八年级数学复习解答题难题

经典难题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥C O．求证：CD＝GF．（初二）2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝15度求证：△PBC是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA 1、BB1、CC1、DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．经典难题（二）1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）经典难题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证：CE＝CF．（初二）2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．求证：AE＝AF．（初二）3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求证：PA＝PF．（初二）4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO 相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求：∠APB的度数．（初二）2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）经典难题（五）1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：√3≤L＜2．2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80度，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA ＝30度，∠EBA＝20度，求∠BED的度数．答案经典难题（一）4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠D EN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。

八年级数学上册三角形解答题专题练习（解析版）一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：∠A+∠C＝∠B+D；(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个；②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝13∠CAB，∠CDP＝13∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.【解析】【分析】(1)由三角形内角和得到∠A+∠C=180°﹣∠AOC，∠B+∠D=180°﹣∠BOD，由对顶角相等，得到∠AOC=∠BOD，因而∠A+∠C=∠B+∠D；(2)①以线段AC为边的“8字形”有3个，以O为交点的“8字形”有4个；②根据(1)的结论，以M为交点“8字型”中，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP，两等式相加得到2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，由AP和DP是角平分线，得到∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，从而∠P=12(∠B+∠C)，然后将∠B=100º，∠C=120º代入计算即可；③与②的证明方法一样得到3∠P=∠B+2∠C.【详解】解：(1)在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；(2)解：①以线段AC为边的“8字型”有3个：以点O为交点的“8字型”有4个：②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，∴2∠P＝∠B+∠C，∵∠B＝100°，∠C＝120°，∴∠P＝12（∠B+∠C）=12（100°+120°）＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：∵∠CAP＝13∠CAB，∠CDP＝13∠CDB，∴∠BAP＝23∠CAB，∠BDP＝23∠CDB，以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝13（∠CDB﹣∠CAB），∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝23（∠CDB﹣∠CAB）．∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，∴3∠P＝∠B+2∠C．故答案为：(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．2．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE 分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．【答案】（1）135°；（2）67.5°；（3）60°， 45°【解析】【分析】（1）根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可知∠AOB=90°，再由AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线得出1BAE OAB 2∠=∠，1ABE ABO 2∠=∠，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）延长AD 、BC 交于点F ，根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可得出∠AOB=90°，进而得出OAB OBA 90∠+∠=︒ ，故PAB MBA 270∠+∠=︒，再由AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，可知1BAD BAP 2∠=∠，1ABC ABM 2∠=∠，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线可知CDE DCE 112.5∠+∠=︒，进而得出结论；（3））由∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E 可知1EAO BAO 2∠=∠,1EOQ BOQ 2∠=∠ ，进而得出∠E 的度数，由AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF 中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．【详解】（1）∠AEB 的大小不变，∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，∴∠AOB=90°，∴OAB OBA 90∠+∠=︒，∵AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，∴1BAE OAB 2∠=∠，1ABE ABO 2∠=∠， ∴()1BAE ABE OAB ABO 452∠+∠=∠+∠=°， ∴∠AEB=135°；（2）∠CED 的大小不变．如图2，延长AD 、BC 交于点F ．∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，∴90∠=AOB °，∴OAB OBA 90∠+∠=°，∴PAB MBA 270∠+∠=°，∵AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线， ∴1BAD BAP 2∠=∠，1ABC ABM 2∠=∠， ∴()1BAD ABC PAB ABM 1352∠+∠=∠+∠=°，F 45∠=°， ∴FDC FCD 135∠+∠=°，∴CDA DCB 225∠+∠=°，∵DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，∴CDE DCB 112.5∠+∠=°，∴E 67.5∠=°；（3）∵∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E ，∴1EAO BAO 2∠=∠,1EOQ BOQ 2∠=∠ ， ∴()11E EOQ EAO BOQ BAQ ABO 22∠=∠-∠=∠-∠=∠， ∵AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线，∴EAF 90∠=°． 在△AEF 中，∵有一个角是另一个角的3倍，故有：①EAF 3E ∠=∠，E 30∠=°，ABO 60∠=°；②EAF 3F ∠=∠，E 60∠=°，ABO 120∠=°；③EAF 3E ∠=∠，E 22.5∠=°，ABO 45∠=°；④EAF 3F ∠=∠，E 67.5∠=°，ABO 135∠=°．∴∠ABO 为60°或45°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．3．如图①，在△ABC 中，CD 、CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠BAC ＝α，∠B ＝β（α＞β）．（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE 的度数；（2）试用α、β的代数式表示∠DCE 的度数（直接写出结果）；（3）如图②，若CE 是△ABC 外角∠ACF 的平分线，交BA 延长线于点E ，且α﹣β＝30°，求∠DCE 的度数．【答案】（1）15°；（2）DCE 2αβ-∠=；（3）75°． 【解析】【分析】（1）三角形的内角和是180°，已知∠BAC 与∠ABC 的度数，则可求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠BCE ，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEC 的度数，进而求出∠DCE 的度数；（2）∠DCE ＝2αβ- ．（3）作∠ACB 的内角平分线CE′，根据角平分线的性质求出∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=12∠ACB+12∠ACF=90°，进而求出∠DCE 的度数． 【详解】解：（1）因为∠ACB ＝180°﹣（∠BAC+∠B ）＝180°﹣（70°+40°）＝70°，又因为CE 是∠ACB 的平分线，所以1352ACE ACB ∠=∠=︒． 因为CD 是高线，所以∠ADC ＝90°，所以∠ACD ＝90°﹣∠BAC ＝20°，所以∠DCE ＝∠ACE ﹣∠ACD ＝35°﹣20°＝15°．（2）DCE 2αβ-∠=．（3）如图，作∠ACB 的内角平分线CE′，则152DCE αβ-'==︒∠．因为CE 是∠ACB 的外角平分线，所以∠ECE′＝∠ACE+∠ACE′＝11+22ACB ACF ∠∠＝1(+)2ACB ACF ∠∠＝90°， 所以∠DCE ＝90°﹣∠DCE′＝90°﹣15°＝75°．即∠DCE 的度数为75°．【点睛】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（3），作辅助线是关键．4．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= °；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由.（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：.【答案】（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由见解析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．【解析】试题分析：（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；（2）利用（1）中所求的结论得出∠α、∠1、∠2之间的关系即可；（3）利用三角外角的性质，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α、∠1、∠2之间的关系．试题分析：（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，∵∠C＝90°，∠α＝50°，∴∠1＋∠2＝140°，故答案为140；（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝90°＋∠α.故答案为∠1＋∠2＝90°＋∠α.（3）∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下：如图③，设DP与BE的交点为M，∵∠2＋∠α＝∠DME，∠DME＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α.（4）如图④，设PE与AC的交点为F，∵∠PFD＝∠EFC，∴180°－∠PFD＝180°－∠EFC，∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α.故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α点睛：本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决问题的关键.5．在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上（不与点A、B、C重合），点P是直线AB上的任意一点（不与点A、B重合）．设∠PDA=x，∠PEB=y，∠DPE=m，∠C=n．（1）如图，当点P在线段AB上运动，且n=90°时①若PD∥BC，PE∥AC，则m=_____；②若m=50°，求x+y的值．（2）当点P在直线AB上运动时，直接写出x、y、m、n之间的数量关系．【答案】（1）①90°，②140°；（2）详见解析.【解析】分析：（1）①证明四边形DPEC为平行四边形可得结论；②根据四边形内角和为360°，列等式求出x+y的值；（2）根据P、D、E位置的不同，分五种情况：①y-x=m+n，如图2，点P在BA的延长线上时，根据三角形的内角和与外角定理列等式，化简后得出结论；②x-y=m-n，如图3，点P在BA的延长线上时，根据三角形的内角和与外角定理列等式，化简后得出结论；③x+y=m+n，如图4，点P在线段BA上时，根据四边形的内角和为360°列等式，化简后得出结论；④x-y=m+n，如图5，同理得出结论；⑤y-x=m-n，如图6，同理得出结论．详解：（1）①如图1，∵PD∥BC，PE∥AC，∴四边形DPEC为平行四边形，∴∠DPE=∠C，∵∠DPE=m，∠C=n=90°，∴m=90°；②∵∠ADP=x，∠PEB=y，∴∠CDP=180°-x，∠CEP=180°-y，∵∠C+∠CDP+∠DPE+∠CEP=360°，∠C=90°，∠DPE=50°，∴90°+180°-x+50°+180°-y=360°，∴x+y=140°；（2）分五种情况：①y﹣x=m+n，如图2，理由是：∵∠DFP=n+∠FEC，∠FEC=180°﹣y，∴∠DFP=n+180°﹣y，∵x+m+∠DFP=180°，∴x+m+n+180°﹣y=180°，∴y﹣x=m+n；②x﹣y=m﹣n，如图3，理由是：同理得：m+180°﹣x=n+180°﹣y，∴x﹣y=m﹣n；③x+y=m+n，如图4，理由是：由四边形内角和为360°得：180°﹣x+m+180°﹣y+n=360°，∴x+y=m+n；④x﹣y=m+n，如图5，理由是：同理得：180°=m+n+y+180°﹣x，∴x﹣y=m+n；⑤y﹣x=m﹣n，如图6，理由是：同理得：n+180°﹣x=m+180°﹣y，∴y﹣x=m﹣n．点睛：本题考查了三角形综合、平行四边形的判定.6．如图①，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(4，1)，C为x轴正半轴上一点，且AC平分∠OAB．(1)求证：∠OAC＝∠OCA；(2)如图②，若分别作∠AOC的三等分线及∠OCA的外角的三等分线交于点P，即满足∠POC＝13∠AOC，∠PCE＝13∠ACE，求∠P的大小；(3)如图③，在(2)中，若射线OP、CP满足∠POC＝1n∠A OC，∠PCE＝1n∠ACE，猜想∠OPC的大小，并证明你的结论(用含n的式子表示)．【答案】（1）证明见解析（2）15°（3）45 n【解析】试题分析：（1）根据AB坐标可以求得∠OAB大小，根据角平分线性质可求得∠OAC大小，即可解题；（2）根据题干中给出的∠POC=13∠AOC、∠PCE=13∠ACE可以求得∠PCE和∠POC的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题；（3）解法和（2）相同，根据题干中给出的∠POC=1n∠AOC、∠PCE=1n∠ACE可以求得∠PCE和∠POC的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题．试题解析：(1)证明：∵A(0，1)，B(4，1)，∴AB∥CO，∴∠OAB＝180°－∠AOC＝90°.∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝45°，∴∠OCA＝90°－45°＝45°，∴∠OAC＝∠OCA.(2)解：∵∠POC＝∠AOC，∴∠POC＝×90°＝30°.∵∠PCE＝∠ACE，∴∠PCE＝(180°－45°)＝45°.∵∠P＋∠POC＝∠PCE，∴∠P＝∠PCE－∠POC＝15°.(3)解：∠OPC＝.证明如下：∵∠POC＝∠AOC，∴∠POC＝×90°＝.∵∠PCE＝∠ACE，∴∠PCE＝(180°－45°)＝.∵∠OPC＋∠POC＝∠PCE，∴∠OPC＝∠PCE－∠POC＝.点睛：本题考查了三角形内角和为180°的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形外角等于不相邻两内角和的性质，本题中求∠PCE和∠POC的大小是解题的关键．7．根据题意解答：（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D．（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数．解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD∴∠1=∠2，∠3=∠4由（1）的结论得：∠P+∠3=∠1+∠B①，∠P+∠2=∠4+∠D②，①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D∴∠P= 12（∠B+∠D）=26°．①如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．②在图4中，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．③在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①∠P=26゜；②∠P=180°﹣12（∠B+∠D）；③∠P=90°+ 12（∠B+∠D）．【解析】试题分析：（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；①表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；②根据四边形的内角和等于360°，可得（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；③根据（1）的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．试题解析：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180゜，∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D．（2）①∠P=26゜．∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4．由（1）的结论得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D①，∠PAB+∠P=∠PCB+∠B②，∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，∴∠PAB=∠2，∴∠2+∠P=∠3+∠B③，①+③得∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，即2∠P+180°=∠B+∠D+180°，∴∠P=12（∠B+∠D）=26°．②如图4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠4）+∠D，在四边形APCB中，（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，在四边形APCD中，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，∴2∠P+∠B+∠D=360°，∴∠P=180°﹣12（∠B+∠D）；③如图5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵（∠1+∠2）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D，∴2∠P=180°+∠D+∠B，∴∠P=90°+ 12（∠B+∠D）．点睛：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．8．等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转。

初二数学经典难题一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）2．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN 于E、F．求证：∠DEN=∠F．3．（10分）如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．4．（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA．求证：∠PAB=∠PCB．5．（10分）P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度．7．（10分）（2009•郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．8．（10分）（2008•海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB．（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）设AP=x，△PBE的面积为y．①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．9．（10分）（2010•河南）如图，直线y=k1x+b与反比例函数（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．（1）求k1、k2的值．（2）直接写出时x的取值范围；（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．10．（10分）（2007•福州）如图，已知直线y=x与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．初二数学经典难题参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。

初二数学难题30道1. 解析几何：在直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(1, 2)，求线段AB的中点坐标。

2. 代数方程：解方程 2x + 5 = 3x 4。

3. 函数问题：给定函数 f(x) = x^2 2x + 1，求 f(3) 的值。

4. 不等式求解：解不等式 5x 2 > 3。

5. 平行四边形：已知平行四边形ABCD，AB = 6cm，BC = 8cm，求对角线AC的长度。

6. 解析几何：在直角坐标系中，点A(1, 2)，点B(3, 4)，求线段AB的长度。

7. 代数方程：解方程 3x^2 4x + 1 = 0。

8. 函数问题：给定函数 g(x) = 2x + 3，求 g(2) 的值。

9. 不等式求解：解不等式 2x 5 < 1。

10. 平行四边形：已知平行四边形ABCD，AB = 7cm，BC = 9cm，求对角线BD的长度。

11. 解析几何：在直角坐标系中，点A(4, 5)，点B(2, 1)，求线段AB的长度。

12. 代数方程：解方程 4x^2 9x + 2 = 0。

13. 函数问题：给定函数 h(x) = x^3 3x^2 + 2x，求 h(1) 的值。

14. 不等式求解：解不等式3x + 4 ≤ 7。

15. 平行四边形：已知平行四边形ABCD，AB = 8cm，BC = 10cm，求对角线AC的长度。

16. 解析几何：在直角坐标系中，点A(3, 2)，点B(1, 1)，求线段AB的中点坐标。

17. 代数方程：解方程 5x 3 = 2x + 7。

18. 函数问题：给定函数 f(x) = x^2 + 4x + 4，求 f(0) 的值。

19. 不等式求解：解不等式4x 8 ≥ 2。

20. 平行四边形：已知平行四边形ABCD，AB = 9cm，BC = 11cm，求对角线BD的长度。

21. 解析几何：在直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(1, 4)，求线段AB的长度。

22. 代数方程：解方程 6x^2 5x 1 = 0。

初二数学经典难题(带答案及解析)初二数学经典难题一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）2．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN=∠F．3．（10分）如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．4．（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA．求证：∠PAB=∠PCB．5．（10分）P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度．7．（10分）（2009•郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．8．（10分）（2008•海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD 对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC 上，且PE=PB．（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）设AP=x，△PBE的面积为y．①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．9．（10分）（2010•河南）如图，直线y=k1x+b与反比例函数（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．（1）求k1、k2的值．（2）直接写出时x的取值范围；（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD 边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC 和PE的大小关系，并说明理由．10．（10分）（2007•福州）如图，已知直线y=x与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．初二数学经典难题参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。

八下数学试题难题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若a、b、c是三角形的三边长，则下列不等式中正确的是（）。

A. a + b > cB. a + b = cC. a + b < cD. a + b ≤ c答案：A2. 计算下列算式的结果：\(\sqrt{4} + \sqrt{9} - \sqrt{16}\) 的值是（）。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C3. 一个数的平方是9，这个数是（）。

A. 3B. -3C. 3或-3D. 0答案：C4. 一个数的立方是-8，这个数是（）。

A. 2B. -2C. 1D. -1答案：B5. 计算下列算式的值：\((-2)^3\) 的结果是（）。

A. -8B. 8C. -2D. 2答案：A6. 一个等腰三角形的两边长分别为3和5，那么它的周长是（）。

A. 8B. 11C. 13D. 16答案：C7. 一个数的绝对值是5，这个数是（）。

A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C8. 计算下列算式的值：\((-3)^2\) 的结果是（）。

A. 9B. -9C. 3D. -3答案：A9. 一个数的相反数是-7，那么这个数是（）。

A. 7B. -7C. 0D. 14答案：A10. 计算下列算式的值：\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\) 的结果是（）。

A. \(\frac{1}{5}\)B. \(\frac{5}{6}\)C. \(\frac{3}{5}\)D. \(\frac{1}{6}\)答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的平方根是4，那么这个数是______。

答案：162. 一个数的立方根是-2，那么这个数是______。

答案：-83. 一个数的绝对值是7，那么这个数可以是______。

答案：7或-74. 一个等腰三角形的两边长分别为4和6，那么它的周长是______。

答案：14或165. 计算下列算式的值：\(\frac{3}{4} - \frac{1}{2}\) 的结果是______。

1 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1 : 4 ，则这个等腰三角形顶角的度数为（） A． 2 0 B． 1 2 0 C． 2 0 或 1 2 0 D． 3 61．一个凸多边形的每一个内角都等于 150°，则这个凸多边形所有对角线的条数总共有 （ ） A．42 条 B．54 条 C．66 条 D．78 条3、若直线 y  k1x 1 与 y  k2x  4 的交点在 x 轴上，那么k1 等于（） k2A . 4 B.  4 C .1 1 D . 4 41 1  4 的最小值为:( 4 x 4y)（竞赛）1 正实数 x, y 满足 xy  1 ,那么(A)1 2(B)5 8(C)1(D) 2(竞赛）在△ABC 中，若∠A＞∠B，则边长 a 与 c 的大小关系是（ A、a＞c B、c＞a C、a＞1/2c） D、c＞1/2a16.如图，直线 y=kx+6 与 x 轴 y 轴分别交于点 E，F.点 E 的 坐标为(-8，0)，点 A 的坐标为(-6，0). (1)求 k 的值； (2)若点 P(x，y)是第二象限内的直线上的一个动点，当 点 P 运动过程中，试写出△OPA 的面积 S 与 x 的函数 关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (3)探究：当 P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为27 ，并说明理由. 86 、已知，如图，△ ABC 中，∠ BAC=90 °， AB=AC,D 为 AC 上一点，且∠ BDC=124°，延长 BA 到点 E，使 AE=AD,BD 的延长线交 CE 于点 F，求∠E 的 度数。

7.正方形 ABCD 的边长为 4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使 AB 边落在 X 轴的正半 轴上，且 A 点的坐标是（1，0） 。

4 8 ①直线 y= x- 经过点 C，且与 x 轴交与点 E，求四边形 AECD 的面积； 3 3 ②若直线 l 经过点 E 且将正方形 ABCD 分成面积相等的两部分求直线 l 的解析式， ③若直线 l1 经过点 F  2  3  .0  且与直线 y=3x 平行,将②中直线 l 沿着 y 轴向上平移 个单位 3  2 交 x 轴于点 M ,交直线 l1 于点 N ,求 NMF 的面积.（竞赛奥数）如图，在△ABC 中，已知∠C=60°，AC＞BC，又△ABC′、△BCA′、△CAB′ 都是△ABC 形外的等边三角形，而点 D 在 AC 上，且 BC=DC （1）证明：△C′BD≌△B′DC； （2）证明：△AC′D≌△DB′A；9.已知如图，直线 y   3x  4 3 与 x 轴相交于点 A，与直线 y  3x 相交于点 P． ①求点 P 的坐标． ②请判断 OPA 的形状并说明理由． ③动点 E 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度沿着 O→P→A 的路线向点 A 匀速运动（E 不与点 O、 A 重合） ， 过点 E 分别作 EF⊥x 轴于 F， EB⊥y 轴于 B． 设运动 t 秒时， 矩形 EBOF 与△OPA 重叠部分的面积为 S．求： S 与 t 之间的函数关系式．y PB OEFAx16 多边形内角和公式等于（n － 2）×180 根据题意即（n － 2）×180=150n,求得 n=12， 多边形的对角线的条数公式等于 n(n-3)/2 带入 n=12， 则这个多边形所有对角线 的条数共有 54 条因为两直线交点在 x 轴上，则 k1 和 k2 必然不为 0，且交点处 x=-1/k1=4/k2, 所以 k1：k2=-1：41/x^4+1/4y^4=(y^4+x^4)/x^4y^4 因为 xy=1 所以 x^4y^4=1 所以 原式=y^4+x^4 因为(x^2-y^2)^2>0 且(x^2-y^2)^2=y^4+x^4-x^2y^2 大于或等于 0 所以 y^4+x^4 大于或等于 x^2y^2 即 1 所以 y^4+x^4 的最小值为 1竞赛解：在△ABC 中， ∵∠A＞∠B， ∴a＞b， ∵a+b＞c， ∴2a＞a+b＞c， ∴a＞12c． 故选 C．1、y=kx+6 过点 E（-8,0）则 -8K+6＝0 K＝3/4 2、 因点 E（-8,0） 则 OE＝8 直线解析式 Y＝3X/4+6 当 X＝0 时，Y＝6,则点 F（0,6） 因点 A（0,6），则 A、F 重合 OA＝6 设点 P（X，Y） 则点 P 对于 Y 轴的高为｜X｜ 当 P 在第二象限时，｜X｜＝-X S＝OA×｜X｜/2＝-6X/2＝-3X 3、 S＝3｜X｜ 当 S＝278 时 278＝± 3X X1＝278/3,X2＝-278/3 Y1＝3X1/4+6＝3/4×278/3+6＝151/2 Y2＝3X2/4+6＝-3/4×278/3+6＝-127/2 点 P1（278/3,151/2），P2（-278/3,-127/2）6 解：在△ABD 和△ACE 中， ∵AB=AC，∠DAB=∠CAE=90° AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS） ， ∴∠E=∠ADB． ∵∠ADB=180° -∠BDC=180° -124° =56° ， ∴∠E=56° ．7（1）由题意知边长已经告诉，易求四边形的面积； （2）由第一问求出 E 点的坐标，设出 F 点，根据直线 l 经过点 E 且将正方形 ABCD 分成面积相等的两部分，其实是两个直角梯形，根据梯形面积公式，可求 出 F 点坐标，从而解出直线 l 的解析式．解：（1）由已知条件正方形 ABCD 的 边长是 4， ∴四边形 ABCD 的面积为：4×4=16； （2）由第一问知直线 y=4/3x-8/3 与 x 轴交于点 E， ∴E（2，0）， 设 F（m，4）， 直线 l 经过点 E 且将正方形 ABCD 分成面积相等的两部分，由图知是两个直角 梯形， ∴S 梯形 AEFD=S 梯形 EBCF= 1/2(DF+AE)•AE= 1/2(FC+EB) ∴m=4， ∵F（4，4），E（2，0）， ∴直线 l 的解析式为：y=2x-4竞赛奥数 (1) 先证△ABC≌△C1BD：∵AB=C1B, ∠ABC=∠C1BD (因为都是 60° +∠ ABD), BD=BC。

一、选择题（每题5分，共25分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(a) = 1，则a的值为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A解析：由f(a) = 2a - 3 = 1，得2a = 4，a = 2。

因此，选项A正确。

2. 在等腰三角形ABC中，底边AB = AC，顶角A的度数为：A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°答案：D解析：等腰三角形的底角相等，顶角等于底角之和的一半。

因此，顶角A的度数为180° - 2×(底角/2) = 180° - 2×(90°/2) = 180° - 90° = 90°。

选项D 正确。

3. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，其解为：A. x = 2, x = 3B. x = 2, x = 4C. x = 3, x = 4D. x = 2, x = -3答案：A解析：使用因式分解法解方程，得(x - 2)(x - 3) = 0，解得x = 2或x = 3。

因此，选项A正确。

4. 在直角坐标系中，点P(3, 4)关于y轴的对称点为：A. (3, -4)B. (-3, 4)C. (-3, -4)D. (3, 4)答案：B解析：点P(3, 4)关于y轴的对称点横坐标取相反数，纵坐标不变，即(-3, 4)。

因此，选项B正确。

5. 下列函数中，是反比例函数的是：A. y = x^2B. y = 2x + 1C. y = 1/xD. y = x^3答案：C解析：反比例函数的一般形式为y = k/x（k ≠ 0）。

选项C符合这一形式，因此是反比例函数。

二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知等腰三角形底边AB = 8cm，腰AC = 10cm，则高CD的长度为______cm。

答案：6cm解析：由等腰三角形的性质，高CD将底边AB平分，即AD = DB = 4cm。

八年级数学重难点题目一、三角形全等证明类题目。

1. 如图，在△ABC和△DEF中，AB = DE，∠A = ∠D，AC = DF。

求证：△ABC≌△DEF。

解析：在△ABC和△DEF中，已知AB = DE，∠A = ∠D，AC = DF。

根据三角形全等判定定理中的“边角边”（SAS），即如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

所以可以得出△ABC≌△DEF。

2. 已知：如图，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：AC = AD。

解析：因为∠3 = ∠4，所以∠ABC = ∠ABD（等角的补角相等）。

在△ABC和△ABD中，∠1 = ∠2，AB = AB（公共边），∠ABC = ∠ABD。

根据“角边角”（ASA）判定定理，可得△ABC≌△ABD，所以AC = AD。

二、等腰三角形性质与判定类题目。

3. 等腰三角形的一个角为80°，求这个等腰三角形的顶角度数。

解析：当80°角为顶角时，顶角度数就是80°；当80°角为底角时，根据等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°，则顶角为180° - 80°×2 = 20°。

所以顶角度数为80°或20°。

4. 已知：在△ABC中，AB = AC，D是AB上一点，DE⊥BC，E是垂足，ED的延长线交CA的延长线于点F。

求证：AD = AF。

解析：因为AB = AC，所以∠B = ∠C（等腰三角形两底角相等）。

因为DE⊥BC，所以∠B + ∠BDE = 90°，∠C+∠F = 90°。

又因为∠BDE = ∠ADF（对顶角相等），所以∠ADF = ∠F，根据等角对等边，可得AD = AF。

三、勾股定理应用类题目。

5. 已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。

解析：根据勾股定理a^2+b^2=c^2（其中a、b为直角边，c为斜边）。

数学八年级上册第一章难题一、三角形三边关系难题1. 题目：已知三角形的两边长分别为3和5，第三边的长为整数，则第三边的长可能是多少？解析：根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

设第三边为x，则5 3<x<5+3，即2<x<8。

因为x为整数，所以x可能是3、4、5、6、7。

2. 题目：一个三角形的三条边长分别为x、2x 1、5x 3，求x的取值范围。

解析：同样根据三边关系可得：(2x 1)+x>5x 3，3x 1>5x 3，2>2x，x < 1；(2x 1)+(5x 3)>x，7x 4>x，6x>4，x>2/3；x+(5x 3)>2x 1，6x 3>2x 1，4x>2，x>1/2。

综合可得1/2 < x < 1。

二、三角形内角和与外角难题1. 题目：在△ABC中，∠A=∠B +∠C，求∠A的度数。

解析：因为三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠C = 180°，又因为∠A = ∠B+∠C，所以2∠A=180°，∠A = 90°。

2. 题目：如图，在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠ACD = 120°，∠A=70°，求∠B的度数。

解析：因为∠ACD是外角，根据三角形外角性质，∠ACD = ∠A+∠B。

已知∠ACD = 120°，∠A = 70°，则∠B=∠ACD ∠A = 120° 70° = 50°。

3. 题目：在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，∠A = 50°，求∠D的度数。

解析：设∠ACB的外角为∠ACE。

根据三角形外角性质，∠ACE=∠A + ∠ABC。

因为BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，所以∠DCE = 1/2∠ACE，∠DBC = 1/2∠ABC。