E（X）
2. X的可能取值为1,2,3,于是 22212111,2,3()333939PXPXPX
(6分)
从而X的分布列为
(8分)
X 1 2 3
P 2/3 2/9 1/9
从而EX=13/9
(12分)
3 . 设随机向量(X，Y)概率密度为
f(x,y)=其他 0,xy1,0x8xy,0
求(1)关于边缘概率密度fX(x),fY(y) (2)概率P{Y≤2X}
3 308,014,01()(,)0,0,xXxydyxxxfxfxydy其它其它
(3分)
128,014(1),01()(,)0,0,yYxydyyyyyfyfxydy其它其它
