§3.3函数的单调性(单调增函数)

函数单调性的性质：

（1）增函数：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值

， 当时，都有，0)()(2121xxxfxf

（2）减函数：如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值，当时， 都有， 0)()(2121xxxfxf

（3） 函数的单调性还有以下性质．

1．函数y＝－f（x）与函数y＝f（x）的单调性相反．

2．当f（x）恒为正或恒为负时，函数y＝)(1xf与y＝f（x）的单调性相反．

3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等．

4 .如果k>0 函数kfx与函数fx具有相同的单调性。

如果k<0 函数kfx与函数fx具有相反的单调性。

5..若fx0，则函数1fx与fx具有相反的单调性,.

6.

若fx>O，函数fx与函数fx具有相同的单调性。

若 fx<0，函数fx与函数fx具有相反的单调性

7。.函数fx在R上具有单调性，则fx在R上具有相反的单调性。

复合函数的单调性。

如果函数 xgu Ax Bu ufy BC Dy，则xgfy称为x 的复合函数。

解决复合函数的问题，关键是弄清复合的过程，即中间变量u的定义域与值域的作用。

复合函数的单调性的判断：同增异减。

函数 单调状况

内层函数ugx 增 增 减 减

外层函数yfu 增 减 增 减

复合函数增 减 减 增

题型一：求函数的单调区间及该区间上的单调性

1.求下列函数的增区间与减区间

(1) y＝|x2＋2x－3| 1122xxxy 32y2xx

2.判断函数f(x)=－x3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x∈（0，＋∞），函数f(x)是增函数还是减函数？

函数的单调性

知识点一：函数单调性的定义、判定及证明

1. 单调性的定义：当x  (－∞,0)，x逐渐增加时，函数值y逐渐减小；而当x  (0，+∞)，

x逐渐增加时，函数值y逐渐增加，函数的这两种性质都叫做函数的单调性

【注意】 函数的单调性是针对函数定义域的某个区间而言的.有些函数在它的整个定义域上不存在单调性，而在定义域的某个区间存在单调性. 如

y=x2 ,定义域为R，在R上没有单调性.

而在M={x|x>0}上，函数 y=x2递增。

2. 增减函数的定义：对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1 、 x2,当x1< x2 时都有f(x1)< f(x2) ( 或f(x1)>f(x2) ) ，那么称f(x)在这个区间上是增（减）函数.

3. 利用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性的一般步骤

第一步：取值.即设x1 、 x2,是指定区间内的任意两个值，且x1< x2 ；

第二步：作差变形.即作差f(x)-f(x)，并通过因式分解、配方、通分、分子有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；

第三步：定号.确定差的正负，当符号不确定时，要进行分区间讨论；

第四步：判断.由定义得出结论.

4. 判断函数单调性的常见方法

（1） 定义法

（2） 直接法

运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的

单调性均可直接说出.直接判断函数的单调性，可用到以下结论：

① 函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反.

② 函数f(x)恒为正或恒为负时，函数y=1/f(x)与y=f(x)的单调性相反.

③ 在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数等.

(3)图像法

根据函数图像的升、降情况进行判断.

【思维拓展】

1. 一些重要函数的单调性

（1）y=x+1/x的单调性：（-∞,-1﹜↗,( -1，0 )↘ ，（0，1）↘ ，﹛1，+∞﹚↗ .

高三数学函数的单调性、反函数知识精讲

一. 本周教学内容：

函数的单调性、反函数

【基本知识】

一. 函数的单调性

1. 函数的单调性及单调区间

（1）增函数：

对任意，则为上的增函数。，，，，xxabxxfxfxfxab121212[]()()()[]

（2）减函数：

对任意，则为上的减函数。，，，，xxabxxfxfxfxab121212[]()()()[]

单调区间：在某个区间M上的递增函数或递减函数统称在区间M上的单调函数，而这个区间M称为单调区间。

图像特征：单增函数从左至右逐渐上升，单减函数从左至右逐渐下降。

注意：单调性必须以范围为前提，奇偶具有整体性，而单调性具有局部性。

2. 基本函数的单调性

（1）一次函数y=kx+b，当k>0时为定义域上的增函数；当k<0时为定义域上的减函数。

（2）二次函数y=ax2+bx+c，当a>0，在()[)，，单减，在baba22

单增，当时，在上单增，在上单减。，，ababa022()[)

（）反比例函数，当，在单减，在上单减，当，上，3000ykxk()()k<0，在（－∞，0）单增，在（0，＋∞）单增。

（4）指数函数y=ax，当a>1时，在R上单增，当0

（5）对数函数y=logax，当a>1时，在（0，＋∞）单增，当0

（6）幂函数y=xa，当a<0时，在（0，＋∞）上单减，当a>0时，在（0，＋∞）上单减，x∈（－∞，0）上的情形可借助函数的定义域和奇偶性判断。

3. 复合函数的单调性（不要求证明）

规律如下表：

函数 单调性

ugx() 增 减 增 减

yfu() 增 减 减 增

yfgx(()) 增 增 减 减

1 / 2 函数的单调性及单调区间

1．函数的单调性及单调区间

【知识点的认识】

一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，

当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．

若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．

【解题方法点拨】

判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．

设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么

①𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；

𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．

②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；

（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．

函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间． 2 / 2 【命题方向】

函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．