江苏省南通市2017高考数学冲刺小练(14)扫描版含答案

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2017年江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2｝，B=｛a，a2+3}．若A∩B=｛1｝，则实数a的值为 ．2．（5分）已知复数z=(1+i）（1+2i)，其中i是虚数单位，则z的模是 ．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 3．件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是 ．5．(5分）若tan（α﹣）=．则tanα= ．6．（5分)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是 ．7．(5分)记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5］上随机取一个数x，则x∈D的概率是 ．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是 ．9．（5分）等比数列｛a n｝的各项均为实数,其前n项为S n,已知S3=，S6=，则a8= ．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 ．11．（5分）已知函数f(x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f （2a2）≤0．则实数a的取值范围是 ．12．(5分）如图，在同一个平面内,向量，,的模分别为1，1，，与的夹角为α,且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m,n∈R),则m+n= ．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A(﹣12，0），B(0,6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是 ．（5分）设f(x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1)上，f（x）=，14．其中集合D={x|x=，n∈N*｝,则方程f（x)﹣lgx=0的解的个数是 ．二。

B ，则集合()U A B 中的元素}{1x x 〉 }0 =4,cot β=13,则711 (C) 713（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4（7）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 （D ）345种（8）设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,（A ）150° （B ）120° （C ）60° （D ）30°（9）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）(A)4(B) 4(C) 4(D) 34 (10) 如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为 (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π （11）设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+ ( )（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值（C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值（12）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F,右准线l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B 。

若3FA FB =,则AF =（ ）(A) (B) 2(C) (D) 3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.（13）10()x y -的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于_____________.（14）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 。

南通市2017届高三第一次调研测试数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 函数2sin(3)3y x π=-的最小正周期为 ▲ ．2． 设集合{}13A =，，{}25B a =+，，{}3A B =，则AB = ▲ ．3． 复数2(1+2i)z =，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 4． 口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．已知摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概 率为 ▲ ．5． 如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为 ▲ ． 6． 若实数x ，y 满足243700x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤，≤，≥，≥，则z ＝3x ＋2y 的最大值为 ▲ ．7． 抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为 ▲ ． 8． 如图，在正四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，3cm AB =，11cm AA =，则三棱锥D 1–A 1BD 的体积为 ▲ 3cm ．9． 在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +=为双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线，则该双曲线 的离心率为 ▲ ．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 ▲ 升．11．在△ABC 中，若2BC BA AC AB CA CB ⋅+⋅=⋅，则sin sin AC的值为 ▲ ． 12．已知两曲线()2sin f x x =，()cos g x a x =，π(0)2x ∈，相交于点P ．若两曲线在点P 处的切线（第5题）ABCDA 1B 1C 1D 1 （第8题）互相垂直，则实数a 的值为 ▲ ．13．已知函数()4f x x x =+-，则不等式2(2)()f x f x +>的解集用区间表示为 ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(11)A ，，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ． 以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB． （1）求cos β的值； （2）若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP =OC ，PA ⊥PD ．求证：（1）直线PA ∥平面BDE ； （2）平面BDE ⊥平面PCD ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到（第16题）ABCODPE（第15题）相应准线的距离为1． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线2y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．18．（本小题满分16分）如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点， 点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在 直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪． （1）当∠EFP =4π时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积； （2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ． （1）当38a =时，求函数()f x 的最小值；ABCDFEPMN（第18题）xyQOP（第17题）2（2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点； （3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，n k a ，…(12k k <<…n k <<…)成等比数列，公比为q ．（1）若11k =，23k =，38k =，求1a d的值； （2）当1a d为何值时，数列{}n k 为等比数列； （3）若数列{}n k 为等比数列，且对于任意n *∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立，求1a 的取值 范围．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）已知圆O 的直径4AB =，C 为AO 的中点，弦DE 过OA BEDC（第21-A 题）点C 且满足CE =2CD ，求△OCE 的面积．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点11P （，）在矩阵A 对应的变换作用下变为33P '（，），求矩阵A ．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）求函数3sin y x =+【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在棱长为2的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，P 为棱C 1D 1的中点，Q 为棱BB 1上的点，BADC 1（第22题）A 1D 1B 1CQP且1(0)BQ BB λλ=≠． （1）若12λ=，求AP 与AQ 所成角的余弦值； （2）若直线AA 1与平面APQ 所成的角为45°， 求实数λ的值．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(1)M m ，到焦点F 的距离为2． （1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直 线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求△EAB 面积的最小值．南通市2017届高三第一次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 函数2sin(3)3y x π=-的最小正周期为 ▲ ．【答案】23π y = f (x )（第23题）yOxF AB PE2． 设集合{}13A =，，{}25B a =+，，{}3A B =，则A B = ▲ ．【答案】{}135，，3． 复数2(1+2i)z =，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 ▲ ．【答案】3-4． 口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为▲ ． 【答案】0.175． 如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为 ▲ ．【答案】56． 若实数x ，y 满足243700x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤，≤，≥，≥，则z ＝3x ＋2y 的最大值为 ▲ ．【答案】77． 抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为 ▲ ． 【答案】208． 如图，在正四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，3cm AB =，11cm AA =，则三棱锥D 1–A 1BD 的体积为 ▲ 3cm ．【答案】329． 在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +=为双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 ▲ ．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 ▲ 升． 【答案】1322（第5题）ABCDA 1B 1C 1D 1 （第8题）11．在△ABC 中，若2BC BA AC AB CA CB ⋅+⋅=⋅，则sin sin AC的值为 ▲ ．12．已知两曲线()2sin f x x =，()cos g x a x =，π(0)2x ∈，相交于点P ．若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为 ▲ ．13．已知函数()4f x x x =+-，则不等式2(2)()f x f x +>的解集用区间表示为 ▲ ．【答案】(2)(2)-∞-+∞，，14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(11)A ，，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为 ▲．【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ． 以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB ． （1）求cos β的值；（2）若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．【解】（1）在△AOB 中，由余弦定理得，2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅∠，所以222cos 2OA OB AB AOB OA OB +-∠=⋅ ……………2分22211352115+-==⨯⨯，即3cos 5β=． ………………………………………………………………………6分 （2）因为3cos 5β=，π(0)2β∈，，所以4sin 5β===． …………………………………………8分因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得，5cos 13α=，（第15题）因为α为锐角，所以12sin 13α===． ……………………10分所以()5312433cos cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-，………………12分 ()1235456sin sin cos cos sin 13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯=． 所以点3356()6565B -，． …………………………………………………………14分 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP =OC ，PA ⊥PD ．求证：（1）直线PA ∥平面BDE ； （2）平面BDE ⊥平面PCD ．【证明】（1）连结OE ，因为O 为平行四边形对角线的交点，所以O 为AC 中点． 又因为E 为PC 的中点，所以OE ∥PA ． ……………………4分 又因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以直线PA ∥平面BDE ． ……………………………………………………6分 （2）因为OE ∥PA ，PA PD ⊥，所以OE PD ⊥． ………………………………8分因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥． …………………………10分 又因为PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PCPD P =，所以OE ⊥平面PCD ． …………………………………………………………12分 又因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD ． ……………………14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值． 【解】（1）由题意得，c a =，21a c c-=， …………2分解得a =1c =，1b =．ABCD （第16题）ABCODPE（第17题）所以椭圆的方程为2212x y +=． …………………………………………………4分（2）由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，2OP =，2OQ =，所以22111OP OQ+=． …………6分 当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y kx =．由2212x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得()22212k x +=，解得22221x k =+，所以222221k y k =+，所以2222221k OP k +=+． ………………………………………………………………9分因为OP OQ ⊥，所以直线OQ 的方程为1y x k=-．由21y y xk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得2x k =-，所以2222OQ k =+． ………………………………12分 所以222221*********k OP OQ k k ++=+=++． 综上，可知22111OP OQ +=． ……………………………………………………14分 18．（本小题满分16分）如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点， 点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在 直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪． （1）当∠EFP =4π时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积； （2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由． 【解】（1）当∠EFP =4π时，由条件得 ∠EFP =∠EFD =∠FEP =4π． 所以∠FPE =2π．所以FN ⊥BC ， 四边形MNPE 为矩形．…… 3分 所以四边形MNPE 的面积 S=PN MN ⋅=2 m 2．………… 5分（2）解法一：设<<2EFD θθπ∠=（0），由条件，知∠EFP =∠EFD =∠FEP =θ．ABCDFEPMN（第18题）所以22sin sin PF=θθ=π-22（）， 23sin NP=NF PF θ-=-2， 23tan ME θ=-． ………………………………………………………………8分 由230sin 230tan <<2θθθ⎧->⎪2⎪⎪->⎨⎪⎪π⎪⎩，，0，得2sin 32tan 3<<.2θθθ⎧2>⎪⎪⎪>⎨⎪⎪π⎪⎩*，，（）0 所以四边形MNPE 面积为1()2S=NP ME MN +122(3)(3)22sin tan +θθ⎡⎤=--⨯⎢⎥2⎣⎦226tan sin 2=θθ--2222(sin cos )6tan 2sin cos =θθθθθ+--36(tan )tan θθ=-+ ………………………………………………………12分66-=-≤． 当且仅当3tan tan =θθ，即tan 3=θθπ时取“=”．………………14分 此时，*（）成立． 答：当3EFD π∠=时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为6- m 2． …………………………………………………………16分 解法二：设BE t = m ，3<<6t ，则6ME t =-．因为∠EFP =∠EFD =∠FEP ，所以PE =PFt BP =-． 所以21323t BP=t --（），213333323t NP=PF=PE=t BP =t t ------+-（）（）． ………8分 由223<<613023133023t tt tt t ⎧⎪⎪-⎪>⎨-⎪⎪--+>⎪-⎩，，（），（）得23<<612310.t t t t ⎧⎪>⎨⎪-+<⎩*，（）所以四边形MNPE 面积为 1()2S=NP ME MN +2113362223t t +t t ⎡⎤-=-+-⨯⎢⎥-⎣⎦（）（）（） 23306723t t t -+=-（）…………………………………………………………12分 326323t +t ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦（）6-≤当且仅当32323t =t --（），即=3+3t +时取“=”． ………14分 此时，*（）成立．答：当点E 距B 点3m 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为6- m 2． …………………………………………………………16分19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ． （1）当38a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点； （3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围． 【解】（1）当38a =时，23()ln 8f x x x x =--．所以(32)(2)31()144x x f x x x x+-'=--=，（x>0）． ……………………………2分令()0f x '=，得2x =，当(02)x ∈，时，()0f x '<；当(2)x ∈+∞，时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(02)，上单调递减，在(2)+∞，上单调递增．所以当2x =时，()f x 有最小值1(2)ln 22f =--．………………………………4分（2）由2()ln f x ax x x =--，得2121()210ax x f x ax x x x--'=--=>，． 所以当0a ≤时，221()<0ax x f x x--'=， 函数()f x 在(0+)∞，上单调递减，所以当0a ≤时，函数()f x 在(0+)∞，上最多有一个零点．……………………6分因为当0a -1≤≤时，(1)1<0f a =-，221e e ()>0e ea f -+=，所以当0a -1≤≤时，函数()f x 在(0+)∞，上有零点．综上，当0a -1≤≤时，函数()f x 有且只有一个零点． ………………………8分 （3）解法一：由（2）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0+)∞，上最多有一个零点．因为函数()f x 有两个零点，所以>0a ． ………………………………………9分由2()ln f x ax x x =--，得221()(0)ax x f x x x--'=>，，令2()21g x ax x =--．因为(0)10g =-<，2>0a ，所以函数()g x 在(0)+∞，上只有一个零点，设为0x ．当0(0)x x ∈，时，()0()0g x f x '<<，；当0()x x ∈+∞，时，()0()0g x f x '>>，． 所以函数()f x 在0(0)x ，上单调递减；在0()x +∞，上单调递增． 要使得函数()f x 在(0+)∞，上有两个零点，只需要函数()f x 的极小值0()0f x <，即200ln 0ax x x --<． 又因为2000()210g x ax x =--=，所以002ln 10x x +->， 又因为函数()2ln 1h x =x x +-在(0+)∞，上是增函数，且(1)0h =， 所以01x >，得0101x <<． 又由20210ax x --=，得22000111112()()24a x x x =+=+-， 所以01a <<． ……………………………………………………………………13分 以下验证当01a <<时，函数()f x 有两个零点． 当01a <<时，21211()10a ag a a a a-=--=>，所以011x a<<． 因为22211e e ()10e e e e a af -+=-+=>，且0()0f x <．所以函数()f x 在01()ex ，上有一个零点．又因为2242222()ln (1)10a f a a a a a a =----=>≥（因为ln 1x x -≤），且0()0f x <．所以函数()f x 在02()x a，上有一个零点．所以当01a <<时，函数()f x 在12()e a，内有两个零点．综上，实数a 的取值范围为(1)0，． ……………………………………………16分 下面证明：ln 1x x -≤．设()1ln t x x x =--，所以11()1x t x x x-'=-=，（x>0）． 令()0t x '=，得1x =．当(01)x ∈，时，()0t x '<；当(1)x ∈+∞，时，()>0t x '． 所以函数()t x 在(01)，上单调递减，在(1)+∞，上单调递增． 所以当1x =时，()t x 有最小值(1)0t =． 所以()1ln 0t x x x =--≥，得ln 1x x -≤成立． 解法二：由（2）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0+)∞，上最多有一个零点．因为函数()f x 有两个零点，所以>0a ． ………………………………………9分 由2()ln 0f x ax x x =--=，得关于x 的方程2ln x x a x+=，（x>0）有两个不等 的实数解． 又因为ln 1x x -≤，所以222ln 211(1)1x x x a x x x +-==--+≤，（x>0）． 因为x>0时，21(1)11x--+≤，所以1a ≤．又当=1a 时，=1x ，即关于x 的方程2ln x x a x+=有且只有一个实数解． 所以<<1a 0． ……………………………………………………………………13分 （以下解法同解法1）20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，n k a ，…(12k k <<…n k <<…)成等比数列，公比为q ．（1）若11k =，23k =，38k =，求1a d的值； （2）当1a d为何值时，数列{}n k 为等比数列； （3）若数列{}n k 为等比数列，且对于任意n *∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立，求1a 的取值 范围．【解】（1）由已知可得：1a ，3a ，8a 成等比数列，所以2111(2)(7)a d a a d +=+， ………2分整理可得：2143d a d =．因为0d ≠，所以143a d =． ……………………………4分 （2）设数列{}n k 为等比数列，则2213k k k =．又因为1k a ，2k a ，3k a 成等比数列，所以[][][]2111312(1)(1)(1)a k d a k d a k d +-+-=+-． 整理，得21213132132(2)(2)a k k k d k k k k k k --=---+． 因为2213k k k =，所以1213213(2)(2)a k k k d k k k --=--． 因为2132k k k ≠+，所以1a d =，即11a d=．………………………………………6分 当11a d=时，1(1)n a a n d nd =+-=，所以n k n a k d =． 又因为1111n n n k k a a q k dq --==，所以11n n k k q -=． 所以1111nn n n k k q q k k q +-==，数列{}n k 为等比数列． 综上，当11a d=时，数列{}n k 为等比数列．………………………………………8分 （3）因为数列{}n k 为等比数列，由（2）知1a d =，11(1)n n k k q q -=>．1111111n n n n k k a a q k dq k a q ---===，11(1)n a a n d na =+-=． 因为对于任意n *∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立． 所以不等式1111112n n na k a q k q --+>，即111112n n k q a n k q -->+，111111110222n n nn k q q na k q k q --+<<=+恒成立．……………………10分下面证明：对于任意的正实数(01)εε<<，总存在正整数1n ，使得11n n εq <． 要证11n n εq <，即证11ln ln ln n n q ε<+． 因为11ln e 2x x x <≤，则1122111ln 2ln n n n =<，解不等式1211ln ln n n q ε<+，即1122211()ln ln 0n q n ε-+>，可得121n >，所以21n >．不妨取201n ⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则当10n n >时，原式得证． 所以11102a <≤，所以12a ≥，即得1a 的取值范围是[)2+∞，． ……………16分 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）已知圆O 的直径4AB =，C 为AO 的中点，弦DE 过点C 且满足CE =2CD ，求△OCE 的面积． 【解】设CD x =，则2CE x =．因为1CA =，3CB =，由相交弦定理，得CA CB CD CE ⋅=⋅， 所以21322x x x ⨯=⋅=，所以x =．…………2分 取DE 中点H ，则OH DE ⊥． 因为2222354()28OH OE EH x =-=-=，所以OH ．…………………………………………………………………………6分又因为2CE x =，所以△OCE的面积1122S OH CE =⋅==…………………………10分 B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点11P （，）在矩阵A 对应的变换作用下变为33P '（，），求矩阵A ． 【解】设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 因为向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量，所以111(1)111a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以11a b c d -=-⎧⎨-=⎩，． ………………………………4分 因为点11P （，）在矩阵A 对应的变换作用下变为33P '（，），所以1313a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以+3+3a b c d =⎧⎨=⎩，． …………………………………………………8分（第21-A 题）解得1a =，2b =，2c =，1d =，所以1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．………………………………10分 C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长． 【解】解法一：在4sin ρθ=中，令π4θ=，得π4sin 4ρ=AB= …………………10分 解法二：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． 直线π()4θρ=∈R 的直角坐标方程为y x =①， ………………………………………3分 曲线4sin ρθ=的直角坐标方程为2240x y y +-=②． ……………………………6分 由①②得00x y =⎧⎨=⎩，，或22x y =⎧⎨=⎩，，……………………………………………………………8分所以(00)(22)A B ，，，， 所以直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长AB= ………………10分 D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）求函数3sin y x =+【解】3sin y x x =++…………………………………………2分由柯西不等式得222222(3sin (34)(sin cos )25y x x x =+++=≤，……………………………8分所以max 5y =，此时3sin =5x ．所以函数3sin y x =+5． …………………………………10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在棱长为2的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，P 为棱C 1D 1的中点，Q 为棱BB 1上的点，且1(0)BQ BB λλ=≠．（第22题）（1）若12λ=，求AP 与AQ 所成角的余弦值； （2）若直线AA 1与平面APQ 所成的角为45°， 求实数λ的值．【解】以{}1AB AD AA ，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -．（1）因为=(122)AP ，，，=(201)AQ ，，， 所以cos =||||AP AQ AP AQ AP AQ ⋅<>，=．所以AP 与AQ ．………………………………………4分 （2）由题意可知，1=(002)AA ，，，=(202)AQ λ，，． 设平面APQ 的法向量为n ()x y z =，，， 则00AP AQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即220220x y z x z λ++=⎧⎨+=⎩，．令2z =-，则2x λ=，2y λ=-．所以n (222)λλ=--，，．…………………………………………………………6分 又因为直线1AA 与平面APQ 所成角为45°， 所以|cos<n ，1AA >|11=||||AA AA⋅n n =2=， 可得2540λλ-=，又因为0λ≠，所以45λ=． ……………………………10分 23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(1)M m ，到焦点F 的距离为2． （1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直 线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求△EAB 面积的最小值． 【解】（1）抛物线22(0)x py p =>的准线方程为2py =-， 因为(1)M m ，，由抛物线定义，知y = f (x )（第23题）yOxF AB PE12p MF =+， 所以122p+=，即2p =， 所以抛物线的方程为24x y =．……………………………………………………3分 （2）因为214y x =，所以12y x '=． 设点2()04t E t t ≠，，，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-．令0y =，则2t x =，即点(0)2tP ，．因为(0)2t P ，，(01)F ，，所以直线PF 的方程为2()2ty x t =--，即20x ty t +-=． 则点2()4t E t ，到直线PF的距离为d ==5分联立方程2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，，消元，得2222(216)0t y t y t -++=． 因为2242(216)464(4)0t t t ∆=+-=+>，所以1y =2y =， 所以221212222164(4)1122t t AB y y y y t t ++=+++=++=+=． ………………7分 所以△EAB的面积为3222214(4)1(4)22t t S t t++=⨯=⨯． 不妨设322(4)()x g x x +=(0)x >，则12222(4)()(24)x g x x x+'=-．因为(0x ∈时，()0g x '<，所以()g x在(0上单调递减；)x ∈+∞上，()0g x '>，所以()g x在)+∞上单调递增．所以当x32min 4)()g x ==所以△EAB的面积的最小值为10分。

江苏省南通市2017届高三第一次调研测试理科数学试卷参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．棱锥的体积公式：1V Sh =棱锥，其中S 为棱锥的底面积，h 为高．{3}AB =，则A B =________为虚数单位，则z 的实部为________．4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．已知摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为________．5．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为________．6．若实数x ，y 满足24,37,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则32z x y =＋的最大值为________．7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：8．如图，在正四棱柱1111–ABCD A B C D 中，3cm AB =，11cm AA =，则三棱锥11D A BD -的体积为 ______3cm ．9．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +=为双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线，则该双曲线的离心率为________．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为________升． 中，若2BC BA AC AB CA CB +=，则sin sin AC12．已知两曲线()2sin f x x =，()cos g x a x =，π(0,)2x ∈相交于点P ．若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为________．13．已知函数()|||4|f x x x =+-，则不等式2(2)()f x f x +>的解集用区间表示为________．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(1,1)A ，且A B A C ⊥，则线段BC 的长的取值范围为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ．以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，5AB =． （1）求cos β的值； （2）若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E PC 为的中点，OP OC =，PA PD ⊥．求证：（1）直线PA BDE ∥平面； （2）平面BDE PCD ⊥平面．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O OP 作的垂线交直线y 于点Q ，求2211OP OQ +的值． 18．（本小题满分16分）如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F AD 为的中点，点E BC 在边上，裁剪时先将四边形CDFE EF MNFE 沿直线翻折到处（点C ，D BC M 分别落在直线下方点，N 处，FN BC P 交边于点），再沿直线PE 裁剪．（1）当4EFP ∠=π时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积； （2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ．（1）当38a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点；（3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，n k a ，…(12k k <<…n k <<…)成等比数列，公比为q ． （1）若11k =，23k =，38k =，求1a d的值； （2）当1a d为何值时，数列{}n k 为等比数列； （3）若数列{}n k 为等比数列，且对于任意n *∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立，求1a 的取值范围．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修41-：几何证明选讲]（本小题满分10分）已知圆O 的直径4AB =，C AO 为的中点，弦2DE C CE CD =过点且满足，求OCE △的面积．B ．[选修42-：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)P 在矩阵A 对应的变换作用下变为(3,3)P '，求矩阵A ．C ．[选修44-：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，求直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长． D ．[选修45-：不等式选讲]（本小题满分10分）求函数3sin y x =+【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在棱长为11112ABCD A B C D -的正方体中，11P C D 为棱的中点，1Q BB 为棱上的点，且1(0)BQ BB λλ=≠．（1）若12λ=，求AP AQ 与所成角的余弦值； （2）若直线1AA APQ 与平面所成的角为45︒，求实数λ的值． 23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(,1)M m 到焦点2F 的距离为． （1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E x P 处的切线与轴相交于点，直线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求EAB △面积的最小值．江苏省南通市2017届高三第一次调研测试数学试卷∞2)(2,+)+2,62]二、解答题：本大题共∠OA OB AOBcos2-ABOA OB3，PC PD P=，PCD．PN MN=2m ）解法一：=0 EFDθ(<19．【解】（1）当38a =时，23()ln 8f x x x x =--．所以31(32)(2)()144x x f x x x x+-'=--=，（0x >）．2分令()0f x '=，得2x =，当(0,2)x ∈时，()0f x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增． 所以当2x =时，()f x 有最小值1(2)ln 22f =--．4分（2）由2()ln f x ax x x =--，得2121()21,0ax x f x ax x x x--'=--=>．所以当0a ≤时，221()<0ax x f x x--'=，函数()f x 在(0,+)∞上单调递减，所以当0a ≤时，函数()f x 在(0,+)∞上最多有一个零点． 6分因为当10a -≤≤时，(1)1<0f a =-，221e e ()>0e e af -+=，所以当10a -≤≤时，函数()f x 在(0,+)∞上有零点．综上，当10a -≤≤时，函数()f x 有且只有一个零点．8分（3）解法一：由（2）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0,+)∞上最多有一个零点． 因为函数()f x 有两个零点，所以>0a ．9分由2()ln f x ax x x =--，得221(),(0)ax x f x x x--'=>，令2()21g x ax x =--．因为(0)10g =-<，2>0a ，所以函数()g x 在(0,)+∞上只有一个零点，设为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0,()0g x f x '<<；当0(,)x x ∈+∞时，()0,()0g x f x '>>． 所以函数()f x 在0(0,)x 上单调递减；在0(,)x +∞上单调递增．要使得函数()f x 在(0,+)∞上有两个零点，只需要函数()f x 的极小值0()0f x <，即200ln 0ax x x --<． 又因为2000()210g x ax x =--=，所以002ln 10x x +->， 又因为函数h()=2ln 1x x x +-在(0,+)∞上是增函数，且h(1)=0， 所以01x >，得0101x <<． 又由20210ax x --=，得22000111112()()24a x x x =+=+-， 所以01a <<．13分以下验证当01a <<时，函数()f x 有两个零点． 当01a <<时，21211()10a a g a a a a-=--=>， 所以011x a <<． 因为22211e e ()10e e e e a af -+=-+=>，且0()0f x <．所以函数()f x 在01(,)ex 上有一个零点．又因为2242222()ln (1)10a f a a a a a a=----=>≥（因为ln 1x x ≤-），且0()0f x <．所以函数()f x 在02(,)x a上有一个零点．所以当01a <<时，函数()f x 在12(,)e a内有两个零点．综上，实数a 的取值范围为(0,1)．16分下面证明：ln 1x x ≤-．设()1ln t x x x =--，所以11()1x t x x x-'=-=，（0x >）． 令()0t x '=，得1x =．当(0,1)x ∈时，()0t x '<；当(1,)x ∈+∞时，()>0t x '． 所以函数()t x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． 所以当1x =时，()t x 有最小值(1)0t =． 所以()1ln 0t x x x =--≥，得ln 1x x ≤-成立． 解法二：由（2）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0,+)∞上最多有一个零点． 因为函数()f x 有两个零点，所以>0a ．9分由2()ln 0f x ax x x =--=，得关于x 的方程2ln x xa x +=，（0x >）有两个不等的实数解． 又因为ln 1x x ≤-，所以222ln 211(1)1x x x a x x x+-=≤=--+，（0x >）． 因为0x >时，21(1)11x--+≤，所以1a ≤．又当1a =时，1x =，即关于x 的方程2ln x xa x +=有且只有一个实数解．所以<<1a 0．13分（以下解法同解法1）20．【解】（1）由已知可得：1a ，3a ，8a 成等比数列，所以2111(2)(7)a d a a d +=+， 2分 整理可得：2143d a d =．因为0d ≠，所以143a d =．4分（2）设数列{}n k 为等比数列，则2213k k k =． 又因为1k a ，2k a ，3k a 成等比数列，所以2111312[(1)][(1)][(1)]a k d a k d a k d +-+-=+-． 整理，得21213132132(2)(2)a k k k d k k k k k k --=---+． 因为2213k k k =，所以1213213(2)(2)a k k k d k k k --=--． 因为2132k k k ≠+，所以1a d =，即11a d=． 6分当11a d=时，1(1)n a a n d nd =+-=，所以n k n a k d =． 又因为1111n n n k k a a q k dq --==，所以11n n k k q -=．所以1111nn n n k k q q k k q +-==，数列{}n k 为等比数列． 综上，当11a d=时，数列{}n k 为等比数列． 8分（3）因为数列{}n k 为等比数列，由（2）知1a d =，11(1)n n k k q q -=>．1111111n n n n k k a a q k dq k a q ---===，11(1)n a a n d na =+-=． 因为对于任意n ∈*N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立． 所以不等式1111112n n na k a q k q --+>，即111112n n k q a n k q -->+，111111110222n n nn k q q na k q k q --+<<=+恒成立．10分下面证明：对于任意的正实数(01)εε<<，总存在正整数1n ，使得11n n εq <． 要证11n n εq <，即证11ln ln ln n n q ε<+． 因为11ln e 2x x x ≤<，则1122111ln 2ln n n n =<，解不等式1211ln ln n n q ε<+，即1122211()ln ln 0n q n ε-+>，可得121n >，所以21n >．不妨取20]1n =+，则当10n n >时，原式得证．所以11102a <≤，所以12a ≥，即得1a 的取值范围是[2,)+∞．16分21．A ．[选修41-：几何证明选讲]（本小题满分10分）已知圆O 的直径4AB =，C AO 为的中点，弦2DE C CE CD =过点且满足，求OCE △的面积． 【解】设CD x =，则2CE x =． 因为1CA =，3CB =，由相交弦定理，得CA CB CD CE =， 所以21322x x x ⨯==，所以2x =． 2分取DE 中点H ，则OH DE ⊥． 因为2222354()28OH OE EH x =-=-=，所以OH =．6分又因为2CE x ==，所以OCE △的面积1122S OH CE ==⨯ 10分B ．[选修42-：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点11P （，）在矩阵A对应的变换作用下变为(3,3)P '，求矩阵A ．【解】设ab Acd ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 因为向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵–1A 的属于特征值的一个特征向量，所以111(1)111a b cd -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以11a b c d -=-⎧⎨-=⎩，．4分因为点(1,1)P 在矩阵A 对应的变换作用下变为(3,3)P '，所以1313a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以+3+3a b c d =⎧⎨=⎩，．8分解得1a =，2b =，2c =，1d =，所以1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 10分C ．[选修44-：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，求直线.π()4θρ=∈R .被曲线4sin ρθ=所截得的弦长． 【解】解法一：在4sin ρθ=中，令π4θ=，得π4sin 4ρ=AB =． 10分解法二：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． 直线π()4θρ=∈R 的直角坐标方程为y x =①， 3分 曲线4sin ρθ=的直角坐标方程为2240x y y +-=②．6分由①②得00x y =⎧⎨=⎩，，或22x y =⎧⎨=⎩，，8分所以(0,0),(2,2)A B ，所以直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长AB =． 10分D ．[选修45-：不等式选讲]（本小题满分10分）求函数3sin y x =+【解】3sin y x x =++2分由柯西不等式得222222(3sin (34)(sin cos )25y x x x =+≤++=，8分所以max 5y =，此时3sinx =． 22．【解】以{}1,,AB AD AA 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -． （1）因为=(1,2,2)AP ，=(2,0,1)AQ ，所以cos =||||AP AQ AP AQ AP AQ <>==，．所以AP 与AQ ． 4分（2）由题意可知，1(0,0,2)AA =，(2,0,2)AQ λ=． 设平面APQ 的法向量为(,,)x n y z =，则0,0,AP AQ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即220,220x y z x z λ++=⎧⎨+=⎩．令2z =-，则2x λ=，2y λ=-． 所以(2,2,2)n λλ=--．6分又因为直线1AA 与平面APQ 所成角为45︒，所以111||=||||||2,AA AA AA cos n <>==n n ， 23．【解】（1）抛物线22(0)x py p =>的准线方程为2py =-， 因为(,1)M m ，由抛物线定义，知12p MF =+， 所以122p+=，即2p =， 所以抛物线的方程为24x y =．3分（2）因为214y x =，所以12y x '=． 设点2(,),04t E t t ≠，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-．令0y =，则2tx =，即点(,0)2t P ．因为(,0)2t P ，(0,1)F ，所以直线PF的方程为2()2ty x t =--，即20x ty t +-=．则点2(,)4t E t 到直线PF 的距离为3|2|t t t d +-= 5分联立方程2,420,x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩消元，得2222(216)0t y t y t -++=． 因为2242(216)464(4)0t t t ∆=+-=+>，所以1y =2y =所以221212222164(4)1122tt AB y y y y t t ++=+++=++=+=． 7分所以EAB △的面积为3222214(4)1(4)22||t t S t t ++=⨯=⨯．不妨设322(4)()x g x x +=(0)x >，则12222(4)()(24)x g x x x+'=-．因为x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在上单调递减；)x ∈+∞上，()0g x '>，所以()g x 在)+∞上单调递增．所以当x 32min 4)()g x ==所以EAB △的面积的最小值为10分。

1. 设全集为R ，集合A ＝{x|x 2－9<0}，B ＝{x|－1<x ≤5}，则A ∩(∁R B)＝____________．2. 已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a ＝____________．3. 设函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f(x)的表达式为____________．4. “sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的______________(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)条件．5. 在平面直角坐标系中，O 为原点，A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)，动点D 满足|CD→|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是____________．6. 已知数列{a n }满足a 1＝254，a n ＋1－a n ＝2n ，则当n ＝____________时，a n n取得最小值． 7. 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB|＝____________．1. (－3，－1] 解析：∵ A ＝(－3，3)，∁R B ＝(－∞，－1]∪(5，＋∞)，∴ A ∩(∁R B)＝(－3，－1]．2. －4 解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，r 2＝2－a ，则圆心(－1，1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝ 2.由22＋(2)2＝2－a ，得a ＝－4. 3. f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 解析：由14·2πω＝3π8－π8可得ω＝2.再由2×π8＋φ＝π2，可得φ＝π4，故函数的解析式为f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 4. 充分不必要 解析：因为cos2α＝cos 2α－sin 2α＝0，所以sin α＝cos α或sin α＝－cos α.因为“sin α＝cos α”“cos2α＝0”，但“sin α＝cos α”“cos2α＝0”，所以“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的充分不必要条件．5. [7－1，7＋1] 解析：由|CD →|＝1，得动点D 在以点C 为圆心，半径为1的圆上，故可设D(3＋cos α，sin α)，所以OA →＋OB →＋OD →＝(2＋cos α，3＋sin α)，所以|OA →＋OB →＋OD →|2＝(2＋cos α)2＋(3＋sin α)2＝8＋4cos α＋23sin α＝8＋27sin (α＋φ)，所以|OA →＋OB →＋OD →|2∈[8－27，8＋27]，即|OA →＋OB →＋OD →|∈[7－1，7＋1]．6. 3 解析：累加得a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1，a n ＝n 2－n ＋254，a n n＝n 2－n ＋254n ＝n ＋254n－1，由a 1＞a 2＞a 3，a 3＜a 4＜…，根据函数单调性知a 3最小，所以n ＝3. 7. 12 解析：抛物线的焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0，直线AB 的斜率k ＝tan30°＝33，所以直线AB 的方程为y ＝33x －34.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －34，y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0，故x 1＋x 2＝212，x 1x 2＝916.所以|AB|＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋13·⎝⎛⎭⎫2122－4×916＝12.。