2019届一轮复习人教A版 基本不等式及其应用 学案

基本不等式及其应用一、教学分析设计【教材分析】人教版普通高中课程标准试验教科书分不同的章节处理不等式问题。

在必修5的第三章中，首先介绍了不等关系与不等式；然后是一元二次不等式及其解法，二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题；最后在第四节介绍基本不等式。

在选修教材《不等式选讲》中对不等式与绝对值不等式、证明不等式的基本方法、柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式作了更详细的介绍。

并在书中还安排章节复习了基本不等式，并将其推广到三元的形式。

基本不等式从数学上凸显了沟通基础数学知识间的内在联系的可行性。

基本不等式的课程标准内容为：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最值问题。

教学要求为：了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算数平均数、几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最值问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值（说明：突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形）。

《考试说明》中内容为：会用基本不等式解决简单的最值问题。

通过对比分析，他们的共同都有“会用基本不等式解决简单的最值问题”。

基本不等式与函数（包括三角函数）、数列、解析几何等内容均有丰富的联系，在《考试说明》中属于C及内容（含义：对该知识有实质性的认识并能与已有知识建立联系，掌握内容与形式的变化；有关技能已经形成，能用它来解决简单的有关问题）。

【学生分析】从知识储备上看，高三学生已经基本掌握了不等式的简单性质和证明，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的数学模型，也具备一定的几何知识。

从思维特点看，学生了解了不等关系的数学模型是解决实际问题的重要工具，具备一定的归纳、猜想、演绎证明和抽象思维的能力。

【目标分析】结果性目标：1、能在具体的问题情景中，通过抽象概括、数学建模以及逻辑推理获得基本不等式；2、掌握基本不等式应用的条件“一正二定三相等”，和基本不等式的常见变形；3、会用基本不等式解决一些简单的实际问题。

第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式学案一、学习目标1. 通过对基本不等式的学习，能够对其进行证明，并会用几种语言来进行解释.2. 能够运用基本不等式来求代数式的最值.3. 能够使用基本不等式解决实际生活中的最值问题，提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力.二、基础梳理1. 若00a b >>，≤2a b +，当且仅当a b =时，等号成立. 其中，2a b +叫做正数a ，ba ，b 的几何平均数.2. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.三、巩固练习1.已知正数a ,b 满足4a b +=,则1113a b +++的最小值为( ) A.1 B.2 C.4 D.122.如果实数,x y 满足4x y +=，则222x y ++的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10 3.已知实数0,0a b >>，若21a b +=，则12a b +的最小值是( ) A ．83 B ．113 C ． 4 D ．84.已知0x >,0y >,228x y xy ++=,则2x y +的最小值是( )A.3B.4C.92D.1125.若111111M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,且1a b c ++=(其中a ,b ,c 均为正实数),则M 的取值范围是( ) A.10,8⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[1,8)D.[8,)+∞6.已知0a >，0b >，则11a b ++的最小值是( )A.2B.C.4D.57.若x,y均为正实数,且111223x y+=++,则xy的最小值为( )A.2B.12C.14D.168.已知01x<<,则1221x x+-的最小值为( )A.9B.92C.5D.52参考答案巩固练习1.答案：D解析：因为4a b +=，所以(1)(3)8a b +++=， 所以11111[(1)(3)]13813a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭ 1312813b a a b ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭128⎛≥+ ⎝ 11(22)82=⨯+=, 当且仅当13a b +=+且4a b +=，即3a =，1b =时，等号成立，所以1113a b +++的最小值为12. 2.答案：D 解析：因222()422x y x y ++=，故22x y +，所以应选D 3.答案：D解析：∵实数0,0a b >>，21a b +=，则()121242448b a a b a b a b a b ⎛⎫==++=++≥+ ⎪⎝⎭，,当且仅当122b a ==时取等号。

一．学习目标【学习目标】1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： ①|a ＋b |≤|a |＋|b |； ②|a －b |≤|a －c |＋|c －b |.2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c .3．会用绝对值不等式、基本不等式证明一些简单问题；能够利用基本不等式求一些特定函数的最(极)值．4．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．二．知识要点【知识要点】1．绝对值的概念和几何意义代数：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a ＜0）.几何意义：|a |表示数轴上坐标为±a 的点A 到原点的距离．2．绝对值不等式性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(1)|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时取等号； (2)|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≤0时取等号． 3．绝对值不等式的解法原则是转化为不含绝对值的不等式求解．基本型：a ＞0，|x |＜a ⇔-a<x<a ；|x |＞a ⇔x<-a 或x>a ．(1)c ＞0，|ax ＋b |≤c ⇔c ax b c -≤+≤，|ax ＋b |≥c ⇔ax b c ax b c +≤-+≥或． (2)c ＞0，|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c .三种解法：图解法(数形结合)、零点分区法(定义)、绝对值的几何意义(数轴)．4．比较法证明不等式 (1)作差比较法：知道a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b ，只要证明ａ－ｂ＞０即可，这种方法称为作差比较法． (2)作商比较法：由a ＞b ＞0⇔a b＞1且a >0，b ＞0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明1ab即可，这种方法称为作商比较法．5．综合法证明不等式从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，即“由因导果”的方法．这种证明不等式的方法称为综合法或顺推法．6．分析法证明不等式证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它 成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理、性质、或已证明的定理 等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．7．反证法证明不等式先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． 8．放缩法证明不等式证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． 三．方法总结1.含绝对值不等式的求解策略(1)解含有绝对值的不等式的指导思想是设法去掉绝对值符号.常用的方法是：①由定义分段讨论(简称零点分区间法)；②利用绝对值不等式的性质(题型法)；③平方法；④数形结合法等.(2)解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论.注意：①要考虑参数的总取值范围.②用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏.(3)含绝对值不等式的证明，要善于应用分析转化法.(4)灵活运用绝对值不等式的两个重要性质定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，特别注意等号成立的条件.2.作差比较法是证明不等式最基本、最重要的方法，其关键是变形，通常通过因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断.3.综合法证明不等式时，主要利用基本不等式、函数的单调性以及不等式的性质，在严密的推理下推导出结论，综合法往往是分析法的逆过程，所以在实际证明时，用分析法分析，用综合法表述证明推理过程.4.某些不等式的条件与结论，或不等式的左右两边联系不明显，用作差法又难以对差进行变形，难以运用综合法直接证明，这时常用分析法，以便发现联系.分析的过程中，综合条件、定理等因素进行探索，把分析与综合结合起来，形成分析综合法.5.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法，凡是含有“至少”“唯一”或者含有其他否定词的命题，适宜用反证法.6.放缩法是一种常用的证题技巧，放缩必须有目标，而目标可以从求证的结论中和中间结果中寻找.常用的放缩技巧有添舍放缩，拆项对比放缩，利用函数的单调性和重要不等式放缩等.四．高考命题类型及分析1.绝对值不等式中的存在性问题例1. 1．已知函数，且的解集为（1）求的值；（2）若，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）;（2）.试题解析：（1）不等式的解集为又∵的解集为∴，∴（2）∵，使得成立∴，使得∴，令∴，∴∴.练习1.已知函数，.（Ⅰ)解不等式；（Ⅱ）记，,若，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【试题分析】(I)利用含有一个绝对值的不等式的解法,可求得不等式的解集.(II)的值域为.利用基本不等式可求得函数的值域为.由于,所以,由此得到.【试题解析】（Ⅰ).（Ⅱ）,2. 绝对值不等式中的恒成立问题例2.已知函数.（1）解不等式；（2）已知，若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）第（1）问，一般利用零点讨论法解双绝对值的不等式.（2）第（2）问，一般先求左边的最大值利用柯西不等式求的最小值2，再解不等式.试题解析：（1）等价于，当时原不等式转化为，即，此时空集；当时原不等式转化为，即，此时；当时原不等式转化为，即，此时.综上可得，原不等式解集为.（2）.又由柯西不等式，得，由题意知，解得.练习1.已知.(1)当时，求不等式的解集；(2)对于任意实数，不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：试题解析：（1）当时，，得；得；得，所以的解集为.（2）对于任意实数，不等式成立，即恒成立，又因为，要使原不等式恒成立，则只需，当时，无解；当时，，解得；当时，，解得.所以实数的取值范围是.练习2.设.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）. （2）.解析：（1）当时，解得，故此情况无解；当时，解得，故；当时，解得，故.综上所述，满足的解集为.（2）当时，可知对于，不等式均成立；当时，由已知可得恒成立，的最小值当或时，等号成立.综上所述，使得不等式恒成立的的取值范围为.练习3．已知函数.（1）解不等式；（2）已知，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).试题解析：（1）不等式可化为：①当时，①式为，解得；当时，①式为，解得；当时，①式为，无解.综上所述，不等式的解集为.（2）解：令∴，要使不等式恒成立，只需，即∴实数取值范围是.【方法总结】：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．练习4．[选修4-5：不等式选讲]设函数，其中.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，恒有，求的取值范围.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）当时，，化为，可得或，从而可得不等式的解集；（2）化简，因为，∴时，恒成立，又时，当时，，∴只需即可，所以. 试题解析：（1）当时，，所以，所以或，解集为.（2），因为，∴时，恒成立，又时，当时，，∴只需即可，所以.练习5．选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）若，只需即可，将看作整体解不等式即可.试题解析：（1）当时，不等式，即．可得，或，或．解得．所以不等式的解集为．3.均值不等式中的范围问题例3.（1）解不等式；（2）已知实数，，满足，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）由，，，三式相加得：，因为，所以，即可得解.试题解析：（1）由可化为或或，解得，所以，不等式的解集为．（2）因为，，，三式相加得：，即，（当且仅当时，取“=”）又因为所以，（当且仅当时，取“=”，有无数组解）故的取值范围为练习1.已知函数，．（1）求不等式的解集．（2）记在上最大值为，若，求正实数的取值范围．【答案】（）；（）【解析】试题分析：（1）第一问，先对x分类讨论，得到一个分段函数，再解不等式. (2)第二问，分类讨论得到两个解集，再求它们的并集，从而得到正实数a的取值范围.试题解析：（）由题意知，，①当时，令，解得．②当时，令，解得．综上所述．（）①当时，令，解得．②当时，令，解得．故时，，故正实数的取值范围为．【方法总结】：本题的难点，在于思维的逻辑和灵活性，如果直接研究在上最大值为，就要对a分类讨论，比较复杂. 本题先令，再求它们的并集就简单多了.所以我们在平时的学习中，要多思考，多总结，提高解题的灵活性.练习2.已知函数，.(1)当时，求不等式的解集；(2)若的解集为，求的值.【答案】（1）；（2）试题解析：(1)∵，∴，∴.(2)∵的解集为，∴，而，∴当时，,时，,经检验的解集为.4.绝对值不等式的证明问题例4.已知函数，.（1）当，解不等式；（2）求证：.【答案】（1）.（2）见解析.【解析】试题分析：（1）当，不等式即，零点分段可得不等式的解集为.（2）由题意结合绝对值不等式的性质可得：.试题解析：（1）当，或或或或或，所以不等式的解集为.（2）.练习1.选修4-5：不等式选讲设函数的最大值为.（1）求的值；（2）若正实数，满足，求的最小值.【答案】(1) m＝1 (2)【解析】试题分析：（1）零点分区间去掉绝对值，得到分段函数的表达式，根据图像即可得到函数最值；（2）将要求的式子两边乘以(b＋1)＋(a＋1)，再利用均值不等式求解即可. 解析：当且仅当a＝b＝时取等号．即＋的最小值为．练习2.已知函数．（1）求函数的最小值；（2）若正实数满足，求证：．【答案】（1）2；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）由绝对值三角不等式即可得最值；（2）由即可证得.试题解析：（1）当且仅当时，等式成立．（2）则，当且仅当时取，等号成立．练习3. 已知函数()12f x x x =++-的最小值为a (1)求实数a 的值； (2)若,,x y z R +∈,且11135a x y z++=,求证: 353x y z ++≥. 【答案】(1) 3a = (2)见解析【解析】试题分析：(1)利用绝对值的三角不等式，即可求解函数的最小值，从而得到实数a 的值； (2)由(1)知111335x y z++=,且,,x y z R +∈,利用柯西不等式作出证明即可. 试题解析：(1)因为()()12123x x x x ++-≥+--=,当且仅当()()120x x +-≤, 即12x -≤≤时取等号,所以()f x 的最小值为3,于是3a = (2)由(1)知111335x y z++=,且,,x y z R +∈,由柯西不等式得35x y z ++=()1353x y z ++ 11135x y z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭13≥+ +23=. 练习4．已知0a >， 0b >，且222a b +=. (1)若2214211x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； (2)证明： ()55114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭. 【答案】（1）99{|}22x x -≤≤；（2）见解析. 【解析】试题分析：(1)由()222222222214114141914142222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，可得92112x x ≥---，对x 分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；(2) 由柯西不等式，可得()()2222552552222114a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥++=++≥+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.当112x ≤<时， 9322x -≤，解得136x ≤，故112x ≤<； 当12x <时， 92x -≤，解得92x ≥-，故9122x -≤<；综上， 9922x -≤≤.(2) ()5511a b a b ⎛⎫++⎪⎝⎭5544b a a b a b=+++()55222222b a a ba b a b=+++- ()()2222222224a ba b a b ≥++-=+=.另解：由柯西不等式，可得()()2222552552222114a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥++=++≥+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦练习4. 已知函数()211f x x x =-++ （1）解不等式()3f x ≤；（2）记函数()()1g x f x x =++的值域为M ，若r M ∈，证明： 2313t t t+≥+. 【答案】(1) {|11}x x -≤≤（2）见解析【解析】试题分析：（1）通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出取并集即可； （2）求出M ，根据m 的范围以及不等式的性质证明结论即可． 试题解析：(1)依题意，得()3,1,1{2,1, 213,,2x x f x x x x x -≤-=-<<≥于是得()1,3{ 33,x f x x ≤-≤=-≤或11{ 223,x x -<<-≤，或1,{ 233,x x ≥≤解得11x -≤≤，即不等式()3f x ≤的解集为{|11}x x -≤≤.（2）()()1212221223g x f x x x x x x =++=-++≥----， 当且仅当()()21220x x -+≤时，取等号， ∴[)3,M =+∞， 原不等式等价于2331t t t-+-， ()()2323133t t t t t t t-+-+-=， ∵t M ∈，∴30t -≥， 210t +>，∴()()2310t t t-+≥，∴2313t t t+≥+.5.均值不等式的灵活运用 例5. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集；（2）当时，函数的最小值为，（），求的最小值.【答案】(1) (2)试题解析：（1）当时，不等式为两边平方得，解得或∴的解集为（2）当时，，可得，∴∴ ，当且仅当，即，时取等号.练习1. 已知0a >， 0b >， 0c >，函数()f x c a x x b =+-++. （1）当1a b c ===时，求不等式()3f x >的解集；（2）当()f x 的最小值为3时，求a b c ++的值，并求111a b c++的最小值. 【答案】(1) {|1x x <-或1}x > (2)3【解析】试题分析：（1）当a=b=c=1时，不等式()3f x >即|x+1|+|x ﹣1|+1＞3，化为：|x+1|+|x ﹣1|＞2．对x 与±1的大小关系分类讨论即可得出．（2）()3f x c a x x b a x x b c a b c a b c =+-++≥-+++=++=++=．可得()11111113a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，再利用均值不等式的性质即可得出． 试题解析：（1）()111f x x x =-+++1{ 123x x ≤-∴->或11{ 33x -<<>或1{ 213x x ≥+>， 解得{|1x x <-或1}x >.（2）()3f x c a x x b a x x b c a b c a b c =+-++≥-+++=++=++=()11111111333b a c a c b a b c a b c a b c a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()1322233≥+++=． 当且仅当1a b c ===时取得最小值3． 练习2. 已知,,x y z 均为实数. （1）求证： 432122x x x +≥+；（2）若236x y z ++=，求222x y z ++的最小值. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【试题分析】（1）利用分组分解法将原不等式变形为()()()2222111221?12022x x x x x ⎡⎤⎛⎫-++=-++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦从而得证.（2）因为623x y z =++≤，所以222187x y z ++≥.【试题解析】证明：（1）法一： ()43212)2x x x +-+（ ()()()32111xx x x =--+-()()3121x x x =--- ()()3=1221x x x x --+-()()()21211x x x x ⎡⎤=--+-⎣⎦()()221221x x x =-++()221112022x x ⎡⎤⎛⎫=-++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以432122x x x +≥+. 法二： ()43212)2x x x+-+（43242221x x x x x =-++-+ ()()2222110x x x =-⋅+-≥，所以432122x x x +≥+.练习3. 已知正实数，函数. （1）若，解关于的不等式；（2）求证： .【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析： （1）可利用绝对值的性质去掉绝对值符号，然后解不等式组；（2）利用基本不等式有，相乘可证．试题解析：（1）原不等式等价于（2）∵, ,为正数，所以有，∴【方法总结】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．6.任意存在问题综合例6.已知函数，（1）解不等式；（2）若，，使，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；（2），，使等价于函数的值域是函数的值域的子集，根据绝对值不等式的性质等价于，解不等式即可求出实数的取值范围.试题解析：∵函数，且∴，或，或∴∴不等式的解集为【方法总结】：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 7.不等式证明综合例7．已知,,x y z 均为实数. （1）求证： 432122x x x +≥+；（2）若236x y z ++=，求222x y z ++的最小值. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【试题分析】（1）利用分组分解法将原不等式变形为()()()2222111221?12022x x x x x ⎡⎤⎛⎫-++=-++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦从而得证.（2）因为623x y z =++≤，所以222187x y z ++≥.【试题解析】证明：（1）法一： ()43212)2x x x +-+（ ()()()32111xx x x =--+-()()3121x x x =--- ()()3=1221x x x x --+-()()()21211x x x x ⎡⎤=--+-⎣⎦()()221221x x x =-++()221112022x x ⎡⎤⎛⎫=-++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以432122x x x +≥+. 法二： ()43212)2x x x+-+（43242221x x x x x =-++-+ ()()2222110x x x =-⋅+-≥，所以432122x x x +≥+. （2）证明：因为623x y z =++≤ (由柯西不等式得）所以222187x y z ++≥， 当且仅当23y z x ==即369,,777x y z ===时， 222x y z ++有最小值187. 练习1．（提示：请从以下两个不等式选择其中一个证明即可，若两题都答以第一题为准） （1）设i a R +∈， i b R +∈， 1,2,i n = ，且12122n n a a a b b b ++=++=求证：2221211221n n na a a ab a b a b +++≥+++（2）设i a R +∈（1,2,i n = ）求证： ()()21212222233412122n n na a a a a a a a a a a a a a a ++≤++++++++ 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由柯西不等式证明；（2）由排序不等式证明。

高三数学一轮复习——基本不等式一、教学背景分析1.高考考纲要求：①理解基本不等式及成立条件②能应用基本不等式判断大小和求最值③应用基本不等式解决实际问题和综合问题二．教学目标1.知识与技能（1）通过本节课的学习，能掌握基本不等式并能理解等号成立的条件及几何意义（2）通过基本不等式的复习，能灵活比较大小、求有关最值等应用2.过程与方法（1）通过本节课的学习，能体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等（2）通过本节课的学习，能体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程（3）能体会例题的变式改变过程，达到灵活应用的能力3.情感态度与价值观（1）通过变式教学，逐步培养学生的探索研究精神（2）通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯（3）通过高考试题与教材例题对比教学，培养学生重视基础，勿好高骛远的习惯三．教学重难点:1．重点：正确应用基本不等式进行判断和计算。

2．难点：基本不等式的变形应用。

四、教学方法:以启发引导，探索发现为主导，讲解练习为主线，用一题多解，一题多变突出重点、突破难点，以综合应用提高分析解决问题的能力，培养创新能力。

五、教学过程（二）基本不等式的应用 (,0)a x b y a b x y 、已知=(,1),=(,-1)且⊥> 的最小值为__ 的最小值为__ 2y 的最小值为__ 的最小值为___ 12129,23,______.e e e y e 例3(月基础测试卷已知两单位向量的夹角为的取值范围是+=六、课后备注本堂课是在高三第一轮复习中关于“基本不等式”的一节复习课。

通过递进式的问题设置，让学生对基本不等式的掌握能达到灵活应用的程度。

基本不等式及其应用第一轮复习教案一、教学三维目标：1、 知识与能力目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值。

2、 过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程；体会高考题的改编过程。

3、 情感态度与价值观目标：通过解题后反思，培养学生的解题反思习惯；通过改编题目，培养学生的探索研究精神；通过解答高考题，培养学生面对高考的自信心。

二、重点：基本不等式在解决最值问题中的应用。

难点：利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下可采用函数的单调性求最值。

三、教学过程：一、引入（回归课本）问题1：（数学必修5第100页习题3.4A 组第1题改编）（1）把4写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把4写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？符号语言表示：04,,x y xy x y x y >=+(1)设，，求的值，使值最小.,04,,x y x y x y xy >+=(2)设，求的值，使值最大.二、基本不等式的概念基本不等式)0,(2>≥+b a ab b a （当且仅当a =b 时，上式取到等号） 1、背景： 代数背景：),(222R b a ab b a ∈≥+ （用代换思想得到基本不等式）几何背景：半径不小于半弦。

2、常见变形：),()2()12R b a b a ab ∈+≤ ),(2)()2222R b a b a b a ∈+≥+ )0,,(2)3且不为同号b a b a a b ≥+ ba ab b a b a 22112224)+≥≥+≥+)0,(>b a 三、基本不等式在求最值中的应用1、思想方法：再由问题1得出基本不等式求解最值问题的两种模式（1）“积定和最小”：如果积xy 是定值P ,那么当x =y 时，和x +y有最小值（2）“和定积最大”：如果和x +y 是定值S ,那么当x =y 时，积xy 有最大值21.4S 2、典例分析A 组题 （1）已知230<<x ，求)23(x x y -=的最大值. （配系数） （2）已知23>x ，求322-+=x x y 的最小值. (添项) （3）已知2>x ，求2632-+-=x x x y 的最小值. （拆项） （4）已知正数y x ,满足12=+y x ,求y x 21+的最小值. （“1”的代换） B 组题（1）已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求zy x 941++的最小值. （“1”的代换） （2）已知1->x ,求8512+++=x x x y 的最大值. （换元） （3）已知c b a >>,求c b c a b a c a w --+--=的最小值. （换元） （4）已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求121212+++++z y x 的最大值.（对称性）一般地,如果条件式与结论式都是关于各个元素轮换对称的,则最值必定是在各个元素相等时取到.利用这一思想往往可给解题者提供解题的方向与思路.四、探索提高0,08,(1)2x y x y xy x y xy >>++=+已知且求的取值范围；（）求的取值范围.引导学生自主编题。

一．学习目标【学习目标】1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．结合“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法．3．熟练掌握分式不等式、含绝对值不等式、指数不等式和对数不等式的解法． 二．知识点总结 【知识要点】 1．一元一次不等式一元一次不等式ax >b (a ≠0)的解集为： (1)a >0时，b x a > (2)a <0时，b x a<． 2．一元二次不等式一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c ≤0(a >0)的解集的各种情况如下表 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)求解过程的程序框图如下．三．不等式高考命题题型及陷阱 1.含参数的一元二次不等式问题例1. 若关于x 的不等式10ax ->的解集是()1+∞，,则关于x 的不等式()()120ax x -+≥的解集是（ ）A. [)2,+-∞B. []2,1-C. ()(),21,+-∞-⋃∞D. ][(),21,+-∞-⋃∞ 【答案】D练习1．不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3-，则不等式20cx bx a ++<的解集是（ ）A. 11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. 11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 11,23⎛⎫-⎪⎝⎭ D. 11,,32⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【方法总结】：在解含参数的一元二次不等式时，注意不等式的解的形式、二次项系数的符号以及不等号方向的对应关系.2.不等式中的含参数问题例2．若关于x 的不等式20k x x -->恰好有4个整数解，则实数k 的取值范围是（ ）A. 32,53⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 32,53⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 3,15⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B【解析】本题可用排除法，当1k =时，解得1x >有无数个整数解，排除D ，当34x =时，不等式化为()2291620x x -->，得887x <<有5数个整数解，排除C ，当23x =时，不等式化为()224920x x -->，得665x <<，恰有4数个整数解，排除A ，故选B. 【 方法点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.练习1.已知不等式x 2＋ax ＋4<0的解集为空集，则a 的取值范围是( ) A. －4≤a ≤4 B. －4<a <4 【答案】A【解析】依题意应有Δ＝a 2－16≤0， 解得－4≤a ≤4，故选A. 练习2．已知0,0x y >>，且141x y+=，若28x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. ()8,0-B. ()9,1-C. (D. ()8,1- 【答案】B故选B ．【方法总结】本题考查基本不等式与函数恒成立问题，，考查学生分析转化与应用基本不等式的能力.其中将问题转化为求x y + 的最小值是解题的关键．282133x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭{|24}x x -<<{|24}x x <<{|4}x x <{}2x x -【答案】A【解析】题中的不等式即： ()28233x x --->，结合指数函数的单调性可得原不等式等价于： ()282x x -->-, 求解二次不等式可得原不等式的解集为： {|24}x x -<<. 本题选择A 选项.3. 在关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中至多包含2个整数，则a 的取值范围是（ ）A. ()3,5-B. ()2,4-C. []3,5-D. []2,4- 【答案】D【解析】 因为关于x 的不等式()210x a x a -++<可化为()()10x x a --<，当1a >时，不等式的解集为1x a <<， 当1a <时，不等式的解集为1a x <<，要使得解集中至多包含2个整数，则4a ≤且2a ≥-， 所以实数a 的取值范围是[]2,4a ∈-，故选D.【方法总结】本题主要考查了不等式解集中整数解的存在性问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解，元素与集合的关系等知识点的综合应用，试题比较基础，属于基础题，同时着重考查了分类讨论思想的应用，解答中正确求解不等式的解集是解答的关键.4.若关于x 的不等式21cos2cos 03x a x -+≥在R 上恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A. 13- B. 13 C. 23D. 1【答案】B【解析】令[]cos 1,1x t =∈-，则问题转化为不等式24350t at --≤在[]1,1-上恒成立，即435011{435033a a a +-≤⇒-≤≤--≤，应选答案B 。

1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示 不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值． 2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？提示 不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x无最小值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( × )(2)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( × ) (3)(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )．( √ ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ ) 题组二 教材改编2．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80B ．77C ．81D ．82 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max＝81.3．若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ，面积为y m 2，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 题组三 易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x ＝2.因为x ，1x同号，所以若x ＋1x≥2，则x >0，1x>0，所以“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的充要条件，故选C.5．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋2B ．1＋3C ．3D ．4 答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，故选C. 6．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析 由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1x＝15⎝⎛⎭⎪⎫4＋9＋3y x ＋12x y≥15(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12xy，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5.故选D.题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 配凑法例1(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(4－3x )22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立． 命题点2 常数代换法例2(2019·大连模拟)已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，满足a m a 2n ＝a 24(m ，n ∈N *)，则2m ＋1n的最小值为( )A ．1B.32C ．2D.92答案 A解析 由题意可得，a 1＝q ， ∵a m a 2n ＝a 24， ∴a 1·qm －1·(a 1·qn －1)2＝(a 1·q 3)2，即q m·q 2n＝q 8， 即m ＋2n ＝8.∴2m ＋1n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n ×18＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋m n ＋4n m ＋2×18≥()4＋24×18＝1.当且仅当m ＝2n 时，即m ＝4，n ＝2时，等号成立． 命题点3 消元法例3已知正实数a ，b 满足a 2－b ＋4≤0，则u ＝2a ＋3b a ＋b ( )A ．有最大值145B ．有最小值145C ．有最小值3D ．有最大值3答案 B解析 ∵a 2－b ＋4≤0，∴b ≥a 2＋4， ∴a ＋b ≥a 2＋a ＋4.又∵a ，b >0，∴aa ＋b ≤aa 2＋a ＋4，∴－aa ＋b≥－aa 2＋a ＋4，∴u ＝2a ＋3b a ＋b ＝3－a a ＋b ≥3－a a 2＋a ＋4＝3－1a ＋4a＋1≥3－12a ·4a＋1＝145， 当且仅当a ＝2，b ＝8时取等号．故选B.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法．跟踪训练1(1)(2019·四平质检)设x >0，y >0，若x lg2，lg 2，y lg2成等差数列，则1x ＋9y的最小值为( ) A ．8B ．9C ．12D ．16 答案 D解析 ∵x lg2，lg 2，y lg2成等差数列， ∴2lg 2＝(x ＋y )lg2，∴x ＋y ＝1. ∴1x ＋9y＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ≥10＋2y x ·9xy＝10＋6＝16， 当且仅当x ＝14，y ＝34时取等号，故1x ＋9y的最小值为16.故选D.(2)若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c的最小值是( ) A ．2B ．3C ．4D ．6 答案 B解析 ∵a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2， ∴a ＋b ＋c ＋1＝3， 且a ＋1>0，b ＋c >0. ∴4a ＋1＋1b ＋c ＝13·(a ＋1＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1＋1b ＋c＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4(b ＋c )a ＋1＋a ＋1b ＋c ≥13(5＋4)＝3. 当且仅当a ＋1＝2(b ＋c )，即a ＝1，b ＋c ＝1时，等号成立．故选B. 题型二 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4(2018·重庆诊断)已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，过第一象限内圆O 外的点P (a ，b )作圆O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若PO →·PA →＝8，则a ＋b 的最大值为( )A ．3B ．3 2C ．4 2D ．6答案 B解析 根据题意，结合向量数量积的定义式， 可求得PO →·PA →＝|PA →|2＝8，所以可求得|PO |2＝9， 即a 2＋b 2＝9，结合基本不等式， 可得a ＋b ≤2(a 2＋b 2)＝32， 当且仅当a ＝b ＝322时取等号，故选B.命题点2 求参数值或取值范围例5(2018·中山模拟)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案 B解析 已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9， ∵1＋a ＋y x ＋axy≥a ＋2a ＋1， 当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4，故选B.思维升华求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练2(1)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B ＋sin Bsin C 的最小值为( )A.32B.334C.32D.53答案 C解析 由△ABC 的面积为2，所以S ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8，在△ABC 中，由正弦定理得 2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋bc＝2cb b (c ＋2b )＋b 2bc＝168＋2b 2＋b 28＝84＋b 2＋b 2＋48－12 ≥284＋b 2·b 2＋48－12＝2－12＝32， 当且仅当b ＝2，c ＝4时，等号成立，故选C.(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a >0，b >0)的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，则8a ＋b ab的最小值是( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．3 2答案 B解析 由函数f (x )＝ax 2＋bx ，得f ′(x )＝2ax ＋b ， 由函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为2， 所以f ′(1)＝2a ＋b ＝2，所以8a ＋b ab ＝1a ＋8b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋8b (2a ＋b )＝12⎝⎛⎭⎪⎫10＋b a ＋16a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2b a ·16a b ＝12(10＋8)＝9，当且仅当b a ＝16a b ，即a ＝13，b ＝43时等号成立， 所以8a ＋bab的最小值为9，故选B.利用基本不等式求解实际问题数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题．过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题．例某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ⇒k ＝2， ∴x ＝3－2m ＋1， 每万件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(万元)，∴2019年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时， y max ＝21(万元)．故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．素养提升 利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．1．函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8答案 B解析 f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥24＝4，当且仅当x ＝±2时，等号成立，故选B.2．若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( ) A ．x ＝y B ．x ＝2y C ．x ＝2且y ＝1 D ．x ＝y 或y ＝1答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy ，当且仅当x ＝2y 时取等号．故“x ＝2且y ＝1”是“x ＋2y ＝22xy ”的充分不必要条件．故选C. 3．(2018·潍坊模拟)已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1b的最小值为( )A.53 B ．3 C ．5 D ．9答案 D解析 由题意知，正数a ，b 满足a ＋b ＝1， 则4a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )＝4＋1＋4b a＋ab≥5＋24b a ·ab＝9，当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝23，b ＝13时等号成立，所以4a ＋1b的最小值为9，故选D.4．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2答案 C解析 由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b＝1，所以a＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4，故选C.5．已知函数f (x )＝e x 在点(0，f (0))处的切线为l ，动点(a ，b )在直线l 上，则2a ＋2－b的最小值是( ) A ．4 B ．2 C ．2 2 D. 2答案 D解析 由题意得f ′(x )＝e x ，f (0)＝e 0＝1，k ＝f ′(0)＝e 0＝1.所以切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0，∴a －b ＋1＝0，∴a －b ＝－1，∴2a＋2－b≥22a ·2－b ＝22a －b＝22－1＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝－12，b ＝12时取等号，故选D. 6.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b 2－b ＝a －b 2， 则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b 22， 再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b 2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D.7．设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________．答案 6解析 由xy ＋x －y －10＝0，得x ＝y ＋10y ＋1＝9y ＋1＋1， ∴x ＋y ＝9y ＋1＋1＋y ≥29y ＋1·(1＋y )＝6， 当且仅当9y ＋1＝1＋y ，即y ＝2时，等号成立． 8．(2019·吉林梅河口二中模拟)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7－S 5＝3(a 4＋a 5)，则4a 3＋9a 7的最小值为________． 答案 4解析 设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0)，∵S 7－S 5＝a 7＋a 6＝3(a 4＋a 5)，∴a 7＋a 6a 5＋a 4＝q 2＝3. ∴4a 3＋9a 7＝4a 3＋9a 3q 4＝4a 3＋1a 3≥24a 3·1a 3＝4， 当且仅当4a 3＝1a 3，即a 3＝12时等号成立． ∴4a 3＋9a 7的最小值为4. 9．(2018·肇庆模拟)已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，且△ABC 的面积为334，则a 的最小值为________． 答案 3解析 由题意得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴2bc cos A ＝bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3. ∵△ABC 的面积为334，∴12bc sin A ＝343，∴bc ＝3. ∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴a 2≥2bc －bc ＝bc ＝3(当且仅当b ＝c 时，等号成立)，∴a ≥ 3.10．已知a ，b 为正实数，且(a －b )2＝4(ab )3，则1a ＋1b的最小值为________． 答案 2 2解析 由题意得(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ，代入已知得(a ＋b )2＝4(ab )3＋4ab ， 两边同除以(ab )2得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ab 2＝4(ab )3a 2b 2＋4ab a 2b 2 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ≥4·2ab ·1ab ＝8， 当且仅当ab ＝1时取等号．所以1a ＋1b≥22， 即1a ＋1b的最小值为2 2. 11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值． 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2x y时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1010－203，y ＝20－4103. ∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 12.某人准备在一块占地面积为1800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 的值最大，则x ，y 的值各为多少？解 (1)由题意可得xy ＝1800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，所以S ＝(x －2)a ＋(x －3)b ＝(3x －8)a＝(3x －8)y －33＝1808－3x －83y (x >3，y >3)． (2)方法一 S ＝1808－3x －83×1800x＝1808－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4800x ≤1808－23x ×4800x＝1808－240＝1568，当且仅当3x ＝4800x， 即x ＝40时等号成立，S 取得最大值，此时y ＝1800x＝45， 所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值．方法二 设S ＝f (x )＝1808－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4800x (x >3)， 则f ′(x )＝4800x 2－3＝3(40－x )(40＋x )x 2， 令f ′(x )＝0，则x ＝40，当0<x <40时，f ′(x )>0；当x >40时，f ′(x )<0.所以当x ＝40时，S 取得最大值，此时y ＝45.13．(2018·郑州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a －c b ＝cos C cos B，b ＝4，则△ABC 面积的最大值为( )A ．4 3B ．2 3C ．3 3 D. 3 答案 A解析 ∵2a －c b ＝cos C cos B， ∴(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C＝sin(B ＋C )＝sin A .又sin A ≠0，∴cos B ＝12. ∵0<B <π，∴B ＝π3. 由余弦定理得b 2＝16＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时等号成立．∴S △ABC ＝12ac sin π3≤12×16×32＝4 3. 故△ABC 面积的最大值为4 3.故选A.14．如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋4y的最小值为( )A ．32B ．2C ．52D ．92答案 D解析 设AD →＝mAB →＋nAC →，AE →＝λAB →＋μAC →，∵B ，D ，E ，C 共线，∴m ＋n ＝1，λ＋μ＝1， ∵AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →＝()m ＋λAB →＋()n ＋μAC →， 则x ＋y ＝m ＋n ＋λ＋μ＝2，∴1x ＋4y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ()x ＋y ＝12⎝⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ·4x y ＝92，当且仅当x ＝23，y ＝43时，等号成立．故1x ＋4y 的最小值为92，故选D.15．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ·a q ，则f (n )＝S n －1·(S n －1＋2)＋256a n的最小值为_______． 答案 30解析 当q ＝1时，a p ＋1＝a p ·a 1＝2a p ， ∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n ＝2n ，S n ＝2(2n－1)2－1＝2n ＋1－2， ∴S n －1＝2n －2，S n －1·(S n －1＋2)＝(2n －2)·2n，∴f (n )＝(2n －2)2n ＋2562n ＝2n －2＋2562n ≥2256－2＝30，当且仅当2n ＝16，即n ＝4时，等号成立，f (n )min ＝30.16．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧面BCC 1B 1的面积为46， 求该正三棱柱外接球表面积的最小值．解 设BC ＝a ，CC 1＝b ，则ab ＝46，底面三角形外接圆的半径为r ， 则a sin60°＝2r ，∴r ＝33a . 所以R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＝b 24＋a 23≥2b 24·a 23＝29612＝42， 当且仅当a ＝32b 时，等号成立． 所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为 4π×42＝162π.。

班级学生姓名科目数学制作人高中数学组编号GZSXBXY2.2 第2课时基本不等式在实际问题中的应用一、学习目标1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题．二、自学指导与检测自学指导自学检测及课堂展示阅读教材46页的内容，完成右边的学习任务。

一、基本不等式在生活中的应用问题利用基本不等式求最大(小)值时，应注意哪些问题？【即时训练1】小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度．【变式训练1】要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价．阅读教材47页的内容，完成右边的学习任务。

二、基本不等式在几何中的应用【即时训练2】如图所示，设矩形ABCD(AB>BC)的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后AB′交DC于点P，设AB＝x.(1)用x表示DP，并求出x的取值范围；(2)求△ADP面积的最大值及此时x的值．三、巩固诊断1．用一段长为8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为( )A ．9 cm 2B ．16 cm 2C ．4 cm 2D ．5 cm 22．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾出行．刘先生在某段时间内共加油两次，期间燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是( )A ．采用第一种方案划算B ．采用第二种方案划算C ．两种方案一样D ．无法确定3．某工厂生产某种产品，第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x (a ，b ，x 均大于零)，则( )A ．x ＝a ＋b 2B ．x ≤a ＋b 2C ．x >a ＋b 2D ．x ≥a ＋b 24. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)，矩形花园面积的最大值为________．5. 如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建为一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB ＝4米，AD ＝3米，当BM ＝______时，矩形花坛AMPN 的面积最小．四、堂清、日清记录堂清 日清。