人教版高中数学高考模拟测试卷(十)含答案

2024年高考数学模拟试题与答案解析一、选择题1.设集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=3k,k∈Z}，则A∩B={()}A.{x|x=6k,k∈Z}B.{x|x=2k,k∈Z}C.{x|x=3k,k∈Z}D.{x|x=k,k∈Z}【答案】B解析：集合A包含所有2的倍数，集合B包含所有3的倍数。

A ∩B表示同时属于A和B的元素，即同时是2和3的倍数的数，也就是6的倍数。

所以A∩B={x|x=6k,k∈Z}，故选B。

2.若函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=2，则c的值为()A.4B.3C.2D.1【答案】A解析：函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=-b/2a，即x=2。

根据对称轴的公式，得到-(-4)/(21)=2，解得c=4。

故选A。

3.已知等差数列的前n项和为Sn=n(a1+an)/2，若S3=18，S6-S3=24，则a4的值为()A.6B.8C.10D.12【答案】B解析：根据等差数列的前n项和公式，得到S3=3(a1+a3)/2=18，即a1+a3=12。

又因为S6-S3=24，得到a4+a5+a6=24。

由等差数列的性质，a3+a6=a4+a5。

将a3+a6替换为a4+a5，得到3a4+3a5=48，即a4+a5=16。

解方程组a1+a3=12和a4+a5=16，得到a4=8。

故选B。

二、填空题4.若|x-2|≤3，则|x+1|的取值范围是______【答案】-2≤x≤5解析：由|x-2|≤3，得到-3≤x-2≤3，即-1≤x≤5。

再由|x+1|的图像可知，当-3≤x≤5时，|x+1|的取值范围是-2≤x≤5。

5.已知函数f(x)=2x²-3x+1，求f(1/2)的值。

【答案】3/4解析：将x=1/2代入函数f(x)，得到f(1/2)=2(1/2)²-3(1/2)+1=2/4-3/2+1=3/4。

三、解答题6.（1）求证：对任意正整数n，都有n²+2n+1≥n+2。

（人教版）2020年高三数学模拟试卷及参考答案一、选择题（5×10=50分）1．已知集合{10}{lg(1)}M x x N x y x =+>==-，，则M N =I （ ） A ．{11}x x -<< B ．{1}x x > C ．{11}x x -≤< D ．{1}x x ≥-2．等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅等于（ ） A ．4 B ．8 C ．16D ．323．已知:1231,:(3)0p x q x x -<-<-<, 则p 是q 的什么条件（ ）A ．必要不充分B ．充分不必要C ．充要D ．既不充分也不必要4．若点(cos ,sin )P αα在直线2y x =-上，则sin 22cos2αα+=（ ） A ．145- B ．75- C ．2-D ．455．圆0222=++x y x 和0422=-+y y x 的公共弦所在直线方程为（ ） A ．02=-y x B ．02=+y x C ．02=-y x D ．02=+y x 6. 已知函数()22xf x =-，则函数()y f x =的图象可能是（ ）7．函数()3cos 2sin 2f x x x =-的单调减区间为（ ）A ．2[,]63k k ππππ++，k Z ∈ B ．7[,]1212k k ππππ--，k Z ∈C ．7[2,2]1212k k ππππ--，k Z ∈D ．5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈8．设11321log 2,log 3,()2a b c ===0.3，则（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<9．在复平面内，复数211)i (i-+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限10．已知某几何体的三视图如右图所示， 则该几何体的体积是（ ）A ．21 B ．61 C ． 121 D ． 181二、填空题（5×5=25分）11．向量b a ,的夹角为120°，|5|,3||,1||b a b a -==则= 12．不等式0)1)(3(1<+--x x x 的解集为13．已知圆C 的圆心是直线01=+-y x 与x 轴的交点，且圆C与直线03=++y x 相切．则圆C 的方程为14．已知0,0x y >>，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是______15．已知向量(,1)x =-a ，(3,)y =b ，其中x 随机选自集合{1,1,3}-，y 随机选自集合{1,3}，那么⊥a b 的概率是_____．三、解答题（75分）16．设集合A ＝{x |x 2＜4}，B ＝{x |1＜4x ＋3}（1）求集合B A I（2）若不等式022<++b ax x 的解集为B ，求a ，b 的值17．已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中(0,)2πθ∈（1）求θsin 和θcos 的值（2）求函数x x x f sin 22cos )(+=的值域18． 将一颗均匀的四面分别标有1，2，3，4点的正四面体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（1）两数之和为5的概率；（2）以第一次向上点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(),x y在区域Ω：0020x y x y >⎧⎪>⎨⎪-->⎩内的概率．19．已知数列{}n a 的前n 项和为22n n nS +=, （1）求数列{}n a 的通项公式 （2）求数列1{}n n a x -的前n 项和（其中0x >）20．如图，正三棱柱111C B A ABC -中，D AA AB ,3,21==为B C 1的中点，P 为AB 边上的动点.（1）当点P 为AB 边上的中点，证明DP //平面11A ACC （2）若,3PB AP =求三棱锥CDP B -的体积．21．若椭圆1C ：)20( 14222<<=+b by x 的离心率等于23，抛物线2C ：)0( 22>=p py x 的焦点在椭圆的顶点上。

高三数学模拟试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。

A. 1B. 3C. 5D. 7答案：C2. 求下列数列的通项公式：数列：1, 1/2, 1/3, 1/4, ...A. a_n = nB. a_n = 1/nC. a_n = n^2D. a_n = 1/(n+1)答案：B3. 已知圆x^2 + y^2 = 9，点P(1, 2)，求点P到圆心的距离。

A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C4. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，求向量a与向量b的夹角θ。

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：B5. 已知函数y = x^3 - 3x^2 + 4x，求导数y'。

A. 3x^2 - 6x + 4B. 3x^2 - 6x + 5C. 3x^2 - 6x + 3D. 3x^2 - 6x + 2答案：A6. 已知等差数列的第5项为15，第8项为25，求公差d。

A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B7. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 3，b = 4，c = 5，求三角形ABC的面积。

A. 6B. 9C. 12D. 15答案：A8. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(π/4)的值。

A. √2B. √3C. 2D. 1答案：A9. 已知复数z = 1 + i，求z的共轭复数。

A. 1 - iB. 1 + iC. -1 + iD. -1 - i答案：A10. 已知函数y = x^2 - 6x + 9，求函数的最小值。

A. 0B. 3C. 6D. 9答案：A二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。

）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求f''(x)的值。

高三数学模拟考试卷（附答案解析）一、单选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知p:sinx=siny，q:x=y，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件2.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程为()A. y=±3xB. y=±2xC. y=±2xD. y=±x3.函数y=f(x)是定义域为R的奇函数，且对于任意的x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<1成立．如果f(m)>m，则实数m的取值集合是()A. {0}B. {m|m>0}C. {m|m<0}D. R4.已知数列{an}满足a1+a2+⋯+an=n(n+3)，n∈N*，则an=()A. 2nB. 2n+2C. n+3D. 3n+1二、填空题（本大题共12小题，共54分）5.不等式|2x+1|+|x−1|<2的解集为______．6.函数f(x)=x+9x(x>0)的值域为______．7.函数f(x)=sinx+cosx(x∈R)的最小正周期为______．8.若an为(1+x)n的二项展开式中x2项的系数，则n→+∞lim ann2=______．9.在所有由1，2，3，4，5这五个数字组成的无重复数字的五位数中，任取一个数，则取出的数是奇数的概率为______．10.若实数x，y满足x+y≤4y≤3xy≥0，则2x+3y的取值范围是______．11.已知向量a,b满足|a|=2，|b|=1，|a+b|=3，则|a−b|=______．12.已知椭圆C：x29+y2b2=1(b>0)的左、右两个焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点．若△F1AB是等边三角形，则b的值等于______．13.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>1，且a2+1为a1与a3的等差中项，S3=14.若数列{bn}满足bn=log2an，其前n项和为Tn，则Tn=______．14.已知A，B，C是△ABC的内角，若(sinA+i⋅cosA)(sinB+i⋅cosB)=12+32i，其中i为虚数单位，则C 等于______．15.设a∈R，k∈R，三条直线l1：ax−y−2a+5=0，l2：x+ay−3a−4=0，l3：y=kx，则l1与l2的交点M到l3的距离的最大值为．16.设函数f(x)=x2−1,x≥a|x−a−1|+a,x<a，若函数f(x)存在最小值，则a的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共76分。

高考数学模拟试题含答案详解一、选择题1. 已知函数 $ f(x) = x^2 4x + 3 $，求 $ f(2) $ 的值。

答案：将 $ x = 2 $ 代入函数 $ f(x) $，得 $ f(2) = 2^2 4\times 2 + 3 = 1 $。

2. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1 = 3$，公差为 $d = 2$，求第 $n$ 项 $a_n$ 的表达式。

答案：等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n 1)d$，代入$a_1 = 3$ 和 $d = 2$，得 $a_n = 3 + (n 1) \times 2 = 2n + 1$。

3. 已知等比数列 $\{b_n\}$ 的首项为 $b_1 = 2$，公比为 $q = 3$，求第 $n$ 项 $b_n$ 的表达式。

答案：等比数列的通项公式为 $b_n = b_1 \times q^{n1}$，代入 $b_1 = 2$ 和 $q = 3$，得 $b_n = 2 \times 3^{n1}$。

4. 已知三角形的两边长分别为 $a = 5$ 和 $b = 8$，夹角为$60^\circ$，求第三边长 $c$。

答案：利用余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 2ab \cos C$，代入 $a = 5$，$b = 8$，$C = 60^\circ$，得 $c^2 = 5^2 + 8^2 2 \times5 \times 8 \times \cos 60^\circ = 49$，所以 $c = 7$。

5. 已知函数 $ g(x) = \frac{1}{x} $，求 $ g(x) $ 的定义域。

答案：由于 $x$ 不能为 $0$，所以 $g(x)$ 的定义域为 $x \neq 0$。

二、填空题1. 已知函数 $ h(x) = \sqrt{4 x^2} $，求 $ h(x) $ 的定义域。

答案：由于根号内的值不能为负，所以 $4 x^2 \geq 0$，解得$2 \leq x \leq 2$。

高三数学模拟试题及答案一、选择题1. 已知集合A={x | x² - 1 = 0}，则A的元素个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 若a > 0，b < 0，则a与b的和的符号为（）A. 正B. 负C. 零D. 无法确定答案：D3. 设函数f(x) = √(x²-2x+1)，则f(3)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 在△ABC中，角A = 60°，边AC = 5cm，边BC = 4cm，则边AB 的长度为（）A. 3.5cmB. 4cmC. 4.5cmD. 5cm答案：C5. 某商店对现金支付的商品提供10%的折扣，小明购买了一件原价500元的商品，他需要支付多少元？（）A. 45元B. 50元C. 450元D. 500元答案：C二、计算题1. 已知函数f(x) = |x - 3| + 2，求f(5)的值。

解：当x = 5时，f(x) = |5 - 3| + 2 = 4答案：42. 解方程：3x + 5 = 2(x - 1) + 7解：展开得：3x + 5 = 2x - 2 + 7移项得：3x + 5 = 2x + 5化简得：x = 0答案：03. 已知函数f(x) = x² - 4x + 5，求f(3)的值。

解：当x = 3时，f(x) = 3² - 4 × 3 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2答案：24. 某商品在经过两次10%的折扣后，售价为270元，求其原价。

解：设原价为x元，则经过第一次折扣后为0.9x元，经过第二次折扣后为0.9 × 0.9x元。

根据题意，0.9 × 0.9x = 270，解方程得：x = 300答案：300三、应用题1. 一辆自行车上午以每小时20公里的速度向南骑行，下午以每小时15公里的速度向北骑行。

如果来回共耗时8小时，求行程的总长度。

2020年高考数学模拟考试卷一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合要求的。

）1、（理）复数z a i（ a R, i 为虚数单位），若z 是纯虚数，则实数 a 的值为（）1iA． 1B．－ 1C． 2 D ． 0（文）已知向量a(cos15 , sin15 ), b (sin15 ,cos15 ), 则 | a b | 的值为（）A．3B．1C．2 D ．3 2r r r r r rR) 的模的最小值为（2、已知向量a, b为单位向量，且＜a, b＞＝，则 a tb (t）A. 2B.2C. cosD. sin33、已知等差数列n25P( n，a n ) 、 Q( n＋ 2，a n2)( n∈{ a n} 的前n项和为S，且S ＝ 10，S ＝ 55，则过点N* ) 的直线的一个方向向量的坐标为()A.( 1， 4)B( 1， 3)C( 1，2) D ( 1，1)4、（理）某中学高三年级期中考试数学成绩近似地遵从正态分布Ｎ( 110，102) （查表知Φ( 1) ＝ 0. 8413），则该校高三年级数学成绩在120 分以上的学生人数占总人数的百分比为（）A. 84. 13% B. 42. 065% C.15.87% D. 以上均不对( 文 ) 某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500 人，此中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300，此刻按1: 100 的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）Ａ. 8 B. 11 C. 16. D. 105、 ( 理 ) 曲线y ln(2 x1) 上的点到直线 2x y 30 的最小距离是（）A、 0B、5C、2 5 D 、3 5(文 )若函数 f( x)＝ x2＋ bx＋ c 的图象的极点在第四象限，则函数f/ ( x) 的图象是（）y y y yo x ox o x o xA B C D6、 ( 理 ) 已知f ( x)x 1 2，则 lim f (x) 的值（）x3x 3A 、不存在B 、 0C 、1D 、 443 x 2 y 7,( 文 )y x 1,3x 4y 的最大值是( )已知实数 x 、 y 满足则 u x 0,y 0,A. 0B. 4C. 7D. 117、函数 f(x)＝ log 2y|x|， g(x)＝－ x 2＋2，则 f(x)·g(x)的图象只可能是y x 1M( 1, 2)13 x4 y 118、三棱锥 P － ABC 的四个极点在同一个球面上， 若 PA ⊥底面 ABC ，底面 ABC 为直角三角形， PA ＝ 2 a AC＝ BC ＝ a ，则此球的表面积为（）O 3x 2 y7 xA ． π a 2 B. 6π a 2 C. 8π a 2D. 9π a 2 第 6 题图P 29 、 已 知 ( ax ＋ n及 ( x ＋ a) 2 n ＋n1) 21的 展 开 式 中 ， x 系 数 相 等（ (aR 且 a 0, nN * ) ，则 a 的值所在区间是（）A ． ( －∞ , 0) B.( 0， 1) AC ． ( 1, 2)D.(2，＋∞ )10、椭圆1： x 2 y 2 1(a b0) 的左准线为 l ，左右焦点分别为12CBC a 2 b 2F 、 F ，抛物线 C 2 的准线为 l ，一个焦点为 F 2， C 1 与 C 2 的一个交点为 P ，则| F 1F 2 | | PF 1 |）| PF 1 |等于（| PF 2 |A ．－ 1B ． 1C ．1 12D ．211、在四周体 D － ABC 中, AB ＝ 2, S ABC ＝ 4, S ABD ＝6, 面 ABC 与面 ABD 所成二面角的大小为，则四周6体 D －ABC 的体积为（ ）DA. 4B. 4 3C. 3D. 4 2C B2y2Auuur uuur12、设 F 1 、 F 2为双曲线 x1 的两焦点，点 P 在双曲线上， 当 F 1PF 2的面积为 1 时，PF 1gPF 24的值为（ ）A 、1C 、 1D 、 2B 、 02二、填空（本大共 4 小，每小 4 分，共 16 分，把答案填在中横上。

2023年高考数学模拟试题(十)参考答案 一㊁选择题1.D 2.A 3.B 4.D5.D 提示:当a >0时,抛物线的标准方程为x 2=1a y ,则2p =1a ,即p =12a,所以焦点F 0,14a,准线l :y =-14a ㊂依题意知3--14a=6,解得a =112㊂当a <0时,抛物线的标准方程为x 2=1a y ,则2p =-1a,即p =-12a ,所以焦点F 0,14a,准线l :y =-14a,依题意知-14a-3=6,解得a =-136,或a =112(舍去)㊂故所求抛物线的方程为y =112x 2,或y =-136x 2㊂6.B 提示:S =k ,n =1,第一次执行循环体后,n =2,S =k2,不满足退出循环的条件;第二次执行循环体后,n =3,S =k3,不满足退出循环的条件;第三次执行循环体后,n =4,S =k 4,满足退出循环的条件㊂若输出的S =15(单位:升),即k4=15,则输入的k 的值为60㊂图17.D 提示:如图1所示,连接B E ,D E ,则易知A C ʅD E ,A C ʅB E ,所以A C ʅ平面B D E ,又A C ⊂平面A B C ,所以平面A B C ʅ平面B E D ㊂8.A 提示:因为a 1=1,S n +1-S n =1,所以S n 是以1为首项,1为公差的等差数列,所以S n =S 1+(n -1)ˑ1=n ,即S n =n 2,所以a n =S n -S n -1=n 2-n -12=2n -1(n ȡ2)㊂当n =1时,a 1=1也适合上式㊂所以a n =2n -1㊂9.D 提示:可分为两类:(1)区域A 1,A 4同色,涂A 1,A 4有4种方法,涂A 5有3种方法,涂A 2,A 3有A 23=6(种)方法,由分步乘法计数原理知共有4ˑ3ˑ6=72(种)方法;(2)区域A 1,A 4不同色,涂A 1,A 4有A 24=12(种)方法,涂A 5有2种方法,涂A 2,A 3有7种方法(A 2,A 4同色,有3种方法;A 2,A 4不同色,有4种方法),由分步乘法计数原理知共有12ˑ2ˑ7=168(种)方法㊂根据分类加法计数原理知着色方案共有72+168=240(种),所以在所有的着色方案中任抽一种,抽到区域A 1,A 4同色的概率为72240=310㊂图210.A 提示:设双曲线C 的右顶点为A ,әM F 1F 2的内切圆I 与M F 1,M F 2,F 1F 2分别相切于点P ,Q ,N ,如图2所示,所以|M P |=|M Q |,|F 1P |=|F 1N |,|F 2Q |=|F 2N |,则2a =M F 1-M F 2=(M P +P F 1)-(M Q +Q F 2)=P F 1-Q F 2=F 1N -F 2N ㊂因为F 1A -F 2A =(c +a )-(c -a )=2a ,所以F 1A -F 2A =F 1N -F 2N ,即A 与N 重合,即内切圆I 与F 1F 2相切于点A ,所以I A ʅF 1F 2㊂又I O =I F 2,所以A 为O F 2的中点,所以c =2a ,故e =ca =2㊂图311.B 提示:如图3所示,设O 为球心,R 为球的半径,O 1和r 分别是әA B C 的外接圆的圆心和半径,连接O A ,O O 1,O 1A ㊂因为V 三棱锥P A B C =13㊃S әA B C ㊃P A =13㊃12A B ㊃A C ㊃s i n 120ʎ㊃P A =233,所以P A =2,O O 1=12㊃P A =1㊂由正弦定理得әA B C 的外接圆的直径2r =A B s i n øA B C =cs i n 30ʎ=4,即r =O 1A =2㊂在R t әA O O 1中,有O A =O 1A2+O O 12=4+1=5,即R =5,所以球O 的表面积为4πR 2=20π㊂12.D 提示:易知函数f x=e x -1+x-2的零点为x =1,则α=1,设函数g x=x 2-a x -a +3的一个零点为β,若函数fx 和g x 互为 零点相邻函数 ,根据定义得|1-β|ɤ1,解得0ɤβɤ2㊂作出函数g (x )=x 2-a x -a +3的图像(图略),因为g (-1)=4,要使函数g (x )的零点在区间[0,2]内,则g (0)=-a +3ȡ0,g a2=a 24-a 22-a +3ɤ0,0<a2<2,解得2ɤa ɤ3㊂二㊁填空题13.49提示:设事件A 为 第一次抽到白球 ,事件B 为 第二次抽到白球 ,则B =A B +A B ,所以P (B )=P (A )P (B |A )+P ( A )P (B | A ),由题可得P (A )=49,P (A )=59,P (B |A )=712,P (B | A )=412,所以P (B )=49ˑ712+59ˑ412=49㊂14.m <14,或m >1 提示:由题意知4m 2+(-2)2-4㊃5m >0,即4m 2-5m +1>0,解得m <14,或m >1㊂15.-3 提示:f (x )=4s i n (ωx +φ)㊃s i n ωx +φ+π2=4s i n (ωx +φ)c o s (ωx +φ)=2s i n (2ωx +2φ)㊂由题图可知f (0)=3,即s i n 2φ=32,由于点(0,3)在单调递增的区间内,所以2φ=π3+2k π,解得φ=π6+k π,k ɪZ ,根据题意知φ=π6,由图像过点5π12,0,则5π6ω+π3=2π,解得ω=2,故f (x )=2s i n 4x +π3,则f π4=2s i n 4π3=-2s i nπ3=-3㊂16.4e3ɤk <1 提示:由题意知函数f (x )=k e xx -3l n x -x 22+3x -1xk ɪR 的定义域为0,+ɕ ,求导得f'(x )=(x -1)[k e x -(x -1)2]x2㊂令f '(x )=0,解得x =1,或k =(x -1)2ex㊂若函数f (x )恰有2个极值点,则y =k 和h x =(x -1)2ex的图像在0,+ɕ 上恰有1个横坐标不为1的交点㊂求导得h 'x=-x -1 x -3ex,令h 'x >0,解得1<x <3;令h 'x <0,解得x <1,或x >3㊂故h (x )在0,1和(3,+ɕ)上单调递减,在1,3上单调递增㊂因为h 0 =1,h 1 =0,h 3 =4e3,当x ң+ɕ时,h x ң0,所以k ɪ4e3,1㊂三㊁解答题17.(1)因为向量m =a ,b,n =s i n B ,-c o s A,且m ㊃n =0,所以a s i n B -b c o s A =0,由正弦定理得s i n A s i n B -s i n B c o s A =0㊂因为0<B <π,所以s i n B ʂ0,所以s i n A =c o s A ,t a n A =1㊂因为0<A <π,s i n A =c o s A >0,所以A =π4㊂(2)由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2b c ㊃c o s A =102,即b 2+c 2-2b c =100,故100+2b c =b 2+c 2ȡ2b c ,所以100ȡ(2-2)b c ,所以S =12b c s i n A =24b c ɤ24ˑ1002-2=252+1 ,当且仅当b =c 时,等号成立,所以әA B C 面积的最大值为252+1 ㊂18.(1)因为底面A B C D 为正方形,且P A ʅ平面A B C D ,所以A B ,A D ,A P 两两垂直㊂图4以A 为坐标原点,A B ,A D ,A P 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图4所示的空间直角坐标系A -x yz ,设A B =1,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,1,0),P (0,0,1)㊂因为P D =3F D ,B E =3E P ,所以E14,0,34 ,F 0,23,13,所以A E ң=14,0,34 ,F C ң=1,13,-13 ㊂所以A E ң㊃F C ң=14,0,34 ㊃1,13,-13 =0,所以A E ʅF C ㊂(2)由(1)可知A F ң=0,23,13 ,AC ң=1,1,0㊂设平面A C F 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则n ㊃A F ң=2y +z =0,n ㊃A C ң=x +y=0,取x =1,则y =-1,z =2,所以n =(1,-1,2)㊂又A E ң=14,0,34 ,设A E 与平面A C F 所成角为θ,则s i n θ=c o s <A E ң,n >=A E ң㊃nA E ңn=14+2ˑ34142+342ˑ12+-1 2+22=71530㊂所以c o sθ=1-s i n 2θ=1-715302=16530,即A E 与平面A C F 所成角的余弦值为16530㊂19.(1)由题图知t A =9196>0.9,t B =8491>0.9,t C =6985<0.9,t D =5474<0.9,t E =6469>0.9,t F =6365>0.9,所以6款软件中有4款是有效下载软件,故从这6款软件中任取1款,该款软件是 有效下载软件 的概率为46=23㊂(2)由题意知X 的所有可能取值为2,3,4,且P (X =2)=C 24C 22C46=25,P (X =3)=C 34C 12C 46=815,P (X =4)=C 44C 46=115㊂所以X 的分布列为表1:表1X 234P25815115故E (X )=2ˑ25+3ˑ815+4ˑ115=83㊂20.(1)由(x +1)2+y 2+(x -1)2+y2=22,可得点M x ,y到定点A (-1,0),B (1,0)的距离之和等于22㊂因为A B <22,所以动点M 的轨迹是以C -1,0 ,A 1,0为焦点的椭圆,且长轴长为22,焦距2c =2,所以c =1,b =1,则a 2=b 2+c 2=2,故曲线E 的标准方程为x22+y 2=1㊂(2)设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,R 0,y 0,因为R P ң=λ1P F ң,所以x 1,y 1-y 0 =λ1(1-x 1,-y 1),所以x 1=λ11+λ1,y 1=y 01+λ1㊂因为点P 在曲线E 上,所以12λ11+λ12+y 01+λ12=1,化简得λ21+4λ1+2-2y 2=0㊂同理可得λ22+4λ2+2-2y 20=0㊂所以λ1,λ2是方程x 2+4x +2-2y 20=0的两个根,所以λ1+λ2=-4,为定值㊂21.(1)易知f (x )的定义域为(0,+ɕ)㊂当a =2时,f (x )=x +2x+l n x ,则f'(x )=1-2x 2+1x =x 2+x -2x2=(x +2)(x -1)x2㊂当0<x <1时,f '(x )<0;当x >1时,f'(x )>0㊂所以f (x )在(0,1)上单调递减,在(1,+ɕ)上单调递增㊂(2)函数h (x )=x l n x +a x 3在(0,+ɕ)上有两个零点,等价于方程l n x +a x2=0在(0,+ɕ)上有两个实数根,即方程a =-l n xx2在(0,+ɕ)上有两个实数根㊂令g (x )=-l n xx 2,则g '(x )=2l n x -1x3㊂令g '(x )=0,得x =e ㊂当x ɪ(0,e )时,g '(x )<0;当x ɪ(e ,+ɕ)时,g '(x )>0㊂所以g (x )在(0,e )上单调递减,在(e ,+ɕ)上单调递增㊂所以g (x )m i n =g (e )=-12e,易知g (1)=0,所以g (x )在(0,e )上只有一个零点㊂又知当x ɪ(e ,+ɕ)时,g (x )=-l n xx 2<0,所以g (x )在(e ,+ɕ)上没有零点,故g (x )的大致图像如图5所示㊂图5结合图像可知,当-12e <a <0时,直线y =a 与g (x )的图像有两个交点,即方程a =-l n x x2在(0,+ɕ)上有两个实数根㊂综上可得,a 的取值范围为-12e,0㊂22.(1)对曲线C 1的参数方程消参得x 2+y 2=1,通过变换x '=2x ,y '=y ,得x '24+y '2=1,即曲线C 2的普通方程为x 24+y 2=1㊂将x =ρc o s θ,y =ρs i n θ,代入可得曲线C 2的极坐标方程为ρ2c o s 2θ4+s i n 2θ=1,即ρ2=41+3s i n 2θ㊂同理可得直线l 1的极坐标方程为θ=5π6㊂(2)设点A ,B 对应的极径分别为ρ1,ρ2,则ρ2=1㊂将θ=5π6代入ρ2=41+3s i n 2θ,得ρ21=41+3s i n 2θ=167,解得ρ1=477㊂当A ,O ,B 三点共线时,|A B |m a x =477+1,|A B |m i n =477-1,所以|A B |的最大值和最小值分别为477+1,477-1㊂23.(1)f x=-3x ,x ɤ-1,2-x ,-1<x <12,3x ,x ȡ12,所以不等式f xȡ3等价于x ɤ-1,-3x ȡ3,或-1<x <12,2-x ȡ3,或x ȡ12,3x ȡ3,解得x ɤ-1,或xȡ1,所以不等式f (x )ȡ3的解集为{x |x ɤ-1,或x ȡ1}㊂(2)由(1)可知,当x =12时,f x 取得最小值32,所以m =32,即12a +b +32c =32,即a +2b +3c =3,由柯西不等式得(a 2+b 2+c 2)(12+22+32)ȡ(a +2b +3c )2=9,整理得a 2+b 2+c 2ȡ914,当且仅当a 1=b 2=c 3,即a =314,b =614,c =914时,等号成立㊂所以a 2+b 2+c 2的最小值为914㊂(责任编辑 王福华)。

高三数学试卷模拟题及答案
第一部分：选择题
1.下列函数中，是奇函数的是（） A. y=x3+x B. y=2x2−3x C.
y=2x+x D. y=x2−x
答案：A
2.在等差数列 $2, 5, 8, \\ldots$ 中，第n项为a n，则a10=（） A. 19
B. 20
C. 21
D. 22
答案：D
3.若 $\\log_2 a = 3$，$\\log_5 b = 2$，则 $\\log_{10}(a^2b)=$ （） A.
12 B. 15 C. 18 D. 24
答案：A
4.已知P是(−1,3)点到直线2x−y+1=0的距离，Q是(−2,1)点到
直线x−3y+1=0的距离，则P:Q=（） A. 2:1 B. 1:2 C. 3:1 D. 1:3
答案：B
5.函数 $f(x)=\\frac{x}{x-3}$，则f(f(x))的定义域是（） A. x eq3 B.
x eq0 C. x eq3且x eq0 D. 全体实数
答案：A
第二部分：解答题
1.已知函数 $f(x)=\\log_ax$，a eq1，求证：
$f(x)+f\\left(\\frac{1}{x}\\right)=0$ 成立的充分必要条件是a=1或a=−1。

（证明过程略）
2.某数列的前n项和S n满足关系式S n=2n2+n，求该数列的通项公
式。

（解答过程略）
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点(1,2)，且对称轴为直线
x=2，求a,b,c的值。

（解答过程略）
以上为高三数学试卷模拟题及答案，同学们可以仔细查阅，认真思考，争取取
得好成绩。

2023年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真模拟卷✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则的子集共有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 8个2.已知复数，i 为虚数单位，则( )A. 1B.C.D.3.在中，记，，则( )A. B. C. D.4.已知函数，则的单调递增区间为( )A. B. C. D.5.如图，已知正四棱锥的底面边长和高分别为2和1，若点E是棱PD的中点，则异面直线PA 与CE所成角的余弦值为( )A. B. C. D.6.某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产5 nm规格的芯片，现有25块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为5块，10块，10块，若甲、乙、丙生产该芯片的次品率分别为，，，则从这25块芯片中任取一块芯片，是正品的概率为( )A. B. C. D.7.已知若存在，使不等式有解，则实数m的取值范围为( )A. B.C. D.8.已知a ，b ，，且，，，其中e 是自然对数的底数，则( )A.B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.空气质量指数大小分为五级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围分别对应“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重污染”五个等级．如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法正确的是( )A. 这14天中有5天空气质量指数为“轻度污染”B. 从2日到5日空气质量越来越好C. 这14天中空气质量的中位数是D. 连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日10.密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“”，478密位写成“”．若，则角可取的值用密位制表示可能是( )A.B.C.D.11.已知点A ，B 分别是双曲线C ：的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA 、PB 的斜率分别为、，则下列说法正确的是( )A. 双曲线C 的离心率为B. 双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为1C.为定值D. 存在点P ，使得12.已知，，若关于x的方程有四个不同的实数根，则满足上述条件的a值可以为( )A. B. C. D. 1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。