2020年上海市松江二中高一期中数学试卷(2020.11)(图片版 含答案)

2020-2021学年上海市松江二中高三（上）期中数学试卷一、填空题1．若复数z满足iz＝1+i（i为虚数单位），则z＝．2．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，B＝{0，2}．3．已知圆心角是2弧度的扇形面积为16cm2，则扇形的周长为．4．若（1+x）n＝1+a1x+a2x2+a3x3+…+x n，（n∈N*），且a1：a2＝1：3，则n＝．5．若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为．（结果保留π）6．双曲线的左、右焦点为F1、F2，若点P在双曲线上，，则＝．7．某同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选择三个学科参加测试，则物理和化学不同时被选中的概率为．8．已知正数a．b满足4a+b＝30，使得取最小值时（a，b）是．9．已知不等式4x﹣a•2x+2＞0，对于a∈（﹣∞，3]恒成立．10．已知点A（1，0），直线l：x＝﹣1，两个动圆均过点A且与l相切1、C2，若动点M满足，则M的轨迹方程为．11．已知函数f（x）＝，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4，则x1•x2•x3•x4的取值范围是．12．对于给定的正整数n和正数R，若等差数列a1，a2，a3，…满足a12+a2n+12≤R，则S＝a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a4n+1的最大值为．二、选择题13．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是（）A．|a|＞|b|B．＞C．a2＞b2D．lga＞lgb14．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C+c cos B＝a sin A（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定15．若定义域为R的奇函数y＝f（x）有反函数y＝f﹣1（x），那么必在函数y＝f﹣1（x+1）图象上的点是（）A．（﹣f（t﹣1），﹣t）B．（﹣f（t+1），﹣t）C．（﹣f（t）﹣1，﹣t）D．（﹣f（t）+1，﹣t）16．如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别为O，O1，O2．动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动（其中A，O1，O，O2，B五点共线），记点P运动的路程为x，设y＝|O1P|2，y与x的函数关系为y＝f（x），则y＝f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．三、解答题17．已知A＝{x|2x＜4}，．（1）求A∪B；（2）已知集合U＝R，C＝∁U（A∪B），D＝{x|ax﹣1＝0}，若C∩D＝∅18．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得利润是元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产1200千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．19．已知函数f（x）＝sin x•cos（x﹣）+cos2x﹣．（1）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）；（2）若f（x0）＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．20．（理）已知向量，（n为正整数），函数，设f（x）在（0，+∞）n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}，对任意正整数n，都有b n•（4a n2﹣5）＝1成立，设S n为数列{b n}的前n项和，求；（3）在点列A1（1，a1）、A2（2，a2）、A3（3，a3）、…、A n（n，a n）、…中是否存在两点A i，A j（i，j为正整数）使直线A i A j的斜率为1？若存在，则求出所有的数对（i，j）；若不存在21．（理）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F（x，y）＝0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）2的方程F（λx，λy）＝0，则称曲线C1、C2关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，λy）称为“伸缩变换”（1）已知曲线C1的方程为，伸缩比λ＝2，求C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的方程；（2）射线l的方程，如果椭圆C1：经“伸缩变换”后得到椭圆C2，若射线l与椭圆C1、C2分别交于两点A、B，且，求椭圆C2的方程；（3）对抛物线C1：y2＝2p1x，作变换（x，y）→（λ1x，λ1y），得抛物线C2：y2＝2p2x；对C2作变换（x，y）→（λ2x，λ2y）得抛物线C3：y2＝2p3x，如此进行下去，对抛物线∁n：y2＝2p n x作变换（x，y）→（λn x，λn y），得抛物线C n+1：y2＝2p n+1x，…．若，求数列{p n}的通项公式p n．2020-2021学年上海市松江二中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．若复数z满足iz＝1+i（i为虚数单位），则z＝1﹣i．【分析】由iz＝1+i，两边除以i，按照复数除法运算法则化简计算．【解答】解：由iz＝1+i，得z＝故答案为：1﹣i．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念．属于基础题．2．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，B＝{0，2}6．【分析】利用题中对A*B，求出A*B中包含的元素，求出集合A*B的所有元素之和．【解答】解：∵A*B＝{z|z＝xy，x∈A．又A＝{1，2}，4}，∴A*B＝{0，2，7}所以集合A*B的所有元素之和为0+2+5＝6故答案为：6【点评】本题考查理解题中的新定义；并利用新定义求集合．新定义题型是近几年高考常考的题型．3．已知圆心角是2弧度的扇形面积为16cm2，则扇形的周长为16cm．【分析】由题意，利用扇形的面积公式可求半径，利用弧长公式可求弧长，进而可求扇形的周长．【解答】解：设扇形半径为r，面积为s，则α＝2，扇形的面积为：s＝2＝×2×r2＝16 （cm8），解得：r＝4cm， 则周长l＝2r+αr＝4r+2r＝4r＝7×4＝16cm．故答案为：16cm．【点评】本题考查扇形的弧长公式和面积公式的应用，属于基础题．4．若（1+x）n＝1+a1x+a2x2+a3x3+…+x n，（n∈N*），且a1：a2＝1：3，则n＝7．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数分别为1，2求出a1，a2，列出方程求出n．【解答】解：（1+x）n展开式的通项为T r+1＝∁n r x r令r＝2得a1＝∁n1＝n令r＝8得∵a1：a4＝1：3，∴解得n＝7故答案为：7【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．5．若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为．（结果保留π）【分析】先求正方体的棱长，再求正方体的对角线，然后求出球的半径，然后求出体积．【解答】解：球的内接正方体的对角线就是球的直径，求出半径可得体积．正方体的体积为8，则棱长为2，球的半径为：球的体积：故答案为：【点评】本题考查球的内接体问题，考查空间想象能力，是基础题．6．双曲线的左、右焦点为F1、F2，若点P在双曲线上，，则＝10．【分析】由“点P在双曲线上”，得|PF1|2+|PF2|2＝（2c）2，则|+|＝，即可计算出答案．【解答】解：由题意知，a＝4，所以c2＝a3+b2＝16+9＝25，所以F5（﹣5，0），F5（5，0），因为点P在双曲线上，，所以PF2⊥PF2，所以|PF1|8+|PF2|2＝（3c）2＝100，所以|+|＝＝，故答案为：10．【点评】本题考查向量与椭圆的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．7．某同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选择三个学科参加测试，则物理和化学不同时被选中的概率为．【分析】先求出物理和化学同时被选中的情况几种，由此能求出物理和化学不同时被选中的概率．【解答】解：某同学从物理、化学、政治、地理六科中选择三个学科参加测试，基本事件总数n＝C63＝20，物理和化学同时被选中的情况有：C71＝4，∴物理和化学不同时被选中的概率为：P＝3﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．8．已知正数a．b满足4a+b＝30，使得取最小值时（a，b）是（5，10）．【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求得结论、【解答】解：∵正数a．b满足4a+b＝30，∴＝（4a+b）（≥•（4+，当且仅当，即a＝5，取最小值0.3．∴实数对（a，b）是（7．故答案为：（5，10）．【点评】本题考查基本不等式的运用，考查“1”的代换，考查学生的计算能力，正确运用“1”的代换是关键．9．已知不等式4x﹣a•2x+2＞0，对于a∈（﹣∞，3]恒成立（﹣∞，0）∪（1，+∞）．【分析】设t＝2x，t＞0，则t2﹣at+2＞0，对于a∈（﹣∞，3]恒成立，问题转化为a＜t+，于a∈（﹣∞，3]恒成立，即t+＞3，即可解得答案．【解答】解：不等式4x﹣a•2x+6＞0，对于a∈（﹣∞，所以设t＝2x，t＞8，则t2﹣at+2＞7，对于a∈（﹣∞，即a＜t+，对于a∈（﹣∞，所以t+＞7，即t2﹣3t+7＞0，解得t＞2或t＜4，即2x＞2或7x＜1，解得x＞1或x＜8，综上，x的取值范围为（﹣∞，+∞）．【点评】本题考查恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．10．已知点A（1，0），直线l：x＝﹣1，两个动圆均过点A且与l相切1、C2，若动点M满足，则M的轨迹方程为y2＝2x﹣1．【分析】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2＝4x，利用，确定坐标之间的关系，即可求出M的轨迹方程．【解答】解：由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2＝4x，设C2（a，b），C2（m，n），y），则∵动点M满足，∴2（x﹣m，y﹣n）＝（a﹣m，﹣n），∴2x＝a+7，2y＝b，∴a＝2x﹣4，b＝2y，∵b2＝6a，∴（2y）2＝8（2x﹣1），即y3＝2x﹣1．故答案为：y6＝2x﹣1．【点评】本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定坐标之间的关系是关键．11．已知函数f（x）＝，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4，则x1•x2•x3•x4的取值范围是（27，）．【分析】画出分段函数的图象，求得（3，1），（9，1），令f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f （x4）＝a，作出直线y＝a，通过图象观察，可得a的范围，运用对数的运算性质和余弦函数的对称性，可得x1x2＝1，x3+x4＝12，再由二次函数在（3，4.5）递增，即可得到所求范围．【解答】解：画出函数f（x）＝的图象，令f（x1）＝f（x2）＝f（x4）＝f（x4）＝a，作出直线y＝a，由x＝3时，f（3）＝﹣cosπ＝8，f（9）＝﹣cos3π＝1．由图象可得，当2＜a＜1时．由图象可得0＜x7＜1＜x2＜2＜x3＜4.5，7.5＜x5＜9，则|log3x8|＝|log3x2|，即为﹣log3x1＝log3x3，可得x1x2＝2，由y＝﹣cos（x）的图象关于直线x＝6对称6+x4＝12，则x1•x2•x3•x4＝x8（12﹣x3）＝﹣（x3﹣4）2+36在（3，7.5）递增，即有x1•x8•x3•x4∈（27，）．故答案为：（27，）．【点评】本题考查分段函数的图象及运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．12．对于给定的正整数n和正数R，若等差数列a1，a2，a3，…满足a12+a2n+12≤R，则S＝a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a4n+1的最大值为．【分析】根据等差数列的关系整理得S＝（2n+1）a3n+1，由＝≤R，根据△≥0，化简可得到S≤．【解答】解：数列{a n}等差数列，∴a2n+1+a7n+1＝a2n+5+a4n＝…2a2n+1，∴S＝（2n+4）a3n+1，∵＝≤R，化简得：﹣8dna3n+3+10n2d2﹣R≤6，关于d的二次方程，10n2d2﹣2dna3n+1+﹣R≤0，∴△＝﹣40n5（﹣R）≥0，化简得：3﹣10，∴≤，∴，S≤．故答案为：．【点评】本题考查求等差数列的和，利用判别式判断二次函数的最大值，属于中档题．二、选择题13．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是（）A．|a|＞|b|B．＞C．a2＞b2D．lga＞lgb【分析】A．a＞b不一定成立，例如取a＝﹣2，b＝1；B．a＞b不一定成立，例如取a＝1，b＝2；C．a＞b不一定成立，例如取a＝﹣2，b＝1；D．lga＞lgb⇒a＞b＞0⇒a＞b，即可判断出结论．【解答】解：A．|a|＞|b|，例如取a＝﹣2，因此不符合题意；B.，a＞b不一定成立，b＝2；C．a2＞b3，a＞b不一定成立，例如取a＝﹣2，因此不符合题意；D．lga＞lgb⇒a＞b＞0⇒a＞b．故选：D．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C+c cos B＝a sin A（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【分析】由条件利用正弦定理可得sin B cos C+sin C cos B＝sin A sin A，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sin A＝1，可得A＝，由此可得△ABC的形状．【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵b cos C+c cos B＝a sin A，则由正弦定理可得sin B cos C+sin C cos B＝sin A sin A，即sin（B+C）＝sin A sin A，可得sin A＝1，故三角形为直角三角形，故选：B．【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．15．若定义域为R的奇函数y＝f（x）有反函数y＝f﹣1（x），那么必在函数y＝f﹣1（x+1）图象上的点是（）A．（﹣f（t﹣1），﹣t）B．（﹣f（t+1），﹣t）C．（﹣f（t）﹣1，﹣t）D．（﹣f（t）+1，﹣t）【分析】由f（﹣t）＝﹣f（t）得f﹣1（﹣f（t））＝﹣t，再由函数图象的平移规律得出答案．【解答】解；∵f（x）定义在R上的奇函数，∴f﹣1（﹣f（t））＝﹣t，即（﹣f（t）﹣1（x）的图象上，∵y＝f﹣5（x+1）图象是由y＝f﹣1（x）的图象向左平移3个单位得到的，∴（﹣f（t）﹣1，﹣t）在y＝f﹣1（x+3）图象上．故选：C．【点评】本题考查了奇函数、反函数的性质及函数图象变换，利用互为反函数的函数图象关系是关键．16．如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别为O，O1，O2．动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动（其中A，O1，O，O2，B五点共线），记点P运动的路程为x，设y＝|O1P|2，y与x的函数关系为y＝f（x），则y＝f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】由题意需要分段讨论，借助向量，当x∈[π，2π）时，由＝﹣设与的夹角为θ，再根据模的概念和弧长和弧度的关系，得到函数的表达式y＝5+4cos x，x∈（π，2π），同理求出后几段的表达式，继而得到函数的图象．【解答】解：当x∈[0，π]时，当x∈[π，2π）时，∵＝﹣设与的夹角为θ，|，||＝2，∴θ＝π﹣x∴y＝|O1P|7＝（﹣）2＝5﹣8cosθ＝5+4cos x，x∈（π，∴函数y＝f（x）的图象是曲线，且为单调递增，当x∈[8π，4π）时，∵＝﹣，设与的夹角为α，||＝6，∴α＝2π﹣x，∴y＝|O1P|2＝（﹣）2＝5﹣2cosθ＝5+4cos x，x∈（2π，∴函数y＝f（x）的图象是曲线，且为单调递减．故选：A．【点评】本题考查了函数的图象的识别，借助向量求出函数的表达式，培养了学生的应用知识的能力，属于难题．三、解答题17．已知A＝{x|2x＜4}，．（1）求A∪B；（2）已知集合U＝R，C＝∁U（A∪B），D＝{x|ax﹣1＝0}，若C∩D＝∅【分析】（1）解不等式求出集合A，B，结合集合并集的定义，即可求得A∪B；（2）由补集的定义求得集合C，由C∩D＝∅，对a分类讨论，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）A＝{x|2x＜4}＝（﹣∞，3），，3），所以A∪B＝（﹣∞，3）．（2）因为集合U＝R，所以C＝∁U（A∪B）＝[3，+∞），又D＝{x|ax﹣1＝0}，C∩D＝∅，当a＝3时，D＝∅；当a≠0时，D＝{}，则，解得a＜0或a＞，综上，实数a的取值范围是（∞，+∞）．【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题．18．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得利润是元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产1200千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【分析】（1）根据题意列不等式求出x的范围即可；（2）设总利润为y，得出y关于x的函数解析式，配方得出最大值即可．【解答】解：（1）由题意可得：200（5x+1﹣）≥3000，即5x﹣≥14，又6≤x≤10，∴3≤x≤10．（2）设生产1200千克产品的利润为y，则y＝100（5x+8﹣）•++5）＝120000[﹣4（﹣）2+]，∴当＝即x＝6时．故甲厂以8千克/小时的速度生产可使利润最大，最大利润为610000元．【点评】本题考查了函数解析式，函数最值的计算，属于中档题．19．已知函数f（x）＝sin x•cos（x﹣）+cos2x﹣．（1）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）；（2）若f（x0）＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．【分析】（1）利用两角和与差的正弦、余弦公式可化简f（x）＝sin x•cos（x﹣）+cos2x ﹣＝sin（2x+）+，再利用正弦函数的性质即可求得函数f（x）的最大值及f（x）取最大值x时的取值集合；（2）x0∈[，]⇒2x0+∈[，]，故可求得cos（2x0+）＝﹣，利用两角差的余弦cos2x0＝cos[（2x0+）﹣]即可求得cos2x0的值．【解答】解：（1）f（x）＝sin x•cos（x﹣）+cos2x﹣＝sin x（cos x+﹣＝sin2x++＝sin（4x+，当2x+＝8kπ+，即x＝kπ+，f（x）取得最大值．函数f（x）的最大值时x的取值集合为{x|x＝kπ+（k∈Z）}；（2）若f（x5）＝，即sin（3x0+）+＝，整理得：sin（2x3+）＝，∵x0∈[，]，∴2x0+∈[，]，∴cos（2x0+）＝﹣，∴cos3x0＝cos[（2x6+）﹣3+）cos4+）si'n×+×＝．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，突出考查正弦函数的图象与性质及两角差的余弦，考查整体思想与化归意识，属于中档题．20．（理）已知向量，（n为正整数），函数，设f（x）在（0，+∞）n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}，对任意正整数n，都有b n•（4a n2﹣5）＝1成立，设S n为数列{b n}的前n项和，求；（3）在点列A1（1，a1）、A2（2，a2）、A3（3，a3）、…、A n（n，a n）、…中是否存在两点A i，A j（i，j为正整数）使直线A i A j的斜率为1？若存在，则求出所有的数对（i，j）；若不存在【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标公式，代入得f（x）＝是一个关于x二次函数，其图象是开口向上抛物线，在对称轴处函数取到最小值，由二次函数对称轴方程，得到数列{a n}的通项公式；（2）根据（1）的结论，将代入b n的表达式，得到，用裂项的方法求出其前n项和S n的表达式，最后可得其极限的值；（3）对于这类问题，我们可以先假设存在满足条件的数对（i，j），然后再进行推理可得结论．具体作法：任取A i、A j（i、j∈N*，i≠j），设A i A j所在直线的斜率为k ij，则，从而得到不存在满足条件的数对（i，j），得出结论．【解答】解：（1）f（x）＝…（7分）函数y＝f（x）的图象是一条抛物线，抛物线的顶点横坐标为，开口向上，在（0，当时函数取得最小值，所以；…（4分）（2）将（1）中{a n}的表达式代入，得．…（6分）∴，…（6分）所以所求的极限为：＝；…（10分）（3）任取A i、A j（i、j∈N*，i≠j），设A i A j所在直线的斜率为k ij，则＝．因此不存在满足条件的数对（i，j）i A j的斜率为3．…（16分）【点评】本题综合了数列与向量、数列与函数以及数列的极限等知识点，是一道难题．对思维的要求较高，考查了转化化归和函数与方程的数学思想．21．（理）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F（x，y）＝0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）2的方程F（λx，λy）＝0，则称曲线C1、C2关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，λy）称为“伸缩变换”（1）已知曲线C1的方程为，伸缩比λ＝2，求C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的方程；（2）射线l的方程，如果椭圆C1：经“伸缩变换”后得到椭圆C2，若射线l与椭圆C1、C2分别交于两点A、B，且，求椭圆C2的方程；（3）对抛物线C1：y2＝2p1x，作变换（x，y）→（λ1x，λ1y），得抛物线C2：y2＝2p2x；对C2作变换（x，y）→（λ2x，λ2y）得抛物线C3：y2＝2p3x，如此进行下去，对抛物线∁n：y2＝2p n x作变换（x，y）→（λn x，λn y），得抛物线C n+1：y2＝2p n+1x，…．若，求数列{p n}的通项公式p n．【分析】（1）由“伸缩变换”的伸缩比得，从而即得曲线C2的方程；（2）根据C2、C1关于原点“伸缩变换”，对C1作变换（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），得到C2分别解方程组得点A，B两点的坐标，最后利用两点的距离公式得到关于λ的方程求出λ的值，即可写出椭圆C2的方程；（3）先对∁n：y2＝2p n x作变换（x，y）→（λn x，λn y）得抛物线C n+1：（λn y）2＝2p nλn x，结合y2＝2p n+1x得到：，从而求得数列{p n}的通项公式p n．【解答】解（1）由条件得，得C2：；（4分）（2）∵C2、C1关于原点“伸缩变换”，对C1作变换（x，y）→（λx，得到C2，（5分）解方程组得点A的坐标为解方程组得点B的坐标为＝＝，化简后得7λ2﹣8λ+8＝0，解得2的方程为或．（12分）（漏写一个方程扣2分）（3）（理）对∁n：y2＝7p n x作变换（x，y）→（λn x，λn y）得抛物线C n+1：（λn y）2＝7p nλn x，得，又∵y5＝2p n+1x，∴，即，（14分）＝2•28•23•…•2n﹣1，则，（16分）（或解：）p1＝1，∴．（18分）【点评】本小题主要考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线简单性质、数列与解析几何的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．。

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的（ ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件2.一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积为（ ）A. B.C. D. （1-sin1cos1）R23.已知△ABC内接于单位圆，则长为sin A、sin B、sin C的三条线段（ ）A. 能构成一个三角形，其面积大于△ABC面积的一半B. 能构成一个三角形，其面积等于△ABC面积的一半C. 能构成一个三角形，其面积小于△ABC面积的一半D. 不一定能构成一个三角形4.已知函数，，则下列说法正确的是A.与的定义域都是B. 为奇函数，为偶函数C. 的值域为的值域为D.与都不是周期函数二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知角α的终边在射线y=-x（x≤0）上，则cosα=______．6.若，则cos2α=______．7.已知tan（π-θ）=3，则=______．8.已知，则=______．9.已知，则cosα=______．10.函数的最小正周期为______．11.函数y=cos2x+2sin x-2的值域为______．12.下图为函数的部分图象，M、N是它与x轴的两个交点，D、C分别为它的最高点和最低点，E（0，1）是线段MD的中点，且△OMB为等腰直角三角形，则f（x）的解析式为f（x）=______．13.已知方程sin x+cos x=m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，则实数m的取值范围是______．14.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点及点C处，且小区里从D沿DA 有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径OA的长约为______（精确到1米）．15.设α1，α2∈R，且，则tan（α1+α2）=______．16.已知函数f（x）=sin2ωx-2cos2ωx+1（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间内没有零点，则ω的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）17.已知（1）求tanα的值；（2）求的值．18.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足．（1）求A的大小；（2）现给出三个条件：①a=2；②B=45°；③c=b试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择，并以此为依据求△ABC的面积（只需写出一个选定方案即可）19.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC=1，∠ABC=，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．（1）用θ表示S1和S2；（2）当θ变化时，求的最小值，及此时角θ的大小．20.某种波的传播是由曲线f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把解析式f（x）=A sin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A的波称为“A类波”，把两个波的解析式相加称为波的叠加．（1）已如“1类波”中的两个波，与加后是一个“A类波”，求A的值；（2）已知三个不同的“A类波”，从f1（x）=A sin（x+φ1），f2（x）=A sin（x+φ2），f3（x）=A sin（x+φ3）（其中φ1、φ2、φ3互不相同），三个波叠加后是“平波”y=0，即f1（x）+f2（x）+f3（x）=0，求cos（φ1-φ2）cos（φ2-φ3）cos（φ3-φ1）的值．21.某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：x x1x2ωx+φ0π2πsin（ωx+φ）010-10f（x）00y20（1）请写出上表的x1、x2、y2，及函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再所得图象上各店的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求g（x）的解析式及的单调递增区间；（3）在（2）的条件下，若在x∈（0，2019π）上恰有奇数个零点，求实数a与零点个数n的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由正弦定理知=2R，∵sin A＞sin B，∴a＞b，∴A＞B．反之，∵A＞B，∴a＞b，∵a=2R sin A，b=2R sin B，∴sin A＞sin B故选：A．由正弦定理知，由sin A＞sin B，知a＞b，所以A＞B，反之亦然，故可得结论．本题以三角形为载体，考查四种条件，解题的关键是正确运用正弦定理及变形．2.【答案】D【解析】解：l=4R-2R=2R，α===2，可得：S扇形=lR=×2R×R=R2，可得：S三角形=×2R sin1×R cos1=sin1•cos1•R2，可得：S弓形=S扇形-S三角形=R2-sin1•cos1•R2=（1-sin1cos1）R2．故选：D．通过扇形的周长，求出扇形的弧长，求出扇形的圆心角，然后求出扇形的面积，三角形的面积，即可得到这个扇形所含弓形的面积．本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，弓形面积的求法，考查计算能力，注意弓形面积的求法．3.【答案】C【解析】解：设△ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得，∴a=2sin A，b=2sin B，c=2sin C∵a，b，c为三角形的三边∴sin A，sin B，sin C也能构成三角形的边，面积为原来三角形面积故选：C．设△ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得，可得a=2sin A，b=2sin B，c=2sin C由a，b，c为三角形的三边判断即可本题主要考查了正弦定理的变形形式a=2R sin A，b=2R sin B，c=2R sin C（R为三角形外接圆的半径）的应用，属于中档试题．4.【答案】C【解析】解：A．f（x）与g（x）的定义域都是R，故A错误.B．f（-x）=cos（sin（-x））=cos（-sin x）=cos（sin x）=f（x），则f（x）是偶函数，故B错误.C．∵-1≤sin x≤1，-1≤cos x≤1，∴f（x）的值域为[cos1，1]，g（x）的值域[-sin1，sin1]，故C正确.D．f（x+2π）=cos（sin（x+2π））=cos（sin x）=f（x）则f（x）是周期函数，故D错误.故选：C．根据复合函数的性质结合三角函数的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合复合函数性质之间的关系，利用三角函数的单调性，奇偶性和周期性的性质是解决本题的关键．5.【答案】【解析】解：∵角α的终边在射线y=-x（x≤0）上，在角α的终边上任意取一点（-1，1），则cosα==-，故答案为：-．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6.【答案】【解析】解：因为sinα=，所以cos2α=1-2sin2α=1-2×=．故答案为：．把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化为关于sinα的式子，将sinα的值代入即可求出值．通常，在高考题中，三角函数多会以解答题的形式出现在第一个解答题的位置，是基础分值的题目，学生在解答三角函数问题时，往往会出现，会而不对的状况．所以，在平时练习时，既要熟练掌握相关知识点，又要在解答时考虑更为全面．这样才能熟练驾驭三角函数题．7.【答案】【解析】解：∵tan（π-θ）=-tanθ=3，∴tanθ=-3，则=．故答案为：．由已知利用诱导公式求tanθ，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．8.【答案】【解析】解：∵已知，∴cosα=-=-，则=sinαcos+cosαsin=-=，故答案为：．由题意利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用两角和的正弦公式求得sin （α+）的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．9.【答案】【解析】解：，所以：，解得：，所以：，整理得：，解得：（负值舍去），故=，故答案为：．直接利用三角函数关系式的变换和角的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，角的变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10.【答案】2π【解析】解：函数的最小正周期是函数y=sin的周期的一半，而函数y=sin的周期为=4π，故函数的最小正周期是2π，故答案为：2π．利用y=|sinωx|的周期是y=sinωx的周期的一半，而y=sinωx的周期为，得出结论．本题主要考查三角偶函数的周期性，利用了y=|sinωx|的周期是y=sinωx的周期的一半，y=sinωx的周期为，属于基础题．11.【答案】[-4，0]【解析】解：y=cos2x+2sin x-2=-sin2x+2sin x-1=-（sin x-1）2，∵x∈R，∴sin x∈[-1，1]，∴当sin x=1时，y max=0；当sin x=-1时，y min=-4，∴函数y的值域为[-4，0]．故答案为：[-4，0]．由y=cos2x+2sin x-2可得由y=-（sin x-1）2，再利用二次函数的相关性质求出最值即可．本题考查了函数的性质及其应用，考查了转化思想和整体思想，属基础题．12.【答案】2sin（x+）【解析】解：由已知点E（0，1）是线段MD的中点知A=2，根据△OMB为等腰直角三角形，可得M（-1，0），D（1，2），∴•=1-（-1），解得ω=；∴函数f（x）=2sin（x+φ），又由M（-1，0）是f（x）图象上的点，由正弦函数的图象与性质知，×（-1）+φ=0，可得φ=，∴f（x）=2sin（x+）．故答案为：2sin（x+）．由已知点E得出A的值，再根据△OMB为等腰直角三角形可得M、D的坐标，从而求得ω和φ的值．本题主要考查了正弦型函数的图象与性质应用问题，是基础题．13.【答案】【解析】【分析】本题考查三角函数的有解问题，三角函数的最值函数的图象的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．通过两角和与差的三角函数化简左侧表达式，通过三角函数的图象与性质，分析求解m 的范围．【解答】解：m+1=sin x+cos x=2sin（x+），x∈[0，π]，x+[]，作出函数y=2sin（x+），x∈[0，π]的图象，如图：方程sin x+cos x=m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，即函数y=2sin（x+），x∈[0，π]与直线y=m+1有两个交点，由图可得，m+1∈，可得m∈．故答案为：．14.【答案】445米【解析】解：法一：设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=60°在△CDO中，CD2+OD2-2CD•OD•cos60°=OC2即，5002+（r-300）2-2×500×（r-300）×=r2解得r=≈445（米）答：该扇形的半径OA的长约为445米．法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于H，由题意，得CD=500（米），AD=300（米），∠CDA=120°在△CDO中，AC2=CD2+AD2-2•CD•AD•cos120°=5002+3002+2×500×300×=7002．∴AC=700（米）．cos∠CAD==．在直角△HAO中，AH=350（米），cos∠HAO=，∴OA==≈445（米）．答：该扇形的半径OA的长约为445米．故答案为：445米．法一：连接OC，由CD∥OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．法二：连接AC ，作OH⊥AC，交AC于H，由余弦定理可求AC，cos∠CAD，在直角△HAO中，利用三角函数的定义可求OA=的值．本题主要考查用余弦定理求三角形边长，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．15.【答案】1【解析】解：∵α1，α2∈R，且，∴sinα1+2=1，2+sin（2α2）=1，求得sinα1=-1，sin（2α2）=-1，∴α1=2kπ-，且2α2=2nπ-，k、n∈Z，∴α2=nπ-，∴α1+α2=（2k+n）-，∴tan（α1+α2）=tan（-）=1，故答案为：1．由题意可得求得sinα1=-1，sin（2α2）=-1，求得α1和α2的值，可得tan（α1+α2）的值．本题主要考查三角函数的求值问题，属于基础题．16.【答案】【解析】解：f（x）=sin2ωx-2cos2ωx+1=sin2ωx-cos2ωx=sin（2ωx-），（ω＞0），由f（x）=0得2ωx-=kπ，即x=+，k∈Z，∵函数f（x）在区间内没有零点，∴x=+∉（，π），若+∈（，π），则＜+＜π，得ω-＜k＜2ω-，若函数f（x）在区间内没有零点，等价为在（ω-，2ω-）内没有整数，则≥=，即0＜ω≤1，若（ω-，2ω-）内有整数，则当k=0时，由ω-＜0＜2ω-，得，即＜ω＜，若当k=1时，由ω-＜1＜2ω-，得，即＜ω＜，此时＜ω≤1，当k=2时，由ω-＜2＜2ω-，得，即＜ω＜，此时ω超出范围，即若（ω-，2ω-）内有整数，则＜ω＜或＜ω≤1，则若（ω-，2ω-）内没有整数，则0＜ω≤或≤ω≤，即ω的取值范围为（0，]∪[，]，故答案为：（0，]∪[，]利用倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合f（x）在区间内没有零点，建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查函数零点的应用，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数零点问题件转化是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）由于，则有3tan2α+8tanα-3=0，解得或tanα=-3，∵，∴tanα=-3；（2）=-cos2α=-（cos2α-sin2α）====．【解析】（1）运用同角的倒数关系，解方程，即可得到；（2）运用诱导公式和二倍角的余弦公式及同角的平方关系和商数关系，计算即可得到．本题考查同角的平方关系和商数关系、倒数关系及诱导公式、二倍角的余弦公式，考查运算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）由2b cos A=c cos A+a cos C代入正弦定理得：2sin B cos A=sin C cos A+sin A cos C即2sin B cos A=sin（C+A）=sin B≠0∴cos A=又0＜A＜π∴A=（2）选①③由余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A∴b2+3b2-3b2=4∴b=2，c=2∴S=选①②由正弦定理得：又sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B=∴S=选②③这样的三角形不存在．【解析】（1）化简，利用正弦定理，推出关系式，然后求出A 的值．（2）选①③通过余弦定理，求出b，c，求出三角形的面积；选①②通过正弦定理求出的值，推出sin C的值，然后求出面积；选②③这样的三角形不存在．本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力，逻辑推理能力．19.【答案】解：（1）∵BC是半圆的直径，A在半圆上，∴AB⊥AC，又BC=1，∴AB=cosθ，AC=sinθ，所以：S1=•AB•AC=sinθcosθ；设正方形的边长为x，则：BP=，AP=x cosθ，由BP+AP=AB，得：+x cosθ=cosθ，解得：x=，所以：S2=x2=（）2．（2）===+sin2θ+1，令t=sin2θ，因为0＜θ＜，所以：0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]，所以：=++1，令g（t）=++1（0＜t≤1），则g′（t）=-+=＜0，所以函数g（t）在（0，1]上递减，因此：当t=1时，g（t）取得最小值g（1）=1++1=，此时：sin2θ=1，解得θ=．所以：当θ=时，的值最小，最小值为．【解析】（1）据题三角形ABC为直角三角形，利用三角函数分别求出AC和AB，得出三角形ABC的面积S1，设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC ，由BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S2，（2）化简比值，设t=sin2θ来化简求出S1与S2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值以及对应此时的θ．本题考查了根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力，是综合题．20.【答案】解：（1）与加后是一个“A类波”，即：f1（x）+f2（x）=sin（x+）+sin（x+）=sin x cos+cos x sin+sin x cos+cos x sin=sin x+cos x=sin（x+）；由定义解析式f（x）=A sin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A的波称为“A类波”，所以：A=；（2）设f1（x）=A sin（x+φ1），f2（x）=A sin（x+φ2），f3（x）=A sin（x+φ3），由f1（x）+f2（x）+f3（x）=0恒成立，同（1）化简方法利用两角和差公式及辅助角公式，可解得：（cosφ1+cosφ2+cosφ3）sin x+（sinφ1+sinφ2+sinφ3）cos x=0，易得：cosφ1+cosφ2+cosφ3=0；①sinφ1+sinφ2+sinφ3=0；②由两式变型平方可得：cosφ1+cosφ2=-cosφ3；sinφ1+sinφ2=-sinφ3；两式左右完全平方相加可得：2+2cos（φ1-φ2）=1；cos（φ1-φ2）=-；同理可得：cos（φ2-φ3）=-；cos（φ3-φ1）=-；∴cos（φ1-φ2）cos（φ2-φ3）cos（φ3-φ1）=-．【解析】（1）根据定义可求得f1（x）+f2（x）=（cosφ1+cosφ2）sin x+（sinφ1+sinφ2）cos x ，由辅助角公式可求得A的值．（2）设f1（x）=A sin（x+φ1），f2（x）=A sin（x+φ2），f3（x）=A sin（x+φ3），由f1（x）+f2（x）+f3（x）=0恒成立，可解得：cosφ1+cosφ2+cosφ3=0；sinφ1+sinφ2+sinφ3=0；由两式变型平方可得结论．本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，辅助角公式，考查了归纳推理的常用方法，综合性较强，考查了转化思想，属于中档题21.【答案】解：（1）由表格根据五点法作图的规律，可得+=x1-=x2-x1=-x2，解得x1=，x2=，A=，y2=-，f（x）=sin（x+）．（2）将函数f（x））=sin（x+）的图象向右平移个单位，可得y=sin（x-+）=-sin x的图象；再所得图象上各店的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）=sin x的图象．函数=[sin x-]，由sin x-＞0，可得sin x＞，,要求函数的单调递增区间，即求y=sin x的减区间，而y=sin x的减区间为[，），故的单调递增区间为[，）．（3）=3sin2x+a sin x-1，令F（x）=0，则a sin x=1-3sin2x，显然当sin x=0时，F（x）不存在零点，因此只需考虑sin x≠0时，F（x）的零点情况，令t=sin x（sin x≠0且0＜x≤2π），则t∈[-1，0）∪（0，1]，a=，则函数y=在[-1，0）和（0，1]上单调递减，且t=1时y=2，当t=-1时，y=-2∴当y∈（-2，2）时，y=t与y=有两个交点，此时方程a sin x=1-3sin2x存在4个实根，当y∈（-∞，-2）∪（2，+∞）时，y=t与y=有一个交点，此时方程a sin x=1-3sin2x存在2个实根，当y=2或y=-2时，y=t与y=有两个交点，此时方程a sin x=1-3sin2x存在3个实根．∵在x∈（0，2019π）上恰有奇数个零点，∴当x∈（2018π，2019π）时，F（x）只可能存在2个零点，因此只有a=2时符合条件，∴x∈（0，2019π）时F（x）的零点为：个．【解析】（1）根据表中的数据直接求解个值即可；（2）由条件得到g（x）的图象，然后在由求出单调区间；（3）令F（x）=0，则a sin x=1-3sin2x，显然当sin x=0时，F（x）不存在零点，因此只需考虑sin x≠0时，F（x）的零点情况，根据F（x）在（0，2π]上的零点情况，得到a 的值，然后在根据a的值求出零点的个数．本题考查了函数的图象与性质，考查了数形结合思想和转化思想，属中档题．。

上海市高一第二学期期中考试试卷数学一、填空题（共10题，每题5分，满分50分）1、已知)cos ,(tan ααP 在第三象限，则角α的终边在第_____象限2、若扇形的弧长为cm 4，面积为24cm ，则该扇形的圆心角的弧度数是_____3、已知534sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-x π，则x 2sin 的值为______4、若要将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx y 的图像向右平移)0(>m m 个单位，从而得到函数x y 2sin =的图像，则m 的最小值为_____ 5、已知α是第三象限的角，若2tan =α，则)cos(2sin απαπ--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=______ 6、若函数x a x x f 2cos 2sin 3)(+=的图像关于直线8π-=x 对称，则实数a =_____7、已知等腰三角形的顶角大小为⎪⎭⎫ ⎝⎛-257arccos ，则该三角形底角的正弦值为_____ 8、已知函数)0,0,0(),sin()(πϕωϕω≤≤>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则)(x f y =的解析式是)(x f =_________9、给出函数|cos 2|cos )(x x x f +=，有以下四个结论：①该函数的值域为]3,0[；②当且仅当)(Z k k x ∈=π时，该函数取得最大值；③该函数的单调递增区间为)(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ；④当且仅当31<<m 时，方程m x f =)(在π20<<x 上有两个不同的根，且这两个根的和为π2。

其中正确结论的序号为_________10、在角α的终边上任取一点),(y x P ，记)0(22≠+=xy y x r ，在已知的6个三角比之外定义新的三角比“y x r sct +=α”，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,5sct ，则)(α-sct =_______ 二、解答题（共5题，满分50分）11、（本题满分8分，其中第（）1小题4分，第（2）小题4分）解下列三角方程（1）αα2cos 31sin 5=+（2）215sin 2sin 5cos 2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+πααπαα12、（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分） 已知7174tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ （1）求αtan 以及ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值 （2）若20,20πβπα<<<<，且6516)cos(-=+βα，求β的值（用反三角函数表示）13、（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题满分5分） 已知函数x x x x f ωωω2cos 2cos sin 32)(-=（其中ω为常数，且0>ω）的最小正周期为2π （1）求ω的值，并求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 上的单调递增区间 （2）在ABC ∆中，内角C B A 、、所对边的长分别是c b a 、、，若2,4,12===⎪⎭⎫⎝⎛c C A f π，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值14、（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分） 近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西︒20方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西︒40方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得D B ,间的距离为21海里（1）求BDC ∠sin 的值（2）试问海警船再向前航行多少时间方可到岛A ？15、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图，在直角坐标系xOy 中，点P 是单位圆上的动点，过点P 作x 轴的垂线与射线)0(3≥=x x y 交于点Q （Q 在P 的上方），将始边与x 轴的正半轴重合，且终边在射线OP 上的角记为⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈3,2,ππαα （1）用α表示Q P 、的坐标（2）当α为何值时，OPQ ∆面积有最大值？并求出OPQ ∆面积的最大值。

第16页，共21页上海2020-2021学年松江二中高三上学期期中仿真密卷数学学科参考答案一、填空题（1-6，每个4分，7-12每个5分，合计54分） 1. (1,3) 2. 1 3. 2 4. 125. 1-6. 17.6π8. 339. 4 10. 12- 11. 47- 12. ()r rM Mr M aa a a ==log log二、选择题（每个5分，合计20分） 13、A 14、C 15．A 16. B三、解答题17． 解：（1）由题意，得OA ＝2，PO ＝6， ∴22210PA PO OA =-= ………………………2分∴圆锥的侧面积为2210410S rl πππ==⨯⨯=；……………………4分 体积为221126833V r h πππ==⨯⨯= ；………………6分 （2）取PO 的中点E ，连接DE ，CE ，则∠CDE 或其补角即为所求，如图所示；……………… 8分 因AO ⊥EO ，AO ⊥CO ，EOCO=O 知，AO ⊥平面ECO 又//DE AO ，∴DE ⊥平面ECO ，∴DE ⊥EC ，∴DEC ∆是RT ∆ ……………… 10分由112DE OA ==， ……………… 11分 22232313CE OC OE =+=+= ……………… 13分∴arctan 13CDE ∠=，即异面直线AB 与CD 所成的角为arctan 13．…………14分18.（1）当4a =-时，由22541x x -<-得24250x x -+⨯-<，…………………2分令2x t =，则2540t t -+<，即14t <<，…………………4分 即02x <<，则所求的不等式的解为(0,2).……………………6分（2）任取122x x ≤<，因为函数()22xxf x a -=-在区间[)2+∞，上单调递增，所以12()()0f x f x -<在[)2+∞，上恒成立， ………………2分则1122222+20xx x x a a ----<恒成立，即1212122222+02x x x x x x a +--<，()1212221+02x x x x a +⎛⎫-< ⎪⎝⎭，…………………4分 又12x x <，则1222x x<，即122x x a +>-对122x x ≤<恒成立，…………………………6分又12216x x +>，即16a ≥-，则所求的实数a 的取值范围为[16,)-+∞.………………………………8分19.(1)因为C D 、两点关于直线l 对称，所以点C 的坐标是()24,12，又点B 恰在平衡位置，C 为最低点，得第16页，共21页2124844824T T ππω=⇒=⇒==，将()12,20B 带入得sin 120242ππϕϕ⎛⎫⨯+=⇒= ⎪⎝⎭，再结合C 为最低点得8a =，所以ABC 段的函数解析式为[]8sin 20 0,24242x y x ππ⎛⎫=++∈⎪⎝⎭ (2)由对称性可知DEF 的解析式为：()()[]8sin 68208cos 6820 44,6824224y x x x πππ⎡⎤⎡⎤=-++=-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，若股价至少是买入价的两倍，则()8cos 68202424x π⎡⎤-+≥⎢⎥⎣⎦解得[] 60,68x ∈，所以买入16天后股价至少是买入价的两倍。

2024~2025学年市二中学高一（上）期中考试数学试卷一、填空题（第1-6题每題4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．若，，则______．2．不等式的解集是______．3．已知，则______．4．不等式“”是“”______的条件．5．已知集合，集合，若集合M 满足，则这样的集合M 共有______个．6．已知，那么等于______．7．已知，，则用m ，n 表示______．8．若关于x 的不等式恰有两个整数解，则a 的取值范围是______．9．命题“任意，为真命题，则实数a 的取值范围是______．10．碳14是透过宇宙射线撞击空气中的氨14原子所产生．碳14原子经过衰变转变为氨原子．由于其半衰期达5730年，经常用于考古年代鉴定，半衰期（Half-life ）是指放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间，对北京人遗址中某块化石鉴定时，碳14含量约为原来的1%，则这块化石距今约为______万年．（四舍五入到0.1万年）11．已知，，，，，若且，，中各元素的和为256，则集合______．12．已知实数a ，b 满足，且，则的最小值为______．二、单选题（本大题共4题，满分20分）13．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．14．关于x 的不等式的解集是，那么（）A ．1B ．C ．12D ．{}|31A x x =-≥{}|15B x x =<<A B = 304x x -≤+12510a b ==11a b +=23x x ≤|2|1x -<{}2,3,5,8A ={}2,3,5,8,13,21B =A M B ⊂⊆()223350x x x -+=>1133x x -+9log 5m =3log 7n =35log 9=()22120x a x a -++<x ∈R ()()222240a x a x -+--<β14235{,,,,}A a a a a a =4222221235{,,,},B a a a a a =51234a a a a a <<<<i a ∈Z 1,2,3,4,5i ={}14,B a a A = 1410a a +=22a >A B A =11a b -<<<2a b +=1311a ab ++-4|,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N {}|14Q x x =-≤≤P Q = {}1,2,4{}0,1,3{}|03x x ≤≤{}|14x x -≤≤2x ax b ≤-{}4log a b =344315．若，，则下列不等式中一定成立的是（）A ．B ．C ．D ．16．定义集合运算；将称为集合A 与集合B 的对称差，命题甲：：命题乙：则下列说法正确的是（ ）A ．甲乙都是真命题B ．只有甲是真命题C ．只有乙是真命题D ，甲乙都不是真命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．已知集合，，若，，则实数a 、b 、c 的值为．18．设关于x 的方程的两个实根分别是，．（1）求实数p 的取值范围；（2）求的取值范围．19．近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒x 年（x 为正整数）所用的各种费用总计为万元（1）该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？（2）该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：（1）老师请你模仿例题，研究，上的最小值；（提示：，当且仅当时，等号成立）；（2）研究，上的最小值；（3）当时，求，的最小值．21．已知有限集，如果A 中的元素满足，就称A 为“完美集”．x a m -<y a n -<2x y m -<2x y n -<x y n m-<-x y n m -<+{}|A B x x A x B -=∈∉且()()A B A B B A ∆=-- ()()()A B C A B A C ∆=∆ △()()()A B C A B A C ∆=∆ {}2|0A x x ax b =++={}2|150B x x cx =++={}3,5A B = {}3A B = 22lg lg 30x x p -+=αβlog log βαβα+2210x x +44x x -()0,x ∈+∞a b c d +++≥a b c d ===3139x x -()0,x ∈+∞0a >3x ax -()0,x ∈+∞{}()12,,2,,n A a a a n n ⋅⋅⋅=≥∈N ()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯（1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由：（2）、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于2；（3）若为正整数，求：“完美集”A ．2024~2025学年市二中学高一（上）期中考试数学试卷一、填空题1．【答案】【解析】由题意知，，所以．2．【答案】【解析】，解得或，所以不等式的解集为．3．【答案】【解析】若，可得，，．4．【答案】必要不充分【解析】，，由于是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件．5．【答案】3【解析】因为集合，所以集合M 中包含2，3，5，8且至少包含13，21中的一个元素，所以或或，所以满足条件的M 个数为3．6．【解析】由，因，故，即得，．7．【答案】【解析】由，，可得，，又由{11---+1a 2a {}12,a a 1a 2a i a ()1,4(),4A =-∞()1,4A B = ()[),43,-∞-+∞ ()()34030440x x x x x -+≤⎧-⎪≤⇔⎨++≠⎪⎩4x <-3x ≥()[),43,-∞-+∞ 1-12510b a ==2log 10a =-5log 10b =-()521111lg 5lg 2lg101log 10log 10a b ⎛⎫+=-+=-+=-=- ⎪⎝⎭{}{}23|0|3x x x x x ≤=≤≤{}{}3|21|1x x x x -<=<<{}|13x x <<{}3|0x x ≤≤23x x ≤21x -<A M B ⊂⊆{}2,3,5,8,13M ={}2,3,5,8,21{}2,3,5,8,13,212112233332527x x x x --⎛⎪+=++⎫⎝⎭+ ==0x >11330x x -+>1133x x -+=22m n+9log 5m =3log 7n =31log 52m =3log 7n =8．【答案】【解析】令，解得或．当，即时，不等式，解得，则不等式中的两个整数解为2和3，有，解得；当，即时，不等式无解，所以不符合题意；当，即时，不等式解得，则不等式中的两个整数解为0和，有，解得．综上，a 的取值范围是9．【答案】【解析】因为“任意，”为真命题，所以不等式在上恒成立，当时，，显然成立，当时，有，解得，综上所述，实数a 的取值范围是．10．【答案】3.8【解析】设第n 个半衰期结束时，碳14含为，由题意可得，第一个半衰期结束时，碳14含量为，第二个半衰期结束时，碳14含量为；以此类推，为以首项，公比为的等比数列，所以第n 个半衰期结束时，碳14含量为，335333log 922log 9log 35log 5log 72m n===++3|21212a a a ⎭<≤⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩或()22120x a x a -++=1x =2x a =21a >12a >()22120x a x a -++<12x a <<324a <≤322a <≤21a =12a =()22120x a x a -++<12a =21a <12a <()22120x a x a -++<21a x <<1-221a -≤<-112a -≤<-3|21212a a a ⎭<≤⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩或(]2,2-x ∈R ()()222240a x a x -+--<()()222240a x a x -+--<R 2a =40-<2a ≠()()220421620a a a -<⎧⎪⎨∆=-+-<⎪⎩22a -<<(]2,2-n a 112a =214a ={}n a 112a =12q =12n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭令，解得所以这块化石距今约为年，即约为3.8万年：11．【答案】【解析】由，且，得到只可能，即或0，当时，，而，故舍去，则，又，∴，且，∴或，①若时，，不合题意；②若时，此时，，因，从而，又，则，当时，无整数解，当时，，所以，综上，12．【解析】因为，所以，，因为，所以，由，所以所以，11%2n n a ⎛⎫== ⎪⎝⎭2212lg102log 10 6.6410.301lg 2n ---===≈-5730 6.6438047.2⨯={}1,3,5,9,11{}14,A B a a = 12345a a aa a <<<<211a a =1a =11a =0410a ={}14,A B a a = =Z 1a =11410a a +=49a =()24923i a a i ==≤≤23a =33a =33a =22a =23a ={}531,3,,9,A a a ={}22531,9,,81,B a a =22353513981256a a a a +++++++=2255331620a a a a +++-=234a a a <<339a <<3a =4,6,7,85a 35a =511a ={}1,3,5,9,11A ={}1,3,5,9,11A =1-11a b -<<<10a +>10b ->2a b +=()()112a b ++-=2a b +=()32131133111111b a a b a b a b -+=+=+-+-+-+-()()13113311311211a b a b a b ⎡⎤⎢-+-=+++--⎡⎤⎣⎦+-+⎥⎣⎦()31111133432312112a b a b ⎛+- =+++-≥⎝⎛⎫ ⎪⎝+-=+-=- +⎭-当且仅当，即，二、单选题13．【答案】B 【解析】若，则是4的正因数，而4的正因数有1，2，4，所以，因为，所以，故选：B ．14．【答案】D【解析】即，因为解集为，则根据韦达定理知，即，则故选：D ．15．【答案】D 【解析】运用绝对值三角不等式，由于，，运用不等式性质得到故，故选：D ．16．【答案】B【解析】对于甲，，故命题甲正确；对于乙，如图所示：所以，，故命题乙不正确三、解答题17．【答案】，，()31111a b a b +-=+-2a =-+4b =-41y x =+y ∈N 1x +{}4|,0,1,31P x y y x ⎧⎫=∈=∈=⎨⎬+⎩⎭N N {}|14Q x x =-≤≤{}0,1,3P Q = 2x ax b ≤-20x ax b -+≤{}42424a b =⨯⎧⎨=⎩816a b =⎧⎨=⎩32844log log 16log 23a b ===x y x a a y x a a y -=--≤-++-x a m -<y a n -<x a a y m n-+-<+x y m n -<+()()()()A B C A B B C B C A B C A B C ∆=-=- ()()()()()()A B A C A B A C A B A C =-=∆ ()()()A B C A B A C ∆≠∆ ()A B C ∆ ()()A B A C ∆ 6a =-9b =8c =-【解析】因为，所以，所以，得，所以，所以，即有且只有一个实根，所以，，解得，，综上可得，，，．18．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，即，设，则关于t 的方程：的两根为和，所以，解得．（2）由韦达定理，得，所以因为且，所以或，所以或，所以的取值范围为19．【答案】（1）第3年：（2）第7年平均利润最大，为12万元【解析】（1）设利润为y ，则，由整理得，，解得，由于，所以，所以第3年首次盈利．（2）首先，由（1）得平均利润万元，{}3AB = 3B ∈93150c ++=8c =-{}{}28150|3,5B x x x =-+=={}3A =20x ax b ++=3x =33a +=-33b ⨯=6a =-9b =6a =-9b =8c =-1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦()[),22,-∞-+∞ 22lg lg 30x x p -+=2lg 2lg 30x x p -+=lg t x =2230t t p -+=lg αlg β()22120p ∆=-≥-13p ≤lg lg 2lg lg 3pαβαβ+=⎧⎨=⎩22lg lg lg lg log log lg lg lg lg αββαβαβααβαβ++=+=2(lg lg )2lg lg 4642lg lg 33p p pβααβαβ+--===-31p ≤30p ≠443p ≥403p<4223p -≥4223p-<-log log αββα+()[),22,-∞-+∞ ()()22*509821024098y x x x x x x =-++=-+-∈N 2240980x x -+->220490x x -+<1010x -<<x *∈N {}|317x x x *∈∈≤≤N {}|317x x x *∈∈≤≤N 4924024012y x x x ⎛⎫=-++≤-⨯+= ⎪⎝⎭当且仅当，万元时等号成立，综上，第7年，平均利润最大，为12万元20．【答案】（1）：（2）；（3）【解析】（1）因为，利用，于是，，当且仅当时，取得最小值．（2）因为，利用，得到，于是，，当且仅当时，取得最小值．（3）因为利用，得到，于是，，当且仅当时，取得最小值21．【解析】（1）由，，则集合是“完美集”．（2）若、是两个不同的正数，且是“完美集”，设，根据根和系数的关系知，和相当于的两根，由，解得或（舍去），所以，又，均为正数所以、至少有一个大于2．（3）不妨设A中，49x x=7x =3-6-0x >a b c d +++≥41114x x ++≥+444111434433x x x x x x -=+++--≥--=-1x =3-0x >a b c ++≥313339x x ++≥331133363363699x x x x x x -=++--≥--=-3x =6-0x >a b c ++≥3x ax +≥33x ax x ax -=-≥x =((112-+-+=-(112--=-{11--+1a 2a {}12,a a 12120a a a a t +=⋅=>1a 2a 20x tx t -+=240t t ∆=->4t >0t <124a a ⋅>1a 2a 1a 2a 312n a a a a <<<⋅⋅⋅<由，得，当时，即有，又为正整数，所以，于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”；当时，，故只能，，求得，于是“完美集”A 只有一个，为．当时，由，即有，而，又，因此，故矛盾，所以当时不存在完美集A ，综上知，“完美集”A 为1212n n n a a a a a n a a ⋅⋅⋅=++⋅⋅<⋅+121n n a a a -⋅⋅<⋅2n =12a <i a 11a =2211a a +=⨯2a 3n =123a a <11a =2a =23a =3{}1,2,34n ≥()1211231n a a a n n -⋅⋅⋅≥⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-()1231n n n ≥⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-()()()221242220n n n n n n ---=-+-=--+<()()()121231n n n n --≤⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-()1231n n n <⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-4n ≥{}1,2,3。

松江二中2020学年度第一学期期中考试试卷高一数学一､填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分),考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1､已知集合2{1,3,},A x =B={1,2-x}, 若B ⊂A,则实数x 的值是____.2､若122log (log )0x =,则x=____.3､幂函数y= f(x)的图像经过点(4,2),则1()4f 的值为____.4､已知指数函数(2)x y a =-是严格增函数,则实数a 的取值范围是____.5､若x, y ∈R,则"x> y”是“22x y >”的____条件. (从“充要､充分不必要､必要不充分､既不充分也不必要”四种关系中选择)6､已知不等式2log (5)1,x -≤则x 的解集是____.7､设3436,x y ==则21x y+的值为____. 8､若a>b, ab=1,则22a b M a b+=-的取值范围是____. 9､已知函数,(,bx y a x a=-b ∈R )的图像关于点(1,1)对称, 则a+b=____. 10､设集合1{|0},{|(),0},12x x M x N y y x x =≥==≥-则M∩N =____. 11､ 已知关于x 的不等式组22021x x a a x a ⎧-+-<⎨+>⎩的整数解恰好有两个,则实数a 的取值范围是____.12､对于集合M,定义函数1,()1,M x M f x x M-∉⎧=⎨∈⎩.对于两个集合M,N,定义集合 {|()()1}M N M N x f x f x =⋅=-.已知A={2,4,6,8,10}, B= {1,2,4,8,16}, 用M|表示有限集合M 中的元素个数,则对于任意集合M,|M △A| +|M △B|的最小值为____.二､选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.13､ 如果a>b,下列不等式成立的是( )11.A a b < 33.B a b > 22.11C a b +>+ D.|a|>|b|14､下列函数中图像关于原点对称,并且在(0, +∞)上严格递减的是( )23.A y x -=32.B y x = 13.C y x = 13.D y x -= 15､关于x 的方程2||10x a x ++=有4个不同的解,则实数a 的取值范围是( )A. (-∞,-2)∪(2,+∞)B.(-∞,-2]C. (-∞,-2)D. (2, +∞)16､若函数|1|1()2x y m -=+的图像与x 轴有公共点,则m 的取值范围是( )A. m≤-1B.-1≤m< 0C. m≥1D.0<m≤1 三､解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17､(本题满分14分)已知集合222{|190},{|560},2,4}{A x x mx m B x x x C =-+-==-+==-,若,A B A C ⋂≠∅⋂=∅, 求实数m 的值.18. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)已知幂函数21()(1)m f x m m x-=--的定义域为R.(1)求实数m 的值;(2)若不等式2[()]()0f x af x b -+≤的解集是[0,6],求b a 的值.19､(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为:2700(0)2900v y v v v =>++. (1)在该时段内,当汽车的平均速度为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(保留分数形式)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?20､(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分4分,第3小题满分8分)(1)解不等式:1|1||2|2x x --->; (2)设集合P 表示不等式|x-1|+|x- 2a|>1对任意x ∈R 恒成立的a 的集合,求集合P;(3)设关于x 的不等式22||200ax x a +--<的解集为A,试探究是否存在a ∈N,使得不等式.220x x +-<与|2x-1|<x+ 2的解都属于A,若不存在,说明理由.若存在,请求出满足条件的a 的所有值.21､(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)对于四个正数x, y, z, w,如果xw<yz,那么称(x,y)是(z,w)的"下位序对",(1)对于2, 3, 7, 11, 试求(2,7)的“下位序对";(2)设a, b, c,d 均为正数,且(a,b) 是(c, d)的“下位序对",试判断:,,c a a c d b b d++之间的大小关系;(3)设正整数n 满足条件:对集合{|02017}m m <<内的每个m ∈N,总存在正整数k,使得(m, 2017)是(k,n)的“下位序对”,且(k,n)是(m+1,2018)的" 下位序对”,求:正整数n 的最小值.。