高三二轮复习(理数) 第二讲 函数的图象与性质(作业)(Word版,含答案)

第 2 讲 函数、图象及性质1. 已知 f(x) 是定义在 R 上的函数，且 f(x) ＝ f(x ＋ 2)恒建立，当 x ∈[－ 1， 1]时， f(x) ＝ x 2，则当 x ∈[2 ，3]时，函数 f(x) 的分析式为 ____________．答案： f(x) ＝(x －2)2 分析：因为函数知足 f(x) ＝ f(x ＋ 2)，所以函数周期为 2.又 x ∈ [2，3] ，x － 2∈ [0，1]，则 f(x)＝ f(x － 2)＝ (x － 2)2.k ＋ k在 (1，＋ ∞)上是增函数，则实数 2. 若函数 h(x) ＝ 2x － k 的取值范围是 ________.x 3答案： [－ 2，＋ ∞) 2x 2＋ k分析：因为 h ′(x)＝ 2＋ k k2x 2，所以 h ′ (x)＝ 2＋ x 2＝ x 2 ≥ 0 在 (1，＋ ∞)上恒建立， 即 k ≥－2x 在 (1，＋ ∞)上恒建立，所以 k ∈ [ － 2，＋ ∞)．3. 若函数 f(x) ＝ k － 2 xx (k 为常数 )在定义域上为奇函数，则 k ＝ ________．1＋k ·2答案： ±1 － x分析：∵ f(x) 为定义域上的奇函数， ∴ f(x) ＋f( － x)＝0. k －2x x ＋ k － 2－ x ＝ 0.得(k 2－1)(2 2x＋ 1)＝ 0.∵ 22x ＋1≠0，∴ k 2－ 1＝ 0，解得 k ＝ ±1. 1＋ k ·2 1＋k ·224. 定义在 (－ 1，1)上的函数 f(x) ＝－ 5x ＋ sinx ，假如 f(1 －a)＋f(1 －a )>0，则实数 a 的取值 范围为 ________．答案： (1， 2)(－ 1， 1)上单一递减， f(1－ a)＋ f(1 － a 2)＞0，得 f(1－ a)＞ f(a 2－分析：函数为奇函数，在 1)．－ 1＜ 1－ a ＜ 1，∴ － 1＜ a 2－ 1＜ 1 ， T1＜ a ＜ 2.1－ a ＜a 2 －115. 函数 f(x) ＝1－ 2x ＋ 的定义域为 ________．x ＋ 3答案： (－ 3， 0]1－2x ≥ 0分析：T － 3<x ≤ 0.x ＋3>01 ，若 f( － 1)＝ 1，则 f(26. 函数 f(x) 对于随意实数013)＝x 知足条件 f(x ＋ 2)＝ f （ x ） 2________．答案： 2分析：函数知足 f(x ＋ 2)＝1 ，故 f(x ＋ 4)＝ 1 ＝ f(x) ，函数周期为 4， f(2 013) f （x ） f （ x ＋ 2）＝ f(1) ．又 f(3) ＝ 1 ＝ f(4 － 1)＝ f( － 1)，∴ f(1)＝ 2.f （ 1）7. 设函数 f(x) ＝ |x ＋ 1|＋ |x － a|的图象对于直线 x ＝1 对称，则实数 a 的值为 ________． 答案： 3分析：绘图可知 a ＋（－ 1）＝ 1，a ＝ 3.[ 也可利用 f(0) ＝ f(2) 求得，但要查验 ]28. 设 f(x) 是定义在实数集 R 上的函数，知足条件 y ＝ f(x ＋ 1)是偶函数，且当 x ≥1时， f(x)＝ 2－x－ 1，则 f2， f 3 ， f 1 的大小关系是 ______________． (按从大到小的次序摆列 )3 2 3答案： f2＞ f 3 ＞ f 13 2 3分析：函数 y ＝ f(x ＋ 1)是偶函数，所以 f(－ x ＋ 1)＝f(x ＋1) ，即函数对于 x ＝ 1 对称．所以24 1 51x4 35 4 3f 3 ＝ f 3 ，f 3 ＝ f 3 ，当 x ≥1时， f(x) ＝ 2 － 1 单一递减， 所以由 3＜ 2＜ 3，得 f 3 ＞ f 2 ＞ f5 ，即 f 2 ＞f( 3)＞ f( 1)．33239. 函数 f(x) 的定义域是 R ，其图象对于直线x ＝ 1 和点 (2 , 0)都对称， 且 f － 1＝ 2，则 f 12 0132 2＋ f ＝______ ．2 答案： 0分析：函数图象对于直线 x ＝ 1 对称，则 f(x) ＝ f(2－ x)，函数图象对于点 (2, 0) 对称，则 f(x) ＝－ f(4－ x)，∴ f(x ＋ 2)＝－ f(x) ，∴ f(x ＋ 4)＝ f(x) ，2 013 1 5 1∴ f2 ＝ f 1 006＋ 2 ＝ f 2＝－ f 2 .又 f －1＝－ f 4＋1 ＝－ f 1，2 2 21 2 013∴ f2 ＋ f2＝0. － x 2＋ 2x ， x ≤ 0，10. 已知函数 f(x) ＝ 若|f(x)| ≥，ax 则 a 的取值范围是 ____________．ln （x ＋ 1）， x ＞ 0.答案： [－2，0]分析：在直角坐标系中画出函数y ＝ |f(x)| 的图象， y ＝ ax 为过原点的一条直线，当 a>0 时， 与 y ＝ |f(x)| 在 y 轴右边总有交点，不合．当a ＝ 0 时，建立．当 a<0 时，找出与 y ＝ |－ x 2＋ 2x|， x ≤ 0 相切的状况， y ′＝ 2x － 2，切线方程为 y ＝ (2x 0 －2)(x － x 0)＋ x 02－2x 0，由剖析可知 x 0 ＝ 0，所以 a ＝－ 2.综上， a ∈ [－ 2， 0]．11.xax x的定义域为区间 [－ 1， 1](a ∈ R )． 已知 f(x) ＝ 3 ，而且 f(a ＋ 2) ＝ 18， g(x) ＝ 3 － 4 (1) 求函数 g(x) 的分析式； (2) 判断 g(x) 的单一性； (3) 若方程 g(x) ＝ m 有解，务实数 m 的取值范围．解： (1) ∵ f(a ＋ 2)＝18， f(x) ＝ 3x ，∴ 3a ＋2＝ 18 3a ＝2，∴ g(x) ＝ (3a )x － 4x ＝ 2x － 4x ， x ∈ [－ 1，1]．(2) g(x) ＝－ x22 x ＝－ 2 x－ 1 21－1，1]时， 2 x∈1x(2 )＋ 2＋ ，当 x ∈ [ ， 2 ，令 t ＝ 2 ，∴ y ＝42－ t 2＋t ＝－1 2 ＋ 1，由二次函数单一性知当t ∈1， 2 时 y 是减函数，又 t ＝ 2x 在 [－ 1， 1] t －2 4 2上是增函数，∴ 函数 g(x) 在 [－ 1，1] 上是减函数． (也可用导数的方法证明 ) (3) 由 (2)知 t ＝2x ， 2x∈1， 2 ，则方程 g(x) ＝ m 有解m ＝ 2x － 4x 在 [ － 1，1]内有解m2 22111－ 2， 1＝ t － t ＝－ t －2＋ 4， t ∈ ， 2，∴ m 的取值范围是4 .2a12. 已知 f(x) ＝ x ＋ x (x ＞ 0)，当 x ∈ [1， 3]时， f(x) 的值域为 A ，且 A [n ， m](n ＜ m)．(1) 若 a ＝1，求 m － n 的最小值； (2) 若 m ＝ 16， n ＝ 8，求 a 的值； (3) 若 m － n ≤1，且 A ＝ [n ， m]，求 a 的取值范围． 解： (1) ∵ a ＝ 1，∴ f(x) 在区间 [1， 3]上单一递加， ∴ f(x) ∈ [f(1) ，f(3)] ，4 4∴ 当 x ∈ [1， 3]时， m － n ≥f(3)－ f(1) ＝3即 m － n 的最小值是 3.a在 (0， a]上单一递减，在 [a ，＋ ∞)上单一递加，(2) (解法 1)∵ 当 x>0 时， f(x) ＝ x ＋ xf （ 1） ≤m1＋ a ≤ 16∴ a a ≤ 15.f （ 3） ≤m3＋ 3≤ 16a① 当 a ≤ 1，即 0≤a ≤1时， f(x) ＝x ＋ x 在[1，3] 上单一递加，∴f(1) ≥n，a ≥ 7(舍去 )；a② 当 1< a<3，即 1<a<9 时， f(x) ＝ x ＋ x 的最小值是2 a ，∴ 2 a ≥ n ， a ≥ 16(舍去 )；③ 当 a ≥ 3，即 a ≥9时， f(x) ＝ x ＋ a在 [1， 3]上单一递减，x∴ f(3) ≥n，a ≥ 15.综上可得： a ＝15.(解法 2)当 m ＝ 16 时， x ＋a≤ 16 恒建立，即 a ≤16x －x 2 恒建立，x∴ a ≤ (－ x 2＋ 16x ，x ∈ [1， 3]) min ＝ 15；当 n ＝ 8 时， x ＋ a≥ 8 恒建立，即 a ≥8x －x 2 恒建立，x∴ a ≥ (－ x 2＋ 8x ，x ∈ [1， 3])max ＝ 15.综上可得： a ＝15.a(3) ① 若 a ≤ 1，即 0<a ≤1时， f(x) ＝ x ＋x 在 [1， 3]上单一递加，2 ∴1≥m－ n ＝ f （ 3）－ f （ 1）＝ 2－ 3a ，无解；0<a ≤ 1，② 当 1< a<3 即 1<a<9 时 f(x) ＝ x ＋ a在 [1， a]上递减，在 [ a ， 3]上递加， x∴ 1≥m－n ＝ f （ 3）－ f （ a ） 1≥m－ n ＝f （ 1）－ f （ a ），1<a ≤3 或3<a<9， ∴ 12－ 6 3≤ a ≤ 4.③ 当 a ≥ 3，即 a ≥9时，函数 f(x) 在区间 [1， 3]上单一递减，2 ∴1≥m－ n ＝ f （ 1）－ f （ 3）＝ 3a － 2，无解．a ≥ 9，综上可得： 12－ 6 3≤ a ≤ 4.1a x ， 0≤x ≤ a ，13. 设函数 f(x) ＝a 为常数且 a ∈ (0， 1)．1（ 1－ x ）， a ＜x ≤1，1－ a(1) 当 a ＝1时，求ff 1 ；2 3(2) 若 x 0 知足 f(f(x 0)) ＝ x 0 ，但 f(x 0) ，则称 x 为 f(x) 的二阶周期点，证明函数f(x) 有且≠x 0 0仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点 x 1、 x 2；2， 0)，记 △ ABC 的面积为(3) 对于 (2) 中 x 1、 x 2，设 A(x 1， f(f(x 1))) ， B(x 2，f(f(x 2))) ， C(a 1 1S(a)，求 S(a)在区间3，2 上的最大值和最小值．11 2 1 2 2 2解： (1) 当 a ＝2时，f 3 ＝ 3， f f 3＝ f 3 ＝2 1－ 3 ＝3.122，a x ， 0≤x ≤ a1（ a － x ）， a 2<x ≤ a ，a （ 1－a ）(2) f(f(x)) ＝12（ 1－ a ） 2（ x － a ）， a<x<a － a ＋ 1， 1（ 1－ x ）， a 2－ a ＋ 1≤x ≤1. a （ 1－a ）21当 0≤x ≤a 时，由 a 2x ＝ x ，解得 x ＝ 0，因为 f(0) ＝ 0，故 x ＝ 0 不是 f(x) 的二阶周期点；当 a 2＜ x ≤a 时，由1a （ 1－ a ）(a － x)＝ x ，a2解得 x ＝ － a 2＋ a ＋ 1∈ (a ， a)．a 1 a 1 a a因为 f － a 2＋ a ＋ 1 ＝ a · －a 2 ＋a ＋ 1＝－ a 2＋ a ＋ 1≠－a 2 ＋a ＋ 1，故 x ＝ － a 2＋ a ＋ 1是 f(x) 的二阶周期点；当 a<x<a 2－ a ＋ 1 时，由11∈ (a ， a 2－ a ＋ 1)．（ 1－ a ） 2(x － a)＝ x ，解得 x ＝ 2－a因为 f 1 ＝ 1·1－ 1 ＝ 1 ，故 x ＝ 1不是 f(x) 的二阶周期点；2－ a 1－a 2－ a 2－ a 2－ a2 1 1 2当 a － a ＋ 1≤x ≤1时，由 a （ 1－ a ）(1－ x)＝ x ，解得 x ＝ － a 2＋ a ＋1∈ (a － a ＋ 1， 1)． 因为 f21 ＝1·1－2 1＝ 2 a ≠ 2 1 ，－ a ＋ a ＋ 11－ a － a ＋ a ＋ 1 －a ＋a ＋ 1 － a ＋ a ＋ 1故 x ＝2 1是 f(x) 的二阶周期点．所以，函数f(x) 有且仅有两个二阶周期点，x 1＝－ a ＋ a ＋1a 1－ a 2＋ a ＋ 1， x 2＝ － a 2＋ a ＋ 1.aa11(3) 由 (2) 得 A( － a 2＋ a ＋ 1 ， － a 2＋ a ＋ 1 ) ， B( － a 2＋ a ＋ 1 ， － a 2＋ a ＋ 1 ) ， 则 S(a) ＝1· a 2（ 1－ a ），2 － a 2＋ a ＋ 13－ 2a 2－ 2a ＋2）.S ′ (a)＝1· a （ a2 22（－ a ＋a ＋ 1）因为 a 在 1，1内，故 S ′(a)>0，则 S(a)在区间 [1， 1]上单一递加，3 2 3 21 1 1 1 1 1故 S(a)在区间 3， 2上最小值为S 3 ＝ 33，最大值为 S 2 ＝ 20.。

第 2 讲 函数、图象及性质1. 函数在高考取的题型设置有小题也有大题，此中大题有简单的函数应用题、函数与其余知识综合题，也有复杂的代数推理题，能够说函数性质的应用是高考考察的主要着力点之一．2. 要点：①函数的奇偶性、单一性和周期性；②函数与不等式联合；③函数与方程的综合；④函数与数列的综合；⑤函数与向量的综合；⑥利用导数来刻画函数．3. 难点：①新定义的函数问题；②代数推理问题，常作为高考压轴题．2x 3， x<0，π1. 已知函数 f(x) ＝则 f f＝ ________ ．－ tanx ，0≤ x< π，42答案：－ 2分析： f π ＝－ tan π＝－ 1， f f π ＝ f( －1) ＝－ 2.4 4 4（ x ＋ 1） 02. 函数 f(x) ＝的定义域为 ________．|x|－ x答案： (－ ∞，－ 1)∪ (－ 1， 0)x ＋1≠0， 分析：x ＜ 0，x ≠－ 1.|x|－x ＞ 03x － m （ x ≤2），3. 已知实数 m ≠0，函数 f(x) ＝ － x － 2m （x>2 ）， 若 f(2 －m)＝ f(2 ＋ m)，则实数 m 的值为________.答案：－8和 83分析：当 m>0 时，由 f(2 －m)＝ f(2 ＋ m)得 m ＝ 8；当 m<0 时，由 f(2－ m)＝ f(2＋ m)得 m ＝8－ 3.4. 设函数 f(x) ＝ x 2－ 2x ，g(x) ＝ mx ＋ 2，对 x 1∈ [－ 1，2]，$ x 0∈ [－ 1，2]，使 g(x 1)＝f(x 0)，则实数 m 的取值范围是 ________．1答案：－ 1，分析： x ∈ [ － 1，2]时， f(x) ∈ [ －1， 3]． m>0 时， x ∈ [ － 1， 2]时， g(x) ∈ [2－ m ， 2＋ 2m] ；m ＝ 0 时， g(x) ＝ 2，x 0∈ [ － 1， 2]， f(x) ∈ [ － 1， 3]； m ＜ 0， x ∈ [ － 1， 2]时， g(x) ∈[2 ＋2m ， 21[－ 1， 3]； m ＜0， [2＋ 2m ， 2－ m] í[－ 1， 3]，得 0≤m ≤或 21－ 1≤m<0，故实数 m 的取值范围是 － 1，2 .题型一例 1函数分析式及方程区间根问题已知 f(x) 是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0， 5)，且 f(x) 在区间[－ 1， 4]上的最大值是 12.(1) 求 f(x) 的分析式；(2) 能否存在整数 m 使得方程 f(x) ＋37x ＝0 在区间 (m ， m ＋ 1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明原因．解： (1) ∵ f(x) 是二次函数， 且 f(x) ＜ 0 的解集是 (0，5), ∴ 可设 f(x) ＝ ax(x － 5)(a ＞ 0)．∴f(x) 在区间 [－ 1， 4]上的最大值是 f( － 1)＝6a.由已知得 6a ＝ 12, ∴ a ＝ 2,∴ f(x) ＝ 2x(x －5)＝ 2x 2－ 10x(x ∈R )．(2) 方程 f(x) ＋ 37＝ 0 等价于方程 2x 3－ 10x 2＋37＝ 0.设 h(x) ＝2x 3－ 10x 2＋ 37，则 h ′(x)＝ 6x 2x10 10 － 20x ＝2x(3x － 10)．当 x ∈ 0， 3 时， h ′ (x)＜ 0，h(x) 是减函数； 当 x ∈3 ，＋ ∞ 时，h ′ (x)＞ 0， h(x) 是增函数．∵ h(3)＝ 1＞ 0， h 10 ＝－ 1＜ 0， h(4)＝ 5＞0，∴ 方程 h(x) ＝ 0 在区间1010， 4 3 27内分别有独一实数根，而在区间 (0， 3)， (4，＋ ∞)内没有实数根，所以存在 3，3 ， 3独一的自然数m ＝ 3，使得方程 f(x) ＋37＝0 在区间 (m ， m ＋1) 内有且只有两个不一样的实数根．x已知 f(x) 为定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时， f(x) 为二次函数，且知足 f(2) ＝ 1，f(x) 在 (0，＋ ∞)上的两个零点为 1 和 3.(1) 求函数 f(x) 在 R 上的分析式；(2) 作出 f(x) 的图象，并依据图象议论对于 x 的方程 f(x) － c ＝ 0(c ∈ R )根的个数．解： (1) 由题意，当 x>0 时，设 f(x) ＝a(x － 1)(x －3)(a ≠0)，2当 x<0 时，－ x>0 ，∵ f(x) 为 R 上的奇函数，∴ f( － x)＝－ f(x) ，∴ f(x) ＝－ f( － x)＝－ [ － (－x) 2＋ 4(－ x) －3]＝ x 2＋ 4x ＋ 3，即 x<0 时， f(x) ＝ x 2＋ 4x ＋ 3. 当 x ＝ 0 时，由 f( － x)＝－ f(x) 得 f(0) ＝ 0，－ x 2＋ 4x － 3， x>0，∴ f(x) ＝ 0，x ＝ 0，x 2＋ 4x ＋ 3， x<0.(2) 作出 f(x) 的图象 (如下图 )，由 f(x) － c ＝ 0 得： c ＝ f(x) ，在图中作 y ＝c ， 依据交点议论方程的根：当 c ≥3或 c ≤－ 3 时，方程有 1 个根；当 1<c<3 或－ 3<c< － 1 时，方程有 2 个根；当 c ＝－ 1 或 c ＝ 1 时，方程有 3 个根；当 0<c<1 或－ 1<c<0 时，方程有 4 个根；当 c ＝ 0 时，方程有 5 个根 .题型二函数性质及应用问题2a例 2 已知函数f(x)＝x＋x(x≠0，常数a∈ R)．(1)议论函数 f(x) 的奇偶性，并说明原因；(2) 若函数 f(x) 在 x∈ [2，＋∞)上为增函数，求 a 的取值范围．解： (1) 当 a＝0 时， f(x) ＝ x2，对随意 x∈ (－∞，0)∪ (0，＋∞)，f( － x)＝ (－ x) 2＝ x2＝ f(x),∴f(x) 为偶函数．当 a≠ 0 时， f(x) ＝x2＋ax(a ≠0，x≠ 0)，取 x＝±1，得 f(－ 1)＋ f(1)＝ 2≠0，f( －1)－ f(1) ＝－ 2a≠0，∴f( －1) ≠－ f(1)， f( －1) ≠ f(1) ，∴函数 f(x) 既不是奇函数，也不是偶函数．＜ x ，f(x1)－f(x 2)2＋a－ x2－ a ＝（x1－x2）[x＋ x2)－a]，要使(2) (解法 1)设 2≤x1 2＝ x1x12x2x1x21x2(x1函数 f(x) 在 x∈ [2，＋∞)上为增函数，一定f(x 1)－ f(x 2)＜ 0 恒成立．∵x1－ x2＜ 0，x1x2＞ 4，即a＜ x1x2(x1＋x2 )恒成立，又x1＋ x2＞ 4, ∴ x1 x2(x1＋ x2)＞ 16.∴ a 的取值范围是(－∞， 16] ．(解法 2)当 a＝ 0 时， f(x) ＝ x2，明显在 [2，＋∞)上为增函数．当 a＜ 0 时，反比率函数a在 [2，＋∞)上为增函数，∴ f(x) ＝ x2＋a在 [2，＋∞)上为增函数．当x xa＞ 0 时，同解法 1.a(解法 3)f ′＝(x)2x－ x2≥ 0 对 x∈ [2，＋∞)恒成立．33∴ a≤ 2x 而 y＝ 2x 在 [2，＋∞)上单一递加，最小值为16，∴a≤ 16.评论：本题主要考察函数奇偶性、单一性及分类议论办理含参数问题．已知函数f(x) ＝ x|x－ a|(x∈R)．(1)判断 f(x) 的奇偶性，并证明；(2)务实数 a 的取值范围，使函数 g(x) ＝ f(x) ＋ 2x＋ 1 在R上恒为增函数．解： (1) 当 a＝ 0 时， f(x) ＝ x|x|，定义域为R ，又 f( － x)＝ (－ x)|－x|＝－ x|x|＝－ f(x) ，∴f(x) 是奇函数 .当 a≠0时， f(a)＝ 0， f( － a)＝－ a|－2a|，∵ f( － a) ≠± f(a)，∴ f(x) 是非奇非偶函数．∴当 a＝ 0时， f(x) 为奇函数；当 a≠0时， f(x) 为非奇非偶函数．x2＋（ 2－ a）x＋ 1， x≥a，在 R 上恒为增函数，(2) g(x)＝x|x－a|＋2x＋1＝－x2 ＋（2＋a）x＋1，x<a∴ y＝ x2＋ (2－ a)x＋ 1 在[a，＋∞)上是增函数，且 y＝－ x2＋ (2＋ a)x＋ 1 在 (－∞，a]上是增函数，－2－ a2≤a，∴∴ － 2≤ a≤ 2.2＋ a2≥a，题型三含字母的函数最值议论问题例 3设a为实数，函数f(x) ＝ x2＋ |x－ a|＋ 1， x∈R.(1)议论 f(x) 的奇偶性；(2)求 f(x) 的最小值．解： (1) 当 a＝ 0 时，函数f( － x)＝ (－ x)2＋ |－ x|＋ 1＝ f(x) ，此时 f(x) 为偶函数．当 a≠0时， f(a)＝ a2＋ 1， f( － a)＝ a2＋ 2|a|＋ 1， f( － a)≠ f(a)， f( －a) ≠－ f(a) ．此时函数 f(x) 既不是奇函数，也不是偶函数．21 23(2) ① 当 x ≤a 时，函数 f(x) ＝ x － x ＋ a ＋1＝ x － 2 ＋ a ＋ 4.1f(x) 在 (－ ∞， a)上的最小值为 f(a) 若 a ≤ ，则函数 f(x) 在 (－ ∞， a)上单一递减，进而，函数＝ a 2＋ 1. 211 3 1 若 a ＞2 ，则函数 f(x) 在( －∞，a]上的最小值为 f2 ＝ 4 ＋ a ，且 f 2 ≤ f(a)．21 23② 当 x ≥a 时，函数 f(x) ＝ x ＋ x － a ＋ 1＝ x ＋2－ a ＋ 4.若 a ≤－ 1，则函数 f(x) 在 [a ，＋ ∞)上的最小值为 f － 1 ＝ 3－ a ，且 f －1≤ f(a) ．22 4 21若 a ＞－ 2，则函数 f(x) 在 [a ，＋ ∞)上单一递加，进而，函数 f(x) 在 [a ，＋ ∞)上的最小值为2f(a)＝ a ＋ 1.综上，当 a ≤－ 1时，函数 f(x) 的最小值是 3－ a ；2 4当－ 1 1 22 ＜ a ≤ 时，函数 f(x) 的最小值是 a ＋ 1；2当 a ＞ 1时，函数 f(x) 的最小值是 a ＋ 3.2 4评论：函数奇偶性的议论问题是中学数学的基本问题，假如平常注意知识的累积，对解本题会有较大帮助．因为 x ∈ R ， f(0) ＝ |a|＋ 1≠0，由此清除 f(x) 是奇函数的可能性．运用偶函数的定义剖析可知，当 a ＝ 0 时， f(x) 是偶函数，第 (2) 题主要考察学生的分类议论思想、对称思想．已知函数 f(x) ＝x|x － 2|.设 a ＞0，求 f(x) 在 [0， a]上的最大值．x 2 － 2x ＝（ x －1） 2－ 1， x ≥ 2，解：f(x) ＝x|x － 2|＝－x 2 ＋2x ＝－（ x － 1） 2＋ 1， x ＜ 2.∴ f(x) 的单一递加区间是 (－ ∞， 1]和 [2，＋ ∞); 单一递减区间是 [1，2] ．① 当 0＜ a ＜ 1 时， f(x) 是 [0，a]上的增函数， 此时 f(x) 在 [0，a]上的最大值是 f(a) ＝a(2－a)； ② 当 1≤a ≤2时， f(x) 在 [0，1]上是增函数，在 [1，a]上是减函数，此时 f(x) 在[0， a]上的最大值是 f(1) ＝ 1；③ 当 a ＞ 2 时，令 f(a) － f(1) ＝ a(a － 2)－ 1＝a 2－2a － 1＞ 0, 解得 a ＞ 1＋ 2.若 2＜ a ≤1＋ 2，则 f(a) ≤f(1)，f(x) 在 [0，a]上的最大值是 f(1) ＝1；若 a ＞ 1＋ 2，则 f(a)＞ f(1) ，f(x) 在 [0，a]上的 最大值是 f(a)＝ a(a － 2)．综上，当 0＜a ＜ 1 时， f(x) 在 [0， a]上的最大值是 a(2－a)；当 1≤a ≤1＋ 2时， f(x) 在 [0，a]上的最大值是 1；当 a ＞ 1＋ 2时， f(x) 在 [0，a]上的最大值是 a(a － 2)．题型四 函数综合问题例 4 定义函数 φ(x)＝ 1， x ≥0， 2－ a) ·φ2(x － a)．f(x) ＝ x 2－ 2x(x－ 1， x<0，(1) 解对于 a 的不等式 f(1) ≤ f(0)；(2) 已知函数 f(x) 在 x ∈ [0， 1]上的最小值为 f(1) ，求正实数 a 的取值范围．解： (1) f(1) ≤f(0)即 1－ 2(1－ a) ·φ－(1a) ≤0.3当 a ＞ 1 时， φ(1－ a)＝－ 1，∴1＋ 2(1－ a) ≤0，a ≥ .1当 a ≤1时， φ (1－ a)＝ 1，∴ 1－ 2(1－ a) ≤0，a ≤ 2.1 3综上， a ≤ 2或 a ≥2.(2) 当 x ＝ 1 时， f(x) ＝ f(1) ．由题意， " x ∈ [0， 1)， f(x) ≥ f(1)恒成立．Ⅰ. a>1 时，2232①由 f(x) ≥f(1)，得 x ＋ 2x(x － a) ≥3－2a ，即 2a(x － 1) ≤2x ＋ x － 3.2x 3＋ x 2－ 32＋ 3，上式对全部x ∈ [0， 1)恒成立，∵ x ∈ [0， 1)，①式即 2a ≥，即 2a ≥2x ＋ 3x x － 1∴ 2a ≥ 2＋ 3＋3，即 a ≥4.Ⅱ . 0＜ a ≤1时，由 f(x) ≥f(1)，得 x 2－ 2x(x 2－ a) ·φ2－(xa) ≥2a － 1.(ⅰ ) 当 a ≤ x ≤1 时， x 2－ 2x(x 2－ a) ≥2a － 1，32即 2a(x － 1) ≥2x － x － 1. ②3－ x 2－ 12x 2x ∈ [0， 1)恒成立，∵ x ∈ [0， 1)，②式即 2a ≤，即 2a ≤2x ＋ x ＋ 1，上式对全部x － 1∴ 2a ≤ 2a ＋ a ＋ 1.此式恒成立．(ⅱ ) 当 0≤x＜ a 时， x 2＋2x(x 2－a) ≥2a － 1， 32即 2a(x ＋ 1) ≤2x ＋ x ＋ 1. ③∵ x ∈ [0， 1)，③式即2x 3＋ x 2＋ 1 22a ≤ ，即 2a ≤2x － x ＋ 1.x ＋ 1当 a ≤1，即 0＜ a ≤1时， 2a ≤ 2( a)2－ a ＋ 1，∴ a ≤ 1.联合条件得 0＜ a ≤1.4 16 16 当 a ＞ 1 1 ＜ a ≤1时， 2a ≤ 1 ，(0 ＜a ≤ 1)，即 1－4 16 8∴ a ≤ 7 .联合条件得 1 ＜ a ≤7. 16 16 16故 0＜ a ≤7. 167由Ⅰ、Ⅱ，得 0＜ a ≤ 或 a ≥4.已知函数 f(x) ＝ 3－ 2log 2x ， g(x) ＝ log 2x.(1) 假如 x ∈ [1， 4]，求函数 h(x) ＝ [f(x) ＋ 1]g(x) 的值域；(2) 求函数 M(x) ＝f （x ）＋ g （x ）－ |f （ x ）－ g （ x ） |的最大值；2(3) 假如对不等式 f(x 2)f( x)＞ kg(x) 中的随意 x ∈ [1，4]，不等式恒成立，务实数 k 的取值范围．解：令 t ＝ log 2x ，(1) h(x) ＝ (4－ 2log 2x) ·log 2x ＝－ 2(t － 1)2＋ 2.∵ x ∈ [1， 4]，∴ t ∈ [0，2]，∴ h(x) 的值域为 [0， 2]．(2) f(x) － g(x) ＝ 3(1－ log 2x)，当 0＜ x ≤2时， f(x) ≥ g(x)；当 x ＞2 时， f(x) ＜ g(x) ，g （ x ）， f （x ） ≥g（ x ），∴ M(x) ＝f （x ）， f （ x ）<g （ x ），log 2x ， 0<x ≤ 2，即 M(x) ＝3－ 2log 2x ， x>2.当 0＜ x ≤2时， M(x) 最大值为 1；当 x ＞ 2 时， M(x) ＜1. 综上，当 x ＝2 时， M(x) 取到最大值为 1.(3) 由 f(x 2)f( x)＞ kg(x) ，得 (3－ 4log 2x)(3 － log 2x)＞ k ·log 2x.∵ x ∈[1， 4]，∴ t ∈ [0，2]，∴ (3－ 4t)(3－ t) ＞ kt 对全部 t ∈ [0， 2]恒成立．① 当 t ＝ 0 时， k ∈ R ；（ 3－ 4t ）（ 3－ t ） 9 9② t ∈ (0，2]时， k ＜t 恒成立，即k ＜4t ＋ t － 15.∵ 4t ＋ t ≥ 12 ，当且仅当9，即 t ＝ 3时取等号．∴4t ＋ 9－ 15 的最小值为－ 3.4t ＝ t2t综上， k ＜－ 3.1. (2013 ·安徽卷 )定义在 R 上的函数 f(x) 知足 f(x ＋ 1)＝ 2f(x) ．若当 0≤ x ≤1时． f(x) ＝x(1 －x)，则当－ 1≤x ≤ 0 时， f(x) ＝ ________．答案：－ x （x ＋ 1）2（ x ＋ 1）（ 1－ x － 1）分析：－ 1≤x ≤0时， 0≤ x ＋1≤1， f(x) ＝1f(x ＋ 1)＝＝－ x （ x ＋1） .222log 1x ， x ≥ 1，2. (2013 北·京卷 )函数 f(x) ＝2的值域为 ________．2x ， x<1答案： (－ ∞， 2)分析：函数 f(x) 在 (－ ∞， 1)上单一增， f(x) ∈ (0， 2)；在 [1，＋ ∞)上单一减， f(x) ∈ (－ ∞，0]，故函数值域为 (－ ∞， 2)．3. (2013 江·苏卷 )已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数．当 x>0 时，f(x) ＝ x 2－ 4x ，则不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为 ________．答案： (－ 5， 0)∪ (5，＋ ∞)分析： x>0 时， f(x) ＝ x 2－4x ，f(x)>x 即为 x 2－ 5x>0 ，所以 x>5；f(x) 是定义在 R 上的奇函 数， x<0 时， f(x) ＝－ x 2－ 4x ，f(x)>x 即为 x 2＋ 5x<0 ，－ 5<x<0.综上，不等式的解集为 (－5， 0)∪ (5，＋ ∞)．（ x － a ） 2， x ≤ 0，4. (2014 上·海卷 )f(x) ＝若 f(0) 是 f(x) 的最小值，则a 的取值范围为1＋ a ，x>0 ，x ＋ x________．答案： [0， 2]分析：因为当 x>0 时， f(x) ＝ x ＋1＋ a 在 x ＝1 时获得最小值 2＋ a ，由题意当 x ≤0时， f(x)x＝ (x － a)2 应当是递减的，则 a ≥0，此时最小值为 22f(0) ＝ a .所以 a ≤ a ＋ 2，解得 0≤ a ≤ 2.5. (2013 ·上海卷 )已知真命题： “函数 y ＝ f(x) 的图象对于点 P(a 、 b)成中心对称图形 ”的充要条件为 “函数 y ＝ f(x ＋a)－ b 是奇函数 ”．(1) 将函数 g(x) ＝ x 3－ 3x 2的图象向左平移 1 个单位， 再向上平移 2 个单位， 求此时图象对应的函数分析式，并利用题设中的真命题求函数g(x) 图象对称中心的坐标； 2x(2) 求函数 h(x) ＝ log 24－ x 图象对称中心的坐标；(3) 已知命题： “函数 y ＝ f(x) 的图象对于某直线成轴对称图象 ”的充要条件为 “存在实数 a 和 b ，使得函数 y ＝ f(x ＋ a)－ b 是偶函数 ”．判断该命题的真假．假如是真命题，请赐予证明；假如是假命题， 请说明原因， 并类比题设的真命题对它进行改正， 使之成为真命题 (不用证明 )．解： (1) 平移后图象对应的函数分析式为 y ＝ (x ＋1) 3－ 3(x ＋1)2＋2，整理得 y ＝ x 3－ 3x ， 3因为函数 y ＝ x － 3x 是奇函数，由题设真命题知，函数g(x) 图象对称中心的坐标是 (1，－ 2)．(2) 设 h(x) ＝ log 2 2x的对称中心为 P(a ， b)，由题设知函数 h(x ＋ a)－ b 是奇函数．设 f(x) 4－x＝ h(x ＋ a)－ b ，则f(x) ＝ log 2 2（ x ＋ a ） － b ，即 f(x) ＝ log 2 2x ＋ 2a － b. 4－（ x ＋ a ） 4－ a －x由不等式 2x ＋ 2a2（ x ＋ 2）－ b ，x ∈( － 2，4－a － x >0 的解集对于原点对称， 得 a ＝ 2.此时 f(x) ＝ log 22－ x2x图象对称中心的2)．任取 x ∈(－ 2，2)，由 f( － x)＋ f(x) ＝0，得 b ＝1，所以函数 h(x) ＝ log 24－ x坐标是 (2，1).(3) 此命题是假命题．举反例说明：函数 f(x) ＝x 的图象对于直线 y ＝－ x 成轴对称图象，可是对随意实数 a 和 b ，函数 y ＝ f(x ＋ a)－ b ，即 y ＝x ＋ a － b 总不是偶函数．改正后的真命题： “函数 y ＝ f(x) 的图象对于直线 x ＝ a 成轴对称图象 ”的充要条件是 “函数 y ＝f(x ＋ a)是偶函数 ”.6. (2013 安·徽卷 )设函数 f(x) ＝ ax －(1＋ a 2)x 2，此中 a>0，区间 I ＝ {x|f(x)>0} ． (1) 求 I 的长度 (注：区间 ( α， β )的长度定义为 β－ α)；(2) 给定常数 k ∈ (0，1) ，当 1－ k ≤ a ≤1＋k 时，求 I 长度的最小值．解： (1) 令 f(x) ＝ x[a － (1＋a 2)x] ＝ 0，a a 解得 x 1＝ 0， x 2＝ 1＋ a 2，∴ I ＝ x 0<x< 1＋a 2，a∴I的长度x2－x1＝1＋ a 2.(2) k ∈ (0， 1)，则 0<1 －k ≤ a ≤1＋k<2 ，由(1) 知 I ＝ a2，I ′＝ 1－ a 2 2>0，则 0<a<1，2 ）1＋a （1＋ a故 I 对于 a 在 (1－ k ， 1) 上单一递加，在 (1， 1＋k)上单一递减．∴I 的最小值必然在a ＝ 1－ k 或 a ＝1＋ k 处获得．I 1＝ 1－ k 2＝ 1－ k 2，I 2＝1＋ k2，1＋（ 1－ k ） 2－ 2k ＋ k 1＋（ 1＋ k ）1－ k2I 1＝ 2－ 2k ＋ k ＝ 2－ k 2－k 3I 21＋ k2－ k 2＋k 3 <1，2＋ 2k ＋ k 21－ k 2.I min ＝2－ 2k ＋ k(本题模拟高考评分标准，满分 15 分)(2013 扬·州一模 )轮滑是衣着带滚轮的特制鞋在坚硬的场所上滑行的运动．如图，助跑道ABC 是一段抛物线，某轮滑运动员经过助跑道获得速度后飞离跑道而后落到离地面高为 的平台上 E 处，飞翔的轨迹是一段抛物线 CDE( 抛物线 CDE 与抛物线 ABC 在同一平面内 为这段抛物线的最高点． 此刻运动员的滑行轨迹所在平面上成立如下图的直角坐标系，在地面上，助跑道一端点 A(0 ， 4)，另一端点 C(3， 1)，点 B(2 ， 0)，单位： m.1 m)，Dx 轴(1) 求援跑道所在的抛物线方程；(2) 若助跑道所在抛物线与飞翔轨迹所在抛物线在点 和空中姿态优美，要求运动员的飞翔距离在 4 m 到 6 m行过程中距离平台最大高度的取值范围？C 处有同样的切线， 为使运动员安全之间 (包含 4 m 和 6 m)，试求运动员飞(注：飞翔距离指点 C 与点 E 的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．)解： (1) 设助跑道所在的抛物线方程为f(x) ＝ a 0x 2＋ b 0x ＋c 0，c 0＝ 4， 依题意， 4a 0 ＋2b 0＋ c 0＝ 0， (3 分 )9a 0 ＋3b 0＋ c 0＝ 1，解得 a 0＝ 1， b 0＝－ 4， c 0＝ 4，∴ 助跑道所在的抛物线方程为 f(x) ＝ x 2－ 4x ＋ 4.(7 分 ) (2) 设飞翔轨迹所在抛物线为g(x) ＝ax 2＋ bx ＋ c(a ＜ 0)，f （ 3）＝g （ 3），9a ＋3b ＋ c ＝ 1，依题意得f ′（ 3）＝g ′（ 3）， 6a ＋b ＝ 2， 解得 b ＝ 2－ 6a ，(9 分)c ＝ 9a － 5，∴ g(x) ＝ax 2＋(2－ 6a)x ＋ 9a － 53a － 121＝a x －＋1－ .aa令 g(x) ＝ 1 得 x －3a －1 2＝12，a a∵ a ＜ 0，∴ x E ＝3a － 1－ 1＝3－ 2.(11 分 )aa a当 x ＝ 3a － 1时， g(x) 有最大值为 1－ 1，a a则运动员的飞翔距离 d ＝ 3－2－3＝－ 2，(13 分 )a a飞翔过程中距离平台最大高度h ＝ 1－ 1－1＝－ 1，a a依题意， 4≤－ 2≤ 6，得 2≤－1≤ 3，a a即飞翔过程中距离平台最大高度的取值范围在2 m 到3 m 之间． (15 分 )1. 已知 a ＝5－ 1，函数 f(x) ＝ a x .若实数 m 、 n 知足 f(m) ＞ f(n) ，则 m 、 n 的大小关系为2________． m ＜ n答案： 分析： 考察指数函数的单一性．∵ a ＝5－ 1∈ (0， 1)，∴ 函数 f(x) ＝ a x在 R 上递减． 2由 f(m) ＞ f(n) ，得 m<n.2. 已知函数 y ＝ f (x) 是定义在 R 上的周期函数， 周期 T ＝5，函数 y ＝ f(x)( － 1≤ x ≤的1)图象 对于原点对称．又知 y ＝ f(x) 在 [0， 1]上是一次函数，在 [1， 4]上是二次函数，且在 x ＝ 2 时函 数获得最小值－ 5.(1) 求证： f(1) ＋ f(4) ＝ 0；(2) 求 y ＝ f(x) ， x ∈ [1， 4]的分析式；(3) 求 y ＝ f(x) 在 [4， 9]上的分析式．(1) 证明： ∵ f (x) 是以 5 为周期的周期函数， ∴ f(4)＝ f(4－ 5)＝ f( － 1)．又 y ＝ f(x)( － 1≤ x ≤ 1) 对于原点对称，∴ f(1) ＝－ f( －1) ＝－ f(4), ∴ f(1) ＋f(4) ＝ 0.(2) 解： 当 x ∈ [1， 4]时，由题意可设 f(x) ＝ a(x － 2)2－ 5(a ＞ 0)．由 f(1)＋ f(4) ＝0，得 a(1 － 2)2－ 5＋ a(4－ 2)2－ 5＝0，∴ a ＝2，∴ f(x) ＝ 2(x － 2)2－ 5(1 ≤x ≤4)．(3) 解： ∵ y ＝ f(x)( － 1≤ x ≤是1)奇函数，∴ f(0) ＝ 0.又知 y ＝f(x) 在 [0， 1]上是一次函数， ∴ 可设 f(x) ＝ kx(0 ≤x ≤，1)而 f(1) ＝ 2(1－2) 2－ 5＝－ 3，∴ k ＝－ 3，∴ 当 0≤x ≤1时， f(x) ＝－3x ，进而当－ 1≤x＜ 0 时， f(x) ＝－ f(－ x)＝－ 3x ，故－ 1≤ x ≤1时， f(x) ＝－ 3x ，∴ 当 4≤ x ≤6时，有－ 1≤x－ 5≤1，∴ f(x) ＝ f(x － 5)＝－ 3(x － 5)＝－ 3x ＋ 15，当 6＜ x ≤9时， 1＜ x － 5≤4，∴ f(x)＝ f(x － 5)＝ 2[(x － 5)－ 2]2－ 5＝ 2(x － 7) 2－ 5，－ 3x ＋ 15，4≤ x ≤ 6，∴ f(x) ＝2（ x － 7）2－ 5， 6＜ x ≤9.评论：紧抓函数几个性质，将未知的转变为已知的，注意函数图象及端点值．。

专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第二讲函数图象与性质高考导航对于函数性质的考查往往综合多个性质，一般借助的载体为二次函数、指数函数、对数函数或者由基本的初等函数复合而成，尤其在函数单调性、奇偶性和周期性等性质的综合问题上应重点加强训练．2．对于函数图象的考查比较灵活，涉及知识点较多，且每年均有创新，试题的考查突出表现在三方面，一是在解决与性质相关的问题中使用函数图象，体现数形结合思想方法；二是给出一个较复杂函数的解析式求其对应的图象；三是根据所给的图象来判断函数的内在信息.1．(2017·山东卷)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝()A．(1,2) B．(1,2]C．(－2,1) D．[－2,1)[解析]由4－x2≥0得－2≤x≤2，由1－x>0得x<1，故A∩B＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1}＝{x|－2≤x<1}，故选D.[答案]D2．(2015·福建卷)下列函数为奇函数的是()A．y＝x B．y＝|sin x|C．y＝cos x D．y＝e x－e－x[解析]A项中的函数为非奇非偶函数，B项和C项中的函数是偶函数，D项中的函数满足奇函数的定义，故选D.[答案]D3．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是() A．[－2,2]B．[－1,1]C．[0,4]D．[1,3][解析]∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝1.于是－1≤f(x－2)≤1等价于f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.[答案]D4．(2016·全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为()[解析]f (2)＝2×22－e 2＝8－e 2，因为0<8－e 2<1，所以0<f (2)<1，排除选项A ，B.当0≤x ≤2时，y ′＝4x －e x ，在平面直角坐标系中分别作出当0≤x ≤2时函数y 1＝4x ，y 2＝e x 的图象，如图所示．可知，当0≤x ≤x 0时，e x >4x ，y ′<0，即y ＝2x 2－e |x |单调递减；当x 0<x ≤2时，4x >e x ，y ′>0，即y ＝2x 2－e |x |单调递增，故选D.[答案]D5．(2016·四川卷)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.[解析]因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，f (x )＝－f (－x )，又f (x ＋2)＝f (x )，所以f (－1)＝－f (1)＝f (1)，因此f (1)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2，故f ⎝⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. [答案]－2考点一 函数及其表示1．函数的三要素定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．2．分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[对点训练]1．(2017·广东深圳一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( ) A ．(－2,1) B ．[－2,1] C ．(0,1) D ．(0,1][解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0，x >0，ln x ≠0，解得0<x <1，故选C.[答案]C2．已知函数y ＝f (x ＋2)的定义域是[－2,5)，则y ＝f (3x －1)的定义域为( )A ．[－7,14)B ．(－7,14]C.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，83D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，83 [解析]因为函数y ＝f (x ＋2)的定义域是[－2,5)，所以－2≤x <5，所以0≤x ＋2<7，所以函数f (x )的定义域为[0,7)，对于函数y ＝f (3x －1)，0≤3x －1<7，解得13≤x <83，故y ＝f (3x －1)的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，83，故选D.[答案]D3．(2017·赣中南五校联考)函数f (x )＝x ＋2x －1的值域为________．[解析]由题意得2x －1≥0，解得x ≥12，又∵f (x )＝x ＋2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，∴当x ＝12时，f (x )取最小值，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，且f (x )无最大值．∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.[答案]⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞4．(2017·福建厦门一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．[解析]当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a <12. [答案]⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12(1)函数定义域问题的3种类型①已知函数的解析式：定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建不等式(组)求解即可．②抽象函数：根据f[g(x)]中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解．③实际问题或几何问题：除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．(2)函数值域问题的4种常用方法公式法、分离常数法、图象法、换元法．考点二函数的图象及其应用1．作图常用描点法和图象变换法，图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．2．识图从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．3．用图在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．但是，在利用图象求交点个数或解的个数时，作图要十分准确，否则容易出错．角度1：以具体函数的解析式选择图象或知图象选解析式【例1－1】(2017·全国卷Ⅰ)函数y＝sin2x1－cos x的部分图象大致为()[思维流程]看条件――→奇偶性单调性析选项――→特殊点、线得结果[解析]由题意，令函数f (x )＝sin2x1－cos x，其定义域为{x |x ≠2k π，k∈Z }，又f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin2x1－cos x为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sinπ1－cos π2＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π21－cos 3π4＝－11＋22<0，所以排除A ；f (π)＝sin2π1－cosπ＝0，排除D.故选C.[答案]C角度2：利用函数的图象研究函数的性质(特别是单调性、最值、零点)、方程解的问题及解不等式、比较大小等【例1－2】 (2017·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－ln (－x )，x <0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1) C.⎝⎛⎭⎪⎫0，12D ．(0，＋∞)[思维流程]理解伙伴点组→当x <0时，作y ＝f (x )的对称图形→画y ＝kx －1与y ＝ln x (x >0)图象→由相切时的k 值求范围[解析]依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象，使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2.当直线y＝kx－1与y＝ln x的图象相切时，设切点为(m，ln m)，又y＝ln x的导数为y′＝1 x，则km－1＝ln m，k＝1m，解得m＝1，k＝1，可得函数y＝ln x(x>0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k∈(0,1)时两函数图象有两个交点．[答案]B识别函数图象应关注的5点(1)根据函数的定义域判断图象的左右位置，根据函数的值域判断图象的上下位置．(2)根据函数的单调性判断图象的变化趋势．(3)根据函数的奇偶性判断图象的对称性．(4)根据函数的周期性判断图象的循环往复．(5)取特殊值代入进行检验．[对点训练]1．[角度1](2017·贵州七校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xx C ．f (x )＝1x 2－1 D ．f (x )＝x －1x[解析]由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B 、C.若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.[答案]A2．[角度2](2017·福建漳州八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，x 2＋x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．[解析]令g (x )＝f (x )－m ＝0，得f (x )＝m ，则函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点等价于函数f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，作出函数f (x )的图象如图：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14≥－14，若函数f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则－14<m ≤0，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0.[答案]⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 考点三 函数的性质及其应用1．函数的单调性单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法．2．函数的奇偶性(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(3)对于偶函数而言，有f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． 3．函数的周期性对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a .(a >0)4．函数的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．角度1：确认函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值【例2－1】 (2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则f (x )( )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数[解析]易知函数f (x )的定义域关于原点对称．∵f (－x )＝3－x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－3x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．又∵y ＝3x在R 上是增函数，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是增函数，∴f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是增函数．故选A.[答案]A 角度2：综合应用函数的性质求值(取值范围)、比较大小等，常与不等式相结合[思维流程]f (x )是R 上的偶函数且在(－∞，0)上单调递增――→对称性f (x )在(0，＋∞)上单调递减→脱去“f ”→解关于a的不等式[解析]解法一：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，故0<2|a －1|<2，则|a －1|<12，所以12<a <32.解法二：依题意，令f (x )＝－|x |， 由f (2|a －1|)>f (－2)，得－|2|a －1||>－|－2|， 则|a －1|<12，解得12<a <32.[答案]⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32函数3个性质的应用要领(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )．(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．【易错提醒】 在确定函数的奇偶性和单调性时，不能忽略函数的定义域．[对点训练]1．[角度1]下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是( )A ．y ＝x 2＋2B ．y ＝－4x 3C ．y ＝－x ＋1x D ．y ＝x |x |[解析]∵函数y ＝x 2＋2是偶函数，∴选项A 不满足题意；∵x 增大时，－4x 3减小，即y 减小，∴y ＝－4x 3为减函数，∴选项B 不满足题意；y ＝－x ＋1x 在定义域内不单调，∴选项C 不满足题意；y ＝x |x |为奇函数，且y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0.∵y ＝x 2在[0，＋∞)上单调递增，y ＝－x 2在(－∞，0)上单调递增，且y ＝x 2与y ＝－x 2在x ＝0处的函数值都为0，∴y ＝x |x |在定义域内是增函数．故选D.[答案]D2．[角度2](2016·山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2[解析]由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x >12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.[答案]D热点课题2 函数图象辨析[感悟体验]1．(2017·长沙模拟)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )[解析]由题意知，f (x )＝|cos x |·sin x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝cos x ·sin x ＝12sin2x ；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，f (x )＝－cos x ·sin x ＝－12sin2x ，故选B.[答案]B2．(2017·南昌二模)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱A 1B 1，CD 的中点，点M 是EF 上的动点(不与E ，F 重合)，FM ＝x ，过点M 、直线AB 的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为V (x )，则函数V (x )的大致图象是( )[解析]当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22时，V (x )增长的速度越来越快，即变化率越来越大；当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，2时，V (x )增长的速度越来越慢，即变化率越来越小，故选C.[答案]C。

专题二函数、不等式、导数摸清规律预测考情考点一 函数的图象与性质1．有关函数的奇偶性问题(1)若f (x )是奇函数，且x ＝0有意义时，则f (0)＝0；(2)奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇，奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶． 2．有关函数的对称性问题(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；(2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称； (3)若f (x ＋a )为奇函数⇒f (x )的图象关于点(a,0)成中心对称；若f (x ＋a )为偶函数⇒f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． 3．有关函数的周期性问题(1)若函数y ＝f (x )的图象有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，则函数y ＝f (x )必是周期函数，且一个周期为T ＝2|a －b |；(2)若函数y ＝f (x )的图象有两个对称中心A (a,0)，B (b,0)(a ≠b )，则函数y ＝f (x )必是周期函数，且一个周期为T ＝2|a －b |；(3)如果函数y ＝f (x )的图象有一个对称中心A (a ，c )和一条对称轴x ＝b (a ≠b )，则函数y ＝f (x )必是周期函数，且一个周期为T ＝4|a －b |；(4)若函数f (x )满足－f (x )＝f (a ＋x )，则f (x )是周期为2a 的周期函数； (5)若f (x ＋a )＝1f (x )(a ≠0)恒成立，则T ＝2a ；(6)若f (x ＋a )＝－1f (x )(a ≠0)恒成立，则T ＝2a .类型一 函数的概念及表示[典例1] (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2， x ≤1，－log 2(x ＋1)， x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A ．－74 B ．－54 C ．－34D ．－14解析：通解：(讨论a 的取值，计算f (a )，并求a )当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3，即2a －1＝－1，不成立，舍去；当a ＞1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，即log 2(a ＋1)＝3，得a ＋1＝23＝8，∴a ＝7，此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.故选A. 优解：(根据分段函数值域，确定a 的范围) ∵2x －1＞0，∴当x ≤1时，2x －1－2＞－2，故a ＞1. ∴－log 2(a ＋1)＝－3，∴a ＝7， ∴f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.答案：A(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1,1)，函数g (x )是二次函数，若函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：优解：(数形结合法)因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1,1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1.画出函数y ＝f (x )的图象如图所示，由于函数g (x )是二次函数，值域不会是选项A ，B ，易知，当g (x )的值域是[0，＋∞)时，f (g (x ))的值域是[0，＋∞)．故选C. 答案：C [母题变式]在本例(2)中，函数y ＝f (x 2＋1)的值域如何求？ 解析：设t ＝x 2＋1，∴t ≥1，∴f (t )＝t 2≥1. 所以函数y ＝f (x 2＋1)的值域为[1，＋∞)，选D.1．(1)形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则；(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．即“分段归类”“数形结合”为常用技巧方法．2．求函数值域(最值)的常用方法有：(1)直接法，求得函数解析式的范围，得到函数的值域；(2)配方法，转化为二次函数的最值求解；(3)分离常数法，对于探求形如y ＝ax ＋bcx ＋d (c ≠0)的值域，常把其分子分离成不含自变量x 的形式；(4)换元法，通过换元转化成熟悉的函数；(5)单调性法，此法需先确定函数在定义域上(或某个定义域子集上)的单调性；(6)图象法，若函数解析式的几何意义较明显，诸如距离、斜率等，可用数形结合的方法求其值域；(7)基本不等式法，对于探求形如y ＝x ＋kx (k ＞0)的值域，常用基本不等式求解；(8)导数法，先利用导数判断其单调性，再求其值域． [自我挑战]1．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：选B.由已知得－1＜2x ＋1＜0，解得－1＜x ＜－12，所以函数f (2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12，故选B.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x ＜1，2x －1，x ≥1，f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：通解：选C.∵－2＜1，∴f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3； ∵log 212＞1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝9.优解：由f (－2)＝3，∴f (－2)＋f (log 212)＞3排除A.由于log 212＞1，要用f (x )＝2x －1计算，则f (log 212)为偶数，∴f (－2)＋f (log 212)为奇数，只能选C.类型二 函数的图象及应用[典例2] (1)(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑m i ＝1(x i ＋y i )＝( ) A ．0 B ．m C ．2mD ．4m解析：(利用图象的对称性求解) 因为f (－x )＝2－f (x )， 所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x 2＝0，f (－x )＋f (x )2＝1， 所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，故其图象也关于点(0,1)对称． 所以函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， …，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称， 所以∑i ＝1mx i ＝0，∑i ＝1my i ＝2×m2＝m ，所以∑i ＝1m(x i ＋＋y i )＝m .故选B.答案：B(2)(2016·高考全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )。

专题2：函数的图象与性质一、前测训练1．求下列函数的值域：（1）y ＝sin(2x ＋π3) x ∈[0，π6] （2）y ＝1－x 21＋x 2 （3）y ＝x ＋1－x(4)f (x )＝(12)x －x ，x ∈[－1，2] （5）f (x )＝x 2＋2x 2＋1 （6）f (x )＝x ln x（7）y ＝x2．（1）f (x )＝x (12x －1＋12)的奇偶性为．（2）若f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a 的值为．3．（1）函数f (x )＝2x ＋1x ＋1的增区间为； (2)f (x )＝log 12(x 2－2x )的增区间为；(3)f (x )＝ln x －2x 2的减区间为．4．(1)若f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝1＋3x ，则f (x ) ＝．（2）若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2) 0，则f (x )＜0的x 的取值范围是．5．设f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，(1)则f (7.5)＝；(2)当x ∈[4，6]时，f (x )＝．6．（1）已知函数f (x )＝ln(2x ＋1)，①将函数y ＝f (x )图象向右平移2个单位后的解析式为． ②与函数y ＝f (x )图象关于y 轴对称的函数解析式为． （2）方程1－x 2＝x ＋m 有一个实数解，则m 的取值范围为．7．（1）若函数y ＝log 2(x ＋2)的图象与y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (x )=．（2）已知f (x )＝log 2|ax ＋3|关于x ＝1对称，则实数a ＝．二、例题讲解专题一、函数单调性例1：已知函数x a x x x f 3)(+-=在R 上为增函数，则实数a 的范围为又例：已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，a ∈R)．若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为．再例：已知函数)(x f 的定义域是0≠x 的一切实数，对定义域内的任意21,x x 都有)()(121x f x x f =⋅),(2x f +且当1>x 时.1)2(,0)(=>f x f 则不等式.2)12(2<-x f的解集为围是___________．又例：已知函数⎩⎨⎧>-≤-=-.0,12,0,2)(x ax x e x f x (a 是常数且a ＞0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )＞0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是(1，＋∞)； ④对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＜.2)()(21x f x f +其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．例3：若函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________．又例：若函数()(1)xf x a a =>的定义域和值域均为],[n m ，则a 的取值范围是.专题二：奇偶性与周期性 例 1.已知f (x )=|x +1|+|x +2|+|x +3|++|x +2017|+|x -1|+|x -2|+|x -3|++|x -2017|（x ∈R ），且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的取值范围是.又例：已知函数0)1()1(),1lg()(22<++-++=m f m f x x x f 如果，则实数m 的取值范围是___________.再例.f(x)为偶函数，且在[)+∞,0上是增函数，若)1(2)1(ln )(ln f tf t f ≤+，则t 的范围是再例：已知函数(),如果(),那么的值是______.则实数a 的取值范围是.例2：f(x)为偶函数，)2()()4(f x f x f +=+，若2)1(=f ，则)2018()2017(f f +=又例：f(x)满足)()()()(3,31)3(y x f y x f y f x f f -++==，则=)1812(f再例：设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．再例：设()f x 是定义在R 上的偶函数,对任意x R ∈,都有()(4)f x f x =+,且当[2,0]x ∈-时,1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有三个不同的实数根,则a 的取值范围为______________.例3．任给实数a ，b 定义,0,0ab ab a b aab b ≥⎧⎪⊕=⎨<⎪⎩，设函数()ln f x x x =⊕，若{}n a 是公比大于0的等比数列，且41a =， ()()()12612f a f a f a a +++= ，则1a =．又例．对于实数a 和b ，定义运算“*”：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=*ba ab b b a ab a b a ,,22， 设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程为m x f =)(（m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根123x x x 、、，则123x x x ++的取值范围是_____________．再例：函数()f x 的定义域为D ,若满足①()f x 在D 内是单调函数,②存在[],a b D ⊆,使()f x 在[],a b 上的值域为[],b a --,那么()y f x =叫做对称函数,现有()f x k=-是对称函数, 那么k 的取值范围是_____________.例4：若满足2x+=5, 满足2x+2(x －1)=5, +＝又例：若R a y x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈,4,4,ππ，且满足方程：0cos sin 402sin 33=++=-+a y y y a x x 和，则=+)2cos(y x 。

第二讲 函数（二）一、函数的图象1，图象的变换 （1）平移变换①函数(),y f x a =+的图象是把函数()y f x =的图象沿x 轴向右（0a >）或向右（0a <）平移||a 个单位得到的；②函数)0(,)(<+=a a x f y 的图象是把函数轴的图象沿y x f y )(=向上（0a >）或向下（0a <）平个单位得到的移a 。

（2）对称变换①函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线x=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线y=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y --=的图象关于坐标原点对称； ②函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。

③如果函数)(x f y =对于一切,R x ∈都有=+)(a x f )(a x f -，那么)(x f y = 的图象关于直线a x =对称。

④设函数y=f(x)的定义域为R ，满足条件f(a+x)=f(b －x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=2ba +对称。

（3）伸缩变换①)0(),(>=a x af y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的纵坐标伸长)1(>a 或缩短)10(<<a 到原来的a 倍。

②)0(),(>=a ax f y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的横坐标伸长)10(<<a 或缩短)1(>a 到原来的a1倍。

例1.将下列变换的结果填在横线上： （1）将函数xy -=3的图象向右平移2个单位，得到函数 的图象；（2）将函数)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位，得到函数 的图象；（3）将函数3)2(-=x y 的图象各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数 的图象. 解析：（1）关键是答案为23--=x y ，还是)2(3--=x y ，可以取一个点检验，将函数xy -=3的图象向右平移2个单位后点（－1，3）变为（1，3），故答案为)2(3--=x y ，即xy -=23（2）关键是答案为)213(log 2+-=x y ，还是]1)2(3[log 2-+=x y ，注意到)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位后（1，1）变为点（－1，1），所以后者正确，故答案为)53(log 2+=x y ；（3）函数3)2(-=x y 的图象经过变换后，点（3，0）变为（9，1），故答案为3)131(-=x y .评析：总结上述解答，应该明白一个函数)(x f 的图象的各种变换都是针对基本变量x （或y ）进行的，所以变换后发生的变化都应该紧随着变量x （或y ）的后面，应认真总结这些经验.注意，函数图象变换的规律也可以应用到曲线方程表示的图形的变换. 例2.已知函数,1-=x xy 给出下列三个命题中正确命题的序号是 ①函数的图象关于点（1，1）对称； ②函数的图象关于直线x y -=2对称； ③将函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数xy 1=重合. .答案：①、②、③.（提示：111y x =+-） 例3．将奇函数)(x f y =的图象沿着x 轴的正方向平移2个单位得到图象C ，图象D 与C 关于原点对称，则D对应的函数是（ ）A ．)2(--=x f yB ．)2(-=x f yC ．)2(+-=x f yD ．)2(+=x f y答案D ．（提示：)2()2()(---=⇒-=⇒=x f y x f y x f y ，即).2(+=x f y例4．已知f(x+199)=4x 2＋4x+3(x ∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．分析：由f(x ＋199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x ＋100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得的最大值和最小值是相同的，由2214434()22y x x x =++=++，立即求得f(x)的最小值即f(x ＋199)的最小值是2． 2.利用图象解决函数问题熟练掌握函数图象的有关知识是学习函数以及解决函数问题的重要基本技能，在学习时要抓住下面两个要点：（1）学习函数图象的最基本的能力是熟练掌握所学过的基本初等函数（如正、反比例函数，二次函数，指数、对数函数，三角函数）的图象；（2）“数形结合”是一种很重要的数学方法，在解决许多函数、方程、不等式及其它与函数有关的问题时，常常运用“数形结合”的方法解答问题或帮助分析问题，运用“数形结合”解答问题需要有下述能力与经验：1）必须有能力准确把握问题呈现的全部图象特征；2）必须能够列出等价的数学式子表达问题的图象特征。

第二讲 函数的图象与性质[考情分析]1．函数的性质是本部分考查的热点，其中函数的奇偶性、单调性和值域(最值)问题依然是命题重点，多以选择、填空题形式出现；2.函数图象的识别是考查的热点，多与性质隐含结合命题，注意方法的选择与识别的技巧.1．(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[－1,1] C ．[0,4]D ．[1,3]解析：∵函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1，由－1≤f (x －2)≤1，得－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3，故选D. 答案：D2．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( ) A ．0 B ．m C ．2mD ．4m解析：因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x 2＝0，f (－x )＋f (x )2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑mi ＝1x i ＝0，∑mi ＝1y i＝2×m2＝m ，所以∑mi ＝1(x i ＋y i )＝m .答案：B3．(2015·高考全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2 x ，图象不会是直线段，从而排除A 、C. 当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝1＋5，f ⎝⎛⎭⎫π2＝ 2 2.∵22<1＋5，∴f ⎝⎛⎭⎫π2<f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4，从而排除D ，故选B. 答案：B4．(2015·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C. 答案：C5．(2015·高考全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立， ∴－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立， ∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1. 答案：16．(2014·高考全国卷Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．解析：由题可知，当－2<x <2时，f (x )>0，f (x －1)的图象是由f (x )的图象向右平移1个单位长度得到的，若f (x －1)>0，则－1<x <3. 答案：(－1,3)函数及其表示[方法结论]求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少．[题组突破]1．(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >03x ＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14的值是( ) A.109 B.19 C ．－19D ．－109解析：由题意可得：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >03x ＋1，x ≤0，∴f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109.故选A. 答案：A2．函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln (x －1)的定义域为( )A ．[1,10]B ．[1,2)∩(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10]解析：要使原函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋9x ＋10≥0x －1>0x －1≠1，解得1<x ≤10且x ≠2，所以函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln (x －1)的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选D.答案：D3．(2017·石家庄模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <1x 3＋x ，x ≥1，则f (f (x ))<2的解集为( )A ．(1－ln 2，＋∞)B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)解析：因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1，解得x <1－ln 2，所以f (f (x ))<2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B. 答案：B [误区警示]分段函数易被误认为是多个函数，其实质是一个函数，其定义域为各段的并集，其最值是各段函数最值中的最大者与最小者，求值时要注意判断自变量的取值，否则要分类讨论．函数图象及应用[典例] (1)函数y ＝e cos x (－π≤x ≤π)的大致图象为( )解析：当x ＝0时，则y ＝e cos 0＝e ；当x ＝π时，则y ＝e cos π＝1e .可排除A ，B ，D ，选C.答案：C(2)函数f (x )＝ln(x －1x)的图象是( )解析：因为f (x )＝ln(x －1x )，所以x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x >0，解得－1<x <0或x >1，所以函数的定义域为(－1,0)∪(1，＋∞)，可排除A ，D.因为函数u ＝x －1x 在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增，函数y ＝ln u 在(0，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数f (x )在(－1，0)和(1，＋∞)上单调递增，选B. 答案：B(3)已知三次函数f (x )＝2ax 3＋6ax 2＋bx 的导函数为f ′(x )，则函数f (x )与f ′(x )的图象可能是( )。

精品题库试题理数1. (20xx福建,7,5分)已知函数f(x)=则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为1.D1.作出f(x)的图象如图所示,可排除A,B,C,故D正确.2. (20xx湖北,10,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若∀x∈R, f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为()A. B. C. D.2.B2.当x≥0时, f(x)=画出图象,再根据f(x)是奇函数补全图象.∵满足∀x∈R, f(x-1)≤f(x),∴6a2≤1,即-≤a≤,故选B.3. (20xx湖南,3,5分)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=()A.-3B.-1C.1D.33.C3.解法一:∵f(x)-g(x)=x3+x2+1,∴f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1,又由题意可知f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),∴f(x)+g(x)=-x3+x2+1,则f(1)+g(1)=1,故选C.解法二:令f(x)=x2+1,g(x)=-x3,显然符合题意,∴f(1)+g(1)=12+1-13=1.选C.4. (20xx陕西,7,5分)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是()A.f(x)=B.f(x)=x3C.f(x)=D.f(x)=3x4.D4.∵f(x+y)=f(x)f(y),∴f(x)为指数函数模型,排除A,B;又∵f(x)为单调递增函数,∴排除C,故选D.5.(20xx安徽,6,5分)设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时, f(x)=0,则f=()A. B. C.0 D.-5.A5.∵f(x+2π)=f(x+π)+sin(x+π)=f(x)+sin x-sin x=f(x),∴f(x)的周期T=2π,又∵当0≤x<π时, f(x)=0,∴f=0,即f=f+sin=0,∴f=,∴f=f=f=.故选A.6.(20xx浙江,10,5分)设函数f1(x)=x2, f2(x)=2(x-x2), f3(x)=|sin 2πx|,a i=,i=0,1,2,…,99.记I k=|f k(a1)-f k(a0)|+|f k(a2)-f k(a1)|+…+|f k(a99)-f k(a98)|,k=1,2,3.则()A.I1<I2<I3B.I2<I1<I3C.I1<I3<I2D.I3<I2<I16.B6.a i∈,且a0<a1<…<a99,而f1(x)在上为增函数,故有f1(a0)<f1(a1)<…<f1(a99),则I1=++…+=f1(a99)-f1(a0)=f1(1)-f1(0)=1.f2(x)在上为增函数,在上为减函数,而a49<<a50,且a49+a50=1,即有f2(a49)=f2(a50),故I2=+…+++…+=f2(a50)-f2(a0)+f2(a50)-f2(a99)=2f2-f2(0)-f2(1)=4××==1-∈(0,1).f3(x)在上为增函数,在上为减函数,在上为增函数,在上为减函数,即f3(x)在上为增函数,在上为减函数,在上为增函数,在上为减函数.又f 3(a 24)=·=sin π, f 3(a 25)==sin π,则f 3(a 25)>f 3(a 24).f 3(a 49)==sin , f 3(a 50)==sin ,即有f 3(a 49)=f 3(a 50).f 3(a 74)==sin π, f 3(a 75)==sin π=sin <f 3(a 74).故有f 3(a 0)<f 3(a 1)<…<f 3(a 24)<f 3(a 25), f 3(a 25)>f 3(a 26)>…>f 3(a 49)=f 3(a 50), f 3(a 50)<f 3(a 51)<…<f 3(a 74), f 3(a 74)>f 3(a 75)>…>f 3(a 99).从而I 3={+…+}+{+…+}+{+…+}+{+…+}=+++=2f 3(a 25)-2f 3(a 50)+2f 3(a 74)-f 3(a 0)-f 3(a 99)=-+=sin π-sin +sinπ=.而sin π>sin =,sin <sin =,则I 3>=>1.所以I 2<I 1<I 3.7.(20xx 天津,4,5分)函数f(x)=lo (x 2-4)的单调递增区间为( )A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2) 7.D7.由x 2-4>0得x<-2或x>2.又y=lo u 为减函数,故f(x)的单调递增区间为(-∞,-2).8.(20xx北京,2,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是()A.y=B.y=(x-1)2C.y=2-xD.y=log0.5(x+1)8.A8.y=(x-1)2仅在9.C9.由题意可知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A, f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误;对于选项C, f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C.10. (20xx天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，10) 已知函数满足：①；②在上为增函数, 若, 且, 则与的大小关系是( )A. B.C. D. 无法确定10. C10. 因为函数为偶函数，可得函数的图像关于y轴对称；又因为函数的图像可由函数的图像向左平移一个单位，可得函数的图像关于轴对称，所以可得. 因为函数在为增函数，可得函数在上为减函数，当时根据单调性可得；当时，因为且，根据单调性可得，综上可得.11. (20xx天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，10) 设R上的函数满足，它的导函数的图像如图，若正数、满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．11. C11. 由导函数图像可得函数在区间上为减函数, 在区间上为增函数,又因为, 所以不等式等价于, 所以实数a和b满足, 其可行域为由点(0,0) 、（2,0）、（0,4）构成的三角形内部，而表示的几何意义是：点（ａ，ｂ）与点（－２, －２）之间连线的斜率，由此可知. 12. (20xx天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，3) 函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是（）（命题人：王秀芝）A B C D12. D12. 函数为奇函数，所以不等式等价于，又因为函数在定义域内为增函数，所以不等式等价于，等价于，得，解得.13. (20xx山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，8) 下图可能是下列哪个函数的图象（）13. C13. 因为当时, 函数y=2x和函数y=－x2－1都为增函数, 可知函数y=2x－x2－1在上为增函数, 故可排除选项A; 因为函数y =为偶函数, 故可排除选项B; 因为, 只有一个实数根, 所以函数应只有一个极值点, 故可排除选项D, 故选C.14. (20xx山西太原高三模拟考试（一），3) 若函数同时具有以下两个性质：①是偶函数，②对任意实数x，都有，则的解析式可以是( )A. =B. =C. =D.=14. C14. 选项B中，为奇函数，故可排除；由可知, 函数的图像关于对称, 可排除选项A、D；选项C中，，为偶函数，且是其一条对称轴，故选C.15.(20xx安徽合肥高三第二次质量检测，7) 已知函数满足：对定义域内的任意，都有，则函数可以是（）A.B.C.D.15. C15. 由满足：对定义域内的任意，都有，所以，即，结合函数图象观察可得满足条件.16. (20xx重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，10) 设函数, 对任意恒成立, 则实数的取值范围是（）A．B．C．D．16. C16. 因为函数，对任意恒成立,即恒成立，，若，则在上是增函数，不恒小于0，故，此时函数为减函数，只需当时恒成立，即且，解得.17. (20xx贵州贵阳高三适应性监测考试, 9) 已知，为的导函数，则的图象是（）17.A17.为奇函数，排除B, D。

第1讲函数、基本初等函数的图象与性质考情解读(1)高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．(2)函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一识图，二用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．1．函数的三要素定义域、值域及对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.3．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． (2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况.热点一 函数的性质及应用例1 (1)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．(2)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝________. 思维启迪 (1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(2)利用f (x )的性质和x ∈[0，12]时的解析式探求f (3)和f (－32)的值．答案 (1)(－1,3) (2)－14解析 (1)∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减， 则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3. (2)根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t ) ＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到 f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14.所以f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝0＋⎝⎛⎭⎫－14＝－14. 思维升华 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．(1)(2013·重庆改编)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝________.(2)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________________________________________________________________________． 答案 (1)3 (2)⎝⎛⎭⎫－2，23 解析 (1)lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝－lg(lg 2)，由f (lg(log 210))＝5，得a [lg(lg 2)]3＋b sin(lg(lg 2))＝4－5＝－1，则f (lg(lg 2))＝a (lg(lg 2))3＋b sin(lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3. (2)易知f (x )为增函数．又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知， f (mx －2)<f (－x )．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0， 令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2,2]知g (m )<0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝－x －2<0，g (2)＝3x －2<0，∴－2<x <23.热点二 函数的图象例2 (1)下列四个图象可能是函数y ＝10ln|x ＋1|x ＋1图象的是________．(2)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．思维启迪 (1)可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象．(2)考虑函数f (x )的单调性． 答案 (1)③ (2)b >a >c解析 (1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，其图象可由y ＝10ln|x |x 的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，y ＝10ln|x |x 为奇函数，图象关于原点对称，所以，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1的图象关于点(－1,0)成中心对称．所以①④不可能是；又x >0时，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1>0，所以②不可能是，图象③可能是．(2)由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f (－12)＝f (52)，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .思维升华 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．(1)(2013·课标全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a的取值范围是________．(2)形如y ＝b|x |－a (a >0，b >0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数”．若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg |x |图象的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 (1)[－2,0] (2)4解析 (1)函数y ＝|f (x )|的图象如图．①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立．②当a >0时，只需在x >0时，ln(x ＋1)≥ax 成立． 比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立． 即a ≥x －2成立，所以a ≥－2.综上所述：－2≤a ≤0. (2)由题意知，当a ＝1，b ＝1时， y ＝1|x |－1＝⎩⎨⎧1x －1(x ≥0且x ≠1)，－1x ＋1(x <0且x ≠－1)，在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．热点三 基本初等函数的图象及性质例3 (1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是________．(2)已知α，β∈[－π2，π2]且αsin α－βsin β>0，则下面结论正确的是________．①α>β；②α＋β>0；③α<β；④α2>β2.思维启迪 (1)可利用函数图象或分类讨论确定a 的范围；(2)构造函数f (x )＝x sin x ，利用f (x )的单调性．答案 (1)(－1,0)∪(1，＋∞) (2)④解析 (1)方法一 由题意作出y ＝f (x )的图象如图．显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )． 方法二 对a 分类讨论：当a >0时，log 2a >log 12a ，即log 2a >0，∴a >1.当a <0时，log 12(－a )>log 2(－a )，即log 2(－a )<0，∴－1<a <0.(2)设f (x )＝x sin x ，x ∈[－π2，π2]，∴y ′＝x cos x ＋sin x ＝cos x (x ＋tan x )， 当x ∈[－π2，0]时，y ′<0，∴f (x )为减函数，当x ∈[0，π2]时，y ′>0，∴f (x )为增函数，且函数f (x )为偶函数，又αsin α－βsin β>0， ∴αsin α>βsin β，∴|α|>|β|，∴α2>β2.思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．(1)设15<(15)b <(15)a <1，那么a a ，b a ，a b 的大小关系式是________．(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．答案 (1)a b <a a <b a (2)0解析 (1)因为指数函数y ＝(15)x 在(－∞，＋∞)上是递减函数，所以由15<(15)b <(15)a <1，得0<a <b <1，所以0<ab<1.所以y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝(a b )x 在(－∞，＋∞)上都是递减函数，从而a b <a a ，(ab )a <1得b a >a a ，故a b <a a <b a .(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.1．判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．(3)对于解析式较复杂的一般用导数法． (4)对于抽象函数一般用定义法． 2．函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )． 3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a . (2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称．4．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中． 5．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较． 6．解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用．真题感悟1．(2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 答案516解析 ∵f (x )是以4为周期的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫294＝f ⎝⎛⎭⎫8－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34， f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫8－76＝f ⎝⎛⎭⎫－76.∵当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫34＝34×⎝⎛⎭⎫1－34＝316.∵当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ，∴f ⎝⎛⎭⎫76＝sin 7π6＝－12. 又∵f (x )是奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34＝－316， f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫76＝12. ∴f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎫416＝12－316＝516.2．(2014·福建改编)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是________．答案 ②解析 由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.图象①中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；图象②中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；图象③中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；图象④中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故图象②正确． 押题精练1．已知函数f (x )＝e |ln x |－⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为________．答案 ①解析 据已知关系式可得f (x )＝⎩⎨⎧e－ln x＋⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x (0<x ≤1)，eln x－⎝⎛⎫x －1x ＝1x(x >1)，作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象．2．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是________．答案 (4，＋∞)解析 ∵f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12m ＝－log 12n ，∴mn ＝1，∴0<m <1，n >1，∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减，当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.3．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )的最小值为________． 答案 －1解析 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f (x )|，|f (x )|≥g (x )，－g (x )，|f (x )|<g (x )，故h (x )的最小值为－1.4．已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 则所有正确命题的序号为________． 答案 ①②④解析 令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0，①正确； 根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，可得函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，②正确； 根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确； 由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8，④正确．故正确命题的序号为①②④.(推荐时间：40分钟)1．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 答案 －9解析 令g (x )＝f (x )－1＝x 3cos x ，∵g (－x )＝(－x )3cos(－x )＝－x 3cos x ＝－g (x )， ∴g (x )为定义在R 上的奇函数．又∵f (a )＝11， ∴g (a )＝f (a )－1＝10，g (－a )＝－g (a )＝－10. 又g (－a )＝f (－a )－1，∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－9.2．(2014·浙江改编)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是________．答案 ④解析 幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，图象①不正确；②由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故②错；图象③中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故③错．图象④是正确的．3．(2014·朝阳模拟)已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值为________． 答案 －lg 2解析 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝lg(－x )． 又函数f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )， 所以当x <0时，f (x )＝－lg(－x )． 所以f ⎝⎛⎭⎫1100＝lg 1100＝－2，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100＝f (－2)＝－lg 2. 4．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________． 答案 －1解析 因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.5．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则f (x －2)>0的解集为________．答案 {x |x <0或x >4}解析 由于函数f (x )是偶函数，因此有f (|x |)＝f (x )，不等式f (x －2)>0，即f (|x －2|)>0，f (|x －2|)＝2|x －2|－4>0， |x －2|>2，即x －2<－2或x －2>2，由此解得x <0或x >4.∴f (x －2)>0的解集为{x |x <0或x >4}．6．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)．7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，cos πx ，x <0的图象上关于y 轴对称的点共有________对． 答案 3解析 因为y ＝cos πx 是偶函数，图象关于y 轴对称．所以，本题可转化成求函数y ＝log 3x 与y ＝cos πx 图象的交点个数的问题．作函数图象如图，可知它们有三个交点，即函数f (x )图象上关于y 轴对称的点有3对．8．(2013·天津)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，2解析 由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a . ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )． ∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)， ∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在[0，＋∞)上递增．∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1，∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13e x (x ≥2)，f (x ＋1)(x <2)，则f (ln 3)＝________. 答案 e解析 f (ln 3)＝f (ln 3＋1)＝13eln 3＋1＝e ，故填e. 10．已知函数f (x )＝x |x －a |，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 {a |a ≤2}解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －a )，x ≥a ，－x (x －a )，x <a ，由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0知，函数y ＝f (x )在[2，＋∞)单调递增，当a ≤0时，满足题意，当a >0时，只需a ≤2，即0<a ≤2，综上所述，实数a 的取值范围为a ≤2.11．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 －10解析 因为f (x )的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12，即f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝b 2＋212＋1＝b ＋43， 所以－12a ＋1＝b ＋43. 整理，得a ＝－23(b ＋1)．① 又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .② 将②代入①，得a ＝2，b ＝－4.所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)；③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则判断f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系为________．答案 f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)解析 由已知得f (x )是以4为周期且关于直线x ＝2对称的函数．所以f (4.5)＝f (4＋12)＝f (12)， f (7)＝f (4＋3)＝f (3)，f (6.5)＝f (4＋52)＝f (52)． 又f (x )在[0,2]上为增函数．所以作出其在[0,4]上的图象知f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)．13．设函数f (x )＝1＋(－1)x 2(x ∈Z )，给出以下三个结论： ①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③解析 对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋(－1)x ＋12＋1＋(－1)x 2 ＝1＋(－1)x ＋1＋(－1)x 2＝1，③正确． 14．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________．①f (x )＝e x ＋e －x ；②f (x )＝ln 5－x 5＋x； ③f (x )＝tan x 2；④f (x )＝4x 3＋x . 答案 ②③④解析 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数．①中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图象不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x 不是“和谐函数”；②中f (0)＝ln 5－05＋0＝ln 1＝0，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x 5＋x＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln 5－x 5＋x为“和谐函数”；③中，f (0)＝tan 0＝0，且f (－x )＝tan －x 2＝－tan x 2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x 2为“和谐函数”；④中，f (0)＝0，且f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”，所以，②③④中的函数都是“和谐函数”．。

第2讲 函数图象与性质函数及其表示 [核心提炼]1．函数的三要素定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．2．分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[典型例题](1)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2B ．4C ．6D ．8(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1，1)，函数g (x )是二次函数，若函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】 (1)当0<a <1时，a ＋1>1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， 因为f (a )＝f (a ＋1)，所以a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．所以f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a >1时，a ＋1>2，所以f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， 所以2(a －1)＝2a ，无解．当a ＝1时，a ＋1＝2，f (1)＝0，f (2)＝2，不符合题意． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.故选C.(2)因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1，1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1.画出函数y ＝f (x )的图象(如图所示)，由于函数g (x )是二次函数，值域不会是选项A ，B ，易知，当g (x )的值域是[0，＋∞)时，f (g (x ))的值域是[0，＋∞)．故选C.【答案】 (1)C (2)C(1)在求分段函数的函数值时，一定要注意自变量的值属于哪个区间，再代入相应的解析式求解．当自变量的值不确定时，要分类讨论．(2)对于分段函数，已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．[对点训练]1．函数f (x )＝ln （x ＋1）x －2的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．[－1，2)∪(2，＋∞)D ．(－1，2)∪(2，＋∞)解析：选D.要使f (x )＝ln （x ＋1）x －2有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(－1，2)∪(2，＋∞)．故选D. 2．(·宁波市九校期末联考)已知下列各式： ①f (|x |＋1)＝x 2＋1； ②f (1x 2＋1)＝x ；③f (x 2－2x )＝|x |； ④f (|x |)＝3x ＋3－x .其中存在函数f (x )对任意的x ∈R 都成立的是( ) A ．①④ B ．③④ C ．①②D ．①③解析：选A.①f (|x |＋1)＝x 2＋1，由t ＝|x |＋1(t ≥1)，可得|x |＝t －1，则f (t )＝(t －1)2＋1，即有f (x )＝(x －1)2＋1对x ∈R 均成立；②f (1x 2＋1)＝x ，令t ＝1x 2＋1(0＜t ≤1)，x ＝±1t－1， 对0＜t ≤1，y ＝f (t )不能构成函数，故不成立；③f (x 2－2x )＝|x |，令t ＝x 2－2x ，若t ＜－1时，x ∈∅；t ≥－1，可得x ＝1±1＋t (t ≥－1)，y ＝f (t )不能构成函数；④f (|x |)＝3x ＋3－x ，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋3－x ；当x ＜0时，f (－x )＝3x ＋3－x ；将x 换为－x 可得f (x )＝3x ＋3－x ；故恒成立．综上可得①④符合条件．函数的图象及应用[核心提炼]图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )，y ＝－f (x )，y ＝－f (－x )，y ＝f (|x |)，y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．考向1 函数图象的变换与识别[典型例题](1)函数y ＝sin x 2的图象是( )(2)(·宁波九校模拟)已知函数f (x )＝1x －ln x －1，则y ＝f (x )的图象大致为( )【解析】 (1)由于函数y ＝sin x 2是一个偶函数，选项A 、C 的图象都关于原点对称，所以不正确；选项B 与选项D 的图象都关于y 轴对称，在选项B 中，当x ＝±π2时，函数y ＝sin x 2<1，显然不正确，当x ＝±π2时，y ＝sin x 2＝1，而π2<π2，故选D. (2)由于f (e)＝1e －2＞0，排除D.由于f (1e )＝e ＞0，排除B.由于f (e 2)＝1e 2－3＜f (e)，故函数在(1，＋∞)为减函数，排除C ，所以选A.【答案】 (1)D (2)A 考向2 函数图象的应用[典型例题]已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值【解析】 由题意得，利用平移变换的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f （x ）|，|f （x ）|≥g （x ），－g （x ），|f （x ）|<g （x ）， 故h (x )有最小值－1，无最大值． 【答案】 C(2)函数图象的应用 ①判断函数的性质．②判定方程根的个数及不等式的解．[对点训练]1．(·绍兴一中模拟)函数y ＝x 33x 4－1的图象大致是( )解析：选A.因为y ＝x 33x 4－1，所以函数y ＝x 33x 4－1是奇函数，图象关于原点对称，故排除C ；当x ＜－1时，恒有y ＜0，故排除D ；－1＜x ＜0时，y ＞0，故可排除B ；故选A.2．(·鄞州高级中学月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e |x －1|，x >0－x 2－2x ＋1，x ≤0，若关于f (x )的方程[f (x )]2－3f (x )＋a ＝0(a ∈R )有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，14 B.⎝⎛⎭⎫13，3 C ．(1，2)D.⎝⎛⎭⎫2，94 解析：选D.作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e |x －1|，x >0－x 2－2x ＋1，x ≤0的图象，如图所示：关于f (x )的方程[f (x )]2－3f (x )＋a ＝0有8个不等的实数根，故Δ＝9－4a >0，a <94，由函数f (x )图象可知f (x )∈(1，2)，令t ＝f (x )，则方程[f (x )]2－3f (x )＋a ＝0可化为a ＝－t 2＋3t ，t ∈(1，2)．a ＝－t 2＋3t 表示开口向下，对称轴为直线t ＝32的抛物线，可知a 的最大值为－⎝⎛⎭⎫322＋3×32＝94， a 的最小值为2，故a ∈⎝⎛⎦⎤2，94.综上可知a ∈⎝⎛⎭⎫2，94.故选D.函数的性质及应用[核心提炼]1．函数的单调性单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．判断函数单调性常用定义法、图象法及导数法．2．函数的奇偶性函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义区间上具有相同的单调性．判断函数奇偶性的常用方法有定义法、图象法及性质法．[典型例题](1)(·浙江吴越联盟)已知函数f (x )是R 上的奇函数，当x ＞0时为减函数，且f (2)＝0，则集合{x |f (x －2)＞0}＝( )A ．{x |0＜x ＜2或x ＞4}B ．{x |x ＜0或x ＞4}C ．{x |0＜x ＜2或x ＞2}D ．{x |x ＜0或2＜x ＜4}(2)设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．【解析】 (1)因为奇函数满足f (2)＝0， 所以f (－2)＝－f (2)＝0.对于{x |f (x －2)＞0}，当x －2＞0时，f (x －2)＞0＝f (2)， 因为当x ∈(0，＋∞)时，f (x )为减函数，所以0＜x －2＜2， 所以2＜x ＜4；当x －2＜0时，不等式可化为f (x －2)>0＝f (－2)， 因为当x ∈(0，＋∞)时，f (x )为减函数， 所以函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，所以x －2＜－2，所以x ＜0.综上可得，不等式的解集为{x |x ＜0或2＜x ＜4}，故选D.(2)f (x )＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，令g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (x )为奇函数，对于一个奇函数，其最大值与最小值之和为0，即g (x )max ＋g (x )min ＝0，而f (x )max ＝1＋g (x )max ，f (x )min ＝1＋g (x )min ，所以f (x )max ＋f (x )min ＝M ＋m ＝2.【答案】 (1)D (2)2(1)四招破解函数的单调性①对于选择、填空题，若能画出图象，一般用数形结合法；②对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数的单调性问题来解决；③对于解析式为分式、指数函数式、对数式等较复杂的函数常用导数法； ④对于抽象函数一般用定义法． (2)判断函数奇偶性的三个技巧①奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． ②确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称． ③对于偶函数而言，有f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．[对点训练]1．(·宁波诺丁汉大学附中高三调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递减，若实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．(0，3]B ．(0，13]C ．[13，3]D ．[1，3]解析：选C.由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，即有f (x )＝f (|x |)， 由实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则有f (log 3a )＋f (－log 3a )≥2f (1)， 即2f (log 3a )≥2f (1)即f (log 3a )≥f (1)，即有f (|log 3a |)≥f (1)，由于f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减， 则|log 3a |≤1，即有－1≤log 3a ≤1， 解得13≤a ≤3.2．(·绍兴、诸暨高考二模)已知f (x )是定义在R 上的单调递增函数，则下列四个命题：①若f (x 0)＞x 0，则f [f (x 0)]＞x 0；②若f [f (x 0)]＞x 0，则f (x 0)＞x 0；③若f (x )是奇函数，则f [f (x )]也是奇函数；④若f (x )是奇函数，则f (x 1)＋f (x 2)＝0⇔x 1＋x 2＝0，其中正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析：选A.对于①，因为f (x )是定义在R 上的单调递增函数，若f (x 0)＞x 0，则f [f (x 0)]＞f (x 0)＞x 0，故①正确；对于②，当f [f (x 0)]＞x 0时，若f (x 0)≤x 0，由f (x )是定义在R 上的单调递增函数得f [f (x 0)]≤f (x 0)≤x 0与已知矛盾，故②正确；对于③，若f (x )是奇函数，则f [f (－x )]＝f [－f (x )]＝－f [f (x )]，所以f [f (x )]也是奇函数，故③正确；对于④，当f (x )是奇函数，且是定义在R 上的单调递增函数时，若f (x 1)＋f (x 2)＝0，则f (x 1)＝－f (x 2)⇒x 1＝－x 2⇒x 1＋x 2＝0；若x 1＋x 2＝0⇒x 1＝－x 2⇒f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)⇒f (x 1)＋f (x 2)＝0，故④正确；故选A.专题强化训练1．(·金华十校调研)已知奇函数f (x )当x ＞0时，f (x )＝x (1－x )，则当x ＜0时，f (x )的表达式是( )A ．f (x )＝－x (1＋x )B ．f (x )＝－x (1－x )C ．f (x )＝x (1＋x )D ．f (x )＝x (x －1)解析：选C.设x ＜0，则－x ＞0，又当x ＞0时，f (x )＝x (1－x )，故f (－x )＝－x (1＋x )，又函数为奇函数，故f (－x )＝－f (x )＝－x (x ＋1)，即f (x )＝x (x ＋1)，故选C.2．已知f (x )＝x ＋1x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝( )A ．－4B ．－2C ．－1D ．－3解析：选A.因为f (x )＝x ＋1x －1，所以f (a )＝a ＋1a －1＝2，所以a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a－1a－1＝－⎝⎛⎭⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4，故选A. 3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |解析：选B.A 中函数y ＝1x 不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.4．已知函数f (x )＝2×4x －a2x的图象关于原点对称，g (x )＝ln(e x ＋1)－bx 是偶函数，则log a b ＝( )A ．1B ．－1C ．－12D.14解析：选B.由题意得f (0)＝0，所以a ＝2.因为g (1)＝g (－1)，所以ln(e ＋1)－b ＝ln ⎝⎛⎭⎫1e ＋1＋b ， 所以b ＝12，所以log a b ＝log 212＝－1.5．(·台州市高考模拟)函数f (x )＝x 2＋a|x |(a ∈R )的图象不可能是( )解析：选A.直接利用排除法：①当a ＝0时，选项B 成立； ②当a ＝1时，f (x )＝x 2＋1|x |，函数的图象类似D ；③当a ＝－1时，f (x )＝x 2－1|x |，函数的图象类似C.故选A.6．(·湖北八校联考(一))设函数f (x )＝2xx －2在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m 2M＝( ) A.23 B.38 C.32D.83解析：选D.易知f (x )＝2x x －2＝2＋4x －2，所以f (x )在区间[3，4]上单调递减，所以M ＝f (3)＝2＋43－2＝6，m ＝f (4)＝2＋44－2＝4，所以m 2M ＝166＝83.7．(·高考全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln(1－x )B ．y ＝ln(2－x )C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：选B.法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x )．故选B.法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B.8．(·浙江台州市书生中学高三月考)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f (2)＝0，则不等式3f （－x ）－2f （x ）5x≤0的解集为( )A ．(－∞，－2]∪(0，2]B ．[－2，0)∪[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，0)∪(0，2]解析：选D.因为函数f (x )是奇函数，所以3f （－x ）－2f （x ）5x ≤0⇔f （x ）x ≥0.又因f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f (2)＝0，所以得，函数f (x )在(－∞，0)上单调递减且f (－2)＝0.因此，x ∈(－∞，－2)∪(0，2)时，f (x )>0；x ∈(－2，0)∪(2，＋∞)时f (x )<0，故选D.9．(·温州市十校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若任取∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－16，16B.⎣⎡⎦⎤－66，66 C.⎣⎡⎦⎤－13，13 D.⎣⎡⎦⎤－33，33解析：选B.因为当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)，所以当0≤x ≤a 2时，f (x )＝12(a 2－x ＋2a 2－x －3a 2)＝－x ；当a 2＜x ＜2a 2时，f (x )＝12(x －a 2＋2a 2－x －3a 2)＝－a 2；当x ≥2a 2时，f (x )＝12(x －a 2＋x －2a 2－3a 2)＝x －3a 2.综上，函数f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)在x ≥0时的解析式等价于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2＜x ＜2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66. 10．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋2)＝3f (x )，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x 2－2x ，若x ∈[－4，－2]时，f (x )≥118⎝⎛⎭⎫3t －t 恒成立，则实数t 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]∪(0，3] B ．(－∞，－3]∪(0，3] C ．[－1，0)∪[3，＋∞)D ．[－3，0)∪[3，＋∞)解析：选C.因为x ∈[－4，－2]，所以x ＋4∈[0，2]，因为x ∈[0，2]时，f (x )＝x 2－2x ，所以f (x ＋4)＝(x ＋4)2－2(x ＋4)＝x 2＋6x ＋8. 函数f (x )满足f (x ＋2)＝3f (x )，所以f (x ＋4)＝3f (x ＋2)＝9f (x )． 故f (x )＝19(x 2＋6x ＋8)，因为x ∈[－4，－2]时，f (x )≥118⎝⎛⎭⎫3t －t 恒成立，所以－19＝f (x )min ≥118⎝⎛⎭⎫3t －t ，解得t ≥3或－1≤t ＜0.11．(·宁波镇海中学高三一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（12）x －2，x ≤－1，（x －2）（|x |－1），x ＞－1.则f (f (－2))＝________，若f (x )≥2，则x 的取值范围为____________．解析：由分段函数的表达式得f (－2)＝(12)－2－2＝4－2＝2，f (2)＝0，故f (f (－2))＝0.若x ≤－1，由f (x )≥2得(12)x －2≥2得(12)x ≥4，则2－x ≥4，得－x ≥2，则x ≤－2，此时x ≤－2. 若x ＞－1，由f (x )≥2得(x －2)(|x |－1)≥2， 即x |x |－x －2|x |≥0，若x ≥0得x 2－3x ≥0，则x ≥3或x ≤0，此时x ≥3或x ＝0， 若x ＜0，得－x 2＋x ≥0，得x 2－x ≤0，得0≤x ≤1，此时无解， 综上x ≥3或x ＝0. 答案：0 x ≥3或x ＝012．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．解析：因为 f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， 所以f (f (－3))＝f (1)＝1＋2－3＝0. 当x ≥1时，x ＋2x－3≥2x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时等号成立， 此时f (x )min ＝22－3<0；当x <1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3.答案：0 22－313．(·浙江新高考冲刺卷)已知函数f (x )＝ln(e 2x ＋1)－mx 为偶函数，其中e 为自然对数的底数，则m ＝________，若a 2＋ab ＋4b 2≤m ，则ab 的取值范围是________．解析：由题意，f (－x )＝ln(e －2x ＋1)＋mx ＝ln(e 2x ＋1)－mx ， 所以2mx ＝ln(e 2x ＋1)－ln(e －2x ＋1)＝2x ， 所以m ＝1，因为a 2＋ab ＋4b 2≤m ， 所以4|ab |＋ab ≤1， 所以－13≤ab ≤15，故答案为1，[－13，15]．答案：1 [－13，15]14．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]，则函数f (x )的值域为________．解析：由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈（1，2]，当x ∈[－2，1]时，f (x )∈[－4，－1]；当x ∈(1，2]时，f (x )∈(－1，6]．故当x ∈[－2，2]时，f (x )∈[－4，6]．答案：[－4，6]15．已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4，若h (t )>h (2)，则实数t 的取值范围为________．解析：因为x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4.易知函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 因为函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且h (t )>h (2)， 所以h (|t |)>h (2)， 所以0<|t |<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，|t |<2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，－2<t <2，解得－2<t <0或0<t <2.综上，所求实数t 的取值范围为(－2，0)∪(0，2)． 答案：(－2，0)∪(0，2)16．若对任意的x ≥2，都有(x ＋a )|x ＋a |＋(ax )|x |≤0，则a 的最大值为________． 解析：对任意的x ≥2，都有(x ＋a )|x ＋a |＋(ax )|x |≤0，即x ≥2时，(x ＋a )|x ＋a |＋(ax )x ≤0恒成立.①若x ＋a ≥0，即a ≥－2时，则有(x ＋a )2＋ax 2≤0, 所以(a ＋1)x 2＋2ax ＋a 2≤0.令f (x )＝(a ＋1)x 2＋2ax ＋a 2，则有a ＋1＝0或⎩⎨⎧a ＋1＜0－2a2（a ＋1）＜2f （2）＝4（a ＋1）＋4a ＋a 2≤0，求得a ＝－1或－4－23≤a ＜－1， 综合可得－2≤a ≤－1；②若x ＋a ＜0，即a ＜－2时，则有－(x ＋a )2＋ax 2≤0, 该不等式恒成立，即此时a 的范围为a ＜－2；③若x ＋a ＝0，即a ＝－x ≤－2时，则由题意可得ax 2≤0，满足条件. 综合①②③可得，a ≤－2或－2≤a ≤－1，故a 的最大值为－1. 答案：－117．(·台州模拟)定义min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x <y ）y （x ≥y ），则不等式min{x ＋4x ，4}≥8min{x ，1x }的解集是________．解析：①当x >0时，由基本不等式可知x ＋4x ≥2x ＋4x＝4， min{x ＋4x ，4}＝4，则不等式转化成：min{x ，1x }≤12，即：⎩⎨⎧x ≤121x ≥12或⎩⎨⎧x ≥121x ≤12，解得：x ≤12或x ≥2.②当x <0时，(ⅰ)当－1<x <0时，1x <x ，原不等式化为x ＋4x ≥8x ，即x －4x ≥0，解得－2≤x <0，所以－1<x <0；(ⅱ)当x ≤－1时，1x ≥x ，原不等式化为x ＋4x ≥8x ，即7x －4x≤0，解得：x ≤－47，即x ≤－1，所以x <0对于原不等式全成立．综上不等式的解集为(－∞，0)∪(0，12]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，0)∪(0，12]∪[2，＋∞)18．(·台州市教学质量调研)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，3)，且关于直线x ＝1对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若m ＜3，求函数f (x )在区间[m ，3]上的值域．解：(1)因为函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，3)，且关于直线x ＝1对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝1－b ＋c ＝3－b 2＝1，解得b ＝－2，c ＝0， 所以f (x )＝x 2－2x .(2)当1≤m ＜3时，f (x )min ＝f (m )＝m 2－2m ， f (x )max ＝f (3)＝9－6＝3， 所以f (x )的值域为[m 2－2m ，3]；当－1≤m ＜1时，f (x )min ＝f (1)＝1－2＝－1， f (x )max ＝f (－1)＝1＋2＝3， 所以f (x )的值域为[－1，3]．当m ＜－1时，f (x )min ＝f (1)＝1－2＝－1， f (x )max ＝f (m )＝m 2－2m ，所以f (x )的值域为[－1，m 2－2m ]．19．(·浙江新高考联盟第三次联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax ＋a 2＋1，x ≤0，x 2＋2x －a ，x ＞0.(1)若对于任意的x ∈R ，都有f (x )≥f (0)成立，求实数a 的取值范围； (2)记函数f (x )的最小值为M (a )，解关于实数a 的不等式M (a －2)＜M (a )． 解：(1)当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2＋1，因为f (x )≥f (0)，所以f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以a ≥0，当x ＞0时，f ′(x )＝2x －2x 2，令2x －2x 2＝0得x ＝1，所以当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0， 当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f min (x )＝f (1)＝3－a ， 因为f (x )≥f (0)＝a 2＋1，所以3－a ≥a 2＋1，解得－2≤a ≤1. 又a ≥0，所以a 的取值范围是[0，1]．(2)由(1)可知当a ≥0时，f (x )在(－∞，0]上的最小值为f (0)＝a 2＋1， 当a ＜0时，f (x )在(－∞，0]上的最小值为f (a )＝1， f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f (1)＝3－a ，解不等式组⎩⎨⎧a 2＋1≤3－aa ≥0得0≤a ≤1，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤3－aa ＜0得a ＜0，所以M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1，0≤a ≤11，a ＜03－a ，a ≥1.所以M (a )在(－∞，0)上为常数函数，在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数， 作出M (a )的函数图象如图所示：令3－a＝1得a＝2，因为M(a－2)＜M(a)，所以0＜a＜2.。