2018版高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象学业分层测评

1.5 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位【解析】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，故要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位．【答案】 D2．要得到y ＝tan 2x 的图象，只需把y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象( ) A ．向左平移π6个单位得到B ．向左平移π12个单位得到C ．向右平移π12个单位得到D ．向右平移π6个单位得到【解析】 设向左平移φ个单位得到y ＝tan 2x 的图象，y ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x ＋φ －π6 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ－π6，∴2φ－π6＝0，∴φ＝π12，∴向左平移π12个单位得到．【答案】 B3．函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0且|φ|<π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( ) 【导学号：00680026】A.12B.22C.32D.6＋24【解析】 因为函数的最大值为1，最小值为－1，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递减，又函数值从1减小到－1，所以2π3－π6＝π2为半周期，则周期为π，ω＝2πT ＝2ππ＝2，此时原式为y ＝sin(2x ＋φ)，又由函数过⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1点，代入可得φ＝π6，因此函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令x ＝0，可得y ＝12.【答案】 A4．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的周期为2π3，则函数f (x )图象的对称轴方程为( )A ．x ＝k π＋π3(k ∈Z )B ．x ＝k π－π3(k ∈Z )C ．x ＝k π3＋π9(k ∈Z ) D ．x ＝k π3－π9(k ∈Z ) 【解析】 由函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1的周期为2π3，知2π|ω|＝2π3，又ω>0，所以ω＝3，则对称轴方程为3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝π9＋k π3，k ∈Z . 【答案】 C5．下列函数中，图象的一部分是如图1­5­3的是( )图1­5­3A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 【解析】 由图象知，14T ＝π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π4，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2，把y ＝cos 2x的图象向右平移π12个单位即得所给图象，∴所求函数为y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 【答案】 D 二、填空题6．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π<φ≤π)的图象如图1­5­4所示，则φ＝________.图1­5­4【解析】 由题意得T 2＝2π－34π，∴T ＝52π，ω＝45.又由x ＝34π时，y ＝－1，得－1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫35π＋φ， －2π5<35π＋φ<85π， ∴35π＋φ＝32π， ∴φ＝910π.【答案】910π 7．若g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值与最小值之和为7，则a ＝________. 【解析】 当0≤x ≤π3时，π6≤2x ＋π6≤5π6，12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，所以1＋a ≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ≤2＋a ，由1＋a ＋2＋a ＝7，得a ＝2.【答案】 2三、解答题8．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0≤φ≤π2在x ∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x ＝π时，y max ＝3；当x ＝6π时，y min ＝－3.(1)求此函数的解析式； (2)求此函数的单调递增区间．【解】 (1)由题意得A ＝3，12T ＝5π，所以T ＝10π，所以ω＝2πT ＝15，则y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋φ. 因为点(π，3)在此函数图象上，则3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＋φ＝3. 又因为0≤φ≤π2，有φ＝π2－π5＝3π10，所以y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋3π10. (2)当－π2＋2k π≤15x ＋3π10≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－4π＋10k π≤x ≤π＋10k π，k ∈Z 时，函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋3π10单调递增．所以此函数的单调递增区间为[－4π＋10k π，π＋10k π](k ∈Z )．9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．【解】 由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )， 即函数f (x )的图象关于y 轴对称， ∴f (x )在x ＝0时取得最值， 即sin φ＝1或sin φ＝－1. 依题设0≤φ≤π，解得φ＝π2.由f (x )的图象关于点M 对称，可知 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4ω＋π2＝0，∴3π4ω＋π2＝k π(k ∈Z )，解得ω＝4k 3－23，k ∈Z ，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，所以T ≥π，即2πω≥π，又ω>0，∴0<ω≤2. ∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2. ∴φ＝π2，ω＝2或23.[能力提升]1．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度【解析】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.故选B. 【答案】 B2．将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象分别向左、向右平移φ个单位后，所得的图象都关于y 轴对称，则φ的最小值分别为( )A.π6，π3 B.π3，π6 C.2π3，5π6D.π6，π12【解析】 函数f (x )的图象向左平移φ个单位得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6的图象，向右平移φ个单位得函数h (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π6的图象，于是，2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，－2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，于是φ的最小值分别为π6，π3.故选A.【答案】 A3．已知定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，23π上的函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ≤π)的图象关于直线x ＝－π6对称，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3时，f (x )的图象如图1­5­5所示．图1­5­5(1)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，23π上的解析式； (2)求方程f (x )＝22的解. 【导学号：70512017】 【解】 (1)由题图知：A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝2π，则ω＝2πT ＝1，在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3时，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入f (x )得， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，因为0<φ≤π，所以φ＝π3，所以在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.同理在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π6时， f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －23π.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23π，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π6.(2)由f (x )＝22在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3内可得x 1＝5π12，x 2＝－π12.因为y ＝f (x )关于x ＝－π6对称，有x 3＝－π4，x 4＝－3π4.则f (x )＝22的解为－π4，－3π4，5π12，－π12.。