2020高考数学 课后作业 11-5 古典概型与几何概型 新人教A版

第五节古典概型与几何概型1.古典概型(1)古典概型的特征：①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；,②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的.一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.(2)古典概型的概率计算的基本步骤：①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A ；②分别计算基本事件的总数n 和所求的事件A 所包含的基本事件个数m ；③利用古典概型的概率公式P (A )＝，求出事件A 的概率.mn (3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同名称不同点相同点频率计算公式频率计算中的m ，n 均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值古典概型的概率计算公式是一个定值，对同一个随机事件而言，m ，n 都不mn 会变化都计算了一个比值m n2.几何概型(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.(2)几何概型的基本特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等.(3)计算公式：P (A )＝.构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)几何概型应用中的关注点(1)关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.(2)确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( )(2)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限.( )(3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件.( )(4)在古典概型中，如果事件A 中基本事件构成集合A ，所有的基本事件构成集合I ，则事件A 的概率为.( )card (A )card (I )答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√二、选填题1.一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为( )A. B.2314C. D.1312解析：选D 一枚硬币连掷2次可能出现(正，正)、(反，反)、(正，反)、(反，正)四种情况，只有一次出现正面的情况有两种，故P ＝＝.24122.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是( )A. B.3545C. D.2515解析：选C 试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事件的区域长度为2，故所求概率为P ＝.253.已知四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A. B.1－π4π4C. D.1－π8π8解析：选B 如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P ＝＝＝1－.S 阴影S长方形ABCD2－π22π44.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________.解析：两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，故所求概率P ＝＝.21015答案：155.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球.从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.解析：P ＝1－＝1－＝.C 2C 241656答案：56考点一　古典概型[师生共研过关][典例精析](1)(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )A. B.112114C.D.115118(2)(2019·武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a 和b ，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率是( )A. B.73612C. D.1936518[解析]　(1)不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C ＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，所以所求210概率P ＝＝.345115(2)投掷骰子两次，所得的点数a 和b 满足的关系为Error!所以a 和b 的组合有36种.若方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解，则Δ＝b 2－4a ≥0，所以b 2≥4a .当b ＝1时，没有a 符合条件；当b ＝2时，a 可取1；当b ＝3时，a 可取1,2；当b ＝4时，a可取1,2,3,4；当b ＝5时，a 可取1,2,3,4,5,6；当b ＝6时，a 可取1,2,3,4,5,6.满足条件的组合有19种，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率P ＝.1936[答案]　(1)C (2)C[解题技法]1.古典概型的概率求解步骤(1)求出所有基本事件的个数n .(2)求出事件A 包含的所有基本事件的个数m .(3)代入公式P (A )＝求解.mn 2.基本事件个数的确定方法(1)列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型.(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法.(3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求.(4)运用排列组合知识计算.[过关训练]1.(2019·益阳、湘潭调研)已知a ∈{－2,0,1,2,3}，b ∈{3,5}，则函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数的概率是( )A. B.31035C. D.2515解析：选C 若函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数，则a 2－2＜0，又a ∈{－2,0,1,2,3}，故只有a ＝0，a ＝1满足题意，又b ∈{3,5}，所以函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数的概率是2×25×2＝.252.从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A. B.51849C. D.5979解析：选C 由题意得，所求概率P ＝＝.5×4×29×8593.将A ，B ，C ，D 这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与B 相邻且A 与C 之间。

姓名，年级：时间：第五节古典概型与几何概型2019考纲考题考情1．古典概型(1）基本事件的特点①任何两个基本事件是互斥的。

②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.（2）古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。

(3）古典概型的概率公式P(A)＝错误!。

2．几何概型(1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积）成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.(2)几何概型的两个基本特点（3）几何概型的概率公式P（A)＝错误!.1．古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法。

2．概率的一般加法公式P(A∪B）＝P（A）＋P（B)－P（A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时,P(A ∪B)＝P（A)＋P(B），此时P（A∩B)＝0。

3．几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的,前者概率的计算与基本事件的区域长度（面积或体积）的大小有关，而与形状和位置无关。

4．几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果。

一、走进教材1．(必修3P 127例3改编)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于( ）A.错误! B 。

错误! C 。

错误! D 。

错误!解析 所有基本事件的个数为6×6＝36,点数之和为5的基本事件有(1，4)，（2,3），（3,2），(4，1）共4个。

故所求概率为P ＝错误!＝错误!。

故选B 。

答案 B2．(必修3P 140练习T 1改编)有四个游戏盘,将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是( )解析 如题干选项中各图,各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P （A )＝38,P （B )＝28，P (C ）＝错误!，P (D )＝错误!.故选A 。

2013高考数学人教A 版课后作业：11-5 古典概型与几何概型1.(2011·新课标全国文，6)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34 [答案] A[解析] 甲、乙各自参加其中一个小组所有选法为32＝9种，甲、乙参加同一个小组的选法有3种，所以其概率为39＝13.故选A.2．(2011·福建文，7)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于()A.14B.13 C.12 D.23[答案] C[解析] 本题属于几何概型求概率问题，设矩形长为a ，宽为b ，则点取自△ABE 内部的概率P ＝S △ABE S 矩形ABCD ＝12abab ＝12.3．(文)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A.13B.12C.23D.34 [答案] C[解析] 取出两张卡片的基本事件构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}共6个基本事件．其中数字之和为奇数包含(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)共4个基本事件，∴所求概率为P ＝46＝23.(理)(2011·浙江文，8)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A.110 B. 310 C. 35 D. 910[答案] D[解析] 3个红球记为a ，b ，c,2个白球记为1,2.则从袋中取3个球的所有方法是abc ，ab 1，ab 2，ac 1，ac 2，a 12，bc 1，bc 2，b 12，c 12.共10个基本事件，则至少有一个白球的基本事件是ab 1，ab 2，ac 1，ac 2，a 12，bc 1，bc 2，b 12，c 12共9个．∴至少有一个白球的概率为910.故选D. [点评] A ＝“至少有一个白球”的对立事件是B ＝“全是红球”，故所求概率为P (A )＝1－P (B )＝1－110＝910.4．(文)(2011·北京学普教育中心联考版)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6[答案] B[解析] 以点O 为圆心，半径为1的半球的体积为V ＝12×43πR 3＝2π3，正方体的体积为23＝8，由几何概型知：点P 到点O 的距离大于1的概率为P (A )＝1－23π8＝1－π12，故选B.(理)已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC<12V S －ABC 的概率是( ) A.78 B.34 C.12 D.14 [答案] A[解析] 当P 在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78，故选A.5．(2011·潍坊二检)若在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为( )A.13B.2πC.12D.23 [答案] A[解析] 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，根据几何概型的概率计算公式得所求概率P ＝π6＋π6π＝13.6．(文)有5条长度分别为1、3、5、7、9的线段，从中任意取出3条，则所取3条线段可构成三角形的概率是( )A.35B.310C.25D.710 [答案] B[解析] 构不成三角形的为(1,3,5)，(1,3,7)，(1,3,9)，(3,5,9)，(1,5,7)，(1,5,9)，(1,7,9)，能构成三角形的有(3,5,7)，(3,7,9)，(5,7,9)，∴所求概率为310.(理)在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择3个点，刚好构成直角三角形的概率是( )A.15B.14C.13D.12 [答案] C[解析] 从10个点中任取三个有C 310种方法，能构成直角三角形时，必须有两点连线为直径，这样的直径有5条，∴能构成直角三角形5×8＝40个，∴概率P ＝40C 310＝13.7．(2011·皖南八校联考)连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，设向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2的概率是________． [答案]712[解析] ∵cos θ＝m －n 2·m 2＋n2，θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，∴m ≥n ，满足条件m ＝n 的概率为636＝16，m >n 的概率与m <n 的概率相等，∴m >n 的概率为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16＝512，∴满足m ≥n 的概率为P ＝16＋512＝712.8．(文)在区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________．[答案] 12[解析] ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .由题意知，在矩形ABCD 内任取一点P (m ，n )，求P 点落在阴影部分的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴p ＝12.(理)设集合A ＝{x |x 2－3x －10<0，x ∈Z}，从集合A 中任取两个元素a ，b 且a ·b ≠0，则方程x 2a ＋y 2b＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率为________．[答案] 310[解析] A ＝{x |－2<x <5，x ∈Z}＝{－1,0,1,2,3,4}，由条件知，(a ，b )的所有可能取法有：(－1,1)，(－1，2)，(－1,3)，(－1,4)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)，(4，－1)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，共20种，方程x 2a ＋y 2b＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，应有a >b >0，∴有(2,1，)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)共6种，∴所求概率P ＝620＝310.1.已知函数f (x )＝sina π3x ，a 等于抛掷一颗骰子得到的点数，则y ＝f (x )在[0,4]上至少有5个零点的概率是( )A.13B.12C.23D.56 [答案] C[解析] 抛掷一颗骰子共有6种情况．当a ＝1,2时，y ＝f (x )在[0,4]上的零点少于5个；当a ＝3,4,5,6时，y ＝f (x )在[0,4]上的零点至少有5个，故P ＝46＝23，选C.2．(2011·天津六校联考)某学校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二女生的概率为0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则三年级应抽取的学生人数为( )A.24 B ．18 C ．16 D ．12 [答案] C[解析] 由题意得，x2000＝0.19.解得x ＝380.∴y ＋z ＝2000－(373＋380＋377＋370)＝500. 设三年级应抽取n 人，则642000＝n500.∴n ＝16.故选C.3．(文)m ∈{－2，－1,0,1,2,3}，n ∈{－3，－2，－1,0,1,2}，且方程x 2m ＋y 2n ＝1有意义，则方程x 2m ＋y 2n＝1可表示不同的双曲线的概率为( )A.3625 B ．1 C.925 D.1325[答案] D[解析] 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧m >0n <0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0n >0，1°⎩⎪⎨⎪⎧m >0n <0时有不同取法3×3＝9种．2°⎩⎪⎨⎪⎧m <0n >0时有不同取法2×2＝4种，∴所求概率P ＝9＋45×5＝1325.(理)从－1、0、1、2这四个数中选出三个不同的数作为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的系数组成不同的二次函数，其中使二次函数有变号零点的概率为( )A.79B.712C.59D.512 [答案] A[解析] 首先取a ，∵a ≠0，∴a 的取法有3种，再取b ，b 的取法有3种，最后取c ，c 的取法有2种，∴共组成不同的二次函数3×3×2＝18个．f (x )若有变号零点，不论a >0还是a <0，均应有Δ>0，即b 2－4ac >0，∴b 2>4ac .①首先b 取0时，a 、c 须异号，a ＝－1，则c 有2种，a 取1或2，则c 只能取－1，∴共有4种．②b ＝1时，若c ＝0，则a 有2种，若c ＝－1，a 只能取2. 若c ＝2，则a ＝－1，共有4种． ③若b ＝－1，则c 只能取0，有2种．④若b ＝2，取a 有2种，取c 有2种，共有2×2＝4种． 综上所述，满足b 2>4ac 的取法有4＋4＋2＋4＝14种， ∴所求概率P ＝1418＝79.4．(文)(2010·苏北四市模考)已知函数f (x )＝ax 2－bx －1，其中a ∈(0,2]，b ∈(0,2]，则此函数在区间[1，＋∞)上为增函数的概率为________．[答案] 34[解析]函数f (x )＝ax 2－bx －1在[b 2a ，＋∞)上为增函数，据已知条件可知，b2a≤1，∴b ≤2a ，如图可知，所求概率P ＝12＋2×2＝34. (理)(2011·东北三校二模)已知实数a ，b 满足－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，则函数y ＝13x3－ax 2＋bx ＋5有极值的概率为( )A.14B.12C.23D.34 [答案] C [解析]y ′＝x 2－2ax ＋b ，当方程x 2－2ax ＋b ＝0有两个不同实根，即a 2>b 时，函数y ＝13x 3－ax 2＋bx ＋5有极值点，如图，阴影部分面积为2＋⎠⎛-11a 2d a ＝2＋13a 3|1－1＝83，所以函数y ＝13x 3－ax2＋bx ＋5有极值的概率为P ＝S 阴影S 正方形ABCD ＝834＝23，故选C.5．(2011·浙江宁波八校联考)已知k ∈Z ，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,4)，若|AB →|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率是________．[答案] 37[解析] ∵|AB →|＝k 2＋1≤4，∴－15≤k ≤15， ∵k ∈Z ，∴k ＝－3，－2，－1,0,1,2,3，当△ABC 为直角三角形时，应有AB ⊥AC ，或AB ⊥BC ，或AC ⊥BC ，由AB →·AC →＝0得2k ＋4＝0，∴k ＝－2，∵BC →＝AC →－AB →＝(2－k,3)，由AB →·BC →＝0得k (2－k )＋3＝0，∴k ＝－1或3，由AC →·BC →＝0得2(2－k )＋12＝0，∴k ＝8(舍去)，故使△ABC 为直角三角形的k 值为－2，－1或3，∴所求概率p ＝37.6．(文)(2010·福建文)设平面向量a m ＝(m,1)，b n ＝(2，n )，其中m ，n ∈{1,2,3,4}． (1)请列出有序数组(m ，n )的所有可能结果；(2)记“使得a m ⊥(a m －b n )成立的(m ，n )”为事件A ，求事件A 发生的概率． [解析] (1)有序数组(m ，n )的所有可能结果为： (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)，(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)共16个．(2)由a m ⊥(a m －b n )得m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2由于m ，n ∈{1,2,3,4}，故事件A 包含的基本事件为(2,1)(3,4)，共2个．又基本事件的总数为16，故所求的概率为P (A )＝216＝18. (理)(2011·天津文，15)编号分别为A 1，A 2，…，A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：(2)①用运动员编号列出所有可能的抽取结果．②求这2人得分之和大于50的概率．[解析](1)4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种．②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种．所以P(B)＝515＝13.7．(文)(2011·江西文，16)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否测评为合格．假设此人对A和B饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率．[解析]将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)(235)，(245)，(345)，共有10种令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，则(1)P(D)＝1 10，(2)P(E)＝35，P(F)＝P(D)＋P(E)＝710.(理)(2010·厦门市质检)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12 .(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .①设事件A 表示“a ＋b ＝2”，求事件A 的概率；②在区间[0,2]内任取两个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率．[解析] (1)由题意可知：n 1＋1＋n ＝12，解得n ＝2.(2)将标号为2的小球记作a 1，a 2①两次不放回抽取小球的所有基本事件为：(0,1)，(0，a 1)，(0，a 2)，(1,0)，(1，a 1)，(1，a 2)，(a 1,0)，(a 1,1)，(a 1，a 2)，(a 2,0)，(a 2,1)，(a 2，a 1)，共12个，事件A 包含的基本事件为：(0，a 1)，(0，a 2)，(a 1,0)，(a 2,0)，共4个．∴P (A )＝412＝13.②记“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”为事件B ，则事件B 等价于“x 2＋y 2>4”， (x ，y )可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2，x ，y ∈R}，而事件B 所构成的区域B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2>4，x ，y ∈Ω}，∴P (B )＝S B S Ω＝2×2－π2×2＝1－π4.1．投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋ni )(n －mi )为实数的概率为( )A.13B.14C.16D.112 [答案] C[解析] 投掷两颗骰子，共向上的点数m ，n ，用(m ，n )记录基本事件，则基本事件构成集合Ω＝{(m ，n )|1≤m ≤6,1≤n ≤6，m ，n ∈N}，∵(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i ，它为实数的等价条件是m 2＝n 2，又m 、n 均为正整数，∴m ＝n .故所求事件所含基本事件有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)共6个，Ω中共有36个基本事件，∴P ＝636＝16.故选C. 2．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是( )A.π4 B.π8 C.π6 D.π12[答案] C[解析] 设正方体棱长为a ，则正方体的体积为a 3，内切球的体积为43π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝16πa 3，故点M 在球O 内的概率为16πa 3a 3＝π6.3．在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为( )A.17B.27C.37D.47 [答案] C[解析] 寻找直角非等腰三角形构成的特征．方法1：相对棱AB 与C 1D 1的四个顶点所构成的四边形中，任取三个顶点构成的三角形，符合条件，故有C 34种情形，由于正方体有6对相对棱，故可得到的直角非等腰三角形有6C 34个，因此，所求的概率为：6C 34C 38＝2456＝37，∴选C.方法2：以A 为直角顶点的直角非等腰三角形仅有：Rt △D 1AB 、Rt △B 1AD 、Rt △A 1AC 三个，故共有直角非等腰三角形8×3＝24个，因此，所求的概率为：24C 38＝2456＝37，∴选C.[点评] 探求规律特征，或从特殊点出发思考，是解这类问题的一般思路．把问题改为求“所得三角形恰为直角三角形”的概率，则答案为C 38－8C 38＝67.4．(2010·烟台实验中学)已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设集合P ＝{－1,1,2,3,4,5}和Q ＝{－2，－1，1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中任取一个数作为a 和b 的值，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．[解析] 函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1图象的对称轴为x ＝2ba.要使y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，应有a >0且2ba≤1，∴a ≥2b 且a >0.①若a ＝1，则b ＝－2，－1；②若a ＝2，则b ＝－2，－1,1；③若a ＝3，则b ＝－2，－1,1；④若a ＝4，则b ＝－2，－1,1,2；⑤若a ＝5，则b ＝－2，－1,1,2，∴该事件包含基本事件数为16， ∴所求概率P ＝166×6＝49.5．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．[解析] (1)从袋中取球编号之和不大于4的基本事件有1和2,1和3两个，而随机取两球其一切可能的基本事件有6个．∴所求概率为P ＝26＝13.(2)由题意其一切结果设为(m ，n )有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，P 1＝316.故满足条件n <m ＋2的事件的概率为 1－P 1＝1－316＝1316. 6．(2011·北京文，16)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，其中x －为x 1，x 2，…，x n 的平均数)[解析] (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10. 所以平均数为x ＝8＋8＋9＋104＝354；方差为s 2＝14[(8－354)2＋(8－354)2＋(9－354)2＋(10－354)2]＝1116.(2)记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11：乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)， (A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)， (A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)， (A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 4，B 4)．用C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C 中的结果有4个，它们是：(A 1，B 4)，(A 2，B 4)，(A 3，B 2)，(A 4，B 2)，故所求概率为P (C )＝416＝14.7．(2011·四川文，17)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．(1)分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．[解析] (1)分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A ，B ，则P (A )＝1－14－12＝14， P (B )＝1－12－14＝14.∴甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14.(2)记两人所付的租车费用之和小于6元为事件C ，所付租车费之和为0元、2元、4元的概率分别为P 1、P 2、P 3，则P 1＝14×12＝18，P 2＝14×14＋12×12＝516，P 3＝12×14＋14×14＋12×14＝516，∴P (C )＝P 1＋P 2＋P 3＝34.∴甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为34.。

第四节 古典概型与几何概型[考纲要求]1．理解古典概型及其概率计算公式．2．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． 3．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 4．了解几何概型的意义．突破点一 古典概型[基本知识]1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等． 3．古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( )(3)从市场上出售的标准为500±5 g 的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．( ) (4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 二、填空题1．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为________． 答案：252．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________．答案：9103．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．答案：56[典例] (2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．[解] (1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种．②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种．所以事件M 发生的概率P (M )＝521. [方法技巧]1．求古典概型概率的步骤(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A ；(2)分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ； (3)利用公式P (A )＝mn ，求出事件A 的概率． 2．求基本事件个数的三种方法(1)列举法：把所有的基本事件一一列举出来，此方法适用于情况相对简单的试验题． (2)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数．(3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．[针对训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A.112 B.114C.115 D.118解析：选C不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C210＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，∴所求概率为3 45＝115.故选C.2．(2019·大同一中月考)甲、乙两人玩一种游戏，在装有质地、大小完全相同，编号分别为1,2,3,4,5,6六个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)求甲赢且编号和为8的事件发生的概率．(2)这种游戏规则公平吗？试说明理由．解：(1)设“两个编号和为8”为事件A，则事件A包括的基本事件有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5个．又甲、乙两人取出的数字共有6×6＝36个等可能的结果，故P(A)＝5 36.(2)这种游戏规则是公平的．设甲赢为事件B，乙赢为事件C，由题可知甲赢即两编号和为偶数所包含的基本事件数有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共18个．所以甲赢的概率P(B)＝1836＝12，故乙赢的概率P(C)＝1－12＝12＝P(B)，所以这种游戏规则是公平的．突破点二几何概型[基本知识]1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ 二、填空题1．已知球O 内切于棱长为2的正方体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为________．答案：1－π62．已知四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为________．答案：1－π43．已知函数f (x )＝2x (x ＜0)，其值域为D ，在区间(－1,2)上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．答案：13[全析考法]考法一 与长度、角度有关的几何概型[例1] (1)(2019·成都毕业班摸底)在区间[－4,1]上随机地取一个实数x ，若x 满足|x |＜a 的概率为45，则实数a 的值为( )A.12 B ．1 C ．2D ．3(2)(2019·福州四校联考)如图，在圆心角为90°的扇形AOB 中，以圆心O为起点在上任取一点C 作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率是( )A.13B.23C.12D.16[解析] (1)设集合A ＝{x ||x |＜a }＝(－a ，a )(a ＞0)，若0＜a ≤1，则A ⊆[－4,1]，由几何概型的意义，得P (A )＝a －(－a )1－(－4)＝45，解得a ＝2，不符合题意，若a ＞1，则P (A )＝1－(－a )1－(－4)＝45，解得a＝3，符合题意，故选D.(2)记事件T 是“作射线OC ，使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”，如图，记的三等分点为M ，N ，连接OM ，ON ，则∠AON ＝∠BOM ＝∠MON ＝30°，则符合条件的射线OC 应落在扇形MON 中，所以P (T )＝∠MON ∠AOB ＝30°90°＝13，故选A.[答案] (1)D (2)A [方法技巧]1．与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解． 2．与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．考法二 与面积有关的几何概型[例2] (1)(2019·惠州调研)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽的弦图．弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2，化简得：勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为( ) A ．866 B ．500 C ．300D ．134(2)(2019·齐齐哈尔八中模拟)如图，四边形ABCD 为正方形，G 为线段BC的中点，四边形AEFG 与四边形DGHI 也为正方形，连接EB ，CI ，则向多边形AEFGHID 中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为( )A.13B.25C.38D.12[解析] (1)设勾为a ，则股为3a ，所以弦为2a ，小正方形的边长为3a －a ，所以题图中大正方形的面积为4a 2，小正方形的面积为(3－1)2a 2，所以小正方形与大正方形的面积比为(3－1)24＝1－32，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为⎝⎛⎭⎫1－32× 1 000≈134. (2)设正方形ABCD 的边长为1，则可求得S 总＝3，S 阴影＝2×12×52×1×25＝1，所以所求概率为P ＝13，故选A.[答案] (1)D (2)A [方法技巧]求解与面积有关的几何概型的关键点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．考法三 与体积有关的几何概型[例3] (2019·陕西部分学校摸底)在球O 内任取一点P ，则点P 在球O 的内接正四面体中的概率是( )A.112πB.312πC.239πD.36π[解析] 设球O 的半径为R ，球O 的内接正四面体的棱长为2a ，所以正四面体的高为233a ，所以R 2＝⎝⎛⎭⎫63a 2＋⎝⎛⎭⎫23a 3－R 2，即3a ＝2R ，所以正四面体的棱长为26R 3，底面面积为12×26R3×2R ＝233R 2，高为4R 3，所以正四面体的体积为8327R 3，又球O 的体积为 4π3R 3，所以P 点在球O 的内接正四面体中的概率为239π，故选C. [答案] C [方法技巧]求解与体积有关的几何概型的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．[集训冲关]1.[考法一]已知函数f (x )＝3sin x ＋3cos x ，当x ∈[0，π]时，f (x )≥ 3的概率为( ) A.13 B.12 C.15D.14解析：选B f (x )＝3sin x ＋3cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，令f (x )≥ 3， 得sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≥12，得π3≤x ＋π3≤5π6，∴0≤x ≤π2， ∴f (x )≥ 3的概率为12.2.[考法三]在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：正方体的体积为2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12. 答案：1－π123.[考法二]某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的外界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________．解析：设正三角形的边长为a ，圆的半径为R ，则正三角形的面积为34a 2. 由正弦定理得2R ＝a sin 60°，即R ＝33a .所以圆的面积S ＝πR 2＝13πa 2. 由几何概型的概率计算公式得概率P ＝34a 213πa 2＝334π.答案：334π突破点三 概率与统计的综合问题[典例] (2019·广西南宁毕业班摸底)广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.2018年某校社会实践小组对某小区参与广场舞的群众进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们的年龄分成6组：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)计算这40名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数；(2)若从年龄在[20,40)的广场舞者中任选2名，求这2名广场舞者中恰有一人年龄在[30,40)的概率．[解] (1)由题知，这40名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数为(0.02＋0.03＋0.025)×10×40＝30.(2)由频率分布直方图可知，年龄在[20,30)的有2人，分别记为a 1，a 2，年龄在[30,40)的有4人，分别记为b 1，b 2，b 3，b 4.现从这6人中任选2人，共有如下15种选法：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，b 4)，(b 2，b 3)，(b 2，b 4)，(b 3，b 4)．其中恰有一人年龄在[30,40)的有8种，故这2名广场舞者中恰有一人年龄在[30,40)的概率P ＝815. [方法技巧]破解概率与统计图表综合问题的“三步曲”[针对训练] (2019·贵阳摸底)某高校学生社团为了解“大数据时代”下大学生就业情况的满意度，对20名毕业生进行问卷调查(满分100分)，得到如图所示的茎叶图．(1)计算男生打分的平均分，观察茎叶图，评价男、女生打分的分散程度；(2)从打分在80分以上的毕业生中随机抽取3人，求有2女1男被抽中的概率． 解：(1)男生打分的平均分为110×(55＋53＋62＋65＋71＋70＋73＋74＋86＋81)＝69(分)． 由茎叶图知，女生打分比较集中，男生打分比较分散．(2)由图可知打分在80分以上的有3女2男，记3名女生分别为A 1，A 2，A 3,2名男生分别为B 1，B 2，从中随机抽取3人的基本事件为A 1A 2A 3，A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 3B 1，A 1A 3B 2，A 1B 1B 2，A 2B 1B 2，A 2A 3B 1，A 2A 3B 2，A 3B 1B 2，共10个，记“有2女1男被抽中”为事件A ，则A 包含的基本事件为A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 3B 1，A 1A 3B 2，A 2A 3B 1，A 2A 3B 2，共6个，故有2女1男被抽中的概率为35.[课时跟踪检测] 1．(2019·长沙长郡中学选拔性考试)长郡中学要从师生推荐的参加讲课比赛的3名男教师和2名女教师中，任选2人参加讲课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为( )A.25 B.35 C.13D.23解析：选B 从3名男教师和2名女教师中任选2人参加讲课比赛，基本事件总数为10，选取的2人恰为一男一女包含的基本事件个数为6，故选取的2人恰为一男一女的概率为P ＝m n ＝610＝35.故选B. 2．(2019·贵阳模拟)某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项目参加比赛，则这三个项目都有人参加的概率为( )A.89B.49C.29D.827解析：选B 基本事件总数n ＝34＝81，这三个项目都有人参加所包含的基本事件个数m ＝C 24A 33＝36，故这三个项目都有人参加的概率为P ＝m n ＝3681＝49.3．(2019·广东五校联考)从1～9这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为( )A.23 B.13 C.19D.18解析：选C 从1～9这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有C 79＝36种，从(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)中任选3组，有C 34＝4种选法，故这7个数的平均数是5的概率为436＝19，选C. 4．(2019·成都外国语学校月考)《九章算术》中有如下问题：今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )A.3π10 B.3π20 C ．1－3π10D ．1－3π20解析：选D 直角三角形的斜边长为82＋152＝17， 设内切圆的半径为r ，则8－r ＋15－r ＝17，解得r ＝3. ∴内切圆的面积为πr 2＝9π， ∴豆子落在内切圆外的概率P ＝1－9π12×8×15＝1－3π20.5．(2019·长春质检)如图，扇形AOB 的圆心角为120°，点P 在弦AB 上，且AP ＝13AB ，延长OP 交弧AB 于点C ，现向扇形AOB 内投一点，则该点落在扇形AOC 内的概率为( )A.14B.13C.27D.38解析：选A 设OA ＝3，则AB ＝33，AP ＝3，由余弦定理可求得OP ＝3，则∠AOP ＝30°，所以扇形AOC 的面积为3π4，又扇形AOB 的面积为3π，从而所求概率为3π43π＝14.6．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A ．2－33πB ．4－63πC ．413－32πD ．423解析：选B 设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24×⎝⎛⎭⎫16πr 2－34r 2＝4πr 2－63r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′＝4－63π，故选B.7．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A.79B.13C.59D.23解析：选D f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要使函数f (x )有两个极值点，则有Δ＝(2a )2－4b 2＞0，即a 2＞b 2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．满足a 2＞b 2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为69＝23.8．(2019·安阳模拟)在边长为a 的正三角形内任取一点P ，则点P 到三个顶点的距离均大于a2的概率是( )A ．1112－36πB ．1－36πC ．13D ．14解析：选B 如图，正△ABC 的边长为a ，分别以它的三个顶点为圆心，a2为半径，在△ABC 内部画圆弧，得到三个扇形，则点P 在这三个扇形外，因此所求概率为34a 2－12×π×⎝⎛⎭⎫a 2234a 2＝1－36π，故选B.9．(2019·石家庄毕业班摸底)一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x ，y ，z ，当且仅当y ＞x ，y ＞z 时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为( )A.23B.13C.16D.112解析：选B 从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432，其中是“凸数”的是132,142,143,231,241,243,341,342，共8个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率为824＝13，故选B.10．(2018·全国卷Ⅰ)如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3解析：选A 法一：∵S △ABC ＝12AB ·AC ，以AB 为直径的半圆的面积为12π·⎝⎛⎭⎫AB 22＝π8AB 2，以AC 为直径的半圆的面积为12π·⎝⎛⎭⎫AC 22＝π8AC 2，以BC 为直径的半圆的面积为12π·⎝⎛⎭⎫BC 22＝ π8BC 2，∴S Ⅰ＝12AB ·AC ，S Ⅲ＝π8BC 2－12AB ·AC ，S Ⅱ＝⎝⎛⎭⎫π8AB 2＋π8AC 2－⎝⎛⎭⎫π8BC 2－12AB ·AC ＝12AB ·AC . ∴S Ⅰ＝S Ⅱ.由几何概型概率公式得p 1＝S ⅠS 总，p 2＝S ⅡS 总， ∴p 1＝p 2.故选A.法二：不妨设△ABC 为等腰直角三角形， AB ＝AC ＝2，则BC ＝22， 所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积， 为S 1＝12×2×2＝2，区域Ⅱ的面积S 2＝π×12－⎣⎢⎡⎦⎥⎤π×(2)22－2＝2， 区域Ⅲ的面积S 3＝π×(2)22－2＝π－2.根据几何概型的概率计算公式， 得p 1＝p 2＝2π＋2，p 3＝π－2π＋2， 所以p 1≠p 3，p 2≠p 3，p 1≠p 2＋p 3，故选A.11．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为x －甲，x －乙，则x －甲＞x －乙的概率是________．解析：设污损处的数字为m ，由15(84＋85＋87＋90＋m ＋99)＝15(86＋87＋91＋92＋94)，得m＝5，即当m ＝5时，甲、乙两人的平均成绩相等．m 的取值有0,1,2,3，…，9，共10种可能，其中，当m ＝6,7,8,9时，x －甲＞x －乙，故所求概率为410＝25.答案：2512．(2018·湖北武汉模拟)某路公交车在6：30,7：00,7：30准时发车，小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率为________．解析：小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，总时长为40分钟，公交车在6：30,7：00,7：30准时发车，他等车时间不超过10分钟，则必须在6：50至7：00或7：20至7：30之间到达，时长为20分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率P ＝2040＝12.答案：1213．(2019·南京模拟)口袋中有形状、大小完全相同的4个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为________．解析：从袋中一次随机摸出2个球，共有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}6个基本事件，其中摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共4个，因此摸出的2个球的编号之和大于4的概率为46＝23.答案：2314．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12.(1)求n 的值．(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .①记“2≤a ＋b ≤3”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2＞(a －b )2恒成立”的概率．解：(1)依题意共有小球n ＋2个，标号为2的小球n 个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球概率为n n ＋2＝12，得n ＝2.(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球，(a ，b )所有可能的结果为(0,1)，(0,2)，(0,2)，(1,2)，(1,2)，(2,2)，(1,0)，(2,0)，(2,0)，(2,1)，(2,1)，(2,2)，共有12种，而满足2≤a ＋b ≤3的结果有8种，故P (A )＝812＝23.②由①可知，(a －b )2≤4，故x 2＋y 2＞4，(x ，y )可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{}(x ，y )|0≤x ≤2，0≤y ≤2，x ，y ∈R ， 由几何概型得概率为P ＝22－14π·2222＝1－π4. 15．(2019·昆明适应性检测)某校为了解高一学生周末的阅读时间，从高一年级中随机抽取了100名学生进行调查，获得了每人的周末阅读时间(单位：h)，按照[0,0.5)，[0.5，1)，…，[4,4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．(1)求图中a 的值；(2)估计该校高一学生周末阅读时间的中位数；(3)在[1,1.5)，[1.5,2)这两组中采用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好都在同一个组的概率．解：(1)由频率分布直方图可知，周末阅读时间在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4，4．5]的频率分别为0.08,0.20,0.25,0.07,0.04,0.02，由1－(0.04＋0.08＋0.20＋0.25＋0.07＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a.解得a＝0.30.(2)设中位数为m h.因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.25＝0.72＞0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＝0.47＜0.5，所以2≤m＜2.5.由0.50×(m－2)＝0.5－0.47，解得m＝2.06.故可估计该校高一学生周末阅读时间的中位数为2.06 h.(3)由题意得周末阅读时间在[1,1.5)，[1.5,2)中的学生分别有15人、20人，按分层抽样的方法应分别抽取3人、4人，分别记作A，B，C及a，b，c，d，从7人中随机抽取2人，共有AB，AC，Aa，Ab，Ac，Ad，BC，Ba，Bb，Bc，Bd，Ca，Cb，Cc，Cd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共21种，抽取的2人在同一组的有AB，AC，BC，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共9种，故所求概率P＝921＝37.。

古典概型课后练习一个盒子中装有5个编号依次为一、二、3、4、5的球，这5个球除号码外完全相同，有放回的持续抽取两次，每次任意地掏出一个球．（1）列举出所有可能结果．（2）设第一次取出的球号码为x，第二次取出的球号码为y，写出B=“点（x，y）落在直线y=x+1 上方”这一事件包含的基本事件．一个盒子中装有4个编号依次为一、二、3、4的球，这4个球除号码外完全相同，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为X，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为Y．（1）列出所有可能结果．（2）写出A=“取出球的号码之和小于4”这一事件包括的大体事件．（3）写出B=“编号X＜Y”这一事件包括的大体事件．从一、二、3、4中任取两个不同的数字组成一个两位数，那么那个两位数大于20的概率为．一个不透明的盒子中放有四张别离写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张别离写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同．（1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率；（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数大于22的概率．某医院派出医生下乡医疗，一天内派出医生人数及其概率如下：医生人数012345人及以上概率求：(1)派出医生最多2人的概率；(2)派出医生至少2人的概率．袋中有假设干小球，别离为红色、黑色、黄色、白色，从中任取一球，取得红球的概率为14，取得黑球或黄球的概率为12，取得黄球或白球的概率为512．试求任取一球，取得黑球，取得黄球，取得白球的概率各是多少？在甲、乙两个盒子中别离装有标号为一、二、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各掏出1个球，每一个小球被掏出的可能性相等．求掏出的两个球上标号为相邻整数的概率．在甲、乙两个盒子中别离装有标号为1，2，3，4，5的五个球，现从甲、乙两个盒子中各掏出1个球，每一个小球被掏出的可能性相等．求事件“掏出的两个球上标号之和能被3整除”的概率．从1，3，5，7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，那么组成的两位数是5的倍数的概率为．已知：a、b、c为集合A={1，2，3，4，5，6}中三个不同的数，通过如下框图给出的一个算法输出一个整数a，那么输出的数a=5的概率是．假定某运动员每次抛掷飞镖正中靶心的概率为40%．现采纳随机模拟的方式估量该运动员两次抛掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：93 28 12 45 85 69 68 34 31 2573 93 02 75 56 48 87 30 11 35据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为．从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动．(1)求所选2人中恰有一名男生的概率；(2)求所选2人中至少有一名女生的概率．已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为，命中8环的概率为，命中7环的概率为． （1）求甲射击一次，命中不足8环的概率；（2）求甲射击一次，至少命中7环的概率． 有3个爱好小组，甲、乙两位同窗各自参加其中一个小组，每位同窗参加各个小组的可能性相同，那么这两位同窗参加同一个爱好小组的概率为( ) A ．13B ．12C ．23D ．34设集合A ＝{1, 2}，B={1, 2, 3}，别离从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确信平面上的一个点P （a, b)，记“点P(a, b)落在直线x+y=n 上”为事件nC (2≤n≤5，n ∈N)，假设事件Cn 的概率最大，那么n 的所有可能值为( ) A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4已知关于x 的一元二次函数f （x ）=ax2bx+1，设集合P={1，2，3}，Q={1，1，2，3，4}，别离从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ． （1）求函数y = f （x ）有零点的概率；（2）求函数y = f （x ）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．古典概型课后练习参考答案见详解．详解：（1）由题意知共有25种结果，用一对有序数对表示出可能显现的情形，第一个数字表示第一次抽到的数字，第二个数字表示第二次抽到的数字，下面列举出所有情形：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（2）满足条件的事件是点（x，y）落在直线y=x+1上方的有：（1，3），（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，5）共6种．见详解．详解：（1）所有可能的结果共有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4），共计16个．（2）事件“取出球的号码之和小于4”包括的结果有：（1，1）、（1，2）、（2，1），共计3个；（3）事件B=“编号X＜Y”包括的结果有：（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，3）、（2，4）、（3，4），共计6个．34．详解：由题意知此题是一个等可能事件的概率，⨯=试验发生所包含的事件是从4个数字中选两个数字进行排列，共有4312种结果，两位数大于20的为：21，23，24，31，32，34，41，42，43共9种结果，因此概率为93124．（1）27；（2）712．详解：（1）∵在7张卡片中共有两张卡片写有数字1，∴从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字1的概率是27．（2）组成的所有两位数列表为：十位 个位 12341 11 21 31 412 12 2232 42 313 23 33 43或列树状图为：∴那个两位数大于22的概率为712．(1)；(2)．详解：记事件A 为“不派出医生”，事件B 为“派出1名医生”，事件C 为“派出2名医生”，事件D 为“派出3名医生”，事件E 为“派出4名医生”，事件F 为“派出很多于5名医生”． 那么事件A 、B 、C 、D 、E 、F 彼此互斥，且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，P(E)＝，P(F)＝．(1)“派出医生最多2人”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝．(2)“派出医生至少2人”的概率为P(C＋D＋E＋F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝＋＋＋＝，或1－P(A＋B)＝1－－＝．111,,364．详解：记“任取一球，取得红球，取得黑球，取得黄球，取得白球”别离为事件A、B、C、D，那么由题意可得1()41()()25()()12()()()()1P AP B P CP C P DP A P B P C P D⎧=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎪⎪+++=⎩，解得1()31()61()4P BP CP D⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩因此，任取一球，取得黑球，取得黄球，取得白球的概率各是111 ,, 364．38．详解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字别离为x，y，用（x，y）表示抽取结果，那么所有可能有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16种．所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），共6种．故所求概率63168 P==．9 25．详解：大体事件总数为5×5=25种，记事件“掏出两个球上标号之和能被3整除”为事件A ，事件包括（1，2），（2，1），（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），（4，5），（5，4）共9种．∴9()25P A =．14．详解：如下表，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，共12种情形，其中是5的倍数的有15，35，75三种，∴组成两位数能被3整除的概率为31124=．故答案为：14．310．详解：依照框图判定，本框图输出的a 为输入的三个数a ，b ，c 中的最大值． 最大值是3的情况，输入的三个数为1，2，3；1种情况．最大值是4的情况，输入的三个数为1，2，3里两个以及4；3种情况． 最大值是5的情况，输入的三个数为1，2，3，4里两个数以及5；6种情况． 最大值是6的情况，输入的三个数为1，2，3，4，5里两个数及6；10种情况．a=5的概率=563=2010 最大数为的情况所有输出最大值的情况数．故答案为310．12．详解：由题意知模拟两次抛掷飞镖的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示两次抛掷飞镖恰有一次命中的有：93，28，45，25，73，93，30，48，35共10组随机数，∴所求概率为12．(1)35；(2)710． 详解：设2名女生为a1，a2,3名男生为b1，b2，b3，从当选出2人的大体事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)， (a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共10种．设“所选2人中恰有一名男生”的事件为A ，那么A 包括的事件有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共6种，∴P(A)＝610＝35，故所选2人中恰有一名男生的概率为35．(2)设“所选2人中至少有一名女生”的事件为B ，那么B 包括的事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共7种， ∴P(B)＝710，故所选2人中至少有一名女生的概率为710．（1）；（2）．详解：（1）记“甲射击一次，命中不足8环”为事件A ，那么P （A ）＝1＝．（2）记“甲射击一次，至少命中7环”为事件B ，那么P （B ）＝++＝． A ．详解：记三个爱好小组别离为一、二、3，甲参加1组记为“甲1”，那么大体事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A 为“甲、乙两位同窗参加同一个爱好小组”，其中事件A 有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P(A)＝39＝13． D ．详解：所有大体事件为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）共6个，因此61)(,62)(,62)(,61)(5432====C P C P C P C P ．因此)(n C P 最大时的n 值为3或4．（1）52；（2）1513．详解：（a ，b ）共有（1，1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，-1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）15种情形．（1）满足△=b24a≥0，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情形． ∴函数y =f （x ）有零点的概率52156==P ．（2）二次函数f （x ）=ax2bx+1的对称轴a bx 2=， ∵函数y = f （x ）在区间[1，+∞）上是增函数，∴12≤a b ，有（1，1），（1，1），（1，2），（2，1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共13种情形．∴函数y=f （x ）在区间[1，+∞）上是增函数的概率1513=P ．。

一、选择题1.集合A ＝{2，3}，B ＝{1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( ) A.23B.12C.13D.16解析 从A ，B 中任意取一个数，共有C 12·C 13＝6种情形，两数和等于4的情形只有(2，2)，(3，1)两种， ∴p ＝26＝13. 答案 C2.设m ，n ∈{0，1，2，3，4}，向量a ＝(－1，－2)，b ＝(m ，n )，则a ∥b 的概率为( ) A.225B.325C.320D.15解析 a ∥b ⇒－2m ＝－n ⇒2m ＝n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝4，因此概率为35×5＝325. 答案 B3.某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在平面直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点在直线2x －y ＝1上的概率为( ) A.112B.19C.536D.16解析 先后投掷一枚骰子两次，共有6×6＝36种结果，满足题意的结果有3种，即(1，1)，(2，3)，(3，5)，所以所求概率为336＝112. 答案 A4.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为( )A.13B.14C.15D.16解析 分别用A ，B ，C 表示齐王的上、中、下等马，用a ，b ，c 表示田忌的上、中、下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛有Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc 共9场比赛，其中田忌马获胜的有Ba ，Ca ，Cb 共3场比赛，所以田忌马获胜的概率为13. 答案 A5.(2019·北京朝阳区调研)将一个骰子连续掷3次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( ) A.112B.19C.115D.118解析 一个骰子连续掷3次，落地时向上的点数可能出现的组合数为63＝216(种).落地时向上的点数依次成等差数列，当向上点数若不同，则为(1，2，3)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，4，6)，(3，4，5)，(4，5，6)，共有2×6＝12种情况；当向上点数相同，共有6种情况.故落地时向上的点数依次成等差数列的概率为12＋6216＝112. 答案 A 二、填空题6.(2019·天津和平区模拟)小明忘记了微信登录密码的后两位，只记得最后一位是字母A ，a ，B ，b 中的一个，另一位是数字4，5，6中的一个，则小明输入一次密码能够成功登陆的概率是________.解析 小明输入密码后两位的所有情况有C 14·C 13＝12种，而能成功登陆的密码只有一种，故小明输入一次密码能够成功登陆的概率是112.答案 1127.若m 是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元素，则椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的概率为________.解析 m 是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元素，∴基本事件总数为6，又满足椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的m 的取值有1，3，11，共有3个，∴椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的概率p ＝36＝12.答案 128.某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________.解析 甲同学从四种水果中选两种，选法种数有C 24，乙同学的选法种数为C 24，则两同学的选法种数为C 24·C 24，两同学各自所选水果相同的选法种数为C 24，由古典概型概率计算公式可得，甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为p ＝C 24C 24C 24＝16. 答案 16 三、解答题9.甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下，甲：9，9，11，11，乙：X ，8，9，10，其中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示. (1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.解 (1)当X ＝8时，乙组四名同学的植树棵数分别是8，8，9，10，故x －＝8＋8＋9＋104＝354，s 2＝14×[⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3542×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫10－3542]＝1116. (2)当X ＝9时，记甲组四名同学分别为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学分别为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，其包含的基本事件为{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 3，B 4}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 4，B 4}，共16个.设“选出的两名同学的植树总棵数为19”为事件C ，则事件C 中包含的基本事件为{A 1，B 4}，{A 2，B 4}，{A 3，B 2}，{A 4，B 2}，共4个.故P (C )＝416＝14. 10.某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率.解 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100，因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A ，记“参赛女生有2人”为事件B ，“参赛女生有3人”为事件C .则P (B )＝C 23C 23C 46＝35，P (C )＝C 33C 13C 46＝15.由互斥事件的概率加法公式， 得P (A )＝P (B )＋P (C )＝35＋15＝45， 故所求事件的概率为45.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.已知函数f (x )＝12ax 2＋bx ＋1，其中a ∈{2，4}，b ∈{1，3}，从f (x )中随机抽取1个，则它在(－∞，－1]上是减函数的概率为( ) A.12B.34C.16D.0解析 f (x )共有四种等可能基本事件即(a ，b )取(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)，记事件A 为f (x )在(－∞，－1]上是减函数，由条件知f (x )是开口向上的函数，对称轴是x ＝－ba ≥－1，事件A 共有三种(2，1)，(4，1)，(4，3)等可能基本事件，所以P (A )＝34. 答案 B12.甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是( ) A.34B.13C.310D.25解析 6元分成整数元有3份， 可能性有(1，1，4)，(1，2，3)，(2，2，2)，第一个分法有3种，第二个分法有6种，第三个分法有1种，其中符合“最佳手气”的有4种，故概率为410＝25. 答案 D13.(2018·江西重点中学盟校联考)从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是__________.解析 从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换，基本事件总数为n ＝C 23·C 23＝9，从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，第一次调换后，对调后的位置关系有三种：甲丙乙、乙甲丙、丙乙甲，第二次调换后甲在乙的左边对应的关系有：丙甲乙、甲乙丙；丙甲乙、甲乙丙；甲丙乙、丙甲乙， ∴经过两次这样的调换后，甲在乙的左边包含的基本事件个数m ＝6， ∴经过这样的调换后，甲在乙左边的概率：p ＝m n ＝69＝23. 答案 2314.(2019·日照一模)某快递公司收取快递费用的标准如下：质量不超过1 kg 的包裹收费10元；质量超过1 kg 的包裹，除1 kg 收费10元之外，超过1 kg 的部分，每1 kg(不足1 kg ，按1 kg 计算)需再收5元. 该公司对近60天， 每天揽件数量统计如下表：(1)某人打算将A (0.3 kg)，B (1.8 kg)，C (1.5 kg)三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？解 (1)由题意，寄出方式有以下三种可能：所有3种可能中，有1种可能快递费未超过30元，根据古典概型概率计算公式，所求概率为13.(2)由题目中的天数得出频率，如下：若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司每日利润为260×5－3×100＝1 000(元)；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司每日利润为235×5－2×100＝975(元).综上，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.新高考创新预测15.(多填题)在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门.若甲同学在物理、化学中至少选一门，则甲的不同选法种数为________，乙、丙两名同学都不选物理的概率是________.解析由于甲在物理、化学中至少选一门学科，即不同选法种数为C37－C35＝25；乙、丙两名同学都不选物理的概率p＝C36·C36C37·C37＝1649.答案2516 49。

2020-2021学年新教材人教A 版必修第二册 10.1.3 古典概型 作业一、选择题1、将三个不同的小球随机放入三个不同的盒内，恰有一个空盒的概率为 （ ） A ．29 B ．12 C ．23 D ．492、某种产品的合格率是10095，合格品中一级品率是10020，则这种产品的一级品率为（ ）A ．10015 B. 10019 C.10020 D.10021 3、某地区高中分三类，A 类学校共有学生2000人，B 类学校共有学生3000人，C 类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A 类学校中的学生甲被抽到的概率为 （ ）A ．101B ．209C ．20001D ． 21 4、在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,A=30°,若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所得的点数分别为a,b,则满足条件的三角形有两个解的概率是( )A ．B ．C ．D ．5、某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过三次而接通电话的概率为（ ）A. 9/10B. 3/10C. 1/8D. 1/106、一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个.现从盒子中随机取出两个球，记事件为“取出的两个球颜色不同”，事件为“取出一个黄球，一个绿球”，则( )A ．B ．C ．D ．7、 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的概率等于（ ）A ．16B ．13C ．23D ．568、在1，2，3，4，5五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（ ）A ．0.2 B.0.25 C.0.3 D.0.49、从0,1,2,3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被3整除的概率为（ ）A. 29B. 13C. 512D. 5910、为保证青运会期间比赛的顺利进行，4名志愿者被分配到3个场馆为运动员提供服务，每个场馆至少一名志愿者，在甲被分配到场馆的条件下，场馆有两名志愿者的概率为( ) A ． B ． C ． D ．11、孪生素数猜想是希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出的，其可以描述为：存在无穷多个素数p 使得2p +是素数，素数p 、2p +称为孪生素数．2013年5月，华人数学家张益唐证明了这一猜想的一个弱化形式，在孪生素数猜想的证明道路上前进了一大步．若从20以内的素数中任取两个，则其中能构成孪生素数的概率为（ ）A ．13B ．15C ．17D ．1912、从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( ) A.45 B.35C.25D.15二、填空题13、从1,2,3,4,5这5个数中任取两个,则这两个数正好相差1的概率是________。