10.7相似三角形的应用(1)

相似三角形的应用相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。

相似三角形之间存在一种特殊的比例关系，通过这种比例关系，我们可以运用相似三角形解决各种实际问题。

本文将重点介绍相似三角形的应用领域及其在数学和几何中的具体运用。

一、相似三角形在实际问题中的应用1. 测量高度和距离：相似三角形的应用在测量高度和距离方面非常常见。

例如，在无法直接测量建筑物或树木的高度时，可以通过相似三角形的比例关系，利用已知的高度和距离来计算未知的高度。

类似地，当无法直接测量两个物体之间的距离时，可以利用相似三角形的比例关系来推算出距离。

2. 图像的放大和缩小：在艺术和设计领域中，相似三角形的应用非常重要。

当我们需要将一幅图像进行放大或缩小时，可以利用相似三角形的性质来确定新图像与原图像的比例关系，从而实现图像的变形。

3. 建筑设计与规划：在建筑设计与规划中，相似三角形的应用也非常普遍。

通过相似三角形可以计算出建筑物的高度、宽度、长度等尺寸信息，从而帮助设计师进行准确的规划和设计。

二、相似三角形在数学中的应用1. 比例和比值的计算：相似三角形的比例关系可以用来计算不同长度之间的比例和比值。

通过相似三角形的性质，我们可以建立起各种数学关系式，进行比例和比值的计算，从而解决许多实际和抽象的问题。

2. 三角函数的定义和性质：在三角函数的定义和性质中，相似三角形也扮演着重要角色。

例如，在定义正弦、余弦和正切函数时，就需要利用相似三角形的性质来推导出它们的数学表示式。

相似三角形的运用使得三角函数的计算和应用更加简便和灵活。

3. 几何图形的相似性判定：相似三角形的性质在判定几何图形的相似性方面起着至关重要的作用。

根据相似三角形的比例关系，我们可以通过对角、边长比较等方法来判断两个图形是否相似，并进一步推导出它们之间的其他性质。

总结：相似三角形在实际问题、数学和几何中都有着广泛的应用。

通过运用相似三角形的比例关系，我们可以解决测量、计算和设计等问题，在数学和几何中推导出各种定理和性质。

初二数学教学案课题：10.7相似三角形的应用(1)完成时间：______________学生姓名：___________家长签字：_____________ 一、情景引入1．观察现象：人在太阳光的照射下，会产生影子，在你行走的时候它的长度变化吗？______. 2．(动手做一做)在学校的操场上分别竖立长度不同的甲、乙、丙3根木杆，在同一时刻分别测量出3根木杆在阳光下的影长，并将有关数据填入下表：通过观察、计算，你发现了什么？____________________________________________。

________________________________________________________________叫做平行投影。

在平行光线的照射下，不同的物体的物高与影长___________。

二、探索活动：1.在同一时刻，甲杆在阳光下的影长如图，你能画出此时乙、丙两根木杆的影长吗？说说你的看法。

2．一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为 ( )A.7.5米B.8米C.14.7米D.15.75米3．古埃及国王为了知道金字塔(底边是正方形)的高度，请一位学者来解决这个问题。

在阳光下，当这位学者确定他的影长等于他的身高时，要求他的助手立即测得金字塔的阴影DB 的长，这样他就十分准确地算出了金字塔的高度。

如果测得金字塔的阴影DB 的长为32m ，金字塔底边的长为230m ，请计算出这座金字塔的高度。

(注：此时他的影长等于他的身高)三、基础练习：1．在阳光下，身高为1.68m 的小强在地面上的影长为2m ，在同一时刻，测得旗杆在地面上的影长为18m ，求旗杆的高度(精确到0.1m).2．如图，在某一时刻竖立在操场上的竹竿AB,在阳光下的影长为BC,请据此画出操场上的树MN 在此时的影长(用线段NP 表示)DBEDC B A3. 如图所示的测量旗杆的方法,已知AB 是标杆,BC 表示AB 在太阳光下的影子,•叙述错误的是 ( )A.可以利用在同一时刻,不同物体与其影长的比相等来计算旗杆的高B.可以利用△ABC ∽△EDB,来计算旗杆的高C.只需测量出标杆和旗杆的影长就可计算出旗杆的高D.需要测量出AB 、BC 和DB 的长,才能计算出旗杆的高4. 已知，如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱.AB =5m ，某一时刻AB 在阳光下的投影BC =3m.（1）请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影； （2）在测量AB 的投影时，同时测量出DE 在阳光下的投影长为6m ，请你计算DE 的长.四、提高部分：5．利用镜面反射可以计算旗杆的高度,如图,一名同学(用AB 表示),站在阳光下,通过镜子C 恰好看到旗杆ED 的顶端,已知这名同学的身高是1.60米,他到影子的距离是2米,镜子到旗杆的距离是8米,求旗杆的高.6．某数学兴趣小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一身高为1.5m的同学的影长为 1.35m，因大树靠近一幢建筑物，影子不全在地面上，他们测得地面部分的影长BC＝3.6m，墙上影高CD＝1.8m,求树高AB。

初中数学八年级下册课题：10.7相似三角形的应用（1）班级 组别 姓名 使用日期【学习目标】1．了解平行投影的意义，知道在平行光线的照射下，同一时刻不同物体的物高与影长成比例；2．通过测量活动，综合运用判定三角形相似的条件和三角形相似的性质解决问题，加深对判定三角形相似的条件和性质的理解． 【导学提纲】认真阅读课本P113～114内容，完成下列问题．1．在 的照射下，物体所产生的 叫做平行投影.2．在平行光线的照射下，不同的物体的物高与影长 .3．在同一时刻，甲杆在阳光下的影长如图，你能画出此时乙、丙两根木杆的影长吗？说说你的看法.【展示交流】 1．在阳光下，身高1.68m 的小强在地面上的影长为2m ，在同一时刻，测得旗杆在地面上的影长为18m ．求旗杆的高度(精确到0.1m)．2．古埃及测量金字塔的问题．古埃及国王为了知道金字塔(底边是正方形)的高度，请一位学者来解决这个问题．在阳光下，当这位学者确定他的影长等于他的身高时，要求他的助手立即测得金字塔的阴影DB 的长，这样他就十分准确地算出了金字塔的高度．DB 的长为32m ，金字塔底边的．(注：此时)第3题图 A 时 B 时 3．如图,甲楼AB 高18米,乙楼坐落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12时,物高与影长的比是1: 2 ,已知两楼相距21米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?【课堂反馈】1．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC 的高度，在点F 处竖立一根长为1.5米的标杆DF ，如图（1）所示，量出DF 的影子EF 的长度为1米，再量出旗杆AC 的影子BC 的长度为6米，那么旗杆AC 的高度为 （ ).A ．6米B ．7米C ．8.5米D ．9米第1题 第2题2．如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C 、D 的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是 米.3．如图，小明在A 时测得某树的影长为2m ，B 时又测得该树的影长为8m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.【盘点收获】【个案补充】【迁移创新】利用镜面反射可以计算旗杆的高度,如图,一名同学(用AB 表示),站在阳光下,通过镜子C 恰好看到旗杆ED 的顶端,已知这名同学的身高是1.60米,他到影子的距离是2米,镜子到旗杆的距离是8米,求旗杆的高.【课堂作业】课本P118习题10.7第1，3题． E D CA。

相似三角形的应用举例相似三角形是指在形状相似的两个三角形中，对应的角度相等，而对应的边长成比例关系。

这一性质使得相似三角形在实际生活中有着广泛的应用。

本文将举例介绍相似三角形在地理测量、影视制作和建筑设计等领域的具体应用。

一、地理测量中的相似三角形应用地理测量中常常使用相似三角形原理来测量高处物体的高度以及难以直接测量的距离。

以测量一座建筑物的高度为例，通过在平面上选择两个不同位置，测量出与地平线夹角相同的两个点，再利用三角形相似原理计算出建筑物的高度。

这样的测量方法可以避免测量过程中的误差和测量的困难，提高测量的准确性和效率。

二、影视制作中的相似三角形应用在影视制作中，相似三角形的应用尤为重要。

例如，在电影中要制作一个逼真的远景特写，如果直接拍摄远处的景象，可能会因为远离拍摄现场而导致细节无法清晰展现。

为了解决这个问题，可以利用相似三角形的原理，在近距离拍摄一个类似的模型或者画面，然后通过电脑生成与实景相似的远景效果。

这种利用相似三角形的方法可以在节约成本的同时，制作出逼真的远景特写效果。

三、建筑设计中的相似三角形应用相似三角形在建筑设计中有着广泛的应用，特别是在设计高层建筑时更是如此。

以设计一座摩天大楼为例，建筑师需要保证高楼的结构坚固稳定，同时也要满足美学上的要求。

在设计过程中，利用相似三角形的原理可以根据大楼的比例尺度，在小模型上进行实际尺寸的计算和预测。

这种预测方法不仅可以方便地展示设计方案，还可以在施工前发现和修正设计中的不足之处，提高整体设计质量。

通过上述几个具体例子，我们可以看到相似三角形在地理测量、影视制作和建筑设计中的重要应用。

相似三角形原理的运用，使得我们能够更加准确地进行测量、制作出逼真的特效和设计出稳固美观的建筑物。

这一应用不仅提高了工作效率，还为我们提供了更多实际问题的解决方案。

因此，相似三角形的学习与应用在我们的生活中具有重要的意义。

《相似三角形的应用》讲义一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。

如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比叫做相似比。

相似三角形具有以下重要性质：1、对应角相等：相似三角形的对应角大小相等。

2、对应边成比例：相似三角形的对应边的长度之比等于相似比。

3、周长比等于相似比：两个相似三角形的周长之比等于它们的相似比。

4、面积比等于相似比的平方：相似三角形的面积之比等于相似比的平方。

这些性质是解决相似三角形应用问题的基础，我们需要熟练掌握并能够灵活运用。

二、相似三角形在测量中的应用1、测量高度在实际生活中，我们经常需要测量一些物体的高度，如大树、高楼等。

当直接测量高度有困难时，可以利用相似三角形的原理来解决。

例如，要测量一棵大树的高度，可以在与大树底部水平的地面上选择一点 A，然后在 A 点处直立一根标杆 CD，测量出标杆的长度 CD 以及标杆顶端 D 与树顶 E 的仰角∠DAE 和∠DBC。

由于标杆与地面垂直，大树也与地面垂直，所以三角形 ADE 和三角形 ABC 相似。

根据相似三角形对应边成比例，可得：AB ／ AD ＝ BC ／ DE已知 AB、AD、BC 的长度，就可以求出大树的高度 DE。

2、测量距离相似三角形还可以用于测量无法直接到达的两点之间的距离。

比如，要测量一条河的宽度。

可以在河的一侧选择一点 A，在对岸选择一点 B，然后在 A 点所在的岸边选择另一点 C，使得 AC 与河岸垂直。

再在 AC 上选择一点 D，使得∠ADB ＝∠ABC。

此时三角形ABD 和三角形 ABC 相似。

通过测量 AC、AD 的长度以及∠ADB 的度数，就可以根据相似三角形的性质求出河的宽度 AB。

三、相似三角形在几何证明中的应用在几何证明题中，常常会遇到需要证明两个三角形相似的情况。

这时，我们需要根据已知条件寻找三角形相似的条件。

常见的证明三角形相似的方法有：1、两角对应相等的两个三角形相似。

相似三角形应用举例（一）一、教材分析：1、教材所处的地位和前后联系：“相似三角形的应用举例（一）”是第四章的一个重要内容之一，它是在掌握了相似三角形的判定和性质的基础上，对其进行实际的应用，对今后研究线段之间的关系，角之间的关系以及解决一些实际问题都起着重要的作用。

2、教学目的：1）进一步巩固相似三角形的判定和性质以及判定性质在实际方面的应用。

2）提高学生把实际问题转化为数学问题的能力。

3）提高学生分析推理能力，激发学生学习数学的兴趣。

4）进行“认识来源于实践，并应用于实践的辨证唯物主义认识论的教育”。

3、教学重点：1）把实际问题转化为数学问题。

2）利用相似三角形知识“进行线段长度计算和角相等的证明”。

4、教学难点：综合运用列方程解应用题等知识讲解例2。

5、教学关键：如何引导学生应用相似三角形的判定和性质。

二、教具准备：1、投影片、投影笔或多媒体设备．2、5分硬币。

3、玩具步枪，作目标的小方盒（例1）三、教学过程：一）引入新课1、举5分硬币，询问学生“信不信我能用这小小的硬币在一个月圆的晚上测得月亮离我有多远？”（设计意图：引起学生强烈的好奇心，从而把注意力很快集中到课堂上来）．进而指明：这应用的是我们刚学过的相似三角形的知识，学完这堂课后，相信你也会有这本领。

（设计意图：激发学生的求知欲，使学生对本堂课的学习产生浓厚的兴趣，急于使自己也具有这个水平。

）2、复习相似三角形的判定，性质。

（学生答后，在投影片上显示，使旧知识及时再现，为以下的应用做铺垫。

）并指出应用相似三角形的知识可以解决许多实际问题。

二）、讲解新课：1、讲解例1：如图是步枪在瞄准时的俯视图，OE是从眼睛到准星的距离Ｃ②出示玩具步枪，小方盒，讲解俯视图，由实际问题得出AB//CD（借助实物直观得出AB//CD，从而提高把实际问题转化为数学问题的能力。

）③创设问题：⑴AB//CD，可得出哪两个三角形相似,理由是什么？⑵AB、CD是什么边（对应边）？⑶OE、OF是什么高线（对应高线）？⑷利用哪个知识点，可把已知线段AB、CD、OE和未知线段OF相联系。