河南省郑州市第一中学2018届高三上学期期中考试数学(文)

2017-2018学年第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|24xA x =≤，集合(){}|y lg 1B x x ==-，则A B 等于（ ）A ．()1,2B ．(]1,2C ．[)1,2D ．[]1,2 2.在复平面内，复数2332ii-+对应的点的坐标为（ ） A ．()0,1- B ．130,9⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．12,113⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．1213,99⎛⎫- ⎪⎝⎭3.已知抛物线22y px =的准线方程是2x =-，则p 的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．-2 D ．-44.已知等差数列{}n a ，62a =，则此数列的前11项的和11S =（ ） A ．44 B ．33 C ．22 D ．115.已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在(),-∞+∞上是增函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 的值域为[]1,-+∞6.平面向量a 与b 的夹角为60°，()2,0,1a b ==，则2a b +等于( ) A．．．12 D7.已知,a b 都是实数，那么“0a b <<”是“11a b>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件8.若不等式组0220x y x y x m -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，表示的平面区域是面积为169的三角形，则m 的值为（ ）A ．12 B ．23 C ．23- D ．569.已知函数()()322113f x x a x b x =--+，其中{}1,2,3,4a ∈，{}1,2,3b ∈，则函数()f x 在R 上是增函数的概率为（ ） A ．14 B ．12 C ．23 D ．3410.设25log 3log 4ln311,,333a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．a c b >>11.已知直线2x =被双曲线22221x y a b -=的两条渐近线所截得线段的长度恰好等于其一个焦点到渐近线的距离，则此双曲线的离心率为（ ）A ．2 D ．312.如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数()y f x =是区间I 上“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数()21322f x x x =-+是区间I 上“缓增函数”，则“缓增函数区间”I 为（ ）A ．[)1,+∞B ．⎡⎣C ．[]0,1D ．⎡⎣第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题 ，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.将某班参加社会实践编号为：1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是____________．14.阅读左下面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为_______________．15.我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器------商鞅铜方升，其三视图如上如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x 为____________．16.已知数列{}n a 满足：对任意*n N ∈均有133n n a pa p +=+-（p 为常数，0p ≠且1p ≠），若{}2345,,,19,7,3,5,10,29a a a a ∈---，则1a 所有可能值的集合为_______________． 三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）“郑一”号宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员求出，地面指挥中心的在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为,,B C D ）．当返回舱距地面1万米的P 点的时（假定以后垂直下落，并在A 点着陆），C 救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B 救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向．（1）求,B C 两救援中心间的距离； （2）D 救援中心与着陆点A 间的距离．18.（本小题满分12分）郑州一中研究性学习小组对本校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图1的频率分布直方图．（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，计算高三的全体学视力在5.0以下的人数，并估计这100名学生视力的中位数（精确到0.1）；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对高三全体学生成绩名次在前50名和后50名的学生进行了调查，得到如表1中数据，根据表1及表2中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？附表2：（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，M 是棱PD 的中点，且2,PA AB AC BC ====（1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）如果N 是棱AB 上一点，且三棱锥N BMC -的体积为13，求AN NB的值． 20.（本小题满分12分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于,A B 两点，求AB 的取值范围． 21.（本小题满分12分） 已知函数()()ln 1af x x a R x =+∈+在1x =处的切线方程为8190x y +-=． （1求,a b ；（2）如果函数()()g x f x k =-仅有一个零点，求实数k 的取值范围． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<<），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，当α变化时，求AB 的最小值． 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x m x x =---+． （1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题：二、填空题： 13. 13 14. 13815. 1．6 16. {}1,3,67--- 三、解答题：17.解：（1）由题意知,PA AB PA AC ⊥⊥，则,PA C P AB ∆∆均为直角三角形，．．．．．．．．．．．．．1分在Rt PAC ∆中，01,60PA PCA =∠=，解得AC =．．．．．．．．．．．．．．．．．2分在Rt PAB ∆中，01,30PA PBA =∠=，解得AB =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分又090,CAB BC ∠===万米．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分sin sin AC ACD AD ADC ∠==∠ 万米．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18.解：（1）设各组的频率为()1,2,3,4,5,6i f i =，由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为27，24，21，18则后四组频率依次为0.27，0.24，0.21，0.18．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 视力在5.0以下的频率为3727242182++++=人， 故全年级视力在5.0以下的人数约为821000820100⨯=人．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分设100名学生视力的中位数为x ，则有()()()0.150.35 1.350.2 4.60.240.20.5x ++⨯+-⨯÷=，4.7x ≈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）()221004216348200 3.509 3.8415050762457k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩没有关系．．．．．．．．．．．．．．12分19.解：（1）连结AC ，因为在ABC ∆中，2,BC AB AC ===222BC AB AC =+， 所以AB AC ⊥．因为//AB CD ，所以AC CD ⊥．又因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为AC PA A = ， 所以CD ⊥平面PAC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设BNx AB=，因为PA ⊥底面ABCD ，M 是棱PD 的中点， 所以24N BMC M BNC M ABC M ABCD P ABCD x xV V xV V V -----====，∴(112433N BMC x V -=⨯⨯⨯=，解得12x =，所以1ANNB=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20．解：（1）设圆C 的方程为：()()2220x a y r r -+=>，．．．．．．．．．．．．．．．．．1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-，所以()2222211a r a r⎧=⎪⎨--+=⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 解得1,1a r =-=．所以圆C 的方程为()2211x y ++=．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分由圆C 和圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作的两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，则点A 的坐标为()0100,y k x -， 同理可得点B 的坐标为()0200,y k x -，所以120AB k k x =-， 因为,PA PB 是圆C 的切线，所以12,k k1=，即12,k k 是方程()()2220000022110x x k y x k y +-++-=的两根，即()0012200201220021212y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，所以120AB k k x x =-=， 因为()220044y x =--，所以AB =．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数， 所以()0max 2225564f x f ⎛⎫==⎡⎤⎪⎣⎦⎝⎭，()()(){}0min 131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB的取值范围为4⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．解：（1）()()()210af x x xx a -'=+>+， 由题，()()()2911411181a f b a f b ⎧==⎪+⎪⎨-'⎪=+=-+⎪⎩解得921a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）当92a =时，()()9ln 21f x x x =++，其定义域为()0,+∞， ()()()()()22212912121x x f x x x x x ---'=+=++，令()0f x '=得121,22x x ==， 因为当102x <<或2x >时，()0f x '>；当122x <<时，()0f x '<， 所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()2,+∞上递增， 且()f x 的极大值为13ln 22f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，极小值为()32ln 22f =+， 又当0x +→时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞， 因为函数()()g x f x k =-仅有一个零点，所以函数()y f x =的图象与直线y k =仅有一个交点， 所以3ln 2k >-或3ln 22k <+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22.解：（1）由2sin4cos ρθθ=，得()2sin 4cos ρθρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为24y x =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）将直线l 的参数方程代入24y x =，得22sin 4cos 40t t αα--=，设A B 、两点对应的参数分别为12t t 、，则1212224cos 4,sin sin t t t t ααα+==-，∴1224sin AB t t α=-===， 当2πα=时，AB 的最小值为4．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23.解：（1）当5m =时，()()()()361211431x x f x x x x x +<-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分由()2f x >易得不等式的解集为4|03x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由二次函数()222312y x x x =++=++，该函数在1x =-取得最小值2，因为()()()()311311311x m x f x x m x x m x ++<-⎧⎪=--+-≤≤⎨⎪-+->⎩在1x =-处取得最大值2m -，．．．．．．．．．．．．．．．7分所以要使二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点， 只需22m -≥，即4m ≥．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

【关键字】数学郑州一中2017-2018上期高三入学测试文科数学试题卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A．B．C．D．2.已知（），其中为虚数单位，则（）A．-3 B．-2 C．-1 D．13.每年三月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为（）A．B．C．D．4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．96里B．48里 C. 192里D．24里5.已知抛物线与双曲线（）的一个交点为为抛物线的焦点，若，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B． C. D．6.如下程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数），若输入的分别为495，135，则输出的（）A．0 B．5 C. 45 D．907. 的外接圆的圆心为，半径为1，，且，则向量在向量方向上的投影为（）A．B． C. D．8.已知且满足约束条件，则的最小值为（）A．1 B．4 C.6 D．79.定义运算：，将函数（）的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A．B． C. D．10.设曲线（）上任一点处切线斜率为，则函数的部分图象要以为（）11.某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（）（）A．B． C. D．12.设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（）A．B． C. D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知是等差数列的前项和，若，则数列的公差为．14.已知三点都在体积为的球的表面上，若，，则球心到平面的距离为．15.已知曲线在点处的切线为，若与曲线相切，则．16.已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点（异于左、右顶点），过点作的角平分线交轴于点，若，则该椭圆的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长.18. 已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号；（下面摘取了第7行到第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54（2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有.①若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求的值：②在地理成绩及格的学生中，已知，，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率. 19. 如图，在四棱锥中，，，，平面. （1）求证：平面；（2）若为线段的中点，且过三点的平面与线段交于点，确定点的位置，说明理由；并求三棱锥的高.20. 已知圆关于直线对称的圆为. （1）求圆的方程；（2）过点作直线与圆交于两点，是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形中？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数2()ln (1)f x x a x x =-+-. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a <时，证明：对任意的(0,)x ∈+∞，有2ln ()(1)1xf x a x a x<--+-+. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x ty t=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. .（1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是2sin()4πρα+=曲线1C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，曲线1C 与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x =-.（1）求不等式()12f x x ++<的解集；（2）若函数()()(1)g x f x f x =+-的最小值为a ，且m n a +=（0,0m n >>），求41m n+的最小值.试卷答案一、选择题1-5:CABAB 6-10: CDBD 11、12：AD二、填空题13. 2 14. 3 15. 8 16.2三、解答题17.（1）∵cos (2)cos()b A c a B π=+-，∴cos (2)(cos )b A c a B =+-. 由正弦定理可得，sin cos (2sin sin )cos B A C A B =--， 即sin()2sin cos sin A B C B C +=-=又角C 为ABC ∆内角，sin 0C >，∴1cos 2B =-，又(0,)B π∈，∴23B π=.（2）有1sin 2ABC S ac B ∆==4ac =. 又2222()16b a c ac a c ac =++=+-=∴a c +=ABC ∆周长为4+ 18.解：（1）785，667，199. （2）①7930%100a++=，∴14a =；10030(20184)(56)17b =--++-+=.②100(7205)(9186)431a b +=-++-++-=. 因为11a ≥，7b ≥，所以,a b 的搭配：(11,20)，(12,19)，(13,18)，(14,17)，(15,16)，(16,15)，(17,14)，(18,13)，(19,12)，(20,11)，(21,10)，(22,9)，(23,8)，(24,7)，共有14种.设11a ≥，7b ≥时，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件A ，5a b +<.事件A 包括：(11,20)，(12,19)，共2个基本事件；21()147P A ==，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为21147=. 19.（1）证明：连接AC ，在直角梯形ABCD中，AC ==BC ==222AC BC AB +=，即AC BC ⊥.又PC ⊥平面ABCD ，∴PC BC ⊥，又AC PC C =，故BC ⊥平面PAC .（2）N 为PB 的中点，因为M 为PA 的中点，N 为PB 的中点，所以//MN AB ，且122MN AB ==. 又∵//AB CD ，∴//MN CD ，所以,,,M N C D 四点共面， 所以点N 为过,,C D M 三点的平面与线段PB 交点.因为BC ⊥平面PAC ，N 为PB 的中点，所以N 到平面PAC的距离12d BC ==又111222ACM ACP S S AC PC ∆∆==⨯⨯⨯=1233N ACM V -==. 由题意可知，在直角三角形PCA中，PA ==，CM =，在直角三角形PCB中，PB ==，CN =CMN S ∆=设三棱锥A CMN -的高为h，1233N ACM A CMN V V h --===，解得h =故三棱锥A CMN -20.解：（1）圆1C 化为标准为22(3)9x y ++=.设圆1C 的圆心1(3,0)C -关于直线1:21l y x =+的对称点为(,)C a b ，则111CC k k •=-， 且1CC 的中点3(,)22a bM -在直线1:21l y x =+上， 所以有213(3)102ba b a ⎧⨯=-⎪⎪+⎨⎪--+=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩所以圆C 的方程为22(1)(2)9x y -++=.（2）由OS OA OB BA =-=，所以四边形OASB 为矩形，所以OA OB ⊥， 是使OA OB ⊥，必须使0OA OB •=，即：12120x x y y +=.①当直线l 的斜率不存在时，可得直线l 的方程1x =-，与圆22(1)(2)9C x y -++=交于两点(2)A -，(1,2)B -.因为(1)(1)2)(2)0OA OB •=--+=，所以OA OB ⊥，所以当直线l 的斜率不存在时，直线:1l x =-满足条件.②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)y k x =+. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22(1)(2)9(1)x y y k x ⎧-++=⎨=+⎩，得 由于点(1,0)-在圆C 内部，所以0∆>恒成立.21222421k k x x k +-+=-+，2122441k k x x k +-•=+要使OA OB ⊥，必须使0OA OB •=，即：12120x x y y +=，也就是：221224*4(1)(1)01k k k x x k++++=+ 整理得：222222244242(1)011k k k k k k k k k+-+-+-•+=++. 解得：1k =，所以直线l 的方程为1y x =+.存在直线1x =-和1y x =+，它们与圆C 交于,A B 两点，且四边形OASB 对角线相等. 21.解：（1）由题知2'2(1)1()a x x f x x-+-+=（0x >），当1a ≠-时，由'()0f x =得22(1)10a x x ++-=且98a ∆=+，1x =2x =①当1a =-时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减； ②当1a >-时，()f x 在2(0,)x 上单调递增，在2(,)x +∞上单调递减； ③当98a ≤-时，()f x 在(0,)+∞上单调递增； ④当918a -<<-时，()f x 在2(0,)x 和1(,)x +∞上单调递增，在21(,)x x 上单调递减. （2）当1a <时，要证2ln ()(1)1xf x a x a x<-+-+在(0,)+∞上恒成立，只需证ln ln 1xx x a x-<--+在(0,)+∞上恒成立，令()ln F x x x =-，ln ()1xg x a x=-+-，因为'1()1F x x=-，易得()F x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，故()(1)1F x F ≤=- 由ln ()1x g x a x =-+-得'221ln ln 1()x x g x x x--=-=（0x >）. 当0x e <<，'()0g x <；当x e >时，'()0g x >. 所以()g x 在(0,)e 上递减，在(,)e +∞上递增. 所以1()()1g x g e a e≥=-+-. 又1a <，∴1111a e e-+->->-，即max min ()()F x g x <， 所以ln ln (1)xx x a x x-<--+在(0,)+∞上恒成立， 故1a <时，对任意的(0,)x ∈+∞，ln ()(1)xf x a x x<--+恒成立.22.（1）圆C 的普通方程为22(1)1x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=；（2）设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有1112cos tan 2ρθθ=⎧⎨=⎩，解得11tan 2ρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩设22(,)ρθ为点Q的极坐标，22222(sin cos cos sin )44tan 2ππρθθθ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得22tan 2ρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩由于12θθ=，所以12PQ ρρ=-=PQ23.（1）3,11()12,1213,2x x f x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪++=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，当1x ≤-时，32x -<，得23x >-，即x φ∈； 当112x -<<时，22x -+<，得0x >，即102x <<； 当12x ≥时，32x <，得23x <，即1223x ≤<.综上，不等式的解集为2(0,)3.（2）由条件得()2123(21)(23)2g x x x x x =-+-≥---=，当且仅当13[,]22x ∈时，其最小值2a =，即2m n +=.又411411419()()(5)(52222n m m n m n m n m n +=++=++≥+=， 所以41m n +的最小值为92，当且仅当43m =，23n =时等号成立.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

河南省郑州市第一中学2018届高三上学期诊断试题数学（文科）本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试题上无效.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，则，所以，由于，因此，故选择C.2.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.干支是天干和地支的总称.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、午、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2016年是干支纪年法中的丙申年，那么2017年是干支纪年法中的（）A. 丁酉年B. 戊未年C. 乙未年D. 丁未年【答案】A【解析】按照天干、地支匹配顺序，若2016年为丙申年，则2017年为丁酉年，故选择A. 3.点在直线上，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】点在直线l：ax﹣y+1=0上，a=，即直线的斜率为可得直线的倾斜角．【详解】∵点在直线l：ax﹣y+1=0上，∴，∴a=，即直线的斜率为，直线l的倾斜角为60°．故选：C．【点睛】本题考查直线的倾斜角，考查学生的计算能力，比较基础．4.定义函数，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题中定义的函数可知，则该函数图像如下图由上图可知函数的最小值为，故选择C.5.已知数列的通项，数列的前项和为，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列，则满足的的最大整数值为（）A. 335B. 336C. 337D. 338【答案】A【解析】由可知数列为等差数列，通项公式，又因为，由题意可知，通项公式，所以即，解得，所以的最大整数值为335，故选择A. 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知,该几何体是由正三棱柱截取一部分所得,故体积为.考点：三视图.7.如图，给出抛物线和其对称轴上的四个点、、、，则抛物线的焦点是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别作出准线方程，根据抛物线的定义，即可判断焦点的位置．【详解】如图可知：分别做P，Q，R，S关于y轴的对称点，分别过对称点做x轴的垂线，根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离相等，分别判断，可知Q为抛物线的焦点，故选：B．【点睛】本题考查抛物线的定义，考查数形结合思想，属于基础题．8.点在圆上运动，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当时，显然；当时，，设，则问题转化为求的取值范围，将看作圆上动点与原点连线的斜率，如下图，或，则或，所以或综上所述：.9.已知、为单位圆上不重合的两定点，为此单位圆上的动点，若点满足，则点的轨迹为（）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆【答案】D【解析】设，，，，设单位圆圆心为，则根据可有：，所以点为的重心，根据重心坐标公式有，整理得，所以点的轨迹为圆，故选择D.点睛：求轨迹方程是解析几何中的重要内容，是高考命题的热点和重点.主要考查学生的数形结合思想、等价转化思想、逻辑推理能力、分类讨论及创新思维，属于较高的能力考查.求轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、几何法、相关点法、参数法、交轨法、点差法等.本题主要是考查几何法中的三角形重心的向量表示及重心坐标公式，然后根据相关点法可以求出点的轨迹方程.10.点、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，则的内切圆半径的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示，设的内切圆圆心为，内切圆与三边分别相切于点，根据圆的切线可知：，，，又根据双曲线定义，即，所以，即，又因为，所以，，所以点为右顶点，即圆心，考虑点在无穷远时，直线的斜率趋近于，此时方程为，此时圆心到直线的距离为，解得，因此内切圆半径，所以选择A.11.如图，将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后、、、四点都在球的表面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】将折叠后的三棱锥置于正三棱柱中，如下图所示，是边长为1的正三角形，，外接球球心为，在中，，，，所以，则球的表面积为，故选择B.点睛：解决关于外接球的问题关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用.对于特殊类型的问题，我们可以将其还原为规则的几何题，如正方体、正四棱柱、长方体、正三棱柱等等，还原后球心的位置比较明显，很容易建立方程，从而求出外接球的半径，计算得到球的体积、表面积.12.已知函数，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有（）①函数是周期函数；②函数既有最大值又有最小值；③函数的定义域为，且其图象有对称轴；④对于任意的，（是函数的导函数）A. ②③B. ①③C. ②④D. ①②③【答案】A【解析】函数定义域为，当或时，，又，，，，……时，，且均为变号零点.又因为函数满足，所以函数关于直线对称，函数图像如下图，故②③正确.点睛：本题考查函数的综合知识：①函数对于定义域内任意实数，存在非零常数，满足，则函数为周期函数；②函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称；③在函数定义域内，存在常数使得，则叫做函数的零点.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.我国古代“伏羲八卦图”的部分与二进制和十进制的互化关系如下表，依据表中规律，、处应分别填写__________.【答案】110，6【解析】【分析】由二进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到结果．【详解】由八卦图，可得A处是110，110（2）=0+1×2+1×22=2+4=6．故答案为110，6．【点睛】二进制转换为十进制的方法是依次累加各位数字上的数×该数位的权重，属于基础题．14.已知，将其绕原点逆时针旋转后又伸长到原来的2倍得向量，则________.【答案】【解析】设向量逆时针旋转后得到的向量为，根据题意有，解得，所以，又，所以15.点是正方体的体对角线上靠近点的四等分点，在正方体随机取一点，则点满足的概率为________.【答案】【解析】设正方体棱长为4，以为原点建立空间直角坐标系，则，则，设，根据条件，即，整理得：，所以点的轨迹是以为球心，为半径的球的体积的，体积为，所以根据几何概型，所求概率为.点睛：应用几何概型求概率问题的时，首先要建立相应的几何模型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量.（1）一般地，一个连续变量可以建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系建立与面积有关的几何概型；（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型.16.设表示不超过实数的最大整数，例如，，则点集所覆盖的面积为________.【答案】12【解析】由于且均为整数，当或时围成的是4个面积为1小正方形，当或时围成的是8个面积为1的小正方形，所以面积为12.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数.（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角中，内角、、、所对的边分别是、、，且，，求的最大面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（1）本问考查三角恒等变换公式，首先根据两角和正弦展开，然后根据二倍角公式化为正弦型函数，，然后可以求出递增区间；（2）本问考查正、余弦定理及重要不等式的应用，首先根据求出，根据余弦定理，即，根据重要不等式可以得到，于是可以求出的最大值，即可以求出面积的最大值.试题解析：（1），令，得.∴的单调递增区间为.（2）由，得，∴，∴，∴，又∵，∴，∴.∴，当且仅当时取“=”.∴.考点：1.三角恒等变换公式；2.正弦型函数性质；3.余弦定理；4.三角形面积公式.18.如图，已知三棱锥中，为的中点，为的中点，且为正三角形.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）本问考查线面平行判定定理，根据题中条件，易得，在分别强调面外、面内这两个条件，即可以证明线面平行；（2）本问主要考查证明面面平行，根据面面平行判定定理，应先证明线面垂直，根据题中条件，应设法证明，根据题中条件分析可证出平面，所以得到，于是根据线面垂直判定定理可得平面，于是平面平面.试题解析：（1）∵分别为的中点，∴，又平面平面，∴平面.（2）∵为的中点，为正三角形，∴.由（1）知，∴.又，且，∴平面.∵平面，∴.又，且，∴平面.而平面，∴平面平面.考点：1.线面平行；2.面面垂直.19.根据环境保护部《环境空气质量指数（AQI）技术规定》，空气质量指数（AQI）在201～300之间为重度污染；在301～500之间为严重污染.依据空气质量预报，同时综合考虑空气污染程度和持续时间，将空气重污染分为4个预警级别，由轻到重依次为预警四级、预警三级、预警二级、预警一级，分别用蓝、黄、橙、红颜色标示，预警一级（红色）为最高级别．（一）预警四级（蓝色）：预测未来1天出现重度污染；（二）预警三级（黄色）：预测未来1天出现严重污染或持续3天出现重度污染；（三）预警二级（橙色）：预测未来持续3天交替出现重度污染或严重污染；（四）预警一级（红色）：预测未来持续3天出现严重污染．某城市空气质量监测部门对近300天空气中PM2.5浓度进行统计，得出这300天中PM2.5浓度的频率分布直方图如图.将PM2.5浓度落入各组的频率视为概率，并假设每天的PM2.5浓度相互独立.（Ⅰ）求当地监测部门发布颜色预警的概率；（Ⅱ）据当地监测站数据显示未来4天将出现3天严重污染，求监测部门发布红色预警的概率.【答案】(Ⅰ) 0.2；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（1）观察频率分布直方图，根据题意空气质量指数为重度污染和严重污染的频率为，所以当地发布颜色预警的概率为0.2；（2 ）本问考查古典概型，主要是理解题意并根据题意写出基本事件空间，再根据题中描述预警一级（红色）；预测未来持续3天出现严重污染，确定发生红色预警所包含的事件，从而求出概率.试题解析：（1）根据频率分布直方图，可知出现空气重污染的频率是，所以当地监测部门发布颜色预警的概率是0.2.（2）记严重污染为，其他情况为，未来4天中出现3天严重污染的所有情况有，共4种，发布红色预警所包含的基本事件为，共2种，所以监测部门发布红色预警的概率.考点：1.频率分布直方图；2.古典概型.20.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，是上一点，，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相较于不同两点，时，在线段上取点，且满足，证明点总在某定直线上，并求出该定直线.【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）证明见解析，直线方程为．【解析】试题分析：（1）本问主要考查求椭圆标准方程，由，可得，所以，则在中，，，再根据余弦定理及，可以求出的值，于是可以求出椭圆的方程；（2）本问主要考查直线与椭圆的综合应用，分析题意可知直线的斜率显然存在，故设直线方程为，再联立直线方程与椭圆方程，消去未知数得到关于的一元二次方程，根据韦达定理表示出两点横坐标之和及横坐标之积，于是设点，将题中条件转化为横坐标的等式，于是可以得出满足的方程，即可以证明总在一条直线上.试题解析：（1）由已知得，且，在中，由余弦定理得，解得.则，所以椭圆的方程为.（2）由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，即，代入椭圆方程，整理得，设，则.设，由得（考虑线段在轴上的射影即可），所以，于是，整理得，（*）又，代入（*）式得，所以点总在直线上.考点：1.椭圆标准方程；2.直线与椭圆位置关系.点睛：圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题时高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、分类讨论思想的考查.求定值问题常见的方法：（1）从特殊点入手，求出定值，再证明这个值与变量无关，（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.定点问题的常见解法：（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点，（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意.21.已知函数.（Ⅰ）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；（Ⅱ）若存在唯一整数，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（1）本问考查利用导数研究函数单调性，由函数在区间上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，采用参变分离的方法，将问题转化为在上恒成立，设函数，于是只需满足即可，问题转化为求函数的最小值；（2）存在唯一整数，使得，即，于是问题转化为存在唯一一个整数使得函数图像在直线下方，于是可以画出两个函数图像，结合图像进行分析，确定函数在时图像之间的关系，通过比较斜率大小来确定的取值范围.试题解析：（1）函数的定义域为，，要使在区间上单调递增，只需，即在上恒成立即可，易知在上单调递增，所以只需即可，易知当时，取最小值，，∴实数的取值范围是.（2）不等式即，令，则，在上单调递增，而，∴存在实数，使得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，∴.，画出函数和的大致图象如下，的图象是过定点的直线，由图可知若存在唯一整数，使得成立，则需，而，∴．∵，∴．于是实数的取值范围是．考点：1.利用导数研究函数极值；2.函数、导数的综合应用；3.数形结合思想方法.点睛：导数是高考中的高频考点，同时也是初等数学与高等数学的重要衔接.利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容，使函数内容更加丰富，更加充盈.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“恒成立”问题和“有解”问题的等价转化，可以简化解题过程.还有在求参数取值范围时，可以考虑到分离参数方法或分类讨论的方法，同时数形结合也是解题时必备的工具.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选题4—4；坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直线坐标系，直线的参数方程为（为参数）.（Ⅰ）判断直线与曲线的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若直线与曲线相较于、两点，且，求直线的斜率.【答案】(Ⅰ) 相交，理由见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（1）由,又直线过点,且该点到圆心的距离为直线与曲线相交；（2）先当验证直线的斜率不存在时,直线过不成立直线必有斜率, 设其方程为圆心到直线的距离的斜率为．试题解析：（1）因为,所以,所以曲线的直角坐标方程为,即,因为直线过点,且该点到圆心的距离为，所以直线与曲线相交．（2）当直线的斜率不存在时,直线过圆心,则直线必有斜率, 设其方程为,即,圆心到直线的距离,解得,所以直线的斜率为．考点：坐标系与参数方程．【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线C的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．23.选修4—5：不等式选讲已知，不等式成立.（Ⅰ）求满足条件的实数的集合；（Ⅱ）若，，，不等式恒成立，求的最小值.【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）6．【解析】【分析】（Ⅰ）求出f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的范围，求出T即可；（Ⅱ）根据基本不等式的性质求出m+n的最小值即可．【详解】（Ⅰ）令，则，由于，不等式成立，因此.（Ⅱ）当，，时，不等式恒成立等价于恒成立，由题意知，，根据基本不等式得，所以，从而，当且仅当时取等号，再根据基本不等式得，当且仅当时取等号，所以的最小值为6.【点睛】本题考查了绝对值不等式的性质，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。

设集合，，B. C. D.【解析】由得：，，则，故选石，所以所以这批米内夹谷约为，，若是实数，则实数C. 6D.........................，则判断框内应填入（B. C. D.已知命题：对任意，总有；命题”是“”的充分不必要条件，则下列B. C. D.【解析】根据指数函数的值域和图像，易知命题是真命题，是假命题；”是“”的必要不充分条件，所以是假命题，是真命题，是假命题，是假命题，等差数列的前项和为，若公差，，则当取最大值时，【解析】试题分析：由得，，又因为，故当时，平面，，故其体积为满足约束条件若目标函数（其中，））得∵∴∴直线过时取最大值，即∴令，其中，则，解得∴当时，，当∴当，点睛：本题为线性规划与导数结合的综合题型。

线性规划求得最优解部分，因为的斜率是负的，因此得到已知函数对定义域内的任意都有，且当满足，若B.D.【答案】C＜＜）））＜（中，，，B. C. D.，，，易证平面中，由余弦定理可得，即轴，以轴建立如图所示的坐标系，则，，设三棱锥，则解得：∴外接球的半径为∴外接球的表面积为，故选已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，点，当的周长最大时，的）B. C. D.【答案】【解析】由椭圆方程，设椭圆的左焦点为，则的周长在∵∴直线的方程为，即由∴的纵坐标为∴当的周长最大时，该三角形的面积为点睛：圆锥曲线中最值与范围的求法有两种：（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意已知函数在上的最大值为，最小值）【解析】∵关于在关于，故选奇偶性、对称性以及单调性，本题构造了新函数，并证明出关于二项式展开式中15的通项，当时，可得，，，且，【答案】得，得，，若将函数的图象向左平移个单位长度，平移对称，则函数在上的最小值是__________【答案】【解析】∵∴将函数图象向左平移个单位后，得到函数的解析式为：∵平移后的图象关于点对称∴对称中心在此函数图象上，即∴∵∴∴∵∴∴∴在上的最小值是，故答案为点睛：解答本题的难点是先运用三角变换公式将函数的形式进行变形，进而依据中心对称图形的特点，借的值，再根据，解得，进而确认的最小数列满足，为等比数列，则首项的取值范围是【答案】【解析】①当时，∵∴∴∴∴与为等比数列矛盾，故舍去②当，即当时，为等比数列，即时，，此时可得，故答案为点睛：本题主要考查了递推公式，等比数列的通项公式，以及分类讨论数列的通项公式，通过讨论，把递推公式转化为等比数列求解，然后求出的取值范围分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知中，角对边分别是，，且）求角的大小；面积的最大值；）由正弦定理再根据余弦定理即可求出角）利用三角形面积公式、三角形内角和定理、两角和与差的正弦公式及二倍角公式得出三角形面积解析式，再根据角）由又∵，∴，∴，∴.∴当，即时，.某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概）随机选取件产品，其中一等品的件数记为的分布列及数学期望【解析】试题分析：）由题意可得）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为（2）由题可知可能取值为，.分布列：19. 如图，在六面体中，平面平面，平面，，.，）求证：平面；的余弦值.试题解析：（1）设的中点为，连接，.易证：四边形是平行四边形. ∴，且.∵平面平面，∴，∵，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴.又平面，平面，平面）由题意可得，设平面的法向量为，令，则又平面的法向量，是椭圆上的两点，椭圆的离心率为已知向量，且，为坐标原点）若直线过椭圆的焦点（，求直线的斜率的值；）试问：）根据条件可得的方程为：，即可求出，，根据，求得和标的绝对值，进而求得△AOB的面积的值；当直线斜率存在时，设出直线，再利用，弦长公式及三角形面积公式求得答案，，所以，椭圆的方程为，代入得：，，∴，即：，解得：2）①直线斜率不存在时，即，，即又∵点在椭圆上，即，，故②当直线斜率存在时，设的方程为得：，所以三角形的面积为定值1.已知函数）求函数恒成立，试确定实数）证明：）见解析；（2）；（3）见解析.对函数求导得对）可得，时，在上是增函数，而，不成立，故，由可得即可求出的取值范围；时，有在恒成立，即，进而换元可得，所以，，在上单调递增，，所以，当时，，当时，综上：若在上单调递增；，上单调递增，在上单调递减）知，时，不可能成立；，，，得.）知，当时，有上恒成立，即，得，即，得证点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重中，的参数方程为（为参数）（与直角坐标系为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为）求圆的直角坐标方程；）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求；.）根据）由直线参数方程得，利用韦达定理化简得值.又由直线过点(1,2)，故，结合参数的几何意义得当时取等．．已知不等式，求不等式的解集；）若已知不等式的解集不是空集，求；）【解析】试题分析：（1）结合函数的解析式，由零点分段法进行分类讨论，即可得到不等式的解集；化简函数的解析式，作出函数的图象，通过图象即可求出）当，，则，，∴，则，∴.，则作出函数，∴，即的取值范围为。

河南省郑州一中2018—2018学年高三年级上学期阶段测试数 学 试 卷（文）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.命题人：袁全超第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．)629cot(π-的值为（ ）A ．3-B ．3C ．33D ．33-2．设A 是B 的充分不必要条件，B 是C 的充要条件，D 是C 的必要不充分条件，则D 是A 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．数列{}n a 的前n 项积为2n ，则这个数列的第3项为（ ）A ．49B ．94C ．916D ．1694．要得到函数)23cos(x y -=π的图象，可将x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移3π个单位 B ．向左平移3π个单位C ．向右平移6π个单位D ．向左平移6π个单位5．设)(x f 是定义在R 实数上的函数，且满足下列关系：),10()10(x f x f -=+),20()20(x f x f --=+则)(x f 是（ ）A ．偶函数，又是周期函数B ．偶函数，但不是周期函数C ．奇函数，又是周期函数D ．奇函数，但不是周期函数6．若不等式6|2|<+ax 的解集为（－1，2），则实数a 等于（ ）A ．－4B ．2C ．8D ．－8 7．函数x x y cos -=的部分图象是（ ）A ．B ．C ． D8．等差数列{}n a 的前30项和为255，则2520107a a a a +++的值为 （ ）A ．34B ．35C ．36D ．379．函数2)1(22+-+=x a x y 在)4,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围（ ）A ．),3[+∞B ．]3,(--∞C ．),3[+∞-D ．]5,(-∞ 10．关于x 方程)10(2)1(log 2<<-=+a x x a 的解的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．311．把数列{}12+n 中各项划分为：（3），（5，7）, (9,11,13) , (15,17,19,21) , (23) , (25,27)，(29,31,33) , (35,37,39,41),照此下去，第100个括号里各数的和为 （ ）A ．1891B ．1990C ．1873D ．199212．已知命题P ：函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R, 命题Q ：函数x a y )25(--=是R 上的减函数.若 P 或Q 为真命题，P 且Q 为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）（A ） 1≤a （B ） 2<a （C ） 21<<a （D ）1≤a 或 2≥a第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案写在题中横线上. 13. 函数)sin(cos x y =的单调递减区间为 . 14. 不等式ax x +≥+223的解集为R ，则实数a 的值为_________.15. 已知等比数列的公比为2，前4项和1，则其前8项和为 . 16. 有下列命题：① b G a G ab G 、、是)0(≠=成等比数列的充分但非必要条件；② 若角βα、满足，1cos cos =βα则0sin=β+α）（； ③ 若不等式ax x <-+-34的解集非空，则必有1≥a④ 函数sin sin +=x y |x |的值域是[-2，2].其中错误的命题的序号是 （把错误的命题的序号都填上） 三、解答题: 本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明, 证明过程或步骤 17. ( 本小题满分12分 )已知函数)(x f =)4(sin 23)23cos (sin 41222π-+--x x x （1）求满足)(x f =83的所有x 值的集合.（2）若]4,6[ππ-∈x ,求)(x f 的最大值和最小值.18. ( 本小题满分12分 )关于x 的方程022=++ax x 至少有一个小于1-的实根，求实数a 的范围.19. ( 本小题满分12分 )已知二次函数,12)(),0,0()(2+='++=x x f c bx ax x f 导函数经过点 ],1,[+∈n n x 当n a x f N n 是整数的个数记为时)(,)(+∈.（1）求a ,b,c 的值； （2）求数列}{n a 的通项公式；（3）令.}{,21n n n n n S n b a a b 项和的前求+⋅=20. ( 本小题满分12分)设函数)(xf定义在R上，当0>x时，1)(>xf，且对任意Rba∈,有)()()(bfafbaf⋅=+成立.（1）求证：1)0(=f；（2）求证：)(xf在R上为增函数；（3）若,2)1(=f集合{},,,2)2()(),(2ZnmmmfmfnmA∈>-⋅={},,,16)(),(ZnmmnfnmB∈=-=求BA .21. ( 本小题满分12分)某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2.（注：利润与投资单位：万元）（1）分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式写出;（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？ （精确到1万元）22. ( 本小题满分14分 )已知二次函数)()(2c b a c bx ax x f >>++=满足0)1(=f ，图像上有两点))(,()),(,(2211m f m B m f m A ，满足[]0)()()()(21212=⋅+⋅++m f m f a m f m f a（1）求证：0≥b ；（2）若)(x f 图像与x 轴的交点为D C ,，求线段CD 长的取值范围；参考答案命题人：袁全超二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。

河南省郑州市第一中学2018届高三上学期第二次月考数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}2,1,0,1,3{--=A ，}1,0,1,2{--=B ，则=B A ( ) A ．}2,0,1{- B ．}1,0,1{- C ．}0,1{- D ．}0,2{- 2．复数i i z )1(+=（i 是虚数单位）在复平面内所对应的点在直线 上．（ ） A ．x y 2-= B ．x y 2= C ．x y -= D ．x y =3．已知命题p ：)(22R m bm a m ∈>，命题q ：b a 11>，则命题p 是命题q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件4．抛物线42y x =上一点P 到焦点F 的距离为3，则点P 到直线10-=x 的距离为（ ）A ．5B ．6C ． 10D ．12 5．已知数列}{n a 的通项公式为22ln )1ln(n n a n --=，则=++432a a a e （ ）A ．83-B ．83C ．85-D ．85 6．曲线32ln )(+-=x x x f 在点)1,1(处的切线方程是（ ）A ．02=-+y xB ．02=+-y xC ． 02=++y xD ．02=--y x7．某程序框图如图所示，则输出的结果S 等于（ ）A ．7B ．16C ． 28D ．438．为了调查民众对最新各大城市房产限购政策的了解情况，对甲、乙、丙、丁四个不同性质的单位做分层抽样调查．假设四个单位的人数有如下关系：甲、乙的人数之和等于丙的人数，甲丁的人数之和等于乙、丙的人数之和，且丙单位有36人，若在甲、乙两个单位抽取的人数之比为1:2，则这四个单位的总人数N 为（ ） A ．96 B ．120 C ．144 D ．160 9．函数)2411(log 23+-=x x y 的递减区间为（ ） A ．)3,(-∞ B ．)211,(-∞ C ． ),8(+∞ D ．),211(+∞10．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何体的体积是（ ）A ．3)324(cm π+B ．3)34(cm π+C ． 3)328(cm π+ D ．3)38(cm π+11．小王计划租用B A ,两种型号的小车安排30名队友（大多有驾驶证，会开车）出去游玩，A 与B 两种型号的车辆每辆的载客量都是5人，租金分别为1000元/辆和600元/辆，要求租车总数不超过12辆且不少于6辆，且A 型车至少要有1辆，则租车所需的最少租金为（ ）A ．1000元B ．2000元C ．3000元D ．4000元 12． 祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的，祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都为h ），其中：三棱锥的底面是正三角形（边长为a ），四棱锥的底面是有一个角为060的菱形（边长为b ），圆锥的体积为V ，现用平行于这两个平行平面的平面去截三个几何体，如果截得的三个截面的面积相等，那么，下列关系式正确的是（ ） A ．1:2:,32,34===b a h V b h V a B ．2:1:,32,34===b a hVb h V a C ． 1:2:,32,34===b a h Vb h V a D ．2:1:,32,34===b a hV b h V a第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数xx x f ---=2|4|3)(2的定义域为 ．14．已知21)(),,2(),3,3(=-⋅-==m ，则实数m 的值为 ． 15．在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知41cos ,2,8-==-=A c b a ，则ABC ∆的面积为 ．16．正六边形ABCDEF 的边长为1，在正六边形内随机取点M ，则使MAB ∆的面积大于43的概率为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知数列}{n a 满足92=a ，781-=+n n a a ． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设)(1*31N n a c n n ∈-=+,将n c 的底数与指数互换得到n d ，设数列}1{nd 的前n 项和为n T ，求证：2033<n T ． 18．在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，PAD ∆是等腰三角形，AD AB 2=，E 是AB 的一个三等分点（靠近点A ），CE 的延长线与DA 的延长线交于点F ，连接PF ． （1）求证：PF CD ⊥；（2）求证：在线段PD PC ,上可以分别找到两点'A ，''A ，使得直线⊥PC 平面'''A AA ，并分别求出此时PDPA PC PA '','的值．19．某校高一年级共有1000名学生，其中男生400名，女生600名，该校组织了一次口语模拟考试（满分为100分）．为研究这次口语考试成绩为高分（80分以上（含80分）为高分）是否与性别有关，现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生的成绩，按从低到高分成]100,90[),90,80[),80,70[),70,60[),60,50[),50,40[),40,30[七组，并绘制成如图所示的频率分布直方图．已知区间)50,40[上的频率等于区间)90,80[上频率，区间)90,80[上的频率与区间]100,90[上的频率之比为2:3．（1）估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为高分的人数；（2）请你根据已知条件将下列22⨯列联表补充完整，并判断是否有%9.99的把握认为“该校高一年级学生在本次考试中口语成绩及格（60分以上（含60分）为及格）与性别有关”．附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=20．已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率与双曲线'C ：12222=-y x 的离心率互为倒数，且经过点)31,34(M ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，已知S R ,是椭圆上的两个点，线段RS 的中垂线的斜率为21且与RS 交于点P ，O 为坐标原点，求证：M O P ,,三点共线．21．已知函数)(1232)(23R m m x x x x h ∈+-+=的一个极值为2-． （1）求实数m 的值；（2）若函数)(x h 在区间]23,[k 上的最大值为18，求实数k 的值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 经过点)6,2(-P ，倾斜角4πα=，圆C 的极坐标方程θρcos 2=．（1）写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；（2）设圆C 上的点A 到直线l 的距离最近，点B 到直线l 的距离最远，求点B A ,的横坐标之积．23．选修4-5：不等式选讲 已知函数|4||5|)(++-=x x x f ． （1）求不等式12)(≥x f 的解集； （2）若关于x 的不等式012)(31≥---ax f 恒成立，求实数a 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5：BCADD 6-10：ACBAD 11、12：DC 二、填空题13．]7,2()2,1[]1,7[ -- 14．1 15．153 16．21三、解答题17．（1）设)(81k a k a n n +=++（k 为常数），则k a k a n n 881+=++， 得k a a n n 781+=+，又781-=+n n a a ，所以77-=k ，即1-=k 所以)1(811-=-+n n a a ，由92=a ，7812-=a a ，得21=a又因为0111≠=-a ，所以数列}1{-n a 是以1为首项，8为公比的等比数列，所以181-=-n n a ，所以181+=-n n a .所以数列}{n a 的通项公式为181+=-n n a .（2）由（*）式，得n n a 811=-+，所以nnn n a c 281331==-=+)(*N n ∈将n n c 2=的底数与指数互换得到2n d n =，所以)(11*2N n nd n ∈=. )121121(2)12)(12(414441111222+--=+-=-=-<=n n n n n n n d n .当1=n 时，)311(2111-<==d T n ； 当2=n 时，)5131311(24111121-+-<+=+=d d T n ； 当3≥n 时，)12112191717151(2411111321+--++-+-++=++=∑=n n d d d T n i i n .203352411=++<.综上，2033<n T 成立. 18、（1）证明：因为⊥PA 平面ABCD ，⊂CD 平面ABCD ，所以CD PA ⊥. 因为底面ABCD 是矩形，所以CD AD ⊥又因为A AD PA = ，所以⊥CD 平面PAD . 又因为⊂PF 平面PAD ，所以PF CD ⊥.（2）如图所示，取线段PD 的中点''A ，连接''AA ，作PC AA ⊥'，垂足为'A ，连接'''A A ，则此时满足直线⊥PC 平面'''A AA .由（1）得，⊥CD 平面PAD ，又⊂'''A A 平面PAD ， 所以⊥CD PD CD A A ⊥,'''因为⊥PA 平面ABCD ，所以AD PA ⊥又因为PAD ∆是等腰三角形，所以''AA PD ⊥. 又因为D PD CD = ，所以⊥''AA 平面PCD .又因为PC AA ⊥''，A AA AA =''' ，所以⊥PC 平面'''A AA . 易知21''=PD PA ，下面求解PCPA '： 因为AD AB 2=，AD PA =，所以可设)0(>=a a AD ，则a PA =，a CD AB 2==. 在等腰直角三角形PAD中，由勾股定理，得a PD PA a AD PA PD 2221'',222===+=. 因为⊥PC 平面'''A AA ，又⊂'''A A 平面'''A AA ，所以'''A A PC ⊥PCD Rt ∆的平面图如图所示：在PCD Rt ∆中，由勾股定理，得a a a CD PD PC 6)2()2(2222=+=+=，所以3362cos ===∠aa PC PD CPD . 在'''A PA Rt ∆中，由3322''''cos ===∠a PA PA PA CPD ，得a PA 66'= 所以61666'==a aPC PA .综上，在线段PD PC ,上可以分别找到两点'A ，''A ，使得直线⊥PC 平面'''A AA ， 并且此时61'=PC PA ，21''=PD PA . 19、(1)设区间)90,80[上的频率为x 3，则区间)50,40[上的频率为x 3， 区间]100,90[上的频率为x 2，则1233)024.0026.0016.0002.0(10=++++++⨯x x x ， 解得04.0=x .故区间)90,80[上的频率为12.0，区间]100,90[上的频率为08.0.所以估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为高分的频率为2.008.012.0=+ 所以估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为高分的频率为2002.01000=⨯. （2）根据已知条件补全22⨯列联表如下：因为828.10841.1930706040)2252818(10022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ， 所以有%9.99的把握认为“该校高一年级学生在本次考试中口语成绩及格（60分以上（含60分）为及格）与性别有关”．20、（1）因为双曲线'C ：12222=-y x 的离心率222'''===a c e ， 而椭圆C 的离心率与双曲线'C 的离心率互为倒数，所以椭圆C 的离心率为22，设椭圆C 的半焦距为c ，则22==a c e .① 又椭圆C 经过点)31,34(M ，所以1)31()34(2222=+ba .②222c b a +=，③联立①②③，解得1,1,2===c b a .所以椭圆C 的标准方程为1222=+y x . （2）因为线段线段RS 的中垂线的斜率为21，所以线段RS 所在直线的斜率为2-. 所以可设线段RS 所在直线的方程为m x y +-=2， 设点),(),,(),,(002211y x P y x S y x R ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++-=12222y x m x y ，消去y ，并整理得0228922=-+-m mx x ， 显然0>∆.所以m x x m x m x y y mx x 2)(222,9821212121++-=+-+-=+=+ 922982m m m =+⋅-=，则92,942210210my y y m x x x =+==+= 因为4100=x y ，所以0041x y =，所以点P 在定直线x y 41=上，而M O ,两点也在定直线x y 41=上，所以M O P ,,三点共线．21、（1）由)(1232)(23R m m x x x x h ∈+-+=，得)1)(2(61266)('2-+=-+=x x x x x h ，令0)('=x h ，得2-=x 或1=x ；令0)('<x h ，得12<<-x ； 令0)('>x h ，得2-<x 或1>x .所以函数)(x h 有两个极值为)2(-h 和令)1(h .若2)2(-=-h ，得2)2(12)2(3)2(223-=+-⨯--⨯+-⨯m ，解得22-=m ； 若2)1(-=h ，得2112131223-=+⨯-⨯+⨯m ，解得5=m ； 综上，实数m 的值为22-或5.（2）由（1）得，)('x h ，)(x h 在区间]23,(-∞上的变化情况如下表所示：由上表可知，当1≥k 时，函数)(x h 在区间]23,[k 上的最大值为29)23(-=m h ，其值为253-或21，不符合题意． 当2-≤k 时，函数)(x h 在区间]23,[k 上的最大值为20)2(+=-m h ，其值为2-或25，不符合题意．当12<<-k 时，要使函数)(x h 在区间]23,[k 上的最大值为18，必须使181232)(23=+-+=m k k k k h ，且5=m （因为若22-=m ，则极大值18220)2(<-=+=-m h ，那么，函数)(x h 在区间]23,[k 上的最大值只可能小于2-，更小于18，不合题意）.即1851232)(23=+-+=k k k k h ，所以013123223=--+k k k .所以41051±-=k 或1-=k . 因为12<<-k ，所以41051±-=k 舍去. 综上，实数k 的值为1-．22、（1）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=4sin 64cos 2ππt y t x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 226222（t 为参数）由θρcos 2=得θρρcos 22=因为222y x +=ρ，x =θρcos ，y =θρsin ，所以x y x 222=+，即圆C 的直角坐标方程为x y x 222=+. （2）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程是8+=x y ，过圆心)0,1(C 且垂直于8+=x y 的直线'l 的方程为)1(0--=-x y ， 即01=-+y x .则直线'l ：01=-+y x 与圆C ：0222=-+x y x 的交点为B A ,两点. 设点B A ,的横坐标分别为21,x x ，联立⎩⎨⎧=-+=-+020122x y x y x 消去y ，得01422=+-x x ，则2121=x x . 故点B A ,的横坐标之积为21. 23、解：（1）原不等式等价于⎩⎨⎧≥++->12455x x x 或⎩⎨⎧≥++-≤≤-124554x x x 或⎩⎨⎧≥+---<12)4(54x x x ，解得213≥x 或∅∈x 或211-≤x . 所以不等式的解集为213|{≥x x 或}211-≤x ． （2）不等式012)(31≥---ax f 恒成立等价于12)(31min +≥-a x f ，即12|)4||5(|31min +≥++--a x x因为9|)4()5(||4||5|=+--≥++-x x x x ， 所以12931+≥-a，得8231≤-a ，得331≤-a ，解得32-≥a .故实数a 的取值范围是),32[+∞-.。

郑州市第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 下列判断正确的是（）A ．①不是棱柱B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④是棱台2． 若f （x ）=﹣x 2+2ax 与g （x ）=在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是（）A ．（﹣∞，1]B ．[0，1]C ．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，1]D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]3． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ． B．15+C ．D．15+15+【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．4． 曲线y=在点（1，﹣1）处的切线方程为（ ）A ．y=x ﹣2B ．y=﹣3x+2C ．y=2x ﹣3D ．y=﹣2x+15． 已知α，β为锐角△ABC 的两个内角，x ∈R ，f （x ）=（）|x ﹣2|+（）|x ﹣2|，则关于x 的不等式f （2x ﹣1）﹣f （x+1）＞0的解集为（ ）A ．（﹣∞，）∪（2，+∞）B ．（，2）C ．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）D ．（﹣，2）6． 若满足约束条件，则当取最大值时，的值为（ ）y x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0033033y y y x 31++x y y x +A ． B ． C ． D ．1-3-3班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________7． 不等式组在坐标平面内表示的图形的面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．8． 某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）A ．13πB ．16πC ．25πD ．27π9． 若函数f （x ）的定义域为R ，则“函数f （x ）是奇函数”是“f （0）=0”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．下列正方体或四面体中，、、、分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是P Q R S （）11．设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x 2﹣4=0}，则A ∩B=（ ）A ．{﹣2}B ．{2}C ．{﹣2，2}D ．∅12．如图所示，在三棱锥的六条棱所在的直线中，异面直线共有（ ）111]P ABC A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对二、填空题13．17．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．14．函数f （x ）=（x ＞3）的最小值为 ．15．若函数f （x ）=x 2﹣2x （x ∈[2，4]），则f （x ）的最小值是 ．　16．方程22x ﹣1=的解x= ．17．已知函数的一条对称轴方程为，则函数的最大值为21()sin cos sin 2f x a x x x =-+6x π=()f x ___________．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．18．函数f （x ）=﹣2ax+2a+1的图象经过四个象限的充要条件是 ．三、解答题19．已知f （x ）=x 3+3ax 2+bx 在x=﹣1时有极值为0．（1）求常数 a ，b 的值； （2）求f （x ）在[﹣2，﹣]的最值．20．已知顶点在坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为，求此抛物线方程．21．（本题满分15分）正项数列满足，．}{n a 121223+++=+n n n n a a a a 11=a （1）证明：对任意的，；*N n ∈12+≤n n a a （2）记数列的前项和为，证明：对任意的，．}{n a n n S *N n ∈32121<≤--n n S 【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析和解决问题的能力.22．已知函数f（x）=4sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3．（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．23．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．24．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=3，且2S n=a n+1+2n．（1）求a2；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）令b n=（2n﹣1）（a n﹣1），求数列{b n}的前n项和T n．郑州市第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1． 【答案】C【解析】解：①是底面为梯形的棱柱；②的两个底面不平行，不是圆台；③是四棱锥；④不是由棱锥截来的，故选：C ．　2． 【答案】D【解析】解：∵函数f （x ）=﹣x 2+2ax 的对称轴为x=a ，开口向下，∴单调间区间为[a ，+∞）又∵f （x ）在区间[1，2]上是减函数，∴a ≤1∵函数g （x ）=在区间（﹣∞，﹣a ）和（﹣a ，+∞）上均为减函数，∵g （x ）=在区间[1，2]上是减函数，∴﹣a ＞2，或﹣a ＜1，即a ＜﹣2，或a ＞﹣1，综上得a ∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]，故选：D【点评】本题主要考查二次函数与反比例函数的单调性的判断，以及根据所给函数单调区间，求参数的范围．　3． 【答案】C【解析】还原几何体，由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长，宽的矩形，高为3，且平面62VE ^，如图所示，所以此四棱锥表面积为ABCD 1S =262´´´1123+22622´´´´´，故选C．15=+4646101011326E VD CBA4． 【答案】D【解析】解：y′=（）′=，∴k=y′|x=1=﹣2．l：y+1=﹣2（x﹣1），则y=﹣2x+1．故选：D5．【答案】B【解析】解：∵α，β为锐角△ABC的两个内角，可得α+β＞90°，cosβ=sin（90°﹣β）＜sinα，同理cosα＜sinβ，∴f（x）=（）|x﹣2|+（）|x﹣2|，在（2，+∞）上单调递减，在（﹣∞，2）单调递增，由关于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得到关于x的不等式f（2x﹣1）＞f（x+1），∴|2x﹣1﹣2|＜|x+1﹣2|即|2x﹣3|＜|x﹣1|，化简为3x2﹣1x+8＜0，解得x∈（，2）；故选：B．6．【答案】D【解析】考点：简单线性规划．7．【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，则对应的平面区域为矩形OABC，则B（3，0），由，解得，即C（，），∴矩形OABC的面积S=2S△0BC=2×=，故选：B【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区，利用数形结合是解决本题的关键．8．【答案】C【解析】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故选C．【点评】本题考查了长方体的三视图，长方体与外接球的关系，属于中档题．9．【答案】A【解析】解：由奇函数的定义可知：若f（x）为奇函数，则任意x都有f（﹣x）=﹣f（x），取x=0，可得f（0）=0；而仅由f（0）=0不能推得f（x）为奇函数，比如f（x）=x2，显然满足f（0）=0，但f（x）为偶函数．由充要条件的定义可得：“函数f（x）是奇函数”是“f（0）=0””的充分不必要条件．故选：A．10．【答案】D【解析】考点：平面的基本公理与推论．11．【答案】A【解析】解：由A 中的方程x+2=0，解得x=﹣2，即A={﹣2}；由B 中的方程x 2﹣4=0，解得x=2或﹣2，即B={﹣2，2}，则A ∩B={﹣2}．故选A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．　12．【答案】B 【解析】试题分析：三棱锥中，则与、与、与都是异面直线，所以共有三对，故选P ABC PA BC PC AB PB AC B ．考点：异面直线的判定．二、填空题13．【答案】【解析】解：∵f （x ）=a x g （x ）（a ＞0且a ≠1），∴=a x ，又∵f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），∴（）′=＞0，∴=a x 是增函数，∴a ＞1，∵+=．∴a 1+a ﹣1=，解得a=或a=2．综上得a=2．∴数列{}为{2n}．∵数列{}的前n项和大于62，∴2+22+23+…+2n==2n+1﹣2＞62，即2n+1＞64=26，∴n+1＞6，解得n＞5．∴n的最小值为6．故答案为：6．【点评】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起，是一道好题．14．【答案】　12　．【解析】解：因为x＞3，所以f（x）＞0由题意知：=﹣令t=∈（0，），h（t）==t﹣3t2因为h（t）=t﹣3t2的对称轴x=，开口朝上知函数h（t）在（0，）上单调递增，（，）单调递减；故h（t）∈（0，]由h（t）=⇒f（x）=≥12故答案为：1215．【答案】　0　．【解析】解：f（x））=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，其图象开口向上，对称抽为：x=1，所以函数f（x）在[2，4]上单调递增，所以f（x）的最小值为：f（2）=22﹣2×2=0．故答案为：0．【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，一般运用数形结合思想进行处理．16．【答案】　﹣　．【解析】解：22x﹣1==2﹣2，∴2x﹣1=﹣2，解得x=﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查了指数方程的解法，属于基础题．17．【答案】1【解析】18．【答案】　﹣　．【解析】解：∵f（x）=﹣2ax+2a+1，∴求导数，得f′（x）=a（x﹣1）（x+2）．①a=0时，f（x）=1，不符合题意；②若a＞0，则当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0；当﹣2＜x＜1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣2，1）是为减函数，在（﹣∞，﹣2）、（1，+∞）上为增函数；③若a＜0，则当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣2，1）是为增函数，在（﹣∞，﹣2）、（1，+∞）上为减函数因此，若函数的图象经过四个象限，必须有f（﹣2）f（1）＜0，即（）（）＜0，解之得﹣．故答案为：﹣【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、函数的图象、充要条件的判断等知识，属于基础题．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）∵f（x）=x3+3ax2+bx，∴f'（x）=3x2+6ax+b，又∵f（x）在x=﹣1时有极值0，∴f'（﹣1）=0且f（﹣1）=0，即3﹣6a+b=0且﹣1+3a﹣b=0，解得：a=，b=1 经检验，合题意．（2）由（1）得f'（x）=3x2+4x+1，令f'（x）=0得x=﹣或x=﹣1，又∵f（﹣2）=﹣2，f（﹣）=﹣，f（﹣1）=0，f（﹣）=﹣，∴f（x）max=0，f（x）min=﹣2．20．【答案】【解析】解：由题意可设抛物线的方程y2=2px（p≠0），直线与抛物线交与A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程可得，4x2+（4﹣2p）x+1=0则，，y1﹣y2=2（x1﹣x2）====解得p=6或p=﹣2∴抛物线的方程为y2=12x或y2=﹣4x【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程．解题的关键是对抛物线基本性质和标准方程的熟练应用　21．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）f（x）=4sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3=2sin2x﹣+3=2sin2x+2cos2x=4sin（2x+）．∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴f（x）∈[﹣2，4]．（Ⅱ）由条件得sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），化简得sinC=2sinA，由正弦定理得：c=2a，又b=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=3a2+4a2﹣4a2cosA，解得：cosA=，故解得：A=，B=，C=，∴f（B）=f（）=4sin=2．【点评】本题考查了平方关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．23．【答案】【解析】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣，=×（+）﹣=．（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴T==π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．24．【答案】【解析】解：（1）当n=1时，2S1=2a1=a2+2，∴a2=4…1；（2）当n≥2时，2a n=2s n﹣2s n﹣1=a n+1+2n﹣a n﹣2（n﹣1）=a n+1﹣a n+2，∴a n+1=3a n﹣2，∴a n+1﹣1=3（a n﹣1）…4，∴，∴{a n﹣1}从第二项起是公比为3的等比数列…5，∵，∴，∴；（3）∴ (8)∴① (9)∴②①﹣②得：，=，=（2﹣2n）×3n﹣4， (11)∴ (12)【点评】本题考查等比数列的通项公式，数列的递推公式，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．。

18届高三一轮复习文科数学单元检测（一）参考答案一、选择题：1-5CDABD,6-12CBCCC,AC二、填空题:13.21-14.-115.2116.150三、解答题17解：（Ⅰ）当2n ≥时，121n n a S +=+，121n n a S -=+两式相减得：112()2n n n n n a a S S a +--=-=13n na a +∴=11a = ，21121213a S a ∴=+=+=，即213a a ={}n a ∴是以1为首项，以3为公比的等比数列.从而13n n a -=...................6分（Ⅱ） 32log n n c a =，21n c n ∴=-，223n c n +∴=+()()1111(212342123n b n n n n ==--+-+∴11111111111(415375923212123n T n n n n =-+-+-++-+--+-+ 1111=(1)432123n n +--++1111=()342123n n -+++由于n T 随着n 的增大而增大，所以n T 最小值为115T =∴所求λ的取值范围为：15λ<............12分18.证明：(1)()()1cos 1sin 042f a a ππθθ⎛⎫⎛⎫=++=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ()0θπ∈，,∴sin 0θ≠,∴10,1a a +=∴=-………………………………2分Q 函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数()()02cos cos 0f a θθ∴=+==……………………………………………………………4分2πθ∴=…………………………………………………………………………………………5分(2)有（1）得()()2112cos cos 2cos 2sin 2sin 422f x x x x x x π⎛⎫=-++=-=- ⎪⎝⎭g ………7分Q 12sin 425f αα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∴4sin 5α=……………………………………………………8分Q 2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，3cos 5α∴=-…………………………………………………………………10分4133433sin sin cos cos sin 333525210πππααα-⎛⎫∴+=+=⨯-⨯= ⎪⎝⎭……………………12分19.解：(Ⅰ)42cos 23=∠=ABC a ，，3=c ，由余弦定理：ABCa c a cb ∠⋅⋅-+=cos 2222=18423232)23(322=⨯⨯⨯-+，………………………………2分∴23=b ．……………………………………………………………………4分又(0,)π∠∈ABC ，所以414cos 1sin 2=∠-=∠ABC ABC ，由正弦定理：ABCb ACBc ∠=∠sin sin ，得47sin sin =∠⨯=∠b ABC c ACB ．………………………………………6分(Ⅱ)以BC BA ，为邻边作如图所示的平行四边形ABCE ，如图，则42cos cos -=∠-=∠ABC BCE ，…………………8分,62==BD BE 在△BCE 中，由余弦定理：BCE CE CB CE CB BE ∠⋅⋅-+=cos 2222．即)42(23218362-⨯⨯⨯-+=CE CE ，解得：，3=CE 即，3=AB …………………10分所以479sin 21=∠=∆ABC ac S ABC .…………………………………………12分20．（1）证明：连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥，故1B C ABO⊥平面由于AB ABO ⊂平面，故1B C AB ⊥……………………………6分（2）解：做OD BC ⊥，垂足为D，连接AD，做OH AD ⊥，垂足为H。

18-19学年高三年级上学期数学学科期中试卷（文）数学（文科）全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡。

第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1．设集合 ( )A ．B ．C ．D ．2．在复平面内，复数ii 1对应的点在（ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限3．某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(指标值满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，图中点A 表示甲的创造力指标值为4，点B 表示乙的空间能力指标值为3，则下面叙述正确的是（ ）A ． 乙的记忆能力优于甲的记忆能力B ． 乙的创造力优于观察能力C ． 甲的六大能力整体水平优于乙D ． 甲的六大能力中记忆能力最差 4．双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）A ．B ．C ．D ． 5．在等比数列中，，，则等于( )A ．B ．C ．D ．6．函数在点处的切线方程为（ ） A ． B ．C ．D ．7．向量,若，则（ ）A ．B ．C ．D ．8．函数的最大值为，A ．B ．C ．D ．9．执行如右图所示的程序框图，输出的的值是( )A ． 9B ． 10C ． 11D ． 1210．在边长为1的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，则两个顶点间距离大于1的概率为 A.51 B.52 C. 21 D.5311．在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，其终边上的一点P 的坐标为（其中），则A ．54-B ．53-C ．53D ．5412．函数的图象大致为A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.） 13．已知则__________．14．已知实数满足则的最大值为__________．15．直线被圆截得的弦长等于_________. 16．在中，角所对的边分别是，若，且，则的面积等于_________．三、解答题（本大题共6个小题，17、18、19、20、21题各12分，22题10分，共70分） 17．已知{a n }是公差为1的等差数列，且a 1，a 2，a 4成等比数列． （1）求{a n }的通项公式； （2）求数列{nn a 2}的前n 项和．18．已知函数. （1）当时，求函数的取值范围；（2）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，求的单调递增区间.19．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”， 《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；（2）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.参考公式：，.参考数据：.20．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴且焦点到准线的距离为2．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）若直线与抛物线相交于两点，求弦长.21．已知函数．（1）求函数的单调区间．（2）若斜率为k的直线与曲线交于，两点，其中，求证：．22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标参考答案1．B2．A3．C4．C5．A6．C7．B8．C9．B10．C11．C12．C13．【解析】【分析】根据分段函数的解析式，先求解，进而求解的值.【详解】由题意，函数，所以，所以.【点睛】本题主要考查了分段函数的函数值的求解问题，其中解答中正确理解分段函数的分段条件，合理选择相应的解析式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14．5【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出表示的可行域，如图，设，则，当在轴上截距最大时，最大，由，得，点，由图可知，直线过时，最值为，故答案为5.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．【解析】【分析】先利用圆的方程求得圆心坐标和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离最后利用勾股定理求得弦长．【详解】圆心坐标为（﹣2，2）半径为：∴圆心到直线的距离为=∴弦长为2=故答案为：【点睛】当直线与圆相交时，弦长问题属常见的问题，最常用的手法是弦心距，弦长一半，圆的半径构成直角三角形，运用勾股定理解题.16．【解析】【分析】由余弦定理，算出，从而得到．再利用正弦定理的面积公式，即可算出△ABC的面积．【详解】：∵△ABC中，b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2-bc，可得，结合A为三角形内角，可得，又bc=8因此，△ABC的面积 .即答案为.【点睛】本题给出三角形的边的关系式，求三角形的面积．着重考查了余弦定理、三角形面积公式等知识，属于中档题．17．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式写出a1，a2，a4，再由a1，a2，a4成等比数列建立方程可求a1=1，进而写出{a n}通项公式；（2）运用错位相减法求数列{}的前n项和。