专题13 空间直线、平面的垂直(核心素养练习)(解析版)

教学过程在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.规律方法证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.【训练1】(2013·江西卷改编)教学效果分析教学过程如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.证明：BE⊥平面BB1C1C.考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2014·深圳一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝2BC，点D是AB的中点．证明：平面ABC1⊥平面B1CD.规律方法证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也教学效果分析教学过程可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．【训练2】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.考点三平行、垂直关系的综合问题教学效果分析教学过程【例3】(2013·山东卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面P AD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.规律方法线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．【训练3】(2013·辽宁卷)如图，AB是圆O的直径，P A垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)设Q为P A的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.教学效果分析1．转化思想：垂直关系的转化2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．创新突破6——求解立体几何中的探索性问题【典例】(2012·北京卷)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[反思感悟] (1)解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．(2)在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误．【自主体验】(2014·韶关模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝12AB＝2，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2.(1)求证：DA⊥BC；(2)在CD上找一点F，使AD∥平面EFB.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b 在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．2．(2014·绍兴调研)设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列正确命题的序号是________．①若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α；②若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α；③若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β.3.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任一点，则图形中有________对线面垂直．4．若M是线段AB的中点，A，B到平面α的距离分别是4 cm，6 cm，则M到平面α的距离为________．5．(2014·郑州模拟)已知平面α，β，γ和直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出下列四个结论：①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β.其中正确的是________．6.如图，在四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)7．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．8.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．二、解答题9．(2013·北京卷)如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.10．(2013·泉州模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．2.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为________．①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.3．(2013·南通二模)如图，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．二、解答题4．(2014·北京西城一模)。

新高考数学复习考点知识讲解与专题训练专题23 直线与平面、平面与平面垂直一、直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法.②利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线.②垂直于同一个平面的两条直线平行.③垂直于同一条直线的两平面平行.二、.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法.②利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.三、证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.4、证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.5、线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.(1)判定面面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.题型一、线面垂直的判定与性质例1、如图所示，在四棱锥PABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点，且DF＝12AB，PH为△PAD中AD边上的高．求证：(1) PH⊥平面ABCD；(2) EF⊥平面PAB.【证明】 (1) 因为AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，所以PH⊥AB.因为PH 为△PAD 中边AD 上的高，所以PH⊥AD.因为AB∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PH⊥平面ABCD.(2) 如图，取PA 的中点M ，连结MD ，ME.因为E 是PB 的中点，所以ME ＝12AB ，ME∥AB.又因为DF ＝12AB ，DF∥AB，所以ME ＝DF ，ME∥DF，所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF∥MD.因为PD＝AD，所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.因为PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.变式1、如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.【证明】(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB. 又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD. 在△SAC中，∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC ，∴SD ⊥BD ，又SD∩AC＝D ，∴BD ⊥平面SAC.题型二、面面垂直的判定与性质例2、【2020年高考江苏】在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1； （2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【解析】因为,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1EF AB ∥. 又/EF ⊂平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ，所以EF ∥平面11AB C .（2）因为1B C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC , 所以1B C AB ⊥.又AB AC ⊥,1B C ⊂平面11AB C ,AC ⊂平面1AB C ,1,B C AC C =所以AB ⊥平面1AB C .又因为AB ⊂平面1ABB ,所以平面1AB C ⊥平面1ABB .变式1、（江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为矩形，AB，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，DE ⊥PA .（1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PDE .【证明】（1）设PD 的中点为H ，连接,AH HF ,因为F 是PC 的中点，所以有1//,2HF DC HF DC =,又因为四棱锥P ﹣ABCD 的底面为矩形, E 是AB 的中点,所以有1//,2AE DC AE DC =，因此有//,HF AE HF AE =,所以四边形AEFH 是平行四边形，因此有//EF AH ,AH ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ；（2）在矩形ABCD 中，设,AC DE 交于点M ，因为E 是AB 的中点,所以AE =，因为2AE DA AD CD ==，所以Rt DAE ∆∽Rt ADC ∆，因此ADE ACD ∠=∠，而90ADE CDE ︒∠+∠=，所以90ACD CDE AC DE ︒∠+∠=⇒⊥，而DE ⊥PA ，,,PA AC A PA AC ⋂=⊂平面PAC ，所以DE ⊥平面PAC ，而DE ⊂平面PDE ，因此平面PAC ⊥平面PDE .变式2、如图，在四棱锥PABCD 中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点．求证：(1) CE∥平面PAD ；(2) 平面EFG⊥平面EMN.【证明】 (1) 取PA 的中点H ，连结EH ，DH.又E 为PB 的中点，所以EH ＝12AB ，EH∥AB.又CD ＝12AB ，CD∥AB，所以EH ＝CD ，EH∥CD，所以四边形DCEH 是平行四边形，所以CE∥DH.又DH ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ，所以CE∥平面PAD.(2) 因为E 、F 分别为PB 、AB 的中点，所以EF∥PA.又因为AB⊥PA，所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.又因为EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，所以AB⊥平面EFG.又因为M、N分别为PD、PC的中点，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.变式3、（2019·无锡期末）四棱锥P－ABCD中，锐角三角形PAD所在平面垂直于平面PAB，AB⊥AD，AB⊥BC.求证：(1)BC∥平面PAD；(2)平面PAD⊥平面ABCD.【证明】(1)∵AB⊥AD，AB⊥BC，A，B，C，D共面，∴AD∥BC，∵BC ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD.(2)过点D作DH⊥PA于点H，∵锐角△PAD，∴H与A不重合，∵平面PAD⊥平面PAB，平面PAD∩平面PAB＝PA，DH⊂平面PAD，∴DH ⊥平面PAB，∵AB⊂平面PAB，∴DH⊥AB，∵AB⊥AD，AD∩DH＝D，AD，DH ⊂平面PAD，∴BA⊥平面PAD，∵BA⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD.题型三、平行与垂直的探索性问题例3 如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点．(1)证明：AE∥平面BDF；(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．【证明】(1)图1连接AC交BD于O，连接OF，如图1.∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC 的中点，又F为EC的中点，∴OF为△ACE的中位线，∴OF∥AE，又OF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，∴AE∥平面BDF.(2)当P为AE中点时，有PM⊥BE.证明如下：取BE中点H，连接DP，PH，CH，∵P为AE的中点，H为BE的中点，图2∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四点共面．∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊂平面ABCD，CD⊥BC.∴CD⊥平面BCE，又BE⊂平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE，H为BE的中点，∴CH⊥BE，又CD∩CH＝C，∴BE⊥平面DPHC，又PM⊂平面DPHC，∴BE⊥PM，即PM⊥BE.变式1、如图，在三棱台ABC­DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．【证明】(1)证明：在三棱台ABC­DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF⊄平面ACE，∴DF∥平面ACE.又∵DF ⊂平面DEF ，平面ACE ∩平面DEF ＝a ，∴DF ∥a .(2)线段BE 上存在点G ，且BG ＝13BE 时，使得平面DFG ⊥平面CDE .证明如下：取CE 的中点O ，连接FO 并延长交BE 于点G ，交CB 的延长线于点H ，连接GD ，∵CF ＝EF ，∴GF ⊥CE .在三棱台ABC ­DEF 中，AB ⊥BC ⇒DE ⊥EF .由CF ⊥平面DEF ⇒CF ⊥DE .又CF ∩EF ＝F ，∴DE ⊥平面CBEF ，∵GF ⊂平面CBEF ，∴DE ⊥GF .∵CE ∩DE ＝E ，CE ⊂平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，∴GF ⊥平面CDE .又GF ⊂平面DFG ，∴平面DFG ⊥平面CDE .∵O 为CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ，由平面几何知识易证△HOC ≌△FOE ，∴HB ＝BC ＝12EF .由△HGB ∽△FGE ，可知BG GE ＝HB EF ＝12，即BG ＝13BE .1、【2019年高考北京卷理数】已知l ，m 是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m，正确；（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α，不正确，有可能m在平面α内；（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α，不正确，有可能l与α斜交、l ∥α.故答案为：如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.2、(2019通州、海门、启东期末）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC，D，E分别是AC，A1B的中点．(1) 求证：DE∥平面BCC1B1；(2) 若AB⊥DE，求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1.【证明】 (1) 连结AB1，B1C，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1∥BB1，且AA1＝BB1，所以四边形ABB1A1是平行四边形．(2分)因为E是A1B的中点，所以E也是AB1中点，又因为D是AC的中点，所以DE∥B1C，(4分)又DE⊄平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，所以DE∥平面BCC1B1.(6分)(2)由(1)知DE∥B1C，因为AB⊥DE，所以AB⊥B1C.(8分)在棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BB1，四边形BCC1B1是平行四边形，因为AA1＝BC，所以BB1＝BC，所以平行四边形BCC1B1是菱形．所以BC1⊥B1C，(10分)又因为AB⊥B1C，AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1，所以B1C⊥平面ABC1，(12分)又因为B1C⊂平面BCC1B1，所以平面ABC1⊥平在BCC1B.(14分)3、(2019苏州期初调查）如图，已知矩形CDEF和直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ADC＝90°，DE＝DA，M为AE的中点．(1) 求证：AC∥平面DMF；(2) 求证：BE⊥DM.【证明】证明：(1) 如图，连结EC交DF于点N，连结MN.因为CDEF为矩形，所以EC，DF相互平分，所以N为EC的中点．(2分)又因为M为EA的中点，所以MN∥AC.(4分)又因为AC⊄平面DMF，且MN⊂平面DMF.所以AC∥平面DMF.(7分)(2) 因为矩形CDEF，所以CD⊥DE.又因为∠ADC＝90°，所以CD⊥AD.因为DE∩AD＝D，DE，AD⊂平面ADE，所以CD⊥平面ADE.(9分)又因为DM⊂平面ADE，所以CD⊥DM.又因为AB∥CD，所以AB⊥DM.(10分)因为AD＝DE，M为AE的中点，所以AE⊥DM.(11分)又因为AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，所以MD⊥平面ABE.(13分)因为BE⊂平面ABE，所以BE⊥MD.(14分)4、(2019南京、盐城一模）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1上的点(其中点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为棱B1C1上的点，A1F⊥B1C1于点F.求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2) A1F∥平面ADE.【证明】：(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC.(2分)因为AD⊂平面ABC，所以BB1⊥AD.又因为AD⊥DE，在平面BCC1B1中，BB1与DE相交，所以AD⊥平面BCC1B1.又因为AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(6分)(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1.(8分)因为A1F⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1F.又因为A1F⊥B1C1，BB1∩B1C1＝B1，BB1，B1C1⊂平面BCC1B1，所以A1F⊥平面BCC1B1.(10分)在(1)中已证得AD⊥平面BCC1B1，所以A1F//AD.又因为A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，所以A1F//平面ADE.(14分)5、(2019常州期末）如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，点M，N分别是棱AB，CC1的中点．求证：(1) CM//平面AB1N；(2) 平面A1BN⊥平面AA1B1B.【证明】 (1) 设AB 1交A 1B 于点O ，连结OM ，ON.在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1∥CC 1，BB 1＝CC 1，且四边形AA 1B 1B 是平行四边形，所以O 为AB 1的中点．又因为M 为AB 的中点，所以OM∥BB 1，且OM ＝12BB 1.N 为CC 1的中点，CN＝12CC 1，所以OM ＝CN ，且OM∥CN，所以四边形CMON 是平行四边形，所以CM∥ON.(5分)又ON ⊂平面AB 1N ，CM ⊄平面AB 1N ，所以CM∥平面AB 1N.(7分)(2) 在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥CM.(9分)又CA ＝CB ，M 为AB 的中点，所以CM⊥AB.又由(1)知CM ∥ON ，所以ON⊥AB，ON ⊥BB 1.又因为AB∩BB 1＝B ，AB ，BB 1 ⊂平面AA 1B 1B ，所以ON⊥平面AA 1B 1B.(12分)又ON ⊂平面A 1BN ，所以平面A 1BN ⊥平面AA 1B 1B.(14分)6、(2019镇江期末）如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是矩形，VD ⊥平面ABCD，过AD的平面分别与VB，VC交于点M，N.(1) 求证：BC⊥平面VCD；(2) 求证：AD∥MN.【证明】(1)在四棱锥VABCD中，因为VD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以VD⊥BC.(3分)因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.(4分)又CD⊂平面VCD，VD⊂平面VCD，CD∩VD＝D，则BC⊥平面VCD.(7分)(2)因为底面ABCD是矩形，所以AD∥BC.(8分)又AD⊄平面VBC，BC⊂平面VBC，则AD∥平面VBC.(11分)又平面ADNM∩平面VBC＝MN，AD⊂平面ADNM，则AD∥MN.(14分)7、(2019扬州期末）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．(1) 求证：EF∥平面ABC；(2) 求证：BB1⊥AC.【证明】 (1)在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B，四边形BB1C1C均为平行四边形，E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点，所以E，F分别是AB1，CB1的中点，所以EF∥AC.(4分)因为EF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(8分)(2)因为四边形AA1B1B为矩形，所以BB1⊥AB.因为平面AA1B1B⊥平面ABC，且平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，BB1⊂平面AA1B1B，所以BB1⊥平面ABC.(12分)因为AC⊂平面ABC，所以BB1⊥AC.(14分)8、(2019苏北三市期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F分别是B1C1，AB，AA1的中点．(1) 求证：EF∥平面A1BD；(2) 若A1B1＝A1C1，求证：平面A1BD⊥平面BB1C1C.【证明】(1)因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.(3分)因为EF⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，所以EF∥平面A1BD.(6分)(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1，因为A1D⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1D. (8分)因为A1B1＝A1C1，且D是B1C1的中点，所以A1D⊥B1C1.(10分)因为BB1∩B1C1＝B1，B1C1，BB1⊂平面BB1C1C，所以A1D⊥平面BB1C1C.(12分)因为A1D⊂平面A1BD，所以平面A1BD⊥平面BB1C1C. (14分)9、(2019南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA ＝DP.求证：(1)MN∥平面PBC；MD⊥平面PAB.【证明】(1)在四棱锥P－ABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点，所以MN∥AD.(2分)又底面ABCD是矩形，所以BC∥AD.所以MN∥BC.(4分)又BC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC. (6分)(2)因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，所以AB⊥侧面PAD.(8分)又MD⊂侧面PAD，所以AB⊥MD.(10分)因为DA＝DP，又M为AP的中点，从而MD⊥PA. (12分)又PA，AB在平面PAB内，PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB.(14分)。

空间直线、平面的垂直巩固练习1．已知两个平面相互垂直，下列命题：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是()A．3 B．2 C．1 D．0解析：构造正方体ABCD-A1B1C1D1，如图所示，①在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，BD⊂平面ABCD，但A1D与BD不垂直，故①错；②在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，l是平面ADD1A1内任意一条直线，l与平面ABCD内和AB平行的所有直线垂直，故②正确；③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，但A1D 与平面ABCD不垂直，故③错；④在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD ＝AD，过交线AD上的任一点作交线的垂线l，则l可能与平面ABCD垂直，也可能与平面ABCD 不垂直，故④错．答案：C2.如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，则四面体P-ABC中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1解析：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，所以BC⊥P A，因为BC⊥AB，P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB.所以四面体P-ABC中直角三角形有△P AC，△P AB，△ABC，△PBC.故选A.答案：A3．如图所示，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，P A垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A、C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列不正确的是()A．平面ANS⊥平面PBC B．平面ANS⊥平面P ABC．平面P AB⊥平面PBC D．平面ABC⊥平面P AC解析：因为P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以P A⊥BC，又AB⊥BC，P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB，又AN⊂平面ABP，所以BC⊥AN，又因为AN⊥PB，BC∩PB＝B，所以AN⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，所以AN⊥PC，又因为PC⊥AS，AS∩AN＝A，所以PC ⊥平面ANS，又PC⊂平面PBC，所以平面ANS⊥平面PBC，所以A正确，C，D显然正确.答案：B4．如图所示，在下列四个正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是()A B C D解析：如图所示，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知E，F，G，M，N，Q六个点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D中的直线BD1与平面EFG不垂直，满足题意，故选D.答案：D5．如图所示，四棱锥P-AB-CD中，△P AB与△PBC是正三角形，平面P AB⊥平面PBC，AC ⊥BD，则下列结论不成立的是()A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCD C．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD解析：在选项A中，取PB的中点O，连接AO，CO，因为四棱锥P-ABCD中，△P AB 与△PBC是正三角形，平面P AB⊥平面PBC，AC⊥BD，所以AO⊥PB，CO⊥PB.因为AO∩CO＝O，所以PB⊥平面AOC.因为AC⊂平面AOC，所以PB⊥AC，故A成立．在选项B中，点D位置不确定，故B不一定成立．在选项C中，因为PB⊥平面AOC，AC⊂平面AOC，所以AC⊥PB.因为AC⊥BD，PB∩BD＝B，所以AC⊥平面PBD，因为PD⊂平面PBD，所以AC⊥PD，故C成立．在选项D中，因为AC⊥平面PBD，AC⊂平面ABCD，所以平面PBD⊥平面ABCD，故D成立．答案：B6．如图所示，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M 是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 解析：连接BD ，CM ，BE .因为点N 是正方形ABCD 的中心，所以点N 在BD 上，且BN ＝DN ， 所以BM ，EN 是△DBE 的中线， 所以BM ，EN 必相交．设DE ＝a ，则EC ＝DC ＝a ，MC ＝32a . 因为平面ECD ⊥平面ABCD ，且BC ⊥DC ， 所以BC ⊥平面DCE . 则BM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋a 2＝7a 2. 又EN ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝a ，故BM ≠EN . 答案：B7、在长为2、宽为3、高为2的长方体中，存在一条直线与各个面的夹角都相等，若将这个角记为θ，则sin θ的值为( )A.32B.63C.233D.33解析：如图，从长方体中截取一个棱长为2的正方体，则图中的AF 与长方体的各个面的夹角都相等，则sin θ＝223＝33.答案：D8、如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面是边长为2的正方形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝4，M 是PB 上的一个动点(不与P ，B 重合)，过点M 作平面α∥平面P AD ，截棱锥所得图形的面积为y ，若平面α与平面P AD 之间的距离为x ，则函数y ＝f (x )的图象是( )解析：过点M 作MN ⊥AB ，交AB 于点N ，则MN ⊥平面ABCD ，过点N 作NQ ∥AD ，交CD 于点Q ，过点Q 作QH ∥PD ，交PC 于点H ，连接MH ，则平面MNQH 是所作的平面α，由题意得2－x 2＝MN 4，解得MN ＝4－2x ，由CQ CD ＝QHPD . 即2－x 2＝QH 25，解得QH ＝5(2－x )，过点H 作HE ⊥NQ ，在Rt △HEQ 中，EQ ＝HQ 2－HE 2＝2－x ， 所以NE ＝2－(2－x )＝x ，所以MH ＝x . 所以y ＝f (x )＝（x ＋2）（4－2x ）2＝－x 2＋4(0<x <2)．所以函数y＝f(x)的图象如图所示．答案：C9．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)．解析：由定理可知，BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.又PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)10．如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC的射影H必在直线________上．解析：因为AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．答案：AB11．已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．解析：已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可以与α平行，或l与α相交不垂直．由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m.故②③⇒①或①③⇒②.答案：若m∥α且l⊥α，则l⊥m成立(或若l⊥m，l⊥α，则m∥α)12.将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中AD＝BD＝2，∠BAC ＝30°，若它们的斜边AB重合，让三角板ABD以AB为轴转动，则下列说法正确的是________(填序号)．①当平面ABD⊥平面ABC时，C、D两点间的距离为2；②在三角板ABD转动过程中，总有AB⊥CD；③在三角板ABD转动过程中，三棱锥D-ABC体积的最大值为3 6.解析：如图所示，①中，取AB的中点O，连接DO，CO，因为AD＝BD＝2，所以DO ＝1，AB＝2，OC＝1.因为平面ABD⊥平面ABC，DO⊥AB，所以DO⊥平面ABC，DO⊥OC，所以DC＝2，故①正确．②中，若AB⊥CD，则AB⊥平面CDO，AB⊥OC，因为O为中点，所以AC＝BC，∠BAC ＝45°与∠BAC＝30°矛盾，故②错误．③中，当DO⊥平面ABC时，棱锥的高最大，此时V棱锥＝13×12×AC×BC×DO＝16×3×1×1＝36，故③正确．答案：①③13.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是AB ，AA 1的中点，且A 1M ⊥B 1N .(1)求证：B 1N ⊥A 1C ；(2)求M 到平面A 1B 1C 的距离． (1)证明：如图所示，连接CM .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CM .在△ABC 中，AC ＝BC ，M 为AB 的中点，所以CM ⊥AB . 又AA 1∩AB ＝A ，所以CM ⊥平面ABB 1A 1. 因为B 1N ⊂平面ABB 1A 1，所以CM ⊥B 1N .又A 1M ⊥B 1N ，A 1M ∩CM ＝M ，所以B 1N ⊥平面A 1CM. 因为A 1C ⊂平面A 1CM ，所以B 1N ⊥A 1C .(2)解：连接B 1M .在矩形ABB 1A 1中，因为A 1M ⊥B 1N ，所以∠AA 1M ＝∠A 1B 1N . 所以tan ∠AA 1M ＝tan ∠A 1B 1N ，即AM AA 1＝A 1NA 1B 1.因为△ABC 是边长为2的正三角形，M ，N 分别是AB ，AA 1的中点，所以AM ＝1，CM ＝3，A 1B 1＝2.设AA 1＝x ，则A 1N ＝x2. 所以1x ＝x 22，解得x ＝2.从而S △A 1B 1M ＝12S 正方形ABB 1A 1＝2，A 1C ＝B 1C ＝2 2.在△A 1CB 1中，cos ∠A 1CB 1＝A 1C 2＋B 1C 2－A 1B 212A 1C ·B 1C＝34，所以sin ∠A 1CB 1＝74，所以S △A 1B 1C ＝12A 1C ·B 1C ·sin ∠A 1CB 1＝7. 设点M 到平面A 1B 1C 的距离为d ， 由V 三棱锥M-A 1B 1C ＝V 三棱锥C-A 1B 1M ， 得13S △A 1B 1C ·d ＝13S △A 1B 1M ·CM ， 所以d ＝S △A 1B 1M ·CMS △A 1B 1C＝2217.即点M 到平面A 1B 1C 的距离为2217.14．如图1，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝6，E 、F 分别为CD 、AB 边上的点，且DE ＝3，BF ＝4，将△BCE 沿BE 折起至△PBE 的位置(如图2所示)，连接AP 、PF ，其中PF ＝2 5.(1)求证：PF ⊥平面ABED ； (2)求点A 到平面PBE 的距离． (1)证明：在题图2中，连接EF ，由题意可知，PB ＝BC ＝AD ＝6，PE ＝CE ＝CD －DE ＝9， 在△PBF 中，PF 2＋BF 2＝20＋16＝36＝PB 2， 所以PF ⊥BF .在题图1中，连接EF ，作EH ⊥AB 于点H ，利用勾股定理，得EF ＝62＋（12－3－4）2＝61，在△PEF 中，EF 2＋PF 2＝61＋20＝81＝PE 2， 所以PF ⊥EF ，又因为BF∩EF＝F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，所以PF⊥平面ABED.(2)解：如图所示，连接AE，由(1)知PF⊥平面ABED，所以PF为三棱锥P-ABE的高．设点A到平面PBE的距离为h，因为V A-PBE＝V P-ABE，即13×12×6×9×h＝13×12×12×6×25，所以h＝85 3，即点A到平面PBE的距离为85 3.15.如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥EBB1C1C的体积．(1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)解：由(1)知∠BEB1＝90°.- 1 -由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ， 所以∠AEB ＝∠A 1EB 1＝45°， 故AE ＝AB ＝3，AA 1＝2AE ＝6. 如图所示，作EF ⊥BB 1，垂足为F ， 则EF ⊥平面BB 1C 1C ，且EF ＝AB ＝3.所以四棱锥E-BB 1C 1C 的体积V ＝13×3×6×3＝18.。

直线、平面垂直的性质【学习目标】1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题．【要点梳理】要点一、直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．要点二、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．2．平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．要点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．垂直间的关系可按下面的口诀记忆：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清．平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件．面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝．先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见．借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线．两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面．要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间．【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）．（1）若a，b都平行于平面α，求证：AB⊥α；（2）若a，b分别垂直于平面α，β，且cαβ=，求证：AB∥c．【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥α，可先证明线与线的平行．（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB ∥c．证明：（1）如图（1），在α内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面α的交线为a＇，设直线b与点P确定的平面与平面α的交线为b＇．∵a∥α，b∥α，∴a∥a＇，b∥b＇．又∵AB⊥α，AB⊥b，∴AB⊥a＇，AB⊥b＇，∴AB⊥α．（2）如图，过B作BB＇⊥α，则AB⊥BB＇．又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB＇确定的平面．∵b⊥β，∴b⊥c，∵BB＇⊥α，∴BB＇⊥c．∴c也垂直于由BB＇和b确定的平面．故c∥AB．【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明．举一反三：【变式1】设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【答案】B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．高清：空间的线面垂直398999 例3例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．【思路点拨】（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE；（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB ⊥PD 可得 PD⊥面ABE。

核心素养提升练四十二直线、平面垂直的判定及其性质(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.m是一条直线，α，β是两个不同的平面，以下命题正确的是( )A.若m∥α，α∥β，则m∥βB.若m∥α，m∥β，则α∥βC.若m∥α，α⊥β，则m⊥βD.若m∥α，m⊥β，则α⊥β【解析】选D.A.若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，A错;B，若m∥α，m∥β，则α∥β或α∩β=l，B错;C，若m∥α，α⊥β，则m与β相交或m∥β或m⊂β，C错;D，因为m∥α，存在直线n，使m∥n，n⊂α.因为m⊥β，所以n⊥β.又因为n⊂β，所以α⊥β.2.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( )A.若m⊥n，n∥α，则m⊥αB.若m∥β，β⊥α，则m⊥αC.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α【解析】选C.A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，错误;B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误;C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确;D 中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误.3.下列三个命题中，正确命题的个数是( )①若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则α∥β;②平面α⊥平面β，且α∩β=l，点A∈α，A∉l，若直线AB⊥l，则AB⊥β;③直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，若m⊥n，则α⊥β.A.0B.1C.2D.3【解析】选B.①，例如墙角的三个面，则α⊥β;②，如果加入条件AB⊂α，则AB⊥β;③，从向量角度看，m与n分别是α，β的法向量，显然m⊥n，即α⊥β.所以只有③正确.4.四面体P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=8，BC=4，PB=PC=AB=AC，且平面PBC⊥平面ABC，则球O的表面积为( )A.64πB.65πC.66πD.128π【解析】选B.如图，D，E分别为BC，PA的中点，易知球心点O在线段DE上，因为PB=PC=AB=AC，则PD⊥BC，AD⊥BC，PD=AD.又因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，所以PD⊥平面ABC，所以PD⊥AD，所以PD=AD=4.因为点E是PA的中点，所以ED⊥PA，且DE=EA=PE=4 .设球O的半径为R，OE=x，则OD=4-x.在Rt△OEA中，有R2=16+x2，在Rt△OBD中，有R2=4+(4-x)2，解得R2=，所以S=4πR2=65π.5.如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是( )A.PB⊥ACB.PD⊥平面ABCDC.AC⊥PDD.平面PBD⊥平面ABCD【解析】选B.取BP的中点O，连接OA，OC，易得BP⊥OA，BP⊥OC⇒BP⊥平面OAC⇒BP⊥AC⇒选项A正确;又AC⊥BD⇒AC⊥平面BDP⇒AC⊥PD，平面PBD⊥平面ABCD，故选项C，D正确.6.直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF相交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为( )A. B.1 C. D.2【解析】选A.设B1F=x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1=，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE=h.又2×=h，所以h=，DE=.在Rt△DB1E中，B1E==.由面积相等得×=x，得x=.二、填空题(每小题5分，共10分)7.α，β是两个平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件:①AC⊥β;②AC与α，β所成的角相等;③AC与CD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是________.【解析】由题意得，AB∥CD，所以A，B，C，D四点共面，①因为AC⊥β，EF⊂β，所以AC⊥EF，又因为AB⊥α，EF⊂α，所以AB⊥EF，因为AB∩AC=A，所以EF⊥平面ABDC，又因为BD⊂平面ABDC，所以BD⊥EF，故①正确;②由①可知，若BD⊥EF成立，则有EF⊥平面ABDC，则有EF⊥AC成立，而AC与α，β所成角相等是无法得到EF⊥AC的，故②错误;③由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知EF⊥AC，由①可知③正确;④仿照②的分析过程可知④错误.答案:①③8.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________.【解析】由题意知PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.又AC⊥BC，且PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AF.因为AF⊥PC，且BC∩PC=C，所以AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF=A，所以PB⊥平面AEF，所以PB⊥EF.故①②③正确.答案:①②③三、解答题(每小题10分，共20分)9.如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.(1)求证:CD⊥平面ABD.(2)若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A-MBC的体积. 【解析】(1)因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD.又因为CD⊥BD，AB∩BD=B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD.(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD.又AB=BD=1，所以S△ABD=×12=.因为M是AD的中点，所以S△ABM=S△ABD=.根据(1)知，CD⊥平面ABD，则三棱锥C-ABM的高h=CD=1，故V A-MBC=V C-ABM=S△ABM·h=.10.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，△PAD≌△BAD，平面PAD⊥平面ABCD，AB=4，PA=PD，M在棱PD上运动.(1)当M在何处时，PB∥平面MAC.(2)已知O为AD的中点，AC与OB交于点E，当PB∥平面MAC时，求三棱锥E-BCM的体积.【解析】(1)如图，设AC与BD相交于点N，当M为PD的中点时，PB∥平面MAC，证明:因为四边形ABCD是菱形，可得DN=NB，又因为M为PD的中点，可得DM=MP，所以NM为△BDP的中位线，可得NM∥PB，又因为NM⊂平面MAC，PB⊄平面MAC，所以PB∥平面MAC.(2)因为O为AD的中点，PA=PD，则OP⊥AD，又△PAD≌△BAD，所以OB⊥AD，且OB=2，又因为△AEO∽△CEB，所以==，所以BE=OB=，所以S△EBC=×4×=.又因为OP=4×=2，点M为PD的中点，所以M到平面EBC的距离为，所以V E-BCM=V M-EBC=××=.(20分钟40分)1.(5分)如图，在三棱锥D ABC中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BCDC.平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE【解析】选C.因为AB=CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC ⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.2.(5分)下列命题中错误的是( )A.如果直线a与平面α不平行，则平面α内不存在与a平行的直线B.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么直线l⊥平面γC.如果直线l⊥平面β，那么过直线l的所有平面都垂直于平面βD.一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交【解析】选A.如果直线a与平面α不平行，则直线a可能是平面α内一条直线，所以A错误;在平面γ内作两条相交直线m，n分别垂直于平面α与平面γ的交线及平面β与平面γ的交线，则由平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，得m，n分别垂直于平面α及平面β，即m，n都垂直于直线l，因此直线l⊥平面γ，即B正确;由面面垂直的判定定理可知C正确;当一条直线与两个平行平面中的一个平面相交时，若此直线在另一个平面内，则与原平面无交点，矛盾，若此直线与另一个平面平行，则可得此直线与原平面平行或在原平面内，矛盾，因此此直线必与另一个平面相交，即D正确.3.(5分)在Rt△ABC中，AC⊥BC，BC=3，AB=5，点D，E分别在AC，AB边上，且DE∥BC，沿着DE将△ADE 折起至△A′DE的位置，使得平面A′DE⊥平面BCDE，其中点A′为点A翻折后对应的点，则当四棱锥A′-BCDE的体积取得最大值时，AD的长为________.【解析】由勾股定理易得:AC=4，设AD=x，则CD=4-x，而△AED∽△ABC，故DE=x，四棱锥A′-BCDE的体积:V(x)=×××(4-x)×x=(16x-x3)(0<x<4).求导可得:V′(x)=(16-3x2)(0<x<4)，当0<x<时，V′(x)>0，V(x)单调递增;当<x<4时，V′(x)<0，V(x)单调递减;故当x=时，V(x)取得最大值.答案:4.(12分)如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点.(1)求证:VB∥平面MOC.(2)求证:平面MOC⊥平面VAB.(3)求三棱锥V-ABC的体积.【解析】(1)因为点O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)因为AC=BC，点O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.又因为OC⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，所以AB=2，OC=1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB=.又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥C-VAB的体积等于×OC×S△VAB=.又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，所以三棱锥V-ABC的体积为.5.(13分)如图M，N，P分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，DD1上的点.(1)若=，求证:无论点P在D1D上如何移动，总有BP⊥MN.(2)棱DD1上是否存在这样的点P，使得平面APC1⊥平面ACC1?证明你的结论.【解析】(1)连接AC，BD，在△ABC中，因为=，所以MN∥AC.又因为AC⊥BD，DD1⊥底面ABCD.所以DD1⊥AC，因为BD∩DD1=D，所以AC⊥平面BDD1B1.所以MN⊥平面BDD1B1.因为BP⊂平面BDD1B1，所以MN⊥BP.(2)假设存在点P，使平面APC1⊥平面ACC1，过点P作PF⊥AC1，则PF⊥平面ACC1.又因为BD⊥平面ACC1，所以PF∥BD，而两平行线PF，BD所确定的平面即为两相交直线BD，DD1确定的对角面BB1D1D，所以F为AC1与对角面BB1D1D的交点，故F为AC1的中点，由PF∥BD，P∈DD1知，点P也是DD1的中点.显然，当点P为DD1的中点，点F为AC1的中点时，AP=PC1，所以PF⊥AC1又PF∥BD，BD⊥AC，所以PF⊥AC.从而PF⊥平面ACC1，则平面APC1⊥平面ACC1.故存在点P，当点P为DD1中点时，平面APC1⊥平面ACC1.关闭Word文档返回原板块。

直线、平面垂直的判定与性质【考纲说明】1、能够认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。

2、能够运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。

【知识梳理】一、直线与平面垂直的判定与性质 1、直线与平面垂直（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。

如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。

（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作.//a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭（3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

即,//a b a b αα⊥⊥⇒.由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。

2、直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。

一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是00的角。

3、二面角的平面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

如果记棱为l ，那么两个面分别为αβ、的二面角记作l αβ--.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。

其作用是衡量二面角的大小；范围：000180θ<<.二、平面与平面垂直的判定与性质1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

简述为“线面垂直，则面面垂直”，记作l l βαβα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭.3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作l m m m lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭I .【经典例题】【例1】（2012浙江文）设l 是直线,a,β是两个不同的平面 （ ） A ．若l ∥a,l ∥β,则a∥β B ．若l ∥a,l ⊥β,则a⊥β C ．若a⊥β,l ⊥a,则l ⊥β D ．若a⊥β,l ∥a,则l ⊥β 【答案】B【解析】利用排除法可得选项B 是正确的,∵l ∥a,l ⊥β,则a⊥β.如选项A:l ∥a,l ∥β时,a⊥β或a∥β;选项C:若a⊥β,l ⊥a,l ∥β或l β⊂;选项D:若若a⊥β,l ⊥a,l ∥β或l ⊥β.【例2】（2012四川文）下列命题正确的是 （ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C【解析】若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A 错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D 错;故选项C 正确.【例3】（2012山东）已知直线m 、n 及平面α，其中m∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①④C ．①②④D ．②④ 【答案】C【解析】如图1，当直线m 或直线n 在平面α内时有可能没有符合题意的点；如图2，直线m 、n 到已知平面α的距离相等且所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m 、n 所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C.【例4】（2012四川理）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是____________.【答案】90o【解析】方法一:连接D 1M,易得DN⊥A 1D 1,DN⊥D 1M,所以,DN⊥平面A 1MD 1,又A 1M ⊂平面A 1MD 1,所以,DN⊥A 1D 1,故夹角为90o方法二:以D 为原点,分别以DA,DC,DD 1为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系D —xyz.设正方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A 1(2,0,2)故,），（），（2,121,2,01-== N MB 1A 1C 1D 1BD C所以,cos<|MA ||DN |111MA DN MA DN •=〉〈，=0,故DN⊥D 1M,所以夹角为90o【例5】（2012大纲理）三棱柱111ABC A B C -中,底面边长和侧棱长都相等,1160BAA CAA ∠=∠=︒,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为_____________. 【答案】66【解析】设该三棱柱的边长为1,依题意有1111,AB AB AA BC AC AA AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r,则22221111||()222cos603AB AB AA AB AB AA AA =+=+⋅+=+︒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r而1111()()AB BC AB AA AC AA AB ⋅=+⋅+-u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r【例6】（2011·福建）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________． 【答案】【解析】∵EF∥面AB 1C ，∴EF∥AC .又E 是AD 的中点，∴F 是DC 的中点． ∴EF ＝AC ＝.【例7】（2012年山东文）如图,几何体E ABCD -是四棱锥,△ABD 为正三角形,,CB CD EC BD =⊥. （1）求证:BE DE =;（2）若∠120BCD =︒,M 为线段AE 的中点, 求证:DM ∥平面BEC .【解析】（1）设BD 中点为O ,连接OC ,OE ,则由BC CD =知CO BD ⊥,又已知CE BD ⊥,所以BD ⊥平面OCE .所以BD OE ⊥,即OE 是BD 的垂直平分线,所以BE DE =.（2）取AB 中点N ,连接,MN DN ,∵M 是AE 的中点,∴MN ∥BE , ∵△ABD 是等边三角形,∴DN AB ⊥.由∠BCD =120°知,∠CBD =30°, 所以∠ABC =60°+30°=90°,即BC AB ⊥,所以ND ∥BC ,所以平面MND ∥平面BEC ,又DM ⊂平面MND ,故DM ∥平面BEC . 另证:延长BC AD ,相交于点F ,连接EF.因为CB=CD,090=∠ABC . 因为△ABD 为正三角形,所以0090,60=∠=∠ABC BAD ,则030=∠AFB ,所以AF AB 21=,又AD AB =, 所以D 是线段AF 的中点,连接DM,又由点M 是线段AE 的中点知EF DM //,而⊄DM 平面BEC ,⊂EF 平面BEC ,故DM ∥平面BEC .【例8】（2011天津）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点． （1）证明：PB∥平面ACM ； （2）证明：AD ⊥平面PAC ；（3）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值． 【解析】（1）证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB∥MO .因为PB ?平面ACM ，MO ?平面ACM ，所以PB∥平面ACM .（2）证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC ，又PO ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面PAC . （3）取DO 中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN∥PO ，且MN ＝PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角，在Rt△DAO 中，AD ＝1，AO ＝，所以DO ＝，从而AN ＝DO ＝.在Rt△ANM 中，tan∠MAN ＝＝＝，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为.【例9】（2012湖南文）如图，在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD 是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD. （1）证明:BD⊥PC;（2）若AD=4,BC=2,直线PD 与平面PAC 所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD 的体积. 【解析】（1）因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥⊂⊥平面平面所以又,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 内的两条相较直线,所以BD ⊥平面PAC, 而PC ⊂平面PAC,所以BD PC ⊥.（2）设AC 和BD 相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD ⊥平面PAC, 所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角,从而DPO ∠30=o . 由BD ⊥平面PAC,PO ⊂平面PAC,知BD PO ⊥. 在Rt POD V 中,由DPO ∠30=o ,得PD=2OD.因为四边形ABCD 为等腰梯形,AC BD ⊥,所以,AOD BOC V V 均为等腰直角三角形, 从而梯形ABCD 的高为111(42)3,222AD BC +=⨯+=于是梯形ABCD 面积 在等腰三角形AOD 中,2,22,2OD AD == 所以22242, 4.PD OD PA PD AD ===-=故四棱锥P ABCD -的体积为11941233V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.【例10】（2012新课标理）如图,直三棱柱111ABC A B C -中,112AC BC AA ==,D 是棱1AA 的中点,BD DC ⊥1 （1）证明:BC DC ⊥1（2）求二面角11C BD A --的大小.【解析】（1）在Rt DAC ∆中,AD AC =得:45ADC ︒∠=同理:1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=得:111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥ 取11A B 的中点O ,过点O 作OH BD ⊥于点H ,连接11,C O C H1111111AC B C C O A B =⇒⊥,面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥⇒⊥得:点H 与点D 重合且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角设AC a =,则12C O =,111230C D C O C DO ︒==⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30︒【课堂练习】．（2012浙江理）已知矩形ABCD ,AB =1,BC将∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中（ ）A ．存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置,三直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直 ．（2012四川理）下列命题正确的是 （ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行3．（2011重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( )A ．只有1个B ．恰有3个C ．恰有4个D ．有无穷多个4．（2012上海）已知空间三条直线l ，m ，n 若l 与m 异面,且l 与n 异面,则 （ ） A ．m 与n 异面. B ．m 与n 相交. C ．m 与n 平行. D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能. 5．（2011烟台）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m ⊥n ，则α∥β；③若m ⊥α，n∥β，m ⊥n ，α•AB•β则α∥β；④若m ⊥α，n∥β，α∥β，则m ⊥n . 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．（2011潍坊）已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m∥n ，m ?α，n ?β，则α∥βC ．若m∥n ，m∥α，则n∥αD ．若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β7.（2010全国卷文）直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（）A ．30°B．45°C．60°D．90°8.（2010全国卷）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC1D 所成角的余弦值为（）AB．23D 9.（2010全国Ⅱ卷理）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A ．1B ．2D ．310.（2010全国Ⅰ卷）已知在半径为2的球面上有A ．B ．C ．D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为（）ABC．11.（2010江西理）过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线L ，使L 与棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等，这样的直线L 可以作（） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12.（2012大纲）已知正方形1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为1BB ,1CC 的中点,那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为____.13.（2010上海文）已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱椎的体积是.14.（2010四川卷）如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是.15.（江西卷文）长方体1111ABCD A B C D -的顶点均在同一个球面上，11AB AA ==，2BC =，则A ，B 两点间的球面距离为16.（2010湖南理）如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点。

7.4空间直线、平面的垂直必备知识预案自诊知识梳理1.直线与平面垂直图形条2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理图形语言符号语言llβαα⋂βbb3.直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)线面角θ的范围:θ∈[0°,90°].4.二面角的有关概念(1)二面角:从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角.(2)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c.()(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.()(3)设m,n是两条不同的直线,α是一个平面,若m∥n,m⊥α,则n⊥α.()(4)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.()2.(2020黑龙江大庆高三三模)设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,“l⊥α”是“l⊥m,且l ⊥n”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(多选)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,点C是圆周上异于A,B任意一点,则下列结论中正确的是()A.PB⊥ACB.PC⊥BCC.AC⊥平面PBCD.平面PAC⊥平面PBC4.(2020新高考全国1,4)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成的角为()A.20°B.40°C.50°D.90°5.在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的心;(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的心.关键能力学案突破考点线面垂直的判定与性质(多考向探究)考向1证明线面垂直【例1】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥DC,PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点,且DF=12AB,PH为△PAD中AD边上的高.求证:(1)PH⊥平面ABCD;(2)EF⊥平面PAB.考向2证明线线垂直【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为D1D的中点,O为底面ABCD的中心,求证:B1O ⊥AP.解题心得证明直线与平面垂直与利用线面垂直的性质证明线线垂直的通法是线面垂直的判定定理的应用,其思维流程为:对点训练1如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F在BB1上.(1)求证:C1D⊥平面AA1B1B;(2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可以使AB1⊥平面C1DF?请选择并证明你的结论.①F为BB1的中点;②AB1=√3;③AA1=√2.考点面面垂直的判定与性质【例3】(一题多解)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.求证:(1)CE∥平面PAD;(2)平面EFG⊥平面EMN.思维变式1(变设问)在本例条件下,证明:平面EMN⊥平面PAC.思维变式2(变设问)在本例条件下,证明:平面EFG∥平面PAC.解题心得1.面面垂直判定的2种方法与1个转化(1)2种方法:①面面垂直的定义;②面面垂直的判定定理.(2)1个转化:在已知两个平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.2.面面垂直性质的应用(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”.(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.考点垂直关系中的探索性问题【例4】如图,在三棱台ABC-DEF中,CF⊥平面DEF,AB⊥BC.(1)设平面ACE∩平面DEF=a,求证:DF∥a;(2)若EF=CF=2BC,试问在线段BE上是否存在点G,使得平面DFG⊥平面CDE?若存在,请确定G点的位置;若不存在,请说明理由.解题心得(1)对于线面关系中的存在性问题,首先假设存在,然后在该假设条件下,利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证,寻找假设满足的条件,若满足则肯定假设,若得出矛盾的结论则否定假设.(2)对于探索性问题用向量法比较容易入手,一般先假设存在,设出空间点的坐标,转化为代数方程是否有解的问题,若有解且满足题意则存在,若有解但不满足题意或无解则不存在.对点训练2如图,在四棱锥S-ABCD中,侧棱SA=SB=SC=SD,底面ABCD是菱形,AC与BD交于O点.(1)求证:AC⊥平面SBD;(2)若E为BC的中点,点P在侧面△SCD内及其边界上运动,并保持PE⊥AC,试指出动点P的轨迹,并证明.考点空间位置关系与几何体的度量计算【例5】如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PCD,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;(2)求证:PD⊥平面PBC;(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.解题心得1.本题证明的关键是垂直与平行的转化,如由AD∥BC,AD⊥PD,得PD⊥BC,进而利用线面垂直的判定定理证明PD⊥平面PBC.2.利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是完整统一过程,缺一不可.(1)线面角的求法:找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足,要把线面角转化到一个三角形中求解.(2)二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有:①定义法;②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.对点训练3如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PE⊥FG.(2)求二面角P-AD-C的平面角的正切值.(3)求直线PA与直线FG所成的角的余弦值.类型一将平面图形折叠成立体图形【例1】(2020山东德州一中高考模拟)如图是正四棱锥P-ABCD的平面展开图,其中点P1,P2,P3,P4是顶点P展开后的四个点,E,F,G,H分别为P3A,P2D,P4C,P4B的中点,在此四棱锥中,给出下面五个结论:①平面EFGH∥平面ABCD;②PA∥平面BDG;③EF∥平面PBC;④FH∥平面BDG;⑤EF∥平面BDG.其中正确结论的序号是.,如图所示.①∵E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点∴EF∥AD,GH∥BC.∵AD∥BC,∴EF∥GH,∴EF,GH确定平面EFGH.∵EF⊂平面EFGH,AD⊄平面EFGH,∴AD∥平面EFGH,同理AB∥平面EFGH,AB∩AD=A,AB,AD⊂平面ABCD,∴平面EFGH∥平面ABCD,故①正确;②连接AC,BD交于点O,则O为AC中点,连接OG,G为PC中点,∴OG∥PA,OG⊂平面BDG,PA⊄平面BDG,∴PA∥平面BDG,故②正确;③∵E,F分别为PA,PD的中点,∴EF∥AD.∵四边形ABCD为正方形,∴AD∥BC,∴EF∥BC.又BC⊂平面PBC,EF⊄平面PBC,∴EF∥平面PBC.故③正确;④连接FH,∵F,H为PD,PB的中点,∴FH∥BD.∵BD⊂平面BDG,FH⊄平面BDG,∴FH∥平面BDG.故④正确;⑤由题知,EF∥GH,GH与平面BDG相交,∴EF与平面BDG相交,故⑤错误.故答案为①②③④.解题心得画折叠图形一般以某个面为基础,依次将其余各面翻折,当然,画图之前要对翻折后形成的立体图形有所认识,这是解答此类问题的关键.对点训练1如图是一个正方体表面的一种平面展开图,图中的四条线段AB,CD,EF和GH 在原正方体中相互异面的有对.类型二折叠中的“变”与“不变”【例2】如图1,在等腰直角三角形ABC中,A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE=√2,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱锥A'-BCDE,其中A'O=√3.(1)证明:A'O ⊥平面BCDE ;(2)求二面角A'-CD-B 的平面角的余弦值.1中,易得OC=3,AC=3√2,AD=2√2. 连接OD ,OE ,在△OCD 中,由余弦定理可得OD=√OC 2+CD 2-2OC ·CDcos45°=√5. 由翻折不变性可知A'D=2√2,所以A'O 2+OD 2=A'D 2,所以A'O ⊥OD.同理可证A'O ⊥OE.又OD ∩OE=O ,OD ,OE 均是平面BCDE 中的直线, 所以A'O ⊥平面BCDE.O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ,连接A'H ,因为A'O ⊥平面BCDE ,所以A'H ⊥CD ,所以∠A'HO 为二面角A'-CD-B 的平面角.结合图1可知,OH=12AB=3√22,从而A'H=√OH 2+OA '2=√302,所以cos ∠A'HO=OH A 'H =√155, 所以二面角A'-CD-B 的平面角的余弦值为√155.解题心得折叠中的“变”与“不变”一般地,在同一半平面内的几何元素之间的关系是不变的.涉及两个半平面内的几何元素之间的关系是要变化的.分别位于两个半平面内,但垂直于折叠棱的直线翻折后仍然垂直于折叠棱.对点训练2(2020安徽肥东综合高中二模)如图1,在边长为4的正方形ABCD 中,点E ,F 分别是AB ,BC 的中点,点M 在AD 上,且AM=14AD ,将△AED ,△DCF 分别沿DE ,DF 折叠,使A ,C 两点重合于点P ,如图2所示.(1)试判断PB 与平面MEF 的位置关系,并给出证明; (2)求二面角M-EF-D 的平面角的余弦值.类型三 立体图形的表面展开图的应用【例3】如图,在一个底面直径是5 cm,高为2π cm 的圆柱形玻璃杯子的上沿B 处有一只苍蝇,而恰好在相对的底沿A 处有一只蜘蛛,A ,B 两点是圆柱的一个轴截面的顶点,蜘蛛要想用最快的速度捕捉到这只苍蝇,蜘蛛所走的最短的路程是 .cm,如图,蜘蛛所走的最短的路程是线段AB 的长,AC=12×5π=52π(cm),BC=2πcm,则AB=√(2π)2+(52π) 2=√412πcm,即蜘蛛所走的最短的路程是√412πcm .解题心得求从一点出发沿几何体表面到另一点的最短距离问题:通常把几何体的侧面展开,转化为平面图形中的距离问题.对点训练3如图所示,已知圆锥中,底面半径r=1,母线长l=4,M为母线SA上的一个点,且SM=x,从点M拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点A.求:(1)绳子的最短长度的平方f(x);(2)绳子最短时,圆锥的顶点S到绳子的最短距离;(3)f(x)的最大值.指点迷津(二)球与空间几何体的切接问题1.外接球的问题球面经过多面体的所有顶点的球,叫多面体的外接球.球面经过旋转体的底面圆周和顶点(如果有顶点的话)的球,叫旋转体的外接球.解决外接球的问题,要注意球心到顶点的距离就是球的半径,长方体外接球的直径就是长方体的对角线长,三棱锥的外接球要找出三棱锥的底面截球所得的截面圆,画出以这个截面圆的直径为弦的球的大圆,把问题转化为研究圆的问题,利用大圆的弦(三棱锥底面外接圆的直径)和球半径之间的关系,求出球的半径,那么问题就容易解决了.旋转体的外接球问题,要画出轴截面,把问题转化为平面几何中圆的问题来解决.【例1】(1)三棱锥P-ABC 中,AB=BC=√15,AC=6,PC ⊥平面ABC ,PC=2,则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.253πB.252πC .833πD.832π(2)已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆,则该圆锥的外接球的表面积是( ) A.4π3B.4πC .16π3D.16π√2,则该正四面体外接球的体积为 .,关键是求出球的半径,结合球心与截面圆圆心的距离、球半径、截面圆半径所构造的直角三角形勾股关系求解.(2)C (3)√32π解析(1)由题可知,△ABC 中AC 边上的高为√15-32=√6,球心O 在底面ABC 的投影即为△ABC 的外心D ,设DA=DB=DC=x ,所以x 2=32+(√6-x )2,解得x=54√6.易证PC=2OD ,所以R 2=x 2+PC 22=758+1=838(其中R 为三棱锥外接球的半径),所以外接球的表面积S=4πR 2=832π,故选D .(2)设圆锥底面半径为r ,则2πr=2π,故r=1,所以圆锥轴截面为边长为2的正三角形,圆锥外接球球心是正三角形中心,外接球半径是正三角形外接圆半径R=23×√32×2=2√33,所以该圆锥外接球的表面积为4πR 2=16π3,故选C .(3)将正四面体补成一个正方体,如图,则正方体棱长为1,正方体对角线长为√3,因为正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长,所以外接球的体积为43πR 3=43π×√323=√32π.方法总结要求外接球的表面积和体积,关键是求出球的半径,求外接球半径的常见方法有:①若三棱锥的三条棱两两垂直则用4R 2=a 2+b 2+c 2(a ,b ,c 为三条棱的长);②若SA⊥平面ABC(SA=a),则4R2=4r2+a2(r为△ABC外接圆半径);③可以转化为长方体的外接球;④特殊几何体可以直接找出球心和半径.变式发散若本例(1)中,三棱锥P-ABC的底面△ABC变为边长为√3的等边三角形,其他条件不变,求该三棱锥外接球的表面积.2.内切球的问题与多面体(或旋转体)的各个面都相切的球,叫做多面体(或旋转体)的内切球.解答内切球的问题时,首先要找准切点,通过部分切点和球心作球的大圆截面来解决.如正四面体的内切球,要用两个切点和球心三点确定的平面作截面,如图截面三角形只有两条边和球的大圆相切,有了这个截面图形,问题转化为三角形和圆的问题,再利用切点是等边三角形的中心,那么问题很容易解决.【例2】设球O内切于正三棱柱ABC-A1B1C1,则球O的体积与正三棱柱ABC-A1B1C1的体积的比值为.O半径为R,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,则R=13×√32a=√36a,即a=2√3R.又正三棱柱ABC-A1B1C1的高为2R,所以球O的体积与正三棱柱ABC-A1B1C1的体积的比值为43πR3√34a×2R =43πR3√34×12R×2R=2√3π27.方法总结处理球的“切”问题的求解策略与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果内切于多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.对点练习1(2020陕西榆林高三模拟)已知正四面体A-BCD外接球的体积为8√6π,则这个四面体的表面积为()A.18√3B.16√3C.14√3D.12√3对点练习2球O与棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面都相切,点M 为棱DD1的中点,则平面ACM截球O所得截面的面积为()A.4π3B.πC.2π3D.π3对点练习3已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,当注入的水的体积是该三棱锥体积的78时,小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切),则小球的表面积等于()A.7π6B.4π3C.2π3D.π27.4空间直线、平面的垂直必备知识·预案自诊知识梳理1.任意m∩n=O a⊥αb⊂αa∥b2.(1)直二面角(2)垂线交线b⊥α4.(1)两个半平面考点自诊1.(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2.A设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,若l⊥α,则l⊥m,且l⊥n,反之若l⊥m,且l⊥n,当m∥n时,推不出l⊥α,故“l⊥α”是“l⊥m,且l⊥n”的充分不必要条件,故选A.3.BD因为PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,所以PA⊥BC,PA⊥AC.又点C是圆周上异于A,B的任意一点,所以AC⊥BC.对于选项A,若PB⊥AC,则可得AC⊥平面PBC,则AC⊥PC,与PA⊥AC矛盾,故选项A错误;对于选项B、D,可知BC⊥平面PAC,所以PC⊥BC,由BC⊂平面PBC,可得平面PAC⊥平面PBC,故选项B,D正确;对于选项C,由AC与PC不垂直,可得AC⊥平面PBC不成立,故选项C错误.故选BD.4.B由题意知,如图,圆O为赤道所在的大圆.圆O1是在点A处与赤道所在平面平行的晷面.O1C为晷针所在的直线.直线OA在圆O所在平面的射影为直线OB,点B在圆O上,则∠AOB=40°, ∴∠COA=50°.又∠CAO=90°,∴∠OCA=40°.∴晷针与点A处的水平面所成角为40°,故选B.5.(1)外(2)垂(1)如图,连接OA,OB,OC,OP,在Rt△POA,Rt△POB和Rt△POC中,PA=PB=PC,所以OA=OB=OC,即点O为△ABC的外心.(2)如图,延长AO,BO,CO分别交BC,AC,AB于H,D,G.因为PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,所以PC⊥平面PAB,又AB⊂平面PAB,所以PC⊥AB,因为AB⊥PO,PO∩PC=P,所以AB⊥平面PGC,又CG⊂平面PGC,所以AB⊥CG,即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD,AH分别为△ABC边AC,BC上的高,即点O为△ABC的垂心.关键能力·学案突破例1证明(1)∵AB⊥平面PAD,AB⊂平面ABCD,∴平面PAD⊥平面ABCD.∵平面PAD∩平面ABCD=AD,PH⊥AD,∴PH⊥平面ABCD.(2)取PA的中点M,连接MD,ME.∵E是PB的中点,∴ME 12 AB.又∵DF 12AB,∴ME DF,∴四边形MEFD是平行四边形,∴EF∥MD.∵PD=AD,∴MD⊥PA.∵AB⊥平面PAD,∴MD⊥AB.∵PA∩AB=A,∴MD⊥平面PAB,∴EF⊥平面PAB.例2证明如图,易证AB1=CB1.又因为O为AC的中点,所以B1O⊥AC.在矩形BDD1B1中,O,P分别为BD,D1D的中点.易证△POD∽△OB1B,所以∠POD=∠OB1B.所以B1O⊥PO.又AC∩PO=O,所以B1O⊥平面PAC.又AP⊂平面PAC,所以B1O⊥AP.对点训练1(1)证明∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴AA1⊥平面A1B1C1.∵A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°.又D是A1B1的中点,∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1,C1D⊂平面A1B1C1,∴AA1⊥C1D,又A1B1∩AA1=A1,∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)解选①③能证明AB1⊥平面C1DF.连接A1B,∴DF∥A1B,在△ABC中,AC=BC=1,∠ACB=90°,则AB=√2,又AA1=√2,则A1B⊥AB1,∴DF⊥AB1.∵C1D⊥平面AA1B1B,AB1⊂平面AA1B1B,∴C1D⊥AB1.∵DF∩C1D=D,∴AB1⊥平面C1DF.例3证明(1)(方法1)取PA的中点H,连接EH,DH.因为E为PB的中点,所以EH 12AB.又CD 12AB,所以EH CD.所以四边形DCEH是平行四边形,所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,所以CE∥平面PAD.(方法2)连接CF.因为F为AB的中点,所以AF=12AB.又CD=12AB,所以AF=CD.又AF∥CD,所以四边形AFCD为平行四边形.因此CF∥AD,又CF⊄平面PAD,AD⊂平面PAD, 所以CF∥平面PAD.因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.又EF⊄平面PAD,PA⊂平面PAD,所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF=F,故平面CEF∥平面PAD.又CE⊂平面CEF,所以CE∥平面PAD.(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.又因为AB⊥PA,所以EF⊥AB,同理可证AB⊥FG.又因为EF∩FG=F,EF,FG⊂平面EFG,所以AB⊥平面EFG.又因为M,N分别为PD,PC的中点,所以MN∥CD.又AB∥CD,所以MN ∥AB ,所以MN ⊥平面EFG.又因为MN ⊂平面EMN ,所以平面EFG ⊥平面EMN. 思维变式1证明因为AB ⊥PA ,AB ⊥AC ,且PA ∩AC=A ,PA ,AC ⊂平面PAC , 所以AB ⊥平面PAC.又MN ∥CD ,CD ∥AB ,所以MN ∥AB ,所以MN ⊥平面PAC. 又MN ⊂平面EMN ,所以平面EMN ⊥平面PAC.思维变式2证明因为E ,F ,G 分别为PB ,AB ,BC 的中点,所以EF ∥PA ,FG ∥AC ,又EF ⊄平面PAC ,PA ⊂平面PAC , 所以EF ∥平面PAC. 同理FG ∥平面PAC. 又EF ∩FG=F ,所以平面EFG ∥平面PAC. 例4(1)证明在三棱台ABC-DEF 中,AC ∥DF ,AC ⊂平面ACE ,DF ⊄平面ACE ,∴DF ∥平面ACE. 又∵DF ⊂平面DEF ,平面ACE ∩平面DEF=a ,∴DF ∥a.(2)解线段BE 上存在点G ,且BG=13BE 时,使得平面DFG ⊥平面CDE.取CE 的中点O ,连接FO 并延长交BE 于点G ,交CB 的延长线于点H , 连接GD ,∵CF=EF ,∴GF ⊥CE.在三棱台ABC-DEF 中,AB ⊥BC ,可得DE ⊥EF. 由CF ⊥平面DEF ,可得CF ⊥DE. 又CF ∩EF=F ,∴DE ⊥平面CBEF , ∵GF ⊂平面CBEF ,∴DE ⊥GF.∵CE ∩DE=E ,CE ⊂平面CDE ,DE ⊂平面CDE ,∴GF ⊥平面CDE. 又GF ⊂平面DFG ,∴平面DFG ⊥平面CDE. ∵O 为CE 的中点,EF=CF=2BC ,由平面几何知识易证△HOC ≌△FOE ,∴HB=BC=12EF. 由△HGB ∽△FGE ,可知BGGE =HBEF =12,即BG=13BE. 对点训练2(1)证明连接SO ,∵底面ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD.又SA=SC,∴AC⊥SO.而SO∩BD=O,∴AC⊥平面SBD.(2)解取棱SC中点M,CD中点N,连接MN,则动点P的轨迹即是线段MN.连接EM,EN,∵E是BC的中点,M是SC的中点,∴EM∥SB.同理,EN∥BD,∴平面EMN∥平面SBD,∵AC⊥平面SBD,∴AC⊥平面EMN.因此,当点P在线段MN上运动时,总有AC⊥PE.例5(1)解如图,由已知AD∥BC,故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PCD,PD⊂平面PCD,所以AD⊥PD.在Rt△PAD中,由已知,得AP=√AD2+PD2=√5,故cos∠DAP=ADAP=√55.所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为√55.(2)证明由(1)知AD⊥PD,又因为BC∥AD,所以PD⊥BC.又PD⊥PB,BC∩PB=B,所以PD⊥平面PBC.(3)解过点D作DF∥AB,交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因PD⊥平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,所以∠DFP为直线DF 和平面PBC所成的角.由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1.由已知,得CF=BC-BF=2.又AD⊥DC,故BC⊥DC.在Rt△DCF中,可得DF=√CD2+CF2=2√5.在Rt△DPF中,可得sin∠DFP=PDDF=√55.所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为√55.对点训练3(1)证明∵PD=PC,且E为CD的中点,∴PE⊥CD.又平面PDC⊥平面ABCD,且平面PDC∩平面ABCD=CD,PE⊂平面PDC,∴PE ⊥平面ABCD,又FG⊂平面ABCD,∴PE⊥FG.(2)解由(1)知PE⊥平面ABCD,∴PE⊥AD,又AD⊥CD,PE∩CD=E,∴AD ⊥平面PDC ,∴AD ⊥PD ,∴∠PDC 为二面角P-AD-C 的平面角,在Rt △PDE 中,PD=4,DE=3, ∴PE=√16-9=√7,∴tan ∠PDC=PE DE =√73. 故二面角P-AD-C 的平面角的正切值为√73.(3)解如图,连接AC ,∵AF=2FB ,CG=2GB ,∴AC ∥FG.∴直线PA 与FG 所成的角即直线PA 与AC 所成的角. 在Rt △PDA 中,PA 2=AD 2+PD 2=25,∴PA=5.又PC=4,AC 2=CD 2+AD 2=36+9=45,∴AC=3√5.又cos ∠PAC=PA 2+AC 2-PC 22PA ·AC=2×5×3√5=9√525.∴直线PA 与直线FG 所成角的余弦值为9√525.素养提升微专题7——平面图形折叠问题的解题技巧对点训练13 平面图形的折叠应注意折前折后各元素相对位置的变化.画出图形即可判断,相互异面的线段有AB 与CD ,EF 与GH ,AB 与GH ,共3对.对点训练2解(1)PB ∥平面MEF.证明如下:在图1中,连接BD ,交EF 于点N ,交AC 于点O ,则BN=12BO=14BD.在图2中,连接BD 交EF 于点N ,连接MN ,在△DPB 中,有BN=14BD ,PM=14PD ,∴MN ∥PB.∵PB ⊄平面MEF ,MN ⊂平面MEF ,故PB ∥平面MEF.(2)连接BD 交EF 于点N ,图2中的三角形PDE 与三角形PDF 分别是图1中的Rt △ADE 与Rt △CDF ,∴PD ⊥PE ,PD ⊥PF.又PE ∩PF=P ,∴PD ⊥平面PEF ,则PD ⊥PN ,∵PE=PF ,点N 是EF 的中点, ∴PN ⊥EF.在Rt △PEN 中,PN=√PE 2-EN 2=√22-(√2)2=√2.在Rt △MNP 中,PM=1,PN=√2,则MN=√PM 2+PN 2=√3.∵ME=MF ,点N 是EF 的中点,∴MN ⊥EF.又BD ⊥EF ,∴∠MND 是二面角M-EF-D 的平面角.在△MND 中,MD=3,DN=3√2,由余弦定理,得cos ∠MND=MN 2+DN 2-MD 22MN ·DN=√63.∴二面角M-EF-D 的平面角的余弦值为√63.对点训练3解将圆锥的侧面沿SA 展开在平面上,如图所示,则该图为扇形,且弧AA'的长度L 就是圆锥底面圆的周长,所以L=2πr=2π,所以∠ASM=L 2πl ×360°=2π2π×4×360°=90°.(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM 的长度,设SM 的长为x (0≤x ≤4),故AM=√x 2+16(0≤x ≤4).f (x )=AM 2=x 2+16(0≤x ≤4).(2)绳子最短时,在展开图中作SR ⊥AM ,垂足为R ,则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离,在△SAM 中,因为S △SAM =12SA·SM=12AM·SR ,所以SR=SA ·SM AM =√x 2+16(0≤x ≤4),即绳子最短时,顶点到绳子的最短距离为√x 2+16(0≤x ≤4).(3)因为f (x )=x 2+16在[0,4]上单调递增,所以f (x )的最大值为f (4)=32.指点迷津(二) 球与空间几何体的切接问题变式发散解由题意得,此三棱锥外接球即为以△ABC 为底面、以PC 为高的正三棱柱的外接球,因为△ABC 的外接圆半径r=√32×√3×23=1,外接球球心到△ABC 的外接圆圆心的距离d=1,所以外接球的半径R=√r 2+d 2=√2,所以三棱锥外接球的表面积S=4πR 2=8π. 对点练习1B如图,将正四面体A-BCD补成一个正方体,设正方体的棱长为a,设正四面体A-BCD的外接球的半径为R,则4πR33=8√6π,得R=√6.因为正四面体A-BCD的外接球和此正方体的外接球是同一个球,则有√3a=2R=2√6,所以a=2√2.而正四面体A-BCD的每条棱长均为正方体的面对角线长,所以正四面体A-BCD的棱长为√2a=2√2×√2=4,因此,这个正四面体的表面积为4×√34×42=16√3.故选B.对点练习2D设球心到截面圆的距离为d,截面圆的半径为r,连接OA,OC,OM,由V O-ACM=V M-AOC,即13S△ACM·d=√23S△AOC,S△AOC=12×2√2×1=√2,S△ACM=12×2√2×√22+12-(√2)2=√6,解得d=√63.又d2+r2=12,所以r=√33,所以截面圆的面积为π×√3 32=π3.故选D.对点练习3C当注入水的体积是该三棱锥体积的78时,设水面上方的小三棱锥的棱长为x(各棱长都相等),依题意,x43=18,得x=2.易得小三棱锥的高为2√63.设小球半径为r,水面上方的小三棱锥每一个面的面积为S底,则由等积法可得13S底面·2√63=4×13S底面×r,得r=√66,故小球的表面积S=4πr2=2π3.故选C.。

专题十二空间直线、平面的平行核心素养练习一、核心素养聚焦考点一逻辑推理-平行关系的综合应用例题8. 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：GH∥平面P AD.【证明】如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴P A∥MO，而AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴P A∥平面BMD，又∵P A⊂平面P AHG，平面P AHG∩平面BMD＝GH，∴P A∥GH.又P A⊂平面P AD，GH⊄平面P AD，∴GH∥平面P AD.考点二直观想象-线线垂直例题9. 如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)若四边形EFGH 是矩形，求证：AC ⊥BD . 【证明】(1)在△ABD 中，∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH ∥BD . 同理FG ∥BD ，则EH ∥FG . 故E ，F ，G ，H 四点共面． (2)由(1)知EH ∥BD ，同理AC ∥GH . 又∵四边形EFGH 是矩形， ∴EH ⊥GH .故AC ⊥BD .二、学业质量测评一、选择题1．如果直线m//直线n ，且m//平面α，那么n 与α的位置关系是（） A ．相交 B ．n//αC ．n ⊂αD ．n//α或n ⊂α【答案】D【解析】∵直线m /⁄直线n ,且m /⁄平面α，∴当n 不在平面α内时，平面α内存在直线m′//m ⇒n//m′， 符合线面平行的判定定理可得n /⁄平面α， 当n 在平面α内时，也符合条件， n 与α的位置关系是n//α或n ⊂α，故选D .2．平面α与平面β平行的充分条件可以是（ ） A ．α内有无穷多条直线都与β平行B ．直线//a α，//a β，且直线a 不在α内，也不在β内C ．直线a α⊂，直线b β⊂，且//a β，//b αD ．α内的任何一条直线都与β平行 【答案】D【解析】解：A 选项，α内有无穷多条直线都与β平行，并不能保证平面α内有两条相交直线与平面β平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A 错误；B 选项,直线//a α，//a β，且直线a 不在α内，也不在β内,直线a 可以是平行平面α与平面β的相交直线，故不能保证平面α与平面β平行，故B 错误；C 选项, 直线a α⊂，直线b β⊂，且//a β，//b α,当直线a b ∥，同样不能保证平面α与平面β平行，故C 错误；D 选项, α内的任何一条直线都与β平行,则α内至少有两条相交直线与平面β平行，故平面α与平面β平行; 故选:D.3．已知直线a 和平面α，那么能得出a //α的一个条件是（ ） A ．存在一条直线b ，a //b 且b α⊂ B ．存在一条直线b ，a //b 且b α⊄ C ．存在一个平面β，a β⊂且α//β D ．存在一个平面β，a //β且α//β 【答案】C【解析】在选项A ，B ，D 中， 均有可能a 在平面α内，错误；在C 中，两平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线 都平行于另一个平面，故C 正确 故选：C4．下列说法正确的是（ ）A ．若两条直线与同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线分别平行于两个相交平面，则一定平行它们的交线D ．若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行 【答案】C【解析】A 错，由两条直线与同一条直线所成的角相等， 可知两条直线可能平行，可能相交，也可能异面； B 错，若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等， 则这两个平面可能平行或相交； C 正确，设,l m αβ⋂=//,m α//β，利用线面平行的性质定理，在平面α中存在直线a //m ， 在平面β中存在直线b //m ，所以可知a //b ， 根据线面平行的判定定理，可得b //α，然后根据线面平行的性质定理可知b //l ，所以m //l ； D 错，两个平面可能平行，也可能相交. 故选：C5．已知,αβ是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是（ ） A ．α内有无穷多条直线与β平行 B ．直线a //,a α//βC ．直线,a b 满足b //,a a //,b α//βD ．异面直线,a b 满足,a b αβ⊂⊂，且a //,b β//α 【答案】D 【解析】A 错α内有无穷多条直线与β平行，平面α与平面β可能平行，也可能相交， B 错若直线a //,a α//β，则平面α与平面β可能平行，也可能相交， C 错若b //,a a //,b α//β，则平面α与平面β可能平行，也可能相交， D 正确当异面直线,a b 满足,a b αβ⊂⊂，且a //,b β//α时， 可在α上取一点P ，过点P 在α内作直线'b //b ， 由线面平行的判定定理，得'b //β，,a b 异面，所以',a b 相交，再由面面平行的判定定理，得α//β， 故选：D.6．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交C ．异面D ．以上都不对【答案】A【解析】设平面//α平面γ，平面//β平面γ，则平面//α平面β．证明如下： 作平面θ分别与平面α、β、γ相交于直线a 、c 、e ，再作与平面θ相交的平面ϕ，分别与平面α、β、γ相交于直线b 、d 、f ，如图所示． ∵平面//α平面γ，平面θ⋂平面α=a ，平面θ⋂平面γ=e ， ∴//a e ，同理可得//c e ， ∴//a c ，∵a α⊂，α⊄c ，∴//c α；同理可得//b d ，结合b α⊂，α⊄d ，可得//αd ， ∵c 、d 是平面β内的相交直线， ∴平面//β平面α，即平面//α平面β．综上所述，如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 故选A二、多选题7．在空间四边形ABCD 中,,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点,当//BD 平面EFGH 时,下面结论正确的是( )A ．,,,E F G H 一定是各边的中点B ．,G H 一定是,CD DA 的中点C ．::AE EB AH HD =,且::BF FC DG GC = D ．四边形EFGH 是平行四边形或梯形 【答案】CD【解析】解：由//BD 平面EFGH ,所以由线面平行的性质定理,得//BD EH ,//BD FG ,则::AE EB AH HD =,且::BF FC DG GC =,且//EH FG ,四边形EFGH 是平行四边形或梯形.故选：CD .8．如图所示,P 为矩形ABCD 所在平面外一点,矩形对角线的交点为,O M 为PB 的中点,给出以下结论,其中正确的是( )A ．//OM PDB ．//OM 平面PCDC ．//OM 平面PDAD ．//OM 平面PBA【答案】ABC【解析】解：由题意知,OM 是BPD △的中位线,//OM PD ∴,故A 正确;PD ⊂平面PCD ,OM ⊄平面PCD ,//OM ∴平面PCD ,故B 正确;同理,可得//OM 平面PDA ,故C 正确;OM 与平面PBA 和平面PBC 都相交,故D 不正确.故选：ABC . 三、填空题9．如图，平面α平面β∥平面γ，两条异面直线,l m 分别与平面,,αβγ相交于点,,A B C 和点,,D E F ，已知2AB =cm ，3BC cm =，4DE cm =，则EF =_______.【答案】6cm【解析】如图所示，连接AF 交平面β于点G ，连接,,,CF BG EG AD . 因为AC AF A ⋂=，所以直线AC 和AF 确定一个平面AFC ， 则平面AFC BG β⋂=，平面AFC CF γ⋂=. 又//βγ，所以//BG CF .所以AB AG BC GF =.同理可证DE AGEF GF =， 所以AB DE BC EF =，所以243EF=， 所以6EF =cm. 故答案为6cm10．如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形EFGH 为截面，则四边形EFGH 的形状为________.【答案】平行四边形 【解析】∵平面ABFE ∥平面CDHG ，平面EFGH∩平面ABFE ＝EF ，平面EFGH∩平面CDHG ＝HG ，∴EF ∥HG.同理，EH ∥FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形．11．设,,αβγ为两两不重合的平面，,,l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若//,//αβγβ，则//αγ； ②若,,//,//mn m n ααββ，则//αβ；③若//,l αβα⊂，则l β// ④若,,,//,l m n l αββγγαγ⋂=⋂=⋂=，则//.m n 其中正确结论的编号为__________．（请写出所有正确的编号） 【答案】①③④ 【解析】①由平行的传递性可知：若//,//αβγβ，则//αγ正确；②由面面平行的判定定理知，还需要,m n 为两条相交直线，不然无法得到面面平行，不正确； ③由面面平行的性质可知，正确；④若,,,//l m n l αββγγαγ⋂=⋂=⋂=，则由l αβ⋂=知, l ⊂α且l ⊂ β,由l ⊂ β及l ∥γ，β∩γ=m ， 得l ∥m ,同理l ∥n ,故m ∥n ，故命题④正确。

直线/平面垂直的判定与性质知识点及习题1．直线与平面垂直判定(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一直线的两平面平行．2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．1．（2011 广东理18）如图，在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60，,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点．（1）证明：AD 平面DEF;（2）求二面角P-AD-B的余弦值．．【变式1】如图所示，在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成的角是为多少2．如图所示，已知∠BOC在平面内，OA是平面的斜线，且∠AOB=∠AOC=60°，OA=OB=OC=，BC=，求OA和平面所成的角．【变式2】．如图所示，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且，，求以BC为棱，以面BCD和面BCA为面的二面角大小．解析：取BC的中点E，连接AE、DE，直线/平面垂直的判定与性质习题一选择1.下列命题中正确的个数是( )①如果直线与平面内的无数条直线垂直，则；②如果直线与平面内的一条直线垂直，则；③如果直线不垂直于，则内没有与垂直的直线；④如果直线不垂直于，则内也可以有无数条直线与垂直．A．0B．1 C．2 D．32.（2010 山东）在空间，下列命题正确的是A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行3．两异面直线在平面α内的射影（）A．相交直线B．平行直线C．一条直线—个点D．以上三种情况均有可能4．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（）A．有且只有—个B．可能存在也可能不存在C．有无数多个D．—定不存在5．若平面α的斜线l在α上的射影为l′，直线b∥α，且b⊥l′，则b与l（）A．必相交B．必为异面直线C．垂直D．无法确定6．已知P是四边形ABCD所在平面外一点且P在平面ABCD内的射影在四边形ABCD 内，若P到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（）A．圆内接四边形B．矩形C．圆外切四边形D．平行四边形7．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P A⊥平面ABC，P A＝8，则P到BC的距离等于（）A ．B ．C ．3D ．4 二、填空题1．AB 是平面α的斜线段，其长为a ，它在平面α内的射影A ′B 的长为b ，则垂线A ′A _________．2．如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l ＝β∩γ，l ⊥α，m α和m ⊥γ，现给出以下四个结论：①α∥γ且l ⊥m ；②αγ且m ∥β③αβ且l ⊥m ；④αγ且l ⊥m ；其中正确的为“________”．（写出序号即可）3．在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有____________个．4．如图，正方形ABCD ，P 是正方形平面外的一点，且P A ⊥平面A BCD 则在△P AB 、△PBC 、△PCD 、△P AD 、△P AC 及△PBD 中，为直角三角形有_________个．5．若一个直角在平面α内的射影是一个角，则该角最大为___________． 三、解答题1．如图，在长方体AC 1中，已知AB ＝BC ＝a ，BB 1＝b （b ＞a ），连结BC 1，过B l 作B 1E ⊥BC 1交CC 1于E ，交BC 1于Q ，求证：AC ⊥平面EB l D 1552552．如图在△ABC中，已知∠ABC＝90°，SA⊥△ABC所在平面，又点A在SC和SB上的射影分别是P、Q．3．已知在如图中，∠BAC在平面α内，点P α，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，垂足分别是E、F、O，PE＝PF，求证：∠BAO＝∠CAO，4.如图所示，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M．求证：平面CBD⊥平面BDM．5.已知D、E分别是正三棱柱的侧棱和上的点，且．求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面所成的二面角的大小．6.如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=AC=2BD，M是AE的中点，求证：(1)DE=DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．。

8.6 空间直线、平面的垂直（2）（精炼）【题组一 线线角】1．（2021·河南驻马店市·高一期末）在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，45PDA ∠=︒，则异面直线PB 与AC 所成的角为（ ）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30【答案】B 【解析】因为四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，45PDA ∠=︒，所以PA =AD ，又底面为正方形，所以四棱锥P ABCD -可扩充为正方体，如图示：连结PE 、BE ，，则PE ∥AC ，所以∠EPB （或其补角）为异面直线PB 与AC 所成的角.而△EPB 为正三角形，所以∠EPB=60︒.故选：B .2．（2021·河南焦作市·高一期末）如图所示，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N 为其所在棱的中点，则异面直线AB 与MN 所成角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C 【解析】作如图所示的辅助线，由于M ，N 为其所在棱的中点，所以//MN PQ ，又因为//AC PQ ，所以//AC MN ，所以CAB ∠即为异面直线AB 与MN 所成的角（或补角），易得AB AC BC ==，所以60CAB ∠=︒.故选：C ．3．（2021·浙江高一期末）已知在正四面体(各棱长均相等的四面体)ABCD 中，2CE EB =，则直线AB 与DE 所成角的余弦值是（ ）A ．7B ．1114C ．7D ．7【答案】A【解析】设正四面体的棱长为3，2CE EB =则1BE =,过E 作//EF AB 交AC 于点F ,则AB 与DE 所成角即为FE 与DE 所成角，1AF =,2FE =,在AFD 中，22212cos 9123172DF AD AF AD AF FAD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=,即DF =同理DE =所以222cos27FE ED FD FED FE ED +-∠===⋅. 故选：A.4．（2021·全国高一课时练习）正方体1111ABCD A B C D -中，直线AC 与直线1BC 所成的角、直线AC 与平面1A D 所成的角分别为（ ）A ．45,60︒︒B ．90,45︒︒C ．60,60︒︒D ．60,45︒︒【答案】D【解析】如图：∵11//AD BC ，∴直线AC 与直线1BC 所成角为1D AC ∠，∵1ACD △是等边三角形，∴160D AC ∠=︒，∵CD ⊥平面11ADD A ，∴直线AC 与平面1A D 所成角为CAD ∠，∵ADC 是等腰直角三角形，∴45CAD ∠=︒，故选：D.5．（2020·全国高一单元测试）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CA CB CC ==，CA CB ⊥，1CC ⊥底面ABC ，则异面直线1AB 与BC 所成角的余弦值是（ ）ABC．2D ．23【答案】A【解析】在三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，∴异面直线1AB 与BC 所成的角为11AB C ∠或其补角，连接1AC ，1CC ⊥底面ABC ，CB ⊂平面ABC ，1CC CB ∴⊥，又CA CB ⊥，1CA CC C =，CB ∴⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ，1CB AC ∴⊥，由11//CB B C ，可得111B C AC ⊥，CA CB ⊥，AB ∴=，又111BB CC ==，1AB ∴=∴在Rt △11AB C中，11111cos BC AB C AB ∠===即异面直线1AB 与BC所成角的余弦值为3．故选：A ．6．（2020·浙江高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别为11A B ，和1BB 的中点．，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．25BC ．35D 【答案】A【解析】设,E F 分别是1,AB CC 的中点，由于,M N 分别是111,A B BB 的中点，结合正方体的性质可知11//,//B E AM B F CN ，所以1EB F ∠是异面直线AM 和CN 所成的角或其补角，设异面直线AM 和CN 所成的角为θ，设正方体的边长为2，11B E B F ===EF =则1cos cos EB F θ=∠=25=. 故选：A.7．（2020·浙江高一期末）已知在底面为菱形的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，14,AB BD ==，若60BAD ︒∠=，则异面直线1B C 与1AD 所成的角为（ ）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒【答案】A 【解析】连接1,BD BC ，∵四边形ABCD 为菱形， 60,4BAD AB ︒∠==，4BD ∴=.又1BDD 为直角三角形，22211BD BD DD ∴=+，得14DD =，∴四边形11BCC B 为正方形.连接1BC 交1B C 于点O 11//BC AD ，BOC ∴∠（或其补角)为异面直线1B C与1AD 所成的角，由于11BCC B 为正方形， 90BOC ︒∴∠=，故异面直线1B C 与1AD 所成的角为90°.故选：A.8．（2019·西安交通大学附属中学雁塔校区高一月考）在四面体S ABC -中，SA BC ⊥且SA BC =，E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）． A ．30B ．45C ．60D ．90【答案】B【解析】如图，取AC 的中点D ，连接DE 、DF ，D 、E 分别为SC 、AC 的中点，//DE SA ∴，所以，DEF ∠为异面直线EF 与SA 所成的角，设2SA BC ==，则112DE SA ==，112DF BC ==， 由SA BC ⊥，可知DE DF ⊥，45DEF ∴∠=，即异面直线EF 与SA 所成的角等于45.故选：B.9．（2021·浙江高一期末）已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，且60ABC ∠=︒，2PA PC ==，PB PD =.（Ⅰ）若O 是AC 与BD 的交点，求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若点M 是PD 的中点，求异面直线AD 与CM 所成角的余弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）20. 【解析】（1）连接AC 与BD 交于点O ，连OP .PA PC =，PD PB =，且O 是AC 和BD 的中点，PO AC ∴⊥，PO BD ⊥,AC 和BD 为平面ABCD 内的两条相交直线，PO ∴⊥平面ABCD .（2）取PA 的中点N ，连接MN ，则//MN AD ，则NMC ∠就是所求的角（或其补角），根据题意得2,PA PC AC AB AD PO OD =======所以112MN AD ==，NC =PD =所以，MC ==故222cos 2MN MC NC NMC MN MC +-∠==⋅10．（2021·六盘山高级中学高一期末）已知正方体1111ABCD A B C D -，E 是棱1BB 的中点，求异面直线AC 与1EC 所成角的余弦值.【答案】5【解析】连接11A C ，1A E ，在正方体1111ABCD A B C D -中，易知11//AC AC ，所以11AC E ∠即为异面直线AC 与1EC 所成的角或所成角的补角，记正方体的棱长为2，因为E 是棱1BB的中点，所以11A E EC ===，又11AC ==所以2221111111112cos 5EC AC A E AC E EC AC +-∠===⋅. 即异面直线AC 与1EC所成角的余弦值为5.【题组二 线面角】1．（2021·全国高一课时练习）如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.（1）证明：BC⊥面PAC；（2）若PA=AC=1，AB=2，求直线PB与平面PAC所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】证明：(1)AB为圆O直径∴∠ACB=90°即AC⊥BCPA⊥面ABC，∴PA⊥BCAC PA=A∴BC⊥面PAC.(2)BC⊥面PAC，∴∠BPC为PB与平面PAC所成的角，在直角三角形ABC中，BC在直角三角形PAC中，PC==,=.在直角三角形PBC中，tan∠BPC故直线PB 与平面PAC 所成角的正切值为22．（2020·浙江高一期末）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，平面PCD ⊥平面ABCD ，60DCP DAB ∠=∠=，1,4AD PC ==．（1）求证：AD PB ⊥；（2）求AB 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）5【解析】（1）过P 作PE ⊥CD ，交CD 于点E ，连接BE∵4PC =，60DCP ∠=所以CE =2，又因为60ECB DAB ∠=∠=,且1AD =所以90EBC ∠=∴BE ⊥BC∴AD ⊥BE又因为平面PCD ⊥平面ABCD 且PE ⊥BC∴AD ⊥PE∴AD ⊥面PEB∴AD PB ⊥（2）∵AB EC ∥∴AB 与平面PBC 所成角即为EC 与平面PBC 所成角过E 作EF ⊥PB ，交PB 于F 点，连接CF ，易知EF ⊥平面PBC所以∠ECF 为AB 与平面PBC 所成角，因为PE EB PB ==根据等面积法得到EF =5sin =2ECF ∠所以AB 与平面PBC . 3．（2020·浙江高一期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，12,//,2PA PB AD CD BC AD BC AD CD =====⊥，E 是PA 的中点，平面PAB ⊥平面ABCD ．（1）证明：PB CE ⊥；（2）求直线CE 与平面PBC 所成的角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）9【解析】（1）证明：由已知可得在直角梯形ABCD 中，AC ==AB ==，4BC =，∴222AB AC BC +=，∴AC AB ⊥，∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥平面PAB ，∴AC PB ⊥，∵2PA PB ==，AB =222PA PB AB +=，∴PB PA ⊥，∵AC PA A ⋂=，∴PB ⊥平面PAC ，∵CE ⊂平面PAC ，∴PB CE ⊥.（2）由（1）得PB ⊥平面PAC ，∵PB ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC ，过点E 在平面PAC 内作EF PC ⊥，垂足为点F ，平面PBC ⊥平面PAC ，平面PAC 平面PBC PC =，EF PC ⊥，EF ⊂平面PAC ，EF ∴⊥平面PBC ，∴PCE ∠即为直线CE 与平面PBC 所成角，PCE 中，PC =，222PC AC PA ∴=+，90PAC ∴∠=，所以，3CE =，且1PE =，∴222cos 29PC CE PE PCE PC CE +-∠==⋅，∴sin PCE ∠==，∴直线CE 与平面PBC 所成的角的正弦值为9. 4．（2020·江苏高一期中）已知斜三棱柱111ABC A B C -的侧面11A ACC 与底面ABC 垂直，1190,ABC AA AC AC ∠===.且D 为AB 中点，1A C 与1AC 相交于点O ．（1）求证：//OD 平面11C CBB ；（2）求直线1A B 与底面ABC 所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）60︒【解析】（1）连1,OD BC ，则1//OD BC又OD ⊄面11C CBB ，1BC ⊂面11C CBB ，//OD ∴平面11C CBB ；（2）连1A B ，取AC 中点E ，连1A E ，则1A E AC ⊥由面11A ACC 与底面ABC 垂直，且1A E ⊂面11A ACC ，可得1A E ⊥面ABC则1A BE ∠为直线1A B 与底面ABC 所成角设111AA AC AC ===，则1A E =；90ABC ∠=，则12BE =；11tan BE A BE A E∠==160A BE ∠=︒ 则直线1A B 与底面ABC 所成角的大小为60︒5．（2021·河南洛阳市·高一期末）如图.在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ,90ACB ∠=︒,AE PB ⊥于E 点,AF PC ⊥于F 点,2PA AB ==,30BPC ∠=︒.(1)求PB AF ⊥；(2)求直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；. 【解析】(1)证明：PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC .BC PA ∴⊥.又BC AC ⊥,PA AC A =,BC ∴⊥平面PAC .∴平面PBC ⊥平面PAC . 又平面PBC 平面PAC PC =,AF ⊂平面PAC ,AF PC ⊥,AF ∴⊥平面PBC .又PB ⊂平面PBC ,AF PB ∴⊥.(2)由(1)知AF ⊥平面PBC ,连结EF ,则EF 就是AE 在平面PBC 内的射影.AEF ∴∠就是AE 与平面PBC 所成的角.PB =BC =AC =,AF ==AE =在Rt AFE 中,sin AF AEF AE ∠==.AE ∴与平面PBC 所成角的正弦值为3. 6．（2021·浙江高一期末）在三棱锥A BCD -中，BCD △为等腰直角三角形，点E ，G 分别是线段BD ，CD 的中点，点F 在线段AB 上，且2BF FA =.若1AD =，AB =CB CD ==（Ⅰ）求证：//AG 平面CEF ；（Ⅱ）求直线AD 与平面CEF 所成的角.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）6π. 【解析】（Ⅰ）连接BG 交EC 于H ，连接FH .则点H 为BCD △的重心，有2BH HG =. 因为2BF BH FA HG==， 所以//FH AG ，且FH⊂平面CEF ，AG ⊄平面CEF ，所以//AG 平面CEF .（Ⅱ）因为BF =1BE =，30ABD ∠=︒， 所以22212cos 3EF BF BE BE BF ABD =+-⋅∠=， 故222EF BF BE =+，所以EF BD ⊥，且CE BD ⊥，,CE EF ⊂平面CEF ，CE EF E =所以BD ⊥平面CEF .过F 作AD 的平行线FP ，交BD 于P .则PE ⊥平面CEF .所以直线FP 与平面CEF 所成角为PFE ∠. 且23FP =，13EP =，90FEP ∠=︒， 所以1sin 2PFE ∠=，得6PFE π∠=.所以直线FP 与平面CEF 所成的角为6π， 即直线AD 与平面CEF 所成的角为6π.7．（2021·全国高一课时练习）如图，三棱柱111ABC A B C -所有的棱长均为1，且四边形11C B BC 为正方形，又1AB B C ⊥.（Ⅰ）求证：111A B AC ⊥；（Ⅱ）求直线AB 和平面11A ACC 所成角的正弦值.【答案】【解析】（Ⅰ）作AC 的中点D ,连接11,C D C B ,因为三棱柱111ABC A B C -所有的棱长均为1BD AC ∴⊥ ,又四边形11C B BC 为正方形11BC B C ∴⊥，1AB B C ⊥,1B C ∴⊥面1ABC1B C ∴⊥1AC 又四边形11AC CA 是菱形，所以11AC AC⊥ 1AC ∴⊥面11A B C111A B AC ∴⊥（Ⅱ）作1BH C D ⊥因为三棱柱111ABC A B C -11//A B AB ∴,1AB AC ∴⊥由题知11,AB BC ==11AC ∴=所以△1ACC 是等边三角形，1C A D C ∴⊥△ACB 是等边三角形，BD AC ∴⊥,1BD C D D =AC ∴⊥面1BC D , BH ⊂面1BC D ，所以BH AC ⊥，1AC C D D =BH ∴⊥面11AC CA , BH ∴是面11AC CA 的垂线，AB 是平面的斜线 ,BAH ∴∠即为所求角.在三角形1BDC 中11BD C D BC ===3BH =sin 3BH HAB AB ∴∠==故直线AB 和平面11A ACC 【题组三 面面角】1（2021·河南高一期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，1AA =，E 为1CC 的中点.（1）证明：1//AC 平面BDE ；（2）证明：平面BDE ⊥平面1ACC ；（3）求二面角E BD C --的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4π． 【解析】（1）证明：设BD C O =，连接OE ，则O 是AC 中点，又E 是1CC 中点， ∴1//AC OE ，又OE ⊂平面BDE ，1AC ⊄平面BDE ，∴1//AC 平面BDE ．（2）1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴1CC BD ⊥，同理1CC AC ⊥，又正方形中BD CA ⊥， 1AC CC C =，1,AC CC ⊂平面1ACC ，∴BD ⊥平面1ACC ，又∵BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面1ACC ；（3）∵BD ⊥平面1ACC ，OE ⊂平面1ACC ，∴BD OE ⊥，∴EOC ∠是二面角E BD C --的平面角，由已知11CC AA ==，而AC =，,E O 分别是1,CC AC 中点， ∴OC CE =，∴4EOC π∠=．即二面角E BD C --的大小为4π．2．（2021·浙江高一期末）如图，四棱锥P ABCD -中，2PC PD DC AD ===，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，O ､E 分别是棱CD ､PA 的中点.（1）求证：//OE 平面PBC ；（2）求二面角P AB C 的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）3π． 【解析】（1）取PB 中点F ，连接,EF FC ，因为E 是PA 中点，∴//EF AB ，且12EF AB =， 又ABCD 是矩形，//,AB CD AB CD =，O 是CD 中点，∴//,EF OC EF OC =，∴EFCO 是平行四边形，∴//OE CF ，而OE ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，∴//OE 平面PBC ．（2）取AB 中点G ，连接,,OG PG OP ，ABCD 是矩形，O 是CD 中点，则OG AB ⊥，又PA PC CD ==，∴PO CD ⊥，而平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PO ⊂平面PCD ，∴PO ⊥平面ABCD ，∵,OG AB ⊂平面ABCD ，∴PO AB ⊥，PO OG ⊥．PO OG O =，,PO OG ⊂平面POG ，∴AB ⊥平面POG ，而PG ⊂平面POG ，∴AB PG ⊥，∴PGO ∠（或其补角）是二面角PAB C 的平面角．设1AD =，则1OG =，2CD =，PO =，∴tan 1PO PGO OG ∠===[0,]PGO π∠∈，∴3PGO π∠=． ∴二面角P AB C 的大小为3π．3．（2021·宁夏银川市·银川一中高一期末）如图，棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，过AB 的截面与上底面交于PQ ，且点P 在棱11A D 上，点Q 在棱11C B 上，且1AB =，AC =2BC =.（1）求证：11//PQ A B ；（2）若二面角1A C D C --，求侧棱1BB 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】（1）在棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB 面1111D C B A ，AB面ABPQ ， 面1111A B C D 面ABPQ PQ =，由线面平行的性质定理有//AB PQ ， 又11//AB A B ，故11//PQ A B ；（2）证明：在底面ABCD 中，1AB =，AC =2BC =.222AB AC BC +=， AB AC ∴⊥，AC CD ∴⊥又因为侧棱1AA ⊥底面ABCD ，则1CC ⊥底面ABCDAC ⊂面11ABB A ，1CC AC ∴⊥又1=CC CD C ，AC ∴⊥面11CDD C过点C 作1CS C D ⊥于S ，连接AS ，则CSA ∠是二面角1A C D C --的平面角．os 9c 1CSA ∠=22cos sin 1CSA CSA ∠+∠=，则in s CSA ∠=an 2t CSA ∠=，2tan AC CS CSCSA ==∠=，CS ∴= 设1CC x =，则1111122CC D SC D CS CD CC =⋅⋅=⋅．CS x =，CS ∴==故12CC =，故12BB =．4．（2020·浙江高一期末）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .（1）求直线PA 与平面ABCD 所成角的大小；（2）求证：PB ⊥平面EFD ；（3）求二面角C-PB-D 的大小.【答案】（1）45；（2）证明见解析；（3）60.【解析】（1）因为侧棱PD ⊥平面ABCD ，所以AD 为直线PA 在平面ABCD 上的射影，PD AD ⊥，故PAD ∠即为直线PA 与平面ABCD 所成的角，又PD DC AD ==，所以45PAD ∠=，所以直线PA 与平面ABCD 所成的角为45；（2）证明：因为侧棱PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又BC DC ⊥，PD DC D ⋂=，所以BC ⊥平面PDC ，BC DE ⊥，由PD DC =可得DE PC ⊥，又BC PC C ⋂=，所以DE ⊥平面PBC ，ED PB ⊥，因为PB EF ⊥，DE EF E =，所以PB ⊥平面EFD ；（3）由（2）知,EF PB DF PB ⊥⊥，所以EFD ∠为二面角C PB D --的平面角，不妨设PD DC a ==，则DE =，EF =，DF =， 在DEF 中，由余弦定理得2221cos 22EF DF DE EFD EF DF +-∠==⋅， 所以二面角C PB D --的大小为60.5．（2020·浙江杭州市·高一期末）如图，三棱柱111ABC A B C -的棱长均相等，113CC B π∠=，平面ABC ⊥平面11BCC B ，,E F 分别为棱11A B 、BC 的中点.（1）求证：//BE 平面11A FC ；（2）求二面角111F AC B --的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）4π. 【解析】证明：（1）取11A C 的中点G ，连接,EG FG ， 于是111//2EG B C ，又111//2BF B C ， 所以//BF EG ，所以四边形BFGE 是平行四边形，所以//BE FG ，而BE ⊄面11A FC ，FG ⊆面11A FC ，所以直线//BE 平面11A FC ；（2）连接11,FB B G ，∵ 四边形11BCC B 为菱形，01160CC B ∠=，F 为BC 的中点，∴111FB B C ⊥，∵平面ABC ⊥平面11BCC B ，且平面//ABC 平面111A B C ，∴平面111A B C ⊥平面11BCC B ，且平面111A B C 平面1111BCC B B C =，∴1FB ⊥平面111A B C ，又111B G AC ⊥，∴11FG AC⊥， ∴1FGB ∠就是二面角11F A C B --的平面角，设棱长为2，则11FB BG =14FGB π∠=， ∴二面角11F A C B --的大小为4π. 6．（2020·浙江杭州市·高一期末）如图所示，在三棱锥D ABC -中，AD ⊥平面DBC ，120BDC ∠=，且1AD =，2DB DC ==，E 是DC 的中点.（1）求异面直线AE 与BD 所成角的余弦值；（2）求二面角A BE C --的正切值.【答案】（1）4；（2）3-. 【解析】（1）取线段BC 中点F ，连接EF 、AF 、DF ，则//EF BD ，且112EF BD ==，从而AEF ∠或其补角就是直线AE 与BD 所成的角.AD ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，AD CD ∴⊥，同理可得AD DF ⊥，E 为CD 的中点，则112DE CD ==，AE == 2BD CD ==，F 为BC 的中点，则DF BC ⊥，120BDC ∠=，30CBD ∴∠=，sin301DF BD ∴==，则AF ==由余弦定理可得222cos 24AE EF AF AEF AE EF +-∠==⋅，因此，异面直线AE 与BD 所成角的余弦值为4； （2）可知二面角A BE C --的平面角与二面角A BE D --的平面角互补.在平面BCD 内作直线DG BE ⊥于G ，连接AG ，AD ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，BE AD ∴⊥，同理可得AD DG ⊥， BE DG ⊥，AD DG D =，BE ∴⊥平面ADG ，AG ⊂平面ADG ，AG BE ∴⊥，所以，二面角A BE D --的平面角为AGD ∠， 在DBE 中，由余弦定理得cos1207BE = 由等面积法可得11sin12022BDE S BD DE BE DG =⋅=⋅△，sin120217BD DE DG BE ⋅∴==，在Rt ADG 中，tan 3AD AGD DG ∠==，∴二面角A BE C --的正切值为3-. 7．（2021·河南洛阳市·高一期末）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心.（1）求证:1B O//平面11DA C ;（2）求点O 到平面11DA C 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）证明：连接11B D ，设11111B D AC O ⋂=，连接1DO .11//O B DO 且11O B DO =， 11B O DO ∴是平行四边形. 11//B O DO ∴.又1DO ⊂平面11DA C ，1B O ⊂/平面11DA C ， 1//B O ∴平面11DA C .（2）1111A C B D ⊥，111AC BB ⊥，且1111BB B D B ⋂=， 11A C ∴⊥平面11B D DB . ∴平面11DA C ⊥平面11B D DB ，且交线为1DO . 在平面11B D DB 内，过点O 作1OH DO ⊥于H ，则OH ⊥平面11DA C ， 即OH 的长就是点O 到平面11DA C 的距离. 在矩形11B D DB 中，连接1OO ，1O OD OHD ∽△△，则11O D OD O O OH =，3OH ∴==. 即点O 到平面11DA C.。

8.6 空间直线、平面的垂直（1）（精讲）考法一 线面垂直【例1】（2021·江西景德镇市·景德镇一中）在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，M 为AD 的中点，24PA AB ==．（1）取PC 中点F ，证明：PC ⊥平面AEF ； （2）求点D 到平面ACE 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明: 因为PC 中点F ，在Rt ABC 中，2,60AB BAC =∠=，则4BC AC ==． 而4PA =，则在等腰三角形APC 中，PC AF ⊥①. 又在PCD 中，,PE ED PF FC ==, 则//EF CD ， 因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，则PA CD ⊥， 又90ACD ∠=，即AC CD ⊥，AC PA A ⋂=，则CD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以PC CD ⊥，因此EF PC ⊥②. 又EFAF F =，由①②知PC ⊥平面AEF ；（2）在Rt ACD △中，4CD AC ==，ACDS ∴=，又//EM PA ，PA ⊥平面ABCD ，EM ∴⊥平面ABCD ，即EM 为三棱锥E ACD -的高，112333E ACD ACDV SEM -∴=⋅=⋅=，在ACE △中，4AE CE AC ===，8ACES ∴=，设点D 到平面ACE 的距离为h ，则133D ACE E ACD ACE V V S h --==⋅⋅=，h ∴=D 到平面ACE 的距离为【一隅三反】1．（2021·陕西省黄陵县中学高一期末）如图所示，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD ⊥平面ABC ，AE BD ⊥于E ，AF CD ⊥于F .求证：BD ⊥平面AEF .【答案】证明见解析【解析】证明：AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上点，所以BC AC ⊥ 因为DA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以DA BC ⊥ 又DAAC A =,所以 BC ⊥面DAC又AF ⊂平面DAC ，则BC AF ⊥ 又AF DC ⊥，DCBC C =，所以AF ⊥平面BCD又BD ⊂平面BCD ，所以AF BD ⊥ 又因为AE BD ⊥，AE AF A ⋂= 所以BD ⊥平面AEF2．（2021·宁夏银川市·银川一中高一期末）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，底面ABC 是直角三角形，4PA AB BC ===，O 是棱AC 的中点，G 是AOB ∆的重心，D 是PA 的中点.（1）求证：BC ⊥平面PAB ； （2）求证：DG//平面PBC ；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）证明：PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥，底面ABC 是直角三角形且AB BC =，AB BC ∴⊥， 又PA ⊂平面PAB ，AB平面PAB ，PAAB A =，∴BC ⊥平面PAB .(2)证明：连结OG 并延长交AB 于点E ，连结DO ，DE ,G 是AOB ∆的重心，∴ OE 为AB 边上的中线， ∴E 为AB 边上的中点，又有D 为PA 边上的中点， ∴//DE PB ，PB ⊂平面PBC ，//DE ∴平面PBC ，同理可得//DO 平面PBC ， 又DE ⊂平面DOE ，DO ⊂平面DOE ，DE DO D ⋂=，∴平面DOE //平面PBC ，又有DG ⊂平面DOE ， DG//∴平面PBC3．（2021·陕西咸阳市·高一期末）将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -沿平面11A BCD 截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点.（Ⅰ）证明：EF ⊥平面1A AC ； （Ⅱ）求三棱锥1A D EF -的体积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1. 【解析】（Ⅰ）如图所示：连接BD ，易知BD AC ⊥，因为1A A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以1A A BD ⊥，又1A A AC A =，所以BD ⊥平面1A AC .在CBD 中，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点， 所以//BD EF . 所以EF ⊥平面1A AC . （Ⅱ）∵1D D ⊥平面ABCD ，∴1D D 是三棱锥1D AEF -在平面AEF 上的高，且12D D =. ∵点E ，F 分别是BC ，DC 的中点， ∴1DF CF CE BE ====. ∴2111322222AEF S AD DF CF CE AB BE =-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅=△. ∴11111321332A D EFD AEF AEF V V S D D --==⋅⋅=⨯⨯=△.考法二 线线垂直【例2】（2020·全国专题练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形， 11,2AB AA ，D 是1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，且CO ⊥平面11ABB A(1)证明：1BC AB ⊥； (2)若OC =，求三棱柱111ABC A B C -的高.【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】（1）证明：由题意1BD AB === 且1AODB OB ∆∆ ,111.2AO DO AD OB OB BB ∴===13OD BD AO ===222AO OD AD +=,所以1AB BD ⊥,又CO ⊥侧面11ABB A ， 1AB CO ∴⊥ ,又BD 与CO 交于点O ，所以,1AB ⊥平面CBD 又因为BC ⊂ 平面CBD ,所以1BCAB ⊥．(2)在矩形11ABB A 中，由平面几何知识可知OA OB ==∵OC =，∴3OC =，∴1,33ABC AC BC S ∆===设三棱柱111-ABC A B C 的高为h ，即三棱锥1A ABC -的高为h又12ABA S ∆=11C ABA A ABC V V --＝得1··ABC ABA S h S OC ∆∆=，∴h =【一隅三反】1．（2021·西安市航天城第一中学高一期末）如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，侧棱CC '⊥底面ABC ，AB AC =，,,D E F 分别为棱,,AA BB BC ''的中点．（1）求证：BC AF '⊥；（2）若2,AB BC CC ==='求三棱锥D AEF -的体积．【答案】（1）见解析；（2）3. 【解析】（1）因为侧棱CC '⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC ，所以CC AF '⊥， 因为F 为中点，AB AC =，故BC AF ⊥，而CC BC C '⋂=， 故AF ⊥平面BCC '，而BC '⊂平面BCC '，故BC AF '⊥. （2）取AB 的中点为G ，连接FG .因为2,AB AC BC ===222BC AC AB =+，故AC AB ⊥， 因为,CF FB AG GB ==，故//FG AC ，且1FG =，故FG AB ⊥， 因为三棱柱ABC A B C '''-中，侧棱CC '⊥底面ABC ， 故三棱柱ABC A B C '''-为直棱柱，故BB '⊥底面ABC ， 因为FG ⊂底面ABC ，故BB FG '⊥，而BB AB B '⋂=， 故FG ⊥平面ADE ，而111244ADESAD AB AA AB CC AB ='⨯⨯=⨯⨯=⨯'⨯=故1133A DEF F ADE V V --===.2．（2021·广西河池市·高一期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11ACC BCC ∠=∠，AC BC =．（1）若三棱柱111ABC A B C -的体积为1，求三棱锥1C ABC -的体积； （2）证明：1AB CC ⊥． 【答案】（1）13；（2）证明见解析. 【解析】（1）设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，ABC 的面积为S ， 由三棱柱111ABC A B C -的体积为1，可得1111ABC A B C V Sh -==， 可得三棱锥1C ABC -的体积为1133Sh =. （2）如图所示：取AB 的中点D ，连CD ，1C D ,∵1111AC BC CC CC ACC BCC=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴11ACC BCC ≌， ∴11AC BC =,∵AD DB =，11AC BC =，∴1AB C D ⊥∵AD DB =，AC BC =， ∴AB CD ⊥,∵1AB C D ⊥，AB CD ⊥，1,CD C D ⊂平面1CDC ，1CD C D D ⋂=， ∴AB ⊥平面1CDC∵AB ⊥平面1CDC ，1CC ⊂平面1CC D ， ∴1AB CC ⊥．3．（2021·扶风县法门高中高一期末）如图，三棱锥V —ABC 中， VA=VB ＝AC=BC=2，AB ＝VC=1．（1）证明： AB ⊥VC ； （2）求三棱锥V —ABC 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）12. 【解析】（1）证明：取AB 的中点为D ，连接VD ，CD ，∵VA=VB ，ABV ∴是等腰三角形，∴AB ⊥VD ，AC BC =，ABC ∴是等腰三角形， AB ⊥CD ，VD CD D =，所以AB ⊥平面VDC ．又VC ⊂平面VDC ，故AB ⊥VC .（2）由（1）知AB ⊥平面VDC ，12AD AB ==2VA ，所以1VD ==，2AC =，1CD ==，又VC=1，所以VDC 是等边三角形，所以11sin 601122VDCSVD DC =⨯⨯=⨯⨯，故三棱锥V —ABC 的体积等于111332VDCSAB =．考法三 面面垂直【例3】（2021·江西景德镇市·景德镇一中高一期末）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，2AB PD ==，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点.（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若//PD 平面EAC ，求三棱锥B AEC -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】（1）因为四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，PD ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，AC PD ∴⊥， PD BD D ⋂=，AC ∴⊥平面PBD ，AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBD ；（2）如下图所示，连接OE ，四边形ABCD 为正方形，且AC BD O =，则O 为BD 的中点，因为//PD 平面AEC ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD平面AEC OE =，//OE PD ∴，O 为BD 的中点，E ∴为PB 的中点，PD ⊥平面ABCD ，OE ∴⊥平面ABCD ，且12OE PD == ABC 的面积为21222ABC S =⨯=△，所以，11233B AEC E ABC ABC V V S OE --==⋅=⨯=△. 【一隅三反】1．（2021·陕西宝鸡市·高一期末）如图，在三棱锥P ABC -中，⊥PA AB ，PA BC ⊥，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（1）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（2）当//PA 面BDE 时，求三棱锥E BCD -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）13．【解析】（1）证明：由AB BC =，D 为线段AC 的中点， 可得BD AC ⊥，由PA AB ⊥，PA BC ⊥，AB BC B ⋂=， 可得 PA ⊥平面ABC ， 又BD ⊂平面ABC ， 可得 PA BD ⊥， 又PAAC A =所以BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面PAC ；（2）解：//PA 平面BDE ，PA ⊂平面PAC ， 且平面PAC平面BDE DE =，可得//PA DE ， 又D 为AC 的中点，可得E 为PC 的中点，且112DE PA ==， 由PA ⊥平面ABC ，可得DE ⊥平面ABC ， 可得111221222BDCABCSS ==⨯⨯⨯=， 则三棱锥E BCD -的体积V=11111333BDCDE S ⋅=⨯⨯=． 2．（2021·全国高一课时练习）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AP ⊥平面PCD ，E ，F 分别为PC ，AB 的中点求证：（1）平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）//EF 平面PAD【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）∵AP ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ∴AP CD ⊥∵ABCD 为矩形，∴AD CD ⊥又：AP AD A ⋂=，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ∴CD ⊥平面PAD ∵CD ⊂平面ABCD ∴平面PAD ⊥平面ABCD（2）连接AC ，BD 交于点O ，连接OE ，OF ， ∵ABCD 为矩形，∴O 点为AC 中点 ∵E 为PC 中点 ∴//OE PA∵OE ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ∴//OE 平面PAD 同理可得：//OF 平面PAD ∵OE OF O ⋂= ∴平面//OEF 平面PAD ∵EF ⊂平面OEF ∴//EF 平面PAD3．（2021·全国高一课时练习）如图所示，已知在三棱锥A BPC -中，,AP PC AC BC ⊥⊥，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且PMB △为正三角形．（Ⅰ）求证：//DM 平面APC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（Ⅲ）若4,20BC AB ==，求三棱锥D BCM -的体积．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）【解析】证明：因为M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，所以MD 是ABP △的中位线，MD AP .又MD 平面APC ，AP ⊂平面APC ， 所以MD平面APC .（2）证明：因为PMB △为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD PB ⊥. 又MDAP ，所以AP PB ⊥.又因为AP PC ⊥，PB PC P ＝，所以AP ⊥平面PBC .因为BC ⊂平面PBC ，所以⊥AP BC . 又因为BC AC ⊥，AC AP A ⋂＝， 所以BC ⊥平面APC . (3)因为AP ⊥平面PBC ，MDAP ，所以MD ⊥平面PBC ，即MD 是三棱锥M DBC -的高.因为20AB =，M 为AB 的中点，PMB △为正三角形，所以10,2PB MB MD MB ====由BC ⊥平面APC ，可得BC PC ⊥，在直角三角形PCB 中，由104PB BC ＝，＝，可得PC ＝于是1114222BCD BCP S S ⨯⨯⨯=△△＝＝1133D BCM M DBC BCD V V S MD --⨯=△＝＝＝考法四 空间距离【例4】（2020·全国专题练习）在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中求出下列距离：（1）点A 到面11BB C C 的距离； （2）线段11B D 到面ABCD 的距离； （3）点A 到面11BB D D 的距离； （4）C 到平面1BDC 的距离.【答案】（1）a ；（2）a ；（3）2a ；（4）3a . 【解析】（1）因为正方体1111ABCD A B C D -，则AB ⊥平面11BB C C ， 所以点A 到面11BB C C 的距离为边长AB a ；（2）因为11B D ∥平面ABCD ，且1B B ⊥平面ABCD ， 所以线段11B D 到面ABCD 的距离为1B B a =；（3）因为AC ⊥平面11BB D D ，所以点A 到面11BB D D 的距离为面对角线的AC 的12，即2a ； （4）设C 到平面1BDC 的距离为h ，三棱锥1C BDC -的体积为V ，在1BDC ∆中，11BD DC BC ===，则1BDC ∆的面积为22)42a ⨯=，利用等体积法可得：21113232V a a a a h =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，所以3h a =【一隅三反】1．（2020·北京二十中高一期末）如图，正四棱锥P ABCD -的高为2，且底面边长也为2，则点A 到平面PBC 的距离为（ ）A B C D 【答案】A【解析】由正四棱锥的性质可知，其底面ABCD 为正方形，连接AC 、BD ，设交点为点O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，且2PO =，底面对角线的长度为BD ==PB =PM ==，1114·2223323P ABC ABC V S PO -==⨯⨯⨯⨯=，11222PBC S BC PM =⋅=⨯=设点A 到平面PBC 的距离为h ，由A PBC P ABC V V --=，即1433h =，解得h =．故选：A.2．（2020·全国）已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A ．2 BC D ．1【答案】D【解析】因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC 平面BDE ，1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得111112232323E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯=，在BDE 中，BE DE BD ====BD 边上的高2==，所以122BDES=⨯=1133A BDE BDEV S h -==⨯，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得:133⨯=解得: 1h = 3．（2020·全国高一课时练习）已知1111ABCD A B C D -是长方体，且4AB =，3AD =，12AA =.（1）写出点A 到平面11BCC B 的距离； （2）写出直线AB 到平面1111D C B A 的距离； （3）写出平面11ADD A 与平面11BCC B 之间的距离. 【答案】（1）4（2）2（3）4 【解析】如图.（1）点A 到平面11BCC B 的距离14h AB ==；（2）∵AB ∥平面1111D C B A ，∴AB 到平面1111D C B A 的距离212h AA ==；（3）∵平面11ADD A ∥平面11BCC B ，∴平面11ADD A 与平面11BCC B 之间的距离34h AB ==.。

8.6 空间直线、平面的垂直（1）（精炼）【题组一 线面垂直】1．（2021·海原县第一中学高一期末）如图，已知PA ⊥⊙O 所在平面，AB 为⊙O 的直径，C 是圆周上的任意一点，过A 作AE PC ⊥于E ．求证：AE ⊥平面PBC ．【答案】证明见解析.【解析】证明：由AB 是⊙O 的直径， 得BC AC ⊥. 又PA ⊥⊙O 所在平面BC ⊂⊙O 所在平面内所以BC PA ⊥，又AC PA A ⋂=， 所以BC ⊥面PAC ，AE ⊂面PAC .所以BC AE ⊥，又AE PC ⊥，BC PC C ⋂=， 所以AE ⊥平面PBC ．2．（2021·全国高一课时练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11B D 的中点，AC BD O =.求证：（1）AC ⊥平面11B BDD ；（2）//DE 平面1ACB .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）在正方体中，1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1BB AC ∴⊥，ACBD ，1BD BB B ⋂=，∴AC ⊥平面11B BDD ；（2）连接1OB ，在正方体中，11//BB DD 且11BB DD =，∴四边形11BB D D 是平行四边形，11//BD B D ∴且11BD B D =，,O E 分别为11,BD B D 中点，1DO EB ∴=，∴四边形1DEB O 是平行四边形，1//DE OB ∴，DE ⊄平面1ACB ，1OB ⊂平面1ACB ，∴//DE 平面1ACB .3．（2020·全国高一课时练习）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为底面ABCD 的中心，点F 为1CC 的中点，求证：1A O ⊥平面BDF ．【答案】证明见解析.【解析】证明：在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得1AA BD ⊥，而1AC AA A =∩，可得BD ⊥平面11AAC C ，而1AO ⊂平面11AAC C ，则1BD AO ⊥， 在直角三角形1A AO 和直角三角形FCO 中，1AA AOCO CF==，1A AO OCF ∴，1AAO COF ∴∠=∠， 1190AAO AOA ∠+∠=，190COF AOA ∴∠+∠=，即190AOF ∠=，即1OF AO ⊥， 又1BD AO ⊥，而OFBD O =，则1A O ⊥平面BDF ．4．（2020·全国高一课时练习）如图所示，在四面体ABCD 中，棱CD =，其余各棱长都为1，E 为CD的中点．求证：（1）CD ⊥平面ABE ； （2）AE ⊥平面BCD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）由已知可得AD AC CB BD ===，E 为CD 的中点． 所以CD AE ⊥，CD BE ⊥，又AEBE E =，所以CD ⊥平面ABE ．（2）由CD =，其余各棱长都为1，可得90DAC ∠=︒，90DBC ∠=︒，由E 为CD 的中点．可得122AE BE CD ===，因为1AB =，所以222AE BE AB +=，所以AE BE ⊥，又AE CD ⊥，CD BE E ⋂=， 所以AE ⊥平面BCD ．5．（2020·全国高一课时练习）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -．（1）直线AB 与平面11BCC B 是否垂直？为什么？ （2）直线AC 与平面11BB D D 是否垂直？为什么？ （3）直线1A C 与平面ABCD 是否垂直？为什么？ （4）直线1AB 与平面11A BCD 是否垂直？为什么？【答案】（1）垂直，证明见解析；（2）垂直，证明见解析；（3）不垂直，证明见解析；（4）垂直，证明见解析．【解析】（1）垂直，因为AB BC ⊥，1AB B B ⊥，且1B B BC B =，BC ⊂平面11BCC B ，1B B ⊂平面11BCC B所以AB ⊥平面11BCC B ； （2）垂直，因为AC BD ⊥，1AC B B ⊥，且1BD B B B =，BD ⊂平面11BB D D ，1B B ⊂平面11BB D D ；所以AC ⊥平面11BB D D ； （3）不垂直，因为1A C 与BC 不垂直，所以1A C 与平面ABCD 不垂直； （4）垂直，因为11AB A B ⊥，1AB BC ⊥，且1A B BC B =，1A B ⊂平面11A BCD ，BC ⊂平面11A BCD ．所以1AB ⊥平面11A BCD ．6．（2020·全国高一课时练习）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90BAD ∠=︒，22CD AB AD ==，侧面PAD 是正三角形且垂直于面ABCD ，E 是PC 中点.（1）求证：//BE 面PAD ； （2）求证：BE ⊥平面PCD .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）取PD 的中点F ，连接AF 、EF ，E 是PC 中点，//EF CD ∴，12EF CD =，//AB CD ，2CD AB =， //EF AB ∴，EF AB =，∴四边形ABEF 是平行四边形，//BE AF ∴，又BE ⊂平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，//BE ∴面PAD .（2）面PAD ⊥面ABCD ，面PAD 面ABCD AD =，CD AD ⊥，CD面PAD ，AF ⊂平面PAD ，CD AF ∴⊥，等边三角形PAD ，F 为PD 的中点，AF PD ∴⊥， 又CDPD D =，CD 、PD ⊂平面PCD ，AF ∴⊥平面PCD ，//AF BE ，BE ∴⊥平面PCD .【题组二 线线垂直】1．（2020·陕西西安市·西安一中高一月考）如图1，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD 垂直于底面ABCD ，M 是PC 的中点，已知四棱锥的侧视图，如图2所示.（1）证明：DM PB ；（2）求棱锥P BDM -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）94. 【解析】解：（1）由侧视图可知，3PD AD ==， 因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥， 又因为ABCD 是正方形，所以BC CD ⊥. 而PD CD D ⋂=，PD ，CD ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD.因为DM ⊂平面PCD ，所以DM BC ⊥.又PCD 是等腰三角形，M 是PC 的中点，所以DM PC ⊥， 而PC BC C ⋂=，PC ，BC ⊂平面PBC ， 所以DM ⊥平面PBC ， 而PB ⊂平面PBC ，所以DM PB .（2）11193332224P BDM B PDM PDMV V S BC --==⨯=⨯⨯=.2．（2020·陕西西安市·高一期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,,AB AD AC CD PA AC ⊥⊥=，E 是PC 的中点．证明：（Ⅰ）CD AE ⊥； （Ⅱ）PD ⊥平面ABE ．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ， 所以PA CD ⊥， 又AC CD ⊥，PAAC A =，所以CD ⊥平面PAE ， 又AE ⊂平面PAE 所以CD AE ⊥；（Ⅱ）因为PA AC =，E 是PC 的中点， 所以PC AE ⊥，又CD AE ⊥，CD PC C ⊥=， 所以AE ⊥平面PCD ，又PD ⊂平面PCD ， 所以PD AE ⊥,又因为AB AD ⊥，AB PA ⊥且AD PA A ⊥=，所以AB ⊥平面PAD ， 又PD ⊂平面PAD ， 所以AB PD ⊥，又AE AB A =，所以PD ⊥平面ABE ．3．（2021·陕西商洛市·高一期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，2212AA AC BC ===，1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，D 为棱1CC 的中点.（1）证明：1A B AD ⊥. （2）求点1A 到平面ABD 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2.【解析】（1）证明：如图，取1A B 的中点E ，连接AE ，DE .因为1AA ⊥平面ABC ，所以三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱.因为AC BC =，D 为棱1CC 的中点，所以1BD AD A D ====所以1DE A B ⊥.因为AC BC ⊥，AC BC ==2AB =，所以AB AA =.因为E 为1A B 的中点，所以1AE A B ⊥. 又AEDE E =，所以1A B ⊥平面ADE .因为AD ⊂平面ADE ，所以1A B AD ⊥.（2）解：在三棱锥1B AA D -中，1122AA D S =⨯=△因为BC ⊥平面1AA D ，且BC =所以三棱锥1B AA D -的体积为1233=. 设点1A 到平面ABD 的距离为d ，则1233ABD S d ⨯⨯=△.因为AD BD ==112222ABD S =⨯=⨯=△所以d =1A 到平面ABD .4．（2020·全国高一单元测试）已知直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 是BC 中点，E 是1AA 的中点.（1）求证：1AD BC ⊥； （2）求证：//DE 平面11A C B .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】证明：（1）AB AC =，ABC ∆∴为等腰三角形D 为BC 中点，AD BC ∴⊥，111ABC A B C -为直棱柱，∴平面ABC ⊥平面1BC ，平面ABC平面1BC BC =，AD ⊂平面ABC ，AD ∴⊥平面1BC ，1AD BC ∴⊥.（2）取1CC 中点F ，连结DF ，EF ，D ，E ，F 分别为BC ，1CC ，1AA 的中点11//EF AC ∴，1//DF BC ， 1111AC BC C =，DFEF F =∴平面//DEF 平面11A C B ，DE ⊂平面DEF//DE ∴平面11A C B .【题组三 面面垂直】1．（2021·全国高一课时练习）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是半圆弧CD 上异于C ，D 的点.（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得//MC 平面PBD ？说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析. 【解析】证明：（1）由题意可知，平面ABCD ⊥平面CDM ， 又∵平面ABCD平面CDM CD =，CD AD ⊥，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面CDM ，又MC ⊂平面CDM ，∴AD MC ⊥， 又由圆的性质知MD MC ⊥， ∵ADMD D =，AD ⊂平面AMD ，MD ⊂平面AMD ，∴MC ⊥平面AMD ，∵MC ⊂平面BMC ，∴平面AMD ⊥平面BMC ；（2）存在点P ，当点P 为线段AM 的中点时，MC ∥平面PBD.理由如下：连接DB 与AC 交于点O ，则O 为AC 的中点， 连接PO ，则PO 是三角形AMC 的中位线， ∴MC PO ∥，∵PO ⊂平面PBD ，MC ⊂/平面PBD ，∴MC ∥平面PBD.2．（2021·全国高一课时练习）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设1AP =，AD =P ABCD -的体积为1，求证：平面PAC ⊥平面PBD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）连接BD 交AC 于点O ，连结EO , 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点, 又E 为PD 的中点，所以//EO PB ,EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .（2）因为113P ABCD V AB AD AP -=⨯⨯⨯=,所以AB =ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥，因为PA ABCD ⊥，所以BD PA ⊥，且AC PA A ⋂=，所以BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAC ⊥平面PBD .3．（2021·陕西商洛市·高一期末）在如图所示的几何体中，四边形BCED 为直角梯形，//DE CB ，BC EC ⊥，90AED ∠=︒.（1）证明：平面ABC ⊥平面ACE .（2）若P ，Q 分别是AE ，CD 的中点，证明：//PQ 平面ABC . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）在直角梯形BCED 中，BC EC ⊥，//DE CB ， 则DE EC ⊥.因为90AED ∠=︒，所以AE DE ⊥. 因为AE EC E ⋂=， 所以DE ⊥平面ACE ， 所以BC ⊥平面ACE . 因为BC ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面ACE .（2）取CE 的中点O ，连接OP ，OQ .因为O ，P 分别为CE ，AE 的中点， 所以//OP AC ,又OP ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，//OP 平面ABC ，同理//OQ 平面ABC ， 因为OP OQ O ⋂=， 所以平面//OPQ 平面ABC ， 又PQ ⊂平面OPQ ， 所以//PQ 平面ABC .4．（2020·全国高一单元测试）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）若P 点是线段AM 的中点，求证：//MC 平面PBD ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）因为矩形ABCD 所在平面与半圆弦CD 所在平面垂直， 面ABCD面CDM CD =，AD DC ⊥，AD ⊂面ABCD ，所以AD ⊥半圆弦CD 所在平面， 且CM ⊂半圆弦CD 所在平面， 所以CM AD ⊥；又M 是CD 上异于C ，D 的点， 所以CM DM ⊥； 又DMAD D =，所以CM ⊥平面AMD ； 又CM ⊂平面CMB ， 所以平面AMD ⊥平面BMC ；（2）由P 是AM 的中点，连接BD 交AC 于点O ，连接OP ，如图所示：由中位线定理得//MC OP ；又MC ⊂/平面BDP ，OP ⊂平面BDP ， 所以//MC 平面PBD ．5．（2020·西安市华山中学高一月考）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，AC BC =，M 是1CC 的中点，求证：平面1AB M ⊥平面11A ABB .【答案】证明见解析【解析】连接1A B ，交1AB 于点P ，三棱柱111ABC A B C -中，四边形11A ABB 是矩形，∴P 是1A B 的中点， 取AB 的中点N ，连接,,CN PN MP ，则//,NP CM NP CM =，∴四边形MCNP 是平行四边形，//CN MP ∴， 又AC BC =，CN AB ∴⊥，1CC ⊥底面ABC ，CN ⊂底面ABC ，1CC CN ∴⊥，又11//AA CC ，1AA CN ∴⊥，CN ∴⊥平面11A ABB ，MP ∴⊥平面11A ABB ，MP ⊂平面1AB M ，∴平面1AB M ⊥平面11A ABB .6．（2021·全国高一）如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD上异于C，D的点.证明：平面AMD⊥平面BMC.【答案】证明见解析【解析】由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC CM=C，所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.=，7．（2020·新疆巴音郭楞蒙古自治州·高一期末）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC且AB BC D、E分别为PC、AC的中点.（1）求证：//PA 平面BDE ； （2）求证：平面BDE ⊥平面PAC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）∵D 、E 分别为PC 、AC 的中点，∴//DE PA ， ∵DE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， ∴//PA 平面BDE ．（2）∵在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB BC =，D 、E 分别为PC 、AC 的中点，∴PA BE ⊥，AC BE ⊥， ∵PAAC A =，∴BE ⊥平面PAC ．∵BE ⊂平面ABC ， ∴平面BDE ⊥平面PAC ． 【题组四 空间距离】1．（2021·全国高一课时练习）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则点C 到平面1BDC 的距离为（ ）A BC ．3D 【答案】D【解析】设点C 到平面1BDC 的距离为是h ,如图，易知1111111113326C BDC BDC V S CC -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△,因为12211sin 602222BDC S BD =⨯⨯︒=⨯⨯=△所以11113326C BDC BDC V S h h h -∆=⨯⨯=⨯=， 由11C BDC C BDC V V --=，所以166h =，解得：h故选：D2．（2020·全国高一课时练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为11C D ，AB 的中点，4AB =，则MN 与平面11BCC B 的距离为（ ）A ．4B ．C ．2D【答案】C 【解析】如图，1MN BC ,又1BC ⊂平面11BCC B ，MN ∥平面11BCC B .∴MN 与平面11BCC B 的距离为N 到面11BCC B 的距离.又N 到平面11BCC B 的距离为122NB AB ==. ∴MN 与平面11BCC B 的距离为2.故选：C3．（2020·天津师范大学附属实验中学高二月考）长方体1111ABCD A B C D -中，15AA =，12AB =，那么直线11B C 和平面11A BCD 的距离是________． 【答案】6013【解析】∵直线11B C //平面11A BCD ，∴直线11B C 和平面11A BCD 的距离即为点1B 和平面11A BCD 的距离. ∵面11ABB A ⊥面11A BCD ，在面11ABB A 内过1B 作1A B 的垂线，即为面11A BCD 的垂线，也就是直角三角形11A BB 斜边上的高d ，由面积法得：512601313d ⨯==. 故答案为：6013. 4．（2020·上海高三专题练习）平面//αβ，点,A C α∈，点,B D β∈，如果28AB CD +=，且AB ，CD 在β内射影长分别为5和9，则平面α与β间的距离为________． 【答案】12【解析】如图，,AE CF ββ⊥⊥，由题意可知，5BE =，9DF = ， 设AB x = ，28CD x =-，则()22252881x x -=-- ，解得：13x =，∴ 平面α与平面β间的距离12AE ==故答案为：125．（2020·全国高一课时练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为1AA ，1BB ，1CC ，1DD的中点，14AA =，则平面ABCD 与平面EFGH 的距离为________.【答案】2【解析】如图平面A BCD 平面EFGH又1AA ⊥平面ABCD .平面ABCD 与平面EFGH 的距离为1114222AA =⨯=. 故答案为：26．（2020·全国高二课时练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，设3AB =，2BC =，11AA =，则点B 到面11ADD A 的距离为________，直线AC 与面1111D C B A 的距离为________，面11ABB A 与面11DCC D 的距离为________.【答案】3 1 2【解析】在长方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥面1111D C B A ,所以点B 到面11ADD A 的距离为3AB =即点B 到面11ADD A 的距离为3. AC 面1111D C B A ,则直线AC 上任意一点到面11ADD A 的距离相等。