《方程的根与函数的零点》说课稿

1 《方程的根与函数的零点》说课稿

一、教材分析

《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节的第一课时，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在性定理，是一节概念课．

本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础．因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要．

二、教学目标

（1）通过观察二次函数的图像，准确判断一元二次方程根的存在性及根的个数，描述函数的零点与方程的根的关系．

（2）理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．

（3）在函数与方程的联系中体验数形结合思想，体会函数知识的核心作用。

3、重点、难点

重点：理解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．

难点：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点．

三、学情分析

高一学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质、图象已经有了一个比较系统的认识与理解．特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一 2 个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位．

四、教法与学法

在教法上，本次课采用以导学案教学，体现以学生为主体的教学方法。在教学手段上，我一是采取多媒体课件、几何画板相结合，它既便于学生直观，节约时间，又能利用情境营造课堂氛围，引发学生的兴趣。

在学法上，设置一个个问题链，并以此为主线，由浅入深、的循序渐进，以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识形成和发展，注重学生的学习体验，给不同层次的学生提供思考、创造、表现的舞台．

五、教学过程

（一）以旧带新，引入课题

1、判断下列方程根的个数，并求解

（1）2230xx （2）2210xx （3）2230xx

2、分别作出（1）中方程相对应的函数图象，并完成下列表格：

方程 0322xx 0122xx 0322xx

函数 322xxy 122xxy 322xxy 3 函数图象

方程的实数根

函数的图像与x轴的交点

思考：一元二次方程的根与对应的二次函数的图象与x轴的交点有什么关系？

3、将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程)0(02acbxax及其相应的二次函数)0(2acbxaxy的图象与x轴的交点关系，上述结论是否成立？：

判别式△ =

acb42 △＞0

△=0

△＜0

方程

)0(02acbxax的根

函数

)0(2acbxaxy

图象

设计意图：学生比较熟悉一元二次方程这个内容，可以自主完成表格。老师具体分析一个，从2、3的表格中可以引导学生观察出一元二次方程的根也就是其对应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标，也能得出对应关系：一元二次方程有实根所对应的二次函数与x轴有交点； 4 将一元二次方程的根与所对应的二次函数的图象与x轴的交点关系，推广到一般的方程与对应的函数的图象与x轴的关系：方程0fx的根，也就是其所对应的函数yfx的图象与x轴交点的横坐标．方程0fx有实根函数yfx的图象与x轴有交点。

函数的零点：对于函数yfx，我们把使0fx的实数x叫做函数yfx的零点．

设计意图：由具体的一元二次方程的例子出发推广到相对应的一元二次函数，再延伸到一般方程及一般函数，得出函数yfx的零点就是方程0fx的根，也就是函数yfx的图象与x轴交点的横坐标．所以函数的零点不是点，是一个实数，并有等价关系：

方程0fx有实数根（代数法）函数yfx的图象与x轴有交点（几何法）函数yfx有零点．

巩固练习：

求下列函数的零点.

12)()1(xxf )1lg()()2(xxf 21)()3(xxf

设计意图：通过此环节，让学生加深对零点定义的理解，以之前学的三个基本初等函数的为例，不但可以加深对前面知识的理解，又可以突出本课的重点，实现理解函数零点定义的教学目标．

二、动手探究，揭示定理

1、观察二次函数32)(2xxxf图象 5 零点；上在区间或零点；上在区间或____]4,2[)(),(0_____)4()2()2(___]1,2[)()(0____)1()2(____,)1(_____,)2()1(xfffxfffff

2、观察下面函数y=f(x)的图象

零点无有上在区间（或）（零点，无有）上在区间（或）（零点，无有上在区间或)|___(),)(),(0__)()(3)|___(,)(),(0__)()(2)|___(,)(),(0__)()()1(dcxfdfcfcbxfcfbfbaxfbfaf

由以上的探索你发现了什么?

设计意图：通过1、2的探究让学生动手实验和讨论，教师对探究结果进行展示和点评，引导学生归纳总结函数存在零点的条件，

零点存在定理：如果函数yfx在区间,ab上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0fafb，那么，函数yfx在区间,ab内有零点，即存在,cab，使得0fc，这个c也就是方程0fx的根．

思考：（1）如果函数具备上述的条件时，函数有多少个零点？零点个数是惟一吗？

（2）如果把结论中的条件“图象连续不断”除去不要，结论还成立吗？去掉“f(a)f(b)<0”呢？

（3）函数y=f(x)在（a,b）上有零点，能得出f(a).f(b)<0吗？

设计意图：通过列举几个函数的图象加深学生对零点定理和思考问题（1）（2）（3）的理解，同时也是其定理充分性及必要性的合情推理的展示。

3、反馈练习： 6

A(-1,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3)

（2）已知函数fx的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

x 1 2 3 4 5 6

fx 136．136 15．552 -3．92 10．88 -52．488 -232．064

函数在那几个区间内有零点？函数在(1,6)上有多少个零点？

设计意图：两个反馈练习，使学生初步运用定理来解决“找出函数零点所在区间”这一类问题，加深对函数在某一区间上存在零点的判定定理的理解，再次突出了本节课“函数零点存在性的判断”的重点．

三、例题讲解：

例1 已知函数ln26fxxx，试确定零点所在的区间？函数有几个零点？

设计意图：本题是将课本的例1进行改编而来，降低了难度。教学过程中，我将利用几何画板作出函数ln26fxxx的图象，让学生通过数形结合，确定函数零点所在区间，学生得出的不同答案，可以使学生意识到零点的区间是不唯一的，也为下一节二分法求方程的近似解奠定基础．

设想：学生可能说自己画出图像几乎不可能，那么用代数法如何求？我会引导学生用拆分的方法，达到化未知为已知，让学生对拆分有初步的体验以及渴求，为后续习题课做铺垫。

巩固练习： 在那个区间有零点函数xexfx4)()1( 7 的值。）（的值。求：，和的两个零点是、若函数2225log2,)1(32)(1bbabaxxxfa

设计意图：立足教材，给学生提供一个完整的运用知识的平台，帮助学生进一步落实基本知识，提高基本能力．

四、反思小结，培养能力

1．你通过本节课的学习，有什么收获？

（1）一个关系：函数零点与方程根的关系；

（2）两种思想：函数与方程思想，数形结合思想；

（3）三种题型：求函数零点、求零点所在区间、判断零点个数．

2．对于本节课学习的内容你还有什么疑问？

设计意图：在学生谈收获，谈体验的过程中，教师将本节课的内容概括一个关系，两种思想，三种题型．进一步优化学生的认知结构，更进一步培养学生的归纳概括能力．

五、布置作业，巩固提高

必做题：课本P88，练习1，p92,A组2

选做题：（思路提示：拆分法）零点所在区间及个数。指出函数53)(3xxxf