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柱、锥、台、球的结构特征学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为( )A．B．C．D．2．如图，在长方体ABCDA′B′C′D′中，P是对角线AC与BD的交点，若P为四棱锥的顶点，四棱锥的底面为长方体的一个面，则这样的四棱锥有( )A． 3个B． 4个C． 5个D． 6个3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为( )A． 1∶1B． 1∶C． 1∶D． 1∶24．已知正四棱锥的顶点均在球上，且该正四棱锥的各个棱长均为，则球的表面积为( )A．B．C．D．5．已知A，B，C三点都在以O为球心的球面上，OA，OB，OC两两垂直，三棱锥OABC的体积为，则球O的表面积为( )A．B． 16πC．D． 32π6．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为( )A．R B．2R C．R D．R7．三棱锥P－ABC的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )A． 4B． 6C． 8D． 108．如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是()A．①③B．①②C．②④D．②③9．过球面上任意两点A，B作大圆，可能的个数是()A．有且只有一个B．一个或无穷多个C．无数个D．以上均不正确10．如图所示的简单组合体，其结构特征是()A．两个圆锥B．两个圆柱C．一个棱锥和一个棱柱D．一个圆锥和一个圆柱二、解答题11．如图所示，正四面体ABCD的外接球的体积为4π，求正四面体的体积．12．如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？三、填空题13．一个圆台的两底面的面积分别为，，侧面积为，则这个圆台的高为_____ 14．中，，斜边，将边绕边所在直线旋转一周，所形成的几何体的表面积为_____________.参考答案1．A【解析】【分析】根据题意得到V＝2πR2－2πR3,V′＝2πR·(2－3R)，当R＝时，圆柱的体积最大，代入求出体积即可.【详解】设圆柱的底面半径为R，高为h，则2R＋h＝2.∵V＝πR2h＝πR2(2－2R)＝2πR2－2πR3，∴V′＝2πR·(2－3R)．令V′＝0，则R＝0(舍)或R＝.经检验知，当R＝时，圆柱的体积最大，此时h＝，V max＝π·×＝π.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了实际应用问题，利用了导数研究函数的最值问题，通过导数研究导函数的正负得到函数的单调区间，进而得到函数的单调性，得到函数的最值.2．C【解析】【分析】表示出四棱锥，推出结果即可．【详解】由题意可知四棱锥分别为：P-ABB′A′；P-BB′C′C；P-ABCD；P-CC′D′D；P-DD′A′A；共5个；故选：C．【点睛】本题考查棱锥的结构特征，排列组合的应用，是基础题．3．C【解析】【分析】设出正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长，求出正方体的表面积和三棱锥D1-AB1C的表面积即可．【详解】设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积为S2=6a2，且三棱锥D1-AB1C为各棱长均为的正四面体，其中一个面的面积为所以三棱锥D1-AB1C的表面积为：所以三棱锥D1-AB1C的体积与正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积之比为：故选：C．【点睛】本题考查了正方体与三棱锥的表面积公式的应用问题，是基础题目．4．C【解析】设点在底面的投影点为，则，，平面，故，而底面所在截面圆的半径，故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径，故球的表面积，故选C.点睛：本题考查球的内接体的判断与应用，球的表面积的求法，考查计算能力；研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）球心与多面体中心的位置关系；（2）球的半径与多面体的棱长的关系；（3）球自身的对称性与多面体的对称性；（4）能否做出轴截面.5．B【解析】设球O的半径为R，以球心O为顶点的三棱锥三条侧棱两两垂直且都等于球的半径R，另外一个侧面是边长为R的等边三角形．因此根据三棱锥的体积公式得×R2·R＝，∴R＝2，∴球的表面积S＝4π×22＝16π.故答案为：B.6．C【解析】设圆锥的高为h,底面半径为r,则R2=(h-R)2+r2,所以r2=2Rh-h2,所以V=πr2h=h(2Rh-h2)=πRh2-h3,V′=πRh-πh2,令V′=0,得h=R.当0<h<R时,V′>0;当<h<2R时,V′<0.因此当h=R时,圆锥体积最大.7．C【解析】依题意，设题中球的球心为O、半径为R，△ABC的外接圆半径为r，则，解得R＝5，由πr2＝16π，解得r＝4，又球心O到平面ABC的距离为＝3，因此三棱锥P－ABC的高的最大值为5＋3＝8，选C.点睛：球的截面圆的性质：设球半径为，截面圆半径为，球心到截面的距离为，则．8．A【解析】（1）当平行于三棱锥一底面，过球心的截面如①图所示；（2）棱长都相等的正三棱锥的棱和球心不可能在同一个面上，所以②是错误的；（3）过三棱锥的一个顶点（不过棱）和球心所得截面如③图所示；（4）棱长都相等的正三棱锥和球心不可能在同一个面上，所以④是错误的．故选A．9．B【解析】当两点与球心在同一条直线上时，通过所作的大圆个数为无数个，当两点与球心不在同一条直线上时，根据过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面，此平面与球面的交线就是一个大圆．综上，通过作的大圆个数为1个或无数个．故选B．10．D【解析】这个简单组合体是一个圆柱上放置了一个圆锥故选D11．【解析】【分析】设正四面体的外接球的半径为R，由已知得R＝. 如图，连接DE，O1D，因为AE为球的直径，故AD⊥DE，AE⊥O1D.设AD＝a，则由已知得O1D a，故AO1＝a.所以O1E＝2R－AO1＝2－a.由△AO1D∽△DO1E知O1D2＝AO1·O1E，解得a＝，由此能求出正四面体ABCD的体积．【详解】设正四面体的外接球的半径为R，由已知得πR3＝4π，故R＝.如图，连接DE，O1D，因为AE为球的直径，故AD⊥DE，AE⊥O1D.设AD＝a，则由已知得O1D＝×a＝a，故AO1＝＝a.所以O1E＝2R－AO1＝2－a.由△AO1D∽△DO1E知O1D2＝AO1·O1E，即＝a·，解得a＝ (a＝0舍去)．故正四面体的体积V＝×a2·AO1＝×8×＝.【点睛】本题考查正四面体体积的求法，考查正四面体外接球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．12．【解析】试题分析：将圆柱侧面展开得到一个矩形，根据两点之间线段最短，求出对角线长即可．试题解析：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，即为蚂蚁爬行的最短距离．因为AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π.所以AB′＝＝＝2，所以蚂蚁爬行的最短距离为2.点睛：本题考查了圆柱的侧面展开图和勾股定理，需要掌握圆柱的结构特征，要有一定的空间思维能力．13．4【解析】【分析】通过圆台的底面面积，求出上下底面半径，利用侧面积公式求出母线长L，然后求出圆台的高，即可得结果.【详解】圆台的两底面的面积分别为，，所以，所以，，所以，所以，故答案是4.【点睛】该题考查的是有关圆台的相关量的计算问题，在解题的过程中，需要明确圆的面积公式求得上下底面圆的半径，利用侧面积公式求得其母线长，之后借助于圆台的特性，建立高所满足的等量关系，求得结果.14．【解析】在直角中，，则，将边绕边所在的直线旋转一周，得到一个底面半径为，母线长为的圆锥，所以该圆锥的表面积为.点睛：本题考查了旋转体的概念，以及圆锥的侧面积与表面积的计算问题，解答中根据圆锥的定义，绕直角三角形的一条直角边所在的直线旋转一周得到的几何体为一个圆锥，从而确定圆锥的底面半径和母线长是解答的关键，着重考查了学生的空间想象能力.。
1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征类型一棱柱、棱锥、棱台的结构特征例1 (1) 下列命题中正确的是______ ．( 填序号)①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②棱柱的一对互相平行的平面均可看作底面；③三棱锥的任何一个面都可看作底面；④棱台各侧棱的延长线交于一点．(2) 关于如图所示几何体的正确说法的序号为 _______①这是一个六面体.②这是一个四棱台.③这是一个四棱柱.④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到．⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．跟踪训练1 (1) 棱台不具备的特点是( )A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D ．侧棱延长后都交于一点(2) 给出下列几个命题，其中错误的命题是( ) A．棱柱的侧面都是平行四边形B．棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点C．多面体至少有四个面D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台类型二简单几何体的判定(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2) 用平面 BCFE 把这个长方体分成两部分后， 各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是， 棱柱？如果不是，说明理由． 跟踪训练 2 如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体有几个面、几个顶点、几、选择题1．下面的几何体中是棱柱的有 ( )2．下列关于棱锥、棱台的说法，其中不正确的是 ( )A ．棱台的侧面一定不会是平行四边形B ．棱锥的侧面只能是三角形C ．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥D ．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥3．下列实物不能近似看成多面体的是 ( )A ．钻石B ．粉笔盒C ．篮球D 4．下列三种叙述，正确的有 ( ) ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． 是几A ． 3 个B ．4 个C ． 5 个D ．6 个．金字塔巩固提升】A．0 个 B ．1个C ．2个 D ．3 个5．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )A．三棱锥 B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥二、填空题6．四棱柱有_____________ 条侧棱，个顶点．7．下列几个命题：①棱柱的底面一定是平行四边形；②棱锥的底面一定是三角形；③棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱．其中正确的是___________________ ．(填序号)8．下列说法正确的有______ ．①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；④多面体至少有四个面．三、解答题9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：(1) 由6 个平行四边形围成的几何体；(2) 由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6 个面都是有一个公共顶点的三角形；(3) 由5 个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3 个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．10. 如图所示是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每部分都是一个三棱锥．12．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱． 侧棱不垂直于底面的棱柱叫作斜棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱．底面是平行四边形的四棱柱叫作平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫作直平行六面体．底面是矩形的直平行六面体叫作长方体．棱长都相等的长方体叫作正方体．请根据上述定义，回答下面的问题 ( 填“一定”、“不一定”“一定不”13．画一个三棱台，再把它分成： (1) 一个三棱柱和另一个多面体；(2) 三个三棱锥，并用字母表示．14．如图所示，长方体的长、宽、高分别为 5 cm,4 cm,3 cm. 一只蚂蚁从 A 点到 C 1 点沿着表面 爬行的最短路程是多少？11．纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体 的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平得到如图所示的平面图形，则标“△” 的面的方位是 A ．南 ．北．下)： (1) 直四棱柱是长方体； (2) 正四棱柱 是正方体．1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征答案类型一棱柱、棱锥、棱台的结构特征例1 【答案】(1) ③④ (2) ①③④⑤ 跟踪训练1 答案：(1)C (2)D 类型二简单几何体的判定例2 【解析】(1) 该长方体是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面都是四边形，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行．(2) 截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△ BEB1 和△ CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1 和DCF1D是底面.跟踪训练2 解析：这个几何体有8 个面，都是全等的正三角形；有6 个顶点；有12 条棱．[ 巩固提升]1．解析：棱柱有三个特征：(1) 有两个面相互平行；(2) 其余各面是四边形；(3) 侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.答案：C2．选项A正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；选项 B 正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；选项C 正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；选项D错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．答案：D3．解析：钻石、粉笔盒、金字塔的表面都可以近似看成平面多边形，所以它们都能近似看成多面体．篮球的表面不是平面多边形，故不能近似看成多面体．答案：C4．解析：本题考查棱台的结构特征，①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用如图的反例检验，故②③不正确．故选A.答案：A5．解析：由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．答案：D6．解析：四棱柱有4 条侧棱，8 个顶点( 可以结合正方体观察求得)．答案：4 87．解析：①棱柱的底面可以为任意多边形．②棱锥的底面可以为四边形、五边形等． 答案：③8． 解析： 棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角 形，且所有侧面都有一个公共点，故①对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底 面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点 ( 即原棱锥的顶点 )， 故②错，③对．④显然正确．因而正确的有①③④.答案：①③④9． 解析： (1) 这是一个上、下底面是平行四边形， 4 个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2) 这是一个六棱锥．(3) 这是一个三棱台．10. 解析：过 A ′， B ，C 三点作一个平面，再过 A ′， B ，C ′作一个平面，就把三棱台 AB －A ′B ′C ′分成三部分， 形成的三个三棱锥分别是 A ′－ABC ，B －A ′B ′C ′，A ′－BCC ′.( 答 案不唯一 )11． 解析： 将所给图形还原为正方体， 并将已知面“上”、 “东”分别指向上面、 东面， 则标记“△”的为北面．答案： B12． 解析：根据上述定义知：长方体一定是直四棱柱，但是直四棱柱不一定是长方体； 正方体一 定是 正四棱柱，但是正四棱柱不一 定是 正方体．答案： (1) 不一定 (2) 不一定13． 解析：画三棱台一定要利用三棱锥．展开后， A ，C 1两点间的距离分别为： 3＋4 1 2＋52＝ 74 (cm) ， 5＋3 2＋42＝4 5 (cm)， 5＋4 2＋32＝3 10 (cm) ，三者比较得 74 cm 为蚂蚁从 A 点沿表面爬行到 C 1点的 最短路程．1 如图①所示，三棱柱是棱柱 A ′B ′C ′－ AB ″C ″，另一个多面体是 B ′ C ′BCC ″ B ″2 如图②所示，三个三棱锥分别是 A ′－ ABC ，B ′－A ′BC ，C ′－ A ′B ′C .14．解析：依题意，长方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1 的表面可有如图所示的三种展开图．。
1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征姓名:___________班级:______________________1.有一个多面体,共由四个面围成,每一个面都是三角形,则这个几何体为( )A.四棱柱B.四棱锥C.三棱柱D.三棱锥2.下面描述中,不是棱锥的几何结构特征的为( )A.三棱锥有四个面是三角形B.棱锥都有两个面是互相平行的多边形C.棱锥的侧面都是三角形D.棱锥的侧棱交于一点3.如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是( )A.①是棱台B.②是圆台C.③不是棱锥D.④是棱柱4.以三棱台的顶点为三棱锥的顶点,这样可以把一个三棱台切割成三棱锥的个数为( )A.1B.2C.3D.45.下列说法正确的是( )A.圆锥的母线长等于底面圆直径B.圆柱的母线与轴垂直C.圆台的母线与轴平行D.球的直径必过球心6.有下列三组定义:①有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱;②用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台;③有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.其中正确定义的个数为( )A.0B.1C.2D.37.下列命题:①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;④圆柱的任意两条母线相互平行.其中正确的是( )A.①②B.②③C.①③D.②④8.下列说法正确的是( )①圆台可以由任意一个梯形绕其一边旋转形成;②用任意一个与底面平行的平面截圆台,截面是圆面;③以半圆的直径为轴旋转半周形成的旋转体叫做球;④圆柱的任意两条母线平行,圆锥的任意两条母线相交,圆台的任意两条母线延长后相A.①②B.②③C.①③D.②④9.有下列三个命题:①圆台的任意两条母线的延长线,可能相交,也可能不相交;②圆锥的母线都交于一点;③圆柱的母线都互相平行.其中正确的命题有____________.10.在立体几何中,下列结论一定正确的是_______.(请填所有正确结论的序号)①一般地,由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱;②用一个平面去截棱锥,得到两个几何体,一个仍然是棱锥,另一个我们称为棱台;③将直角三角形绕着它的一边所在的直线旋转一周,形成的几何体叫做圆锥;④将直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周,形成的几何体叫做圆台.11.从正方体的8个顶点中选取4个,连接成一个四面体,则这个四面体可能为:①每个面都是直角三角形,②每个面都是等边三角形,③有且只有一个面是直角三角形,④有且只有一个面是等边三角形,其中正确的说法有_________(写出所有正确结论的编号)12.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是1:4,母线长是10cm,求圆锥的母线长.13.根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.(1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正六边形,其它各面都是矩形;(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的几何体;(3)由五个面围成,其中一个面是正方形,其他各面都是有一个公共顶点的全等三角形;(4)一个圆绕其一条直径所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的几何体.14.如图,正方形ABCD的边长为a,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点.若沿EF、FG、GH、HE将四角折起,试问能折成一个四棱锥吗？为什么？你从中能得到什么结论？对于圆锥有什么类似的结论？参考答案1.D【解析】四个面都是三角形的几何体只能是三棱锥.考点:棱柱、棱锥的结构特征.2.B【解析】根据棱锥的定义可知B错误,棱锥的任何两个面都不平行.考点:棱锥的结构特征.3.D【解析】图①不是由棱锥截来的,所以①不是棱台;图②上、下两个面不平行,所以②不是圆台;图④前、后两个面平行,其他面是平行四边形,且每相邻两个四边形的公共边平行,所以④是棱柱;很明显③是棱锥,故选D.考点:空间几何体的结构特征.4.C【解析】如图所示,在三棱台ABC－A1B1C1中,分别连接A1B,A1C,BC1,则将三棱台分成3个三棱锥,即三棱锥A－A1BC,B1－A1BC1,C－A1BC1.考点:棱锥的结构特征.5.D【解析】圆锥的母线长与底面圆直径的大小关系不确定,则A项不正确;圆柱的母线与轴平行,则B项不正确;圆台的母线与轴相交,则C项不正确;很明显D项正确.考点:圆锥、圆柱、圆台、球的结构特征.6.B【解析】由棱柱的定义可知只有①正确,②中截面必须平行于底面,③中其余各三角形应有一个公共顶点,所以②③都不正确.故选B.考点:棱柱,棱台,棱锥的概念.7.D【解析】①所取的两点与圆柱的轴OO′两端点所构成的四边形不一定是矩形,若不是矩形,则与圆柱母线定义不符.③所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点,不符合圆台母线的定义.②④符合圆锥、圆柱母线的定义及性质,故正确.考点:圆柱、圆台、圆锥母线的定义与性质.【答案】D【解析】①错,圆台是直角梯形绕其直角边或等腰梯形绕其两底边的中点连线旋转形成的;②正确;球是以半圆的直径为轴旋转一周形成的旋转体,故③错;④正确.考点:圆台,球的定义,圆台的截面,圆柱,圆锥母线的性质.9.②③【解析】由于圆台是用平行于底面的平面截圆锥得到的,所以其母线必交于一点,故①不正确,②③显然正确.考点:圆台、圆锥、圆柱的性质.10.①④【解析】①一个平面多边形沿某一方向平移后两平面平行,且平移长度相等,符合棱柱定义,正确;②用一个平行于底面的平面去截棱锥,截面与底面之间的几何体为棱台,错误;③将直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周,形成的几何体叫做圆锥,错误;④正确. 考点:空间几何体的定义.11.①②④【解析】如图,四棱锥1A ABC -的每个面都是直角三角形,故命题①成立;四棱锥11A BC D -的每个面都是等边三角形,故命题②成立;不会有且只有一个面是直角三角形,命题③错误;四棱锥11D BC D -有且只有一个面是等边三角形,故命题④成立,故填①②④.考点:正方体的性质的运用. 12.40cm 3【解析】设圆锥的母线长为cm y ,圆台上、下底面半径分别是cm,4cm x x ,做圆锥的轴截面如图所示:在Rt SOA ∆中,//O A OA '',所以::,SA SA O A OA '''=即()10::4,y y x x -=解得40.3y =所以圆锥的母线长为40cm 3. 考点:圆锥的几何性质.13.(1)正六棱柱(2)圆台(3)正四棱锥(4)球【解析】(1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形,其它各面都是矩形,满足每相邻两个面的公共边都互相平行,故该几何体是正六棱柱,如图(1).(2)等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形,每个直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线旋转180°形成半个圆台,故该几何体为圆台,如图(2).(3)该几何体的其中一个面是多边形(四边形),其余各面都是三角形,并且这些三角形有一个公共顶点,符合棱锥的定义,又因为底面是正方形,所以该几何体是正四棱锥,如同(3).(4)是一个球,如图(4).考点:柱体、台体、椎体、球体的定义.14.略【解析】连接EG、FH,将正方形分成四个一样的小正方形.若将正方形ABCD沿EF、FG、GH、HE折起,则四个顶点必重合于正方形的中心,故不能折成一个四棱锥.由此我们可以推想:(1)所有棱锥的侧面三角形上以公共顶点为顶点的所有角之和必小于360°;(2)所有棱锥的侧面展开图不可能由若干个有公共顶点的三角形组成,并且公共顶点在图形的内部.另外,对于圆锥我们有下列猜测:圆锥的侧面展开图一定是一个扇形,绝不可能是圆,但可以是一个半圆.考点:棱锥的性质.。
必修2（1。
1.1柱、锥、台、球的结构特征)课后导练含解析基础达标1下列命题中的假命题是（ ）A 。
以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆柱 B.以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆锥 C.以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆锥D 。
以圆的任意一条直径所在直线为旋转轴，圆面旋转一周形成的几何体叫做球体解析:由柱、锥、球的定义可知,选项B 是假命题，因为圆锥是以直角三角形的一直角边所在直线为轴旋转而成的。
故选B. 答案:B2将长与宽分别为6和4的矩形卷成一个圆柱，则该圆的底面半径为（ )A.π2 B 。
π3 C 。
π2或π3 D.π6 解析：该题分类讨论,若以6为圆周长，则半径为π3;若以4为圆周长，则半径为π2，故选C 。
答案：C3下列命题中正确的是（ ）A.有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B 。
棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D 。
棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 解析：由棱柱的定义可知，选D 。
答案：D4在下面的四个图形中，不是正方体表面展开图的是（ ）解析：利用排除筛选,将展开图一一折叠可选C. 答案:C5“两底面直径之差等于母线长”的圆台( ） A 。
是不存在的B.其母线与高线必成60°角C.其母线与高线必成30°角D.其母线与高线所成的角不是定值解析：画出轴截面则AB 、CD 分别为两底直径.AD 为母线，由条件知AE=21（AB-CD ）=21AD,故选C 。
答案:C6如图,右边哪一个长方体是由左边的平面图形围成的（ )解析：将下面两矩形向上折起，则阴影面为上底面，非阴影面为侧面，再将左、右面折起即可选D. 答案：D7下图是同一个正方体的不同放法，且正方体的六个面上分别标有字母A 、B 、C 、D 、E 、F ，则与面E 相对的面上的字母是______________.解析：由正方体的结构可知，与面E 相邻的有四个面，分别为A 、B 、C 、F 因此与面E 相对的面上的字母为D. 答案：D8长方体的表面积为11，所有棱的长度之和为24，求这个长方体的一条对角线的长. 解：设长方体的长、宽、高和一条对角线的长分别是a 、b 、c 、l. 由题意可知2(ab+bc+ac)=11，① a+b+c=6.②由②2—①,得a 2+b 2+c 2=25， ∴l=222c b a ++=5.综合运用9在长方体相邻的三条棱上各取一点，过这三点作截面，此截面一定是( ） A 。
柱、锥、台、球的构造特征一、教学目的1．知识与技能〔1〕通过实物操作，增强学生的直观感知。
〔2〕能根据几何构造特征对空间物体进展分类。
〔3〕会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的构造特征。
〔4〕会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法〔1〕让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何构造特征。
〔2〕让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观〔1〕使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时进步学生的观察才能。
〔2〕培养学生的空间想象才能和抽象括才能。
二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的构造特征。
难点：柱、锥、台、球的构造特征的概括。
三、教学用具〔1〕学法：观察、考虑、交流、讨论、概括。
〔2〕实物模型、投影仪四、教学思路〔一〕创设情景，提醒课题1．老师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何构造特征如何？引导学生回忆，举例和互相交流。
老师对学生的活动及时给予评价。
2．所举的建筑物根本上都是由这些几何体组合而成的，〔展示具有柱、锥、台、球构造特征的空间物体〕，你能通过观察。
根据某种HY对这些空间物体进展分类吗？这是我们所要学习的内容。
〔二〕、研探新知1．引导学生观察物体、考虑、交流、讨论，对物体进展分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。
2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的一共同特点是什么？3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。
在此根底上得出棱柱的主要构造特征。
〔1〕有两个面互相平行；〔2〕其余各面都是平行四边形；〔3〕每相邻两上四边形的公一共边互相平行。
概括出棱柱的概念。
4．老师与学生结合图形一共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。
5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？请列举身边具有已学过的几何构造特征的物体，并说出组成这些物体的几何构造特征？它们由哪些根本几何体组成的？6．以类似的方法，让学生考虑、讨论、概括出棱锥、棱台的构造特征，并得出相关的概念，分类以及表示。
1.1.1 柱、锥、台、球的的结构特征练习一一、选择题1、下列命题中，正确命题的个数是（）（1）桌面是平面；（2）一个平面长2米，宽3米；（3）用平行四边形表示平面，只能画出平面的一部分；（4）空间图形是由空间的点、线、面所构成。
A 、 1 B、 2C、 3D、 42、下列说法正确的是（）A、水平放置的平面是大小确定的平行四边形B、平面ABCD就是四边形ABCD的四条边围来的部分C、 100个平面重叠在一起比10个平面重叠在一起厚D、平面是光滑的，向四周无限延展的面3、下列说法中表示平面的是（）A、水面B、屏面C、版面D、铅垂面4、下列说法中正确的是（）A、棱柱的面中，至少有两个面互相平行B、棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C、棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高D、棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形5、长方体的三条棱长分别是AA/=1，AB=2，AD=4，则从A点出发，沿长方体的表面到C/的最短距离是（）A、 5B、 7C、、6、若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）A、三棱锥B、四棱锥C、五棱锥D、六棱锥]7、过球面上两点可能作出球的大圆（）A、 0个或1个B、有且仅有1个C、无数个D、一个或无数个8、一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为（）A、 10B、 20C、 40D、 15二、填空题9、用一个平面去截一个正方体，截面边数最多是----------------条。
10、正三棱台的上、下底面边长及高分别为1、2、2，则它的斜高是------------。
11、一个圆柱的轴截面面积为Q，则它的侧面面积是----------------。
12、若圆锥的侧面面积是其底面面积的2倍，则这个圆锥的母线与底面所成的角为----------------，圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为----------------。
13、在赤道上，东经1400与西经1300的海面上有两点A、B，则A、B两点的球面距离是多少海里---------------。
1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征类型一棱柱、棱锥、棱台的结构特征例1(1)下列命题中正确的是________．(填序号)①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②棱柱的一对互相平行的平面均可看作底面；③三棱锥的任何一个面都可看作底面；④棱台各侧棱的延长线交于一点．(2)关于如图所示几何体的正确说法的序号为________．①这是一个六面体.②这是一个四棱台.③这是一个四棱柱.④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到．⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．跟踪训练1 (1)棱台不具备的特点是( )A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点(2)给出下列几个命题，其中错误的命题是( )A．棱柱的侧面都是平行四边形B．棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点C．多面体至少有四个面D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台类型二简单几何体的判定例2如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由．跟踪训练2 如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体有几个面、几个顶点、几条棱？【巩固提升】一、选择题1．下面的几何体中是棱柱的有( )A．3个B．4个 C．5个 D．6个2．下列关于棱锥、棱台的说法，其中不正确的是( )A．棱台的侧面一定不会是平行四边形B．棱锥的侧面只能是三角形C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥3．下列实物不能近似看成多面体的是( )A．钻石 B．粉笔盒 C．篮球 D．金字塔4．下列三种叙述，正确的有( )①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥二、填空题6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．7．下列几个命题：①棱柱的底面一定是平行四边形；②棱锥的底面一定是三角形；③棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱．其中正确的是________．(填序号)8．下列说法正确的有________．①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；④多面体至少有四个面．三、解答题9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体；(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．10.如图所示是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．11．纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是( )A．南 B．北 C．西 D．下12．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．侧棱不垂直于底面的棱柱叫作斜棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱．底面是平行四边形的四棱柱叫作平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫作直平行六面体．底面是矩形的直平行六面体叫作长方体．棱长都相等的长方体叫作正方体．请根据上述定义，回答下面的问题(填“一定”、“不一定”“一定不”)：(1)直四棱柱________是长方体；(2)正四棱柱________是正方体．13．画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体；(2)三个三棱锥，并用字母表示．14．如图所示，长方体的长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm.一只蚂蚁从A点到C1点沿着表面爬行的最短路程是多少？1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征答案类型一棱柱、棱锥、棱台的结构特征例1【答案】(1)③④(2)①③④⑤跟踪训练1 答案：(1)C (2)D类型二简单几何体的判定例 2 【解析】(1)该长方体是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面都是四边形，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行．(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和DCFD1是底面.跟踪训练2 解析：这个几何体有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．[巩固提升]1．解析：棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.答案：C2．选项A正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；选项B正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；选项C正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；选项D错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．答案：D3．解析：钻石、粉笔盒、金字塔的表面都可以近似看成平面多边形，所以它们都能近似看成多面体．篮球的表面不是平面多边形，故不能近似看成多面体．答案：C4．解析：本题考查棱台的结构特征，①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用如图的反例检验，故②③不正确．故选A.答案：A5．解析：由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．答案：D6．解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)．答案：4 87．解析：①棱柱的底面可以为任意多边形．②棱锥的底面可以为四边形、五边形等．答案：③8．解析：棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故①对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故②错，③对．④显然正确．因而正确的有①③④.答案：①③④9．解析：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥．(3)这是一个三棱台．10.解析：过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC －A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′－ABC，B－A′B′C′，A′－BCC′.(答案不唯一)11．解析：将所给图形还原为正方体，并将已知面“上”、“东”分别指向上面、东面，则标记“△”的为北面．答案：B12．解析：根据上述定义知：长方体一定是直四棱柱，但是直四棱柱不一定是长方体；正方体一定是正四棱柱，但是正四棱柱不一定是正方体．答案：(1)不一定(2)不一定13．解析：画三棱台一定要利用三棱锥．(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′－AB″C″，另一个多面体是B′C′BCC″B″.(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′－ABC，B′－A′BC，C′－A′B′C.14．解析：依题意，长方体ABCD－A1B1C1D1的表面可有如图所示的三种展开图．展开后，A，C1两点间的距离分别为：3＋42＋52＝74 (cm)，5＋32＋42＝4 5 (cm)，5＋42＋32＝310 (cm)，三者比较得74 cm为蚂蚁从A点沿表面爬行到C1点的最短路程．。
高二数学柱锥台球的结构特征试题答案及解析1.给出以下结论：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体；④一个三棱锥四个面可以都为直角三角形；⑤长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为，则.其中正确的是 .（将正确结论的序号全填上）【答案】④⑤【解析】①不正确，因为两个是矩形的侧面平行时，棱柱也可能为斜棱柱；②不正确，因为底面有可能为菱形；③不正确，因为当对角面为特殊的矩形即正方形时，底面可能为菱形；④正确，此时底面为直角三角形，三条侧棱也两两垂直；⑤正确，设长方体的长宽高分别为，则对角线长为，则，，，所以。
【考点】棱柱的概念2.用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为.【答案】【解析】圆锥筒的底面半径，故.【考点】圆锥的高.3.圆台上、下底面面积分别为、, 侧面积是, 这个圆台的高为【答案】【解析】由于圆台的侧面积公式为.所以母线.所以由半径差与高即母线构成的直角三角形可解出高等于.故填.本小题关键是通过侧面积求出母线的长，从而利用重要的直角三角形解出圆台的高.【考点】1.圆台侧面积公式.2.解直角三角形.4.如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等,这时圆柱、圆锥、球的体积之比为.【答案】3∶1∶2【解析】设球的半径为r,则三个几何体的体积分别为V1=πr2·2r=2πr3,V2=πr2·2r=πr3,V3=πr3,所以三个几何体的体积之比为3∶1∶2.【考点】圆柱，圆锥，球的体积5.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25πB．50πC．125πD．都不对【答案】B【解析】根据题意知：球实际上就是长方体的外接球，这样球的直径就等于长方体的体对角线。
长方体中：，所以，故，此题中正解判断出长方体与球的位置关系是关键，利用长方体的体对角线与球的直径相等是构建等量关系的基础，注意多个公式的运用.【考点】长方体体对角线、球的表面积公式、长方体与球的关系6.一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A． B．与相交C． D．与所成的角为【答案】D【解析】根据题意，由于，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中，折叠为立体图形可知，与为两个相邻的面对角线，因此所成的角为，故可知答案为D。
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】第一章空间几何体§1.1空间几何体的结构1.1.1柱、锥、台、球的结构特征【课时目标】认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．1．一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都________________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．2．一般地，有一个面是多边形，其余各面都是________________________________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．3．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫________．4．以直角三角形的一条________所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面围成的旋转体叫做圆锥．5．(1)用一个________________________的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台．(2)用一个________于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．6．以半圆的________所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．一、选择题1．棱台不具备的性质是()A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点2．下列命题中正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台3．下列说法正确的是()A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线4．下列说法正确的是()A．直线绕定直线旋转形成柱面B．半圆绕定直线旋转形成球体C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的5．观察下图所示几何体，其中判断正确的是()A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱6．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是()A．南B．北C．西D．下二、填空题7．由若干个平面图形围成的几何体称为多面体，多面体最少有________个面．8．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________．9．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是________．三、解答题10．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．11．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．能力提升12．下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个正方体的图形的是()13．如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？1．学习本节知识，要注意结合集合的观点来认识各种几何体的性质，还要注意结合动态直观图从运动变化的观点认识棱柱、棱锥和棱台的关系．2．棱柱、棱锥、棱台中的基本量的计算，是高考考查的热点，要注意转化，即把三维图形化归为二维图形求解．在讨论旋转体的性质时轴截面具有极其重要的作用，它决定着旋转体的大小、形状，旋转体的有关元素之间的关系可以在轴截面上体现出来．轴截面是将旋转体问题转化为平面问题的关键．3．几何体表面距离最短问题需要把表面展开在同一平面上，然后利用两点间距离的最小值是连接两点的线段长求解．第一章空间几何体§1．1空间几何体的结构1．1．1柱、锥、台、球的结构特征答案知识梳理1．互相平行2．有一个公共顶点的三角形3．圆柱4．直角边5．(1)平行于棱锥底面(2)平行6．直径作业设计1．C[用棱台的定义去判断．]2．C[A、B的反例图形如图所示，D显然不正确．]3．C[圆锥是直角三角形绕直角边旋转得到的，如果绕斜边旋转就不是圆锥，A不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故B不正确，通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线，故D不正确．]4．D[两直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A错误．半圆以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B不正确，C不符合棱台的定义，所以应选D．] 5．C6．B7．48．圆锥9．①②10．解截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′．其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．A′D′，EF，BC，AD为侧棱．11．解圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm 和3x cm ，延长AA 1交OO 1的延长线于点S ．在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SAO ＝45°．∴SO ＝AO ＝3x cm ，OO 1＝2x cm ．∴12(6x ＋2x)·2x ＝392，解得x ＝7，∴圆台的高OO 1＝14 cm ，母线长l ＝2OO 1＝14 2 cm ，底面半径分别为7 cm 和21 cm ．12．C13．解 把圆柱的侧面沿AB 剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB ′，则AB ′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB ＝A ′B ′＝2，AA ′为底面圆的周长，且AA ′＝2π×1＝2π， ∴AB ′＝A ′B ′2＋AA ′2＝4＋(2π)2＝21＋π2，即蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2．。
柱体、椎体、台体结构特征1．已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的各棱长均为1,棱BB 1所在直线上的动点M 满足1BB BM λ=,AM 与侧面BB 1C 1C 所成的角为θ,若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,22λ,则θ的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,12ππ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,6ππ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4ππ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,3ππ2．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小等于a 的概率为（ ）A ．22 B ．π22 C ．61 D ．π61 3．三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B =（ ） A ．+-a b c B ．-+a b c C ．-++a b c D ．-+-a b c4．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A 、B 、C 对面的字母依次分别为（ ）A.D 、E 、FB.F 、D 、EC.E 、F 、DD.E 、D 、F5．如图，在长方形ABCD 中，AB=3，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将∆AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（ ） A ．23 B ．332 C ．2π D ． 3π6．如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP ＝MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（ ）7．如图，取一个底面半径和高都为R 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R 的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为圆S 和圆环S ，那么 A ．圆S >圆环S B ．圆S =圆环S C ．圆S <圆环S D ．不确定 8．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足a PC PA 21=+的点P 的个数为A. 3个B.4个C.5 个D.6个9．三棱锥的四个面中，直角三角形最多的个数是A. 1 B .2 C .3 D .4 10．下列命题正确的是A ．三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．四边形确定一个平面D ．两条相交直线确定一个平面 11．三个平面将空间最多能分成A ．6部分B ．7部分C ．8部分D ．9部分 12．图1是由图2中的哪个平面图旋转而得到的13．如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是A ．B ．C ．D ．14．一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 （ ） A ．3或8 B ．8或11 C ．5或8 D ．3或1115． 如图正三棱柱C B A ABC '''-的底面边长为3，高为2， 一只蚂蚁要从顶点A 沿三棱柱的表面爬到顶点C '，若侧面C C A A ''紧贴墙面（不能通行），则爬行的最短路程是（ ） A ．13 B ．32+ C ． 4 D ．73+16．已知正方体的棱长为1，则它的内切球与外接球半径的比值为（ ）O thh t O ht O O t h（A ）3 （B ）33 （C ）23 （D ）332 17．已知一个高度不限的直三棱柱111ABC A B C -，4AB =，5BC =，6CA =，点P 是侧棱1AA 上一点，过A 作平面截三棱柱得截面ADE ，给出下列结论：①ADE ∆是直角三角形；②ADE ∆是等边三角形；③四面体APDE 为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体，其中有可能成立的结论的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 18．一个骰子由1~6六个数字组成，请你根据图中A B C ，，三种状态所显示的数字，推出“？”处的数字是（ ）A ．6B ．3C ．1D ．219．以下几何体是由哪个平面图形旋转得到的 （ ）20．如图，用一平面去截球所得截面的面积为π2，已知球心到该截面的距离为1 ，则该球的体积是（ ）A.π34 π32.B π3.C π334.D 21．正方体1111D C B A ABCD -的面11B BCC 内有一点M ，满足D BD D MD 11∠=∠，则点M 的轨迹是（ ） A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分22．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.523．用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为 ( ) A.12 B.24 C.62 D.122 24．我们把底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形中心的三棱锥称为正三棱锥。
现有一正三棱锥P ABC -放置在平面α上，已知它的底面边长为2，高为h ，BC 在平面α上，现让它绕BC 转动，并使它在某一时刻在平面α上的射影是等腰直角三角形，则h 的取值范围是（ ）. A ．6(0,]6 B ．6[,1]3 C ．6(0,]6⋃6[,1]3． D ．(0,1]PABCα25．球O 为边长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的内切球，P 为球O 的球面上动点，M 为B 1C 1中点，DP BM ⊥，则点P 的轨迹周长为( ).A ．π33 B ．π332 C ．255π D ．455π 26．正四棱锥S －ABCD 的底面边长为42，高SE ＝8，则过点A ，B ，C ，D ，S 的球的半径为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．627．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A.323π B.4π C.2π D.43π28．如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）29．[2013.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( )A.3个B.4个C.5个D.6个30．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则正视图中a 的值为（ ）A.8B.6C.4D.231．一平面截一球得到直径为25cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm ，则该球的体积是（ ） A ．12 cm3B ．36πcm3C ．646πcm3D ．108πcm 332．已知圆锥的底面半径为R,高为3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是( )A.22πR 2B.πR 2C.πR 2D.πR 233．如图，矩形ABCD 中，E 为边AD 上的动点，将△ABE 沿直线BE 翻转成△A 1BE ，使平面A 1BE ⊥平面ABCD ，则点A 1的轨迹是（ ）A ．线段B ．圆弧C ．椭圆的一部分D ．以上答案都不是34．已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为（ ） A ．B ．C ．D ．35．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x+y+1=0与圆相切．其中真命题的序号是（ ）A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③ 36．已知三棱锥D ABC -中，1AB BC ==，2AD =，5BD =，2AC =，BC AD ⊥，则关于该三棱锥的下列叙述正确的为（ ） A ．表面积1(5223)2S =++ B ．表面积为1(5222)2S =++ C ．体积为1V = D ．体积为23V = 37．已知三棱锥D ABC -中，1AB BC ==，2AD =，5BD =，2AC =，BC AD ⊥，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A.6πB. 6πC. 5πD. 8π38．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1AD 上一动点，点Q 为底面ABCD 内（含边界）一动点，M 为PQ 的中点，点M 构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为（ ）（A ）棱柱 （B ）棱锥（C ）棱台 （D ）球39．将正三棱柱截去三个角（如图（1）所示A 、B 、C 分别是△GHI 三边的中点）得到几何体如图（2），则该几何体按图（2）所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）40．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（ ） A ．B ．C ．2D ．41．已知地球的半径为，球面上两点都在北纬45°圈上，它们的球面距离为，点在东经30°上，则两点所在其纬线圈上所对应的劣弧的长度为（ ）D1C1B 1A 1DCBAMQPA ．B ．C ．D ．42．、是半径为的球的球面上两点，它们的球面距离为，求过、的平面中，与球心的最大距离是A ．B ．C ．D ．43．已知A ，B 两地都位于北纬45°，又分别位于东经30°和60°，设地球半径为R ，则A ，B 的球面距离约为 ( ) A ．B ．C ．D ．44．设地球半径为R ，则东经线上，纬度分别为北纬和的两地A ，B 的球面距离为( )A ．B ．C ．D ．45．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为，则此球的体积为( )A ．B ．C ．D ．46．用两个平行平面去截半径为的球面，两个截面圆的半径为，．两截面间的距离为，求球的表面积（ ）A ．B ．C ．D ．47．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离（ ） A ．B ．C ．D ．348．一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是( ) A ．B ．C ．D ．49．正四面体的外接球和内切球的半径的关系是( ) A.B.C. D.50．正方体内切球和外接球半径的比为( ) A.B.C.D. 1:251．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为，那么（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．1152．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是A ．(0，) B ．(0，) C ．(1，) D ．(1，)53．设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是（ ）.A.12 B.2 C.4 D.854．如图，在棱长为10的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AD ，A 1D 1的中点，长为2的线段MN 的一个端点M 在线段EF 上运动，另一个端点N 在底面A 1B 1C 1D 1上运动，则线段MN 的中点P 在二面角A —A 1 D 1 —B 1内运动所形成几何体的体积为（ ） A ．π4 B ．3πC ．23πD ．π55．四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是060DAB ∠=的菱形，侧面PAD 为正三角形.（1）PB AD ⊥.（2）若E 为PB 边的中点，过三点E D A ,,的平面交PC 于点F ，证明：F 为PC 的中点.56．如图,四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为正方形,DA⊥面ABP,AB=1,PA=2,∠PAB =600，E 为PA 的中点,F 为PC 上不同于P 、C 的任意一点.(1)求证:PC∥面EBD(2)求异面直线AC 与PB 间的距离 (3)求三棱锥E-BDF 的体积.AB PFEDCC DBA57．在三棱锥P －ABC 中，,22,2,3AB AC AC AB PA PC PB ⊥=====.（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （2）求BC 与平面PAB 所成角的正弦值；（3）在棱BC 上是否存在点Q 使得AQ 与PC 成60的角？若存在，求BQ 的长；若不存在，请说明理由.58．如图，在四面体A ﹣BCD 中，AD⊥平面BCD ，BC⊥CD，AD=2，BD=2．M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ=3QC ． （1）证明：PQ∥平面BCD ；（2）若二面角C ﹣BM ﹣D 的大小为60°，求∠BDC 的大小．59．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥ ， 12AB AA =，M 是AB 的中点，△11A MC 是等腰三角形，D 为1CC 的中点，E 为BC 上一点． （1）若DE ∥平面11A MC ，求CEEB； （2）平面11A MC 将三棱柱111ABC A B C -分成两个部分，求较小部分与较大部分的体积之比．60．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA PDC ⊥平面. （1）求证90PDC ∠=︒，并指出异面直线PA 与CD 所成角的大小；（2）在棱PD 上是否存在一点E ，使得//PB EAC 平面？如果存在，求出此时三棱锥E PBC -与四棱锥P ABCD -的体积比；如果不存在，请说明理由.PACB61．如图，四棱锥F-ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线2, 2.AC BD ==AE 、CF 都与平面ABCD 垂直，AE=1，CF=2. （1）求二面角B-AF-D 的大小；（2）求四棱锥E-ABCD 与四棱锥F -ABCD 公共部分的体积.62．已知球O 的直径4=PQ ,C B A ,,是球O 球面上的三点，ABC ∆是正三角形，且30=∠=∠=∠CPQ BPQ APQ ,则三棱锥ABC P -的体积为 （ ）A ．433 B ．439 C ．233 D ．4327 63．如图，在正方形ABCD 中，F E ,分别是CD BC ,的中点，沿EF AF AE ,,把正方形折成一个四面体，使D C B ,,三点重合，重合后的点记为P ，点P 在AEF ∆内的射影为O .则下列说法正确的是（ ）A.O 是AEF ∆的垂心B.O 是AEF ∆的内心C.O 是AEF ∆的外心D.O 是AEF ∆的重心64．在半径为2的球面上有不同的四点A 、B 、C 、D ，若2AB AC AD ===，则平面BCD 被球所截面图形的面积为 .65．在半径为5的球面上有不同的四点A 、B 、C 、D ，若25AB AC AD ===，则平面BCD 被球所截面图形的面积为 .66．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -对角线1AC 上一动点，设AP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为(x)f ，则(x)f 的图象大致是（ ）67．如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线,AC BD 互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA 分别相交于点,,,E F G H ，记四边形EFGH 的面积为y ，设BEx AB=，则（ ）（A ）函数()y f x =的值域为(0,4] （B ）函数()y f x =的最大值为8（C ）函数()y f x =在2(0,)3上单调递减 （D ）函数()y f x =满足()(1)f x f x =-68．如图，点1P ,2P , ,10P 分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面内的四点组()kjiP P P P ,,,1（101≤<<<k j i ）共有 个.69．在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为 .70．如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周），若AM ⊥MP ，则点P 形成的轨迹长度为 71．如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2m ，高为7m ，制造这个塔顶需要多少铁板？72．如图，在透明塑料制成的长方体1111D C B A ABCD -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法： ①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱11D A 始终与水面EFGH 平行； ④当1AA E ∈时，BF AE +是定值．其中正确说法是 ． 73．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 ． 74．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ,则Rr=____________． 75．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 .76．已知一圆柱内接于球O ，且圆柱的底面直径与母线长均为2，则球O 的表面积为 ．77．已知E 、F 、G 、H 分别是三棱锥A-BCD 棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点， （1）四边形EFGH 是_______形（2）AC 与BD 所成角为60︒，且AC=BD=1，则EG=_______ 78．抛物线2x y =)22(≤≤-x 绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是 ．79．用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1 : 4，截取的小圆锥的母线长是3cm ，则圆台的母线长 cm ．ABCD EFG H80．在立体几何中，下列结论一定正确的是： （请填所有正确结论的序号）①一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱；②用一个平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个我们称之为棱台；③将直角三角形绕着它的一边所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆锥；④将直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆台.81．如图直三棱柱ABB1-DCC 1中， BB 1⊥AB ， AB=4，BC=2，CC 1=1，DC 上有一动点P ， 则△APC 1周长的最小值是 .82．关于几何体有以下命题:①有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱;②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥;③棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得到的平面与底面之间的部分;④两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;⑤一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥.其中正确的有________.(请把正确命题的题号写上)83．四面体共有_____条棱.84．已知圆锥的母线长为4，侧面展开图的中心角为2π，那么它的体积为 85．已知正三棱柱底面边长是2，外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长 ．86．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是 ．87．平面几何中有如下结论：如图1，设O 是等腰Rt △ABC 底边BC 的中点，AB ＝1，过点O 的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q ，R ，则有112AQ AR+=．类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，设O 是正三棱锥A-BCD 底面BCD 的中心，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB ＝1，过点O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q ，R ，P ，则有 ．88．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S =89．正六棱锥的底面边长为3，侧棱长为6，则侧棱与底面所成角的度数为______.90．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，6AC =，12BC CC ==，P 是1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值是___________.91．设正三棱锥ABC P -的高为2，侧棱与底面ABC 成45︒角，则点A 到侧面PBC 的距离为___________.92．在东经120︒圈上有甲、乙两地，它们分别在北纬15︒与北纬75︒圈上，地球半径为R ，则甲、乙两地的球面距离是 .93．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为_____.94．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 cm 的半圆，则该圆锥的体积为 .95．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .96．等边三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 问的距离为2，此时四面体ABCD 外接球体积为 ．97．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为323π，那么这个三棱柱的体积是_____________.98．已知正方形ABCD ，AB=2，若将ABD ∆沿正方形的对角线BD 所在的直线进行翻折，则在翻折的过程中，四面体A BCD -的体积的最大值是____.99．如图，在三棱锥A BCD -中，2BC DC AB AD ====，2BD =，平面ABD ⊥平面BCD ，O 为BD 中点，点,P Q 分别为线段,AO BC 上的动点（不含端点），且AP CQ =，则三棱锥P QCO -体积的最大值为________．100．已知C B A 、、三点在球心为O 的球面上，2==AC AB ， 90=∠BAC ，球心O 到平面ABC 的距离为2，则球O 的表面积为 _ ______ ．101．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为 ．102．平面α截半径为2的球O 所得的截面圆的面积为π，则球心O 到平面α的距离为 ．103．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为 ．104．用一平面去截球所得截面的面积为3πcm 2，已知球心到该截面的距离为1 cm ，则该球的体积是 cm 3.105．已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π)106．设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是 .107．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点。
