管道弯曲问题的弹性力学分析

管材弯曲过程中的弹塑性变形分析鄂大辛,宁汝新,古涛(北京理工大学材料学院,北京100081) 摘要:在管材弯曲变形的基本假设和简单应力状态下的线性强化材料模型的基础上,对管材弯曲进行了变形分析。

分析结果表明:弯管横截面上垂直于弯曲平面方向的对称轴两侧存在很小的弹性区,对弯曲卸载后的回弹产生一定影响;弯曲切向应力主要随相对弯曲半径减小、屈服强度和塑性模量增大而增大;在较小相对弯曲半径范围内,弯曲切向应力有急剧上升的倾向;根据弯曲切向应力小于材料拉伸极限的关系,推导出最小相对弯曲半径的计算公式,理论计算值略小于实际试验值,修正并完善后,可应用于生产。

关键词:固体力学;管材弯曲;弹性变形;塑性变形;切向应力;等效应力 中图分类号:TG386.3文献标志码:A 文章编号:1000-1093(2009)10-1353-04Analysis on the Elastic -plastic Deformation During Tu be -bending ProcessE Da -xin ,NING Ru -xin ,GU Tao(School of M aterials Science and Engineering ,Beijing Institute of T echnology ,Beijing 100081,China )Abstract :The defo rmation during tube -bending process w as analyzed on the basis of the basic hy -po theses and the model of linear strain -streng thening material .The analyzed results show that there is a small elastic area in the both sides of the symmetric axis of tube cross -section perpendicular to the bending plane ,which can influence the spring -back of the bending unloading in some degree ;bending tangential stress increase with the decreases of the relative bending radius ,the increases of yield strength and elastic modulus ;w hen the value of the relative bending radius is in a low level ,the tan -gential stress tends to increase sharply ;according to the value of the bending tangential stress being lower than the one of tension limit ,the formula of the minimum relative bending radius can be de -duced ,in w hich althoug h the theory -calculated value is a little bit lower than that of experiment ,it can be applied to production after modification and im provement .Key words :solid mechanics ;tube -bending ;elastic deform ation ;plastic deformation ;tangential stress ;equivalent stress 收稿日期:2008-01-10基金项目:“十一五”基础预研项目作者简介:鄂大辛(1957-),男,副教授。

材料力学管道分析知识点总结材料力学是工程力学的一个重要分支，研究材料在外力作用下的力学行为。

管道作为一种常见的工程结构，在各个领域都有广泛应用，了解材料力学管道分析的知识点，对于工程设计和施工具有重要意义。

本文将对材料力学管道分析的知识点进行总结，旨在帮助读者更好地理解和应用该领域的知识。

1. 弹性力学基本概念弹性力学是研究材料在小应变作用下的力学行为的分支。

在材料力学管道分析中，弹性力学的基本概念是必须要了解的。

弹性体的本构方程、应力-应变关系、应变能密度以及泊松比等概念是分析管道弹性行为的基础。

2. 管道的应力分析管道在使用过程中会承受外部载荷的作用，因此对管道的应力分析是非常重要的。

在材料力学管道分析中，应力的分布和大小对于设计管道的强度和稳定性具有重要意义。

应力分析会涉及到静力学平衡、材料的弹性性质以及管道的几何尺寸等因素。

3. 管道的变形分析管道在受到外部载荷作用下，会发生弯曲、拉伸和压缩等变形。

变形分析是了解管道结构受力情况以及变形形式和程度的手段。

在变形分析中，考虑到材料的弹性性质、几何尺寸的变化以及边界条件的影响。

4. 管道的稳定性分析管道的稳定性是指管道在受力作用下不产生破坏或失稳的能力。

稳定性分析是确保管道在使用过程中具有足够的强度和刚度以防止破坏的重要手段。

管道稳定性分析会考虑到材料的弹性性质、几何尺寸的变化、外界环境的影响以及边界条件等因素。

5. 管道的疲劳分析管道在长期使用过程中，会受到交变载荷的作用，从而引发疲劳破坏。

疲劳分析是为了评估管道在反复载荷下的寿命和安全性。

在疲劳分析中，需要考虑到材料的疲劳性能、载荷的频率和幅值、应力范围和设计寿命等因素。

6. 管道的裂纹扩展分析管道的裂纹扩展分析是为了评估管道在裂纹存在的情况下的寿命和安全性。

裂纹扩展分析需要考虑到材料的断裂韧性、裂纹形态和尺寸、应力场分布以及环境因素等因素。

7. 管道的振动分析管道在某些情况下会受到振动的激励，从而引发共振或者疲劳破坏。

管子弯曲成形的机理分析作者：邹双桂来源：《广东造船》2013年第05期摘要：本文以提高管子弯曲精度为出发点，运用弹塑性变形的原理，分析了管材回转牵引弯曲过程中产生的回弹、伸长现象，并推导出管子弯曲后的延伸量、回弹量的近似计算公式。

关键词：管子弯曲；延伸量；回弹量Mechanical principles study of pipe bending formingZhou Shuanggui（ Guangzhou Shipyard International Company Limited， Guangzhou 510382 ）Abstract： To improve the bending precision of pipe， the mechanical principles of elastic deformation and plastic deformation to be studied in this paper for analyzing the spring back and length extension phenomena during bending which executed turning and pulling of pipe simultaneously. As a consequence， an experienced formula derived from to be established for predict value of spring back and length extension precisely.Key words： Pipe bending； length extension； spring back1 概述到目前为止，管子冷弯加工工艺已经有了长足的进步，解决了许多以前只能靠人工的难题，实现了自动化生产，大大提高了生产效率。

管子的弯制是管子内场加工的重要组成部分，实现管子的无余量弯制是提高管子加工效率的关键手段，也是实现管子先焊后弯工艺的先决条件。

大弯曲半径管材推弯回弹有限元分析李纯金，杜佐飞（江苏科技大学机械工程学院，江苏镇江212003）1引言弯管零件因其具有优越的力学性能，多样的功用性以及易达到产品轻量化等方面的要求，已在汽车、航空、航天等领域得到广泛应用[1]。

近年来随着大弯曲半径的管状零件的发展，因其具有弯管半径大，管坯弯曲角度小，弯曲成形后管坯变形程度小，质量和精度易得到保证等优点，被广泛的应用于家具装饰，汽车输油管路以及石油运输管道中。

弯管件在弯管过程中因具有几何非线性、接触非线性、而导致它在弯管成形后不可避免的具有一些质量问题[2-3]。

对大弯曲半径的弯管件而言也同样具有一些质量缺陷，其中弯管成形后，模具卸载时弯管件的回弹就是影响大弯曲半径弯管件几何精度和形状精度的一个主要因素。

因此对大弯曲半径弯管件在弯曲成形后的回弹研究具有十分重要的意义。

对大弯曲半径弯管件在推弯成形后的形变研究，国内学者研究的不是很多，其中文献[4]利用有限元软件对简化模型下管材断面扁化的机理分析，定性地得出不同的温度场分布对管材断面椭圆率等的影响规律；文献[5]研究了推弯工艺对薄壁管变曲率的影响，文献[6]对金属板料拉伸回弹成因及回弹补偿进行了研究。

因此是在对实际推弯机推弯模具实物简化的基础上建立有限元模型，利用有限元软件对大弯曲半径管材在推弯过程中各主要因素对管子的回弹角的影响分析，为大弯曲半径弯管的理论研究和实际弯管过程提供理论参考。

2有限元模型的建立及关键技术的研究2.1推弯模型的建立大弯曲半径管材在推弯时的三维有限元模型是在ABAQUS/Explicit 软件平台上建立的，其有限元模型是根据江苏某公司生产的xxx 型号的推弯机简化而来，有限元模型，如图1所示。

2.1.1材料截面属性的定义以及网格划分管坯材料是选择塑性比较好的铝合金管（3003）和奥氏体不锈钢管；其中铝合金管管的弹性模量E =70000，密度ρ=2.7×103kg/m 3，泊松比γ=0.33，材料选择的本构模型是指数硬化模型：σ=K （ε0+ε）n，式中：K —材料硬化系数；n —材料硬化指数；ε0—材料常数，不锈钢管（T14976—94）的弹性模量E =210000，密度ρ=7.85×103kg/m 3，泊松比γ=0.3。

力学中的弹性模量和弯曲变形分析弹性模量和弯曲变形是力学中重要的概念和分析工具。

在材料科学、工程设计甚至生物力学领域，它们的应用都非常广泛。

弹性模量描述了材料受力后能够恢复原状的能力，而弯曲变形则是材料在外力作用下发生的形变现象。

首先，让我们来理解一下什么是弹性模量。

在物体受力时，如果其形变不超过一定程度，而且在力消失后能够恢复原状，那么我们就可以说这个物体具有弹性。

弹性模量（也称为杨氏模量）衡量了材料的刚度和变形能力。

它是材料应力和应变之间的比例关系，通常用符号E表示。

弹性模量越大，材料的刚度就越高，变形能力越小。

钢材具有很高的弹性模量，因此它在各种工程中被广泛应用。

而弯曲变形是指在外力作用下，材料在其横截面上发生的形变。

当一个物体受到施力时，如果其长度方向上的应变和横截面方向上的应变不相等，就会导致弯曲形变。

弯曲变形的程度取决于材料的弹性模量以及外力的大小和方向。

通常情况下，我们可以通过施加不同的力来观察和分析材料的弯曲变形，以了解材料的力学性质。

在工程设计中，弹性模量和弯曲变形是非常重要的分析工具。

通过测量和控制弹性模量，工程师可以选择合适的材料来满足设计需求。

比如，对于需要抵御大量压力的结构，我们可以选择具有高弹性模量的材料，以确保结构的刚度和稳定性。

另一方面，通过对弯曲变形的研究和分析，工程师可以预测材料在受力时的性能和行为，从而进行准确的设计和优化。

除了工程领域，弹性模量和弯曲变形在材料科学研究中也发挥着重要作用。

通过研究不同材料的弹性模量，科学家可以深入理解材料的结构和性质。

例如，在纳米材料研究中，科学家常常通过测量纳米材料的弹性模量来了解其力学性能和应用潜力。

同时，弯曲变形的研究也为材料科学提供了重要的实验手段，帮助研究人员探索材料在不同条件下的性能和变形机制。

总之，弹性模量和弯曲变形在力学中扮演着重要的角色。

它们不仅在工程设计中有广泛应用，还为材料科学研究提供了重要的分析工具。

通过深入理解和研究弹性模量和弯曲变形，我们能够更好地理解和掌握材料的力学性能，为设计和创新提供科学依据。

管道的最大弯曲应力管道在各种工业应用中都扮演着关键角色，从输送气体和液体，到分配电力和热力。

然而，管道在运行过程中会受到各种应力的影响，其中弯曲应力是一个重要的因素。

本文将探讨影响管道最大弯曲应力的各种因素。

1.管道材料管道材料的机械性能，如弹性模量、屈服强度、抗拉强度等，直接影响其弯曲应力。

一般来说，高强度材料能够承受更大的弯曲应力。

2.管道几何形状管道的直径、壁厚以及其形状（如圆形、椭圆形等）都会影响其弯曲应力。

例如，较厚的管壁可以承受更大的弯曲变形，而圆形管道的弯曲应力分布比椭圆形管道更均匀。

3.管道支撑结构支撑结构如支架、吊架等对管道的弯曲应力有显著影响。

这些结构可以有效地减少管道的弯曲变形，从而降低弯曲应力。

4.管道工作压力管道中的工作压力也是影响弯曲应力的一个重要因素。

随着压力的增加，管道的弯曲应力也会增大。

5.温度和时间的影响温度的变化会导致材料的热胀冷缩，进而影响管道的形状和尺寸。

时间久了，材料可能会发生老化或腐蚀，从而改变其机械性能，影响弯曲应力。

6.管道振动管道在运行过程中可能会产生振动，这会导致额外的弯曲应力。

为了减少振动的影响，通常会采取防振措施，如增加阻尼材料或改变管道的结构。

7.外力影响外力如地震、风载等会对管道产生影响，使其发生弯曲变形。

在设计时，应考虑到这些外部因素，并采取相应的防护措施。

8.管道设计管道设计如采用合理的设计准则和参数可以有效地降低弯曲应力。

例如，采用优化后的管道布局和结构设计可以减少弯曲应力的产生。

9.管道安装不正确的安装方法可能导致管道在实际运行中出现弯曲变形，从而产生弯曲应力。

因此，正确的安装步骤和精湛的施工技术对控制管道的弯曲应力至关重要。

工程力学中的弯曲力学分析工程力学是研究物体在受力作用下的力学性质和运动规律的一门学科。

而弯曲力学作为其中的一个重要分支领域，主要研究物体在弯曲载荷下的变形和破坏机理。

本文将从理论基础、应力分析和变形分析等方面介绍工程力学中的弯曲力学分析。

一、理论基础弯曲力学分析的理论基础主要建立在弹性力学和材料力学的基础之上。

根据弹性力学理论，当物体受到外力作用时，物体会发生变形，形成应变。

弯曲力学分析则基于这一理论，研究物体在受到弯曲载荷时的变形情况。

同时，材料力学的研究结果也为弯曲力学分析提供了重要的理论支持，例如不同材料的弯曲强度和破坏准则。

二、应力分析在进行弯曲力学分析时，首先需要对物体受力状态进行应力分析。

在弯曲过程中，物体上的应力主要有弯矩应力和剪应力两种。

根据材料受力的特点，弯矩应力在截面上形成正压应力和负压应力。

而剪应力则主要集中在物体的剪切边界上。

通过计算和分析这些应力分布情况，可以确定物体在弯曲过程中受力的状况。

三、变形分析接下来，弯曲力学分析需要对物体在受到弯曲载荷时的变形进行分析。

通过对物体的变形进行观察和测量，可以获得物体受力后的变形情况。

在弯曲载荷作用下，物体上的曲率会发生变化，同时也会产生挠度和角位移。

通过对这些变形参数的计算和分析，可以了解弯曲载荷对物体造成的影响，从而评估物体的强度和稳定性。

四、弯曲力学分析的应用弯曲力学分析在工程实践中具有广泛的应用。

例如在桥梁工程中，通过对桥梁受到的弯曲载荷进行分析，可以确定桥梁的设计参数，保证桥梁的安全性。

在建筑工程中，对梁柱结构的弯曲力学进行分析，可以确保结构的稳定性和承载能力。

此外，在航空航天领域、机械制造等行业中，弯曲力学分析能提供重要的参考和依据。

综上所述，工程力学中的弯曲力学分析在工程设计和结构分析中具有重要的地位和作用。

通过理论基础的研究，应力分析和变形分析的方法，可以评估物体在受力后的性能和稳定性。

弯曲力学分析的应用广泛，对于工程实践具有重要的意义。

弯管工艺过程的受力分析及工艺分析2008-01-09 作者：董胜利查看次数:弯管工艺过程的受力分析及工艺分析董胜利(西安电力高等专科学校机械教研室，陕西西安 710032)摘要:运用弹性力学与塑性力学理论，对常用弯管工艺过程进行受力分析。

根据分析结果，对手动或机械弯管设备、弯管工艺参数以及弯管质量进行工艺分析。

为改进弯管设备、改善弯管工艺参数和提高弯管质量提供基础理论上的支持。

关键词：弯管；塑性变形；应力；应变The Analysis of Bending Pipe with Force and TechnologyDONG Sheng-li(Teaching and Research Division of Machinery, Xi’an Electric Power College, Xi’an ,Shanxi 710032,China)Abstract: The force with process of bending pipe has been quantitatively and qualitatively analyzed in the theories of elasticity mechanics and plasticity mechanics. With this result of analyzing the bender, the process of bending and quality of bended pipe were analyzed with technology . The help in basic theory is provided for improving bender , bending process and the quality of bended pipe.Keyword: bend；plasticity；force-in-point；size change-in-point随着现代化生产系统的不断发展，各种物料的管道运输系统日益增多，如石油输送管道、天然气输送管道、输水管道以及应用在各种机器中的小型管道管路系统。

管道变形计算范文管道变形计算是指根据管道所受外力及其产生的应力和应变，进行管道的变形分析和计算的一种工程方法。

在工程实际中，为了保证管道的正常运行和安全性，需要对管道变形进行合理的预测和计算，以便进行相应的工程设计和调整。

管道变形计算主要涉及管道的弯曲变形、挤压变形、局部塑性变形、轴线变形等。

首先，对于弯曲变形，通常采用弯曲变形的基本理论进行计算。

弯曲变形是指管道直径在外力作用下发生的变形，可以通过应变力，应力和截面变形计算。

对于小曲率弯管，可以利用理想弯管的应变力公式进行计算；对于中、大曲率弯管，需要考虑其挤压变形和扭转变形，可以采用弹性力学理论或有限元法进行计算。

其次，对于挤压变形，通常采用挤压变形的基本理论进行计算。

挤压变形是指管道直径在外力垂直于管道轴线方向作用下发生的变形，可以通过应变力，应力和截面变形计算。

对于圆形、方形和椭圆形管道的挤压变形，可以采用挤压变形的基本理论进行计算；对于其他形状的管道，需要根据其具体形状和受力情况进行相应的计算。

此外，对于局部塑性变形，通常采用局部塑性变形的基本理论进行计算。

局部塑性变形是指管道在外力作用下，在局部区域产生塑性变形，可以通过应变力，应力和截面变形计算。

对于受点载荷作用的管道，可以利用梁的受力性能进行计算；对于受分布载荷作用的管道，可以采用板的受力性能进行计算。

最后，对于轴线变形，通常采用轴线变形的基本理论进行计算。

轴线变形是指管道轴线在外力作用下发生的变形，可以通过切应变，切应力和变形角计算。

对于直管、弯管和曲管等管道的轴线变形，可以利用轴线变形的基本理论进行计算；对于其他形状的管道，需要根据其具体形状和受力情况进行相应的计算。

总之，管道变形计算是一项复杂的工程任务，需要运用弹性力学理论、应变力学理论和截面性能理论等多种理论和方法进行综合分析和计算。

通过合理的管道变形计算，可以得出管道的变形情况和变形的程度，为工程设计和调整提供科学依据，保证管道的正常运行和安全性。

采空区输气管道弹性变形分析随着社会的发展，能源需求不断增长，家庭、工业、采矿等各行各业都离不开天然气的支持。

因此，天然气储存与输送已成为相当实际和迫切的需求。

然而，由于天然气通过地下管道输送的方式，常常遭受地壳运动、沉降、温度变化、地震等因素的影响，形成了许多采空区，对于天然气输送也是一种挑战。

在这种情况下，研究采空区输气管道的弹性变形具有很高的现实意义。

首先，采空区输气管道应用的主要是高强度无缝管材，由于管道的尺寸较大，管内流体压力也较高，此时就需要管道具有很高的强度和刚度，以承受外部环境的影响。

然而，即使采用优质的材料，管道在遭受外部力的作用时仍然会发生弯曲变形、塌陷和疲劳破坏等现象。

因此，采空区输气管道要具备较好的弹性，以适应外部的作用力和环境变化。

其次，采空区输气管道的弹性变形是在外部载荷作用下形成的，对于管道应力的分析和计算具有很大的重要性。

因此，分析采空区输气管道的弹性变形需要首先确定作用力的大小和方向，然后确定管道的初始状态和边界条件，进而推导出方程组进行求解。

在实际应用中，可以利用MATLAB等工具，采用解析或数值方法进行计算和分析。

最后，针对采空区输气管道的弹性变形，可以采取多种措施进行预防和保护。

例如，在设计管道时应考虑外部载荷和环境因素的影响，采用合适的材料和管径，合理地布局管道。

同时，在施工中应注意管道的安装方式和支撑结构，以减小管道的变形和变形对管道带来的危害。

在需要修复管道时，可以采用加固支撑、锚固等方式进行修复。

综上所述，对采空区输气管道的弹性变形进行分析具有很大实际意义。

只有深入研究，在实践中积累经验，才能更好地保证天然气输送的安全和稳定。

采空区输气管道的弹性变形是受到多种因素的影响的，如管道的材质、管道的尺寸、管道的初始状态、外部载荷、环境因素等等。

下面列举一些相关的数据并进行分析：1. 管道的材质：管道的强度和刚度直接关系到管道的弹性。

目前，采用的主要是无缝钢管和SPIRAL-WELDED管，这种管材的强度非常高，能够承受较高的外部载荷，保证了管道的安全和稳定。

管道在外力或自重作用下产生弹性弯曲变形，施工中利用这种变形，改变管道走向或适应高程变化的管道敷设方式叫作弹性敷设。

利用弹性敷设可以减少弯头数量，降低造价。

在燃气管道施工图设计中，在平面和立面经常采用弹性敷设的方式。

本文仅介绍燃气管道纵向施工图设计中弹性敷设参数的计算。

1 弹性敷设设计条件在燃气管道纵向施工图设计时，一般要根据测量的各里程地面标高、燃气管道设计埋深，绘制出管道敷设纵断面图，标注出各桩点对应的管道埋设深度。

纵向弹性敷设设计时，前后各桩点地面标高、弹性敷设管道管径、拟设计埋深及各桩点里程为已知条件，确定弹性敷设起止点及弹性敷设形成的曲线上各节点的设计埋深，是设计中要解决的问题。

2 弹性敷设的要求及相关参数计算《输气管道工程设计规范》(GB 50251—2003)第4.3.14条规定：弹性敷设管道的曲率半径应满足管子强度要求，且不得小于钢管外径的1000倍。

垂直面上弹性敷设管道的曲率半径尚应大于管道在自重作用下产生的挠度曲线的曲率半径。

该规范中规定的曲率半径按下式计算：式中R——管道弹性弯曲曲率半径，mα——管道的转角，(°)D——管道的外径，cm在垂直面上弹性敷设管道曲率半径要同时满足大于等于1000D和大于管道在自重作用下产生的挠度曲线的曲率半径两个条件。

在管道纵向施工图设计时，已知各桩点地面标高、弹性敷设管道管径、管道拟设计埋深、各桩点里程和弹性敷设相邻点的管道标高，据已知条件求解弹性敷设曲率半径、弹性敷设弧形管长、切线长度、弹性敷设管道上任意里程点的标高、埋深等参数。

以过点M、N的切线交点0为坐标原点，以管道敷设方向水平线为x轴，以纵向垂线为z轴，建立坐标系，见图1。

图中M——弹性敷设起点N——弹性敷设终点0——管道弹性弯曲形成圆在点M、N的切线的交点P——管道弹性弯曲形成圆的圆心R——管道弹性弯曲曲率半径，mα——管道的转角，(°)α1——MO与x轴夹角，(°)α2——NO与x轴夹角，(°)β——0P与z轴夹角，(°)L——MD、N0的长度，mE——外矢矩，m① 计算α据拟定管道拐点0的埋设深度、地面标高，可求点0的标高，再据邻近桩点管道标高、里程，通过三角函数可求得α1、α2。

转角管段弹性抗弯铰解析计算法1 直埋水平转角管段计算1.1水平转角管段的过渡段长度应按下列公式计算（图C.1.1）：（C.1.1-1）（C.1.1-2）（C.1.1-3）（C.1.1-4）（C.1.1-5）（C.1.1-6）（C.1.1-7）当1tt-＞yT∆时，取1tt-＝yT∆式中：max.tl——水平转角管段的过渡段最大长度（m）；m in.tl——水平转角管段的过渡段最小长度（m）；tl——水平转角管段循环工作的过渡段长度（m）；α——钢材的线膨胀系数[m/(m﹒℃)]；E——钢材的弹性模量（MPa）；1t——管道工作循环最高温度（℃）；t——管道计算安装温度（℃）；2t——管道工作循环最低温度（℃）；ν——钢材的泊松系数，取0.3；tσ——管道内压引起的环向应力（MPa）；A——工作管管壁的横截面积（m2）；minF——单位长度最小摩擦力（N/m）；φ——转角管段的折角（弧度）；p I ——直管工作管横截面的惯性矩（m 4）；b I ——弯头工作管横截面的惯性矩（m 4）；k ——与土壤特性和管道刚度有关的参数（1/m ）； c D ——外护管外径（m ）； C ——土壤横向压缩反力系数（N/m 3）； R ——弯头的曲率半径（m ）； K '——弯头工作管柔性系数；b δ——弯头工作管的公称壁厚（m ）；bm r ——弯头工作管横截面的平均半径（m ）； Z 、C M ——计算系数。

图C.1.1 水平转角管段示意图1.2 水平转角管段弯头弯矩变化范围计算应符合下列规定：1 水平转角管段的计算臂长1c l 、2c l 和平均计算臂长cm l 应按下列方法确定：221c c cm l l l +=（C.1.2-1） 式中： cm l ——水平转角管段的平均计算臂长（m ）；t l——水平转角管段循环工作的过渡段长度（m ）；1c l 、2c l ——水平转角管段的计算臂长（m ）；当1l ≥ 2l ≥t l 时，取1c l ＝2c l ＝t l ；当1l ≥t l ≥2l 时，取1c l ＝t l ，2c l ＝2l ；当t l ≥1l ≥2l 时，取1c l ＝1l ，2c l ＝2l 。