3.3.1 两条直线的交点坐标

3.3.1 两条直线的交点坐标求两直线的交点求下列两条直线的交点坐标：l1：3x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0.1．求下列各对直线的交点坐标，并画出图形：(1)l1：2x＋3y＝12，l2：x－2y＝4；(2)l1：x＝2，l2：3x＋2y－12＝0.两条直线的位置关系的判断判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.2．判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：(1)2x －y ＋7＝0，x ＋y ＝1；(2)x －3y －10＝0，y ＝x ＋53； (3)3x －5y ＋10＝0，9x －15y ＋30＝0.求两点间的距离已知点A (－1，2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值．3．求下列两点间的距离：(1)A (6，0)，B (－2，0)；(2)C (0，－4)，D (0，－1)；(3)P (6，0)，Q(0，－2)；(4)M (2，1)，N(5，－1)．坐标法证明几何问题证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．4．证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )A ．a ＝1或a ＝－2B ．a ≠±1C ．a ≠1且a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－25．直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( )A ．12B ．－12C ．23D ．－23某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A (1，2)，B (4，0)，一条河所在直线方程为l ：x ＋2y －10＝0，若在河边l 上建一座供水站P 使之到A ，B 两镇的管道最省，问供水站P 应建在什么地方？此时|P A |＋|PB |为多少？A组训练1．已知点A(－3，4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于()A．0或8 B．0或－8C．0或6 D．0或－62．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是() A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝03．若过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|的值为()A．6 B． 2C．2 D．不能确定4.已知A(2，1)，B(3，2)，C(－1，4)，则△ABC是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形5．点P(2，5)关于直线x＋y＝0的对称点的坐标是()A．(5，2) B．(2，5)C．(－5，－2) D．(－2，5)6．直线y＝ax＋1与y＝x＋b交于点(1，1)，则a＝________，b＝________．7．直角坐标平面上连接点(－2，5)和点M的线段的中点是(1，0)，那么点M到原点的距离为________．8．经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线的方程为________．9．(1)求在x 轴上与点A (5，12)的距离为13的点的坐标；(2)已知点P 的横坐标是7，点P 与点N(－1，5)间的距离等于10，求点P 的纵坐标．10．求经过两直线2x ＋y －8＝0与x －2y ＋1＝0的交点，且在y 轴上的截距为x 轴上截距的2倍的直线l 的方程．B 组训练1．已知A (－3，8)，B (2，2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA |＋|MB |最短，则点M 的坐标是( )A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(225，0) D ．(0，225)2．若三条直线x＋y＋1＝0，2x－y＋8＝0和ax＋3y－5＝0共有三个不同的交点，则实数a 应满足的条件是________．3．已知AO是△ABC边BC的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．4．已知两点A(－2，4)，B(4，2)和直线l：y＝kx－2.(1)求直线l恒过的定点P的坐标；(2)若直线l与线段AB相交，试求k的取值范围．3.3.1 两条直线的交点坐标参考答案求两直线的交点求下列两条直线的交点坐标：l 1：3x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0.[解] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.所以，l 1与l 2的交点坐标是M (－2，2)．1．求下列各对直线的交点坐标，并画出图形：(1)l 1：2x ＋3y ＝12，l 2：x －2y ＝4；(2)l 1：x ＝2，l 2：3x ＋2y －12＝0.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝12，x －2y ＝4，解得⎩⎨⎧x ＝367，y ＝47， ∴交点坐标为(367，47)．如图(1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，3x ＋2y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3， ∴交点坐标为(2，3)，如图(2)．两条直线的位置关系的判断判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．(1)l 1：x －y ＝0，l 2：3x ＋3y －10＝0；(2)l 1：3x －y ＋4＝0，l 2：6x －2y －1＝0；(3)l 1：3x ＋4y －5＝0，l 2：6x ＋8y －10＝0.[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝03x ＋3y －10＝0， 得⎩⎨⎧x ＝53y ＝53. 所以，l 1与l 2相交，交点坐标是M (53，53)． (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋4＝0， ①6x －2y －1＝0， ②①×2－②得9＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2.(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5＝0， ①6x ＋8y －10＝0， ②①×2得6x ＋8y －10＝0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合．2．判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：(1)2x －y ＋7＝0，x ＋y ＝1；(2)x －3y －10＝0，y ＝x ＋53； (3)3x －5y ＋10＝0，9x －15y ＋30＝0.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋7＝0，x ＋y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.所以两直线相交，交点坐标为(－2，3)．(2)两直线方程分别化为y ＝13x －103， y ＝13x ＋53.由斜率相等，纵截距不等知两直线平行． (3)将3x －5y ＋10＝0的两边同乘以3得，9x－15y＋30＝0，与第二个方程完全相同，故两直线重合．求两点间的距离已知点A(－1，2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|P A|＝|PB|，并求|P A|的值．[解]设所求点为P(x，0)，∵|P A|＝|PB|，∴（x＋1）2＋（0－2）2＝（x－2）2＋（0－7）2，∴x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.∴所求点为P(1，0)，|P A|＝（1＋1）2＋（0－2）2＝2 2.3．求下列两点间的距离：(1)A(6，0)，B(－2，0)；(2)C(0，－4)，D(0，－1)；(3)P(6，0)，Q(0，－2)；(4)M(2，1)，N(5，－1)．解：(1)|AB|＝[6－（－2）]2＋（0－0）2＝8.(2)|CD|＝（0－0）2＋[－4－（－1）]2＝3.(3)|P Q|＝（6－0）2＋[0－（－2）]2＝210.(4)|M N|＝（2－5）2＋[1－（－1）]2＝13.坐标法证明几何问题证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．[证明]如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0)．设B(a，0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a＋b，c)．因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，|BC |2＝b 2＋c 2，|AC |2＝(a ＋b )2＋c 2，|BD |2＝(b －a )2＋c 2.所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，|AC |2＋|BD |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)．所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝|AC |2＋|BD |2.因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．4．证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．证明：以两直角边OA ，OB 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，C 为AB 的中点，设A (a ，0)，B (0，b )，则C (a 2，b 2)． ∴|OC |＝（a 2）2＋（b 2）2＝12 a 2＋b 2，|AB |＝ a 2＋b 2. ∴|OC |＝12|AB |， 即直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等．若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )A ．a ＝1或a ＝－2B ．a ≠±1C ．a ≠1且a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－2[解析] 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．(1)若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，y ＝1，将l 2，l 3 的交点(－a －1，1)代入l 1的方程解得a ＝1或a ＝－2①；(2)若l 1∥l 2，则由a ×a －1×1＝0， 得a ＝±1②，当a ＝1时，l 1与l 2重合；(3)若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0， 得a ＝1，当a ＝1时，l 2与l 3重合； (4)若l 1∥l 3，则由a ×1－1×1＝0， 得a ＝1，当a ＝1时，l 1与l 3重合． 综上，当a ＝1时，三条直线重合；当a ＝－1时，l 1∥l 2；当a ＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2.[答案] D5．直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( ) A ．12B ．－12C ．23D ．－23解析：选C ．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋10y ＝x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9y ＝－8，把点(－9，－8)代入y ＝ax －2，得－8＝－9a －2， 解得a ＝69＝23.某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A (1，2)，B (4，0)，一条河所在直线方程为l ：x ＋2y －10＝0，若在河边l 上建一座供水站P 使之到A ，B 两镇的管道最省，问供水站P 应建在什么地方？此时|P A |＋|PB |为多少？[解]如图所示，过A 作直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于P ，因为若P ′(异于P )在直线l 上，则|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B |.因此，供水站只能在点P 处，才能取得最小值． 设A ′(a ，b )，则AA ′的中点在l 上，且AA ′⊥l ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＋2×b ＋22－10＝0，b －2a －1·（－12）＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝6，即A ′(3，6)，所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得⎩⎨⎧x ＝3811，y ＝3611.所以P 点的坐标为(3811，3611)．故供水站应建在点P (3811，3611)处，此时|P A |＋|PB |＝|A ′B |＝（3－4）2＋（6－0）2＝37.A 组训练1．已知点A (－3，4)和B (0，b )，且|AB |＝5，则b 等于( ) A ．0或8 B ．0或－8 C ．0或6 D ．0或－6 解析：选A ．由|AB |＝5得（－3－0）2＋（4－b ）2＝5，所以(4－b )2＝16， ∴4－b ＝±4， ∴b ＝0或b ＝8.2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( ) A ．2x ＋y －8＝0 B ．2x －y －8＝0 C ．2x ＋y ＋8＝0 D ．2x －y ＋8＝0解析：选A ．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋4＝0x －y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6，故过点(1，6)与x －2y ＝0垂直的直线为y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.3．若过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6B ． 2C ．2D ．不能确定解析：选B ．因为直线AB 与y ＝x ＋m 平行，则b －a5－4＝1，即b －a ＝1，|AB |＝（4－5）2＋（a －b ）2＝ 2.4.已知A (2，1)，B (3，2)，C (－1，4)，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 解析：选A ．∵|AB |＝（2－3）2＋（1－2）2＝2，|BC |＝（3＋1）2＋（2－4）2＝20， |AC |＝（2＋1）2＋（1－4）2＝18，所以|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， 所以△ABC 为直角三角形．5．点P (2，5)关于直线x ＋y ＝0的对称点的坐标是( ) A ．(5，2) B ．(2，5) C ．(－5，－2) D ．(－2，5) 解析：选C ．设对称点P ′(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧y －5x －2＝1x ＋22＋y ＋52＝0，∴x ＝－5，y ＝－2.6．直线y ＝ax ＋1与y ＝x ＋b 交于点(1，1)，则a ＝________，b ＝________． 解析：因为直线y ＝ax ＋1与y ＝x ＋b 的交点为(1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ＋11＝1＋b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0.答案：0 07．直角坐标平面上连接点(－2，5)和点M 的线段的中点是(1，0)，那么点M 到原点的距离为________．解析：设M 的坐标为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋x 2＝15＋y 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－5，所以|OM |＝42＋（－5）2＝41.答案：418．经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线的方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋10＝03x ＋4y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝2，垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线的斜率为－23，故所求的直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0.答案：2x ＋3y －2＝09．(1)求在x 轴上与点A (5，12)的距离为13的点的坐标；(2)已知点P 的横坐标是7，点P 与点N(－1，5)间的距离等于10，求点P 的纵坐标． 解：(1)设x 轴上的点为B (x ，0)， 由|AB |＝13， 得（x －5）2＋（0－12）2＝13，∴(x －5)2＝25， ∴x －5＝5或x －5＝－5. ∴x ＝10或x ＝0，即点B 的坐标为(10，0)或(0，0)．(2)设点P 的纵坐标为y ，即P (7，y )． 由于|P N|＝10， ∴[7－（－1）]2＋（y －5）2＝10，∴(y －5)2＝36，∴y －5＝6或y －5＝－6，从而y ＝11或y ＝－1， ∴P 点的纵坐标为11或－1.10．求经过两直线2x ＋y －8＝0与x －2y ＋1＝0的交点，且在y 轴上的截距为x 轴上截距的2倍的直线l 的方程．解：(1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意． (2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时， 设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0， 即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0. 据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0. 令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ.所以－1－8λλ－2＝2·(－1－8λ1＋2λ)，解得λ＝18，此时直线l 的方程为2x －3y ＝0.综合(1)(2)，所求直线方程为2x ＋y －8＝0或2x －3y ＝0.B 组训练1．已知A (－3，8)，B (2，2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA |＋|MB |最短，则点M 的坐标是( )A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(225，0)D ．(0，225)解析：选B ．A (－3，8)关于x 轴对称的点A ′(－3，－8)，A ′B 与x 轴的交点，就是使|MA |＋|MB |最短的M 点，直线A ′B 的方程为 y ＋82＋8＝x ＋32＋3， 当y ＝0时，得x ＝1， 即此时M 的坐标为(1，0)．2．若三条直线x ＋y ＋1＝0，2x －y ＋8＝0和ax ＋3y －5＝0共有三个不同的交点，则实数a 应满足的条件是________． 解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝02x －y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝2，即两直线的交点坐标为(－3，2)． 依题意知，实数a 满足的条件为⎩⎨⎧a ·（－3）＋3×2－5≠0－a3≠－1－a 3≠2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠13a ≠3a ≠－6，即实数a 满足的条件为a ∈R ，且a ≠13且a ≠3且a ≠－6.答案：a ≠13且a ≠3且a ≠－63．已知AO 是△ABC 边BC 的中线，求证： |AB |2＋|AC |2＝2(|AO |2＋|OC |2)． 证明：以BC所在直线为x轴，BC的中点O为原点，建立平面直角坐标系，设B(－a，0)，C(a，0)，A(b，c)．则|AB|2＋|AC|2＝[b－(－a)]2＋(c－0)2＋(b－a)2＋(c－0)2＝2(a2＋b2＋c2)，|AO|2＋|OC|2＝b2＋c2＋a2.故|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．4．已知两点A(－2，4)，B(4，2)和直线l：y＝kx－2.(1)求直线l恒过的定点P的坐标；(2)若直线l与线段AB相交，试求k的取值范围．解：(1)令x＝0，则y＝－2，所以不论k取什么值，直线l：y＝kx－2都过定点P(0，－2)．(2)直线l：y＝kx－2过定点P(0，－2)，所以k P A＝－2－40－（－2）＝－3，k PB＝－2－20－4＝1.如图所示，所以直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．。

3.3 直线的交点坐标与距离公式3．3.1 两条直线的交点坐标3．3.2 两点间的距离[学习目标]1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． 3．掌握两点间距离公式并会应用． [知识链接]直线的方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式，它们的表现形式分别为y －y 0＝k (x －x 0)、y ＝kx ＋b 、y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1、x a ＋yb＝1及Ax ＋By ＋C ＝0. [预习导引] 1．两条直线的交点已知两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若两直线的方程联立，得方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若方程组有唯一解，则两条直线相交；若方程组无解，则两条直线平行．若方程组有无穷多个解，则两条直线重合．2．过定点的直线系方程已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交于点P (x 0，y 0)，则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0表示过点P 的直线系，不包括直线l 2.3．两点间的距离平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式 |P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．两点间距离的特殊情况(1)原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. (2)当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. (3)当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.要点一 两直线的交点问题例1 求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．解 法一 由方程组⎩⎨⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点， ∴其斜率k ＝2－2＝－1. 故直线方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.法二 ∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )，即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，∴直线l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.规律方法 (1)法一是常规方法，思路自然，但计算量稍大，法二运用了交点直线系，是待定系数法，计算简单，但要注意判断原点(0,0)不能在直线2x ＋y ＋2＝0上．否则，会出现λ的取值不确定的情形．(2)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ2(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0可表示过l 1、l 2交点的所有直线；②A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0不能表示直线l 2.跟踪演练1 求经过直线l 1：x ＋3y －3＝0，l 2：x －y ＋1＝0的交点且平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程．解 法一 由⎩⎨⎧ x ＋3y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，∴直线l1与l2的交点坐标为(0,1)，再设平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程为2x＋y＋c＝0，把(0,1)代入所求的直线方程，得c＝－1，故所求的直线方程为2x＋y－1＝0.法二设过直线l1、l2交点的直线方程为x＋3y－3＋λ(x－y＋1)＝0(λ∈R)，即(λ＋1)x＋(3－λ)y＋λ－3＝0，由题意可知，λ＋1λ－3＝－2，解得λ＝53，所以所求直线方程为83x＋43y－43＝0，即2x＋y－1＝0.要点二两点间距离公式的应用例2已知△ABC三顶点坐标A(－3,1)、B(3，－3)、C(1,7)，试判断△ABC 的形状．解法一∵|AB|＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213，|AC|＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213，又|BC|＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．法二∵k AC＝7－11－(－3)＝32，k AB＝－3－13－(－3)＝－23，则k AC·k AB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213，|AB|＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213，∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形．规律方法 1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考查是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考查边是否相等或是否满足勾股定理．跟踪演练2已知△ABC的三个顶点坐标为A(－3,1)、B(3，－3)、C(1,7)．(1)求BC边上的中线AM的长；(2)证明△ABC为等腰直角三角形．(1)解设点M的坐标为(x，y)，因为点M为BC的中点，所以x＝3＋12＝2，y＝－3＋72＝2，即点M的坐标为(2,2)．由两点间的距离公式得|AM|＝(－3－2)2＋(1－2)2＝26，所以BC边上的中线AM的长为26.(2)证明根据题意可得，|AB|＝(－3－3)2＋(1＋3)2＝213，|BC|＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226，|AC|＝(－3－1)2＋(1－7)2＝213，所以|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，所以△ABC为等腰直角三角形．要点三坐标法的应用例3证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．证明如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0,0)．设B(a,0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a＋b，c)，因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，|BC|2＝b2＋c2，|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2.所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)．所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.规律方法坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴．跟踪演练3已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.证明如图所示，建立直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)．∴|AC|＝(b－0)2＋(c－0)2＝b2＋c2，|BD|＝(a－b－a)2＋(c－0)2＝b2＋c2.故|AC|＝|BD|.1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是()A ．(4,1)B ．(1,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 答案 C解析 由方程组⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝13.即直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.2．已知M (2,1)，N (－1,5)，则|MN |等于( ) A ．5 B.37 C.13 D ．4 答案 A解析 |MN |＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5.3．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝0 答案 A解析 首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.4．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是________．答案 a ≠2解析 l 1与l 2相交则有：a 4≠36，∴a ≠2.5．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________．答案 25解析 设A (x,0)，B (0，y )，∵AB 中点P (2，－1)， ∴x 2＝2，y2＝－1，∴x ＝4，y ＝－2，即A (4,0)，B (0，－2)， ∴|AB |＝42＋22＝2 5.1．方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2)．2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法．3．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.一、基础达标1．已知A (－1,0)，B (5,6)，C (3,4)，则|AC ||CB |的值为( ) A.13 B.12 C ．3 D ．2答案 D解析 由两点间的距离公式， 得|AC |＝[3－(－1)2]＋(4－0)2＝42，|CB |＝(3－5)2＋(4－6)2＝22，故|AC ||CB |＝4222＝2.2．两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为( )A ．－24B ．6C ．±6D ．24答案 C解析 在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0得y ＝k 3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k 3代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6.3．以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的三角形是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形答案 B解析 ∵|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32， ∴三角形为等腰三角形．故选B.4．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互为垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( )A ．24B ．20C ．0D ．－4 答案 B解析 由垂直性质可得2m －20＝0，m ＝10.由垂足可得⎩⎨⎧10＋4p －2＝0，2－5p ＋n ＝0，得⎩⎨⎧p ＝－2，n ＝－12.∴m －n ＋p ＝20.5．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为________． 答案 1或－5解析 由题意得(a ＋2)2＋(3＋1)2＝5， 解得a ＝1或a ＝－5.6．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则k 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞解析 由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33＋62＋3k ，y ＝6k －232＋3k .由于交点在第一象限，故x >0，y >0，解得k >33.7．在直线l ：3x －y ＋1＝0上求一点P ，使点P 到两点A (1，－1)，B (2,0)的距离相等．解 法一 设P 点坐标为(x ，y )，由P 在l 上和点P 到A ，B 的距离相等建立方程组 ⎩⎨⎧3x －y ＋1＝0，(x －1)2＋(y ＋1)2＝(x －2)2＋y 2， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，所以P 点坐标为(0,1)．法二 设P (x ，y )，两点A (1，－1)、B (2,0)连线所得线段的中垂线方程为x ＋y －1＝0.①又3x －y ＋1＝0，②解由①②组成的方程组⎩⎨⎧ 3x －y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，所以所求的点为P (0,1)． 二、能力提升8．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( )A.895B.175C.135D.115 答案 C解析 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135. 9．直线x ＋ky ＝0,2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0交于一点，则k 的值是( )A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2答案 B解析 由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＋8＝0x －y －1＝0得直线2x ＋3y ＋8＝0与x －y －1＝0的交点坐标为(－1，－2)代入直线x ＋ky ＝0得k ＝－12.10．若动点P 的坐标为(x,1－x )，x ∈R ，则动点P 到原点的最小值是________． 答案 22解析 由距离公式得x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12，∴最小值为12＝22.11．(1)求过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点且与第一条直线垂直的直线方程．(2)求经过直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．解 (1)法一 由⎩⎨⎧3x ＋y －1＝0，x ＋2y －7＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝4，即交点为(－1,4)． ∵第一条直线的斜率为－3，且两直线垂直， ∴所求直线的斜率为13. ∴由点斜式得y －4＝13(x ＋1)， 即x －3y ＋13＝0.法二 设所求的方程为3x ＋y －1＋λ(x ＋2y －7)＝0， 即(3＋λ)x ＋(1＋2λ)y －(1＋7λ)＝0， 由题意得3(3＋λ)＋(1＋2λ)＝0，∴λ＝－2，代入所设方程得x －3y ＋13＝0.(2)设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0.令x＝0，得y＝7λ－6 2＋5λ；令y＝0，得x＝7λ－6 3＋2λ.由7λ－62＋5λ＝7λ－63＋2λ，得λ＝13或λ＝67.直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0.三、探究与创新12．求函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值．解原式可化为y＝(x－4)2＋(0－2)2＋(x－0)2＋(0－1)2.考虑两点间的距离公式，如图所示，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，使得|P A|＋|PB|最小．作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，由图可直观得出|P A|＋|PB|＝|P A′|＋|PB|≥|A′B|，故|P A|＋|PB|的最小值为|A′B|的长度．由两点间的距离公式可得|A′B|＝(4－0)2＋(－2－1)2＝5，所以函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值为5.13．某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l上建一座供水站P使之到A，B两镇的管道最省，问供水站P应建在什么地方？此时|P A|＋|PB|为多少？解如图所示，过A 作直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于P ，因为若P ′(异于P )在直线l 上，则|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B |.因此，供水站只能在点P 处，才能取得最小值．设A ′(a ，b )，则AA ′的中点在l 上，且AA ′⊥l ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋12＋2×b ＋22－10＝0，b －2a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝6，即A ′(3,6)．所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0，解方程组⎩⎨⎧ 6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3811，y ＝3611. 所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3811，3611.故供水站应建在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3811，3611处，此时|P A |＋|PB |＝|A ′B |＝(3－4)2＋(6－0)2 ＝37.。

3.3.1 两条直线的交点坐标疱丁巧解牛知识·巧学一、两条直线的交点如果两条直线相交，则交点坐标分别适合两条直线的方程，即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解.把两条直线的方程组成方程组，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数个解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.要点提示直线相交的问题转化为求方程组的解的问题,且解的个数决定两条直线的位置关系.两直线的交点坐标对应的就是两直线方程所组成方程组的解.二、直线系方程具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫做直线系方程.方程的特点是除含坐标变量x 、y 以外，还含有待定系数(也称参变量).(1)共点直线系方程：经过两直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0，l 2：A 2x+B 2y+C 2=0交点的直线方程为A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0，其中λ是待定系数.在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A 2x+B 2y+C 2=0，因此它不能表示直线l 2.(2)平行直线系：与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+λ=0(λ≠C)，λ是参变量.(3)垂直直线系方程：与Ax+By+C=0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+λ=0.(4)特殊平行线与过定点(x 0，y 0)的直线系：当斜率k 一定而m 变动时，y=kx+m 表示斜率为k 的平行线系，y-y 0=k(x-x 0)表示过定点(x 0，y 0)的直线系(不含直线x=x 0).要点提示 如果在求直线方程的问题中,有一个已知条件,另一个条件待定时,可选用直线系方程来求解.直线系是直线和方程的理论发展,是数学符号语言中一种有用的工具,是一种很有用的解题技巧,应注意掌握和应用.问题·探究问题1 设两条直线的方程为l 1:A 1x+B 1y+C 1=0和l 2:A 2x+B 2y+C 2=0，如果这两条直线相交，你能分析它们的系数满足什么关系吗？探究:我们可以先解由两直线方程联立的方程组⎩⎨⎧=++=++).2( 0C y B x A ),1( 0C y B x A 222111 ①×B 2-②×B 1,得(A 1B 2-A 2B 1)x+B 2C 1-B 1C 2=0.当A 1B 2-A 2B 1≠0时，得x=12211121B A B A B C C B --；再由①×A 2-②×A 1，当A 1B 2-A 2B 1≠0时，可得y=12212112B A B A C A C A --.因此，当A 1B 2-A 2B 1≠0时，方程组有唯一一组解x 、y. 这时两条直线相交，交点的坐标就是(x ，y).因此这两条直线相交时，系数满足的关系为A 1B 2-A 2B 1≠0.问题2 请你探究一下三条直线l 1:ax+y+1=0,l 2:x+ay+1=0,l 3:x+y+a=0构成三角形的条件是什么？探究:三直线构成三角形，则需任意两条直线都相交，且不能相交于一点.注意不要忽略三线交于同一点的情况.所以可以从正反两个方向来思考.解法一:任两条直线都相交，则a a 11≠,111≠a ,故a≠±1.又有三条直线不交于同一点， 故其中两条直线⎩⎨⎧=++=++0a y x 0,1ay x 的交点(-1-a,1)不在直线ax+y+1=0上，即a(-1-a)+1+1≠0,a 2+a-2≠0，(a+2)(a-1)≠0,∴a≠-2,a≠1.综合上述结果，三条直线构成三角形的条件是a≠±1,a≠-2.解法二:因为三条直线能构成三角形,所以三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点.可以把不能构成三角形的情况排除掉.若三条直线交于同一点，则其中两条直线⎩⎨⎧=++=++0a y x 0,1ay x 的交点(-1-a,1)在直线ax+y+1=0上，∴a(-a-1)+1+1=0,∴a=1或a=-2.若l 1∥l 2，则有11-=-a ,a=1；若l 1∥l 3，则有11-=-a,a=1；若l 2∥l 3，则有a a-=-1,a=±1. 所以若三条直线构成三角形，则需a≠±1,a≠-2.典题·热题例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点.(1)l 1：2x-y=7和l 2：3x+2y-7=0;(2)l 1：2x-6y+4=0和l 2：4x-12y+8=0;(3)l 1：4x+2y+4=0和l 2：y=-2x+3.思路解析：判定两直线的位置关系，可以转化为讨论方程组解的情况.若两直线方程组成的方程组有且仅有一组解时，说明两直线相交；若方程组无解，说明两直线平行；若方程组有无数多组解，则说明两直线重合.解：(1)方程组⎩⎨⎧=+=07-2y 3x 0,7-y -2x 的解为⎩⎨⎧==-1,y 3,x 因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(3，-1).(2)方程组⎩⎨⎧=+=+0812y -4x 0,46y -2x 有无数组解，这表明直线l 1和l 2重合. (3)方程组⎩⎨⎧=+=++03-y 2x 0,42y 4x 无解，这表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2.深化升华 根据两直线方程判断两直线的位置关系时，当已知形式是直线的斜截式方程时，利用斜率以及纵截距来判定两直线是否相交、平行或重合更方便.当已知直线的一般式方程时，若系数中含有字母，因为直线斜率是否存在不清楚，若再使用斜率判定，则要进行分类讨论，但用一般式的系数关系来判断则不用讨论，显得较为简单易行.例2 已知两直线l 1：x+my+6=0，l 2：(m-2)x+3y+2m=0，当m 为何值时，直线l 1与l 2(1)平行;(2)重合;(3)相交？思路解析：对于平行及重合的判断，可以通过斜率与截距来分析.而对于l 1与l 2相交的情况，只能通过解方程组来寻求规律.解：当m=0时，l 1：x+6=0，l 2：2x-3y=0，此时l 1与l 2相交.当m≠0时，l 1：y=m x m 61--，l 2：y=m x m 3232---. (1)若l 1∥l 2，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≠--=-,326,321m m m m 解得m=-1(m=3舍去). (2)若l 1与l 2重合，则62312m m m ==-， 解得m=3.故m=-1时,l 1∥l 2;m=3时,l 1与l 2重合.(3)由l 1的方程得x=-my-6，代入l 2的方程得(m-2)(-my-6)+3y+2m=0，即(m 2-2m-3)y=12-4m.显然，m 2-2m-3=0时无解，只有当m 2-2m-3≠0，即m≠-1且m≠3时，方程才有解，且是唯一解，故只有当m≠-1且m≠3时两直线相交.深化升华 具体的两条直线的位置关系的判断方法：实际上，对于两条直线平行，可以将两直线的方程分别化为斜截式，通过斜率相等，纵截距不相等来判断；对于两条直线重合的情况，实际上是两条直线的方程完全相同，只是化简的程度不同，此时，可通过对应项的系数的比值相等来判断.例3 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程. 思路解析：根据本题的条件，一种思路是先求出交点坐标，再设所求直线的点斜式方程求出所要求的直线方程；另一种思路是利用直线系(平行系或过定点系)直接设出方程，根据条件求未知量，得出所求直线的方程.解：(方法一)由方程组⎩⎨⎧=++=0,2y x 0,3-3y -2x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.57,53y x ∵直线l 和直线3x+y-1=0平行，∴直线l 的斜率k=-3.∴根据点斜式有y-(57-)=-3［x-(53-)］， 即所求直线方程为15x+5y+16=0.(方法二)∵直线l 过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，∴设直线l 的方程为2x-3y-3+λ(x+y+2)=0，即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0.∵直线l 与直线3x+y-1=0平行， ∴1321332--≠-=+λλλ.解得λ=211. 从而所求直线方程为15x+5y+16=0.拓展延伸 直线系是指具有某一共同特征的直线的集合.表示直线系的方程叫做直线系方程.除了本题的共点直线系外，还有过定点的直线系、平行直线系和垂直直线系等.对于求与已知直线有着一定联系的直线的方程时，可以通过特定的直线系方程利用待定系数法来求解.注意要根据题中条件灵活地选择方程进行求解.变式：求与直线2x+3y+1=0垂直，且过点P(1，-1)的直线l 的方程.思路解析：本题可以先求得直线的斜率，应用直线的点斜式方程求得.也可以由垂直直线系方程设出直线的方程求待定的系数.解：设与直线2x+3y+1=0垂直的直线l 方程为3x-2y+c=0.因为点P(1，-1)在直线l 上，所以3×1-2×(-1)+c=0，解之,得c=-5.所以所求直线方程为3x-2y-5=0.例4 求证：不论m 取什么实数，直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标.思路解析：题目所给的直线方程的系数含有字母m ，给m 任何一个实数值，就可以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以m 为参数的直线系方程.要证明这个直线系中的直线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出m 的两个特殊值，得到直线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点.另一个思路是：由于方程对任意的m 都成立，那么就以m 为未知数，整理为关于m 的一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标.解：解法一：对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0，令m=0，得x-3y-11=0；令m=1，得x+4y+10=0.解方程组⎩⎨⎧=++=0,104y x 0,11-3y -x 得两条直线的交点为(2，-3).将点(2，-3)代入已知直线方程左边，得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m+11=0.这表明不论m 为什么实数，所给直线均经过定点(2，-3).解法二：将已知方程以m 为未知数，整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.由于m 的取值的任意性，有⎩⎨⎧=++=+0.113y x -0,1-y 2x 解得⎩⎨⎧==-3.y 2,x所以所给直线不论m 取什么实数，均经过定点(2，-3).深化升华 含参直线过定点问题的解题思路有二：一是曲线过定点，即与参数无关，则参数的同次幂的系数为0，从而求出定点；二是分别令参数为两个特殊值，得方程组，求出点的坐标，代入原方程满足，则此点为所求定点.。

§3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标【课时目标】 1．掌握求两条直线交点的方法．2．掌握通过求方程组解的个数，判定两直线位置关系的方法．3．通过本节的学习初步体会用代数方法研究几何问题的解析思想．1．两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0．若两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0y ＝y 0，则两直线______，交点坐标为________．2一、选择题1．直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．重合2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝03．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 4．两条直线l 1：2x ＋3y －m ＝0与l 2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上，那么m 的值为( ) A ．－24 B ．6 C ．±6 D ．以上答案均不对5．已知直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，l 1∥l 2，则m 的值是( ) A ．m ＝3 B ．m ＝0C ．m ＝0或m ＝3D ．m ＝0或m ＝－16．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．32B ．23C ．－32D ．－23二、填空题7．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________． 8．已知直线l 过直线l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y －5＝0，则直线l 的方程是______________．9．当a 取不同实数时，直线(2＋a )x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．三、解答题10．求经过两直线2x ＋y －8＝0与x －2y ＋1＝0的交点，且在y 轴上的截距为x 轴上截距的两倍的直线l 的方程．11．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(－2，－3)，E(3,1)，F(－1,2)．先画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标．能力提升12．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．13．一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线与直线l的交点坐标．1．过定点(x0，y0)的直线系方程y－y0＝k(x－x0)是过定点(x0，y0)的直线系方程，但不含直线x＝x0；A(x－x0)＋B(y－y0)＝0是过定点(x0，y0)的一切直线方程．2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋D＝0(D≠C)．与y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m(m≠b)．3．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但此方程中不含l2；一般形式是m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(m2＋n2≠0)，是过l1与l2交点的所有直线方程．§3．3直线的交点坐标与距离公式3．3．1 两条直线的交点坐标答案知识梳理1．相交 (x 0，y 0) 2．无 1 无数 作业设计1．A [化成斜截式方程，斜率相等，截距不等．]2．A [首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0．]3．B [首先联立⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝102x －y ＝10，解得交点坐标为(4，－2)，代入方程ax ＋2y ＋8＝0得a ＝－1．]4．C [2x ＋3y －m ＝0在y 轴上的截距为m 3，直线x －my ＋12＝0在y 轴上的截距为12m，由12m ＝m3得m ＝±6．] 5．D [l 1∥l 2，则1·3m ＝(m －2)·m 2， 解得m ＝0或m ＝－1或m ＝3． 又当m ＝3时，l 1与l 2重合， 故m ＝0或m ＝－1．]6．D [设直线l 与直线y ＝1的交点为A (x 1,1)，直线l 与直线x －y －7＝0的交点为B (x 2，y 2)，因为M (1，－1)为AB 的中点，所以－1＝1＋y 22即y 2＝－3，代入直线x －y －7＝0得x 2＝4，因为点B ，M 都在直线l 上，所以k l ＝－3＋14－1＝－23．故选D ．]7．2解析 首先解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0x －2y ＋4＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2，代入直线y ＝3x ＋b 得b ＝2．8．8x ＋16y ＋21＝0 9．(－1，－2)解析 直线方程可写成a (x ＋y ＋3)＋2x －y ＝0，则该直线系必过直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，即(－1，－2)．10．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意． (2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时， 设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0， 即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0． 据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0．令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ．∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ解之得λ＝18，此时y ＝23x ．∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或y ＝23x ．11．解如图，过D ，E ，F 分别作EF ，FD ，DE 的平行线，作出这些平行线的交点，就是△ABC 的三个顶点A ，B ，C ．由已知得，直线DE 的斜率 k DE ＝1＋33＋2＝45，所以k AB ＝45．因为直线AB 过点F ，所以直线AB 的方程为y －2＝45(x ＋1)，即4x －5y ＋14＝0．①由于直线AC 经过点E (3,1)，且平行于DF ， 同理可得直线AC 的方程 5x －y －14＝0．②联立①，②，解得点A 的坐标是(4,6)．同样，可以求得点B ，C 的坐标分别是(－6，－2)，(2，－4)． 因此，△ABC 的三个顶点是A (4,6)，B (－6，－2)，C (2，－4)． 12．解如图所示，由已知，A 应是BC 边上的高线所在直线与∠A 的角平分线所在直线的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝－1， 故A (－1,0)．又∠A 的角平分线为x 轴，故k AC ＝－k AB ＝－1，(也可得B 关于y ＝0的对称点(1，－2)． ∴AC 方程为y ＝－(x ＋1)， 又k BC ＝－2， ∴BC 的方程为 y －2＝－2(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－(x ＋1)y －2＝－2(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－6， 故C 点坐标为(5，－6)．13．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎨⎧b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－18×a 2＋6×b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78y ＝3，∴反射光线与直线l 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫78，3．。

3.3.1 两条直线的交点坐标教学目的：使学生了解两条直线交点坐标的求法，会联立两条直线所表示的方程成方 程组求交点坐标。

教学重点：两直线交点坐标的求法。

教学难点：两直线交点坐标的求法。

教学过程一、复习提问平面内两条直线有什么位置关系？空间里呢？二、新课已知两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0如何求它们的交点坐标呢？一般地将它们联立成方程组，若方程组有唯一的解，则两条直线相交，此解就是 交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两直线平行。

例1、求下列两条直线的交点坐标：l 1：3x ＋4y －2＝0l 2：2x ＋y ＋2＝0解：解方程组：⎩⎨⎧=++=-+0220243y x y x ，解得：⎩⎨⎧=-=22y x 所以两条直线的交点是M （－2,2）。

探究：当λ变化时，方程3x ＋4y －2＋λ（2x ＋y ＋2）＝0表示什么图形？图形有何特点？例2、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：（1）l 1：x －y ＝0， l 2：3x ＋3y －10＝0（2）l 1：3x －y ＋4＝0， l 2：6x －2y ＝0（3）l 1：3x ＋4y －5＝0， l 2：6x ＋8y －10＝0解：（1）解方程组：⎩⎨⎧=-+=-010330y x y x ，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3535y x 所以，l 1，l 2相交，交点是M （35，35） （2）解方程组：⎩⎨⎧=-=+-026043y x y x ，①×2－② 得：9＝0，矛盾！方程组无解，所以两直线无交点，l 1∥l 2（3）解方程组：：⎩⎨⎧=-+=-+010860543y x y x ，①×2得：6x ＋8y －10＝0，两个方程可以化为同一个方程，即它们表示同一条直线，l 1，l 2重合。

§3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标(重点).2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系(重点).3.掌握两点间距离公式并会应用(难点)．知识点1直线的交点与直线的方程组解的关系1．两直线的交点(l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0)2.两直线的位置关系【预习评价】1．直线x－y＋2＝0与直线x＋y－8＝0的交点坐标为()A ．(3，－5)B ．(－3，5)C ．(3，5)D ．(－3，－5)答案 C2．直线x ＋y ＋2＝0与直线2x ＋2y ＋7＝0的位置关系是________． 答案 平行知识点2 两点间的距离公式【预习评价】1．平面内两点间的距离公式与坐标顺序是否有关？提示 无关．在计算公式中x 2与x 1，y 2与y 1的位置可以同时互换，不影响计算结果．2．式子x 2＋y 2的几何意义是什么？提示 式子x 2＋y 2＝（x －0）2＋（y －0）2表示平面上的点(x ，y )到原点的距离.题型一 两直线的交点问题【例1】 (1)直线l 1：2x －6y ＝0与直线l 2：y ＝13x ＋12交点的个数为________； (2)若两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，则k ＝________； (3)已知一直线过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点. 则：①与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________； ②与直线3x ＋y －1＝0垂直的直线方程为________. 解析 (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＝0， ①y ＝13x ＋12， ②②×6－①，得3＝0，矛盾， 故方程组无解，∴两直线无交点.(2)在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0，得y ＝k3， 将(0，k3)代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6. (3)法一 解方程组⎩⎨⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75，所以两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－75.①与直线3x ＋y －1＝0平行的直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y ＋75＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35，即15x ＋5y ＋16＝0.②又与直线3x ＋y －1＝0垂直的直线的斜率为13，故所求直线方程为y ＋75＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35， 即5x －15y －18＝0. 法二 ①设所求直线方程为 (2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行， 所以⎩⎨⎧（2＋λ）×1－（λ－3）×3＝0，（2＋λ）×（－1）－（2λ－3）×3≠0，得λ＝112.代入(*)式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋112x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫112－3y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2×112－3＝0，即15x ＋5y ＋16＝0.②设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0， 由所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直，得3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－34， 所以所求直线方程为5x －15y －18＝0.答案 (1)0 (2)±6 (3)①15x ＋5y ＋16＝0 ②5x －15y －18＝0 规律方法 两条直线相交的判定方法12k 的取值范围是( ) A.(1，＋∞)B.(－1，1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.(－∞，－1)(2)直线l 经过原点，且经过另两条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0的交点，则直线l 的方程为( ) A.2x ＋y ＝0 B.2x －y ＝0 C.x ＋2y ＝0D.x －2y ＝0解析(1)联立直线方程⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x －y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21－k ，y ＝1＋k 1－k ，∵直线的交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧21－k >0，1＋k 1－k >0，解不等式组可得－1<k <1，故选B.(2)设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0， 即(2＋λ)x ＋(3－λ)y ＋8－λ＝0， 因为l 过原点，所以λ＝8. 则所求直线l 的方程为2x －y ＝0. 答案 (1)B (2)B题型二 直线恒过定点问题【例2】 不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过的定点坐标是________.解析 法一 取m ＝1，得直线y ＝－4. 取m ＝12，得直线x ＝9. 故两直线的交点为(9，－4)，下面验证直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过点(9，－4).将x ＝9，y ＝－4代入方程，左边＝(m －1)×9－4×(2m －1)＝m －5＝右边， 故直线恒过点(9，－4).法二 直线方程可变形为(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0， ∵对任意m 该方程恒成立， ∴⎩⎨⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝9，y ＝－4. 故直线恒过定点(9，－4). 答案 (9，－4)规律方法 1.过两直线交点的直线系方程的设法经过两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是待定系数，在此方程中，无论λ取什么实数，都不能表示直线l 2. 2.过两条直线交点的直线方程的求法(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程.【训练2】 求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标.解 法一 对于方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0， 令m ＝0，得x －3y －11＝0； 令m ＝1，得x ＋4y ＋10＝0. 解方程组⎩⎨⎧x －3y －11＝0，x ＋4y ＋10＝0，得两条直线的交点坐标为(2，－3).将点(2，－3)代入方程组左边，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝0. 这表明不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3). 法二 将已知方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0 整理为(2x ＋y －1)m ＋(－x ＋3y ＋11)＝0. 由于m 取值的任意性，有⎩⎨⎧2x ＋y －1＝0，－x ＋3y ＋11＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3.所以不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3). 题型三 对称问题【例3】 (1)与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( ) A.3x －2y ＋2＝0 B.2x ＋3y ＋7＝0 C.3x －2y －12＝0D.2x ＋3y ＋8＝0解析 由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x ＋3y －6＝0平行，则可设所求直线方程为2x ＋3y ＋C ＝0.在直线2x ＋3y －6＝0上任取一点(3，0)，关于点(1，－1)的对称点为(－1，－2)，则点(－1，－2)必在所求直线上， ∴2×(－1)＋3×(－2)＋C ＝0，解得C ＝8. ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0. 答案 D(2)点P (－3，4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A.(－2，1)B.(－2，5)C.(2，－5)D.(4，－3)解析 设对称点坐标为(a ，b )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －32＋b ＋42－2＝0，b －4a ＋3＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝5，即Q (－2，5). 答案 B(3)在平面直角坐标系中，直线y ＝2x ＋1关于y ＝x －2对称的直线l 的方程为( )A.x －4y －11＝0B.4x －y ＋11＝0C.x －2y ＋7＝0D.x －2y －7＝0解析 ∵直线y ＝2x ＋1关于y ＝x －2对称的直线是直线l ，联立⎩⎨⎧y ＝2x ＋1，y ＝x －2，得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－5，∴直线l 过点(－3，－5).在直线y ＝2x ＋1上取一点A (0，1)， 设点A 关于y ＝x －2对称的点为B (a ，b )， 则点B 在直线l 上.设AB 与直线y ＝x －2的交点为M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1a －0＝－1，b ＋12＝a 2－2，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－2，∴直线l 过点(－3，－5)和(3，－2)， ∴直线l 的方程为y ＋5－2＋5＝x ＋33＋3，整理得x －2y －7＝0.答案 D规律方法 (1)点关于点的对称问题：若两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于点P (x 0，y 0)对称，则P 是线段AB 的中点，并且⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.(2)直线关于点的对称问题：若两条直线l 1，l 2关于点P 对称，则：①l 1上任意一点关于点P 的对称点必在l 2上，反过来，l 2上任意一点关于点P 的对称点必在l 1上；②若l 1∥l 2，则点P 到直线l 1，l 2的距离相等；③过点P 作一直线与l 1，l 2分别交于A ，B 两点，则点P 是线段AB 的中点. 【训练3】 (1)求点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点P ′的坐标； 解 根据题意可知点A (a ，b )为PP ′的中点，设点P ′的坐标为(x ，y )，则根据中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋x 02，b ＝y ＋y 02，所以⎩⎨⎧x ＝2a －x 0，y ＝2b －y 0.所以点P ′的坐标为(2a －x 0，2b －y 0).(2)一束光线从原点O (0，0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4，3)，求反射光线的方程.解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上，得 ⎩⎪⎨⎪⎧b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－1，8×a2＋6×b2＝25， 解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝3，∴点A 的坐标为(4，3).∵反射光线的反向延长线过点A (4，3)， 又∵反射光线过点P (－4，3)，两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线方程为y ＝3. 由方程组⎩⎨⎧y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤78.题型四 运用坐标法解决平面几何问题【例4】 如图，已知△ABC 三顶点坐标A (－3，1)，B (3，－3)，C (1，7).(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积.解(1)法一(1)∵|AB|＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213，|AC|＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213，又|BC|＝（1－3）2＋（7＋3）2＝226，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形.法二∵k AC＝7－11－（－3）＝32，k AB＝－3－13－（－3）＝－23，则k AC·k AB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213，|AB|＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213，∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形.(2)S△ABC＝12|AC|·|AB|＝12(52)2＝26，∴△ABC的面积为26.规律方法 1.利用坐标法解平面几何问题常见的步骤(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上.(2)用坐标表示有关的量.(3)将几何关系转化为坐标运算.(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.2.用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于直角坐标系的建立，但不同的直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”.【训练4】 在△ABC 中，AD 是BC 边上的中点，求证： |AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2). 证明 设BC 所在边为x 轴，以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系， 如图所示，设A (b ，c )，C (a ，0)， 则B (－a ，0). ∵|AB |2＝(a ＋b )2＋c 2， |AC |2＝(a －b )2＋c 2， |AD |2＝b 2＋c 2， |DC |2＝a 2.∴|AB |2＋|AC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)， |AD |2＋|DC |2＝a 2＋b 2＋c 2， ∴|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2).课堂达标1．已知直线l 1：3x ＋4y －5＝0与l 2：3x ＋5y －6＝0相交，则它们的交点是( ) A ．(－1，13) B ．(13，1) C ．(1，13)D ．(－1，－13)解析 由⎩⎨⎧3x ＋4y －5＝0，3x ＋5y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝1.答案 B2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析 联立⎩⎨⎧2x －y ＋4＝0，x －y ＋5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝6.∴交点坐标为(1，6)．由垂直关系，得所求直线的斜率为－2，则所求直线方程为y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0. 答案 A3．已知A (－1，0)，B (5，6)，C (3，4)三点，则|AC ||CB |的值为( )A.13B.12 C ．3 D ．2解析 由两点间的距离公式，得|AC |＝[3－（－1）]2＋（4－0）2＝42，|CB |＝（3－5）2＋（4－6）2＝22，故|AC ||CB |＝4222＝2. 答案 D4．不论m 取何实数，直线(m ＋2)x －(m ＋1)y ＋m ＋1＝0恒过定点________． 解析 由直线(m ＋2)x －(m ＋1)y ＋m ＋1＝0变形为m (x －y ＋1)＋(2x －y ＋1)＝0， 令⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，2x －y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，∴该直线过定点(0，1)．答案 (0，1)5．已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试分别确定m ，n 的值，使：(1)l 1与l 2相交于一点P (m ，1)；(2)l 1∥l 2且l 1过点(3，－1)；(3)l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为－1.解 (1)由于l 1与l 2相交于一点P (m ，1)，故把点P (m ，1)代入l 1，l 2的方程得m 2＋8＋n ＝0，2m ＋m －1＝0，联立解得m ＝13，n ＝－739.(2)当m ＝0时，l 1：8y ＋n ＝0，l 2：2x －1＝0，不满足l 1∥l 2.当m ≠0时，∵l 1∥l 2且l 1过点(3，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m 8＝－2m ，3m －8＋n ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝4，n ＝－4或⎩⎨⎧m ＝－4，n ＝20.(3)由l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为－1，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋8m ＝0，－n 8＝－1，解得⎩⎨⎧m ＝0，n ＝8. 课堂小结1．方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有惟一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2)．2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法．3.有关对称问题的两种主要类型(1)中心对称①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎨⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点为A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B · b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.。