海文钻石卡讲义(高数

2012届钻石卡学员考研数学学习计划（基础阶段）数学二——高等数学01第一单元学习计划——函数、极限、连续本计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习——1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.--------------------------第一单元调整学习计划-------------第二单元学习计划——一元函数微分学本计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习——1.导数和微分的概念、关系，导数的几何意义、物理意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，函数的可导性与连续性之间的关系；2.导数和微分的四则运算法则，复合函数的求导法则，基本初等函数的导数公式，一阶微分形式的不变性；3.高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数；4.会求以下函数的导数：分段函数、隐函数、由参数方程所确定的函数、反函数；5.罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、泰勒(Taylor)定理、柯西(Cauchy)中值定理，会用这四个定理证明；6.会用洛必达法则求未定式的极限；7.函数极值的概念，用导数判断函数的单调性，用导数求函数的极值，会求函数的最大值和最小值；8.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求函数的水平、铅直和斜渐近线；9.曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．---------------------------------------第二单元学习计划调整任务-------------。

高等数学部分易混淆概念第一章：函数与极限一、数列极限大小的判断例1：判断命题是否正确．若()n n x y n N <>，且序列,n n x y 的极限存在，lim ,lim ,n n n n x A y B A B →∞→∞==<则解答：不正确．在题设下只能保证A B ≤，不能保证A B <．例如：11,1n n x y n n ==+，,n n x y n <∀，而lim lim 0n n n n x y →∞→∞==．例2．选择题设n n n x z y ≤≤，且lim()0,lim n n n n n y x z →∞→∞-=则（ ）A ．存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C ．不一定存在 D. 一定不存在 答：选项C 正确分析：若lim lim 0n n n n x y a →∞→∞==≠，由夹逼定理可得lim 0n n z a →∞=≠，故不选A 与D.取11(1),(1),(1)n n n n n n x y z n n=--=-+=-，则n n n x z y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞-=，但lim n n z →∞不存在，所以B 选项不正确，因此选C ．例3．设,n n x a y ≤≤且lim()0,{}{}n n n n n y x x y →∞-=则与（ ）A ．都收敛于a B. 都收敛，但不一定收敛于a C ．可能收敛，也可能发散 D. 都发散 答：选项A 正确．分析：由于,n n x a y ≤≤，得0n n n a x y x ≤-≤-，又由lim()0n n n y x →∞-=及夹逼定理得lim()0n n a x →∞-=因此，lim n n x a →∞=，再利用lim()0n n n y x →∞-=得lim n n y a →∞=．所以选项A ．二、无界与无穷大无界：设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正数M ，使得()f x Mx X D ≤∀∈⊂则称函数()f x 在X 上有界，如果这样的M 不存在，就成函数()f x 在X 上无界；也就是说如果对于任何正数M ，总存在1x X ∈，使1()f x M >，那么函数()f x 在X上无界．无穷大：设函数()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M （不论它多么大），总存在正数δ（或正数X ），只要x 适合不等式00x x δ<-<（或x X >），对应的函数值()f x 总满足不等式()f x M >则称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷大． 例4：下列叙述正确的是： ② ① 如果()f x 在0x 某邻域内无界，则0lim ()x x f x →=∞② 如果0lim ()x x f x →=∞，则()f x 在0x 某邻域内无界解析：举反例说明．设11()sin f x x x=，令11,,22n n x y n n πππ==+，当n →+∞时，0,0n n x y →→，而lim ()lim (2)2n n n f x n ππ→+∞→+∞=+=+∞lim ()0n n f y →+∞=故()f x 在0x =邻域无界，但0x →时()f x 不是无穷大量，则①不正确．由定义，无穷大必无界，故②正确．结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大．三、函数极限不存在≠极限是无穷大当0x x →（或x →∞）时的无穷大的函数()f x ，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．例5：函数10()0010x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，当0x →时()f x 的极限不存在．四、如果0lim()0x xf x →=不能退出01lim()x x f x →=∞ 例6：()0x x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则0lim ()0x x f x →=，但由于1()f x 在0x =的任一邻域的无理点均没有定义，故无法讨论1()f x 在0x =的极限． 结论：如果0lim ()0x x f x →=，且()f x 在0x 的某一去心邻域内满足()0f x ≠，则1lim()x x f x →=∞．反之，()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小。

凤凰卫视钻石卡学员——致谢万学海文凤凰卫视《鲁豫有约》栏目专访低起点高分考入中国人民大学的万学海文钻石卡学员。

该学员和家人在节目访谈中对万学海文钻石卡高端辅导给予了极高的评价，从而引发了整个教育对万学先进教学技术的高度关注，各大媒体随后竞相调研和报道了万学海文革命性的钻石卡高端辅导技术。

从而揭开了海文钻石卡发展的历程和帮助低起点学员考上理想院校的神秘面纱!该钻石卡学员是这样形容的：身边只报了一般课程的同学，有些郁闷，课程一结束，老师转身就走了，而他们也就只有闷头做题，可答案是对是错?回答得是否完全?谁都不知道。

我自己就不一样了，我的“钻石卡”不仅有老师为我答疑，而且还有专业咨询师每天监督我的学习。

尤其是对于我这样跨专业又跨院校考研的学生，许多专业知识都没有，经常需要专业咨询师为我分析案例、教我答题。

我的专业咨询师是浙大的公费研究生，他可是我们专业那年的最高分，对于如何答题才能得高分，他最有发言权，但是由于我的专业咨询师身在外地的学校，和我交流的方式大部分还是打电话和视频，已有时间我就去我梦想的校园去感受学习氛围，见导师，还可以旁听导师的课程，熟悉了导师的脾性和授课风格。

海文钻石卡，带给我的不仅仅是成功，我付出了，但我收获了更多更多。

该学员的一席话现场无数人震惊了也震撼了，无论从服务还是学习还是心理上都达到了一流的水平，考虑到了学生的方方面面，可谓考研的全程辅导专家，让家长省心也放心，尤其是这样一个以学生的利益为出发点得公司企业，让人不信服都难。

代表委员聚焦“用工荒”与“大学生就业难”2011年03月04日07:51齐鲁晚报我要评论(6)字号：T|T新春伊始，全国多地出现“用工荒”，企业用尽各种办法却招不来工人，连传统劳务输出地也频频告急。

而另一方面，大学毕业生就业形势严峻。

招工难与就业难并存，像一道谜题摆在整个社会面前。

3日，本报“两会三人行”栏目邀请了全国政协委员、山东省政协副主席、山东省工商联主席王乃静，全国人大代表、山东中瑞海产食品有限公司董事长于晓玉，走进本报“北京直播室”，本报首席评论员张金岭作为主持人，与两位嘉宾交流对话，把脉用工市场存在的问题，并提出建议。

高等数学讲义（高数上）赵达夫一 函数、极限与连续（一） 本章的重点内容与常见的典型题型１．本章的重点内容是极限，既要准确理解极限的概念和极限存在的充要条件，又要能正确求出各种极限。

求极限的方法很多，在考试中常用的主要方法有： （1） 利用极限的四则运算法则及函数的连续性； （2） 利用两个重要极限，两个重要极限即()1011lim 1lim 1lim 1,sin lim 1;nxx n x x x x e n x x x→∞→∞→→⎛⎞⎛⎞+=+=+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠= （3） 利用洛必达法则及泰勒公式求未定式的极限； （4） 利用等价无穷小代替（常会使运算简化）； （5） 利用夹逼定理；（6） 先证明数列极限的存在（通常会用到“单调有界数列必有极限”的准则），再利用关系式求出极限；（7） 利用定积分求某些和式的极限； （8） 利用导数的定义；（9） 利用级数的收敛性证明数列的极限为零。

这里需要指出的是：题型与方法并不具有确定的关系，一种题型可以有几种计算法，一种方法也可能用于几种题型，有时在一个题目中要用到几种方法，所以还要具体问题具体分析，方法要灵活运用。

２．由于函数的连续性是通过极限定义的，所以判断函数是否连续、判断函数的间断点类型等问题本质上仍是求极限、因此这部分也是重点。

３．在函数这一部分内，重点是复合函数和分段函数以及函数记号的运算。

通过历年试题归类分析，本章的常见题型有：１．直接计算函数的极限值或给定函数极限值求函数表示式中的常数；２．讨论函数的连续性、判断间断点的类型；３．无穷小的比较；４．讨论连续函数在给定区间的零点，或方程在给定区间有无实根；５．求分段函数的复合函数。

（二） 知识网络图转换初等函数的连续性分段函数连续性判定闭区间上连续函数的性质第一类——左右极限都存在第二类——左右极限中至少有一个不存在连续的概念间断点的分类可去跳跃最值定理介值定理极限连续性（三）典型题型分析及解题方法与技巧题型一 求复合函数［例1.1］设()()()2,0,1(),()()().2,0,x e x f x x x g x f g x g f x x x −⎧<⎪=+=⎨≥⎪⎩求与题型二 利用函数概念求函数的表达式［例1.2］已知[]2(),()1(x)0,(x)x f x e f x x ϕϕϕ==−≥且求并写出它的定义域．题型三 判断函数的性质［例1.3］设sin ()tan ,()xf x x xef x =则是（ ）（A ） 偶函数 （B ）无界函数 （C ） 周期函数 （D ）单调函数.题型四 求极限的方法［例1.4]］填空题 2352lim sin ____53x x x x→∞+=+.［例1.5］求下列极限()()1lim1cos x x x →−()2limx()()()2013sin cos3lim.1cos ln 1x x x x x x →+++［例1.6］ 求下列极限()220111lim ;sin x x x →⎛⎞−⎜⎟⎝⎠()312lim sin ln 1sin ln 1;x x x x →∞⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞+−+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦()213lim sin cos xx x x →∞⎛⎞+⎜⎟⎝⎠［例1.7］ 选择题当1x →时，函数12111x x e x −−−的极限是（ ）. （A ）2; （B ）0；（C ）∞； （D ）不存在但不为∞.［例1.8］ 设()()()()320sin ,0,12sin sin ,0,x a x x x x f x x t dt x x−⎧>⎪⎪=⎨⎪−<⎪⎩∫ 问a 为何值时()0lim x f x →存在.［例1.9］求()2220100cos lim.sin xx x t dtx→−∫［例1.10］ 选择题 设函数()()()561cos 2sin ,56x x x f x t dt g x −==+∫，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）（A ） 低阶无穷小 （B ） 高阶无穷小（C ） 等价无穷小 （D ） 同阶但不等价的无穷小［例1.11］求()22201lim 1x t x x t e dt x −→∞+∫.［例1.12］确定a ，b ，c 值，使()()3sin lim0ln 1x x bax xC C t dtt→−=≠+∫.设2lim 8,____xx x a a x a →∞+⎛⎞==⎜⎟−⎝⎠则.［例1.14 ］ 选择题0x →时，()21x e ax bx −++是比2x 高阶无穷小，则（ ）（A ）1,12a b == （B ）1,1a b == （C ）1,12a b =−= （D ）1,1a b =−=［例1.15］设0x →时，()12311ax +−与cos 1x −是等价无穷小，求常数a 之值.［例1.16］填空题设()()2cos ,0,,0,x x x f x a x −⎧≠⎪=⎨=⎪⎩在0x =连续，则___a =.［例1.17］当0x →时，下列无穷小：()6ln 1,sin ,tan x x x x x +−中，（ ）是x 的低阶无穷小；（ ）是x 的一阶无穷小；（ ）是x 的二阶无穷小；（ ）是2x 的高阶无穷小．当0x +→的无穷小量2230cos ,,xx t dt t dt αβγ===∫∫排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（ ）． （Ａ）,,αβγ （Ｂ）,,αγβ （Ｃ）,,βαγ （Ｄ）,,βγα［例1.19］求2222123lim 123n n n n n n n n n n n →∞⎛⎞++++⎜⎟++++++++⎝⎠ ．［例1.20］求n ++.［例1.21］设a >0,数列{}n a 满足010,0,1,2,...1,2n n n a n aa a a+>⎧⎪=⎛⎞⎨=+⎜⎟⎪⎝⎠⎩lim n a 求.［例1.22］11lim _____1n n n e →+∞⎛⎞⎜⎟−=⎜⎟−⎝⎠．［例1.23］设()1220,0lim x x x x ααααββ→+∞⎡⎤>≠+−=⎢⎥⎣⎦且,则(),____αβ=.［例1.24］设()f x 是区间[)0,+∞上单调减少且非负的连续函数,()()11nnn k a f k f x dx ==−∑∫,（ｎ＝1,2,…）,证明数列{}n a 的极限存在.题型五 讨论函数的连续性与间断点的关系［例1.25］设()()()2,2,,1,21,25,1,1,3, 5.x x x x f x g x x x x x x x ≤⎧⎧≤⎪==−<≤⎨⎨−>⎩⎪+>⎩讨论()()y f g x =的连续性，若有间断点并指出类型．［例1.26］选择题设()()()322011ln 1sin ,0,0,0,1sin ,0,xx x x xf x x t dt x x ⎧+<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩∫则()f x 在0x =处（ ）.（A ）极限不存在； （B ）极限存在，但不连续； （C ）连续，但不可导； （D ）可导.［例1.27］选择题设()1arctan ,0,0,0,x x x f x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩则()f x 在0x =处（ ） （A ）不连续； （B ）连续，但不可导； （C ）可导但()f x ′在0x =处不连续； （D ）可导且()f x ′在0x =处连续.［例1.28］求函数()()tan 41x x f x x π⎛⎞−⎜⎟⎝⎠=+在区间()0,2π内的间断点，并判断其类型.［例1.29］设()f x 在(),−∞+∞内有定义，且()lim ,x f x a →∞=()1,0,0,0,f x g x x x ⎧⎛⎞≠⎪⎜⎟=⎝⎠⎨⎪=⎩，则（ ）． （A ）0x =必是()g x 的第一类间断点； （B ）0x =必是()g x 的第二类间断点； （C ）0x =必是()g x 的连续点；（D ）()g x 在点0x =处的连续性与a 的取值有关。

钻石卡高分学员介绍万学海文钻石卡学员庞博，来自于河北经贸大学财务管理专业，考研总成绩214分，其中英语64分，199管理类综合150分（满分200分）。

报考安徽工业大学会计专硕。

庞博属于跨专业、跨学校考研。

因为前期学习基础比较薄弱，本想报考河北经贸大学的他最终报考了安徽工业大学。

在钻石卡咨询报名时候，他很迷茫，不知道考研该考哪个城市，哪个专业，哪个学校，也完全不知道当务之急是什么，英语基础太弱，连平常大学英语课，都跟不上进度，经常是记了笔记，听不懂不内容，懂了内容记不下笔记。

身边还有不少同学在迷迷糊糊混日子，打游戏，谈恋爱。

然而他内心知道，自己并不想和周围的同学混在一起。

刚准备考研之初，庞博一直自学，他知道学习资料的质量非常重要，所以为了找到最好的学习资料，他先后采取了多种渠道采集学习资料：（1）他拜访询问了自己认识的几乎所有学长学姐，也从他们那里不断的淘书，政治、英语、数学等等；（2）他去了三十多个书店和六个以上图书馆，还专程到图书批发市场选书；（3）他还花了大量精力到网上去选书，各种推荐贴，各种经验贴，众说不一，不知道谁是谁非；然后，他看着小山似的书堆惆怅了，这么多书，从先看那一本，全看还是部分看，看完这本看哪本，过多久再回来看这本……带着一堆疑惑，庞博十分郁闷。

他算了算，发现就在选书这一项上，花了近两个月时间，加上交通费住宿费，投在选书买书的钱竟然超过了两千元，但结果却是不知如何下手学习了。

他每天有条不紊地看着各种学习资料的同宿舍另一位报了海文钻石卡的同学，没有在选书上花一点时间，，考研复习十分顺畅，已经不知不觉领先他不少距离了。

庞博发现同学的书并不是很多，但却都是精品中的精华，然后了解到这些学习资料都是万学海文的专业团队在全国所有考研图书和学习资料中精中选精，进行三级优化，组合而成的最高品质的学习资料。

对比自己千辛万苦选书，却费时费力还选不到位的结果，为了避免其他学习项目也会出现类似问题，希望报钻石卡之后能够让自己考研全程有个清晰的规划，所以他报名成为了海文的钻石卡学员。

海文钻石卡------坚强的后盾钻石卡让我实现了考人大的梦想，他们的服务是全方位的，只要你不要太懒，按照他们制定的学习方案学习就能够取得理想的成绩，祝考研同仁成功!——(海文某某学员的自白)从对考研的陌生到熟悉，从恐惧到认可，从逃避到执着，从对专业的迷茫到确定……海文学校及老师起了极大的作用。

我喜欢在这里学习，喜欢这里融洽的氛围，喜欢这里专业精深，态度谦和的老师们。

我对我的未来之路充满信心。

对于即将开始硕士生活的我，回顾过去的考研学习生活，我觉得海文钻石卡是我最好的朋友，是她帮我实现了梦想。

在这里我要说一句心里话，谢谢!钻石卡的网络平台很好，我可以在平台上提问，我还可以看到其他同学的提问，有些是我没有想到的问题。

考研也许让你想到苦和累，而我轻松地度过那段时光，因为我身后有海文。

海文使我总能比别人提前一大步，因为他会及时提供我所需，如院校信息、考研资料等;海文使我能灵活自如地运用知识，因为他给我提炼了知识的精华;海文使我对专业课做到胸有成竹，因为他为我提供了丰富的专业资料;现在师从名师，这也得益于海文，因为他为我提供了导师的信息。

考研的朋友，选择海文吧，因为他能助你考研的梦想轻松实现海文钻石卡的答疑服务，让我受益匪浅。

他们开通了三种答疑方式：电话答疑、网络答疑、现场面答，让我随时遇到问题都能尽快解决。

尤其是现场面答，那里的老师细心、耐心并且非常的有责任心的给我讲解问题，经常让我茅塞顿开。

我在这里想对你们说：老师谢谢你们，你们辛苦了，是你给我扬起了成功的风帆!人生的路是曲折的，考研的路更是艰辛的。

一年的考研路程走的既艰辛也不艰辛，艰辛在于刚准备考研时，找不到方向，没有好的学习方法，没有学习计划，成天就埋头学习，但是学习效果很一般，后来好了，有了海文的陪伴，老师们给我提供了好的学习方法，给我了详细的学习计划，按照这个走过来，就像有了一盏明灯，给我指明了方向，让我走向了成功。

谢谢你们!感谢海文，说什么都不能说明我现在的心情，我竟然在考试的时候遇到真题了，海文所有工作人员，我的心情太激动了，太感谢了!上面这些话都来自于海文钻石卡学员的寄予或者是心声，他们都是已经考研研究生或者还在海文认真的学习的钻石卡，我们从来不会说我们的钻石卡有多好，我们只会用事实来证明海文让我收获的不只是一纸通知书三次高考我都因各种各样的原因而一次次失利，让我最后不得不选择上了武汉地市的一所在普通不过的二类本师范学院，三年的本科学习让我压抑了太久太久，我好强的性格让我与同学格格不入，我的怀才不遇让我久久无法释怀。

09届钻石卡学员六月份复习计划（数一）——《660题》复习阶段主要目标：巩固加强基础阶段的学习，训练数学思维，掌握客观题的一些解题思路和技巧，为下一阶段的复习做好充分的准备。

使用说明：通过前面大量时间对教材的复习，我们已经基本上吃透考研大纲的要求，做到准确定位，对大纲涉及到的知识点能够准确掌握。

6月份是基础阶段复习加强升华的一个时期，在这一个月里，我们将安排学员完成《660题》的全面复习，复习部分《标准全书》的内容。

在《660题》的任务栏中，我们基本上是按章节划分的，后面附有对应的《标准全书》关于这一章的考点精讲，我们建议学员采用以下3种复习方案之一：1、做《660题》每一章习题之前，先看《标准全书》关于这一章的考点精讲，回顾本章重、难点及知识要点，然后再做《660题》的题目，通过习题起到对知识的巩固强化，结合本月计划表中“相关知识点回顾”内容，回顾相关知识点。

2、先做《660题》，做《660题》的时候，结合本月计划表中“相关知识点回顾”提要对相关知识点进行回顾，做完一章内容再翻看《标准全书》中的考点精讲部分，对本章知识进行查漏补缺。

3、可以先从教材目录着手，根据教材目录对照本月计划表中“相关知识点回顾”提要回忆复习，再对照《标准全书》中的考点精讲部分看有哪些自己没有想到的内容，同时对自己知识点回顾的情况进行总结，最后再做《660题》，起到对知识进一步巩固。

当然，也不一定非要按照上述三种方案复习，如果您有更适合自己的学习方法，完全可以根据自身情况做适当的调整，我们最终的目的是让您拥有事半功倍的学习效果，更好地完成《660题》的全面复习，为下一阶段的复习打下坚实的基础。

注意事项：1、针对复习较快的学员，5月份计划里已经安排了部分《660题》，这并不影响6月份的计划，对自己已经很熟悉的题目就可以做的快些，刚好是检验自己的复习效果，这时我们就要多注意解题思路和解题方法。

2、针对复习慢的学员，5月份计划里没有安排《660题》，所以在6月份里，一定要抓紧时间，争取这个月赶上复习较快的学员。