7.1.1角的概念的推广

1.1.1 角的概念的推广教学目标：1．初步理解用“旋转”定义角的概念；理解“正角”“负角”“零角”“象限角”“终边相同的角”的含义；掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；2．用运动变化的观点了解角的概念的推广是解决现实生活和生产中实际问题的需要，通过对各种角的表示的训练，提高分析、抽象、概括问题的能力；3．从“由一点出发的两条射线形成的图形”到“射线绕着其端点旋转而形成的角”的这一认识过程，感受“动”与“静”的对立统一，运动是绝对的，静止是相对的，静是动的一个状态，培养我们运动变化的观点分析问题。

教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法及判定．教学难点：把终边相同的角用集合和符号语言表示出来．课时安排：1课时教学手段：多媒体、实物投影仪.本书中，角α在 0~ 360范围内是指3600<≤α 一、任意角的概念1. 角的概念静态：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。

动态：角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

旋转生成的角，又常叫做转角。

注：射线旋转时经过的平面部分为角的内部。

度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量。

2. 角的分类规定：按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；射线没有作任何旋转而成的角叫做零角。

注：角不仅有大小而且还有正负。

3. 角的表示射线OA 绕端点O 旋转到OB 位置所成的角，记作AOB ∠，其中OA 叫做AOB ∠的始边，OB 叫做 AOB ∠的终边。

以OB 为始边，OA 为终边的角记作BOA ∠。

画法：在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量。

角的三要素：顶点、始边、终边4. 角的加减法问题：任意两个角的数量大小可以相加、相减，如 50°＋80°=130°， 50°－80°=－30°，你能解释一下这两个式子的几何意义吗？答：以50°角的终边为始边，逆时针（或顺时针）旋转80°所成的角.角的减法运算可以转化为角的加法运算，即βα-可化为)(βα-+各角和的旋转量等于各角旋转量的和。

7.1.1 角的推广教学目标1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.教学知识梳理知识点一角的相关概念(1)角的概念角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)角的分类按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按照逆时针方向旋转而成的角负角按照顺时针方向旋转而成的角零角当射线没有旋转，称它形成了一个零角(3)角的运算：各角和的旋转量等于各角旋转量的和.知识点二终边相同的角终边相同角的表示：设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S ＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，集合S的每一个元素都与α的终边相同，当k＝0时，对应元素为α.知识点三象限角在平面直角坐标系内，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合.象限角：角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角.轴线角：终边落在坐标轴上的角.题型探究题型一任意角概念的理解例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角.其中正确说法的序号为________.(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________.【答案】(1)①(2)－120°【解析】(1)锐角指大于0°且小于90°的角，都是第一象限角，所以①对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，第二象限角不一定是钝角，小于180°的角还有负角、零角，所以②③④错误.(2)分针每分钟转6°，由于顺时针旋转，所以20分钟转了－120°.反思感悟解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念.角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.跟踪训练1写出下列说法所表示的角.(1)顺时针拧螺丝2圈；(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角.解(1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为－720°.(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900°.题型二终边相同的角命题角度1求与已知角终边相同的角例2在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°范围内的角.解与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，(1)由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°＜k·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k·360°＜－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°≤k·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k·360°＜－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.反思感悟求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.跟踪训练2写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来.解由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}.∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴31136≤k＜61136(k∈Z)，故取k＝4,5,6.当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.命题角度2求终边在给定直线上的角的集合例3写出终边在直线y＝－3x上的角的集合.解终边在y＝－3x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝－3x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}.因此，终边落在直线y＝－3x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.故终边在直线y＝－3x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.反思感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并.跟踪训练3终边在直线y＝－x上的角α的取值集合是()A.{α|α＝n·360°＋135°，n∈Z}B.{α|α＝n·360°－45°，n∈Z}C.{α|α＝n·180°＋225°，n∈Z}D.{α|α＝n·180°－45°，n∈Z}【答案】D【解析】角α的取值集合为{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}＝{α|α＝(2k＋1)·180°－45°，k∈Z}∪{α|α＝2k·180°－45°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°－45°，n∈Z}，故选D.题型三象限角的判定例4在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角. (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角.(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角.(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角.反思感悟 判断象限角的步骤(1)当0°≤α<360°时，直接写出结果.(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限.跟踪训练4 下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来.(1)60°；(2)－21°.解 (1)60°角是第一象限角，所有与60°角终边相同的角的集合S ＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，S 中适合－360°≤β<720°的元素是60°＋(－1)×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.(2)－21°角是第四象限角，所有与－21°角终边相同的角的集合S ＝{β|β＝－21°＋k ·360°，k ∈Z }，S 中适合－360°≤β<720°的元素是－21°＋0×360°＝－21°，－21°＋1×360°＝339°，－21°＋2×360°＝699°.终边相同的角的应用典例 一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动，两只蚂蚁均从点A (1,0)同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14 s 时回到A 点，并且在第2 s 时均位于第二象限，求α，β的值.解 根据题意，可知14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m ·360°，m ∈Z,14β＝n ·360°，n ∈Z ，则α＝m 7·180°，m ∈Z ，β＝n 7·180°，n ∈Z . 由两只蚂蚁在第2 s 时均位于第二象限，知2α，2β均为第二象限角.因为0°<α<β<180°，所以0°<2α<2β<360°，所以2α，2β均为钝角，即90°<2α<2β<180°，于是45°<α<90°，45°<β<90°.所以45°<m 7·180°<90°，45°<n 7·180°<90°， 即74<m <72，74<n <72， 又α<β，所以m <n ，从而可得m ＝2，n ＝3，即α＝360°7，β＝540°7. [素养评析] 通过对实际问题进行分析，建立终边相同角的模型解决问题，这就是数学核心素养数学建模的具体体现.达标检测1.下列说法正确的是( )A.第一象限的角一定是正角B.三角形的内角不是锐角就是钝角C.锐角小于90°D.终边相同的角相等【答案】C【解析】－355°是第一象限的角，但不是正角，所以A 错误；三角形的内角可能是90°，所以B 错误；锐角小于90°，C 正确；45°与405°角的终边相同，但不相等，所以D 错误.故选C.2.与－457°角终边相同的角的集合是( )A.{α|α＝k ·360°＋457°，k ∈Z }B.{α|α＝k ·360°＋97°，k ∈Z }C.{α|α＝k ·360°＋263°，k ∈Z }D.{α|α＝k ·360°－263°，k ∈Z }【答案】C【解析】－457°＝－2×360°＋263°，故选C.3.2 019°是第________象限角.【答案】三【解析】因为2 019°＝5×360°＋219°，故2 019°是第三象限角.4.与－1 692°终边相同的最大负角是________.【答案】－252°【解析】∵－1 692°＝－4×360°－252°，∴与－1 692°终边相同的最大负角为－252°.5.写出终边落在坐标轴上的角的集合S.解终边落在x轴上的角的集合S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}.∴终边落在坐标轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β＝2k·90°或β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}.。

7.1.1 任意角一 学习目标1． 理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角2．写出与任一已知角终边相同的角的集合,能在00到0360范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角。

二 自主先学预习书本第5-7页，解决以下问题：【问题1】角的概念的推广（A ）⑴“旋转”形成角一个角可以看做 。

射线的端点称为角的 ，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的 和 。

⑵．“正角”、“负角”、“0角”的概念正角： ；负角： ； 0角： 。

【注意】：（1）“角α”或“α∠”可简记为α.（2）角的正负由 决定。

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角：在直角坐标系中，角的顶点为 ，角的始边为 。

（1）象限角： 。

（2）轴线角： 。

例如： 等等。

【概念辩析】（B ）：（1）锐角是第几象限的角？（2）第一象限的角是否都是锐角？举例说明（3）小于90°的角都是锐角吗？【问题2】终边相同的角一般地，与角α终边相同的角的集合为： 。

【注意】：(1)Z k ∈； (2) α是任意角；(3)K ·360°与 α之间是“+”号，如K ·360°-30 °，应看成K ·360 °+（-30 ° ）； 练习：（B ）下列各组角中，终边相同的是（ ）0390.A 与0690 0330.B -与0750 0480.C 与0420- .D 0300与0840-三 合作与交流例1（B ）在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？（1）6300 （2）-1700 （3）-950015′【总结】：判断一个角是第几象限角方法：只需将这个角表示成 的形式，然后根据 来确定它们所在的象限。

例2（C ）已知α与1200角终边相同，判断2α是第几象限角。

思考：（1）（C ）已知α与1200角终边相同，判断2α是第几象限角。

1.1.1角的概念的推广
一、学习目标：
1、掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
2、掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法
3、体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
二、教学重点、难点
重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.
难点：终边相同的角的表示.
三、教学方法：
讲授法、讨论法、媒体课件演示
四、内容分析：
本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法.树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.教学方法可以选用讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握.通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的.
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从知识、方法两个方面对本节课的内容进行归纳总结。