江西省南昌大学附中高二数学上学期期中试卷(含解析)

- 1 - 2015-2016学年江西省南昌大学附中高二（上）期中数学试卷

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．直线x+3y+1=0的倾斜角是( )

A． B． C． D．

2．二圆C1：x2+y2=1和C2：x2+y2﹣4x﹣5=0的位置关系是( )

A．相交 B．外切 C．内切 D．外离

3．命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是( )

A．若a2+b2≠0，则a≠0且b≠0 B．若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0

C．若a=0且b=0，则a2+b2≠0 D．若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0

4．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( )

A． B． C．y=±2x D．

5．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为( )

A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4

6．“1＜m＜2”是“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

- 2 - 7．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于( )

A．2 B．2 C．4 D．4

8．已知圆x2﹣2x+y2﹣2my+2m﹣1=0，当圆的面积最小时，直线y=x+b与圆相切，则b=( )

A．±1 B．1 C． D．

9．已知点A（3，4），F是抛物线y2=8x的焦点，M是抛物线上的动点，当|MA|+|MF|最小时，M点坐标是( )

A．（0，0） B．（3，2） C．（2，4） D．（3，﹣2）

10．下列说法正确的个数为( )

（1）椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为4．

（2）直线L：ax+y﹣a=0在x轴和y轴上的截距互为相反数，则a的值是﹣1

（3）圆x2+y2=9的弦过点P（1，2），当弦长最短时，圆心到弦的距离为2．

（4）等轴双曲线的离心率为1．

A．2 B．3 C．4 D．1

11．若椭圆的离心率，右焦点为F（c，0），方程ax2+2bx+c=0的两个实数根分别是x1和x2，则点P（x1，x2）到原点的距离为( )

A． B． C．2 D．

12．已知点F（﹣c，0）（c＞0）是双曲线的左焦点，离心率为e，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点P，且点P在抛物线y2=4cx上，则e2=( )

A． B． C． D．

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二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．设y2=4px（p＞0）上横坐标为6的点到焦点的距离为10，则抛物线的解析式__________．

14．过直线L：x+y﹣2=0上一动点P作圆O：x2+y2=1两切线，切点分别为A，B，则四边形OAPB面积的最小值为__________．

15．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线与椭圆的一个公共点，则△PF1F2的面积等于__________．

16．下面给出的四个命题中：

①以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1；

②点（1，2）关于直线L：X﹣Y+2=0对称的点的坐标为（0，3）．

③命题“∃x∈R，使得x2+3x+4=0”的否定是“∀x∈R，都有x2+3x+4≠0”；

④命题：过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有2条．

其中是真命题的有__________（将你认为正确的序号都填上）．

三．解答题：本大题共6个小题，17题10分，其它各题每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．已知直线l1：3x+4y﹣2=0与l2：2x+y+2=0的交点为P．

（Ⅰ）求交点P的坐标；

（Ⅱ）求过点P且平行于直线l3：x﹣2y﹣1=0的直线方程；

（Ⅲ）求过点P且垂直于直线l3：x﹣2y﹣1=0直线方程．

18．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2；

（1）求双曲线C的标准方程； - 4 - （2）已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求实数m的值．

19．已知圆C经过点A（2，﹣1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=﹣2x上．

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．

20．已知椭圆与双曲线的焦点相同，且它们的离心率之和等于．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）过椭圆内一点M（1，1）作一条弦AB，使该弦被点M平分，求弦AB所在直线方程．

21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点M（1，），其离心率为，设直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知直线l与圆x2+y2=相切，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．

22．在平面直角坐标系xOy中，直线L与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点．且•=﹣4．

（1）证明直线L必过一定点，并求出该定点．

（2）求线段AB的中点P的轨迹方程．

（3）求三角形AOB面积最小时，直线AB的方程．

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2015-2016学年江西省南昌大学附中高二（上）期中数学试卷

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．直线x+3y+1=0的倾斜角是( )

A． B． C． D．

【考点】直线的倾斜角．

【专题】计算题；直线与圆．

【分析】求出直线的斜率，即可求出直线的倾斜角．

【解答】解：直线x+3y+1=0的斜率是﹣，倾斜角是，

故选：D．

【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．

2．二圆C1：x2+y2=1和C2：x2+y2﹣4x﹣5=0的位置关系是( )

A．相交 B．外切 C．内切 D．外离

【考点】圆与圆的位置关系及其判定．

【专题】直线与圆．

【分析】先求出两圆的圆心 和半径，根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，得出两圆相外切．

【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣5=0 即 （x﹣2）2+y2=9，表示以（2，0）为圆心，以3为半径的圆，

两圆的圆心距为2，正好等于两圆的半径之差，故两圆相内切，

故选C．

【点评】本题考查两圆的位置关系，由两圆的圆心距等于两圆的半径之和与差，得出两圆的位置关系．

3．命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是( ) - 6 - A．若a2+b2≠0，则a≠0且b≠0 B．若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0

C．若a=0且b=0，则a2+b2≠0 D．若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0

【考点】四种命题．

【专题】常规题型．

【分析】若原命题是“若p，则q”，则逆否命题是“若非q，则非p”也就是将命题的条件与结论都否定，再进行互换．由此分别将“a2+b2=0”、“a=0且b=0”否定，得到否命题，再将其改成逆命题，就不难得出正确答案．

【解答】解：∵原命题是若a2+b2=0，则“a=0且b=0”

∴否命题是“若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0”

从而得到逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”

故选D

【点评】本题考查了原命题与逆否命题之间的关系，属于基础题．解题时应该注意含有逻辑词的条件的否定：“p且q”的否定是“非p或非q”．

4．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( )

A． B． C．y=±2x D．

【考点】双曲线的简单性质．

【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为y=±x．再由双曲线离心率为，得到c=a，由定义知b=a，代入即得此双曲线的渐近线方程．

【解答】解：∵双曲线C方程为：，

∴双曲线的渐近线方程为y=±x

又∵双曲线离心率为，

∴c=a，可得b=a

因此，双曲线的渐近线方程为y=±x - 7 - 故选：A．

【点评】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．

5．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为( )

A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4

【考点】抛物线的简单性质．

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】先根据椭圆方程求出其右焦点的坐标，在于抛物线的性质可确定p的值．

【解答】解：椭圆中，

c2=6﹣2=4，即c=2，

故椭圆的右焦点为（2，0），

所以抛物线y2=2px的焦点为（2，0），

则p=4，

故选D．

【点评】本题主要考查椭圆的简单性质和抛物线的标准方程，难度不大，属于基础题．

6．“1＜m＜2”是“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【专题】简易逻辑．

【分析】根据椭圆的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【解答】解：若方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，