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山东省2013届高三高考模拟卷（三）数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合P={3，4，5}，Q={6，7}，定义},|),{(*Q b P a b a Q P ∈∈=，则Q P *的子集个数为A ．7B ．12C ．32D ．642．已知20<<a ，复数z 的实部为a ，虚部为1，则||z 的取值范围是A ．(1，5)B ．(1，3)C ．)5,1(D ．)3,1( 3．若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则A ．命题p 不一定是假命题B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 与命题q 同真同假4．已知数阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211aa aaa aa a a中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若822=a ，则这9个数的和为A ．16B ．32C ．36D ．725．某几何体的三视图如右图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，该几何体的体积为A ．63π B ．33π C ．23π D ．π3 6．执行如右图所示的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 的值是A ．8B ．5C ．3D ．2 7．函数()cos(2)f x x x π=-的图象大致为8．连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别为72、34，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ；②弦AB 、CD 可能相交于点N ；③MN 的最大值为5；④MN 的最小值为1．其中真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．49．在直角坐标系中，若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--≤≤≥1)1(,2,0x k y x y y 表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是A ．)1,(--∞B ．),0(+∞C ．),2()2,0(+∞D ．),2()2,0()1,(+∞--∞10．将“你能HOlD 住吗”8个汉字及英文字母填人5×4的方格内，其中“你”字填入左上角，“吗”字填入右下角，将其余6个汉字及英文字母依次填入方格，要求只能横读或竖读成一句原语，如图所示为一种填法，则共有不同的填法种数是A.35B.15C.20D.70 11．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F ，斜率为34的直线交抛物线于A ，B 两点，若)1(>=λλ，则λ的值为A ．5B ．4C ．34 D ．25 12．对任意实数y x ,，定义运算cxy by ax y x ++=*，其中c b a ,,为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算．现已知1*2=4，2*3=6，且有一个非零实数m ，使得对任意实数x ，都有x m x =*，则=mA ．2B ．3C ．4D ．5 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置． 13．若非零向量,满足||||=，0)2(=⋅+，则a 与b 的夹角为______． 14．已知26()kx x+（k 是正整数）的展开式中，常数项小于120，则=k _______． 15．若关于x 的不等式3|||1|>++-m x x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是_______．16．过双曲线的一个焦点的直线垂直于一条渐近线，且与双曲线的两支相交，则该双曲线离心率的取值范围是_________．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置． 17．(本小题满分12分)已知函数1)sin (cos cos 2)(+-=x x x x f ，R x ∈． (1)求函数)(x f 的最小正周期； (2)求函数)(x f 在区间]43,8[ππ上的最小值与最大值．18．(本小题满分12分)某学校的一间功能室统一使用某种节能灯管，已知这种灯管的使用寿命ξ(单位：月)服从正态分布),(2σμN ，且使用寿命不少于12个月的概率为0．8，使用寿命不少于24个月的概率为0．2．(1)求这种灯管的平均使用寿命μ；(2)假设一间功能室一次性换上2支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下(中途不更换)，设需要更换的灯管数为η，求η的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）如图甲，△ABC 是边长为6的等边三角形，E ，D 分别为AB ，AC 靠近B ，C 的三等分点，点G 为BC 边的中点，线段AG 交线段ED 于点F ．将△AED 沿ED 翻折，使平面AED ⊥平面BCDE ，连接AB ，AC ，AG ，形成如图乙所示的几何体． (1)求证：BC ⊥平面AFG ；(2)求二面角D AE B --的余弦值．20．(本小题满分12分)已知常数0>p 且1=/p ，数列}{n a 的前n 项和)1(1n n a ppS --=，数列}{n b 满足121log -+=-n p n n a b b 且11=b ．(1)求证：数列}{n a 是等比数列；(2)若对于在区间[0，1]上的任意实数λ，总存在不小于2的自然数k ，当k n ≥时，)23)(1(--≥n b n λ恒成立，求k 的最小值．21．（本小题满分13分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的长轴长为4，离心率22=e(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：3=x 分别交于M ，N 两点，求线段MN 的长度的最小值．22．（本小题满分13分）已知函数⎩⎨⎧≥<+++-=)1(ln )1()(23x x a x c bx x x x f ，的图象过点)2,1(-，且在点))1(,1(--f 处的切线与直线-x 015=+y 垂直． (1)求实数c b ,的值；(2)求)(x f 在e e ](,1[-为自然对数的底数）上的最大值；(3)对任意给定的正实数a ，曲线)(x f y =上是否存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在y 轴上？参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 【解析】集合Q P *中的元素为(3，6)，(3，7)，(4，6)，(4，7)，(5，6)，(5，7)共6个，故Q P *的子集个数为6426=．2．C 【解析】由于复数z 的实部为a ，虚部为1，且20<<a ，故由21||a z +=得5||1<<z ．3．B 【解析】由题可知“非p ”是真命题，所以p 是假命题，又因为“p 或q ”是真命题，所以q 是真命题．故选B ． 4．D 【解析】依题意得+++++++31232221131211a a a a a a a 3332a a +72933322322212==++=a a a a ．5．B 【解析】由三视图可知该几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，然后把截面放在平面上，底面相对接的图形（如图）．圆锥的底面半径为1，母线长为2，故圆锥的高=h 31222=-．易知该几何体的体积就是整个圆锥体的体积，即3331313122πππ=⨯⨯=h r ． 6．C 【解析】由题知，第一次进入循环，满足1<4，循环后1=p ，1=s ，1=t ，2=k ；第二次进入循环，满足2<4，循环后2=p ，=s 1，2=t ，3=k ；第三次进入循环，满足3<4，循环后3=p ，2=s ，3=t ，4=k ，因为4=4，不满足题意，所以循环结束．输出p 的值为3，选C ．7．A 【解析】因为()cos(2)cos f x x x x x π=-=，)(cos )cos()()(x f x x x x x f -=-=--=-，所以函数x x x f cos )(=为奇函数，排除B ，C ；又因为当20π<<x 时，=)(x f 0cos >x x ，故选择A ．8．C 【解析】设球的球心O 到直线AB 、CD 的距离分别为d d 、'，利用勾股定理可求出3='d ，2=d ，所以CD 可以经过M ，而AB 不会经过N ，所以①正确，②不正确；又5='+d d ，1=-'d d ，所以③④正确．故选C ．9．A 【解析】 由题意可知，直线1)1(--=x k y 过定点)1,1(-．当这条直线的斜率为负值时，如图1所示，若不等式组表示一个三角形区域，则该直线的斜率)1,(--∞∈k ；当这条直线的斜率为正值时，如图2所示，1)1(--≤x k y 所表示的区域是直线1)1(--=x k y 及其右下方的半平面，这个区域和另外两个半平面的交集是一个无界区域，不能构成三角形．因此k 的取值范围是)1,(--∞．10．A 【解析】要把6个汉字及英文字母依次填入6个方格中，按照规则分为两类：一类是4个字横向2个字纵向，有26C 种填法；另一类是3个字横向3个字纵向，有36C 种填法：所以共有3520153626=+=+C C 种填法．11．B 【解析】 根据题意设),(11y x A ，),(22y x B ．由FB AF λ=得),2(),2(2211y px y x p -=--λ，故21y y λ=-，即=λ21y y -．设直线AB 的方程为)2(34p x y -=，联立直线与抛物线方程，消元得02322=--p py y ．故p y y 2321=+，=21y y 2p -，492)(122121221-=++=+y y y y y y y y ，即=+--21λλ49-．又1>λ，故4=λ． 12．D 【解析】由定义可知，⎩⎨⎧=++==++=66323*24222*1c b a c b a ，解得⎩⎨⎧+=-=226c b ca ，又对任意实数x ，都有x m x =*，即++-=+++-=c x c cm cxm m c cx m x 2()6()22(6*x m =)2恒成立，则⎩⎨⎧=+=-0)22(16m c c cm ，解得⎩⎨⎧=-=51m c 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=061m c （舍）． 第Ⅱ卷13．︒120【解析】由题意得⋅=+⋅=⋅+22||22)2(a b b a b b a 0,cos 2=+><a b a，所以21,cos ->=<，所以,的夹角为︒120．14．1【解析】二项展开式的通项为r r rr xkx C T )()(6261-+=rr r xk C 3126-=，令0312=-r ，得4=r ，故常数项为446k C ，由常数项小于120，即<446k C 120，得84<k ．又k 是正整数，故1=k ．15．),2()4,(+∞--∞ 【解析】由题意知，不等式+-|1|x 3||>+m x 恒成立，即函数|||1|)(m x x x f ++-=的最小值大于3，根据不等式的性质可得--≥++-)1(||||1|x m x x |1||)(+=+m m x ，故只要3|1|>+m 即可，所以31>+m 或31-<+m ，即得m 的取值范围是),2()4,(+∞--∞ ．16． ),2(+∞【解析】不妨设双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，焦点,(c F 0)，渐近线x ab y =，则过点F 的直线方程为)(c x b ay --=，与双曲线联立，消去y 得02)(42244244=--+-b a c a a x a b α，由⎪⎩⎪⎨⎧<-->∆020444ab c a 得44a b >，即a b >，故2>e ．三、17．【解析】(1)1)sin (cos cos 2)(+-=x x x x f 1sin cos 2cos 22+-=x x x)432sin(2222sin 2cos π++=+-=x x x ．（4分） 因此，函数)(x f 的最小正周期为π．（6分） (2)由题易知)432sin(22)(π++=x x f 在区间]83,8[ππ上是减函数， 在区间]43,83(ππ上是增函数，（8分） 又2)8(=πf ，22)83(-=πf ，3)43(=πf ，（10分）所以，函数)(x f 在区间]43,8[ππ上的最大值为3，最小值为22-．（12分） 18．【解析】(1)因为),(~2σμξN ，8.0)12(=≥ξP ，2.0)24(=≥ξP ，所以2.0)12(=<ξP ，显然)24()12(≥=<ξξP P ．（3分）由正态分布密度曲线的对称性可知，1822412=+=μ， 即这种灯管的平均使用寿命是18个月．（6分）(2)这种灯管的使用寿命少于12个月的概率为2.08.01=-． 由题意知，η的可能取值为0，1，2，（8分） 则64.08.02.0)0(22=⨯==C P η，⨯==1122.0)1(C P η32.08.01=，04.08.02.0)2(0222=⨯==C P η．（10分）所以η的分布列为所以4.004.0232.0164.00=⨯+⨯+⨯=ηE ．（12分）19．【解析】(1)在图甲中，由△ABC 是等边三角形，E ，D 分别为AB ，AC 的三等分点，点G 为BC 边的中点，易知DE ⊥AF ，DE ⊥GF ，DE//BC ．（2分）在图乙中，因为DE ⊥AF ，DE ⊥GF ，AF FG=F ，所以DE ⊥平面AFG ． 又DE//BC ，所以BC ⊥平面AFG ．（4分） (2)因为平面AED ⊥平面BCDE ，平面AED 平面BCDE=DE ， DE ⊥AF ，DE ⊥GF ，所以FA ，FD ，FG 两两垂直．以点F 为坐标原点，分别以FG ，FD ，FA 所在的直线为z y x ,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz F -．则)32,0,0(A ，)0,3,3(-B ，)0,2,0(-E ，所以)32,3,3(--=，,1,3(-=0)．（6分） 设平面ABE 的一个法向量为),,(z y x =．则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AB n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--0303233y x z y x ，取1=x ，则3=y ，1-=z ，则)1,3,1(-=．（8分）显然)0,0,1(=为平面ADE 的一个法向量， 所以55||||,cos =⋅>=<n m ．（10分） 又由图知二面角D AE B --为钝角，所以二面角D AE B --的余弦值为55-．（12分）20．【解析】(1)当2≥n 时，-----=-=-1(1)1(11ppa p p S S a n n n n )1-n a ，整理得1-=n n pa a ．（3分）由)1(1111a p p S a --==，得=1a 0>p ，则恒有0>=n n p a ，从而p a an n =-1．所以数列}{n a 为等比数列．（6分）(2)由(1)知nn p a =，则12log 121-==--+n a b b n P n n ，所以=+-++-+-=---112211)()()(b b b b b b b b n n n n n 222+-n n ，（8分）所以)23)(1(222--≥+-n n n λ，则+-+-n n n 5)23(2λ04≥在]1,0[∈λ时恒成立．记45)23()(2+-+-=n n n f λλ，由题意知，⎩⎨⎧≥≥0)1(0)0(f f ，解得4≥n 或1≤n ．（11分）又2≥n ，所以4≥n ．综上可知，k 的最小值为4．（12分） 21．【解析】(1)由题意得42=a ，故2=a ，（1分）因为22==a c e ，所以2=c ，2)2(2222=-=b ，（3分） 所以所求的椭圆方程为12422=+y x ．（4分） (2)依题意，直线AS 的斜率k 存在，且0>k ，故可设直线AS 的方程为)2(+=x k y ，从而)5,3(k M ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=124)2(22y x x k y 得+1(0488)22222=-++k x k x k ．（6分）设),(11y x S ，则2212148)2(k k x +-=⨯-，得2212142k k x +-=，从而21214k ky +=， 即)214,2142(222kkk k S ++-，（8分）又由B(2，0)可得直线SB 的方程为22142202140222-+--=-+-kk x k ky ， 化简得)2(21--=x ky ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=3)2(21x x k y 得⎪⎩⎪⎨⎧-==k y x 213，所以)21,3(k N -，故|215|||kk MN +=，（11分） 又因为0>k ，所以102152215||=∙≥+=kk k k MN ， 当且仅当kk 215=，即1010=k 时等号成立，所以1010=k 时，线段MN 的长度取最小值10．（13分） 22．【解析】(1)当1<x 时，b x x x f ++-='23)(2，（2分）由题意，得⎩⎨⎧-=-'=-,5)1(,2)1(f f 即⎩⎨⎧-=+--=+-,523,22b c b 解得0==c b ．（4分）(2)由(1)，知⎩⎨⎧≥<+-=),1(ln ),1()(23x x a x x x x f （5分）①当11<≤-x 时，)23()(--='x x x f ，由0)(>'x f ，得320<<x ；由0)(<'x f ，得01<≤-x 或132<<x ．所以)(x f 在)0,1[-和)1,32(上单调递减，在)32,0(上单调递增．因为2)1(=-f ，274)32(=f ，0)0(=f ，所以)(x f 在)1,1[-上的最大值为2．②当e x ≤≤1时，x a x f ln )(=，当0≤a 时，0)(≤x f ；当0>a 时，)(x f 在],1[e 上单调递增．（7分）所以)(x f 在],1[e 上的最大值为a ．所以当2≥a 时，)(x f 在],1[e -上的最大值为a ； 当2<a 时，)(x f 在],1[e -上的最大值为2．（8分）七彩教育网() 资源分享平台,无需注册，无需登录即可下载七彩教育网()上传资源获得现金奖励！ (3)假设曲线)(x f y =上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴两侧， 因为△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，所以0=∙OQ OP ，不妨设)0))((,(>t t f t P ，则由△POQ 斜边的中点在y 轴上知,(t Q -)23t t +，且1≠t ．所以0))((232=++-t t t f t ．（*） 是否存在两点P ，Q 满足题意等价于方程(*)是否有解．若10<<t ，则23)(t t t f +-=，代入方程(*)，得++-+-3232)((t t t t 0)2=t ， 即0124=+-t t ，而此方程无实数解；当1>t 时，则t a t f ln )(=，代入方程(*)，得0)(ln 232=+∙+-t t t a t ，即t t aln )1(1+=。
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2013年高考潍坊模拟考试数学试题（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 是虚数单位，复数2a i i +-是纯虚数，则实数a= A.2- B.2 C.12- D.122.已知集合{{},1,,,=A B m A B B m ==⋂=则A.0或1B.0或3C.1或3D.0或1或33.下列命题中，真命题是A.命题“若p ，则q.”的否命题是“若p ，则.q ⌝”B.命题2:10p x R x ∃∈+，使得＜，则:p x R ⌝∀∈，使得210x +≥C.已知命题p 、q ，若“p q ∨”为假命题，则命题p 与q 一真一假D.a+b=0的充要条件是1ab =- 4.某校200名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)[)50,60,60,70，[)[)[)70,80,80,90,90,100.则成绩在[]90,100内的人数为A.20B.15C.10D.55.函数()()2log 1f x x =+的图象大致是6.一个几何体的三视图如图所示，且其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为A.3122π+B.9362π+ C.9184π+ D.364π+7.已知(()*2n n N ∈其中的展开式中含3x 项的系数为14，则n=A.6B.7C.8D.98.不等式组1400x x y kx y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域是面积为1的直角三角形，则2z x y =-的最大值是A.5-B.2-C.1-D.19.已知ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若1cos ,2,sin 2sin ,4B b C A ===则ABC ∆的面积为10.已知函数()312,16f x x x a a =-+≥其中，则下列说法正确的是A.()f x 有且只有一个零点B.()f x 至少有两个零点C.()f x 最多有两个零点D.()f x 一定有三个零点11.已知数列()*21n a n n N =-∈，把数列{}n a 的各项排列成如图所示的三角形数阵，记(),M s t 表示该数阵中第s 行从左到右第t 个数，则M （10，9）为A.55B.53C.109D.10712.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，123P P P 、、是抛物线C 上的不同三点，且1FP 、2FP 、3FP 成等差数列，公差0d ≠，若点2P 的横坐标为3，则线段13P P 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标是A.3B.5C.6D.不确定，与d 的值有关二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.过点（2，3）且以y =为渐近线的双曲线方程是________.14.设()f x 为定义在()3,3-上的奇函数，当()()230log 3,x f x x -=+＜＜时，()0f 则()1f +=_________.15.运行如图所示的程序框图，输出的S 值为_______.16.如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且AB 、CD 均与水平面垂直，它们的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看点D 的仰角为α，看点C 的俯角为β，已知45αβ+= ，则BC 的长度是______m.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知函数()()22sin cos 2f x x x x ππ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭. （I ）求函数()f x 的单调增区间；（II ）若3,2122f απα⎛⎫-=⎪⎝⎭是第二象限角，求cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.18.（本小题满分12分）如图，在几何体ABCDE 中，平面//,ABC BCD AE BD ABC ⊥∆平面，为边长等于2的正三角形，=4CD BD M ，为CD 的中点.（I ）证明：平面ECD ⊥平面ABC ；（II ）求二面角C AB M --的大小.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是一个公差大于零的等差数列，且362755,16a a a a =+=，数列{}n b 的前n 项和为,22n n n S S b =-且.（I ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（II ）设12,n n n n n a c T c c c b ==++⋅⋅⋅+，试比较421n n T n +与的大小，并予以证明.20.（本小题满分12分）某校为组建校篮球队，对报名同学进行定点投篮测试，规定每位同学最多投3次，每次在A 或B 处投篮，在A 处投进一球得3分，在B 处投进一球得2分，否则得0分，每次投篮结果相互独立，将得分逐次累加并用X 表示，如果X 的值不低于3分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止.投篮方案有以下两种：方案1：先在A 处投一球，以后都在B 处投；方案2：都在B 处投篮.已知甲同学在A 处投篮的命中率为0.4，在B 投投篮的命中率为0.6. （I ）甲同学若选择方案1，求X=2时的概率；（II ）甲同学若选择方案2，求X 的分布列和期望；（III ）甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？请说明理由.21.（本小题满分12分） 已知椭圆()222210x y C a b a b +=：＞＞设过椭圆的焦点且倾斜角为45 的直线l 和椭圆交于A ，B 两点，且8.AB =（I ）求椭圆C 的方程；（II ）对于椭圆C 上任一点，若,OM OA OB λμλμ=+ 求的最大值.22.（本小题满分14分）定义：()[),k h x k x +∞若在上为增函数，则称()h x 为“k 次比增函数”，其中*k N ∈，已知()ax f x e =.（I ）若()f x 是“1次比增函数”，求实数a 的取值范围；（II ）当12a =时，求函数()()[](),10f x g x m m m x =+在＞上的最小值；（III ）求证：17.2n i e =＜。
山东省潍坊市2013年高考模拟考试数 学（理工农医类） 2013 4本试卷共4页，分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后， 再改涂其它答案标号一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是 符合题目要求的1·复数31i z i=+复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 3(1)111=11(1)(1)222i i i i i z i i i i i -----====--+++-，对应点的坐标为11(,)22--，为第三象限，选C.2．在△ABC 中，“30A ∠=”是“1sin 2A =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】A 由1sin 2A =得30360A k =+⋅ 或150360A k =+⋅ ，所以“30A ∠=”是“1sin 2A =”的充分不必要条件，选A.3．集合{}{}|13,|,04A x x B y y x x =+≤==≤≤．则下列关系正确的是A ．AB R = B ．R A B ⊆餽C ．R B A ⊆餽D ．R R A B ⊆餽餽 【答案】D {}|13{42}A x x x x =+≤=-≤≤，{}|,04{02}B y y x x y y ==≤≤=≤≤，所以{20}R B x x x =><或ð，{40}R A x x x =<->或ð，所以R R A B ⊆餽餽，选D.4．已知双曲线22221x y a b-=的实轴长为2，焦距为4，则该双曲线的渐近线方程是A ．3y x =±B ．33y x =±C ．3y x =±D ．2y x =± 【答案】C 由题意知22,24a c ==，所以1,2a c ==，所以223b c a =-=。
2013年山东省潍坊市高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.复数的共轭复数=()A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i【答案】B【解析】试题分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则求得z，即可求得它的共轭复数．∵复数===1+2i，∴它的共轭复数=1-2i，故选B．2.设集合A={x|2x≤4}，集合B为函数y=lg(x-1)的定义域，则A∩B=()A.(1，2)B.[1，2]C.[1，2)D.(1，2]【答案】D【解析】试题分析：通过指数不等式求出集合A，求解函数的定义域求出集合B，然后求解交集即可．因为集合A={x|2x≤4}={x|x≤2}，集合B为函数y=lg(x-1)的定义域为：{x|x＞1}，则A∩B={x|x≤2}∩{x|x＞1}={x|1＜x≤2}．故选D．3.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：已知直线l⊥平面α，根据线面垂直和面面平行的性质进行判断；∵已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，∴若α∥β可得l⊥β，∴l⊥m若l⊥m，则l不一定垂直β，∴α与β不一定平行；∴α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件，故选A．4.设随机变量X～N(3，1)，若P(X＞4)=p，则P(2＜X＜4)=()A. B.l-p C.l-2p D.【答案】C【解析】试题分析：根据题目中：“正态分布N(3，1)”，画出其正态密度曲线图：根据对称性，由P(X＞4)=p的概率可求出P(2＜X＜4)．∵随机变量X～N(3，1)，观察图得，P(2＜X＜4)=1-2P(X＞4)=1-2p．故选C．5.设曲线y=sinx上任一点(x，y)处切线斜率为g(x)，则函数y=x2g(x)的部分图象可以为()A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：先根据导数几何意义得到曲线y=sinx上任一点(x，y)处切线斜率g(x)，再研究函数y=x2g(x)的奇偶性，再根据在某点处的函数值的符号进一步进行判定．曲线y=sinx上任一点(x，y)处切线斜率为g(x)，∴g(x)=cosx，则函数y=x2g(x)=x2•cosx，设f(x)=x2•cosx，则f(-x)=f(x)，cos(-x)=cosx，∴y=f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A、B．令x=0，得f(0)=0．排除D．故选C．6.运行如图框图输出的S是254，则①应为()A.a≤5B.a≤6C.a≤7D.a≤8【答案】C【解析】试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．∵S=2+22+…+26+27=254，故①中应填n≤7．故选C．7.若不等式|x-2|+|x-3|＞|k-1|对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围()A.(-2，4)B.(0，2)C.[2，4]D.[0，2]【答案】B【解析】试题分析：根据绝对值的意义可得|x-2|+|x-3|的最小值为1，由1＞|k-1|，解绝对值不等式求得实数k的取值范围．根据绝对值的意义可得|x-2|+|x-3|表示数轴上的x对应点到2和3对应点的距离之和，它的最小值为1，再由不等式|x-2|+|x-3|＞|k-1|对任意的x∈R恒成恒成立，可得1＞|k-1|，即-1＜k-1＜1，解得0＜k＜2，故实数k的取值范围是(0，2)，故选B．8.某车队准备从甲、乙等7辆车中选派4辆参加救援物资的运输工作，并按出发顺序前后排成一队，要求甲、乙至少有一辆参加，且若甲、乙同时参加，则它们出发时不能相邻，那么不同排法种数为()A.720B.600C.520D.360【答案】B【解析】试题分析：利用分类加法计数原理、排列与组合的计算公式、“插空法”即可得出．由题意可分为以下3类：①只有甲汽车被选中，则可有=240种方法；②只有乙汽车被选中，则可有=240种方法；③若甲乙两辆汽车都被选中，且它们出发时不能相邻，则不同排法种数==120种方法．综上由分类加法计数原理可知：所要求的不同排法种数=240+240+120=600种．故选B．9.定义，若函数，则将f(x)的图象向右平移个单位所得曲线的一条对称轴的方程是()A. B. C. D.x=π【答案】A【解析】试题分析：根据新定义、两角和差的正弦公式求得函数f(x)的解析式为2sin(2x-)，根据函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律可得所得曲线的解析式为y=sin(2x-).令2x-=kπ+，可得x的值，从而得到函数的对称轴方程．∵函数=sin2x-cos2x=2sin(2x-)，将f(x)的图象向右平移个单位所得曲线的解析式为y=sin[2(x-)-]sin(2x-)．令2x-=kπ+，可得x=π+，k∈z，故所得曲线的一条对称轴方程为x=，故选A．10.已知，满足tan(α+β)=4tanβ，则tanα的最大值是()A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：利用两角和的正切将tan(α+β)=4tanβ转化，整理为关于tanβ的一元二次方程，利用题意，结合韦达定理即可求得答案．∵tan(α+β)=4tanβ，∴=4tanβ，∴4tanαtan2β-3tanβ+tanα=0，①∴α，β∈(0，)，∴方程①有两正根，tanα＞0，∴△=9-16tan2α≥0，∴0＜tanα≤．∴tanα的最大值是．故选B11.已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F与双曲的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为() A. B.3 C. D.4【答案】B【解析】试题分析：根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得K的坐标，设A(x0，y0)，过A点向准线作垂线AB，则B(-3，y0)，根据|AK|=|AF|及AF=AB=x0-(-3)=x0+3，进而可求得A点坐标．∵双曲线，其右焦点坐标为(3，0)．∴抛物线C：y2=12x，准线为x=-3，∴K(-3，0)设A(x0，y0)，过A点向准线作垂线AB，则B(-3，y0)∵|AK|=|AF|，又AF=AB=x0-(-3)=x0+3，∴由BK2=AK2-AB2得BK2=AB2，从而y02=(x0+3)2，即12x0=(x0+3)2，解得x0=3．故选B．12.已知f(x)=a(x+2a)(x-a-3)，g(x)=2-x-2，它们同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0；②∃x∈(1，+∞)，f(x)•g(x)＜0成立，则实数a的取值范围是()A.(-4，)B.(-∞，-4)∪(，0)C.(-4，-2)∪(-，0)D.(-4，-2)∪(，)【答案】C【解析】试题分析：由①可得当x＜-1时，f(x)＜0，根据②可得当x＞1时，函数f(x)在x轴的上方有图象，故有，由此解得实数a的取值范围．∵已知f(x)=a(x+2a)(x-a-3)，g(x)=2-x-2，根据①∀x∈R，f(x)＜0，或g(x)＜0，即函数f(x)和函数g(x)不能同时取非负值．由g(x)＜0，求得x＞-1，即当x＞-1时，g(x)＜0；当x＜-1时，g(x)＞0．故当x＞-1时，f(x)＜0．根据②∃x∈(1，+∞)，使f(x)•g(x)＜0成立，而当x＞1时，g(x)=2-x-2＜0，故f(x)=a(x+2a)(x-a-3)＞0在(1，+∞)上有解，即当x＞1时，函数f(x)在x轴的上方有图象，故函数f(x)和函数g(x)的图象如图所示：综合以上，可得，即，解得-4＜a＜-2，或-＜a＜0，故选C．二、填空题(本大题共4小题，共16.0分)13.已知双曲线的一条渐近线与直线x+2y-1=0垂直，则曲线的离心率等于．【答案】【解析】试题分析：由题意可判断出直线x+2y-1=0与渐近线垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出．∵双曲线的渐近线方程为．又直线x+2y-1=0可化为，可得斜率为．∵双曲线的一条渐近线与直线x+2y-1=0垂直，∴，得到．∴双曲的离心率e==．故答案为．14.已知一圆柱内接于球O，且圆柱的底面直径与母线长均为2，则球为O的表面积为．【答案】8π【解析】试题分析：圆柱的底面半径为1，根据底面直径与高相等的圆柱内接于球，确定球的半径，进而可得球的表面积．由题意得，圆柱底面直径为1，球的半径为R，由于底面直径与高相等的圆柱内接于球，则圆柱的轴截面的对角线即为球的直径，即×2=2R，∴R=∴球的表面积=4πR2=8π，故答案为：8π．15.在区间[0，4]内随机取两个数a、b，则使得函数f(x)=x2+ax+b2有零点的概率为．【答案】【解析】试题分析：根据题意，以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系，得到所有的点在如图的正方形OABC及其内部任意取，由一元二次方程根与系数的关系，算出函数f(x)=x2+ax+b2有零点时满足a≥2b，满足条件的点(a，b)在正方形内部且在直线a-2b=0的下方的直角三角形，因此用所得直角三角形面积除以正方形的两种，即可得到所求的概率．∵两个数a、b在区间[0，4]内随地机取，∴以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系，可得对应的点(a，b)在如图的正方形OABC及其内部任意取，其中A(0，4)，B(4，4)，C(4，0)，O为坐标原点若函数f(x)=x2+ax+b2有零点，则△=a2-4b2≥0，解之得a≥2b，满足条件的点(a，b)在直线a-2b=0的下方，且在正方形OABC内部的三角形，其面积为S1==4∵正方形OABC的面积为S=4×4=16∴函数f(x)=x2+ax+b2有零点的概率为P===故答案为：16.现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10cm，最下面的三节长度之和为114cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n= ．【答案】16【解析】试题分析：把已知问题用一个等差数列表示，然后利用等差数列的通项公式和等比中项即可得出．设此根n节的竹竿的自上而下每节的长度依次构成等差数列为{a n}，公差为d．由题意可知：a1=10，a n-2+a n-1+a n=114，．联立可得，解得因此n=16．故答案为16．三、解答题(本大题共6小题，共74.0分)17.已知函数．其图象的两个相邻对称中心的距离为，且过点．(I)函数f(x)的达式；(Ⅱ)在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，，，角C为锐角．且满，求c的值．【答案】解：(I)∵=sin(ωx+φ)，=[1-cos(ωx+φ)]∴=sin(ωx+φ)+[1-cos(ωx+φ)]=sin(ωx+φ-)+∵函数图象的两个相邻对称中心的距离为，∴函数的周期T==π，得ω=2∵点是函数图象上的点，∴f()=sin(2×+φ+)+=1，解之得cosφ=∵φ∈(0，)，∴φ=因此，函数f(x)的达式为f(x)=sin(2x+)+；(II)f(-)=sin(C-+)+=，解之得sin C=∵0＜C＜，∴cos C==又∵a=，S△ABC=2∴×a×b×sin C=2，即××b×=2，解之得b=6根据余弦定理，得c2=a2+b2-2abcos C=5+36-2××6×=21∴c=，即得c的值为．【解析】(I)由二倍角的三角函数公式和辅助角公式，化简得f(x)=sin(ωx+φ-)+，结合图象的两个相邻对称中心的距离为和点在函数图象上，建立关于ω、φ的关系式，解之即可得到函数f(x)的达式；(II)将代入函数表达式，解出sin C=，结合C为锐角，算出cos C=．根据面积正弦定理公式，由S△ABC=2算出b=6，最后由余弦定理代入题中的数据即可求出边c的值．18.某电视台举办有奖竞答活动，活动规则如下：①每人最多答4个小题；②答题过程中，若答对则继续答题，答错则停止答题；③答对每个小题可得10分，答错得0分．甲、乙两人参加了此次竞答活动，且相互之间没有影响．已知甲答对每个题的概率为，乙答对每个题的概为．(I)设甲的最后得分为X，求X的分布列和数学期望；(Ⅱ)求甲、乙最后得分之和为20分的概率．【答案】解：(I)X的可能取值为：0，10，20，30，40，P(X=0)=1-=，P(X=10)==，P(X=20)==，P(X=30)==，P(X=40)==，故X的分布列如下：X 0 10 20 30 40P故所求的数学期望EX==；(Ⅱ)设“甲、乙最后得分之和为20分”为事件A，“甲恰好得0分且乙恰好得20分”为事件B，“甲恰好得10分且乙恰好得10分”为事件C，“甲恰好得20分且乙恰好得0分”为事件D，则事件B、C、D互斥，且A=B+C+D，又P(B)==，P(C)==，P(D)==，故P(A)=P(B+C+D)==【解析】(I)X的可能取值为：0，10，20，30，40，分别求得各自对应的概率，可得分布列，进而可得的期望；(Ⅱ)设“甲、乙最后得分之和为20分”为事件A，“甲恰好得0分且乙恰好得20分”为事件B，“甲恰好得10分且乙恰好得10分”为事件C，“甲恰好得20分且乙恰好得0分”为事件D，可得事件B、C、D互斥，且A=B+C+D，分别求得概率，由概率的加法公式可得答案．19.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，点E，F分别在BC，AD上，且E为BC中点，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使二面角A-EF-D等于60°．(I)设这P为AD的中点，求证：CP∥平面ABEF；(Ⅱ)求直线AF与平面ACD所成角的正弦值．【答案】解：(I)取AF中点Q，连接EQ、PQ∵QP是△ADF的中位线，∴QP=DF且QP=，又∵EC∥DF且EC=DF，∴QP∥EC且QP=EC，可得四边形PQEC是平行四边形，可得CP∥EQ∵CP⊄平面ABEF，EQ⊂平面ABEF，∴CP∥平面ABEF；(II)根据题意，折叠后仍有EF⊥AF，EF⊥FD∴∠AFD就是二面角A-EF-D的平面角，∠AFD=60°∵AF、FD是平面ADF内的相交直线，∴EF⊥平面ADF．∵AO⊂平面ADF，∴AO⊥EF，过A作AO⊥FD于O，∵EF、FD是平面CDFE内的相交直线，∴AO⊥平面CDFE，在平面CDFE内，作OG∥EF交EC于G，则OG⊥FD，OG⊥AO分别以OG、OD、OA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示R t△AOF中，AF=2，∠AF0=60°，则FO=1，OA=，∴F(0，-1，0)，A(0，0，)，D(0，3，0)，C(2，1，0)可得=(0，-1，-)，=(0，3，-)，=(-2，2，0)设平面ACD的一个法向量为=(x，y，z)，则取z=，得x=y=1，可得=(1，1，)，∵cos==-，∴设直线AF与平面ACD所成角为α，则sinα=|cos|=即直线AF与平面ACD所成角的正弦值是．【解析】(I)取AF中点Q，连接EQ、PQ，利用三角形中位线定理结合已知条件证出四边形PQEC 是平行四边形，可得CP∥EQ，再由线面平行的判定定理，即可得到CP∥平面ABEF；(II)根据折叠后仍有EF⊥AF且EF⊥FD，可得EF⊥平面ADF且∠AFD就是二面角A-EF-D 的平面角．过A作AO⊥FD于O，平面CDFE内作OG∥EF交EC于G，可得直线OG、OD、OA两两互相垂直．因此分别以OG、OD、OA所在直线为x、y、z轴，建立如图所示坐标系．算出F、A、D、C各点的坐标，从而得到向量、和的坐标，根据垂直向量数量积为零，建立方程组算出平面ACD的一个法向量为=(1，1，)，用夹角公式算出、夹角的余弦，最后根据直线与平面所成角的性质，得到、夹角余弦的绝对值即为直线AF与平面ACD所成角的正弦值．20.已知数列{a n}的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数a1，a2，a4，a7，…构成等差数列{b n}，S n是{b n}的前n项和，且b1=a1=1，S5=15．( I )若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知a9=16，求a50的值；(Ⅱ)设，当m∈[-1，1]时，对任意n∈N*，不等式恒成立，求t的取值范围．【答案】解：(I)设等差数列{b n}的公差为d，∵b1=1，S5=5+10d=15．解得d=1∴b n=n∴b4=a7=4，设第三行开始，每行的公比都是q，且q＞0则a9=a7•q2=4q2=16解得q=2又由前9行共有1+2+3+…+9=45个数故a50是数列第10行第5个数故a50=b10•q4=10×16=160(II)由(I)易得S n=1+2+…+n=∴=++…+=2(-+-+…+-)=2(-)=令f(x)=(x≥1)∴f′(x)=，(x≥1)由x≥1时，f′(x)＜0，故f(x)在[1，+∞)上为减函数∴T n随n的增大而减小，故当n=1时T n取最大值T1=若不等式恒成立，则恒成立，即t3-2mt-3＞0恒成立，令g(m)=t3-2mt-3，m∈[-1，1]则即解得t＜-3或t＞3【解析】(I)由等差数列{b n}满足b1=a1=1，S5=15．求出数列的公差后，可得数列的通项公式，结合数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，a9=16，可求出公比，进而求出a50的值；(Ⅱ)由(1)求出S n的表达式，利用裂项相消法求出T n的表达式，进而将不等式恒成立问题，转化为最值问题，利用导数法，可得答案．21.如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴正半轴相交于两点M，N(点M必在点N的右侧)，且|MN|=3,椭圆D：的焦距等于2|ON|，且过点．(I) 求圆C和椭圆D的方程；(Ⅱ) 设椭圆D与x轴负半轴的交点为P，若过点M的动直线l与椭圆D交于A、B两点，∠ANM=∠BNP是否恒成立？给出你的判断并说明理由．【答案】解：(I)设圆C的半径r，由题意可得圆心(r，2)∵|MN|=3∴r2==故圆的方程为：①①中，令y=0可得x=1或x=4，则N(1，0)，M(4，0)即c=1∵，消去a 可得2b4-5b2-3=0解得b2=3，则a2=4故椭圆的方程为(II)恒有，∠ANM=∠BNP成立∵M在椭圆的外部∴直线L可设为y=k(x-4)由可得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1+x2=，x1x2=k AN+k BN=====0∴K AN=-K BN即∠ANM=∠BNP当x1=1或x2=1时，k=，此时对方程△=0不合题意综上，过点M的动直线l与椭圆D交于A，B两点，恒有∠ANM=∠BNP成立【解析】(I)设圆C的半径r，由题意可得圆心(r，2)由MN的长度可求半径r，进而可求圆的方程，在圆的方程中，令y=0可求M，N的坐标，从而可求c，然后由已知点在椭圆上可求b，进而可求a，可求椭圆方程;(II)由题意可设直线L可设为y=k(x-4)，联立直线与椭圆方程，设A(x1，y1)，B(x2，y2)根据方程的根与系数关系可求x1+x2，x1x2，从而可求k AN+k BN==0，进而可得.22.设函数，其中a≠0．(Ⅰ)若函数y=g(x)图象恒过定点P，且点P关于直线的对称点在y=f(x)的图象上，求m的值；(Ⅱ)当a=8时，设F(x)=f′(x)+g(x+1)，讨论F(x)的单调性；(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，设，曲线y=G(x)上是否存在两点P、Q，使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．【答案】解：(I)令ln(x-1)=0，得x=2，∴点P关于直线的对称点(1，0)，∴f(1)=0，m+4+m=0，m=-3．(II)F(x)=f′(x)+g(x+1)=mx2+2(4+m)x+8lnx，(x＞0)．∴F′(x)=2mx+(8+2m)x+==，∵x＞0，∴x+1＞0，∴当m≥0时，8+2mx＞0，F′(x)＞0，此时，F(x)在(0，+∞)上是减函数，当m＜0时，由F′(x)＞0得0＜x＜-，由F′(x)＜0得x＞-，此时，F(x)在(0，-)上是增函数，在(-，+∞)上是减函数，综上所述，m≥0时，8+2mx＞0，F′(x)＞0，此时，F(x)在(0，+∞)上是增函数，当m＜0时，由F′(x)＞0得0＜x＜-，由F′(x)＜0得x＞-，此时，F(x)在(0，-)上是增函数，在(-，+∞)上是减函数，(III)由条件(I)知，，假设曲线y=G(x)上存在两点P、Q，满足题意，则P、Q只能在y轴的同侧，设P(t，G(t))(t＞0)，则Q(-t，t3+t2)，∵△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，∴=0，即-t2+G(t)(t3+t2)=0，①(1)当0＜t≤2时，G(t)=-t3+t2，此时方程①为-t2+(-t3+t2)(t3+t2)=0，化简得t4-t2+1=0，无解．满足条件的P、Q不存在；(2)当t＞2时，G(t)=aln(t-1)，此时方程①为-t2+aln(t-1)(t3+t2)=0，化简得=(t+1)ln(t-1)，设h(x)=(t+1)ln(t-1)，则h′(x)=ln(t-1)+，当t＞2时，h′(x)＞0，h(x)在(2，+∞)上是增函数，h(x)的值域为(h(2)，+∞)，即(0，+∞)．∴当a＞0时，方程①总有解．综上所述，存在满足条件的P、Q，a的取值范围(0，+∞)．【解析】(I)先得出点P关于直线的对称点(1，0)，由题意可得f(1)=0，求出m的值；(II)先求函数定义域，然后对函数求导，再对字母m分类讨论：当m≥0时，当m＜0时．分别解f′(x)＞0，f′(x)＜0，求解即可．(III)对于存在性问题，可先假设存在，即假设曲线y=G(x)上存在两点P、Q，满足题意，则P、Q只能在y轴的同侧，再利用△OPQ是以O为直角顶点的直角三角形，求出a的取值范围，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．。
保密★启用前 试卷类型：A高三数学（理科）2013.01本试卷共4页，分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）全集U=R ，集合{}02|2≥+=x x x A ，则[U A= （A ）[]0,2-（B ）()0,2- （C ）(][)+∞⋃-∞-,02,（D ）[]2,0【答案】B【KS5U 解析】{}2|20{02}A x x x x x x =+≥=≥≤-或，所以{20}U A x x =-<<ð，选B.（2）已知34(,),cos ,25αππα∈=-则)4tan(απ-等于 （A ）7（B ）71 （C ）71-（D ）7-【答案】B【KS5U 解析】因为34(,),cos ,25αππα∈=-所以sin 0α<，即33sin tan 54αα=-=，.所以311tan 14tan()341tan 71+4πααα---===+，选B. （3）如果等差数列{}n a 中，15765=++a a a ，那么943...a a a +++等于 （A ）21（B ）30（C ）35（D ）40【答案】C【KS5U 解析】在等差数列中，由15765=++a a a 得663155a a ==，。
所以3496...=77535a a a a +++=⨯=，选C.（4）要得到函数)23sin(-=x y 的图象，只要将函数x y 3sin =的图象 （A ）向左平移2个单位（B ）向右平移2个单位 （C ）向左平移32个单位（D ）向右平移32个单位 【答案】D【KS5U 解析】因为2sin(32)sin 3()3y x x =-=-，所以只需将函数x y 3sin =的图象向右平移32个单位，即可得到)23sin(-=x y 的图象，选D. （5）“1-=m ”是“直线02)12(=+-+y m mx 与直线033=++my x 垂直”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【KS5U 解析】若两直线垂直，则当0m =时，两直线为2y =与1x =-，此时两直线垂直。
2013年高考模拟考试理科综合本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共12页，满分240分，考试用时150分钟。
考试结束后，将本试卷、答题卡和答题纸一并交回。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在试卷、答题卡和答题纸规定的地方。
第Ⅰ卷（必做，共87分）注意事项：1．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净以后，再涂写其他答案标号。
不涂答题卡，只答在试卷上不得分。
2．第Ⅰ卷共20小题，1－13题每小题4分，14－20题每小题5分，共87分。
以下数据可供答题时参考：相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Al 27 S 32 Cl 35.5 Fe 56 Cu 64 Zn 65 Ag 108一、选择题（本题包括13小题，每小题只有一个选项符合题意）1．核仁是形成核糖体RNA的场所，以下人体细胞中核仁最大的是A．浆细胞B．性腺细胞C．成熟的红细胞D．衰老的皮肤细胞2．下列有关生物学实验的说法，错误的是A．观察质壁分离和复原实验应选用具有大液泡的活体材料B．生长素和胰岛素均能与双缩脲试剂发生紫色反应C．用样方法能够调查作物植株上蚜虫的种群密度D．低温诱导植物染色体数目加倍实验的制片过程是：解离→漂洗→染色→制片3．下列过程中未发生生长素极性运输的是A．顶端优势B．茎的向光性C．根的向地性D．培育无子番茄4．某DNA片段一条链上的部分碱基序列为：…TTTAAGTTAAGC…，该片段决定的氨基酸序列是：…苯丙氨酸（UUU）－赖氨酸（AAG）－亮氨酸（UUA）－丝氨酸（AGC）…。
下列说法正确的是A．该单链是转录模板链B．该单链是碱基序列不代表遗传信息C．若该单链中G + C含量为40%，那么它的互补链上A + T含量为60%D．若该DNA片段中某一碱基发生改变，则编码的氨基酸序列一定改变5．对某种植物进行不同程度的遮光处理，研究其叶绿素含量及净光合速率的变化，实验结果如下图。
山东省实验中学2013年高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（2011•湖南）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件考点：集合关系中的参数取值问题．专题：压轴题．分析：先由a=1判断是否能推出“N⊆M”；再由“N⊆M”判断是否能推出“a=1”，利用充要条件的定义得到结论．解答：解：当a=1时，M={1，2}，N={1}有N⊆M当N⊆M时，a2=1或a2=2有所以“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件故选A点评：本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的条件问题．2．（5分）下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）= B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2xD．f（x）=﹣tanx考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式及基本初等函数的性质，逐一分析出四个函数的单调性和奇偶性，即可得到答案．解答：解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函数又是偶函数；D中，f（x）=﹣tanx是奇函数，但在定义域内不单调；故选C．点评：本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，熟练掌握基本初等函数的性质，及函数奇偶性和单调性的定义是解答的关键3．（5分）（2007•江西）若，则cotα等于（）A．﹣2 B．C．D． 2考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：用两角差的正切公式变形，整理，得到关于tanα的一元一次方程，解方程，得到正切值，根据正切和余切之间的关系，求出余切值．解答：解：由得，∴cotα=﹣2，故选A点评：在三角函数中除了诱导公式和作八个基本恒等式之外，还有两角和与差公式、倍角公式、半角公式、积化和差公式、和差化化积公式，此外，还有万能公式，在一般的求值或证明三角函数的题中，只要熟练的掌握以上公式，就能解决我们的问题．4．（5分）函数f（x）=（x+1）lnx的零点有（）A．0个B．1个C．2个D． 3个考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=（x+1）lnx的零点即方程f（x）=0的解，可转化为方程解的个数问题．解答：解：f（x）=（x+1）lnx的定义域为（0，+∞）．令（x+1）lnx=0，则x=1，所以函数f（x）=（x+1）lnx的零点只有一个．故选B．点评：本题考查函数的零点问题，属基础题，往往与方程的解互相转化．5．（5分）已知两条直线y=ax﹣2和3x﹣（a+2）y+1=0互相平行，则a等于（）A．1或﹣3 B．﹣1或3 C．1或3 D．﹣1或﹣3考点：两条直线平行的判定．专题：计算题．分析：应用平行关系的判定方法，直接求解即可．解答：解：两条直线y=ax﹣2和3x﹣（a+2）y+1=0互相平行，所以解得a=﹣3，或a=1故选A．点评：本题考查两条直线平行的判定，是基础题．6．（5分）（2009•海珠区二模）设命题p：曲线y=e﹣x在点（﹣1，e）处的切线方程是：y=﹣ex；命题q：a，b是任意实数，若a＞b，则．则（）A．“p或q”为真B．“p且q”为真C．p假q真D． p，q 均为假命题考点：复合命题的真假．专题：常规题型．分析：先求出曲线y=e﹣x在点（﹣1，e）处的切线方程，判定命题p的真假，然后利用列举法说明命题q是假命题，最后根据复合命题的真值表可得结论．=﹣e解答：解：命题p：y′=﹣e﹣x则y′|x=﹣1∴曲线y=e﹣x在点（﹣1，e）处的切线方程是y﹣e=﹣e（x+1）即y=﹣ex故命题p为真命题命题q：2＞﹣2而，故命题q是假命题根据复合命题的真假的真值表可知“p或q”为真，“p且q”为假故选A．点评：本题主要考查了复合命题的真假，以及曲线的切线和不等式的应用，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．7．（5分）已知函数f（x）=x2+sinx，则y=f′（x）的大致图象是（）A．B． C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题．分析：求出函数的导函数，求出导函数在x=0处的函数值f′（0），根据f′（0）的符号判断出选项A错；求出f（x）的二阶导数，根据二阶导数的符号判断出导函数的单调性，判断出选项C错；根据二阶导数的单调性，判断出导函数在上递增的快慢，判断出B对D错．解答：解：f′（x）=x+cosx∵f′（0）=1∴选项A错∵f′′（x）=1﹣sinx≥0∴f′（x）递增∴选项C错在上，f′′（x）=1﹣sinx递减∴增的越来越慢∴选项B对D错故选B点评：解决已知函数的解析式选择图象的题目，一般先研究函数的性质，性质有：特殊点、单调性、对称性、周期性等，再根据性质选择图象．8．（5分）在等差数列{a n}中，a1=﹣2013，其前n项和为S n，若，则S2013的值等于（）A．﹣2012 B．﹣2013 C．2012 D． 2013考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设等差数列前n项和为S n=An2+Bn，根据=An+B，可知{}成等差数列，然后求出的值，从而可求出S 2013的值．解答：解：设等差数列前n项和为S n=An2+Bn则=An+B，∴{}成等差数列，∵，=a 1=﹣2013，∴{}是首项为﹣2013，公差为1的等差数列，∴=﹣2013+（2013﹣1）×1=﹣1，即S 2013=﹣2013．故选B．点评：本题主要考查了等差数列的性质，以及构造法的应用，同时考查了转化的思想，属于基础题．9．（5分）（2011•甘肃一模）已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（）A． 3 B．C．D． 2考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题；转化思想．分析：先求圆的半径，四边形PACB的最小面积是2，转化为三角形PBC的面积是1，求出切线长，再求PC的距离也就是圆心到直线的距离，可解k的值．解答：解：圆C：x2+y2﹣2y=0的圆心（0，1），半径是r=1，=2S△PBC，四边形PACB的最小面积是2，由圆的性质知：S四边形PACB=2∴S△PBC的最小值=1=rd（d是切线长）∴d最小值圆心到直线的距离就是PC的最小值，∵k＞0，∴k=2故选D．点评：本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，是中档题．10．（5分）已知等差数列{a n}的公差d不为0，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若a 1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于（）A．B．C．D．考点：数列的应用．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：确定的表达式，利用是正整数，q是小于1的正有理数，即可求得结论．解答：解：根据题意：a2=a1+d=2d，a3=a1+2d=3d，b2=b1q=d2q，b3=b1q2=d2q2∴=∵是正整数，q是小于1的正有理数．令=t，t是正整数，则有q2+q+1=∴q=对t赋值，验证知，当t=8时，有q=符合题意故选C．点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的应用，特别是等比数列混合题，两者的内在联系很重要．11．（5分）（2007•江苏）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）A． 3 B．C． 2 D．考点：导数的运算．专题：综合题；压轴题．分析：先求导，由f′（0）＞0可得b＞0，因为对于任意实数x都有f（x）≥0，所以结合二次函数的图象可得a＞0且b2﹣4ac≤0，又因为，利用均值不等式即可求解．解答：解：∵f'（x）=2ax+b，∴f'（0）=b＞0；∵对于任意实数x都有f（x）≥0，∴a＞0且b2﹣4ac≤0，∴b2≤4ac，∴c＞0；∴，当a=c时取等号．故选C．点评：本题考查了求导公式，二次函数恒成立问题以及均值不等式，综合性较强．12．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F 1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A．（0，）B．（）C．（0，）D．（，1）考点：正弦定理；椭圆的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：由“”的结构特征，联想到在△PF1F2中运用由正弦定理得：两者结合起来，可得到，再由焦点半径公式，代入可得到：a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解出x0，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解．要注意椭圆离心率的范围．解答：解：在△PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：aPF1=cPF2设点P（x0，y0）由焦点半径公式，得：PF1=a+ex0，PF2=a﹣ex0则a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解得：x0==由椭圆的几何性质知：x 0＞﹣a则＞﹣a，整理得e2+2e﹣1＞0，解得：e＜﹣﹣1或e＞﹣1，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：e∈（﹣1，1），故选D．点评：本题主要考查椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：依题意，2＞m＞0，由e==即可求得m．解答：解：∵焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率为，∴2＞m＞0，e==，∴m=．故答案为：．点评：本题考查椭圆的简单性质，利用离心率得到关于m的关系式是关键，属于基础题．14．（4分）（2004•湖南）若直线y=2a与函数y=|a x﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是0＜a＜．考点：指数函数的图像与性质；指数函数综合题．专题：作图题；压轴题；数形结合．分析：先分：①0＜a＜1和a＞1时两种情况，作出函数y=|a x﹣1|图象，再由直线y=2a与函数y=|a x﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，作出直线，移动直线，用数形结合求解．解答：解：①当0＜a＜1时，作出函数y=|a x﹣1|图象：若直线y=2a与函数y=|a x﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点由图象可知0＜2a＜1，∴0＜a＜．②：当a＞1时，作出函数y=|a x﹣1|图象：若直线y=2a与函数y=|a x﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点由图象可知0＜2a＜1，此时无解．综上：a的取值范围是0＜a＜．故答案为：0＜a＜点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，主要涉及了函数的图象变换及函数的单调性，同时，还考查了数形结合的思想方法．15．（4分）若不等式组的解集中所含整数解只有﹣2，求k的取值范围[﹣3，2）．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：解二次不等式x2﹣x﹣2＞0可得x∈（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），由2x2+（5+2k）x+5k=（2x+5）（x+k），分类讨论k与的大小关系，综合讨论结果，可得答案．解答：解：x2﹣x﹣2＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）∵2x2+（5+2k）x+5k=（2x+5）（x+k）＜0当k＜时，2x2+（5+2k）x+5k＜0的解集为（﹣，﹣k），此时若不等式组的解集中所含整数解只有﹣2则，﹣2＜﹣k≤3，即﹣3≤k＜2当k=时，2x2+（5+2k）x+5k＜0的解集为∅，不满足要求当k＞时，2x2+（5+2k）x+5k＜0的解集为（﹣k，﹣），不满足要求综上k的取值范围为[﹣3，2）故答案为：[﹣3，2）点评：本题考查的知识点是不等式的综合应用，集合的运算，熟练掌握集合运算的结果，是解答的关键．16．（4分）当实数x，y满足约束条件（a为常数）时z=x+3y有最大值为12，则实数a的值为﹣12．考点：简单线性规划的应用．专题：压轴题；数形结合．分析：画出的可行域，将目标函数变形，画出其相应的直线，当直线平移至固定点时，z最大，求出最大值列出方程求出a的值解答：解：画出的平面区域，将目标函数变形为y=﹣x+z，画出其相应的直线，由得当直线y=﹣x+z平移至A（3，3）时z最大为12，将x=3，y=3代入直线2x+2y+a=0得：6+6+a=0a=﹣12故答案为：﹣12．点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、结合图求目标函数的最值、考查数形结合的数学数学方法．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）记f（x）=ax2﹣bx+c，若不等式f（x）＞0的解集为（1，3），试解关于t的不等式f（|t|+8）＜f（2+t2）．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知不等式的解集及二次函数的性质，得到f（x）=a（x﹣1）（x﹣3），且a小于0，二次函数在[2，+∞）是增函数，由所求不等式自变量都大于等于2，利用增函数的性质列出关于t的不等式，求出不等式的解集即可得到t的范围．解答：解：由题意知f（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）=a（x﹣1）（x﹣3），且a＜0，二次函数在区间[2，+∞）是减函数，又因为|t|+8＞8，2+t2≥2，故由二次函数的单调性知不等式f（|t|+8）＜f（2+t2），等价于|t|+8＞2+t2，∴|t|2﹣|t|﹣6＜0，即（|t|﹣3）（|t|+2）＜0，解得：0＜|t|＜3解得：﹣3＜t＜3，且t≠0．点评：此题考查了一元二次不等式的解法，涉及的知识有：二次函数的性质，以及其他不等式的解法，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．18．（12分）（2010•海淀区二模）在△ABC内，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，a，b，c成等差数列，且a=2c．（1）求cosA的值；（2）若，求b的值．考点：余弦定理的应用；等差数列的性质．专题：计算题．分析：（I）根据a，b，c成等差数列及a=2c求得b=c代入余弦定理求得cosA的值．（II）由（I）cosA，求出sinA．根据正弦定理及求得c，进而求出b．解答：解：（I）因为a，b，c成等差数列，所以a+c=2b又a=2c，可得b=c∴cosA==﹣（II）由（I）cosA=，A∈（0，π），∴sinA==因为若，S △ABC=bcsinA，∴S△ABC=bcsinA==得c2=4，即c=2，b=3点评：本题主要考查余弦定理的应用．利用余弦定理，可以判断三角形形状．解三角形时，除了用到余弦定理外还常用正弦定理，故应重点掌握，灵活运用．19．（12分）设函数．（Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）当x∈[]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为，求f（x）的解析式；（Ⅲ）将满足（Ⅱ）的函数f（x）的图象向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移，得到函数g（x），求g（x）图象与x轴的正半轴、直线所围成图形的面积．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）利用和差角公式，可将函数的解析式化为正弦型函数的形式，根据ω可得函数的周期，将相位角代入正弦函数的单调递减区间，求出x的范围，可得函数f（x）的单调递减区间（II）由x的范围，可求出相位角的范围，进而根据正弦函数的图象和性质，可求出函数的最值，进而得到a值，求出函数的解析式（III）根据函数图象的平移变换法则，伸缩变换法则，求出g（x）的解析式，代入积分公式，可得g（x）图象与x轴的正半轴、直线所围成图形的面积．解答：解（Ⅰ）函数==sin（2x+）+a+．∵ω=2，∴T=π由+2kπ≤2x+≤+2kπ，得+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z），故函数f（x）的单调递减区间是[+kπ，+kπ]，（k∈Z）．（II）∵x∈[]∴2x+∈[]∴sin（2x+）∈[，1]∴当x∈[]时，原函数的最大值与最小值的和+a++1+a+=，解得：a=0∴f（x）=sin（2x+）+（3）将满足（Ⅱ）的函数f（x）sin（2x+）+的图象向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移，得到函数g（x）=sinx的图象∵=﹣cosx=1，即g（x）图象与x轴的正半轴、直线所围成图形的面积为1点评：本题考查的知识点是三角函数的化简，三角函数的周期性，单调性，最值，及函数图象的变换，是三角函数问题的综合应用，难度中档．20．（12分）已知递增等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2和a4的等差中项，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，S n=b1+b2+…+b n，求使S n+n•2n+1＞62成立的正整数n的最小值．考点：数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；数列的求和．专题：综合题．分析：（I）由题意，得，由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ），S n=b1+b2+…+b n=﹣（1×2+2×22+…+n×2n），所以数列{b n}的前项和S n=2n+1﹣2﹣n•2n+1，使S n+n•2n+1＞62成立的正整数n的最小值．解答：解：（I）由题意，得，…（2分）解得…（4分）由于{a n}是递增数列，所以a1=2，q=2即数列{a n}的通项公式为a n=2•2n﹣1=2n…（6分）（Ⅱ）…（8分）S n=b1+b2+…+b n=﹣（1×2+2×22+…+n×2n）①则2S n=﹣（1×22+2×23+…+n×2n+1）②②﹣①，得S n=（2+22+…+2n）﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1即数列{b n}的前项和S n=2n+1﹣2﹣n•2n+1…（10分）则S n+n•2n+1=2n+1﹣2＞62，所以n＞5，即n的最小值为6．…（12分）点评：本题考查数列的性质的应用，解题时要认真审题，注意数列与不等式的综合运用，合理地进行等价转化．21．（12分）（2010•延庆县一模）已知矩形ABCD中，，BC=1．以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy．（1）求以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的标准方程；（2）过点P（0，2）的直线l与（1）中的椭圆交于M，N两点，是否存在直线l，使得以线段MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．考点：椭圆的标准方程；直线的一般式方程；直线与圆相交的性质；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由题意可得点A，B，C的坐标，设出椭圆的标准方程，根据题意知2a=AC+BC，求得a，进而根据b，a和c的关系求得b，则椭圆的方程可得．（2）设直线l的方程为y=kx+2．与椭圆方程联立，根据判别式大于0求得k的范围，设M，N两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．根据韦达定理求得x1+x2和x1x2，进而根据若以MN为直径的圆恰好过原点，推断则，得知x1x2+y1y2=0，根据x1x2求得y1y2代入即可求得k，最后检验看是否符合题意．解答：解：（1）由题意可得点A，B，C的坐标分别为．设椭圆的标准方程是．则2a=AC+BC，即，所以a=2．所以b2=a2﹣c2=4﹣2=2．所以椭圆的标准方程是．（2）由题意知，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y=kx+2．由得（1+2k2）x2+8kx+4=0．因为M，N在椭圆上，所以△=64k2﹣16（1+2k2）＞0．设M，N两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．则，若以MN为直径的圆恰好过原点，则，所以x1x2+y1y2=0，所以，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，所以，，即，得k2=2，经验证，此时△=48＞0．所以直线l的方程为，或．即所求直线存在，其方程为．点评：本题主要考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的关系．在设直线方程时一定要看斜率的存在情况，最后还要检验斜率k是否符合题意．22．（14分）已知函数f（x）的导数f′（x）=3x2﹣3ax，f（0）=b．a，b为实数，1＜a＜2．（Ⅰ）若f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值、最大值分别为﹣2、1，求a、b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；（Ⅲ）设函数F（x）=（f′（x）+6x+1）•e2x，试判断函数F（x）的极值点个数．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；压轴题；分类讨论．分析：（Ⅰ）由函数的导数可确定f（x）的表达式，先确定函数在区间[﹣1，1]上的单调性，从而确定了最值建立了关于a，b的方程，即可求得其值．（Ⅱ）由（Ⅰ）得到了函数的解析式，确定点P（2，1）的位置：在函数的图象上，对P是否为切点讨论，利用导数求切线的斜率，可得切线方程．（Ⅲ）先求出F'（x），通过对其符号的探讨得函数的单调性，从而确定极值点的个数．解答：解：（Ⅰ）由已知得，由f'（x）=0，得x1=0，x2=a．∵x∈[﹣1，1]，1＜a＜2，∴当x∈[﹣1，0）时，f'（x）＞0，f（x）递增；当x∈（0，1]时，f'（x）＜0，f（x）递减．∴f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为f（0）=b，∴b=1．又，，∴f（﹣1）＜f（1）．，即，得．故，b=1为所求．（Ⅱ）解：由（1）得f（x）=x3﹣2x2+1，f'（x）=3x2﹣4x，点P（2，1）在曲线f（x）上．（1）当切点为P（2，1）时，切线l的斜率k=f'（x）|x=2=4，∴l的方程为y﹣1=4（x﹣2），即4x﹣y﹣7=0．（2）当切点P不是切点时，设切点为Q（x0，y0）（x0≠2），切线l的斜率，∴l的方程为y﹣y0=（3x02﹣4x0）（x﹣x0）．又点P（2，1）在l上，∴1﹣y0=（3x02﹣4x0）（2﹣x0），∴1﹣（x03﹣2x02+1）=（3x02﹣4x0）（2﹣x0），∴x02（2﹣x0）=（3x02﹣4x0）（2﹣x0），∴x02=3x02﹣4x0，即2x0（x0﹣2）=0，∴x0=0．∴切线l的方程为y=1．故所求切线l的方程为4x﹣y﹣7=0或y=1．（或者：由（1）知点A（0，1）为极大值点，所以曲线f（x）的点A处的切线为y=1，恰好经过点P（2，1），符合题意．）（Ⅲ）解：F（x）=（3x2﹣3ax+6x+1）•e2x=[3x2﹣3（a﹣2）x+1]•e2x．∴F'（x）=[6x﹣3（a﹣2）]•e2x+2[3x2﹣3（a﹣2）x+1]•e2x=[6x2﹣6（a﹣3）x+8﹣3a]•e2x．二次函数y=6x2﹣6（a﹣3）x+8﹣3a的判别式为△=36（a﹣3）2﹣24（8﹣3a）=12（3a2﹣12a+11）=12[3（a﹣2）2﹣1]，令△≤0，得：．令△＞0，得．∵e2x＞0，1＜a＜2，∴当时，F'（x）≥0，函数F（x）为单调递增，极值点个数为0；当时，此时方程F'（x）=0有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数F（x）有两个极值点．点评：本题考查导数在最大值，最小值中的应用，学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值及极值，注意分类讨论思想方法的体现．。
2013年高考模拟考试数 学（理工农医类） 2013.3本试卷共4页，分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第1卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共1 2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．复数31iz i+=-的共轭复数z = (A) 12i + (B)12i - (C)2i + (D)2i -【答案】B 【解析】3(3)(1)24121(1)(1)2i i i iz i i i i ++++====+--+，所以12z i =-，选B. 2．设集合{}|24xA x =≤，集合B 为函数lg(1)y x =-的定义域，则A B =(A)()1,2 (B)[]1,2 (C)[1,2) (D) (1,2] 【答案】D 【解析】{}|24{2}xA x x x =≤=≤，由10x ->得1x >，即{1}B x x =>,所以{12}A B x x =<≤ ，所以选D. 3．已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件 【答案】A【解析】当//αβ时，由l ⊥平面α得，l β⊥，又直线m ∥平面β，所以l m ⊥。
若l m ⊥，则推不出//αβ，所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件，选A. 4．设随机变量~X N (3，1)，若(4)P X p >=，，则P(2<X<4)= ( A)12p + ( B)l —p (C)l-2p (D)12p - 【答案】C【解析】因为(4)(P X P X p >=<=，所以P(2<X<4)=1(4)(2)12P X P X p ->-<=-，选C.5．设曲线sin y x =上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为．【答案】C【解析】'cos y x =,即()cos g x x =，所以22()cos y x g x x x ==，为偶函数，图象关于y 轴对称，所以排除A,B.当2cos 0y x x ==，得0x =或,2x k k Z ππ=+∈，即函数过原点，所以选C.6．运行右面框图输出的S 是254，则①应为 (A) n ≤5 (B) n ≤6 (C)n ≤7 (D) n ≤8 【答案】C【解析】本程序计算的是212(12)2222212n nn S +-=+++==-- ，由122254n +-=，得12256n +=，解得7n =。
