圆的切线的习题

证明圆的切线方法及例题证明圆的切线常用的方法有:一、若直线I过O O上某一点A，证明I是O O的切线，只需连OA，证明OA丄I 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直•例1 如图，在厶ABC中，AB=AC ,以AB为直径的O O交BC于D ,交AC于E, B为切点的切线交0D延长线于F.求证：EF与O 0相切.证明：连结OE, AD.•/ AB是O 0的直径，••• AD 丄BC.又••• AB=BC ,•••/ 3= / 4.——• BD=DE，/ 1 = / 2.又••• OB=OE , OF=OF ,•••△ BOF ◎△ EOF ( SAS)•••/ OBF= / OEF.••• BF与O O相切，•OB 丄BF.•••/ OEF=9O°.•EF与O O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD 是/ BAC 的平分线, 求证：PA与O O 相切.证明一：作直径AE ，连结EC.•/ AD 是/ BAC 的平分线， •••/ DAB= / DAC. •/ PA=PD , •••/ 2= / 1+ / DAC. •••/ 2= / B+ / DAB , •••/ 1 = / B.•/ AE 是O O 的直径,• AC 丄 EC ,/ E+ / EAC=90°. •••/ 1 + / EAC=90°. 即OA 丄PA. • PA 与O O 相切.•/ PA=PD , •••/ PAD= / PDA. 又•••/ PDA= / BDE,证明二：延长AD 交O O 于E ,连结•/ AD 是/ BAC 的平分线, • BE=CE , • OE 丄BC.•••/ E+/ BDE=90 0.•/ OA=OE , •••/ E=/ 1. PP 为BC 延长线上一点，且 PA=PD.说明：例3 求证：证明一证明二•••/ 1 + / PAD=90°即OA丄PA.• PA与O O相切此题是通过证明两角互余，证明垂直的如图，AB=AC，AB是O O的直径，DM与O O相切.:连结OD.-AB=AC ,•/ B= / C.-OB=OD ,•/ 仁/ B.•/ 仁/C.•OD // AC.-DM 丄AC,•D M 丄OD.•D M与O O相切:连结OD, AD.•/ AB是O O的直径，•AD 丄BC.又••• AB=AC,• / 1= / 2.•/ DM 丄AC ,•/ 2+Z °，解题中要注意知识的综合运用O O交BC于D, DM丄AC于M • / 3+/4=90°.即0D 丄DM. ••• DM 是O O 的切线解题中注意充分利用已知及图上已知例4 如图，已知：AB 是O 0的直径，点 D 在AB 的延长线上.求证：DC 是O 0的切线 证明：连结OC 、BC.•/ OA=OC ,•••/ A= / 1= / 30°.•••/ BOC= / A+ / 1= 60°. 又••• OC=OB , • △ OBC 是等边三角形 • OB=BC. •/ OB=BD , • OB=BC=BD. • OC 丄 CD. • DC 是O O 的切线.说明：此题是根据圆周角定理的推论例5 如图，AB 是O O 的直径，CD 丄AB ，且OA 2=OD • OP. 求证：PC 是O O 的切线. 证明：连结OC•/ OA 2=OD • OP , OA=OC ,说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的,C 在O O 上，且/ CAB=30 °, BD=OB ,3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较• OC2=OD • OP,OC op ODOC .又•••/ 1= / 1,•••△ OCP s\ODC.•••/ OCP= / ODC.•/ CD 丄AB ,•••/ OCP=9O°.• PC是O O的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E,交CD于F.求证：CE与厶CFG的外接圆相切分析：此题图上没有画出△ CFG的外接圆，但△ CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点, 证明：为此我们取FG的中点O,连结. OC,证明CE丄OC即可得解.取FG中点O,连结OC.T ABCD是正方形，• BC 丄CD , △ CFG 是Rt△•/ O是FG的中点，EC • O是Rt A CFG的外心.•/ OC=OG ,•••/ 3= / G,•/ AD // BC,• / G= / 4.•/ AD=CD , DE=DE ,/ ADE= / CDE=45°,• △ ADE CDE (SAS)•••/ 4= / 1,Z 1 = / 3.•••/ 2+ / 3=90°, •••/ 1 + / 2=90°.即CE 丄OC.• CE 与厶CFG 的外接圆相切、若直线I 与O O 没有已知的公共点， 又要证明I 是O O 的切线，只需作OA 丄I ,A 为垂足，证明 OA 是O O 的半径就行了，简称："作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC , D 为BC 中点，O D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与O D 相切.证明一：连结DE ,作DF 丄AC , F 是垂足.••• AB 是O D 的切线，• DE 丄 AB. •/ DF 丄 AC , •••/ DEB= / DFC=90°. •/ AB=AC , •••/ B= / C. 又••• BD=CD ,•••△ BDE 也厶 CDF (AAS ) • DF=DE.• AC 是O D 的切线连结DE , AD ，作DF 丄AC , F 是垂足.••• AB 与O D 相切， • DE 丄 AB.•/ AB=AC , BD=CD , •/ DE 丄 AB , DF 丄 AC , ••• DE=DF.证明二: 負B C••• F 在O D 上.• AC与O D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关•例8 已知：如图，AC, BD与O O切于A、B,且AC // BD，若/ COD=9O0. 求证：CD 是O O的切线.证明一：连结OA , OB，作OE丄CD , E为垂足.•••/ 4+ / 5=90°.•••/ 1 = / 5.• Rt△AOC s Rt△BDO.•AC OC"OB OD.•/ OA=OB ,•AC OC…OA OD.又•••/ CAO= / COD=90°,• △ AOC ODC ,•••/ 1 = / 2.又••• OA 丄AC , OE 丄CD,••• OE=OA.••• E点在O O上.• CD是O O的切线.证明二：连结OA , OB，作OE丄CD于E,延长DO交CA延长线于F.••• AC，BD 与O O 相切，•AC 丄OA , BD 丄OB.•/ AC // BD ,•••/ F=Z BDO.又••• OA=OB ,•△ AOF ◎△ BOD(AAS•OF=OD.•••/ COD=9O°,•CF=CD，/ 1= / 2.又••• OA 丄AC , OE 丄CD ,•OE=OA.•E点在O O上.•CD是O O的切线.证明三：连结AO并延长，作OE丄CD于E ,取CD中点F ,连结OF.••• AC与O O相切,• AC 丄AO.•/ AC // BD , • AO 丄BD.9••• BD与O O相切于B,•AO的延长线必经过点•AB是O O的直径.•/ AC // BD , OA=OB ,B.CF=DF ,••• OF // AC ,•••/ 仁/COF.•••/ COD=90°, CF=DF ,1•OF —CD CF .2•••/ 2=Z COF.•••/ 仁/2.•/ OA 丄AC , OE 丄CD,•OE=OA.•E点在O O上.•CD是O O的切线说明：证明一是利用相似三角形证明/ 1 = / 2,证明二是利用等腰三角形三线合一证明/ 1 = / 2.证明三是利用梯形的性质证明/ 1= / 2,这种方法必需先证明A、0、B三点共线.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考11。

回顾旧知：P 点从圆内向圆外移动时结论 ：PA PB=PC ・PD 就是否成立？您能给出合理得证明吗？ 三、练习：（1）已知 PAB 、PCD 就是圆 0 得割线，PA=5 , AB=3 ,CD=3,贝U PC= _____⑵已知PT 就是圆O 得切线,PA=4, PT=6 ,则圆O 得面积= ________⑶已知：圆、圆相交于 A 、B, P 就是BA 延长线上得一点，PCD 就是圆得割线,PEF 就是圆得害熾,求证:PC ?PD=PE? PF巩固加深一、选择题洪15小题）1•如图,PAB 为割线且 PA=AB,PO 交O O 于C,若OC=3,OP=5,则AB 得长为（）A 、B 、C 、D 、2. 如图,OO 得割线 PAB 交 O O 于点 A,B,PA=14cm,AB=1Ocm,PO=2Ocm,3•如图，已知O O 得弦AB 、CD 相交于点P,PA=4cm,PB=3cm,PC=6cm,EA 切O O 于点A,AE 与 CD 得延长线交于点 E 若AE=cm,则PE 得长为（）切割线定理则O O 得半径就是 ( )A 、 8cmB 、 10cmC 、 12cmD 、 14cmA 、 4cmB 、 3cmC 、 5cmcm请结合以上得两图写出相交弦定理及推论得内容 相交弦定理： __________________________________ 二、探索发现：4•如图,O 01与O 02相交于A、B两点,PQ切O 01于点P交O 02于点Q、M,交AB得延长线于点N.若MN=1,MQ=3,贝U NP等于（）A 、1B 、C、2 D 、3第4题第5题第7题5•如图,PAB、PCD就是O O得两条割线，PA=3,AB=5,PC=4,则CD等于（）A、6B、3C、D、6•已知PA就是O 0得切线,A为切点,PBC就是过点0得割线,PA=10cm,PB=5cm,则O 0得半径长为（）A、15cmB、10cmC、7、5cmD、5cm7.（2004?锦州）如图,O 0与O0都经过点A与点B,点P在BA得延长线上，过P作O 0得割线PCD 交O O于C、D,作OO得切线PE切OO于E,若PC=4,CD=5,则PE等于（）A、6B、2C、20D、368•如图O O得两条弦AB、CD相交于点E,AC与DB得延长线交于点P下列结论中成立得就是（）A、CE?CD=BE ?BAB、CE?AE=BE ?DEC、PC?CA=PB ?BDD、PC?PA=PB?PD第8题第10题第11题9•已知AB为O O得直径,C为AB得延长线上一点，过C得直线与相切于点D,若BC=2,CD=4, 则O 0得半径长就是（）A、3B、6C、8D、无法计算10.如图，已知O 01、O 02相交于A、B两点，且点01在O 02上，过A作O01得切线AC交B01得延长线于点P交O 02于点C,BP交O01于点D,若PD=1,PA=,则AC得长为（）A、B、C、D、11.如图,PT就是外切两圆得公切线，T为切点,PAB,PCD分别为这两圆得割线•若PA=3,PB=6,PC=2, 则PD 等于（）A、12B、9C、8D、412.如图，在Rt△ ABC中,AC=5,BC=12, O 0分别与边AB,AC相切，切点分别为E,C,则O 0得半径就是（）A、B、C、D、第12题第13题第14题13•如图，已知PAC为O 0得割线，连接P0交O 0于B,PB=2,OP=7,PA=AC,贝U PA得长为（A、B、 2 C、D、 314.如图,PA,PB为O O得切线,A,B分别为切点，/APB=60 :点P到圆心O得距离OP=2,则O O 得半径为（）A、B、1 C、D、215.（2007?双柏县）如图，已知PA就是O O得切线,A为切点,PC与O O相交于B、C两点,PB=2cm,BC=8cm,则PA 得长等于（）A、4cmB、16cmC、20cmD、2cm二、填空题洪15小题）（除非特别说明，请填准确值）16.（2003?泸州）如图,O O1与O O2相交于C、D两点,O O1得割线PAB与DC得延长线交于点P,PN 与O O2 相切于点N,若PB=10,AB=6,贝U PN= ____________ .第16题第17题第18题17.如图，PA BO O于点A,割线PBC交O O于点B、C,若PA=6,PB=4,弧AB得度数为60。

D.不能确定的切线的性质与判定副标题 题号 * 总分 得分一、选择题（本大题共2小题，共6.0分）1.己知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3,此时直线和圆的位置关系为（） A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定【答案】C 【解析】解：半径r = 5,圆心到直线的距离d=3,v 5 > 3, BPr > d,二直线和圆相交，故选C.由直线和圆的位置关系：r>d,可知：直线和圆相交.本题考查了直线和圆的位置关系，判断的依据是半径和直线到圆心的距离的大小关系： 设。

的半径为厂，圆心。

到直线/的距离为丈 ①直线/和0。

相交②直线 /和。

相切od=r ；③直线/和。

0相离^d>r.2. 在中，zC= 90°, BC=3cm, AC=4cm,以点 C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则。

C 与直线AB 的位置关系是（） A,相交 B.相切 C.相离 【答案】A 【解析】解：过C 作CD LAB 于。

，如图所示： A ABC 中，L.C — 90, AC= 4, BC = 3, ・・・AB =、泌=5,7 A ABC^Jm=^-ACxBC=预8x CD, 2 2・•. 3 X 4 = 5 CD ,CD= 2.4<2.5, 即』< r, .••以2.5为半径的。

C 与直线AB 的关系是相交； 故选A.过C 作CD LAB 于C,根据勾股定理求出AB,根据三角形的面积公式求出CD,得出 d<r,根据直线和圆的位置关系即可得出结论.本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此 题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CO 的长，注意：直线和圆的位置关系有: 相离，相切，相交.二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）3, 如图，已知。

是MBC 的内切圆，切点为。

、E 、 尸，如果AE=2, CD= 1, BF= 3,则内切圆的半 径『= .BD【答案】1【解析】解：・.・。

圆的切线练习题一、选择题1. 已知圆的半径为5，点P到圆心的距离为10，则点P与圆的位置关系是（）。

A. 点P在圆内B. 点P在圆上C. 点P在圆外2. 圆的切线与圆相切于点A，若切线与圆心的距离为6，则圆的半径是（）。

A. 3B. 6C. 12D. 9二、填空题1. 若圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，当d等于r时，点P与圆的位置关系是________。

2. 已知圆的切线在圆上与点A相切，若切线与圆心的距离为d，圆的半径为r，则切线与圆心的距离d等于________。

三、计算题1. 已知圆的半径为7，圆上一点A的坐标为(3,4)，求过点A的圆的切线方程。

2. 圆心坐标为(0,0)，半径为5，求过点(3,3)的圆的切线方程。

四、证明题1. 证明：圆的切线垂直于经过切点的半径。

2. 证明：若两圆相切于点A，且两圆的半径分别为r1和r2，点P在两圆的公共切线上，且PA=PB，则PA=PB=r1+r2。

五、应用题1. 一个圆的半径为10，圆心在原点(0,0)，求过点(6,8)的圆的切线方程。

2. 已知两圆外切，圆心分别为O1(-3,0)和O2(3,0)，半径分别为5和3，求两圆的公共切线方程。

六、综合题1. 在平面直角坐标系中，圆C的圆心在(1,2)，半径为3。

点A的坐标为(4,0)，求过点A的圆C的切线方程。

2. 圆心在(2,3)的圆与x轴相切，求圆的半径，并求出切点坐标。

七、探索题1. 探索：若圆的半径为定值，当圆上一点到圆心的距离逐渐增大时，过该点的圆的切线数量会如何变化？2. 探索：若两圆相切，且已知一圆的半径和两圆心的距离，如何求另一圆的半径？八、开放性问题1. 若圆的切线与圆心构成一个直角三角形，求切线的长度与圆的半径之间的关系。

2. 设想一个实际问题，其中涉及到圆的切线，并尝试构建一个数学模型来解决这个问题。

请注意，以上题目仅为示例，具体题目应根据实际教学大纲和学生水平进行适当调整。

圆的切线综合练习题与答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】切线的判定与性质练习题一、选择题（答案唯一，每小题3分）1．下列说法中，正确的是( )A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线2. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( )A．70° B．35° C．20° D．40°第2题第3题第4题第5题3. 如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E＝50°，则∠CDB等于( )A．20° B．25° C．30° D．40°4.如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为( )A．8 B．6 C．5 D．45.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( )A．AG＝BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC＝∠ADC二．填空题（每小题3分）6．如图，在⊙O中，弦AB＝OA，P是半径OB的延长线上一点，且PB＝OB，则PA与⊙O的位置关系是_________．第6题第7题第8题7.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________________．8.如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O切于点B，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是______．9. 如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝_______度．第9题第10题第11题10. 如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC，BE.若AE＝6，OA＝5，则线段DC的长为______．11．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°，则∠B＝________度．三、解答题（写出详细解答或论证过程）12.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.求证：AC是⊙O的切线．第12题第13题第14题13.（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：∠BDC＝∠A.14.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．15.（10分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求BD的长．第15题第16题16．（12分）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图①，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：__________________________或者_______________________；(2)如图②，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．17.（12分）如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长．答案：DDADC 6. 相切 7. ∠ABC＝90°不排除等效答案 8. 6 9. 45 10. 4 11. 6012. 解：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，则AC为⊙O的切线13. 解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A14. 解：过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质可证DB＝DH，∴AC与⊙D相切15. 解：(1)∵∠COD＝2∠CAD，∠D＝2∠CAD，∴∠D＝∠COD.∵PD与⊙O相切于点C，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝45°(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝CD＝2，由勾股定理，得OD＝22＋22＝22，∴BD＝OD－OB＝22－216. (1) ∠BAE＝90°∠EAC＝∠ABC(2) (2)EF是⊙O的切线．证明：作直径AM，连接CM，则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°，∵∠CAE＝∠B，∴∠CAM＋∠CAE＝90°，∴AE⊥AM，∵AM为直径，∴EF是⊙O的切线17. 解：(1)连接OC，证∠DAC＝∠CAO＝∠ACO，∴PA∥CO，又∵CD⊥PA，∴CO⊥CD，∴CD为⊙O 的切线(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，∴四边形OCDF为矩形．∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6－x，AF＝5－x，在Rt△AOF中，有AF2＋OF2＝OA2，即(5－x)2＋(6－x)2＝25，解得x1＝2，x2＝9，由AD＜DF知0＜x＜5，故x＝2，从而AD＝2，AF＝5－2＝3，由垂径定理得AB＝2AF＝6。

圆切线练习题圆是几何学中的重要概念，而切线则是与圆相关的一个基本概念。

本文将介绍一些圆切线的练习题，帮助读者加深对这个概念的理解和应用。

练习题一：已知圆O的半径为r，圆心角θ是一个锐角，且圆弧AB与圆切线AB的夹角为α，请问如何求解这个问题？解答：首先，根据圆心角θ是锐角得出圆切线是切线，因此圆切线与半径的夹角等于半径与切线的夹角的补角，即β=90°-α。

又因为欧拉定理指出，半径与切线的夹角等于切线的切点到圆心的距离与半径的乘积。

因此，我们可以根据已知条件得到以下公式：tan(β) = r/AB。

练习题二：设定一圆O，半径为r。

某条直线与圆相交于点A和点B，这条直线与圆中心的距离为d，请问如何确定直线与圆的位置关系？解答：首先，找到通过AB中点且垂直于AB的直线。

设该直线与圆相交于点M和点N。

由于OM与ON为半径，所以OM=ON=r。

根据勾股定理可得AM^2 = AB^2/4 - OM^2= AB^2/4-r^2。

因此，当AM^2小于等于0时，说明直线和圆无交点；当AM^2大于0时，说明直线与圆有两个交点；当AM^2等于0时，说明直线与圆相切。

练习题三：设一圆的半径为r，切点为A，圆心为O，连接OA并延长为直线OB，过点B作圆的切线BC，请问如何判断圆切线BC和直线OA的夹角的大小？解答：由于半径OA和切线BC在点B处相交，因此根据欧拉定理，夹角OBC等于OB与切点至圆心的距离OA的乘积除以半径r的平方。

换句话说，tan(夹角OBC) = OB/OA。

练习题四：已知一圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，点P到圆上某一点Q 的连线与圆的切线相交于点T，请问如何求解切线与半径的夹角PTQ的大小？解答：首先，根据切线与半径的性质，得出夹角PTQ等于直角PTQ与与切线PT的夹角的补角。

又根据欧拉定理得出tan(直角PTQ) = d/r。

因此，我们可以利用已知条件计算出切线与半径的夹角PTQ的大小。

圆切线练习题(含答案)XXX∠OAD，又∠OAD＝90°，∴∠XXX°。

又因为CD与半径OD重合，∴CD垂直于过切点D的半径，即CD是⊙O的切线。

例5.证明：由点悟可知，须证OD＝OA。

XXX是⊙O的直径，∴∠OAB＝90°，又∠XXX°，因此O、B、D三点共线。

OBD是直角三角形，∴OD＝OB×sin∠OBD＝r×sin∠OAB＝OA。

又因为OD是⊙O的半径，∴OD＝r。

OA＝r，即AC与⊙O相切。

例6.证明：如图所示。

OA⊥OB，∴∠XXX°，又∠OAD＝∠DPB，∴∠DPB＝90°。

CD是⊙O的切线，∴PC＝CD。

例7.解：如图所示。

O是内心，∴∠BOC＝2∠A＝140°。

答案：∠BOC＝140°。

题目：证明在一个圆中，若一条直径的一端点与圆上一点相连，且与该点相连的两条切线分别与直径所在直线交于不同点，则这两个交点和圆上的该点构成一个等腰三角形。

证明：连接直径的另一端点和圆上的该点，得到三角形ACD。

由于OA=OD，所以∠ODA=∠OAD，从而∠COB=∠COD。

又因为OD=OB，所以三角形COB≌三角形COD，从而∠B=∠XXX。

由于BC是切线，而AB是直径，所以∠B=90°，∠ODC=90°，因此CD是圆的切线。

在证明中，我们先利用“切线的性质定理”和“全等三角形”的基本图形，构造辅助线OD。

然后利用切线的判定定理，得到CD是圆的切线。

这样就证明了∠COB=∠COD和CD是圆的切线。

接下来，我们连接直径的另一端点和圆上的该点，得到三角形ACD。

由于OA=OD，所以∠ODA=∠OAD，从而∠COB=∠COD。

又因为OD=OB，所以三角形COB≌三角形COD，从而∠B=∠XXX。

由于BC是切线，而AB是直径，所以∠B=90°，∠ODC=90°，因此CD是圆的切线。

切线长定理练习题切线长定理练习题切线长定理是几何学中的一个重要定理，它描述了一个圆与其切线之间的关系。

通过理解和应用这个定理，我们可以解决许多与圆相关的问题。

在本文中，我们将通过一些练习题来巩固对切线长定理的理解。

练习题1：已知一个圆的半径为5 cm，一条切线与圆的切点到圆心的距离为12 cm。

求切线的长度。

解答：根据切线长定理，切线长的平方等于切点到圆心距离的平方减去圆的半径的平方。

即：切线长的平方 = (切点到圆心距离的平方) - (圆的半径的平方)切线长的平方 = 12^2 - 5^2切线长的平方 = 144 - 25切线长的平方 = 119切线长≈ √119 ≈ 10.92 cm所以，切线的长度约为10.92 cm。

练习题2：已知一个圆的直径为10 cm，一条切线与圆的切点到圆心的距离为8 cm。

求切线的长度。

解答：由于切线长定理中给出的是切点到圆心的距离，而我们已知的是直径，所以我们需要先求得圆的半径。

圆的半径等于直径的一半，即5 cm。

接下来，我们可以使用切线长定理来求解切线的长度。

切线长的平方等于切点到圆心距离的平方减去圆的半径的平方。

即：切线长的平方 = (切点到圆心距离的平方) - (圆的半径的平方)切线长的平方 = 8^2 - 5^2切线长的平方 = 64 - 25切线长的平方 = 39切线长≈ √39 ≈ 6.24 cm所以，切线的长度约为6.24 cm。

练习题3：已知一个圆的半径为7 cm，一条切线与圆的切点到圆心的距离为10 cm。

求切线的长度。

解答：同样地，我们可以使用切线长定理来解决这个问题。

切线长的平方等于切点到圆心距离的平方减去圆的半径的平方。

即：切线长的平方 = (切点到圆心距离的平方) - (圆的半径的平方)切线长的平方 = 10^2 - 7^2切线长的平方 = 100 - 49切线长的平方 = 51切线长≈ √51 ≈ 7.14 cm所以，切线的长度约为7.14 cm。

圆的切线
一、1、直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离.
用数量关系表示是：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：
（1）直线l和⊙O相交d<r （2）直线l和⊙O相切d=r；（3）直线l和⊙O相离d>r.
2、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
3、切线的性质定理及其推论切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径.
推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
二、1、直线和圆的位置关系
2、切线的判定定理
例1、已知如图所示，AB为⊙O的直径，C、D是直径AB同侧圆周上两点，且，过D作DE⊥AC于点E，求证：DE是⊙O的切线.
例2、（1）如图所示，△ABC内接于⊙O，如果过点A的直线AE和AC所成的角∠EAC=∠B，那么EA是⊙O的切线.
3、切线的性质及其推论
例3如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，CD 切⊙O 于点C ，交AB•的延长线于点D ，
∠ACD=120°，BD=10．（1）求证：CA=CD ； （2）求⊙O 的半径．
例4如图，AB 是半圆O 的直径，AD 为弦，∠DBC=∠A ．
求证：BC 是半圆O 的切线；
．
练习1.如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，CE=BE ，E 在BC 上. 求证：PE 是⊙O 的切线．
练习2.如图1，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，B 为切点，OC 平行于弦AD ，连接CD 。

求证：DC 是⊙O 的切线。

O A B P D B O A。